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Première · fiche 4 sur 11

Variations et applications de la dérivée

Le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$. Étudier une fonction revient donc à étudier le signe d'une autre fonction, souvent plus simple.

L'essentiel en trois points

  1. $f' > 0$ sur un intervalle signifie $f$ croissante sur cet intervalle.
  2. Un extremum local s'obtient là où $f'$ s'annule en changeant de signe.
  3. Un problème d'optimisation se ramène à chercher l'extremum d'une fonction bien choisie.

Le théorème fondamental

Règle — signe de f' et variations de f

Sur un intervalle $I$ : si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ; si $f'(x) < 0$, elle est strictement décroissante ; si $f'(x) = 0$ partout, elle est constante.

Piège à éviter

La conclusion vaut sur un intervalle. Une fonction dont la dérivée est négative sur deux intervalles séparés n'est pas décroissante sur leur réunion — c'est le cas de la fonction inverse.

Dresser un tableau de variations

Comment faire — la méthode complète

1. Déterminer l'ensemble de définition.
2. Calculer $f'(x)$ et la factoriser autant que possible.
3. Étudier le signe de $f'$.
4. En déduire les variations et calculer les images aux bornes et aux extremums.

Exemple guidé

$f(x) = x^3 - 3x$ : $f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)$. La dérivée est positive sur $]-\infty\ ;\ -1[$, négative sur $]-1\ ;\ 1[$, positive ensuite. $f$ admet donc un maximum local $f(-1) = 2$ et un minimum local $f(1) = -2$.

Les extremums

Règle — condition

Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$.

Piège à éviter

Le changement de signe est indispensable. Pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais la dérivée reste positive de part et d'autre : il n'y a pas d'extremum, seulement un point d'inflexion.

Optimisation

Comment faire — la démarche

1. Nommer la variable et préciser l'intervalle où elle varie.
2. Exprimer la quantité à optimiser en fonction de cette variable.
3. Dériver, étudier le signe, conclure.
4. Vérifier que la solution appartient bien à l'intervalle.

Exemple guidé

Parmi les rectangles de périmètre $20$, lequel a l'aire maximale ? Avec $x$ la longueur, la largeur vaut $10-x$ et l'aire $A(x) = x(10-x)$ sur $]0\ ;\ 10[$. $A'(x) = 10-2x$ s'annule en $5$ en changeant de signe : le carré de côté $5$ donne l'aire maximale, $25$.

Astuce

Ne jamais oublier l'intervalle d'étude : une solution mathématiquement correcte mais hors de l'intervalle n'a aucun sens dans le problème.

Vérifiez que vous savez faire

  • relier le signe de $f'$ au sens de variation de $f$
  • dresser un tableau de variations complet
  • justifier l'existence d'un extremum par un changement de signe
  • mettre un problème d'optimisation en équation
  • vérifier la validité d'une solution dans son intervalle

On nous pose souvent ces questions

Que dit le signe de la dérivée ?

Une dérivée positive sur un intervalle signifie que la fonction y est croissante, une dérivée négative qu'elle y est décroissante.

Une dérivée qui s'annule donne-t-elle toujours un extremum ?

Non. Il faut qu'elle change de signe. Pour la fonction cube, la dérivée s'annule en zéro sans changer de signe, et il n'y a pas d'extremum.

Comment aborder un problème d'optimisation ?

On exprime la quantité à optimiser en fonction d'une variable, on précise l'intervalle d'étude, puis on dérive et on étudie le signe de la dérivée.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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