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Seconde · fiche 2 sur 11

Calcul littéral et équations

En seconde, on ne résout plus seulement : on choisit la forme de l'expression selon la question posée. Développée pour calculer une image, factorisée pour résoudre.

L'essentiel en trois points

  1. Forme développée pour calculer, forme factorisée pour résoudre une équation égale à zéro.
  2. Un quotient est nul quand son numérateur est nul et son dénominateur non nul.
  3. Toute équation avec un dénominateur exige de chercher les valeurs interdites.

Développer et factoriser

Règle — les identités remarquables

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ ; $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ ; $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

Comment faire — choisir la bonne forme

Pour calculer une image, la forme développée suffit. Pour résoudre $f(x) = 0$, il faut la forme factorisée.

Exemple guidé

$f(x) = x^2 - 6x + 5$ se factorise en $(x-1)(x-5)$, ce qui donne immédiatement les solutions $1$ et $5$.

Les équations-produits

Règle — produit nul

$A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$.

Comment faire — se ramener à un produit

On regroupe tout d'un côté pour obtenir « expression $= 0$ », puis on factorise.

$(2x-1)^2 = (x+4)^2$ donne $(2x-1)^2 - (x+4)^2 = 0$, soit $\big[(2x-1)-(x+4)\big]\big[(2x-1)+(x+4)\big] = 0$, c'est-à-dire $(x-5)(3x+3) = 0$, d'où $x = 5$ ou $x = -1$.

Piège à éviter

De $A^2 = B^2$, on ne déduit pas $A = B$. Il y a deux possibilités, $A = B$ ou $A = -B$, et la factorisation les donne toutes les deux.

Les équations quotients

Règle — quotient nul

$\dfrac{A}{B} = 0$ équivaut à $A = 0$ et $B \neq 0$.

Comment faire — la méthode complète

1. Déterminer les valeurs interdites, celles qui annulent le dénominateur.
2. Résoudre l'équation du numérateur.
3. Écarter les solutions qui sont des valeurs interdites.

Exemple guidé

$\dfrac{x^2-9}{x-3} = 0$ : la valeur interdite est $3$. Le numérateur s'annule pour $x = 3$ et $x = -3$. La seule solution est donc $-3$.

Astuce

Écrire l'ensemble de définition avant de commencer évite d'oublier cette étape finale.

Vérifiez que vous savez faire

  • développer et factoriser avec les identités remarquables
  • choisir la forme adaptée à la question
  • résoudre une équation-produit
  • déterminer les valeurs interdites d'un quotient
  • résoudre une équation quotient et écarter les valeurs interdites

On nous pose souvent ces questions

Quelle forme choisir pour résoudre une équation ?

La forme factorisée, car un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. La forme développée sert plutôt à calculer une image.

Peut-on déduire A égale B de A au carré égale B au carré ?

Non. Il y a deux possibilités, A égale B ou A égale moins B. La factorisation par la différence de deux carrés les donne toutes les deux.

Quand un quotient est-il nul ?

Quand son numérateur est nul et que son dénominateur ne l'est pas. Il faut donc toujours déterminer les valeurs interdites avant de conclure.

Travailler ce chapitre plus loin

Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.

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