Problèmes et calculs : corrigé des exercices de math en CM1.

Exercice 1 : une mare rectangulaire
Situation 1 :

1. Ils retirent 6 mètres cubes de terre.

a. Sachant que la terre pèse 1,5 tonne par mètre cube, quel poids de terre extraient-ils ?

Le poids total de la terre extraite est donné par :
$\,\text{Poids\,de\,la\,terre}\,=\,6\,\%2C\,\text{m}^3\,\times \,1{%2C}5\,\%2C\,\text{tonne%2Fm}^3\,=\,9\,\%2C\,\text{tonnes}%0A\,$

b. Ils utilisent une remorque qui peut transporter jusqu’à 500 kg de terre. Combien de chargements font-ils ?

Étant donné que 1 tonne = 1000 kg, le poids total de la terre en kilogrammes est :

$9\,\%2C\,\text{tonnes}\,=\,9000\,\%2C\,\text{kg}\,$
Le nombre de chargements nécessaires est :

$\text{Nombre\,de\,chargements}\,=\,\frac{9000\,\%2C\,\text{kg}}{500\,\%2C\,\text{kg%2Fchargement}}\,=\,18\,\%2C\,\text{chargements}$

c. Si la remorque pouvait transporter 750 kg de terre, combien de voyages économiseraient-ils ?

Le nombre de chargements nécessaires avec une remorque de 750 kg est :
$\text{Nombre\,de\,chargements}\,=\,\frac{9000\,\%2C\,\text{kg}}{750\,\%2C\,\text{kg%2Fchargement}}\,=\,12\,\%2C\,\text{chargements}\,$

Le nombre de voyages économisés est :
$\Delta\,\text{voyages}\,=\,18\,-\,12\,=\,6\,\%2C\,\text{voyages}$

Situation 2 :

2. Ils doivent recouvrir le trou d’une bâche en EPDM. La bâche est vendue en largeur de 6 m et ils ont besoin d’une longueur de 7 m (soit une aire de 42 m²).

a. Pourquoi y a-t-il une telle différence entre l’aire de la bâche et celle de la mare ?

La bâche doit recouvrir non seulement le fond de la mare (12 m²) mais aussi les bords. La différence de surface est due à la nécessité de couvrir les côtés en pente de la mare et d’avoir un surplus pour l’ancrage de la bâche.

b. Sachant que le m² de la bâche coûte 8 €, quel est son prix ?

La bâche nécessaire a une superficie de :
$\text{Surface\,de\,la\,b%C3%A2che}\,=\,6\,\%2C\,\text{m}\,\times \,7\,\%2C\,\text{m}\,=\,42\,\%2C\,\text{m}^2\text{Surface\,de\,la\,b%C3%A2che}\,=\,6\,\%2C\,\text{m}\,\times \,7\,\%2C\,\text{m}\,=\,42\,\%2C\,\text{m}^2$
Le coût total de la bâche est :

$\text{Cout de la bache} = 42\, \times 8\, = 336 \,$ €

Situation 3 :

3. Pour remplir cette mare, il faut un volume d’eau de 6 000 L. Freesper et Zolan aspirent l’eau de la citerne au moyen d’une pompe immergée.

a. Quel est le débit par minute de chaque pompe ?

Pour la première pompe :

$\text{Debit} = \frac{4500 \, \text{L/h}}{60} = 75 \, \text{L/min}$

Pour la seconde pompe :
$Debit\,=\,\frac{7500\,\%2C\,L%2Fh}{60}\,=\,125\,\%2C\,L%2Fmin$

b. Calcule alors le temps nécessaire pour remplir la mare avec chaque pompe.

Pour la première pompe :
$Temps\,necessaire\,=\,\frac{6000\,\%2C\,L}{75\,\%2C\,L%2Fmin}\,=\,80\,\%2C\,minutes$
Pour la seconde pompe :
$Temps\,necessaire\,=\,\frac{6000\,\%2C\,L}{125\,\%2C\,L%2Fmin}\,=\,48\,\%2C\,minutes$

Exercice 2 : la croissance du pogona

a. Complèter le tableau en lisant son poids en fonction de son âge sur le graphique.

Le tableau complété est le suivant :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AAge\,\%2C\,en\,\%2C\,mois\,%26\,0\,%26\,2\,%26\,4\,%26\,6\,%26\,8\,%26\,10\,%26\,12\,%26\,14\,%26\,16\,%26\,18\,%26\,20\,%26\,22\,%26\,24\,\\%0D%0A\hline%0D%0APoids\,\%2C\,en\,\%2C\,g\,%26\,10\,%26\,100\,%26\,250\,%26\,400\,%26\,550\,%26\,620\,%26\,720\,%26\,740\,%26\,780\,%26\,800\,%26\,770\,%26\,780\,%26\,820\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Voici le tableau donnant la taille de son pogona en fonction de son âge. Place ces points sur le graphique ci-dessus, puis relie-les de façon harmonieuse.

Le tableau donné est le suivant :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AAge\,\%2C\,en\,\%2C\,mois\,%26\,0\,%26\,2\,%26\,4\,%26\,6\,%26\,8\,%26\,10\,%26\,12\,%26\,14\,%26\,16\,%26\,18\,%26\,20\,%26\,22\,%26\,24\,\\%0D%0A\hline%0D%0ATaille\,\%2C\,en\,\%2C\,cm\,%26\,8\,%26\,15\,%26\,25\,%26\,35\,%26\,45\,%26\,53\,%26\,56\,%26\,57\,%26\,57\,%26\,57\,%26\,57\,%26\,59\,%26\,60\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour la taille, les points doivent être placés sur le graphe de manière à correspondre aux âges en mois (abscisse) et à la taille en centimètres (ordonnée, en utilisant l’échelle rouge sur la droite du graphe).

Ensuite, ces points doivent être reliés par des lignes droites afin de former une courbe qui représente la croissance en taille du pogona en fonction de son âge.

Exercice 3 : l’alimentation du pogona
a. Combien mange-t-il de grillons au total, au cours de chacun des quatre premiers stades ? Puis au stade adulte ?

$\begin{array}{ll}%0D%0AStade\,Bebe\,%26\,\\%0D%0ADuree%3A\,\,2\,\,mois\,%26\,\\%0D%0ANombre\,de\,grillons%3A\,\,10\,\,par\,jour\,%26\,\\%0D%0ATotal%3A\,%26\,2\,\,mois\,\times \,30\,\,jours%2Fmois\,\times \,10\,\,grillons%2Fjour\,\\%0D%0A%26\,=\,2\,\times \,30\,\times \,10\,\\%0D%0A%26\,=\,600\,\,grillons\,\\%0D%0A\\%0D%0AStade\,Juenile\,%26\,\\%0D%0ADuree%3A\,\,2\,\,mois\,%26\,\\%0D%0ANombre\,de\,grillons%3A\,\,15\,\,par\,jour\,%26\,\\%0D%0ATotal%3A\,%26\,2\,\,mois\,\times \,30\,\,jours%2Fmois\,\times \,15\,\,grillons%2Fjour\,\\%0D%0A%26\,=\,2\,\times \,30\,\times \,15\,\\%0D%0A%26\,=\,900\,\,grillons\,\\%0D%0A\\%0D%0AStade\,Juenile\,avance\,%26\,\\%0D%0ADuree%3A\,\,3\,\,mois\,%26\,\\%0D%0ANombre\,de\,grillons%3A\,\,12\,\,par\,jour\,%26\,\\%0D%0ATotal%3A\,%26\,3\,\,mois\,\times \,30\,\,jours%2Fmois\,\times \,12\,\,grillons%2Fjour\,\\%0D%0A%26\,=\,3\,\times \,30\,\times \,12\,\\%0D%0A%26\,=\,1080\,\,grillons\,\\%0D%0A\\%0D%0AStade\,sub\,adulte\,%26\,\\%0D%0ADuree%3A\,\,5\,\,mois\,%26\,\\%0D%0ANombre\,de\,grillons%3A\,\,10\,\,par\,jour\,%26\,\\%0D%0ATotal%3A\,%26\,5\,\,mois\,\times \,30\,\,jours%2Fmois\,\times \,10\,\,grillons%2Fjour\,\\%0D%0A%26\,=\,5\,\times \,30\,\times \,10\,\\%0D%0A%26\,=\,1500\,\,grillons\,\\%0D%0A\\%0D%0ATotal\,pour\,les\,4\,premiers\,stades%3A\,%26\,\\%0D%0A%26\,600\,%2B\,900\,%2B\,1080\,%2B\,1500\,\\%0D%0A%26\,=\,4080\,\,grillons\,\\%0D%0A\\%0D%0AStade\,Adulte\,%26\,\\%0D%0ADuree%3A\,\,1\,\,an\,=\,12\,\,mois\,%26\,\\%0D%0ANombre\,de\,grillons%3A\,\,14\,\,tous\,les\,3\,jours\,%26\,\\%0D%0ATotal%3A\,%26\,360\,\,jours%2Fan\,: \,3\,\,jours\,\times \,14\,\,grillons\,\\%0D%0A%26\,=\,120\,\times \,14\,\\%0D%0A%26\,=\,1680\,\,grillons\,\\%0D%0A\end{array}$

b. Combien de grillons mange un pogona âgé pendant un an ?

$\begin{array}{l}%0D%0AUn\,pogona\,age\,mange\,5\,grillons\,tous\,les\,2\,jours%2C\,donc\,%3A\,\\%0D%0A360\,\,jours%2Fan\,: \,2\,\,jours\,\times \,5\,\,grillons\,\\%0D%0A=\,180\,\times \,5\,\\%0D%0A=\,900\,\,grillons\,\\%0D%0A\end{array}$

c. Combien de grillons mange un pogona au cours des trois premières années de sa vie ?

$\begin{array}{ll}%0D%0ALes\,4\,premiers\,stades%3A\,%26\,4080\,\,grillons\,\\%0D%0AStade\,Adulte\,(1ere\,annee\,d'adulte)%3A\,%26\,1680\,\,grillons\,\\%0D%0APeriode\,Adulte\,(a\,partir\,de\,2\,ans)\,%26\,\\%0D%0ASi\,durant\,cette\,periode\,il\,consomme\,5\,grillons\,tous\,les\,2\,jours%2C\,on\,a%3A\,%26\,\\%0D%0A5\,\,annees\,-\,2\,ans\,(1ere\,annee\,adulte)\,=\,2\,annees\,%26\,\\%0D%0A2\,\,annees\,\,=\,2\,\times \,360\,\,jours\,=\,720\,\,jours\,%26\,\\%0D%0Adonc\,\,720\,\,jours\,: \,2\,\times \,5\,=\,180\,\times \,5\,=\,4500\,\,grillons\,%26\,\\%0D%0APlus\,ses\,consommations\,anterieures%3A%26\,\\%0D%0A4500\,%2B\,4080\,%2B\,1680\,=\,6800\,\,grillons\,\\%0D%0A\end{array}$

d. Recherche sur le Web les végétaux que consomme un pogona et en quelle quantité.

Effectuez une recherche pour déterminer quels végétaux le Pogona consomme et en quelle quantité. Cependant, cette question nécessite une recherche en ligne et ne peut pas être résolue uniquement à partir de l’information fournie dans l’exercice.

Exercice 4 : problème du spectacle
a. Ils arrivent 34 minutes avant le début du spectacle.
Le spectacle commence à .
Donc, ils arrivent à:
$17%3A15\,-\,34\\,minutes\,=\,16%3A41$
Ils arrivent à 16:41.

b. La durée du spectacle (avec l’entracte) :
$55\\,minutes\,(premiere\,periode)\,%2B\,20\\,minutes\,(entracte)\,%2B\,50\\,minutes\,(seconde\,periode)$
$=\,125\\,minutes$
Le spectacle dure 125 minutes.

c. Heure à laquelle ils quittent la salle de spectacle :
Le spectacle commence à 17:15 et dure 125 minutes.
$17%3A15\,%2B\,125\\,minutes$
$17%3A15\,%2B\,2\\,heures\\,5\\,minutes\,=\,19%3A20$
Ils quittent la salle de spectacle à 19:20.

d. Frais de parking :
$Duree\,totale\,de\,stationnement\,=\,16%3A41\,\,a\,\,19%3A20$
$19%3A20\,-\,16%3A41\,=\,2\\,heures\\,39\\,minutes$
Ils paient pour chaque heure commencée :
$3\\,heures\\,\times \\,2\\,%E2%82%AC\,=\,6\\,%E2%82%AC$
Ils paient 6 €.

Exercice 5 : problème de l’anniversaire
a.
Pour compléter le tableau pour 60 choux, nous devons trouver la proportionnalité des ingrédients pour chaque quantité de choux.

Pour 40 choux :
– Eau: 20 cL
– Beurre: 80 g
– Œufs: 4
– Farine: 150 g
– 1 pincée de sel

Pour 20 choux, les quantités des ingrédients sont les moitiés de celles pour 40 choux :
– Eau: $\frac{20}{2}\,=\,10$ cL
– Beurre: $\frac{80}{2}\,=\,40$ g
– Œufs: $\frac{4}{2}\,=\,2$
– Farine: $\frac{150}{2}\,=\,75$ g
– 1 pincée de sel

Pour 60 choux, les quantités des ingrédients sont $\frac{3}{2}$ fois celles pour 40 choux :
– Eau: $20\,\times \,\frac{3}{2}\,=\,30$ cL
– Beurre: $80\,\times \,\frac{3}{2}\,=\,120$ g
– Œufs: $4\,\times \,\frac{3}{2}\,=\,6$
– Farine: $150\,\times \,\frac{3}{2}\,=\,225$ g
– 1 pincée de sel

Donc, le tableau complété est :

| Recette | Eau | Beurre | Œufs | Farine | 1 pincée de sel |
|———–|——|——–|——|——–|—————–|
| 40 choux | 20 cL| 80 g | 4 | 150 g | ✓ |
| 20 choux | 10 cL| 40 g | 2 | 75 g | ✓ |
| 60 choux | 30 cL| 120 g | 6 | 225 g | ✓ |

b.
Pour une pyramide à base carrée, chaque étage a une couche carrée de choux. Le nombre total de choux pour une pyramide de n étages est donné par :

$S(n)\,=\,1^2\,%2B\,2^2\,%2B\,3^2\,%2B\,...\,%2B\,n^2$

Pour étages :

$S(4)\,=\,1^2\,%2B\,2^2\,%2B\,3^2\,%2B\,4^2$
$=\,1\,%2B\,4\,%2B\,9\,%2B\,16$
$=\,30$

Il y a donc 30 choux assemblés dans cette pyramide.

c.
Pour étages :

$S(5)\,=\,1^2\,%2B\,2^2\,%2B\,3^2\,%2B\,4^2\,%2B\,5^2$
$=\,1\,%2B\,4\,%2B\,9\,%2B\,16\,%2B\,25$
$=\,55$

Il y a donc 55 choux assemblés dans cette pyramide.

d.
Pour créer un sixième étage, il faut :

$6^2\,=\,36$

Nombre de choux manquants :

$55\,-\,60\,=\,5$

Il lui manque donc 5 choux pour créer un sixième étage.

Exercice 6 : problème du cocktail
Correction de l’exercice:

a. De quelle quantité de chaque jus de fruits a-t-il besoin ?

Pour 10 verres de cocktail, nous devons multiplier par 2 les quantités indiquées pour 5 verres de cocktail :

$\begin{align%2A}%0D%0AJus\,de\,pomme\,%26\,%3A\,2\,\times \,40\,\%2C\,cL\,=\,80\,\%2C\,cL%2C\,\\%0D%0AJus\,de\,poire\,%26\,%3A\,2\,\times \,\frac{1}{4}\,\%2C\,L\,=\,\frac{2}{4}\,\%2C\,L\,=\,\frac{1}{2}\,\%2C\,L%2C\,\\%0D%0AJus\,d'abricot\,%26\,%3A\,2\,\times \,\frac{1}{4}\,\%2C\,L\,=\,\frac{2}{4}\,\%2C\,L\,=\,\frac{1}{2}\,\%2C\,L%2C\,\\%0D%0ASirop\,de\,fraise\,%26\,%3A\,2\,\times \,\frac{1}{10}\,\%2C\,L\,=\,\frac{2}{10}\,\%2C\,L\,=\,\frac{1}{5}\,\%2C\,L.%0D%0A\end{align%2A}$

b. Quelle est la quantité totale de cocktail préparé ?

Additionnons les volumes de chaque composant pour obtenir la quantité totale pour 10 verres.

$\begin{align%2A}%0D%0A80\,\%2C\,cL\,%26\,=\,0{%2C}8\,\%2C\,L\,\\%0D%0A\end{align%2A}$
Donc,
$\begin{align%2A}%0D%0AQuantite\,totale\,%26\,%3A\,0{%2C}8\,\%2C\,L\,%2B\,\frac{1}{2}\,\%2C\,L\,%2B\,\frac{1}{2}\,\%2C\,L\,%2B\,\frac{1}{5}\,\%2C\,L\,\\%0D%0A%26\,=\,0{%2C}8\,\%2C\,L\,%2B\,0{%2C}5\,\%2C\,L\,%2B\,0{%2C}5\,\%2C\,L\,%2B\,0{%2C}2\,\%2C\,L\,\\%0D%0A%26\,=\,2{%2C}0\,\%2C\,L.%0D%0A\end{align%2A}$

c. Combien de verres peut-il servir ?

Sachant que la quantité totale obtenue est de 2 litres pour 10 verres, nous devons déterminer combien de verres sont nécessaires pour utiliser entièrement 1 litre de sirop de fraise :

$\begin{align%2A}%0D%0A\frac{1}{5}\,\%2C\,L\,%26\,=\,\frac{1}{10}\,\times \,n\,\%2C\,L%0D%0A\end{align%2A}$

où est le nombre de verres :

$n\,=\,10\,\times \,(\,\frac{1}{5}\,)\,=\,50\,\%2C\,verres$

Conclusion :
Zolan peut servir 50 verres de cocktail.

Exercice 7 : problème de la piscine
Pour la question b:

Les dimensions du premier bassin sont 50 m × 20 m.
Le périmètre du premier bassin est donné par la formule du périmètre d’un rectangle:
$P_1\,=\,2\,\times \,(L\,%2B\,\ell)$
où $L\,=\,50$ m et $\ell\,=\,20$ m.

Donc,
$P_1\,=\,2\,\times \,(50\,%2B\,20)\,=\,2\,\times \,70\,=\,140\,\,m$

Les dimensions du deuxième bassin sont réduites de moitié, donc m × m.
Le périmètre du deuxième bassin est :
$P_2\,=\,2\,\times \,(L\,%2B\,\ell)$
où $L\,=\,25$ m et $\ell\,=\,10$ m.

Donc,
$P_2\,=\,2\,\times \,(25\,%2B\,10)\,=\,2\,\times \,35\,=\,70\,\,m$

Le rapport entre les périmètres des deux bassins est :
$\frac{P_1}{P_2}\,=\,\frac{140}{70}\,=\,2$

Pour la question c:

L’aire du premier bassin est donnée par :
$A_1\,=\,L\,\times \,\ell$
où $L\,=\,50$ m et $\ell\,=\,20$ m.

Donc,
$A_1\,=\,50\,\times \,20\,=\,1000\,\,m^2$

L’aire du deuxième bassin est :
$A_2\,=\,L\,\times \,\ell$
où $L\,=\,25$ m et $\ell\,=\,10$ m.

Donc,
$A_2\,=\,25\,\times \,10\,=\,250\,\,m^2$

Le rapport entre les aires des deux bassins est :
$\frac{A_1}{A_2}\,=\,\frac{1000}{250}\,=\,4$

Exercice 8 : problème du bassin olympique
a. Pour déterminer combien de baignoires de 125 L seraient nécessaires pour remplir un bassin de 37 500 hL, nous devons convertir tout d’abord la capacité du bassin en litres.

La capacité du bassin est de 37 500 hL, soit :

$37\%2C500\,\times \,100\,=\,3\%2C750\%2C000\,\,litres$

Le nombre de baignoires nécessaires est alors :

$\frac{3\%2C750\%2C000}{125}\,=\,30\%2C000$

b. De même, pour les aquariums de 500 L :

$\frac{3\%2C750\%2C000}{500}\,=\,7\%2C500$

c. Si la capacité est proportionnelle à la profondeur, alors pour un bassin d’une profondeur de 2 m, la capacité serait :

$Capacite\,=\,\frac{2}{3}\,\times \,37\%2C500\,\,hL\,=\,25\%2C000\,\,hL$

La capacité en litres est donc :

$25\%2C000\,\times \,100\,=\,2\%2C500\%2C000\,\,litres$

d. Reprenons les questions a et b pour un bassin profond de 2 m, c’est-à-dire une capacité de 2 500 000 L.

Pour le nombre de baignoires de 125 L :

$\frac{2\%2C500\%2C000}{125}\,=\,20\%2C000$

Pour le nombre d’aquariums de 500 L :

$\frac{2\%2C500\%2C000}{500}\,=\,5\%2C000$

Exercice 9 : problème du championnat de France
a. Pour chaque compétition, indique le classement des nageuses dans la dernière colonne.

En 2014 :
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ANageuse\,%26\,Temps\,%26\,Classement\,\\%0D%0A\hline%0D%0AAlex\,%26\,27.59\%2Cs\,%26\,5\,\\%0D%0AJoana\,%26\,27.30\%2Cs\,%26\,3\,\\%0D%0AMaelle\,%26\,27.12\%2Cs\,%26\,1\,\\%0D%0AMathilde\,%26\,27.24\%2Cs\,%26\,2\,\\%0D%0ANolwenn\,%26\,27.53\%2Cs\,%26\,4\,\\%0D%0APauline\,%26\,27.37\%2Cs\,%26\,7\,\\%0D%0ASolweig\,%26\,27.50\%2Cs\,%26\,6\,\\%0D%0AZoe\,%26\,27.45\%2Cs\,%26\,8\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

En 2013 :
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ANageuse\,%26\,Temps\,%26\,Classement\,\\%0D%0A\hline%0D%0AClaire\,%26\,27.51\%2Cs\,%26\,5\,\\%0D%0AEmma\,%26\,26.88\%2Cs\,%26\,1\,\\%0D%0AJulia\,%26\,26.95\%2Cs\,%26\,2\,\\%0D%0AJulie\,%26\,27.58\%2Cs\,%26\,7\,\\%0D%0AManon\,%26\,27.08\%2Cs\,%26\,3\,\\%0D%0AMeredith\,%26\,27.41\%2Cs\,%26\,4\,\\%0D%0AMorgane\,%26\,27.73\%2Cs\,%26\,8\,\\%0D%0ASandrine\,%26\,28.01\%2Cs\,%26\,6\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Donne le classement global de ces 16 nageuses sur les deux ans.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ANageuse\,%26\,Temps\,\\%0D%0A\hline%0D%0AEmma\,%26\,26.88\%2Cs\,\\%0D%0AJulia\,%26\,26.95\%2Cs\,\\%0D%0AManon\,%26\,27.08\%2Cs\,\\%0D%0AMaelle\,%26\,27.12\%2Cs\,\\%0D%0AMathilde\,%26\,27.24\%2Cs\,\\%0D%0AJoana\,%26\,27.30\%2Cs\,\\%0D%0AMeredith\,%26\,27.41\%2Cs\,\\%0D%0AZoe\,%26\,27.45\%2Cs\,\\%0D%0ASolweig\,%26\,27.50\%2Cs\,\\%0D%0AClaire\,%26\,27.51\%2Cs\,\\%0D%0ANolwenn\,%26\,27.53\%2Cs\,\\%0D%0AAlex\,%26\,27.59\%2Cs\,\\%0D%0AJulie\,%26\,27.58\%2Cs\,\\%0D%0APauline\,%26\,27.37\%2Cs\,\\%0D%0AMorgane\,%26\,27.73\%2Cs\,\\%0D%0ASandrine\,%26\,28.01\%2Cs\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$