Seconde · fiche 6 sur 11
Fonctions polynômes du second degré
Un trinôme se présente sous trois formes. Chacune répond à une question précise : le sommet, les racines, ou l'ordonnée à l'origine.
L'essentiel en trois points
- Forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ : le sommet est $(\alpha ; \beta)$.
- Forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ : les racines se lisent directement.
- La parabole est tournée vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$.
Les trois formes
Développée $ax^2+bx+c$ : donne l'ordonnée à l'origine $c$.
Canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ : donne le sommet et l'extremum.
Factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ : donne les racines et le signe.
La parabole
La courbe de $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ est une parabole de sommet $S(\alpha\ ;\ \beta)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = \alpha$.
Si $a > 0$, elle est tournée vers le haut et $\beta$ est le minimum. Si $a < 0$, elle est tournée vers le bas et $\beta$ est le maximum.
$f(x) = 2(x-3)^2 - 8$ : sommet $(3\ ;\ -8)$, parabole vers le haut, minimum $-8$ atteint en $3$.
Le signe du sommet se lit dans la forme canonique : $(x-3)$ signifie $\alpha = 3$, et non $-3$. C'est une inversion fréquente.
Trouver les racines
On résout $a(x-\alpha)^2 + \beta = 0$, soit $(x-\alpha)^2 = -\dfrac{\beta}{a}$, puis on conclut selon le signe du membre de droite.
$2(x-3)^2 - 8 = 0$ donne $(x-3)^2 = 4$, donc $x-3 = 2$ ou $x-3 = -2$, soit $x = 5$ ou $x = 1$. La forme factorisée est $2(x-5)(x-1)$.
Le signe du trinôme
Un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines, et du signe contraire entre elles. S'il n'a pas de racine, il garde le signe de $a$ partout.
$2(x-1)(x-5)$ est positif sur $]-\infty\ ;\ 1[ \cup ]5\ ;\ +\infty[$ et négatif sur $]1\ ;\ 5[$.
Vérifiez que vous savez faire
- reconnaître les trois formes d'un trinôme
- lire le sommet sur la forme canonique
- déterminer le sens de la parabole
- trouver les racines à partir de la forme canonique
- donner le signe d'un trinôme sur $\mathbb{R}$
On nous pose souvent ces questions
À quoi sert la forme canonique ?
Comment savoir si la parabole est tournée vers le haut ?
Où un trinôme est-il du signe de a ?
Travailler ce chapitre plus loin
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