Seconde · fiche 7 sur 11
Vecteurs
Un vecteur n'est pas un point : c'est un déplacement. Il se définit par une direction, un sens et une longueur, et peut se dessiner n'importe où.
L'essentiel en trois points
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.
- Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
- $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$.
Définition
Le vecteur $\vec{AB}$ est déterminé par sa direction (celle de la droite $(AB)$), son sens (de $A$ vers $B$) et sa longueur $AB$, appelée norme et notée $\|\vec{AB}\|$.
$\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme — attention à l'ordre des lettres.
Un vecteur n'a pas de position fixe : on peut le représenter à partir de n'importe quel point. Deux flèches à des endroits différents peuvent représenter le même vecteur.
Opérations
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ : le point d'arrivée du premier est le point de départ du second.
Pour additionner deux vecteurs qui ne s'enchaînent pas, on utilise la règle du parallélogramme, ou bien on insère un point intermédiaire avec Chasles.
$k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, le même sens si $k>0$, le sens contraire si $k<0$, et une norme multipliée par $|k|$.
Coordonnées
Si $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$, alors $\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$.
Norme : $\|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.
L'ordre de la soustraction compte : c'est l'arrivée moins le départ. L'inverser donne le vecteur opposé.
$A(1\ ;\ 2)$ et $B(4\ ;\ 6)$ : $\vec{AB}(3\ ;\ 4)$ et $\|\vec{AB}\| = \sqrt{9+16} = 5$.
Colinéarité
$\vec{u}(x\ ;\ y)$ et $\vec{v}(x'\ ;\ y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy' - x'y = 0$.
Montrer que trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés revient à montrer que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles revient à montrer que $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ le sont.
Vérifiez que vous savez faire
- caractériser un vecteur par direction, sens et norme
- appliquer la relation de Chasles
- calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur
- tester la colinéarité par le déterminant
- démontrer un alignement ou un parallélisme
On nous pose souvent ces questions
Un vecteur a-t-il une position fixe ?
Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?
Comment démontrer que trois points sont alignés ?
Travailler ce chapitre plus loin
Cette fiche donne l'essentiel. Pour approfondir, voici le même chapitre traité en entier sur Maths PDF.
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