Première · fiche 3 sur 11

Dérivation

Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente. Tout le calcul de dérivées sert à obtenir cette pente sans tracer quoi que ce soit.

L'essentiel en trois points

$f'(a)$ est la limite du taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.
Équation de la tangente en $a$ : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
$(uv)' = u'v + uv'$ : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

Le nombre dérivé

À savoir — du taux de variation à la pente

Le taux de variation entre $a$ et $a+h$ vaut $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ : c'est le coefficient directeur de la sécante. Quand $h$ tend vers $0$, cette sécante tend vers la tangente, et le taux vers $f'(a)$.

Règle — équation de la tangente

$y = f'(a)(x-a) + f(a)$

Exemple guidé

$f(x) = x^2$ en $a = 3$ : $f'(x) = 2x$ donc $f'(3) = 6$ et $f(3) = 9$. La tangente a pour équation $y = 6(x-3)+9 = 6x-9$.

Les dérivées usuelles

Règle — le tableau

$(k)' = 0$ ; $(x)' = 1$ ; $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ; $(e^x)' = e^x$.

Les opérations

Règle — les quatre règles

$(u+v)' = u'+v'$

$(ku)' = ku'$

$(uv)' = u'v + uv'$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Piège à éviter

$(uv)'$ n'est pas $u'v'$. Test rapide : avec $u=v=x$, $(x^2)' = 2x$ alors que $u'v' = 1$.

Astuce

Pour le quotient, l'ordre du numérateur compte : c'est $u'v - uv'$, jamais l'inverse. Le signe moins vient toujours en deuxième position.

Exemple guidé

$f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$ : avec $u = 2x+1$ et $v = x-3$, $f'(x) = \dfrac{2(x-3) - (2x+1)}{(x-3)^2} = \dfrac{-7}{(x-3)^2}$.

Composée simple

Règle — $(u^n)'$ et $e^u$

$\big(u^n\big)' = n\,u'\,u^{n-1}$ et $\big(e^u\big)' = u'e^u$.

$\big((3x+1)^4\big)' = 4 \times 3 \times (3x+1)^3 = 12(3x+1)^3$.

Vérifiez que vous savez faire

interpréter $f'(a)$ comme la pente de la tangente
écrire l'équation d'une tangente
dériver les fonctions usuelles
appliquer les règles de dérivation d'un produit et d'un quotient
dériver une expression du type $u^n$ ou $e^u$

On nous pose souvent ces questions

Que représente le nombre dérivé ?

C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point considéré.

La dérivée d'un produit est-elle le produit des dérivées ?

Non. Elle vaut u prime v plus u v prime. Un test simple avec u et v égaux à x le confirme.

Comment écrire l'équation d'une tangente ?

Elle vaut f prime de a multiplié par x moins a, le tout ajouté à f de a.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Le cours complet : Dérivée d'une fonction en PremièreLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
Les exercices corrigés : Dérivée en PremièreLe chapitre traité en entier, avec ses énoncés et ses corrigés.
Le QCM du chapitre : Dérivation en PremièreDes questions à choix multiples corrigées pour se tester en quelques minutes.

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