Corrigé du brevet de maths 2016 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2016 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Nord 2016
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2016 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Vrai ou faux » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Probabilités des pistes » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Tableur des forfaits » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Le télésiège » (exercice 4). En outre, tu lis la démarche complète pour « Deux tarifs de forfaits » (exercice 5).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « La manche à air » (exercice 6). Enfin, le corrigé explique « Budget du séjour » (exercice 7).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2016 sont les équations, le théorème de Pythagore, les racines carrées, les pourcentages et les agrandissements et réductions, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2016) : trois affirmations
Affirmation 1. On résout l’équation en regroupant les \(x\) d’un côté :
\[5x + 4 = 2x + 17\]
\[5x – 2x = 17 – 4\]
\[3x = 13 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{13}{3}\]
Or 13 n’est pas divisible par 3 (\(\dfrac{13}{3} \approx 4{,}33\)) : la solution n’est pas un nombre entier. L’affirmation 1 est fausse.
Affirmation 2. Le plus grand côté est [DE] (\(13\sqrt{7}\) cm). Ensuite, on compare le carré de ce côté à la somme des carrés des deux autres, en utilisant \((a\sqrt{7})^2 = a^2 \times 7\) :
\[\text{DE}^2 = (13\sqrt{7})^2 = 169 \times 7 = 1\,183\]
\[\text{CD}^2 + \text{CE}^2 = (\sqrt{175})^2 + (12\sqrt{7})^2 = 175 + 144 \times 7 = 175 + 1\,008 = 1\,183\]
Puis on a \(\text{DE}^2 = \text{CD}^2 + \text{CE}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en C, le sommet opposé au plus grand côté. L’affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3. Pour chaque objet, on calcule la baisse, puis on la rapporte au prix de départ :
- lunettes : la baisse est de \(45 – 31{,}50 = 13{,}50\) €, soit \(\dfrac{13{,}5}{45} = 0{,}30\), c’est-à-dire 30 % ;
- montre : la baisse est de \(56 – 42 = 14\) €, soit \(\dfrac{14}{56} = 0{,}25\), c’est-à-dire 25 %.
La réduction sur la montre (25 %) est plus faible que celle sur les lunettes (30 %), même si elle représente plus d’euros. L’affirmation 3 est fausse.
Corrigé de l’exercice 2 : probabilités sur les pistes
1. a. En haut, il y a \(2 + 2 + 1 = 5\) pistes, choisies au hasard, donc équiprobables. Deux d’entre elles sont rouges : la probabilité est \(\dfrac{2}{5}\).
b. Depuis le restaurant, il y a 7 pistes équiprobables, dont une seule bleue : la probabilité est \(\dfrac{1}{7}\).
2. La descente se fait en deux étapes indépendantes. On peut imaginer un arbre : première branche « noire » avec la probabilité \(\dfrac{2}{5}\) (2 noires sur 5), puis, à partir du restaurant, branche « noire » avec la probabilité \(\dfrac{3}{7}\) (3 noires sur 7). La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées :
\[p = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{35}\]
La probabilité d’enchaîner deux pistes noires est \(\dfrac{6}{35}\), soit environ 0,17.
Corrigé de l’exercice 3 : les forfaits vendus
1. a. La plus grande valeur de la ligne 2 est 148 901 : c’est en février que la station a vendu le plus de forfaits.
b. On calcule d’abord le total de la saison :
\[60\,457 + 60\,457 + 148\,901 + 100\,058 + 10\,035 = 379\,908\]
Le tiers de ce total vaut \(379\,908 \div 3 = 126\,636\). Comme \(148\,901 \gt 126\,636\), février représente plus du tiers des ventes (environ 39 %). Ninon a raison.
2. Il faut additionner les cellules B2 à F2 : =SOMME(B2:F2).
3. La saison compte 5 mois :
\[\dfrac{379\,908}{5} = 75\,981{,}6\]
La station a vendu en moyenne environ 75 982 forfaits par mois.
Corrigé de l’exercice 4 (Nord 2016) : le télésiège
1. Le télésiège est ouvert de 9 h à 16 h, soit 7 heures. À 3 000 skieurs par heure :
\[7 \times 3\,000 = 21\,000\]
Le télésiège peut transporter 21 000 skieurs dans la journée.
2. Le skieur parcourt 1 453 m à la vitesse de 5,5 m par seconde. La durée est la distance divisée par la vitesse :
\[t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{1\,453}{5{,}5} \approx 264{,}18\ \text{s}\]
Arrondi à la seconde, cela fait 264 s. Or \(264 = 4 \times 60 + 24\). Le trajet dure environ 4 min 24 s.
3. Alors on modélise le câble par l’hypoténuse d’un triangle rectangle : le câble mesure 1 453 m, et le dénivelé (côté vertical) vaut \(2\,261 – 1\,839 = 422\) m. Pour l’angle \(\alpha\) entre le câble et l’horizontale, 422 m est le côté opposé et 1 453 m l’hypoténuse : on utilise le sinus.
\[\sin \alpha = \dfrac{422}{1\,453}\]
À la calculatrice (touche \(\sin^{-1}\)), \(\alpha \approx 16{,}9^{\circ}\). Le câble fait avec l’horizontale un angle d’environ \(17^{\circ}\).
Corrigé de l’exercice 5 : comparer deux tarifs
1. a. Pour deux journées :
- tarif 1 : \(2 \times 40{,}50 = 81\) € ;
- tarif 2 : \(31 + 2 \times 32 = 31 + 64 = 95\) €.
Pour Elliot, le tarif 1 est le plus intéressant (81 € contre 95 €).
b. De même, pour \(n\) journées, le tarif 1 coûte \(40{,}5n\) euros et le tarif 2 coûte \(31 + 32n\) euros. Le tarif 2 est plus intéressant lorsque :
\[31 + 32n \lt 40{,}5n\]
\[31 \lt 8{,}5n\]
\[n \gt \dfrac{31}{8{,}5} \approx 3{,}65\]
Le nombre de journées est entier : le tarif 2 devient plus intéressant à partir de 4 journées. Vérification : pour 3 jours, 121,50 € contre 127 € ; pour 4 jours, 162 € contre 159 €.
2. a. De même, le prix est proportionnel au nombre de jours pour le tarif 1 : sa représentation est une droite qui passe par l’origine. Celle du tarif 2 est une droite qui ne passe pas par l’origine (elle part de 31 €, le prix de la carte).
b. Pour 6 jours, on lit environ 243 € pour le tarif 1 et environ 223 € pour le tarif 2. La différence est d’environ 20 € en faveur du tarif 2.
c. Ensuite, on trace l’horizontale d’ordonnée 275. Elle coupe la droite du tarif 2 vers l’abscisse 7,6 et celle du tarif 1 vers 6,8. Le nombre de jours étant entier, Elliot peut skier au maximum 6 jours avec le tarif 1 et 7 jours avec le tarif 2. Le maximum est donc 7 jours (avec le tarif 2, pour \(31 + 7 \times 32 = 255\) €).
Corrigé de l’exercice 6 : la manche à air
1. Le plan de section est parallèle à la base, donc les droites (O′B′) et (OB) sont parallèles. Dans le triangle SOB, O′ est sur [SO] et B′ sur [SB]. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{SO}^{\prime}}{\text{SO}} = \dfrac{\text{SB}^{\prime}}{\text{SB}} = \dfrac{\text{O}^{\prime}\text{B}^{\prime}}{\text{OB}}\]
Comme O′ est le milieu de [SO], \(\dfrac{\text{SO}^{\prime}}{\text{SO}} = \dfrac{1}{2}\) (on le retrouve avec les rayons : \(\dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}\)). Donc \(\text{SB}^{\prime} = \dfrac{1}{2}\text{SB}\) : B′ est le milieu de [SB], et donc \(\text{SB}^{\prime} = \text{BB}^{\prime} = 240\) cm.
\[\text{SB} = 2 \times 240 = 480\]
Puis on a bien SB = 480 cm.
2. Dans un cône de révolution, la hauteur [SO] est perpendiculaire à la base : le triangle SOB est rectangle en O. Le rayon de la base vaut \(\text{OB} = 60 \div 2 = 30\) cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{SB}^2 = \text{SO}^2 + \text{OB}^2 \quad \text{donc} \quad \text{SO}^2 = 480^2 – 30^2 = 230\,400 – 900 = 229\,500\]
\[\text{SO} = \sqrt{229\,500} \approx 479{,}06\]
Arrondi au centimètre, SO ≈ 479 cm.
3. Le volume d’air est celui du grand cône moins celui du petit cône de sommet S enlevé.
Grand cône : rayon 30 cm, hauteur \(\sqrt{229\,500}\) cm.
\[V_{\text{grand}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 30^2 \times \sqrt{229\,500} \approx 451\,505\ \text{cm}^3\]
Le petit cône est une réduction du grand de rapport \(\dfrac{1}{2}\) (rayon 15 cm, hauteur moitié). Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[V_{\text{petit}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \times V_{\text{grand}} = \dfrac{1}{8} V_{\text{grand}}\]
\[V_{\text{manche}} = V_{\text{grand}} – \dfrac{1}{8} V_{\text{grand}} = \dfrac{7}{8} V_{\text{grand}} \approx 395\,067\ \text{cm}^3\]
La manche à air contient environ \(395\,067\ \text{cm}^3\) d’air, soit près de 395 litres. (Si on utilise la valeur arrondie SO = 479 cm, on trouve 395 016 cm³ : il vaut mieux garder la valeur exacte jusqu’au bout.)
Corrigé de l’exercice 7 : le budget du séjour
1. La famille compte 2 adultes et 2 enfants, pour 6 jours de ski.
- Formule 1 : \(2 \times 187{,}50 + 2 \times 162{,}50 = 375 + 325 = 700\) € ;
- Formule 2 : \(120 + 6 \times (2 \times 25 + 2 \times 20) = 120 + 6 \times 90 = 120 + 540 = 660\) €.
La formule 2 est la plus intéressante : les forfaits coûtent 660 €.
2. Ensuite, on additionne tous les postes de dépense :
- studio 4 personnes du 20/02 au 27/02 : 1 020 € ;
- matériel pendant 6 jours : 2 adultes en ski \(2 \times 17 \times 6 = 204\) €, Anaïs en ski \(10 \times 6 = 60\) €, Thomas en snowboard \(19 \times 6 = 114\) €, soit \(204 + 60 + 114 = 378\) € ;
- forfaits avec la formule 2 : 660 € ;
- nourriture et sorties : 500 €.
\[1\,020 + 378 + 660 + 500 = 2\,558\]
La famille doit prévoir un budget total de 2 558 €.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé Nord 2016
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Dans les questions sur les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Pour le théorème de Pythagore, vérifie d’abord que le triangle est rectangle, puis repère l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité. En ce qui concerne les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de équation du premier degré sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Nord 2016 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2016
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2016 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2016. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les équations, le théorème de Pythagore, les racines carrées et les pourcentages. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2016
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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