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Première · fiche 1 sur 11

Second degré

Tout le chapitre tient dans un nombre : le discriminant. Son signe décide du nombre de racines, donc de la factorisation, donc du signe du trinôme.

L'essentiel en trois points

  1. $\Delta = b^2 - 4ac$ décide de tout : deux racines si $\Delta>0$, une si $\Delta=0$, aucune si $\Delta<0$.
  2. Un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines.
  3. La forme canonique donne le sommet de la parabole : $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.

Résoudre $ax^2+bx+c=0$

Règle — le discriminant

$\Delta = b^2-4ac$.

Si $\Delta > 0$ : deux racines $x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Si $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
Si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle.

Exemple guidé

$2x^2-7x+3=0$ : $\Delta = 49-24 = 25$, donc $x = \dfrac{7\pm5}{4}$, soit $x_1 = \dfrac12$ et $x_2 = 3$.

Piège à éviter

Erreur de signe fréquente : dans $\Delta = b^2-4ac$, si $c$ est négatif, $-4ac$ devient positif. Pour $x^2-x-6$ : $\Delta = 1+24 = 25$, et non $1-24$.

Factoriser

Règle — forme factorisée

Si $\Delta > 0$ : $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$.
Si $\Delta = 0$ : $ax^2+bx+c = a(x-x_0)^2$.
Si $\Delta < 0$ : aucune factorisation dans $\mathbb{R}$.

Astuce

Ne jamais oublier le coefficient $a$ devant : $2x^2-7x+3 = 2\left(x-\dfrac12\right)(x-3)$, pas $\left(x-\dfrac12\right)(x-3)$.

La forme canonique

Règle — sommet de la parabole

$ax^2+bx+c = a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.

Le sommet est $S(\alpha\ ;\ \beta)$. Si $a>0$, $\beta$ est le minimum ; si $a<0$, c'est le maximum.

Le signe du trinôme

Règle — la règle

Un trinôme est du signe de $a$ partout, sauf entre ses racines lorsqu'elles existent, où il est du signe contraire.

Exemple guidé

$-x^2+4x-3$ : $\Delta = 16-12 = 4$, racines $1$ et $3$, et $a = -1 < 0$. Le trinôme est donc négatif sur $]-\infty\ ;\ 1[\ \cup\ ]3\ ;\ +\infty[$ et positif sur $]1\ ;\ 3[$.

Comment faire — résoudre une inéquation

On se ramène à « trinôme $\ge 0$ » ou « trinôme $\le 0$ », on calcule $\Delta$, puis on applique la règle du signe. Un tableau de signes rend la conclusion immédiate.

Vérifiez que vous savez faire

  • calculer un discriminant sans erreur de signe
  • déterminer les racines d'un trinôme
  • écrire la forme factorisée en conservant le coefficient $a$
  • donner le signe d'un trinôme sur $\mathbb{R}$
  • résoudre une inéquation du second degré

On nous pose souvent ces questions

À quoi sert le discriminant ?

Son signe détermine le nombre de racines du trinôme : deux racines s'il est positif, une racine double s'il est nul, aucune racine réelle s'il est négatif.

Quelle erreur de signe est la plus fréquente dans le calcul du discriminant ?

Oublier que moins quatre a c devient positif lorsque c est négatif. Pour x² − x − 6, le discriminant vaut 1 plus 24, soit 25.

Faut-il garder le coefficient a dans la forme factorisée ?

Oui, toujours. La forme factorisée s'écrit a multiplié par le produit des deux facteurs, sans quoi l'égalité est fausse.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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