Première · fiche 2 sur 11

Suites numériques

Une suite se donne de deux façons : par une formule explicite, qui calcule n'importe quel terme directement, ou par une récurrence, qui exige de passer par tous les précédents.

L'essentiel en trois points

Arithmétique : on ajoute toujours la même raison $r$, et $u_n = u_0 + nr$.
Géométrique : on multiplie toujours par la même raison $q$, et $u_n = u_0 \times q^n$.
Pour reconnaître la nature d'une suite, on calcule $u_{n+1}-u_n$ puis $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

Deux modes de génération

À savoir — explicite et par récurrence

Explicite : $u_n = 3n+2$, chaque terme se calcule directement.
Par récurrence : $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$, il faut calculer de proche en proche.

Suites arithmétiques

Règle — définition et terme général

$u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$. Alors $u_n = u_0 + nr$, et plus généralement $u_n = u_p + (n-p)r$.

Croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$.

Règle — somme des termes

$1+2+\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Plus généralement, la somme de termes consécutifs vaut $\text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.

Suites géométriques

Règle — définition et terme général

$u_{n+1} = q \times u_n$ pour tout $n$, avec $q \neq 0$. Alors $u_n = u_0 \times q^n$, et $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

Règle — somme des termes

Pour $q \neq 1$ : $1+q+q^2+\ldots+q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Exemple guidé

$u_0 = 1000$ et $q = 1{,}05$ modélise un capital placé à $5\%$ : $u_{10} = 1000 \times 1{,}05^{10} \approx 1629$.

Reconnaître la nature d'une suite

Comment faire — les deux tests

On calcule $u_{n+1}-u_n$ : si le résultat est une constante, la suite est arithmétique.
Sinon, on calcule $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : si le résultat est une constante, elle est géométrique.

Piège à éviter

Tester sur deux ou trois termes ne suffit pas à conclure : il faut mener le calcul avec $n$ quelconque. Des valeurs particulières peuvent coïncider par hasard.

Variations

Règle — suite géométrique

Pour $u_0 > 0$ : la suite est croissante si $q>1$, décroissante si $0

Vérifiez que vous savez faire

calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence
reconnaître une suite arithmétique ou géométrique
déterminer le terme général
calculer une somme de termes consécutifs
étudier le sens de variation d'une suite

On nous pose souvent ces questions

Comment reconnaître une suite arithmétique ou géométrique ?

On calcule la différence de deux termes consécutifs : si elle est constante, la suite est arithmétique. Sinon, on calcule leur quotient : s'il est constant, elle est géométrique.

Quelle différence entre définition explicite et définition par récurrence ?

La définition explicite permet de calculer n'importe quel terme directement. La définition par récurrence oblige à calculer tous les termes précédents.

Comment étudier le sens de variation d'une suite géométrique ?

Pour un premier terme positif, la suite croît si la raison dépasse 1 et décroît si la raison est comprise entre 0 et 1. Si la raison est négative, la suite n'est pas monotone.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Le cours complet : Suites numériques en PremièreLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
Les exercices corrigés : Les suites en PremièreLe chapitre traité en entier, avec ses énoncés et ses corrigés.
Le QCM du chapitre : Généralités sur les suites en PremièreDes questions à choix multiples corrigées pour se tester en quelques minutes.

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