Sinus
En bref : Le sinus transforme un angle aigu en un rapport de longueurs : celle du côté situé en face, divisée par celle de l’hypoténuse, ce qui donne toujours un nombre entre 0 et 1.
3èmeGéométrie plane
Définition : Sinus
Le sinus d’un angle aigu \(\alpha\) se lit sur un triangle rectangle : c’est le rapport entre la longueur opposée à \(\alpha\) et celle de l’hypoténuse. On écrit \(\sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\).
Cette valeur ne dépend que de l’angle, et non de la taille du triangle : tous les triangles rectangles qui ont le même angle aigu sont semblables et donnent le même quotient. Comme l’hypoténuse est le plus grand côté, le résultat est toujours inférieur à 1. Avec la calculatrice, la touche sin donne le quotient pour un angle, et la touche sin⁻¹ retrouve l’angle à partir du quotient.
Comment le reconnaître
- Un triangle rectangle donne l’hypoténuse et un angle aigu, et l’on cherche le côté situé en face de cet angle.
- Un problème de hauteur atteinte par une échelle, une rampe ou un câble tendu apparaît.
- Les données sont l’hypoténuse et le côté opposé, et l’on cherche la mesure de l’angle.
- L’énoncé écrit « sin 35° » ou demande d’utiliser la calculatrice en mode degrés.
La méthode
- Repérer l’angle utilisé, puis nommer le côté opposé et l’hypoténuse.
- Écrire \(\sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\) en remplaçant par les données.
- Pour une longueur : isoler l’inconnue par produit en croix et calculer avec la calculatrice en mode degrés.
- Pour un angle : utiliser sin⁻¹ du quotient, puis arrondir avec une précision cohérente.
Sinus : exemple corrigé
Énoncé
Une échelle de \(4{,}8\) m est appuyée contre un mur et fait un angle de \(70^{\circ}\) avec le sol. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Une rampe de \(6\) m s’élève de \(1\) m : quel angle fait-elle avec l’horizontale ?
Corrigé
La hauteur est le côté opposé à l’angle de \(70^{\circ}\), l’échelle est l’hypoténuse : \(\sin 70^{\circ} = \frac{h}{4{,}8}\), donc \(h = 4{,}8 \times \sin 70^{\circ} \approx 4{,}8 \times 0{,}9397 \approx 4{,}51\) m.
Pour la rampe, \(\sin \alpha = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\), d’où \(\alpha = \sin^{-1}(0{,}1667) \approx \) 9,6°.
L’échelle touche le mur à environ 4,51 m.
À toi de jouer
Question 1
Un angle de \(30^{\circ}\) est opposé à un côté de \(7\) cm. Quelle est la longueur de l’hypoténuse ?
Voir la réponse
\(\sin 30^{\circ} = 0{,}5 = \frac{7}{h}\), donc \(h = \frac{7}{0{,}5} = 14\) cm.
Question 2
Un sinus peut-il valoir 1,3 dans un triangle rectangle ?
Voir la réponse
Non : le plus long côté est l’hypoténuse, placée au dénominateur, donc le quotient reste inférieur à 1.
Ne pas confondre Sinus et Cosinus
Le sinus compare le côté opposé à l’hypoténuse ; le cosinus compare le côté adjacent à l’hypoténuse. Pour un même angle, les deux sont des quotients inférieurs à 1, mais ils ne sont pas égaux (sauf à 45°). Pour ne pas les mélanger, on retient SOH-CAH-TOA.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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