Première · fiche 7 sur 11

Produit scalaire

Le produit scalaire transforme une question géométrique — un angle, une orthogonalité — en un calcul sur des coordonnées.

L'essentiel en trois points

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$.
En coordonnées : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Les définitions

Règle — trois expressions du même nombre

Avec l'angle : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$.

En coordonnées : $\vec{u}(x\ ;\ y)$ et $\vec{v}(x'\ ;\ y')$ donnent $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'$.

Avec les normes : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac12\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.

Piège à éviter

Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur. Écrire « $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est colinéaire à… » n'a aucun sens.

Les propriétés

Règle — calculs

$\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$ ; $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$ ; $(k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})$ ; $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.

Astuce

Les identités remarquables s'appliquent : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.

Orthogonalité

Règle — le critère

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$, c'est-à-dire $xx'+yy' = 0$ en coordonnées.

Exemple guidé

$\vec{u}(3\ ;\ -2)$ et $\vec{v}(4\ ;\ 6)$ : $3\times4 + (-2)\times6 = 0$, les vecteurs sont orthogonaux.

Applications

Règle — théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle quelconque : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$.

C'est la généralisation de Pythagore : si $\widehat{A} = 90°$, le dernier terme disparaît.

Comment faire — calculer un angle

On isole le cosinus dans la formule d'Al-Kashi, ou bien on utilise $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$.

Exemple guidé

$\vec{u}(1\ ;\ 2)$ et $\vec{v}(3\ ;\ 1)$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 5$, $\|\vec{u}\| = \sqrt5$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{10}$, donc $\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\theta = 45°$.

Vérifiez que vous savez faire

calculer un produit scalaire à partir de coordonnées
calculer un produit scalaire à partir de normes et d'un angle
démontrer une orthogonalité
appliquer le théorème d'Al-Kashi
calculer un angle entre deux vecteurs

On nous pose souvent ces questions

Le produit scalaire est-il un vecteur ?

Non, c'est un nombre réel. C'est la source d'erreurs de rédaction les plus fréquentes sur ce chapitre.

Comment démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux ?

On vérifie que leur produit scalaire est nul, ce qui revient en coordonnées à vérifier que la somme des produits des coordonnées correspondantes est nulle.

Qu'est-ce que le théorème d'Al-Kashi ?

C'est la généralisation du théorème de Pythagore à un triangle quelconque : le carré d'un côté vaut la somme des carrés des deux autres, diminuée du double produit de ces côtés par le cosinus de l'angle.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

Le cours complet : Produit scalaire dans le plan en PremièreLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
Les exercices corrigés : Produit scalaire dans le plan en PremièreLe chapitre traité en entier, avec ses énoncés et ses corrigés.
Le QCM du chapitre : Produit scalaire en PremièreDes questions à choix multiples corrigées pour se tester en quelques minutes.

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