Exercice 1 : une mare rectangulaire
Situation 1 :
1. Ils retirent 6 mètres cubes de terre.
a. Sachant que la terre pèse 1,5 tonne par mètre cube, quel poids de terre extraient-ils ?
Le poids total de la terre extraite est donné par :
b. Ils utilisent une remorque qui peut transporter jusqu’à 500 kg de terre. Combien de chargements font-ils ?
Étant donné que 1 tonne = 1000 kg, le poids total de la terre en kilogrammes est :
Le nombre de chargements nécessaires est :
c. Si la remorque pouvait transporter 750 kg de terre, combien de voyages économiseraient-ils ?
Le nombre de chargements nécessaires avec une remorque de 750 kg est :
Le nombre de voyages économisés est :
Situation 2 :
2. Ils doivent recouvrir le trou d’une bâche en EPDM. La bâche est vendue en largeur de 6 m et ils ont besoin d’une longueur de 7 m (soit une aire de 42 m²).
a. Pourquoi y a-t-il une telle différence entre l’aire de la bâche et celle de la mare ?
La bâche doit recouvrir non seulement le fond de la mare (12 m²) mais aussi les bords. La différence de surface est due à la nécessité de couvrir les côtés en pente de la mare et d’avoir un surplus pour l’ancrage de la bâche.
b. Sachant que le m² de la bâche coûte 8 €, quel est son prix ?
La bâche nécessaire a une superficie de :
Le coût total de la bâche est :
€
Situation 3 :
3. Pour remplir cette mare, il faut un volume d’eau de 6 000 L. Freesper et Zolan aspirent l’eau de la citerne au moyen d’une pompe immergée.
a. Quel est le débit par minute de chaque pompe ?
Pour la première pompe :
Pour la seconde pompe :
\[
\text{Débit} = \frac{7500 \, \text{L/h}}{60} = 125 \, \text{L/min}
\]
b. Calcule alors le temps nécessaire pour remplir la mare avec chaque pompe.
Pour la première pompe :
\[
\text{Temps nécessaire} = \frac{6000 \, \text{L}}{75 \, \text{L/min}} = 80 \, \text{minutes}
\]
Pour la seconde pompe :
\[
\text{Temps nécessaire} = \frac{6000 \, \text{L}}{125 \, \text{L/min}} = 48 \, \text{minutes}
\]
Exercice 2 : la croissance du pogona
a. Complèter le tableau en lisant son poids en fonction de son âge sur le graphique.
Le tableau complété est le suivant :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Âge \, en \, mois 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 \\
\hline
Poids \, en \, g 10 100 250 400 550 620 720 740 780 800 770 780 820 \\
\hline
\end{array}
\]
b. Voici le tableau donnant la taille de son pogona en fonction de son âge. Place ces points sur le graphique ci-dessus, puis relie-les de façon harmonieuse.
Le tableau donné est le suivant :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Âge \, en \, mois 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 \\
\hline
Taille \, en \, cm 8 15 25 35 45 53 56 57 57 57 57 59 60 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour la taille, les points doivent être placés sur le graphe de manière à correspondre aux âges en mois (abscisse) et à la taille en centimètres (ordonnée, en utilisant l’échelle rouge sur la droite du graphe).
Ensuite, ces points doivent être reliés par des lignes droites afin de former une courbe qui représente la croissance en taille du pogona en fonction de son âge.
Exercice 3 : l’alimentation du pogona
a. Combien mange-t-il de grillons au total, au cours de chacun des quatre premiers stades ? Puis au stade adulte ?
\[
\begin{array}{ll}
\text{Stade Bébé} \\
\text{Durée: } 2 \text{ mois} \\
\text{Nombre de grillons: } 10 \text{ par jour} \\
\text{Total:} 2 \text{ mois} \times 30 \text{ jours/mois} \times 10 \text{ grillons/jour} \\
= 2 \times 30 \times 10 \\
= 600 \text{ grillons} \\
\\
\text{Stade Juénile} \\
\text{Durée: } 2 \text{ mois} \\
\text{Nombre de grillons: } 15 \text{ par jour} \\
\text{Total:} 2 \text{ mois} \times 30 \text{ jours/mois} \times 15 \text{ grillons/jour} \\
= 2 \times 30 \times 15 \\
= 900 \text{ grillons} \\
\\
\text{Stade Juénile avancé} \\
\text{Durée: } 3 \text{ mois} \\
\text{Nombre de grillons: } 12 \text{ par jour} \\
\text{Total:} 3 \text{ mois} \times 30 \text{ jours/mois} \times 12 \text{ grillons/jour} \\
= 3 \times 30 \times 12 \\
= 1080 \text{ grillons} \\
\\
\text{Stade sub adulte} \\
\text{Durée: } 5 \text{ mois} \\
\text{Nombre de grillons: } 10 \text{ par jour} \\
\text{Total:} 5 \text{ mois} \times 30 \text{ jours/mois} \times 10 \text{ grillons/jour} \\
= 5 \times 30 \times 10 \\
= 1500 \text{ grillons} \\
\\
\text{Total pour les 4 premiers stades:} \\
600 + 900 + 1080 + 1500 \\
= 4080 \text{ grillons} \\
\\
\text{Stade Adulte} \\
\text{Durée: } 1 \text{ an} = 12 \text{ mois} \\
\text{Nombre de grillons: } 14 \text{ tous les 3 jours} \\
\text{Total:} 360 \text{ jours/an} : 3 \text{ jours} \times 14 \text{ grillons} \\
= 120 \times 14 \\
= 1680 \text{ grillons} \\
\end{array}
\]
b. Combien de grillons mange un pogona âgé pendant un an ?
\[
\begin{array}{l}
\text{Un pogona âgé mange 5 grillons tous les 2 jours, donc :} \\
360 \text{ jours/an} : 2 \text{ jours} \times 5 \text{ grillons} \\
= 180 \times 5 \\
= 900 \text{ grillons} \\
\end{array}
\]
c. Combien de grillons mange un pogona au cours des trois premières années de sa vie ?
\[
\begin{array}{ll}
\text{Les 4 premiers stades:} 4080 \text{ grillons} \\
\text{Stade Adulte (1ère année d’adulte):} 1680 \text{ grillons} \\
\text{Période Adulte (à partir de 2 ans)} \\
\text{Si durant cette période il consomme 5 grillons tous les 2 jours, on a:} \\
5 \text{ années – 2 ans (1ere annee adulte) = 2 années} \\
2 \text{ années } = 2 \times 360 \text{ jours} = 720 \text{ jours} \\
\text{donc } 720 \text{ jours} : 2 \times 5 = 180 \times 5 = 4500 \text{ grillons} \\
\text{Plus ses consommations anterieures:} \\
4500 + 4080 + 1680 = 6800 \text{ grillons} \\
\end{array}
\]
d. Recherche sur le Web les végétaux que consomme un pogona et en quelle quantité.
Effectuez une recherche pour déterminer quels végétaux le Pogona consomme et en quelle quantité. Cependant, cette question nécessite une recherche en ligne et ne peut pas être résolue uniquement à partir de l’information fournie dans l’exercice.
Exercice 4 : problème du spectacle
a. Ils arrivent 34 minutes avant le début du spectacle.
Le spectacle commence à \( 17:15 \).
Donc, ils arrivent à:
\[ 17:15 – 34\ \text{minutes} = 16:41 \]
Ils arrivent à 16:41.
b. La durée du spectacle (avec l’entracte) :
\[ 55\ \text{minutes (première période)} + 20\ \text{minutes (entracte)} + 50\ \text{minutes (seconde période)} \]
\[ = 125\ \text{minutes} \]
Le spectacle dure 125 minutes.
c. Heure à laquelle ils quittent la salle de spectacle :
Le spectacle commence à 17:15 et dure 125 minutes.
\[ 17:15 + 125\ \text{minutes} \]
\[ 17:15 + 2\ \text{heures}\ 5\ \text{minutes} = 19:20 \]
Ils quittent la salle de spectacle à 19:20.
d. Frais de parking :
\[ \text{Durée totale de stationnement} = 16:41 \text{ à } 19:20 \]
\[ 19:20 – 16:41 = 2\ \text{heures}\ 39\ \text{minutes} \]
Ils paient pour chaque heure commencée :
\[ 3\ \text{heures}\ \times \ 2\ \text{€} = 6\ \text{€} \]
Ils paient 6 €.
Exercice 5 : problème de l’anniversaire
a.
Pour compléter le tableau pour 60 choux, nous devons trouver la proportionnalité des ingrédients pour chaque quantité de choux.
Pour 40 choux :
– Eau: 20 cL
– Beurre: 80 g
– Œufs: 4
– Farine: 150 g
– 1 pincée de sel
Pour 20 choux, les quantités des ingrédients sont les moitiés de celles pour 40 choux :
– Eau: \( \frac{20}{2} = 10 \) cL
– Beurre: \( \frac{80}{2} = 40 \) g
– Œufs: \( \frac{4}{2} = 2 \)
– Farine: \( \frac{150}{2} = 75 \) g
– 1 pincée de sel
Pour 60 choux, les quantités des ingrédients sont \( \frac{3}{2} \) fois celles pour 40 choux :
– Eau: \( 20 \times \frac{3}{2} = 30 \) cL
– Beurre: \( 80 \times \frac{3}{2} = 120 \) g
– Œufs: \( 4 \times \frac{3}{2} = 6 \)
– Farine: \( 150 \times \frac{3}{2} = 225 \) g
– 1 pincée de sel
Donc, le tableau complété est :
| Recette | Eau | Beurre | Œufs | Farine | 1 pincée de sel |
|———–|——|——–|——|——–|—————–|
| 40 choux | 20 cL| 80 g | 4 | 150 g | ✓ |
| 20 choux | 10 cL| 40 g | 2 | 75 g | ✓ |
| 60 choux | 30 cL| 120 g | 6 | 225 g | ✓ |
b.
Pour une pyramide à base carrée, chaque étage a une couche carrée de choux. Le nombre total de choux pour une pyramide de n étages est donné par :
\[ S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 \]
Pour \( 4 \) étages :
\[ S(4) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 \]
\[ = 1 + 4 + 9 + 16 \]
\[ = 30 \]
Il y a donc 30 choux assemblés dans cette pyramide.
c.
Pour \( 5 \) étages :
\[ S(5) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 \]
\[ = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 \]
\[ = 55 \]
Il y a donc 55 choux assemblés dans cette pyramide.
d.
Pour créer un sixième étage, il faut :
\[ 6^2 = 36 \]
Nombre de choux manquants :
\[ 55 – 60 = 5 \]
Il lui manque donc 5 choux pour créer un sixième étage.
Exercice 6 : problème du cocktail
Correction de l’exercice:
a. De quelle quantité de chaque jus de fruits a-t-il besoin ?
Pour 10 verres de cocktail, nous devons multiplier par 2 les quantités indiquées pour 5 verres de cocktail :
\[
\begin{align*}
\text{Jus de pomme} : 2 \times 40 \, \text{cL} = 80 \, \text{cL}, \\
\text{Jus de poire} : 2 \times \frac{1}{4} \, \text{L} = \frac{2}{4} \, \text{L} = \frac{1}{2} \, \text{L}, \\
\text{Jus d’abricot} : 2 \times \frac{1}{4} \, \text{L} = \frac{2}{4} \, \text{L} = \frac{1}{2} \, \text{L}, \\
\text{Sirop de fraise} : 2 \times \frac{1}{10} \, \text{L} = \frac{2}{10} \, \text{L} = \frac{1}{5} \, \text{L}.
\end{align*}
\]
b. Quelle est la quantité totale de cocktail préparé ?
Additionnons les volumes de chaque composant pour obtenir la quantité totale pour 10 verres.
\[
\begin{align*}
80 \, \text{cL} = 0{,}8 \, \text{L} \\
\end{align*}
\]
Donc,
\[
\begin{align*}
\text{Quantité totale} : 0{,}8 \, \text{L} + \frac{1}{2} \, \text{L} + \frac{1}{2} \, \text{L} + \frac{1}{5} \, \text{L} \\
= 0{,}8 \, \text{L} + 0{,}5 \, \text{L} + 0{,}5 \, \text{L} + 0{,}2 \, \text{L} \\
= 2{,}0 \, \text{L}.
\end{align*}
\]
c. Combien de verres peut-il servir ?
Sachant que la quantité totale obtenue est de 2 litres pour 10 verres, nous devons déterminer combien de verres sont nécessaires pour utiliser entièrement 1 litre de sirop de fraise :
\[
\begin{align*}
\frac{1}{5} \, \text{L} = \frac{1}{10} \times n \, \text{L}
\end{align*}
\]
où \( n \) est le nombre de verres :
\[
n = 10 \times ( \frac{1}{5} ) = 50 \, \text{verres}
\]
Conclusion :
Zolan peut servir 50 verres de cocktail.
Exercice 7 : problème de la piscine
Pour la question b:
Les dimensions du premier bassin sont 50 m × 20 m.
Le périmètre \( P_1 \) du premier bassin est donné par la formule du périmètre d’un rectangle:
\[ P_1 = 2 \times (L + \ell) \]
où \( L = 50 \) m et \( \ell = 20 \) m.
Donc,
\[ P_1 = 2 \times (50 + 20) = 2 \times 70 = 140 \text{ m} \]
Les dimensions du deuxième bassin sont réduites de moitié, donc \( 25 \) m × \( 10 \) m.
Le périmètre \( P_2 \) du deuxième bassin est :
\[ P_2 = 2 \times (L + \ell) \]
où \( L = 25 \) m et \( \ell = 10 \) m.
Donc,
\[ P_2 = 2 \times (25 + 10) = 2 \times 35 = 70 \text{ m} \]
Le rapport entre les périmètres des deux bassins est :
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{140}{70} = 2 \]
Pour la question c:
L’aire \( A_1 \) du premier bassin est donnée par :
\[ A_1 = L \times \ell \]
où \( L = 50 \) m et \( \ell = 20 \) m.
Donc,
\[ A_1 = 50 \times 20 = 1000 \text{ m}^2 \]
L’aire \( A_2 \) du deuxième bassin est :
\[ A_2 = L \times \ell \]
où \( L = 25 \) m et \( \ell = 10 \) m.
Donc,
\[ A_2 = 25 \times 10 = 250 \text{ m}^2 \]
Le rapport entre les aires des deux bassins est :
\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{1000}{250} = 4 \]
Exercice 8 : problème du bassin olympique
a. Pour déterminer combien de baignoires de 125 L seraient nécessaires pour remplir un bassin de 37 500 hL, nous devons convertir tout d’abord la capacité du bassin en litres.
La capacité du bassin est de 37 500 hL, soit :
\[ 37\,500 \times 100 = 3\,750\,000 \text{ litres} \]
Le nombre de baignoires nécessaires est alors :
\[ \frac{3\,750\,000}{125} = 30\,000 \]
b. De même, pour les aquariums de 500 L :
\[ \frac{3\,750\,000}{500} = 7\,500 \]
c. Si la capacité est proportionnelle à la profondeur, alors pour un bassin d’une profondeur de 2 m, la capacité serait :
\[ \text{Capacité} = \frac{2}{3} \times 37\,500 \text{ hL} = 25\,000 \text{ hL} \]
La capacité en litres est donc :
\[ 25\,000 \times 100 = 2\,500\,000 \text{ litres} \]
d. Reprenons les questions a et b pour un bassin profond de 2 m, c’est-à-dire une capacité de 2 500 000 L.
Pour le nombre de baignoires de 125 L :
\[ \frac{2\,500\,000}{125} = 20\,000 \]
Pour le nombre d’aquariums de 500 L :
\[ \frac{2\,500\,000}{500} = 5\,000 \]
Exercice 9 : problème du championnat de France
a. Pour chaque compétition, indique le classement des nageuses dans la dernière colonne.
En 2014 :
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Nageuse} \text{Temps} \text{Classement} \\
\hline
\text{Alex} 27.59\,\text{s} 5 \\
\text{Joana} 27.30\,\text{s} 3 \\
\text{Maëlle} 27.12\,\text{s} 1 \\
\text{Mathilde} 27.24\,\text{s} 2 \\
\text{Nolwenn} 27.53\,\text{s} 4 \\
\text{Pauline} 27.37\,\text{s} 7 \\
\text{Solweig} 27.50\,\text{s} 6 \\
\text{Zoé} 27.45\,\text{s} 8 \\
\hline
\end{array}
\]
En 2013 :
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Nageuse} \text{Temps} \text{Classement} \\
\hline
\text{Claire} 27.51\,\text{s} 5 \\
\text{Emma} 26.88\,\text{s} 1 \\
\text{Julia} 26.95\,\text{s} 2 \\
\text{Julie} 27.58\,\text{s} 7 \\
\text{Manon} 27.08\,\text{s} 3 \\
\text{Meredith} 27.41\,\text{s} 4 \\
\text{Morgane} 27.73\,\text{s} 8 \\
\text{Sandrine} 28.01\,\text{s} 6 \\
\hline
\end{array}
\]
b. Donne le classement global de ces 16 nageuses sur les deux ans.
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nageuse} \text{Temps} \\
\hline
\text{Emma} 26.88\,\text{s} \\
\text{Julia} 26.95\,\text{s} \\
\text{Manon} 27.08\,\text{s} \\
\text{Maëlle} 27.12\,\text{s} \\
\text{Mathilde} 27.24\,\text{s} \\
\text{Joana} 27.30\,\text{s} \\
\text{Meredith} 27.41\,\text{s} \\
\text{Zoé} 27.45\,\text{s} \\
\text{Solweig} 27.50\,\text{s} \\
\text{Claire} 27.51\,\text{s} \\
\text{Nolwenn} 27.53\,\text{s} \\
\text{Alex} 27.59\,\text{s} \\
\text{Julie} 27.58\,\text{s} \\
\text{Pauline} 27.37\,\text{s} \\
\text{Morgane} 27.73\,\text{s} \\
\text{Sandrine} 28.01\,\text{s} \\
\hline
\end{array}
\]
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