Tangente d’un angle
En bref : La tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle est le quotient du côté opposé par le côté adjacent ; elle sert à relier une hauteur à une distance horizontale.
3èmeGéométrie plane
Définition : Tangente d'un angle
La tangente d’un angle aigu \(\alpha\) dans un triangle rectangle se calcule avec les deux côtés qui ne sont pas l’hypoténuse : \(\tan \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\).
Elle mesure la pente : plus l’angle est grand, plus ce quotient augmente, et il peut dépasser 1, contrairement au sinus. Par exemple \(\tan 45^{\circ} = 1\), car les deux côtés sont égaux. Elle ne dépend que de l’angle, donc elle convient dès que l’hypoténuse n’est ni donnée ni demandée. La touche tan de la calculatrice donne le quotient, et tan⁻¹ retrouve l’angle.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne une distance au sol et un angle de visée, puis demande une hauteur : arbre, immeuble, falaise.
- Les deux côtés de l’angle droit sont connus et l’on veut en déduire l’angle.
- Il est question d’une pente, d’une inclinaison de toit ou d’un angle d’élévation.
- L’hypoténuse n’apparaît ni dans les données ni dans la question.
La méthode
- Pour utiliser la tangente d’un angle, repérer cet angle et nommer le côté opposé et le côté adjacent, sans toucher à l’hypoténuse.
- Écrire \(\tan \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\) avec les nombres de l’énoncé.
- Pour une longueur, isoler l’inconnue : \(\text{opposé} = \text{adjacent} \times \tan \alpha\).
- Pour un angle, appliquer tan⁻¹ au quotient, calculatrice réglée en degrés.
Tangente d'un angle : exemple corrigé
Énoncé
Placée à \(20\) m du pied d’un pylône, Camille le voit sous un angle de \(35^{\circ}\) au-dessus de l’horizontale. Quelle est la hauteur du pylône (on néglige la taille de Camille) ? Un toit monte de \(5\) m pour \(12\) m de recul horizontal : quel est son angle d’inclinaison ?
Corrigé
La hauteur est le côté opposé et la distance au sol est le côté adjacent : \(h = 20 \times \tan 35^{\circ} \approx 20 \times 0{,}7002 \approx 14{,}0\) m.
Pour le toit, \(\tan \alpha = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167\), donc \(\alpha = \tan^{-1}(0{,}4167) \approx \) 22,6°.
Le pylône mesure environ 14,0 m.
À toi de jouer
Question 1
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle mesure \(6\) et le côté adjacent \(9\). Que vaut la tangente de cet angle ?
Voir la réponse
\(\tan \alpha = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67\).
Question 2
Un angle de \(60^{\circ}\) a un côté adjacent de \(4\) cm. Quel est le côté opposé ? On donne \(\tan 60^{\circ} \approx 1{,}732\).
Voir la réponse
\(4 \times 1{,}732 \approx 6{,}93\) cm.
Ne pas confondre Tangente d'un angle et Sinus
La tangente d’un angle compare les deux côtés de l’angle droit (opposé sur adjacent) et peut dépasser 1. Le sinus compare le côté opposé à l’hypoténuse et reste inférieur à 1. Choisir la tangente quand on n’a pas besoin de l’hypoténuse.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Géométrie plane
