Corrigé du brevet de maths 2024 : Centres étrangers
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2024 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé étrangers 2024
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé étrangers 2024 est découpé en 5 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « QCM de cinq questions » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Circuits et facteurs premiers » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Programme de calcul et fonction » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Pythagore, Thalès et homothétie » (exercice 4). Enfin, la correction reprend « Chapeau de sorcier en cône » (exercice 5).
Ainsi, le corrigé corrigé étrangers 2024 te fait revoir les probabilités, le théorème de Pythagore, la trigonométrie, le théorème de Thalès et les agrandissements et réductions, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé de l’exercice 1 (étrangers 2024) : QCM (écriture scientifique, vitesse, probabilité, statistiques, fractions)
1. Une écriture scientifique est de la forme \(a \times 10^{n}\) avec \(1 \leqslant a \lt 10\). Ici 0,193 est trop petit : on l’écrit \(0{,}193 = 1{,}93 \times 10^{-1}\).
\[0{,}193 \times 10^{-100} = 1{,}93 \times 10^{-1} \times 10^{-100} = 1{,}93 \times 10^{-1-100} = 1{,}93 \times 10^{-101}\]
Réponse : \(1{,}93 \times 10^{-101}\) (deuxième case). Puis les réponses avec 193 ne sont pas des écritures scientifiques, puisque 193 dépasse 10.
2. Attention au piège : 5 h 42 min ne vaut pas 5,42 h. Ensuite, une minute est un soixantième d’heure, donc \(42\ \text{min} = \dfrac{42}{60}\ \text{h} = 0{,}7\ \text{h}\) et la durée du trajet est 5,7 h.
\[v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{480}{5{,}7} \approx 84{,}21\ \text{km/h}\]
Réponse : 84,2 km/h (deuxième case).
3. La roue compte 15 secteurs qui ont tous la même chance d’être désignés : on est dans une situation d’équiprobabilité, et chaque secteur a une probabilité de \(\dfrac{1}{15}\).
En comptant sur la figure, 8 secteurs portent le nombre 2, 6 secteurs portent le nombre 1 et un secteur est vide. Puis pour obtenir une probabilité de \(\dfrac{3}{5}\), il faut \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}\), c’est-à-dire 9 secteurs marqués 2 sur 15.
Il manque donc exactement un secteur marqué 2 : il suffit d’écrire 2 dans le secteur effacé. Si on le laisse vide, la probabilité reste \(\dfrac{8}{15}\), et si on écrit 1 elle vaut aussi \(\dfrac{8}{15}\).
Réponse : Oui, en écrivant le nombre 2.
4. Ensuite, on range la liste dans l’ordre croissant : 1 ; 3 ; 5 ; 10 ; 10 ; 11 ; 17. De plus, il y a 7 valeurs.
Corrigé de l’exercice 1 (étrangers 2024) : QCM (écriture (suite)
- La médiane est la 4e valeur (3 valeurs avant, 3 après) : c’est 10.
- L’étendue est \(17 – 1 = 16\).
- La moyenne est \(\dfrac{1+3+5+10+10+11+17}{7} = \dfrac{57}{7} \approx 8{,}1\).
Aucun de ces indicateurs ne vaut 5. Réponse : Rien de particulier.
5. Après la réservation, il reste à payer \(1 – \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\) du prix. Ensuite, ce reste est partagé en trois parts égales, donc chaque paiement représente :
\[\dfrac{4}{5} \div 3 = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{15}\]
Réponse : \(\dfrac{4}{15}\) (troisième case). Vérification : \(\dfrac{1}{5} + 3 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{12}{15} = 1\), on retrouve bien le prix entier.
Corrigé de l’exercice 2 : circuits d’entraînement et multiples communs
1. Sur le circuit 1, chaque exercice occupe 40 s d’effort plus 16 s de repos pour rejoindre le poste suivant, soit 56 s. Par ailleurs, le repos qui suit l’exercice 5 correspond au retour vers l’exercice 1, donc il fait partie du tour. Avec 5 exercices :
\[5 \times (40 + 16) = 5 \times 56 = 280\ \text{s}\]
Sur le circuit 2, chaque exercice occupe \(30 + 5 = 35\) s, et il y a 10 exercices :
\[10 \times (30 + 5) = 10 \times 35 = 350\ \text{s}\]
Le circuit 1 dure bien 280 secondes et le circuit 2 dure bien 350 secondes.
2. Puis on divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7…
\(280 = 2 \times 140 = 2 \times 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7\), donc \(280 = 2^{3} \times 5 \times 7\).
\(350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5 \times 5 \times 7\), donc \(350 = 2 \times 5^{2} \times 7\).
3. a. Camille revient au départ à la fin de chaque tour, c’est-à-dire après 280 s, 560 s, 840 s… donc à chaque multiple de 280. Or \(2\,800 = 280 \times 10\) : au bout de 2 800 s, Camille vient de terminer exactement son 10e tour, elle se trouve donc de nouveau au départ du circuit 1.
Pour Dominique, on calcule \(2\,800 \div 350 = 8\). Puis le quotient est un nombre entier : Dominique a fait exactement 8 tours complets. Dominique est donc, elle aussi, au départ (exercice 1) du circuit 2.
b. Les deux sportifs sont ensemble au départ à un instant qui est à la fois un multiple de 280 et un multiple de 350. Ensuite, la première fois, c’est le plus petit multiple commun non nul de 280 et 350.
Corrigé de l’exercice 2 : circuits d’entraînement et multiples communs (suite)
À l’aide des décompositions, ce nombre doit contenir au moins \(2^{3}\) (à cause de 280), au moins \(5^{2}\) (à cause de 350) et le facteur 7 :
\[2^{3} \times 5^{2} \times 7 = 8 \times 25 \times 7 = 1\,400\]
Alors on vérifie : \(1\,400 = 280 \times 5\) et \(1\,400 = 350 \times 4\). Camille a fait 5 tours et Dominique 4 tours. Aucun nombre plus petit ne convient : les multiples de 350 inférieurs sont 350, 700 et 1 050, et aucun n’est divisible par 280.
Conversion : \(1\,400 = 23 \times 60 + 20\), car \(23 \times 60 = 1\,380\). Puis ils se retrouvent pour la première fois au départ au bout de 1 400 s, soit 23 min 20 s.
Corrigé de l’exercice 3 : programme de calcul, script et fonction
Partie A
1. Ensuite, on part de 5. Branche de gauche : \(5 – 2 = 3\). Branche de droite : \(5 + 1 = 6\). De plus, on multiplie les deux résultats : \(3 \times 6 = 18\). Ensuite, le résultat final est bien 18.
2. On part de \(-\dfrac{3}{2}\), c’est-à-dire \(-1{,}5\).
Branche de gauche : \(-\dfrac{3}{2} – 2 = -\dfrac{3}{2} – \dfrac{4}{2} = -\dfrac{7}{2}\). Branche de droite : \(-\dfrac{3}{2} + 1 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{2} = -\dfrac{1}{2}\).
\[\left(-\dfrac{7}{2}\right) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4}\]
Le produit de deux nombres négatifs est positif. Le résultat final est \(\dfrac{7}{4}\), soit 1,75.
3. La variable a doit contenir le résultat de la branche « soustraire 2 », la variable b celui de la branche « ajouter 1 », puis le lutin annonce leur produit. Le script complété :
- ligne 3 : mettre a à (réponse − 2), on écrit 2 dans la case vide ;
- ligne 4 : mettre b à (réponse + 1), on écrit 1 dans la case vide ;
- ligne 5 : dire (a * b) pendant 2 secondes, on glisse le bloc variable a dans la première case et le bloc variable b dans la seconde.
Partie B
1. Puis on développe avec la double distributivité :
\[(x-2)(x+1) = x \times x + x \times 1 – 2 \times x – 2 \times 1 = x^{2} + x – 2x – 2 = x^{2} – x – 2\]
Ensuite, on a bien \((x-2)(x+1) = x^{2} – x – 2\) pour tout nombre \(x\).
2. a. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul. Donc \((x-2)(x+1) = 0\) équivaut à :
\(x – 2 = 0\) ou \(x + 1 = 0\), c’est-à-dire \(x = 2\) ou \(x = -1\).
L’équation a deux solutions : 2 et \(-1\).
b. D’après la question 1, \(g(x) = (x-2)(x+1)\). Les antécédents de 0 sont les nombres \(x\) tels que \(g(x) = 0\) : ce sont les solutions trouvées en a. Les antécédents de 0 par \(g\) sont 2 et \(-1\).
Corrigé de l’exercice 3 : programme de calcul, script et fonction (suite)
3. La courbe de \(g\) doit couper l’axe des abscisses en \(-1\) et en 2 (antécédents de 0) et passer par le point de coordonnées \((0 ; -2)\), puisque \(g(0) = -2\). Le graphique 1 coupe l’axe en 2 mais pas en \(-1\), le graphique 2 coupe l’axe en \(-1\) mais pas en 2, et ces deux droites passent par \((0 ; 2)\). Seul le graphique 3 convient ; c’est d’ailleurs une courbe et non une droite, ce qui est normal car \(g\) n’est pas une fonction affine.
4. Si on choisit un nombre \(x\), la branche de gauche donne \(x – 2\), celle de droite \(x + 1\), et le résultat final est \((x-2)(x+1)\), c’est-à-dire \(g(x)\). Obtenir 0 revient à résoudre \((x-2)(x+1) = 0\), déjà fait en 2. a.
Il faut choisir 2 ou \(-1\). Vérification : avec 2, on obtient \(0 \times 3 = 0\) ; avec \(-1\), on obtient \((-3) \times 0 = 0\).
Corrigé de l’exercice 4 : Pythagore, trigonométrie, Thalès et homothétie
1. Dans le triangle ABE, le plus grand côté est [AB], avec AB = 5,5 cm. Puis on compare le carré de ce côté à la somme des carrés des deux autres :
\[\text{AB}^{2} = 5{,}5^{2} = 30{,}25 \qquad \text{AE}^{2} + \text{EB}^{2} = 4{,}4^{2} + 3{,}3^{2} = 19{,}36 + 10{,}89 = 30{,}25\]
Alors on a l’égalité \(\text{AB}^{2} = \text{AE}^{2} + \text{EB}^{2}\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en E (l’angle droit est opposé au plus grand côté [AB]).
2. Dans le triangle ABE rectangle en E, pour l’angle \(\widehat{\text{ABE}}\) : [EB] est le côté adjacent et [AB] l’hypoténuse. Ensuite, on utilise le cosinus :
\[\cos\widehat{\text{ABE}} = \dfrac{\text{EB}}{\text{AB}} = \dfrac{3{,}3}{5{,}5} = 0{,}6\]
À la calculatrice, \(\widehat{\text{ABE}} = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13^{\circ}\). Arrondi au degré : \(\widehat{\text{ABE}} \approx 53^{\circ}\).
3. Les points E, A, F d’une part et E, B, D d’autre part sont alignés, et les droites (AB) et (FD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles EAB et EFD :
\[\dfrac{\text{EA}}{\text{EF}} = \dfrac{\text{EB}}{\text{ED}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{FD}}\]
B est sur le segment [ED], donc \(\text{ED} = \text{EB} + \text{BD} = 3{,}3 + 6{,}6 = 9{,}9\) cm. Puis on utilise l’égalité \(\dfrac{\text{EB}}{\text{ED}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{FD}}\), soit \(\dfrac{3{,}3}{9{,}9} = \dfrac{5{,}5}{\text{FD}}\).
\[\text{FD} = \dfrac{5{,}5 \times 9{,}9}{3{,}3} = 5{,}5 \times 3 = 16{,}5\]
La longueur FD mesure 16,5 cm.
4. L’homothétie de centre E envoie B sur D, et D est du même côté de E que B. Le rapport est donc positif et vaut \(\dfrac{\text{ED}}{\text{EB}} = \dfrac{9{,}9}{3{,}3} = 3\). C’est un agrandissement de rapport 3 (on retrouve \(\text{FD} = 3 \times \text{AB} = 16{,}5\) cm).
Corrigé de l’exercice 5 : le chapeau de sorcier en forme de cône
Partie A
1. La hauteur [OS] est perpendiculaire au rayon [OM] de la base : le triangle SOM est rectangle en O, d’hypoténuse [MS]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{MS}^{2} = \text{OM}^{2} + \text{OS}^{2} = 9^{2} + 30^{2} = 81 + 900 = 981\]
Donc \(\text{MS} = \sqrt{981} \approx 31{,}32\) cm. Arrondie au dixième, MS ≈ 31,3 cm.
2. Le tour du chapeau est le périmètre du cercle de base, de rayon 9 cm :
\[P = 2 \times \pi \times 9 = 18\pi \approx 56{,}5\ \text{cm}\]
Le chapeau fait environ 56,5 cm de tour, un peu plus que les 56 cm du tour de tête de Léo : il pourra l’enfiler sans qu’il soit beaucoup trop large. Les dimensions sont adaptées.
3. a. Le cercle de centre S et de rayon SM a pour rayon 31,3 cm, donc pour longueur :
\[L = 2 \times \pi \times 31{,}3 = 62{,}6\pi \approx 196{,}66\ \text{cm}\]
Arrondie au dixième, la longueur du cercle est bien 196,7 cm.
b. Le cercle complet correspond à un angle de 360° et à une longueur d’arc de 196,7 cm. On place donc 196,7 sous 360 :
| Mesure de l’angle \(\widehat{\text{M}^{\prime}\text{SM}}\) (en degré) | 360 | 103 |
|---|---|---|
| Longueur de l’arc \(\overset{\frown}{\text{M}^{\prime}\text{M}}\) (en centimètre) | 196,7 | 56,5 |
c. L’angle est proportionnel à la longueur de l’arc. Avec le produit en croix (quatrième proportionnelle) :
\[\widehat{\text{M}^{\prime}\text{SM}} = \dfrac{360 \times 56{,}5}{196{,}7} = \dfrac{20\,340}{196{,}7} \approx 103{,}4^{\circ}\]
Arrondi au degré, Léo doit tracer un angle \(\widehat{\text{M}^{\prime}\text{SM}} \approx 103^{\circ}\) (c’est la valeur à reporter dans la case vide du tableau).
Corrigé de l’exercice 5 : le chapeau de sorcier en forme de cône (suite)
Partie B
1. Le chapeau est un cône de rayon \(R = 9\) cm et de hauteur \(h = 30\) cm :
\[V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9^{2} \times 30 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 81 \times 30 = 810\pi \approx 2\,544{,}7\ \text{cm}^{3}\]
Arrondi au cm³, le volume total est bien 2 545 cm³.
2. Les bonbons remplissent la pointe du chapeau jusqu’à mi-hauteur : ils forment un petit cône de même sommet, de hauteur 15 cm au lieu de 30 cm. Ce petit cône est une réduction du grand de rapport \(k = \dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}\).
Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^{3}\). Ici \(k^{3} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\).
Le volume des bonbons vaut donc 12,5 % du volume du chapeau, soit environ \(\dfrac{810\pi}{8} \approx 318\ \text{cm}^{3}\). Autre méthode : le petit cône a un rayon de 4,5 cm, donc \(V^{\prime} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4{,}5^{2} \times 15 = 101{,}25\pi \approx 318\ \text{cm}^{3}\), et \(\dfrac{101{,}25\pi}{810\pi} = 0{,}125\).
Comme 12,5 % est inférieur à 15 %, l’estimation de Léo est correcte : remplir le chapeau jusqu’à mi-hauteur ne représente qu’un huitième de son volume.
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Comment utiliser le corrigé corrigé étrangers 2024
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Pour les probabilités, compte les issues favorables et le nombre total d’issues, puis vérifie que ta probabilité reste comprise entre 0 et 1. En ce qui concerne le théorème de Pythagore, commence par nommer l’angle droit, car c’est lui qui désigne l’hypoténuse dans l’égalité. Quant à la trigonométrie, repère d’abord le côté adjacent et le côté opposé à l’angle, car une erreur à cette étape fausse tout le calcul. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de probabilité, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé étrangers 2024, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé étrangers 2024
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2024 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2024. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les probabilités, le théorème de Pythagore, la trigonométrie et le théorème de Thalès. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé étrangers 2024
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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