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Première · fiche 8 sur 11

Géométrie repérée : droites et cercles

Une équation cartésienne de droite se lit directement : les coefficients $a$ et $b$ donnent un vecteur normal, et l'orthogonalité devient un simple produit scalaire nul.

L'essentiel en trois points

  1. La droite $ax+by+c=0$ admet $\vec{n}(a ; b)$ comme vecteur normal et $\vec{u}(-b ; a)$ comme vecteur directeur.
  2. Le cercle de centre $\Omega(a ; b)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x-a)^2+(y-b)^2 = R^2$.
  3. Une tangente au cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.

Droites

Règle — vecteurs directeur et normal

La droite d'équation $ax+by+c = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}(a\ ;\ b)$ et pour vecteur directeur $\vec{u}(-b\ ;\ a)$.

Comment faire — équation avec un point et un vecteur normal

Si $\vec{n}(a\ ;\ b)$ est normal et $A(x_A\ ;\ y_A)$ appartient à la droite, alors $M(x\ ;\ y)$ est sur la droite si et seulement si $\vec{AM}\cdot\vec{n} = 0$, soit $a(x-x_A)+b(y-y_A) = 0$.

Exemple guidé

Droite passant par $A(2\ ;\ 1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3\ ;\ -4)$ : $3(x-2)-4(y-1) = 0$, soit $3x-4y-2 = 0$.

Règle — perpendicularité

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c'est-à-dire si $aa'+bb' = 0$.

Cercles

Règle — équation

Cercle de centre $\Omega(a\ ;\ b)$ et de rayon $R$ : $(x-a)^2+(y-b)^2 = R^2$.

Comment faire — reconnaître un cercle sous forme développée

On regroupe les termes en $x$ et en $y$, puis on complète chaque carré.

$x^2+y^2-4x+6y-3 = 0$ devient $(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3 = 0$, soit $(x-2)^2+(y+3)^2 = 16$ : centre $(2\ ;\ -3)$, rayon $4$.

Piège à éviter

Attention au signe : $(y+3)^2$ correspond à une ordonnée de centre égale à $-3$, et non $+3$.

Règle — cercle de diamètre [AB]

$M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0$.

Positions relatives

Comment faire — droite et cercle

On compare la distance du centre à la droite avec le rayon : plus grande, aucun point commun ; égale, tangence ; plus petite, deux points d'intersection. On peut aussi substituer et étudier le discriminant.

Vérifiez que vous savez faire

  • identifier vecteur directeur et vecteur normal d'une droite
  • déterminer une équation cartésienne à partir d'un vecteur normal
  • démontrer que deux droites sont perpendiculaires
  • reconnaître l'équation d'un cercle et en lire centre et rayon
  • étudier la position d'une droite par rapport à un cercle

On nous pose souvent ces questions

Comment lire un vecteur normal dans l'équation d'une droite ?

Les coefficients de x et de y donnent directement les coordonnées d'un vecteur normal à la droite.

Comment reconnaître l'équation d'un cercle sous forme développée ?

On regroupe les termes en x et en y, puis on complète chaque carré pour retrouver la forme centre-rayon.

Comment savoir si une droite coupe un cercle ?

On compare la distance du centre à la droite avec le rayon : plus grande, aucun point commun ; égale, tangence ; plus petite, deux points d'intersection.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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