Seconde · fiche 1 sur 11
Ensembles de nombres et intervalles
Les ensembles de nombres s'emboîtent comme des poupées russes. Savoir dans lequel on travaille détermine ce que l'on a le droit d'écrire.
L'essentiel en trois points
- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
- $\in$ relie un élément à un ensemble, $\subset$ relie deux ensembles.
- Un crochet fermé inclut la borne, un crochet ouvert l'exclut ; l'infini est toujours ouvert.
Les cinq ensembles
$\mathbb{N}$ : entiers naturels. $\mathbb{Z}$ : entiers relatifs. $\mathbb{D}$ : décimaux. $\mathbb{Q}$ : rationnels, quotients de deux entiers. $\mathbb{R}$ : tous les réels.
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
$\dfrac13 \in \mathbb{Q}$ mais $\dfrac13 \notin \mathbb{D}$ : son écriture décimale est infinie. $\sqrt2 \in \mathbb{R}$ mais $\sqrt2 \notin \mathbb{Q}$.
$\in$ et $\subset$ ne s'écrivent pas au même endroit : $3 \in \mathbb{N}$ mais $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$. Écrire $3 \subset \mathbb{N}$ n'a pas de sens.
Les intervalles
$[a\ ;\ b]$ contient $a$ et $b$ ; $]a\ ;\ b[$ les exclut. Le crochet est toujours ouvert du côté de $+\infty$ ou de $-\infty$.
$x \ge 3$ s'écrit $x \in [3\ ;\ +\infty[$.
L'intersection $\cap$ retient ce qui appartient aux deux ensembles, la réunion $\cup$ ce qui appartient à l'un au moins.
$[-2\ ;\ 5] \cap [0\ ;\ 9] = [0\ ;\ 5]$ et $[-2\ ;\ 5] \cup [0\ ;\ 9] = [-2\ ;\ 9]$.
Tracez systématiquement les deux intervalles l'un au-dessus de l'autre sur une droite graduée : l'intersection et la réunion se lisent alors sans risque d'erreur.
Valeur absolue et encadrements
$|x|$ est la distance de $x$ à zéro : $|{-7}| = 7$. Plus généralement, $|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$.
$|x - 3| \le 2$ signifie que $x$ est à une distance d'au plus $2$ de $3$, soit $x \in [1\ ;\ 5]$.
Vérifiez que vous savez faire
- situer un nombre dans le bon ensemble
- utiliser correctement les symboles d'appartenance et d'inclusion
- traduire une inégalité par un intervalle
- calculer une intersection et une réunion d'intervalles
- interpréter une valeur absolue comme une distance
On nous pose souvent ces questions
Quelle différence entre le symbole d'appartenance et celui d'inclusion ?
Un tiers est-il un nombre décimal ?
Comment traduire une valeur absolue en intervalle ?
Travailler ce chapitre plus loin
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