Convexité
En bref : La convexité d’une fonction décrit la courbure de sa courbe : elle est convexe sur un intervalle quand elle reste au-dessus de ses tangentes, ce qui équivaut à une dérivée seconde positive.
TerminaleFonctions
Définition : Convexité
La convexité indique de quel côté la courbe se courbe. Une fonction est convexe quand sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes, comme le fond d’un bol ; elle est concave quand elle est en dessous, comme une colline.
Pour une fonction deux fois dérivable, \(f\) est convexe sur un intervalle si \(f^{\prime\prime}\ge 0\) sur cet intervalle, et concave si \(f^{\prime\prime}\le 0\). Le point où la convexité change est un point d’inflexion.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande où la courbe est « au-dessus de ses tangentes » ou de préciser sa « courbure ».
- On étudie le signe de la dérivée seconde d’une fonction.
- Une courbe semble changer de forme en passant de « creux » à « bosse ».
- Un modèle économique ou physique évoque une accélération ou un ralentissement de la croissance.
La méthode
- Calculer \(f^{\prime}\), puis \(f^{\prime\prime}\) en dérivant deux fois.
- Étudier le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) avec un tableau de signes.
- Conclure : \(f^{\prime\prime}\) positive donne une fonction convexe, négative une fonction concave.
- Repérer les valeurs où \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe : ce sont les points d’inflexion.
Convexité : exemple corrigé
Énoncé
Étudier la convexité de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) sur \(\mathbb{R}\).
Corrigé
On dérive : \(f^{\prime}(x)=3x^2-12x+9\), puis \(f^{\prime\prime}(x)=6x-12=6(x-2)\).
Cette quantité est négative pour \(x<2\) et positive pour \(x>2\). La fonction est concave sur \(]-\infty\,;\,2]\) et convexe sur \([2\,;\,+\infty[\), avec un point d’inflexion d’abscisse \(2\) et d’ordonnée \(f(2)=2\).
À toi de jouer
Question 1
La fonction \(g(x)=x^2+4x\) est-elle convexe sur \(\mathbb{R}\) ?
Voir la réponse
\(g^{\prime\prime}(x)=2>0\) : oui, elle est convexe sur \(\mathbb{R}\).
Question 2
Que dire de \(h(x)=-x^4\) en \(x=1\) ?
Voir la réponse
\(h^{\prime\prime}(x)=-12x^2\), qui vaut \(-12\) en \(1\) : la courbe est concave en ce point.
Ne pas confondre Convexité et Fonction croissante
Croissante ou décroissante parle du sens de la courbe (elle monte ou descend), lié au signe de \(f^{\prime}\). Convexe ou concave parle de sa courbure, liée au signe de \(f^{\prime\prime}\). Une fonction peut monter en étant concave, par exemple \(\ln x\).
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