Première · fiche 5 sur 11
Fonction exponentielle
L'exponentielle transforme les sommes en produits. C'est la seule fonction, à un coefficient près, qui soit égale à sa propre dérivée.
L'essentiel en trois points
- $e^{a+b} = e^a \times e^b$ : la relation fondamentale, dont tout le reste découle.
- $(e^x)' = e^x$, donc l'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- $e^x > 0$ pour tout réel $x$ : l'exponentielle ne s'annule jamais.
Définition et premières propriétés
L'exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On la note $\exp(x)$ ou $e^x$, avec $e \approx 2{,}718$.
$e^x > 0$ pour tout $x$ ; $e^0 = 1$ ; $e^1 = e$.
Les propriétés algébriques
$e^{a+b} = e^a e^b$ ; $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ ; $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ ; $\left(e^a\right)^n = e^{na}$.
Ce sont exactement les règles des puissances. Retenir la première suffit : les autres s'en déduisent.
$\dfrac{e^5 \times e^{-2}}{e^{4}} = e^{5-2-4} = e^{-1} = \dfrac1e$.
Dérivée et variations
$(e^x)' = e^x$ et, plus généralement, $\big(e^{u(x)}\big)' = u'(x)e^{u(x)}$.
Comme $e^x > 0$, la dérivée est toujours positive : l'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
$f(x) = e^{-2x+1}$ : $f'(x) = -2e^{-2x+1}$, toujours négative, donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
Équations et inéquations
$e^a = e^b$ équivaut à $a = b$, et $e^a < e^b$ équivaut à $a < b$, puisque l'exponentielle est strictement croissante.
$e^{3x-1} = e^{x+5}$ donne $3x-1 = x+5$, donc $x = 3$.
Une équation comme $e^x = -2$ n'a aucune solution : l'exponentielle est strictement positive. Vérifiez ce point avant de vous lancer dans un calcul.
Vérifiez que vous savez faire
- utiliser la relation $e^{a+b} = e^a e^b$
- simplifier une expression avec des exponentielles
- dériver une fonction du type $e^{u}$
- étudier les variations d'une fonction exponentielle
- résoudre une équation ou une inéquation avec l'exponentielle
On nous pose souvent ces questions
Quelle est la propriété fondamentale de l'exponentielle ?
L'exponentielle peut-elle être négative ou nulle ?
Comment résoudre une équation entre deux exponentielles ?
Travailler ce chapitre plus loin
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