Première · fiche 10 sur 11

Variables aléatoires

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue. L'espérance est la moyenne que l'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois.

L'essentiel en trois points

La loi de $X$ donne $P(X = x_i)$ pour chaque valeur, et la somme vaut 1.
$E(X) = \sum x_i\,P(X = x_i)$.
$E(aX+b) = aE(X)+b$ et $V(aX+b) = a^2V(X)$.

Loi de probabilité

À savoir — définition

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience. Sa loi est le tableau des $P(X = x_i)$, dont la somme vaut $1$.

Astuce

Vérifiez systématiquement que la somme des probabilités fait $1$ : c'est le contrôle le plus rapide d'une loi mal construite.

L'espérance

Règle — formule et sens

$E(X) = \displaystyle\sum_{i} x_i\,P(X = x_i)$

C'est la valeur moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions.

Exemple guidé

Un jeu coûte $2$ € ; on gagne $10$ € avec une probabilité $\dfrac16$, rien sinon. Le gain algébrique $X$ vaut $8$ avec probabilité $\dfrac16$ et $-2$ avec probabilité $\dfrac56$.

$E(X) = 8\times\dfrac16 - 2\times\dfrac56 = \dfrac{8-10}{6} = -\dfrac13$. Le jeu est défavorable au joueur, d'environ $33$ centimes par partie.

À savoir — jeu équitable

Un jeu est équitable si l'espérance du gain algébrique est nulle.

Variance et écart type

Règle — formules

$V(X) = \displaystyle\sum_i \big(x_i - E(X)\big)^2 P(X = x_i)$, ou plus commodément $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$.

Écart type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Astuce

La variance mesure la dispersion autour de l'espérance. L'écart type lui est préféré car il s'exprime dans la même unité que $X$.

Piège à éviter

Une variance est toujours positive ou nulle. Un résultat négatif signale une erreur, le plus souvent un oubli du carré dans $\big(E(X)\big)^2$.

Transformations

Règle — linéarité

$E(aX+b) = aE(X)+b$ ; $V(aX+b) = a^2V(X)$ ; $\sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)$.

Exemple guidé

Ajouter une constante décale l'espérance sans modifier la dispersion : $b$ n'apparaît pas dans la variance.

Vérifiez que vous savez faire

établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire
calculer une espérance et l'interpréter
déterminer si un jeu est équitable
calculer variance et écart type
utiliser les formules de transformation affine

On nous pose souvent ces questions

Que représente l'espérance ?

C'est la valeur moyenne que l'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois.

Qu'est-ce qu'un jeu équitable ?

Un jeu dont l'espérance du gain algébrique est nulle : à long terme, le joueur ne gagne ni ne perd.

Que devient la variance si l'on ajoute une constante ?

Elle ne change pas. Ajouter une constante décale l'espérance sans modifier la dispersion des valeurs.

Travailler ce chapitre plus loin

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Le cours complet : Variable aléatoires en PremièreLa leçon détaillée, avec toutes les démonstrations et les exemples.
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