Disjonction de cas
En bref : Une disjonction de cas est un raisonnement qui découpe un problème en plusieurs situations couvrant toutes les possibilités, traite chaque situation séparément, puis conclut.
SecondeLogique et raisonnement
Définition : Disjonction de cas
Un raisonnement par disjonction de cas est utile quand une propriété n’a pas la même preuve selon les valeurs prises par une variable. On distingue alors plusieurs cas qui, à eux tous, épuisent toutes les possibilités : un nombre est pair ou impair, un réel est positif ou négatif, un point est dans une zone ou hors d’elle.
On démontre le résultat dans chaque cas. Si le résultat est vrai dans tous, il est vrai dans la situation générale. Deux conditions sont indispensables : les cas doivent être exhaustifs (aucune possibilité oubliée) et leur étude doit être complète. Ils peuvent se recouvrir, mais en général on les choisit disjoints.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de prouver une propriété « pour tout entier \(n\) » et la preuve semble différente pour les pairs et les impairs.
- Une expression contient une valeur absolue, qui se comporte différemment selon le signe de ce qu’elle encadre.
- Un calcul fait apparaître un signe incertain, qu’il faut traiter en examinant les cas.
- Une définition par morceaux, comme un tarif qui change au-delà d’un seuil, impose de considérer chaque morceau.
La méthode
- Repérer ce qui change le comportement de l’expression, par exemple la parité ou le signe.
- Écrire la liste des cas, en vérifiant qu’elle couvre toutes les possibilités, sans trou.
- Traiter chaque cas séparément en traduisant l’hypothèse par une écriture précise (\(n = 2k\), \(x \ge 0\)).
- Conclure que la propriété est vraie dans tous les cas, donc toujours.
Disjonction de cas : exemple corrigé
Énoncé
Démontrer que, pour tout entier \(n\), le produit \(n(n+1)\) est pair.
Corrigé
Un entier est pair ou impair : ces deux cas couvrent toutes les possibilités.
Cas 1, \(n\) pair : \(n = 2k\) avec \(k\) entier, donc \(n(n+1) = 2k(2k+1)\), multiple de 2.
Cas 2, \(n\) impair : \(n = 2k+1\), donc \(n(n+1) = (2k+1)(2k+2) = 2(2k+1)(k+1)\), multiple de 2.
Dans les deux cas le produit est pair, donc \(n(n+1)\) est pair pour tout entier \(n\).
À toi de jouer
Question 1
Écrire \(|x – 4|\) sans valeur absolue, en distinguant les cas.
Voir la réponse
Si \(x \ge 4\), \(|x-4| = x – 4\). Si \(x\) est strictement inférieur à 4, \(|x-4| = 4 – x\).
Question 2
Pourquoi ne pas se contenter de tester les cas « \(n = 2\) » et « \(n = 3\) » ?
Voir la réponse
Ces cas n’épuisent pas tous les entiers : on prouverait la propriété seulement pour deux exemples, pas pour tous.
Ne pas confondre Disjonction de cas et Raisonnement par l'absurde
La disjonction de cas découpe le problème en plusieurs situations qui couvrent tout, puis les traite une à une. Le raisonnement par l’absurde suppose le contraire de ce que l’on veut prouver et aboutit à une contradiction. Les deux sont des méthodes de preuve, mais leurs étapes sont très différentes.
Pour aller plus loin
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Seconde · Logique et raisonnement
