Corrigé du brevet de maths 2024 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2024 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Nord 2024
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Nord 2024 est découpé en 5 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Vrai ou faux » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Programme de calcul » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Tarifs de cinéma » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Terrasse en béton » (exercice 4). Enfin, la correction reprend « Triangles et Scratch » (exercice 5).
Ainsi, le corrigé corrigé Nord 2024 te fait revoir la médiane et les statistiques, les nombres premiers, les agrandissements et réductions, les aires et les équations, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2024) : cinq affirmations vrai ou faux
1. Affirmation A. La moyenne se calcule en additionnant les cinq prix puis en divisant par l’effectif, qui vaut 5.
\[\dfrac{12+15+10+7+13}{5}=\dfrac{57}{5}=11{,}4\]
La moyenne est bien de 11,40 €. L’affirmation A est vraie.
Affirmation B. Pour trouver la médiane, on range d’abord les prix dans l’ordre croissant : 7 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15. Il y a 5 valeurs (nombre impair), la médiane est donc la 3e valeur de la liste rangée : 12 €. Il y a autant de prix en dessous (7 et 10) qu’au-dessus (13 et 15). L’affirmation B est fausse : la médiane vaut 12 €.
2. Affirmation C. La vitesse moyenne est \(v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{20\ \text{m}}{6\ \text{s}}\). Pour passer en km/h, le plus sûr est de raisonner sur une heure, soit 3 600 secondes. En 6 s l’élève parcourt 20 m ; en 3 600 s, qui font \(600 \times 6\) s, elle parcourrait \(600 \times 20 = 12\ 000\) m, c’est-à-dire 12 km.
Sa vitesse moyenne est donc de 12 km/h et non de 14 km/h. L’affirmation C est fausse.
3. Affirmation D. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (1 n’est donc pas premier). Entre 1 et 15, les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13 : il y en a 6. Les boules étant indiscernables, on est dans une situation d’équiprobabilité :
\[P(\text{nombre premier})=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\]
Or \(\dfrac{7}{15}\neq\dfrac{6}{15}\). L’affirmation D est fausse : la probabilité vaut \(\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\). (L’erreur classique est de compter 1 ou 9 comme premiers.)
4. Affirmation E. Une homothétie de rapport \(k\) multiplie toutes les longueurs par \(|k|\) (le signe moins indique seulement que la figure est « retournée » de l’autre côté du centre O). Ici les longueurs sont multipliées par 3. Une aire est le produit de deux longueurs, elle est donc multipliée par \(3 \times 3 = 3^2 = 9\).
L’aire de A’B’C’ vaut 9 fois celle de ABC. L’affirmation E est fausse.
Corrigé de l’exercice 2 : programme de calcul et équation produit nul
1. D’abord, on suit les deux branches avec 2 comme nombre de départ.
Branche de gauche : \(2+2=4\), puis \(4 \times 4=16\).
Branche de droite : \(2 \times 5=10\), puis \(10-3=7\).
Ensuite, on multiplie les deux nombres : \(16 \times 7=112\).
Puis on obtient bien 112 à l’arrivée.
2. Même méthode avec \(-3\).
Branche de gauche : \(-3+2=-1\), puis \(-1 \times 4=-4\).
Branche de droite : \(-3 \times 5=-15\), puis \(-15-3=-18\).
Produit : \((-4) \times (-18)=72\) (le produit de deux nombres négatifs est positif).
Le résultat à l’arrivée est 72.
3. Avec \(x\) au départ, la branche de gauche donne \((x+2) \times 4\) et la branche de droite \(5x-3\). Le résultat est donc \((x+2) \times 4 \times (5x-3)\), c’est exactement l’expression D. En développant \(4(x+2)=4x+8\), on retrouve l’expression C.
L’expression A ne convient pas : à cause des priorités, \(x+2 \times 4\) vaut \(x+8\) et non \(4(x+2)\). L’expression B non plus : \(4x+2\) revient à multiplier par 4 avant d’ajouter 2 (avec 2 au départ, elle donne \(10 \times 7=70\) et pas 112).
Les expressions C et D conviennent.
4. Alors on cherche les valeurs de \(x\) pour lesquelles \((4x+8)(5x-3)=0\). Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[4x+8=0 \quad \text{ou} \quad 5x-3=0\]
\[4x=-8 \quad \text{ou} \quad 5x=3\]
\[x=-2 \quad \text{ou} \quad x=\dfrac{3}{5}=0{,}6\]
Vérification avec \(-2\) : à gauche \(-2+2=0\), et 0 multiplié par n’importe quel nombre donne 0. Avec 0,6 : à droite \(0{,}6 \times 5-3=0\). Les deux nombres de départ qui donnent 0 sont \(-2\) et \(0{,}6\).
5. Ensuite, on utilise la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
\[(4x+2)(5x-3)=4x \times 5x+4x \times (-3)+2 \times 5x+2 \times (-3)\]
\[(4x+2)(5x-3)=20x^2-12x+10x-6\]
En regroupant les termes en \(x\) : \((4x+2)(5x-3)=20x^2-2x-6\).
Corrigé de l’exercice 3 : trois tarifs de cinéma
1. Au tarif « Classique », chaque entrée coûte 11 € : \(3 \times 11=33\). La personne paiera 33 €.
2. Au tarif « Essentiel », on paie l’abonnement de 50 € une fois, puis 5 € par séance : \(50+8 \times 5=50+40=90\). Elle paiera bien 90 €.
3. Le prix au tarif « Classique » est \(11x\), au tarif « Essentiel » \(50+5x\), et au tarif « Liberté » il reste 240 € quel que soit le nombre d’entrées. Donc :
- \(f\) correspond au tarif « Essentiel » ;
- \(g\) correspond au tarif « Liberté » ;
- \(h\) correspond au tarif « Classique ».
4. Un prix est proportionnel au nombre d’entrées quand il s’obtient en multipliant ce nombre par un coefficient fixe : c’est une fonction linéaire, représentée par une droite qui passe par l’origine. C’est le cas de \(h(x)=11x\) et de la droite \((\mathrm{d}_1)\). Le tarif \(f\) ne l’est pas à cause des 50 € d’abonnement (8 entrées coûtent 90 €, mais 16 entrées ne coûtent pas 180 €, seulement 130 €). C’est le tarif « Classique » qui est proportionnel.
5. a. Sur le graphique, la droite horizontale d’ordonnée 150 coupe \((\mathrm{d}_2)\) au point d’abscisse 20. Par le calcul : \(50+5x=150\) donne \(5x=100\), soit \(x=20\). On peut acheter 20 entrées au maximum.
b. Les droites \((\mathrm{d}_2)\) et \((\mathrm{d}_3)\) se coupent au point d’abscisse 38 : pour 38 entrées, « Essentiel » coûte \(50+5 \times 38=240\) €, autant que « Liberté ». Au-delà, \((\mathrm{d}_3)\) passe sous les deux autres droites (le tarif « Classique » dépasse 240 € dès 22 entrées). Le tarif « Liberté » est le plus intéressant à partir de 39 entrées (pour 38 entrées, il est à égalité avec « Essentiel »).
c. Avec 200 € au plus, le tarif « Liberté » (240 €) est impossible. Au tarif « Classique », \(11x \leqslant 200\) donne au plus 18 entrées (\(18 \times 11=198\)). Au tarif « Essentiel », \(50+5x \leqslant 200\) donne \(5x \leqslant 150\), soit 30 entrées. Sur le graphique, c’est la droite \((\mathrm{d}_2)\) qui atteint l’ordonnée 200 le plus à droite. C’est le tarif « Essentiel » (30 entrées).
Corrigé de l’exercice 4 : la terrasse en béton
1. EFGH est un rectangle, donc ses côtés opposés ont la même longueur : EF = HG = 6 m. Les points E, F et J sont alignés dans cet ordre, donc FJ = EJ − EF = 10 − 6 = 4 m.
2. Les planches font le tour de la face supérieure EFJGH : il faut son périmètre, donc la longueur GJ qui manque encore.
Comme EFGH est un rectangle, FG = HE = 3 m. Le triangle FJG est rectangle en F, d’hypoténuse [GJ]. D’après le théorème de Pythagore :
\[GJ^2=FG^2+FJ^2=3^2+4^2=9+16=25\]
donc \(GJ=\sqrt{25}=5\) m.
Périmètre : EJ + JG + GH + HE = 10 + 5 + 6 + 3 = 24 m. Ils doivent acheter au minimum 24 m de planches.
3. a. La terrasse est un prisme droit dont la base est le trapèze EFJGH et dont la hauteur vaut 15 cm = 0,15 m. L’aire de la base est celle du rectangle EFGH plus celle du triangle rectangle FJG :
\[\mathcal{A}=6 \times 3+\dfrac{4 \times 3}{2}=18+6=24\ \text{m}^2\]
\[V=\mathcal{A} \times h=24 \times 0{,}15=3{,}6\ \text{m}^3\]
Le volume de la terrasse est de \(3{,}6\ \text{m}^3\), bien inférieur à \(4\ \text{m}^3\). (Attention à convertir la hauteur en mètres avant de multiplier.)
b. La masse de ciment est proportionnelle au volume de béton : \(4 \times 250=1\ 000\). Il leur faut 1 000 kg de ciment.
c. Le ratio \(2 : 7 : 5\) signifie qu’en partageant le mélange en « parts » égales, le ciment en représente 2, le gravier 7 et le sable 5. Les 1 000 kg de ciment correspondent à 2 parts, donc une part pèse \(1\ 000 \div 2=500\) kg.
Gravier : \(7 \times 500=3\ 500\) kg. Sable : \(5 \times 500=2\ 500\) kg.
Il faut 3 500 kg de gravier et 2 500 kg de sable.
4. La surface à peindre est la face supérieure, d’aire 24 m² (question 3.a). Il faut deux couches, soit l’équivalent de \(2 \times 24=48\) m² à couvrir. Un litre couvre 5 m², il faut donc \(48 \div 5=9{,}6\) litres de peinture.
Il faut au moins 10 litres. Puis on compare les possibilités qui suffisent :
- un pot B de 10 L : 129,90 € ;
- deux pots A de 5 L : le deuxième pot, identique, bénéficie de la réduction de 50 %, il coûte \(79{,}90 \div 2=39{,}95\) €, d’où un total de \(79{,}90+39{,}95=119{,}85\) € ;
- toute autre combinaison (un pot A et un pot B, trois pots A…) donne plus de peinture que nécessaire et coûte plus cher.
Le coût minimum est obtenu en achetant deux pots A, pour 119,85 €.
Corrigé de l’exercice 5 : triangles équilatéraux et Scratch
Partie A
1. D’après le codage, les angles \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{CBA}\) sont égaux, donc \(\widehat{CBA}=\widehat{CAB}=60^\circ\). La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc :
\[\widehat{ACB}=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ\]
Le triangle ABC a trois angles de 60°. Un triangle dont les trois angles mesurent 60° est équilatéral : ABC est équilatéral, et ses côtés mesurent tous 240 mm.
2. Le codage indique CD = CE = DE : le triangle CDE est équilatéral, donc ses angles mesurent tous 60° ; en particulier \(\widehat{DEC}=60^\circ\).
Les droites (DE) et (AB) sont coupées par la sécante (AE). Les angles \(\widehat{DEC}\) et \(\widehat{BAC}\) sont situés de part et d’autre de cette sécante et entre les deux droites : ce sont des angles alternes-internes. Ils mesurent tous les deux 60°. Or, si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes égaux, alors ces droites sont parallèles. Les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
Autre méthode possible : A, C, E et B, C, D sont alignés dans le même ordre, et \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{80}{240}=\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{80}{240}=\dfrac{1}{3}\) ; ces rapports étant égaux, la réciproque du théorème de Thalès permet aussi de conclure.
Partie B
1. La ligne 2 envoie le lutin au point de départ : ses coordonnées sont \((-180\ ;\ -150)\).
2. Le premier appel du bloc « triangle » (ligne 5) trace le grand triangle ABC, dont les côtés mesurent 240 mm, soit 240 pas. Il faut donc saisir 240 à la ligne 4.
3. Suivons le lutin. Au départ il est en A (case D8), tourné vers la droite. Le bloc « triangle » le fait avancer puis tourner de 120° trois fois : il revient en A, de nouveau orienté vers la droite (\(3 \times 120^\circ=360^\circ\)). La ligne 6 le fait tourner de 60° vers la gauche : il pointe alors dans la direction de [AC]. La ligne 7 le fait avancer de 240 pas, la longueur AC : il s’arrête au point C, là où les deux triangles se touchent. Sur le quadrillage, ce point est dans la case G3.
4. Après la ligne 8, la variable « côté » vaut \(240 \div 3=80\). Le second appel du bloc « triangle », qui démarre en C dans la direction de E, trace alors le petit triangle équilatéral CED de côté 80 mm, qui est bien la longueur CE de l’énoncé. L’instruction « côté / 3 » sert donc à tracer le petit triangle avec des côtés 3 fois plus courts que ceux du grand (80 mm au lieu de 240 mm), c’est-à-dire une réduction de rapport \(\dfrac{1}{3}\).
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Comment utiliser le corrigé corrigé Nord 2024
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Pour la médiane et les statistiques, compte l’effectif total avant tout, car c’est lui qui donne le rang de la médiane. En ce qui concerne les nombres premiers, teste la divisibilité par 2, 3, 5 puis 7, ainsi la décomposition en facteurs premiers devient rapide. Quant aux agrandissements et réductions, souviens-toi que les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³, donc repère bien le coefficient k. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de médiane, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Nord 2024, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Nord 2024
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2024 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2024. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement la médiane et les statistiques, les nombres premiers, les agrandissements et réductions et les aires. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Nord 2024
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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