Corrigé du brevet de maths 2016 : France, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2016 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé septembre 2016
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé septembre 2016 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Marées à Brest » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Pythagore et Thalès » (exercice 2). Puis la correction reprend « Tableur : production de vanille » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « QCM » (exercice 4). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Construction d’une étoile à cinq branches » (exercice 5).
Ensuite, le corrigé explique « Toit d’une véranda » (exercice 6). Enfin, la correction reprend « Pizzas rondes et carrées » (exercice 7).
Ainsi, le corrigé corrigé septembre 2016 te fait revoir le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, les pourcentages, le tableur et les angles inscrits, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé de l’exercice 1 (septembre 2016) : les marées à Brest
1. a. D’abord, on se place à 6 h sur l’axe horizontal et on monte jusqu’à la courbe : on lit une hauteur d’eau d’environ 5 m.
b. Entre 10 h et 22 h, la courbe est au-dessus de la ligne horizontale de 3 m à partir d’environ 12 h (la marée monte) jusqu’à environ 20 h (elle redescend sous 3 m). La hauteur d’eau a donc dépassé 3 m pendant environ \(20 – 12 = 8\) heures, soit environ 8 h.
2. Ensuite, on remplace chaque lettre par sa valeur : \(H = 7{,}4\), \(N_0 = 4{,}2\) et \(U = 3{,}1\).
\[C = \dfrac{7{,}4 – 4{,}2}{3{,}1} \times 100 = \dfrac{3{,}2}{3{,}1} \times 100 \approx 103{,}2\]
Arrondi à l’unité, le coefficient de cette marée est 103.
Corrigé de l’exercice 2 : Pythagore et Thalès
1. Dans le triangle IKJ, le plus long côté est [IJ]. Puis on compare :
\[IJ^2 = 4^2 = 16 \qquad IK^2 + KJ^2 = 3{,}2^2 + 2{,}4^2 = 10{,}24 + 5{,}76 = 16\]
Alors on a \(IJ^2 = IK^2 + KJ^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IKJ est rectangle en K.
2. D’après la question 1, (KJ) est perpendiculaire à (IL). D’après la figure, le triangle ILM est rectangle en L, donc (LM) est aussi perpendiculaire à (IL). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (KJ) et (LM) sont parallèles.
Dans le triangle ILM, K est sur [IL], J est sur [IM] et (KJ) est parallèle à (LM). Le théorème de Thalès donne :
\[\dfrac{IK}{IL} = \dfrac{IJ}{IM} = \dfrac{KJ}{LM}\]
Comme K est sur [IL], IL = IK + KL = 3,2 + 1,8 = 5 m. Ensuite, on utilise l’égalité \(\dfrac{IK}{IL} = \dfrac{KJ}{LM}\), soit \(\dfrac{3{,}2}{5} = \dfrac{2{,}4}{LM}\). Par produit en croix :
\[LM = \dfrac{5 \times 2{,}4}{3{,}2} = \dfrac{12}{3{,}2} = 3{,}75\ \text{m}\]
Puis on a bien LM = 3,75 m.
3. Le triangle KLM est rectangle en L, d’hypoténuse [KM]. D’après le théorème de Pythagore :
\[KM^2 = KL^2 + LM^2 = 1{,}8^2 + 3{,}75^2 = 3{,}24 + 14{,}0625 = 17{,}3025\]
\[KM = \sqrt{17{,}3025} \approx 4{,}1596\]
Au centimètre près, KM ≈ 4,16 m.
Corrigé de l’exercice 3 : la production mondiale de vanille
1. La cellule B15 contient le total des productions des cellules B2 à B14. La formule saisie est =SOMME(B2:B14) (on pouvait aussi écrire =B2+B3+…+B14). Vérification : \(335 + 35 + 79 + 3\,200 + 15 + 3\,100 + 22 + 463 + 161 + 433 + 198 + 290 + 11 = 8\,342\).
2. Ensemble, l’Indonésie et Madagascar produisent \(3\,200 + 3\,100 = 6\,300\) milliers de tonnes. Les trois quarts de la production mondiale représentent :
\[\dfrac{3}{4} \times 8\,342 = 6\,256{,}5\ \text{milliers de tonnes}\]
Comme \(6\,300 \gt 6\,256{,}5\), oui, ces deux pays produisent plus des trois quarts de la vanille mondiale (cela représente \(\dfrac{6\,300}{8\,342} \approx 75{,}5\ \%\), un peu plus que 75 %).
3. Les cinq plus petites productions sont celles du Zinbabwe (11), du Kenya (15), du Malawi (22), des Comores (35) et de la France (79). Leur total vaut \(11 + 15 + 22 + 35 + 79 = 162\) milliers de tonnes. En pourcentage de la production mondiale :
\[\dfrac{162}{8\,342} \times 100 \approx 1{,}94\ \%\]
Arrondie à l’unité, la part de ces cinq pays est d’environ 2 %.
Corrigé de l’exercice 4 (septembre 2016) : QCM
Question 1. Ensuite, on remplace \(x\) par 2 dans chaque inéquation. a : \(2 \lt 2\) est faux. b : \(-4 \times 2 – 3 = -11\), et \(-11 \gt -10\) est faux. c : \(5 \times 2 – 4 = 6\), et \(6 \leqslant 7\) est vrai. d : \(8 – 3 \times 2 = 2\), et \(2 \geqslant 3\) est faux. Réponse c.
Question 2. La fonction \(f(x) = 2x – 8\) est affine : sa droite coupe l’axe des ordonnées en \(-8\) (car \(f(0) = -8\)) et monte (coefficient 2 positif). De plus \(f(4) = 8 – 8 = 0\), donc elle passe par le point (4 ; 0). Le graphique b descend, le d passe par (0 ; −4) et le a passe par (2 ; 0). Seul le graphique c passe par (0 ; −8) et (4 ; 0). Réponse c.
Question 3. En 10 s le coureur fait 100 m, donc en 1 s il fait 10 m : sa vitesse est 10 m/s. En une heure (3 600 s), il parcourrait \(10 \times 3\,600 = 36\,000\) m, soit 36 km. Sa vitesse est donc 36 km/h. Réponse b. (6 km/min ferait 100 m/s, 3 600 m/h seulement 1 m/s.)
Corrigé de l’exercice 5 : construire une étoile à cinq branches
1. Tout d’abord, on reprend la fiche technique étape par étape sur la construction d’Archibald.
Étape 1 : le cercle de centre O et le diamètre vertical [AB] sont tracés ; on nomme B l’autre extrémité du diamètre vertical (en bas) et D l’extrémité droite du diamètre horizontal [CD].
Étapes 2 et 3 : le milieu de [OC] est déjà marqué, on le nomme J ; le cercle de centre J passant par C (il passe aussi par O) est déjà tracé.
Étape 4 : la demi-droite [JA) coupe le petit cercle de centre J en un point déjà marqué, que l’on nomme M.
Étapes 5 et 6 : le cercle de centre A passant par M coupe le grand cercle en deux points : on nomme E celui de gauche et F celui de droite (le point marqué par Archibald à droite de A est F).
Étape 7 : on prend au compas l’écartement EF. En partant de F et en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre (en s’éloignant de E), on reporte cette longueur sur le grand cercle : on obtient G (à droite, un peu sous le diamètre [CD]), puis H, qui tombe exactement sur B, puis I (à gauche, symétrique de G).
Étape 8 : on trace les segments [EG], [GI], [IF], [FH] et [HE] : l’étoile apparaît.
![Construction terminée : grand cercle de centre O, diamètres [AB] et [CD], cercle de centre J passant par C, demi-droite [JA) coupant ce cercle en M, cercle de centre A passant par M coupant le grand cercle en E et F, points G, H (confondu avec B) et I reportés, étoile EGIFH tracée en rouge](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2016-france-septembre/gen-ex5-construction-etoile.webp)
2. La troisième consigne se réécrit : « Tracer le cercle de centre J passant par C » (ou, ce qui revient au même, le cercle de centre J et de rayon JC).
3. Les points E, G, H et I sont tous sur le même cercle de centre O. L’angle \(\widehat{EGI}\) a son sommet G sur le cercle et ses côtés passent par E et I : c’est un angle inscrit qui intercepte l’arc \(\overset{\frown}{EI}\). De même, \(\widehat{EHI}\) a son sommet H sur le cercle et intercepte ce même arc \(\overset{\frown}{EI}\) (G et H sont du même côté de la corde [EI]).
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. Cette propriété ne dépend ni de la taille du cercle ni du tracé particulier d’Anaïs : oui, pour tous les pentagrammes construits avec cette méthode, \(\widehat{EGI} = \widehat{EHI}\).
Pour aller plus loin : la construction partage le cercle en cinq arcs égaux de \(360° \div 5 = 72°\) (E, F, G, H, I sont les sommets d’un pentagone régulier). L’angle au centre \(\widehat{EOI}\) mesure 72°, donc chacun des deux angles inscrits mesure la moitié, soit 36°.
Corrigé de l’exercice 6 : le toit de la véranda
1. Il faut 19 tuiles régence par m², vendues 1,2 € l’une. Le prix au m² est donc :
\[19 \times 1{,}2 = 22{,}80\ \text{€}\]
Le prix caché est 22,80 € par m². On contrôle la méthode avec la tuile romane : \(13 \times 1{,}79 = 23{,}27\) €, c’est bien la valeur du tableau. Remarque : certaines versions du sujet indiquent un prix unitaire de 1,24 € pour la tuile régence ; on trouverait alors \(19 \times 1{,}24 = 23{,}56\) € par m².
2. Les points B, C, D sont alignés sur le montant vertical, avec C entre B et D, donc \(DC = BD – BC = 3{,}10 – 2{,}10 = 1\) m.
Dans le triangle DEC rectangle en C, le côté [DC] est opposé à l’angle \(\widehat{DEC}\) et [EC] lui est adjacent :
\[\tan \widehat{DEC} = \dfrac{DC}{EC} = \dfrac{1}{2{,}85}\]
La calculatrice donne \(\widehat{DEC} \approx 19{,}3°\). Cette pente est supérieure à 15° (tuile romane) et à 18° (tuile régence) : oui, la pente permet la pose des deux modèles.
3. Surface du toit. Le toit EDGF est un rectangle de côtés ED et EF. Puis on calcule ED dans le triangle DEC rectangle en C avec le théorème de Pythagore :
\[ED^2 = EC^2 + DC^2 = 2{,}85^2 + 1^2 = 8{,}1225 + 1 = 9{,}1225 \qquad ED = \sqrt{9{,}1225} \approx 3{,}0203\ \text{m}\]
\[\text{Aire} = ED \times EF \approx 3{,}0203 \times 6{,}10 \approx 18{,}424\ \text{m}^2\]
Hausse de 5 %. Augmenter de 5 % revient à multiplier par 1,05 : \(18{,}424 \times 1{,}05 \approx 19{,}345\ \text{m}^2\).
Nombre de tuiles. Il faut 13 tuiles romanes par m² : \(19{,}345 \times 13 \approx 251{,}5\). Les tuiles se vendent à l’unité et il ne faut pas en manquer, donc on arrondit à l’entier supérieur : Mélanie doit prévoir d’acheter 252 tuiles.
Attention à l’arrondi : si l’on arrondit ED à 3 m dès le début, on trouve \(3 \times 6{,}10 \times 1{,}05 \times 13 \approx 249{,}8\), soit 250 tuiles, ce qui en ferait manquer. Garde les valeurs exactes (ou la calculatrice) jusqu’au résultat final.
Corrigé de l’exercice 7 : pizzas rondes ou carrées
1. Notons \(x\) le prix en euros d’une pizza ronde. Une pizza carrée coûte 1 € de plus, soit \(x + 1\). Pierre paie les deux :
\[x + (x + 1) = 14{,}20 \quad \text{donc} \quad 2x + 1 = 14{,}20 \quad \text{donc} \quad 2x = 13{,}20 \quad \text{donc} \quad x = 6{,}60\]
La pizza ronde coûte 6,60 € et la pizza carrée 7,60 €. Vérification : \(6{,}60 + 7{,}60 = 14{,}20\) €.
2. Les pizzas ont la même épaisseur : il suffit de comparer les aires des parts.
Pizza ronde : son rayon vaut \(34 \div 2 = 17\) cm, son aire \(\pi \times 17^2 = 289\pi \approx 907{,}9\ \text{cm}^2\). Une part (un huitième) mesure \(\dfrac{289\pi}{8} \approx 113{,}5\ \text{cm}^2\).
Pizza carrée : son aire vaut \(34^2 = 1\,156\ \text{cm}^2\). Une part (un neuvième) mesure \(\dfrac{1\,156}{9} \approx 128{,}4\ \text{cm}^2\).
Comme \(128{,}4 \gt 113{,}5\), les parts les plus grandes sont celles de la pizza carrée.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé septembre 2016
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Quant au théorème de Pythagore, commence par nommer l’angle droit, car c’est lui qui désigne l’hypoténuse dans l’égalité. Dans les questions sur le théorème de Thalès, cite d’abord les deux droites parallèles et les points alignés, ensuite seulement l’égalité des trois rapports. Pour les pourcentages, précise toujours la quantité de référence, car un pourcentage n’a de sens que par rapport à elle. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de théorème de Pythagore, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé septembre 2016, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé septembre 2016
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2016 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2016. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, les pourcentages et le tableur. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé septembre 2016
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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