Seconde · fiche 8 sur 11
Géométrie repérée
Dans un repère, une figure devient un système de nombres. Chaque question de géométrie se ramène alors à un calcul.
L'essentiel en trois points
- Milieu : moyenne des abscisses, moyenne des ordonnées.
- Une droite non verticale a une équation réduite $y = mx + p$.
- Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Milieu et distance
Milieu de $[AB]$ : $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.
Distance : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.
La formule de la distance n'est que le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont l'hypoténuse est $[AB]$.
Équations de droites
Réduite : $y = mx+p$, valable pour toute droite non verticale. $m$ est le coefficient directeur, $p$ l'ordonnée à l'origine.
Cartésienne : $ax+by+c=0$, valable pour toutes les droites, verticales comprises.
Une droite verticale a une équation de la forme $x = k$.
À partir de deux points : $m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, puis on trouve $p$ en remplaçant les coordonnées d'un point.
$A(1\ ;\ 3)$ et $B(5\ ;\ 11)$ : $m = \dfrac{11-3}{5-1} = 2$, puis $3 = 2\times1+p$ donne $p=1$. L'équation est $y = 2x+1$.
Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur : la formule diviserait par zéro. Vérifiez toujours que $x_A \neq x_B$ avant de l'appliquer.
Parallélisme
Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Deux droites verticales sont toujours parallèles entre elles.
Vecteur directeur
La droite d'équation $y = mx+p$ admet $\vec{u}(1\ ;\ m)$ comme vecteur directeur. Deux droites sont parallèles exactement quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Vérifiez que vous savez faire
- calculer les coordonnées d'un milieu
- calculer une distance dans un repère
- déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points
- traiter le cas d'une droite verticale
- démontrer que deux droites sont parallèles
On nous pose souvent ces questions
Comment trouver l'équation d'une droite passant par deux points ?
Toutes les droites ont-elles une équation réduite ?
Comment savoir si deux droites sont parallèles ?
Travailler ce chapitre plus loin
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