Corrigé du brevet de maths 2016 : Liban

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2016 : Liban. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé de l’exercice 1 : QCM

1. Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{ABC}\), le côté opposé est [AC] et le côté adjacent est [AB] :

\[\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{7}{5}=1{,}4\quad\text{donc}\quad\widehat{ABC}\approx 54{,}5^\circ\]

Au degré près, réponse B : 54°. (Attention, 54,46 s’arrondit bien à 54.)

2. On cherche \(x\) tel que \(3x-2=8\), donc \(3x=10\) et \(x=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33\). Réponse B : l’antécédent est compris entre 3 et 4.

3. \(\dfrac{1-(-4)}{-2+9}=\dfrac{1+4}{7}=\dfrac{5}{7}\). Le nombre 0,714 285 714 3 n’en est qu’une valeur approchée, car l’écriture décimale de \(\dfrac{5}{7}\) ne s’arrête jamais. Réponse A : \(\dfrac{5}{7}\).

Corrigé de l’exercice 2 : vrai ou faux

Affirmation 1. Augmenter de 5 %, c’est multiplier par \(1+\dfrac{5}{100}=1{,}05\). Deux hausses successives reviennent à multiplier deux fois par 1,05 :

\[25\times 1{,}05\times 1{,}05=25\times 1{,}1025=27{,}5625\]

Le nouveau prix est d’environ 27,56 €, pas 27,50 €. Le piège : la deuxième hausse s’applique à 26,25 € et non plus à 25 €. L’affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2. 4 kg = 4 000 g par jour. Sur une année de 365 jours : \(4000\times 365=1\,460\,000\) g, c’est-à-dire \(1{,}46\times 10^6\) g. L’affirmation 2 est vraie. (Pour une année de 366 jours, on obtient 1 464 000 g, ce qui fait toujours environ \(1{,}46\times 10^6\) g.)

Affirmation 3. 12 minutes, c’est \(\dfrac{12}{60}=\dfrac{1}{5}\) d’heure. En une heure, le camion parcourrait donc 5 fois plus : \(12{,}5\times 5=62{,}5\) km. Sa vitesse moyenne est 62,5 km/h, supérieure à 50 km/h. L’affirmation 3 est fausse : le livreur n’a pas respecté la limitation.

Corrigé de l’exercice 3 : ventes de la semaine dans un tableur

1. Il faut additionner les cellules de B2 à H2. On saisit =SOMME(B2:H2) (ou =B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2).

2. Le total vaut \(324+240+310+204+318+386+468=2250\) macarons sur 7 jours :

\[\text{moyenne}=\dfrac{2250}{7}\approx 321{,}4\]

La boutique vend en moyenne environ 321 macarons par jour.

3. On range les 7 valeurs dans l’ordre croissant : 204 ; 240 ; 310 ; 318 ; 324 ; 386 ; 468. L’effectif est impair, la médiane est la valeur centrale, la 4^e : 3 valeurs en dessous et 3 au-dessus. Le nombre médian de macarons vendus est 318.

4. \(468-204=264\). Le dimanche correspond à la plus grande vente (468) et le jeudi à la plus petite (204) : leur différence est donc l’écart entre la valeur maximale et la valeur minimale. 264 est l’étendue de la série.

Corrigé de l’exercice 4 : présentoir en forme de pyramide

Le présentoir entre dans la vitrine si sa hauteur SO est inférieure à 50 cm. La hauteur d’une pyramide régulière tombe au centre O de la base, qui est aussi le milieu des diagonales du carré.

Étape 1 : la demi-diagonale AO. Le triangle ABC est rectangle en B (ABCD est un carré). Par le théorème de Pythagore :

\[AC^2=AB^2+BC^2=30^2+30^2=1800\quad\text{donc}\quad AC=\sqrt{1800}\approx 42{,}43\ \text{cm}\]

Les diagonales du carré se coupent en leur milieu O, donc \(AO=\dfrac{AC}{2}\), et \(AO^2=\dfrac{1800}{4}=450\).

Étape 2 : la hauteur SO. La hauteur [SO] est perpendiculaire à la base, donc le triangle SOA est rectangle en O, d’hypoténuse [SA] = 55 cm. Par le théorème de Pythagore :

\[SO^2=SA^2-AO^2=55^2-450=3025-450=2575\]

\[SO=\sqrt{2575}\approx 50{,}7\ \text{cm}\]

Comme \(50{,}7\gt 50\), le présentoir est trop haut : on ne peut pas le placer dans la vitrine de 50 cm.

Corrigé de l’exercice 5 : partage des macarons

Il y a \(2\times 12=24\) macarons en tout. On appelle \(x\) le nombre de macarons mangés par Pascale. Alexis en a mangé 4 de plus, soit \(x+4\). Pascale en a mangé deux fois moins que Carole, donc Carole en a mangé deux fois plus que Pascale, soit \(2x\).

\[x+(x+4)+2x=24\]

\[4x+4=24\quad\text{donc}\quad 4x=20\quad\text{et}\quad x=5\]

Pascale a mangé 5 macarons, Alexis \(5+4=9\) et Carole \(2\times 5=10\). Vérification : \(5+9+10=24\). Pascale : 5 macarons, Alexis : 9 macarons, Carole : 10 macarons.

Corrigé de l’exercice 6 : tirages dans deux boîtes

1. La boîte 1 contient \(4+3+2+3=12\) macarons, dont 3 au café, tous ayant la même chance d’être choisis :

\[P(\text{café})=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\]

La probabilité est \(\dfrac{1}{4}\).

2. Carole doit éviter le chocolat dans les deux boîtes.

Dans la boîte 1 il reste 5 macarons (3 chocolat, 2 café) : elle obtient un macaron qui lui plaît (café) avec la probabilité \(\dfrac{2}{5}\).

Dans la boîte 2 il reste 3 macarons (2 chocolat, 1 fraise) : elle obtient la fraise avec la probabilité \(\dfrac{1}{3}\).

Les deux tirages se font dans deux boîtes différentes. Sur un arbre, on suit la branche « café » puis la branche « fraise » et on multiplie les probabilités portées par les branches :

\[P=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{15}\approx 0{,}13\]

La probabilité qu’elle obtienne deux macarons qui lui plaisent est \(\dfrac{2}{15}\).

Corrigé de l’exercice 7 : volume de crème

1. Le volume d’un cylindre est \(\pi\times r^2\times h\) :

\[V=\pi\times 20^2\times 5=\pi\times 400\times 5=2000\pi\ \text{mm}^3\]

On retrouve bien \(2000\pi\ \text{mm}^3\), soit environ 6 283 mm³.

2. On convertit 30 cL en mm³. D’abord 30 cL = 0,3 L = 0,3 dm³. Or \(1\ \text{dm}^3=1\,000\,000\ \text{mm}^3\) (car 1 dm = 100 mm et \(100^3=1\,000\,000\)). Donc 30 cL = 300 000 mm³.

\[\dfrac{300\,000}{2000\pi}=\dfrac{150}{\pi}\approx 47{,}7\]

La crème suffit pour 47 macarons complets, pas pour un 48^e. Alexis peut confectionner 47 macarons.

Corrigé de l’exercice 8 : température du four

1. Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l’origine. Ici la courbe n’est pas une droite : elle monte, puis redescend et remonte. Par exemple, 2 min donnent 50 °C mais 4 min donnent environ 90 °C et non 100 °C. La température n’est pas proportionnelle au temps.

2. On lit la courbe à l’abscisse 3 : la température est d’environ 72 °C (entre 70 et 80 °C, très près de 70 °C).

3. On lit environ 50 °C à 2 minutes et 140 °C à 7 minutes : \(140-50=90\). La température a augmenté de 90 °C.

4. La courbe atteint pour la première fois la hauteur 150 °C à l’abscisse 8. La température de cuisson est atteinte au bout de 8 minutes.

5. Après 8 minutes, la température ne reste pas à 150 °C : elle monte jusqu’à environ 156 °C vers 9 minutes, redescend à environ 144 °C vers 13 minutes, puis remonte vers 154 °C. Elle oscille autour de 150 °C sans s’y stabiliser ; or la cuisson des macarons exige impérativement 150 °C, d’où le mécontentement du responsable.

Corrigé de l’exercice 9 : retrouver la zone de livraison

On calcule d’abord le prix des macarons, parfum par parfum, en regardant si la réduction s’applique (à partir de 6 boîtes identiques). Toutes les boîtes de 12 petits macarons coûtent 16 € sans réduction ; une réduction de 20 % revient à multiplier par 0,8.

• Chocolat : 10 boîtes, donc réduction : \(10\times 16\times 0{,}8=128\) € ;
• Vanille : 10 boîtes, donc réduction : \(10\times 16\times 0{,}8=128\) € ;
• Framboise : 5 boîtes, pas de réduction : \(5\times 16=80\) € ;
• Café : 2 boîtes : \(2\times 16=32\) € ;
• Caramel : 1 boîte de 6 petits macarons : 9 €.

Total des macarons : \(128+128+80+32+9=377\) €.

Les frais de livraison valent donc \(402-377=25\) €. La livraison a lieu un samedi : dans la colonne « Samedi et dimanche » du document 3, 25 € correspond à la zone B. L’adresse de livraison se trouve dans la zone B.

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