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Seconde · fiche 10 sur 11

Probabilités

Modéliser une expérience, c'est décider de son univers et de la probabilité de chaque issue. Tout le reste en découle par addition.

L'essentiel en trois points

  1. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
  2. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
  3. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cap B) = 0$.

Modéliser

À savoir — univers et loi de probabilité

L'univers $\Omega$ est l'ensemble des issues possibles. Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre entre $0$ et $1$, la somme faisant $1$.

En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.

Opérations sur les événements

À savoir — vocabulaire

$A \cap B$ : « $A$ et $B$ » se réalisent.
$A \cup B$ : « $A$ ou $B$ » se réalise, l'un au moins.
$\bar{A}$ : l'événement contraire.

Règle — la formule à connaître

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Et $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Piège à éviter

On retranche $P(A \cap B)$ parce que les issues communes seraient sinon comptées deux fois. Ne l'oublier que lorsque les événements sont incompatibles.

Exemple guidé

Dans un jeu de $52$ cartes, $P(\text{roi}) = \dfrac{4}{52}$, $P(\text{cœur}) = \dfrac{13}{52}$, $P(\text{roi et cœur}) = \dfrac{1}{52}$.

$P(\text{roi ou cœur}) = \dfrac{4}{52}+\dfrac{13}{52}-\dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$.

Représenter

Comment faire — tableau croisé ou arbre

Le tableau croisé convient quand deux caractères se combinent sur une même population. L'arbre convient quand l'expérience se déroule en plusieurs épreuves successives.

Astuce

Dans un tableau croisé, les marges donnent directement $P(A)$ et $P(B)$, et la case d'intersection donne $P(A \cap B)$ : la formule se remplit sans réfléchir.

Vérifiez que vous savez faire

  • décrire l'univers d'une expérience aléatoire
  • vérifier qu'une loi de probabilité est valide
  • calculer $P(A \cup B)$ avec la formule complète
  • utiliser l'événement contraire
  • choisir entre tableau croisé et arbre

On nous pose souvent ces questions

Pourquoi retrancher la probabilité de l'intersection dans la formule de la réunion ?

Parce que les issues communes aux deux événements seraient sinon comptées deux fois.

Quand la formule se simplifie-t-elle ?

Quand les deux événements sont incompatibles : leur intersection est vide, donc sa probabilité est nulle et l'on additionne simplement.

Quand choisir un tableau plutôt qu'un arbre ?

Le tableau croisé convient quand deux caractères se combinent sur une même population. L'arbre convient quand l'expérience se déroule en plusieurs épreuves successives.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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