Première · fiche 6 sur 11

Trigonométrie

Le cercle trigonométrique transforme un angle en un point du plan. Cosinus et sinus ne sont que l'abscisse et l'ordonnée de ce point.

L'essentiel en trois points

Un tour complet vaut $2\pi$ radians, soit 360°.
Pour tout réel $x$ : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, et $-1 \le \cos x \le 1$.
Deux réels qui diffèrent de $2\pi$ repèrent le même point du cercle.

Radians et cercle trigonométrique

À savoir — la mesure en radians

Un tour complet vaut $2\pi$ radians. La conversion se fait par proportionnalité : $180° = \pi$ rad, donc $60° = \dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{4} = 45°$.

À savoir — enroulement

On enroule la droite des réels autour du cercle de rayon $1$. Le réel $x$ vient se placer en un point $M$ : son abscisse est $\cos x$, son ordonnée $\sin x$.

Règle — conséquences immédiates

$-1 \le \cos x \le 1$ et $-1 \le \sin x \le 1$ ; $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ; $\cos(x+2\pi) = \cos x$ et $\sin(x+2\pi) = \sin x$.

Les valeurs remarquables

Règle — le tableau à connaître

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Astuce

Le cosinus décroît de $1$ à $0$ tandis que le sinus croît de $0$ à $1$ : les deux lignes se lisent l'une à l'envers de l'autre. Cela divise par deux ce qu'il y a à mémoriser.

Angles associés

Règle — les formules

$\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$.
$\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.

Astuce

Plutôt que d'apprendre ces formules par cœur, placez le point sur le cercle : la symétrie se lit directement sur le dessin.

Équations trigonométriques

Comment faire — résoudre $\cos x = a$

On repère les points du cercle d'abscisse $a$ : il y en a deux, symétriques par rapport à l'axe horizontal. Les solutions sont $x = \alpha + 2k\pi$ et $x = -\alpha + 2k\pi$, avec $k$ entier.

Exemple guidé

$\cos x = \dfrac12$ sur $]-\pi\ ;\ \pi]$ : les solutions sont $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$.

Piège à éviter

Sans intervalle précisé, il existe une infinité de solutions et il faut écrire le « $+2k\pi$ ». L'oublier fait perdre la moitié des points.

Vérifiez que vous savez faire

convertir des degrés en radians et inversement
placer un réel sur le cercle trigonométrique
connaître les valeurs remarquables de cosinus et sinus
utiliser les formules d'angles associés
résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle donné

On nous pose souvent ces questions

Comment convertir des degrés en radians ?

Par proportionnalité, sachant que 180 degrés correspondent à pi radians. Ainsi 60 degrés valent pi tiers.

Pourquoi deux réels distants de deux pi ont-ils le même cosinus ?

Parce qu'ils repèrent le même point sur le cercle trigonométrique : ajouter deux pi revient à faire un tour complet.

Pourquoi faut-il écrire plus deux k pi dans les solutions ?

Parce qu'une équation trigonométrique posée sur l'ensemble des réels admet une infinité de solutions, obtenues en ajoutant un nombre entier de tours.

Travailler ce chapitre plus loin

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