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Seconde · fiche 5 sur 11

Fonctions de référence

Cinq courbes à connaître par cœur. Les reconnaître permet de résoudre graphiquement une inéquation en quelques secondes.

L'essentiel en trois points

  1. La fonction carré décroît sur $]-\infty ; 0]$ puis croît sur $[0 ; +\infty[$ ; sa courbe est une parabole.
  2. La fonction inverse est décroissante sur chacun de ses deux intervalles, jamais sur leur réunion.
  3. Entre 0 et 1, $x^2 < x < \sqrt{x}$ ; au-delà de 1, l'ordre s'inverse.

La fonction affine

À savoir — droite

$f(x) = ax+b$ : droite de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$. Croissante si $a>0$, décroissante si $a<0$, constante si $a=0$.

La fonction carré

Règle — variations et courbe

$f(x) = x^2$ est définie sur $\mathbb{R}$, décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$. Sa courbe est une parabole de sommet l'origine, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Piège à éviter

Elle n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ : $(-5)^2 = 25$ est plus grand que $2^2 = 4$ alors que $-5 < 2$. L'ordre n'est conservé que sur les positifs.

La fonction inverse

Règle — deux branches

$f(x) = \dfrac1x$ est définie sur $\mathbb{R}^*$ et décroissante sur chacun des intervalles $]-\infty\ ;\ 0[$ et $]0\ ;\ +\infty[$. Sa courbe est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine.

Piège à éviter

Elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ tout entier : $-1 < 2$ mais $\dfrac{1}{-1} = -1$ est plus petit que $\dfrac12$. Il faut énoncer les variations intervalle par intervalle.

Racine carrée et cube

À savoir — les deux dernières

$f(x) = \sqrt{x}$ est définie et croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$.

$f(x) = x^3$ est définie et croissante sur $\mathbb{R}$, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Comparer x, x² et √x

Règle — l'ordre dépend de la position par rapport à 1

Si $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt{x}$.
Si $x > 1$ : $\sqrt{x} < x < x^2$.
Pour $x = 0$ et $x = 1$, les trois sont égaux.

Exemple guidé

$x = 0{,}25$ : $x^2 = 0{,}0625$, $\sqrt{x} = 0{,}5$. $x = 4$ : $x^2 = 16$, $\sqrt{x} = 2$.

Astuce

Ce résultat surprend, mais un dessin des trois courbes sur $[0\ ;\ 2]$ le rend évident : elles se croisent toutes en $(1\ ;\ 1)$.

Vérifiez que vous savez faire

  • tracer de mémoire les cinq courbes de référence
  • donner les variations de la fonction carré et de la fonction inverse
  • énoncer des variations par intervalle et non globalement
  • comparer $x$, $x^2$ et $\sqrt{x}$ selon la position par rapport à 1
  • résoudre graphiquement une inéquation avec une courbe de référence

On nous pose souvent ces questions

La fonction carré est-elle croissante ?

Seulement sur les nombres positifs. Elle décroît sur les négatifs, ce qui explique que le carré de moins cinq dépasse le carré de deux.

La fonction inverse est-elle décroissante sur tout son ensemble de définition ?

Non. Elle est décroissante sur chacun des deux intervalles séparés par zéro, mais pas sur leur réunion.

Que vaut le plus grand entre x, son carré et sa racine carrée ?

Cela dépend de la position par rapport à 1. Entre 0 et 1, le carré est le plus petit et la racine la plus grande ; au-delà de 1, l'ordre s'inverse.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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