Puissances : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 11 : ecriture scientifique et puissances

Calculer \(5^8\).
\begin{align*}
5^8 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \\
= 390625
\end{align*}

Déterminer l’écriture scientifique de \(0{,}000 \, 548 \, 4\).
\begin{align*}
0{,}000 \, 548 \, 4 = \frac{5484}{10000 \, 0000} \\
= 5{,}484 \times 10^{-4}
\end{align*}

Calculer \(A = 124 \times 10^{17} + 0{,}89 \times 10^{19}\).
\begin{align*}
A = 124 \times 10^{17} + (0{,}89 \times 10^{19})\\
= 124 \times 10^{17} + 8{,}9 \times 10^{18} \\
= 124 \times 10^{17} + 89 \times 10^{17} \\
= (124 + 89) \times 10^{17} \\
= 213 \times 10^{17} \\
= 2{,}13 \times 10^{19}
\end{align*}

Exercice 12 : puissances et calculs
1. Calculons \(5^4\) :

\[
5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625
\]

Donc,

\[
5^4 = 625
\]

2. Déterminons l’écriture scientifique de \(587\,402\,000\) :

\[
587\,402\,000 = 5,87402 \times 10^8
\]

3. Calculons \(B\) :

\[
B = \frac{8,7 \times 10^5 + 7,7 \times 10^6}{8 \times 10^{-9}}
\]

Commençons par simplifier le numérateur :

\[
8,7 \times 10^5 + 7,7 \times 10^6 = 8,7 \times 10^5 + 77 \times 10^5 = (8,7 + 77) \times 10^5 = 85,7 \times 10^5
\]

Nous avons donc :

\[
B = \frac{85,7 \times 10^5}{8 \times 10^{-9}}
\]

Pour simplifier, écrivons le dénominateur comme suit :

\[
8 \times 10^{-9} = \frac{8}{10^9}
\]

Maintenant, la division devient :

\[
B = \frac{85,7 \times 10^5}{\frac{8}{10^9}} = 85,7 \times 10^5 \times \frac{10^9}{8} = 85,7 \times \frac{10^{14}}{8} = 85,7 \times 1,25 \times 10^{14}
\]

Enfin,

\[
B = 107,125 \times 10^{14}
\]

En notation scientifique, \( B \) est :

\[
B = 1,07125 \times 10^{16}
\]

Exercice 13 : controle sur les puissances de 10
{Situation 1}

Écrire sous la forme \(10^n\) où \(n\) est un entier relatif.
1. \( A = 10^3 \times 10^{-7} \)

\[ A = 10^{3-7} \]

\[ A = 10^{-4} \]

2. \( B = (10^4)^{-2} \)

\[ B = 10^{4 \times -2} \]

\[ B = 10^{-8} \]

3. \( C = \frac{10^{-5}}{10^{-2}} \)

\[ C = 10^{-5 – (-2)} \]

\[ C = 10^{-5 + 2} \]

\[ C = 10^{-3} \]

4. \( D = \frac{10^3 \times 10^{-5}}{(10^2)^{-1}} \)

\[ D = \frac{10^{3-5}}{10^{2 \times -1}} \]

\[ D = \frac{10^{-2}}{10^{-2}} \]

\[ D = 10^{-2 – (-2)} \]

\[ D = 10^{0} = 1 \]

5. \( E = 10^3 \times (10^{-2})^3 \)

\[ E = 10^3 \times 10^{-6} \]

\[ E = 10^{3-6} \]

\[ E = 10^{-3} \]

{Situation 2}

Écrire sous forme \( a \times 10^n \) où \( a \) est un nombre relatif et \( n \) un entier relatif.
1. \( F = 5 \times 10^4 \times 2 \times 10^2 \)

\[ F = (5 \times 2) \times 10^{4+2} \]

\[ F = 10 \times 10^6 \]

\[ F = 1 \times 10^7 \]

2. \( G = 3 \times 10^{-1} \times 4 \times (10^3)^{-2} \)

\[ G = 3 \times 4 \times 10^{-1} \times 10^{-6} \]

\[ G = 12 \times 10^{-7} \]

\[ G = 1.2 \times 10^{-6} \]

Exercice 14 : propagation d’une rumeur et puissances
Le 1er mars, Laura prévient 3 personnes. Le 2 mars, ces trois personnes propagent la rumeur en prévenant chacune 3 nouvelles personnes, donc \(3 \times 3 = 3^2\). Chaque jour, chaque personne prévenue la veille prévient 3 nouvelles personnes.

L’exercice nous demande de trouver le nombre de personnes informées chaque jour en utilisant la notation exponentielle \(3^n\).

1) Exprimer, sous la forme \(3^n\), où \(n\) est un entier, le nombre de personnes qui auraient appris la rumeur :

a) le jour du 2 mars :

\[ 3^1 \]

b) le jour du 3 mars :

\[ 3^2 \]

c) le jour du 4 mars :

\[ 3^3 \]

d) le jour du 10 mars :

\[ 3^9 \]

2) a) Exprimer sous la forme \(3^n\), où \(n\) est un entier, le nombre de personnes qui auraient appris la rumeur le jour du 15 mars.

\[ 3^{14} \]

b) Commenter le résultat.

Les résultats montrent une croissance exponentielle du nombre de personnes prévenues chaque jour. Ce nombre augmente très rapidement, atteignant des valeurs astronomiques en peu de temps. En effet, chaque personne en prévient trois autres chaque jour, produisant une situation où le nombre de personnes informées triple chaque jour. Par exemple, au 10 mars, \(3^9 = 19683\) personnes auront appris la rumeur et, au 15 mars, le nombre sera de \(3^{14} = 4782969\) personnes, ce qui montre à quel point les rumeurs peuvent se propager rapidement dans un réseau.

Exercice 15 : chimie et puissances
La masse d’une mole de carbone peut être calculée en multipliant la masse d’un atome de carbone par le nombre d’atomes dans une mole (le nombre d’Avogadro).

La masse d’un atome de carbone est \(1.99 \times 10^{-23}\) gramme.

Le nombre d’Avogadro est \(6.022 \times 10^{23}\).

La masse d’une mole de carbone est donc:
\[
\text{Masse d’une mole de carbone} = (\text{masse d’un atome de carbone}) \times (\text{nombre d’Avogadro})
\]

En substituant les valeurs, nous obtenons:
\[
\text{Masse d’une mole de carbone} = (1.99 \times 10^{-23} \text{ g}) \times (6.022 \times 10^{23})
\]

Pour simplifier les calculs, nous multiplions les puissances de 10 et les coefficients séparément:
\[
\text{Masse d’une mole de carbone} = 1.99 \times 6.022 \times (10^{-23} \times 10^{23})
\]

Puisque \(10^{-23} \times 10^{23} = 10^{0} = 1\), l’équation devient:
\[
\text{Masse d’une mole de carbone} = 1.99 \times 6.022
\]

En effectuant la multiplication:
\[
1.99 \times 6.022 \approx 11.978
\]

Ainsi, la masse d’une mole de carbone est approximativement \(11.978\) grammes.

Exercice 16 : simplifier des écritures avec des puissances
a. \((-2)^6\)

\[
(-2)^6 = (-2 \times -2 \times -2 \times -2 \times -2 \times -2) = 64
\]

—

b. \((-4)^{-3} \times 4^5\)

\[
(-4)^{-3} = ( \frac{1}{-4} )^3 = \frac{1}{(-4)^3} = \frac{1}{-64}
\]
\[
(-4)^{-3} \times 4^5 = \frac{1}{-4^3} \times 4^5 = \frac{4^5}{-4^3} = 4^{5-3} = 4^2 = 16
\]

—

c. \(-3^5 \times 3^{-2} \times (-3)^{-7}\)

\[
(-3^5) \times 3^{-2} \times (-3)^{-7} = -3^5 \times 3^{-2} \times (-1)^7 \times 3^{-7}
\]
\[
= -3^5 \times 3^{-2} \times -3^{-7} = -3^5 \times 3^{-2-7} = -3^5 \times 3^{-9} = -3^{5-9}
\]
\[
= -3^{-4} = -\frac{1}{3^4} = -\frac{1}{81}
\]

—

d. \(\frac{(-3)^7}{-3^5}\)

\[
\frac{(-3)^7}{-3^5} = (-3)^{7-5} = (-3)^2 = 9
\]

—

e. \(\frac{(-5)^{-7}}{-5^4 \times (-5)^{-4}}\)

\[
\frac{(-5)^{-7}}{-5^4 \times (-5)^{-4}} = \frac{(-5)^{-7}}{-5^{4-4}} = \frac{(-5)^{-7}}{-5^0}
\]
\[
= \frac{(-5)^{-7}}{1} = (-5)^{-7} = \frac{1}{(-5)^7} = \frac{1}{-78125} = -\frac{1}{78125}
\]

—

f. \((-2)^5 \times (-6)^5\)

\[
= (-1 \times 2)^5 \times (-1 \times 6)^5 = (-1)^5 \times 2^5 \times (-1)^5 \times 6^5
\]
\[
= (-1)^5 \times (-1)^5 \times 2^5 \times 6^5 = (-1 \times -1) \times 2^5 \times 6^5 = 1 \times 2^5 \times 6^5
\]
\[
= 2^5 \times 6^5 = (2 \times 6)^5 = 12^5 = 248832
\]

Exercice 17 : formules des puissances
{a.} \(( -5 )^{4} \times 5^{-8}\)

Utilisons la propriété des exposants : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).

\[
( -5 )^{4} \times 5^{-8} = (-5)^4 \times (-5)^{-8} = (-5)^{4 + (-8)} = (-5)^{-4} = \frac{1}{(-5)^4} = \frac{1}{625}
\]

{b.} \(3^{-3} \times ( -3 )^{-3}\)

\[
3^{-3} \times ( -3 )^{-3} = 3^{-3} \times (-1)^{-3} \times 3^{-3} = (-1)^{-3} \times 3^{-6} = -1 \times 3^{-6} = -3^{-6} = -\frac{1}{3^6} = -\frac{1}{729}
\]

{c.} \(( -5 )^{2} \times ( -5 )^{7}\)

Utilisons la propriété des exposants : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).

\[
( -5 )^{2} \times ( -5 )^{7} = ( -5 )^{2+7} = ( -5 )^{9}
\]

{d.} \(\frac{ ( -7 )^{7} }{ 75 \times ( -7 )^{2} }\)

Utilisons la propriété des exposants : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) et \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

\[
\frac{ ( -7 )^{7} }{ 75 \times ( -7 )^{2} } = \frac{ ( -7 )^{7} }{ 75 \times ( -7 )^{2} } = \frac{ ( -7 )^{7} }{ 75 \times ( -7 )^{2} } = \frac{ ( -7 )^{7 – 2} }{ 75 } = \frac{ ( -7 )^{5} }{ 75 }
\]

{e.} \(-\frac{ ( -11 )^{4} }{ 55^{4} }\)

\[
-\frac{ ( -11 )^{4} }{ 55^{4} } = -\frac{ ( -11 )^{4} }{ 11^{4} \times 5^{4} } = -\frac{ ( -1 \times 11 )^{4} }{ 11^{4} \times 5^{4} } = -\frac{ ( -1 )^{4} \times 11^{4} }{ 11^{4} \times 5^{4} } = -\frac{ 1 \times 11^{4} }{ 11^{4} \times 5^{4} } = -\frac{ 11^{4} }{ 11^{4} \times 5^{4} } = -\frac{ 1 }{ 5^{4} } = -\frac{ 1 }{ 625 }
\]

{f.} \(\frac{ ( -2 )^{5} \times 6^{5} }{ ( -12 )^{-3} }\)

Utilisons la propriété des exposants : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) et \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

\[
\frac{ ( -2 )^{5} \times 6^{5} }{ ( -12 )^{-3} } = ( -2 \times 6 )^{5} \times ( -12 )^{3} = ( -1 )^{5} \times 2^{5}\times 6^{5} \times (-1 )^{3} \times 12^{3}= -2^{5}\times 6^{5} \times (-1) \times 6^{3} \times 2^{3}= 2^{8}\times 6^{5+ 3} \times (-1)\times (-1) =2^{8}\times 6^{8}= 12^{8}
\]

Exercice 18 : déterminer le signe des produits
{Correction:}

Répondons à chaque question en déterminant le signe du produit.

a. \((-2)^2 \times 2^{-3}\)

\(\begin{align*}
(-2)^2 = 4 \quad \text{(positif)} \\
2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \quad \text{(positif)} \\
\text{Donc, } 4 \times \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \quad \text{(positif)} \\
\end{align*}\)

b. \((-3)^5 \times (-2)^4\)

\(\begin{align*}
(-3)^5 = -243 \quad \text{(négatif)} \\
(-2)^4 = 16 \quad \text{(positif)} \\
\text{Donc, } -243 \times 16 = -3888 \quad \text{(négatif)} \\
\end{align*}\)

c. \((-1)^{10} \times (-2)^{-2}\)

\(\begin{align*}
(-1)^{10} = 1 \quad \text{(positif)} \\
(-2)^{-2} = (\frac{1}{-2})^2 = \frac{1}{4} \quad \text{(positif)} \\
\text{Donc, } 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \quad \text{(positif)} \\
\end{align*}\)

d. \((-4)^7 \times 2^{-3}\)

\(\begin{align*}
(-4)^7 = -16384 \quad \text{(négatif)} \\
2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \quad \text{(positif)} \\
\text{Donc, } -16384 \times \frac{1}{8} = -2048 \quad \text{(négatif)} \\
\end{align*}\)

e. \((-1)^{-9} \times (-2)\)

\(\begin{align*}
(-1)^{-9} = -1 \quad \text{(négatif)} \\
(-2) = -2 \quad \text{(négatif)} \\
\text{Donc, } -1 \times -2 = 2 \quad \text{(positif)} \\
\end{align*}\)

f. \(\frac{(-1)^{-5} \times 7^{-2}}{(-2)^5}\)

\(\begin{align*}
(-1)^{-5} = -1 \quad \text{(négatif)} \\
7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \quad \text{(positif)} \\
(-2)^5 = -32 \quad \text{(négatif)} \\
-1 \times \frac{1}{49} = -\frac{1}{49} \quad \text{(négatif)} \\
\frac{-\frac{1}{49}}{-32} = \frac{1}{49 \times 32} = \frac{1}{1568} \quad \text{(positif)} \\
\end{align*}\)

\textit{Summary:}

[a.] Positif
[b.] Négatif
[c.] Positif
[d.] Négatif
[e.] Positif
[f.] Positif

Exercice 19 : ecriture scientifique d’un nombre

\[6000 = 6 \times 10^3\]
\[82000 = 8.2 \times 10^4\]
\[0.00005 = 5 \times 10^{-5}\]
\[420000000000 = 4.2 \times 10^{11}\]
\[-0.00000000009264 = -9.264 \times 10^{-11}\]
\[-1815000000 = -1.815 \times 10^9\]

Exercice 20 : calculs directs sur les puissances de 10
\[
\text{A} = 9,373421 \times 10^4
= 93734,21
\]

\[
\text{B} = 0,00047127 \times 10^7
= 4712,7
\]

\[
\text{C} = -14973213,27 \times 10^{-5}
= -149,7321327
\]

\[
\text{D} = 0,00245 \times 10^{-3}
= 2,45 \times 10^{-6}
= 0,00000245
\]

\[
\text{E} = -7,23429 \times 10^9
= -7234290000
\]

Exercice 21 : expressions plus complexes
\[
\text{Pour chaque nombre, donnons son écriture scientifique :}
\]

1. \[
E = \frac{6 \times 10^{-7} \times 15 \times 10^{11}}{8 \times (10^2)^4}
\]

Calcul : Simplifions le numérateur et le dénominateur :
\[
E = \frac{6 \times 15 \times 10^{-7} \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}}
\]
\[
E = \frac{90 \times 10^{4}}{8 \times 10^{8}}
\]
\[
E = \frac{90}{8} \times 10^{4-8}
\]
\[
E = 11.25 \times 10^{-4}
\]
L’écriture scientifique correcte est :
\[
E = 1.125 \times 10^{-3}
\]

2. \[
F = \frac{3 \times 10^{-2} \times 1.2 \times (10^{-3})^4}{0.2 \times 10^{-7}}
\]

Calcul : Simplifions le numérateur et le dénominateur :
\[
F = \frac{3 \times 1.2 \times 10^{-2} \times 10^{-12}}{0.2 \times 10^{-7}}
\]
\[
F = \frac{3.6 \times 10^{-14}}{0.2 \times 10^{-7}}
\]
\[
F = \frac{3.6}{0.2} \times 10^{-14+7}
\]
\[
F = 18 \times 10^{-7}
\]
L’écriture scientifique correcte est :
\[
F = 1.8 \times 10^{-6}
\]

3. \[
G = \frac{4 \times 10^{-2} \times 30 \times 10^{5}}{6 \times 10^{-1}}
\]

Calcul : Simplifions le numérateur et le dénominateur :
\[
G = \frac{4 \times 30 \times 10^{-2} \times 10^{5}}{6 \times 10^{-1}}
\]
\[
G = \frac{120 \times 10^{3}}{6 \times 10^{-1}}
\]
\[
G = \frac{120}{6} \times 10^{3-1}
\]
\[
G = 20 \times 10^{2}
\]
L’écriture scientifique correcte est :
\[
G = 2 \times 10^{3}
\]

4. \[
H = \frac{5 \times 10^{-2} \times 7 \times 10^{5}}{2 \times 10^{7}}
\]

Calcul : Simplifions le numérateur et le dénominateur :
\[
H = \frac{5 \times 7 \times 10^{-2} \times 10^{5}}{2 \times 10^{7}}
\]
\[
H = \frac{35 \times 10^{3}}{2 \times 10^{7}}
\]
\[
H = \frac{35}{2} \times 10^{-4}
\]
\[
H = 17.5 \times 10^{-4}
\]
L’écriture scientifique correcte est:
\[
H = 1.75 \times 10^{-3}
\]

\[
\boxed{
\begin{align*}
E = 1.125 \times 10^{-3} \\
F = 1.8 \times 10^{-6} \\
G = 2 \times 10^{3} \\
H = 1.75 \times 10^{-3}
\end{align*}
}
\]

Exercice 22 : notation scientifique de ces nombres
Pour exprimer les nombres suivants en notation scientifique, il faut écrire les nombres sous la forme \(a \times 10^n\) où \(1 \leq\, |a| < 10\) et \(n\) est un entier.

\[A = 3254789,742 \times 10^{-15}\]

On doit déplacer la virgule pour obtenir un nombre compris entre 1 et 10, soit :

\[3,254789742 \times 10^6\]

Ainsi,

\[A = 3,254789742 \times 10^6 \times 10^{-15}\]
\[A = 3,254789742 \times 10^{-9}\]

\[B = 0,0000045 \times 10^{31}\]

On doit déplacer la virgule de 6 positions vers la droite :

\[4,5 \times 10^{-6}\]

Ainsi,

\[B = 4,5 \times 10^{-6} \times 10^{31}\]
\[B = 4,5 \times 10^{25}\]

\[C = 478256,56 \times 10^{-17}\]

On doit déplacer la virgule de 5 positions vers la gauche :

\[4,7825656 \times 10^5\]

Ainsi,

\[C = 4,7825656 \times 10^5 \times 10^{-17}\]
\[C = 4,7825656 \times 10^{-12}\]

\[D = -0,000000045 \times 10^{12}\]

On doit déplacer la virgule de 8 positions vers la droite :

\[-4,5 \times 10^{-8}\]

Ainsi,

\[D = -4,5 \times 10^{-8} \times 10^{12}\]
\[D = -4,5 \times 10^4\]

Exercice 23 : ecrire des nombres à l’aide de puissances de 10

[a.] \text{dix mille} = 10^4
[b.] \text{un million} = 10^6
[c.] \text{cent millions} = 10^8
[d.] \text{un milliard} = 10^9
[e.] \text{dix milliards} = 10^{10}

[a.] \text{un centième} = 10^{-2}
[b.] \text{un dix-millième} = 10^{-4}
[c.] \text{un millionième} = 10^{-6}
[d.] \text{un cent millionième} = 10^{-8}
[e.] \text{un milliardième} = 10^{-9}

Exercice 24 : multiples et sous-multiples d’unité
Correction de l’exercice :

a. \( 7 \, \text{mégahertz} = 7 \times 10^6 \, \text{Hz} \)

b. \( 2 \, \text{millisecondes} = 2 \times 10^{-3} \, \text{s} \)

c. \( 5 \, \text{gigawatts} = 5 \times 10^9 \, \text{W} \)

d. \( 6 \, \text{microvolts} = 6 \times 10^{-6} \, \text{V} \)

e. \( 8 \, \text{nanomètres} = 8 \times 10^{-9} \, \text{m} \)

f. \( 4 \, \text{décagrammes} = 4 \times 10^1 \, \text{g} \)

Exercice 25 : décomposer un nombre décimal
a. \( 2,75 = 2 \times 10^0 + 7 \times 10^{-1} + 5 \times 10^{-2} \)

b. \( 18,29 = 1 \times 10^1 + 8 \times 10^0 + 2 \times 10^{-1} + 9 \times 10^{-2} \)

c. \( 34\,000 = 3 \times 10^4 + 4 \times 10^3 \)

d. \( 0,0096 = 9 \times 10^{-3} + 6 \times 10^{-4} \)

e. \( 1,014 = 1 \times 10^0 + 1 \times 10^{-2} + 4 \times 10^{-3} \)

Exercice 26 : l’écriture décimale et base décimale
a. \( 3 \times 10^0 + 4 \times 10^{-1} + 7 \times 10^{-2} \)

\[ 3 \times 1 + 4 \times 0.1 + 7 \times 0.01 = 3 + 0.4 + 0.07 = 3.47 \]

b. \( 6 \times 10^1 + 2 \times 10^0 + 5 \times 10^{-1} \)

\[ 6 \times 10 + 2 \times 1 + 5 \times 0.1 = 60 + 2 + 0.5 = 62.5 \]

c. \( 1 \times 10^4 + 2 \times 10^3 \)

\[ 1 \times 10000 + 2 \times 1000 = 10000 + 2000 = 12000 \]

d. \( 8 \times 10^{-4} + 9 \times 10^{-5} \)

\[ 8 \times 0.0001 + 9 \times 0.00001 = 0.0008 + 0.00009 = 0.00089 \]

e. \( 4 \times 10^0 + 3 \times 10^{-3} + 6 \times 10^{-4} \)

\[ 4 \times 1 + 3 \times 0.001 + 6 \times 0.0001 = 4 + 0.003 + 0.0006 = 4.0036 \]

Exercice 27 : relier les expressions numériques
Les pairs de nombres égaux sont :

\[
\begin{align*}
271 \,800 \times 10^{-6} \quad \text{avec} \quad 0,2718 \\
271,8 \times 10^{-2} \quad \text{avec} \quad 2,718 \\
2\,718 \times 10^{-1} \quad \text{avec} \quad 271,8 \\
0,2718 \times 10^{-1} \quad \text{avec} \quad 0,02718 \\
2\,718 \times 10^{0} \quad \text{avec} \quad 2\,718 \\
0,2718 \times 10^{3} \quad \text{avec} \quad 271,8 \\
0,002718 \times 10^{4} \quad \text{avec} \quad 27\,180 \\
0,02718 \times 10^{7} \quad \text{avec} \quad 271\,800 \\
\end{align*}
\]

Exercice 28 : ecrire chaque nombre en notation scientifique
a. \( 6\ 540 = 6{,}54 \times 10^3 \)

b. \( 34{,}3 = 3{,}43 \times 10^1 \)

c. \( 1\ 475{,}2 = 1{,}4752 \times 10^3 \)

d. \( 23{,}45 = 2{,}345 \times 10^1 \)

e. \( 0{,}003 = 3 \times 10^{-3} \)

f. \( 0{,}001 = 1 \times 10^{-3} \)

Exercice 29 : expression numérique et puissances de 10
On donne l’expression numérique :
\[ A = 2 \times 10^2 + 10^1 + 10^{-1} + 2 \times 10^{-2} \]

a. Écriture décimale de \( A \) :
\[
A = 2 \times 100 + 10 + 0.1 + 0.02 = 200 + 10 + 0.1 + 0.02 = 210.12
\]

b. Écriture scientifique de \( A \) :
\[
A = 2.1012 \times 10^2
\]

c. Forme du produit d’un nombre entier par une puissance de 10 :
\[
A = 21012 \times 10^{-2}
\]

d. Forme de la somme d’un nombre entier et d’une fraction irréductible inférieure à 1 :
\[
A = 210 + \frac{3}{25}
\]

Exercice 30 : donner l’écriture scientifique de ces nombres
a. \( 645,3 \times 10^{-15} = 6,453 \times 10^2 \times 10^{-15} = 6,453 \times 10^{-13} \)

b. \( 0,056 \times 10^{17} = 5,6 \times 10^{-2} \times 10^{17} = 5,6 \times 10^{15} \)

c. \( 13,6 \times 10^{-9} = 1,36 \times 10^1 \times 10^{-9} = 1,36 \times 10^{-8} \)

d. \( 523 \times 10^7 = 5,23 \times 10^2 \times 10^7 = 5,23 \times 10^9 \)

e. \( 34 \,000 \times 10^{12} = 3,4 \times 10^4 \times 10^{12} = 3,4 \times 10^{16} \)

Exercice 31 : calculer ces expressions numériques
\[\]
\begin{align*}
A = 45 \times 10^{12} \times 4 \times 10^{-26} \\
= (45 \times 4) \times (10^{12} \times 10^{-26}) \\
= 180 \times 10^{-14} \\
= 1.8 \times 10^2 \times 10^{-14} \\
= 1.8 \times 10^{-12}
\end{align*}
\[\]

\[\]
\begin{align*}
B = 12 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-5} \\
= (12 \times 5) \times (10^{-5} \times 10^{-5}) \\
= 60 \times 10^{-10} \\
= 6.0 \times 10^1 \times 10^{-10} \\
= 6.0 \times 10^{-9}
\end{align*}
\[\]

\[\]
\begin{align*}
C = 2.7 \times 10^{13} \times 15.1 \times 10^{-8} \\
= (2.7 \times 15.1) \times (10^{13} \times 10^{-8}) \\
= 40.77 \times 10^5 \\
= 4.077 \times 10^1 \times 10^5 \\
= 4.077 \times 10^6
\end{align*}
\[\]

Exercice 32 : qCM sur les puissances de 10
a. L’écriture scientifique de 65 100 000 est :
\[ 6,51 \times 10^7 \]
La bonne réponse est la Réponse A.

b. Le nombre décimal 0,246 s’écrit aussi :
\[ 2,46 \times 10^{-1} \]
La bonne réponse est la Réponse C.

c. \( 28 \times 10^{-3} \) est égal à :
\[ 0,028 \]
La bonne réponse est la Réponse B.

d. Le nombre \( 50 \times 10^{-3} \) s’écrit encore :
\[ 0,05 \]
La bonne réponse est la Réponse C.

e. L’écriture scientifique de 0,0035 est :
\[ 3,5 \times 10^{-3} \]
La bonne réponse est la Réponse A.

Exercice 33 : problème sur l’atome de carbone
{Correction de l’exercice:}

a. Calculons d’abord la masse en kilogrammes d’un paquet contenant \(6{,}022 \times 10^{23}\) atomes de carbone.

La masse d’un atome de carbone est \(1{,}99 \times 10^{-26} \, \text{kg}\).

La masse totale du paquet est donc :
\[
m_{\text{total}} = 6{,}022 \times 10^{23} \times 1{,}99 \times 10^{-26} \, \text{kg}
\]

Simplifions cette expression :
\[
m_{\text{total}} = (6{,}022 \times 1{,}99) \times (10^{23} \times 10^{-26}) \, \text{kg}
\]
\[
m_{\text{total}} = 11{,}98438 \times 10^{-3} \, \text{kg}
\]

Pour convertir en grammes, on doit multiplier par \(1000\) :
\[
m_{\text{total}} = 11{,}98438 \times 10^{-3} \times 1000 \, \text{g}
\]
\[
m_{\text{total}} = 11{,}98438 \, \text{g}
\]

Donc, la masse en grammes d’un tel paquet d’atomes de carbone est \(11{,}98438 \, \text{g}\).

b. Arrondissons maintenant cette masse à un gramme près.

La valeur arrondie de \(11{,}98438 \, \text{g}\) est \(12 \, \text{g}\).

Ainsi, la masse arrondie à un gramme près est \(12 \, \text{g}\).

Exercice 34 : problème de la vitesse de la lumière
a. La lumière se propage à la vitesse moyenne de \(3 \times 10^5\) km par seconde.

La distance parcourue par la lumière en une année est donnée par :
\[ d = v \times t \]

où :
– \( v = 3 \times 10^5 \) km/s (vitesse de la lumière)
– \( t \) est le nombre de secondes dans une année.

Calculons \( t \) :
\[ t = 60 \, \text{sec/min} \times 60 \, \text{min/h} \times 24 \, \text{h/jour} \times 365 \, \text{jours/an} \]
\[ t = 60 \times 60 \times 24 \times 365 \]
\[ t \approx 3.1536 \times 10^7 \, \text{seconds} \]

Alors, la distance \( d \) est :
\[ d = 3 \times 10^5 \, \text{km/s} \times 3.1536 \times 10^7 \, \text{sec} \]

En utilisant la notation scientifique et en arrondissant au dixième :
\[ d \approx 9.5 \times 10^{12} \, \text{km} \]

C’est ce qu’on appelle une année-lumière (a.l.).

b. Les astronomes ont observé que l’extinction d’une étoile s’est produite il y a environ 5000 ans.

La distance séparant cette étoile de la Terre est donnée par :
\[ d = v \times t \]

où :
– \( t = 5000 \, \text{années} \)

Nous avons déjà calculé la distance parcourue par la lumière en une année, soit \( 9.5 \times 10^{12} \, \text{km/an} \).

Alors, la distance séparant cette étoile de la Terre est :
\[ d = 9.5 \times 10^{12} \, \text{km/an} \times 5000 \, \text{ans} \]
\[ d = 4.75 \times 10^{16} \, \text{km} \]

Exercice 35 : quelle est la planète la plus éloignée du soleil ?
Les distances des planètes Vénus, Mars et Terre au Soleil sont données ainsi :

\begin{align*}
\text{Vénus} : 105 \times 10^6 \text{ km} \\
\text{Mars} : 2\,250 \times 10^5 \text{ km} \\
\text{Terre} : 1{,}5 \times 10^8 \text{ km} \\
\end{align*}

Pour pouvoir comparer ces distances, il est préférable d’exprimer toutes les distances en une même base. Exprimons chaque distance en kilomètres de la façon suivante :

1. Vénus :
\[
105 \times 10^6 = 105 \times 1\,000\,000 = 105\,000\,000 \text{ km}
\]

2. Mars :
\[
2\,250 \times 10^5 = 2\,250 \times 100\,000 = 225\,000\,000 \text{ km}
\]

3. Terre :
\[
1{,}5 \times 10^8 = 1{,}5 \times 100\,000\,000 = 150\,000\,000 \text{ km}
\]

Maintenant, comparons les distances obtenues en kilomètres :

\begin{align*}
\text{Vénus} : 105\,000\,000 \text{ km} \\
\text{Mars} : 225\,000\,000 \text{ km} \\
\text{Terre} : 150\,000\,000 \text{ km} \\
\end{align*}

On constate que la distance de Mars au Soleil (225\,000\,000 km) est la plus grande parmi les trois planètes mentionnées.

Ainsi, la planète la plus éloignée du Soleil parmi Vénus, Mars et Terre est \[\]Mars\[\].

Exercice 36 : calculs et écriture scientifique
\[
A = 732,472 \times 10^{-6} = 7,32472 \times 10^{2} \times 10^{-6} = 7,32472 \times 10^{-4}
\]

\[
B = 4 \times (10^{-5})^2 \times 3 \times 10^{4} \times 10^{6}
\]
\[
= 4 \times 10^{-10} \times 3 \times 10^{4} \times 10^{6} = 4 \times 3 \times 10^{-10 + 4 + 6} = 12 \times 10^{0} = 1,2 \times 10^{1}
\]

\[
C = \frac{42 \times (10^{-3})^{-1} \times 37 \times 10^{4}}{6 \times 10^{-3} \times 7 \times 10^{5}}
\]
\[
= \frac{42 \times 10^{3} \times 37 \times 10^{4}}{6 \times 10^{-3} \times 7 \times 10^{5}} = \frac{42 \times 37 \times 10^{7}}{6 \times 7 \times 10^{2}} = \frac{1554 \times 10^{7}}{42 \times 10^{2}} = \frac{1554}{42} \times 10^{5}
\]
\[
= 37 \times 10^{5} = 3.7 \times 10^{6}
\]

Exercice 37 : aire , périmètre et puissances
Pour calculer l’aire \( A \) et le périmètre \( P \) d’un rectangle de longueur \( L = 6{,}4 \times 10^{30} \) m et de largeur \( l = 1{,}28 \times 10^{20} \) m, nous procédons comme suit :

L’aire du rectangle est donnée par \( A = L \times l \) :
\[
A = 6{,}4 \times 10^{30} \times 1{,}28 \times 10^{20}
\]
\[
A = (6{,}4 \times 1{,}28) \times (10^{30} \times 10^{20})
\]
\[
A = 8{,}192 \times 10^{50}
\]

Le périmètre du rectangle est donné par \( P = 2(L + l) \) :
\[
P = 2 ( 6{,}4 \times 10^{30} + 1{,}28 \times 10^{20} )
\]
Puisque \( 10^{30} \) est beaucoup plus grand que \( 10^{20} \), nous pouvons approximativement considérer la somme en termes de l’ordre de grandeur de \( 10^{30} \) :
\[
P \approx 2 \times 6{,}4 \times 10^{30}
\]
\[
P \approx 12{,}8 \times 10^{30}
\]

En notation scientifique :
\[
P = 1{,}28 \times 10^{1} \times 10^{30}
\]
\[
P = 1{,}28 \times 10^{31}
\]

Donc, les résultats sont :
\[
A = 8{,}192 \times 10^{50} \text{ m}^2
\]
\[
P = 1{,}28 \times 10^{31} \text{ m}
\]

Exercice 38 : calculs et puissances
Calculons \( A \):

\[
A = 734,23 \times 10^{-1} + 48,32 + 0,00045 \times 10^3
\]

Décomposons chaque terme:
\[
734,23 \times 10^{-1} = 73,423
\]

\[
0,00045 \times 10^3 = 0,00045 \times 1000 = 0,45
\]

Additionnons les termes:
\[
A = 73,423 + 48,32 + 0,45 = 122,193
\]

Le résultat en notation scientifique est :
\[
A = 1,22193 \times 10^2
\]

Calculons \( B \):

\[
B = \frac{42 \times 10^{-5}}{7 \times 10^{-8}}
\]

Simplifions le coefficient numérique :
\[
\frac{42}{7} = 6
\]

Utilisons les propriétés des puissances de 10 :
\[
10^{-5} : 10^{-8} = 10^{-5 – (-8)} = 10^{-5 + 8} = 10^3
\]

Ainsi, nous obtenons :
\[
B = 6 \times 10^3
\]

Donc, le résultat en notation scientifique est :
\[
B = 6 \times 10^3
\]

Exercice 39 : recouvrir la terre à l’aide de la France
La superficie totale de la Terre est de \( 510\,065\,000 \, \text{km}^2 \). La superficie de la France est de \( 551\,602 \, \text{km}^2 \).

Pour trouver combien de fois la France peut couvrir la Terre, nous devons diviser la superficie de la Terre par la superficie de la France :

\[
\frac{510\,065\,000 \, \text{km}^2}{551\,602 \, \text{km}^2}
\]

Pour déterminer un ordre de grandeur de ce quotient, nous exprimons les superficies en utilisant des puissances de dix :

\[
510\,065\,000 \approx 5.1 \times 10^8 \, \text{km}^2
\]

\[
551\,602 \approx 5.5 \times 10^5 \, \text{km}^2
\]

Maintenant, nous calculons :

\[
\frac{5.1 \times 10^8 \, \text{km}^2}{5.5 \times 10^5 \, \text{km}^2} = \frac{5.1}{5.5} \times 10^{8 – 5} = \frac{5.1}{5.5} \times 10^3
\]

\(\frac{5.1}{5.5}\) est approximativement égal à \(0.927\), ce qui est proche de 1 pour une estimation d’ordre de grandeur. Donc :

\[
\frac{0.927 \times 10^3 \, \text{km}^2}{1} \approx 10^3
\]

Ainsi, il faudrait en ordre de grandeur environ \(10^3\) (ou 1,000) « France » pour couvrir la Terre.

Exercice 40 : mettre sous forme d’une puissance de 10
\[\]
A = \frac{10^3 \times 10^{-5}}{10^2} = \frac{10^{3 + (-5)}}{10^2} = \frac{10^{-2}}{10^2} = 10^{-2 – 2} = 10^{-4}
\[\]

\[\]
B = \frac{10^{-2} \times 10^{-9}}{(10^3)^4} = \frac{10^{-2 + (-9)}}{10^{3 \times 4}} = \frac{10^{-11}}{10^{12}} = 10^{-11 – 12} = 10^{-23}
\[\]

\[\]
C = \frac{(10^{-2})^5}{10^7 \times 10^{-8}} = \frac{10^{-2 \times 5}}{10^{7 + (-8)}} = \frac{10^{-10}}{10^{-1}} = 10^{-10 – (-1)} = 10^{-10 + 1} = 10^{-9}
\[\]

\[\]
D = \frac{10^2 \times 10^{-9}}{10^{-7}} = \frac{10^{2 + (-9)}}{10^{-7}} = \frac{10^{-7}}{10^{-7}} = 10^{-7 – (-7)} = 10^{-7 + 7} = 10^0 = 1
\[\]

\[\]
E = \frac{10^7 \times 10^5}{10^{-3} \times 10^{-1}} = \frac{10^{7 + 5}}{10^{-3 + (-1)}} = \frac{10^{12}}{10^{-4}} = 10^{12 – (-4)} = 10^{12 + 4} = 10^{16}
\[\]

\[\]
F = \frac{(10^4)^3}{10^8 \times 10^{-2}} = \frac{10^{4 \times 3}}{10^{8 + (-2)}} = \frac{10^{12}}{10^6} = 10^{12 – 6} = 10^6
\[\]

Exercice 41 : notation scientifique d’un nombre décimal
\( 540\,000\,000\,000 = 5{,}4 \times 10^{11} \)

\( 650\,000\,000 = 6{,}5 \times 10^{8} \)

\( 0{,}000\,000\,006 = 6 \times 10^{-9} \)

\( 1\,048\,000\,000\,000 = 1{,}048 \times 10^{12} \)

\( 0{,}000\,002\,64 = 2{,}64 \times 10^{-6} \)

\( 20\,300\,000 = 2{,}03 \times 10^{7} \)

\( 673{,}185 = 6{,}73185 \times 10^{2} \)

\( 8\,070\,000\,000 = 8{,}07 \times 10^{9} \)

\( 4\,000{,}007 = 4{,}000007 \times 10^{3} \)

\( 0{,}700\,600\,000 = 7{,}006 \times 10^{-1} \)

Exercice 42 : donner la notation scientifique
\begin{align*}
1. \quad 6\,300 \times 10^4 = 6.3 \times 10 \times 10^4 = 6.3 \times 10^5 \\
2. \quad 0.012\,500 \times 10^{-14} = 1.25 \times 10^{-2} \times 10^{-14} = 1.25 \times 10^{-16} \\
3. \quad 81\,500\,000 \times 10^{23} = 8.15 \times 10^7 \times 10^{23} = 8.15 \times 10^{30} \\
4. \quad 450 \times 10^6 = 4.5 \times 10^2 \times 10^6 = 4.5 \times 10^8 \\
5. \quad 0.012\,500 \times 10^{-12} = 1.25 \times 10^{-2} \times 10^{-12} = 1.25 \times 10^{-14} \\
6. \quad 81\,500\,000 \times 10^{13} = 8.15 \times 10^7 \times 10^{13} = 8.15 \times 10^{20} \\
7. \quad 0.000\,67 \times 10^{-5} = 6.7 \times 10^{-4} \times 10^{-5} = 6.7 \times 10^{-9} \\
8. \quad 0.012\,500 \times 10^{15} = 1.25 \times 10^{-2} \times 10^{15} = 1.25 \times 10^{13} \\
9. \quad 6\,300 \times 10^{12} = 6.3 \times 10^3 \times 10^{12} = 6.3 \times 10^{15} \\
\end{align*}

Exercice 43 : calculer et fournir l’écriture scientifique
Correction des exercices :

\[
A = \frac{3 \times 10^2 \times 1,2 \times 10^{-9}}{15 \times 10^2}
\]

On simplifie le numérateur et le dénominateur séparément :

\(3 \times 1,2 = 3,6\)

\(10^2 \times 10^{-9} = 10^{-7}\)

Donc,

\[
A = \frac{3,6 \times 10^{-7}}{15 \times 10^2} = \frac{3,6}{15} \times 10^{-7-2} = 0,24 \times 10^{-9}
\]

En notation scientifique :

\[
A = 2,4 \times 10^{-10}
\]

\[
B = 3 \times 10^{-4} \times 7 \times 10^9 \times 1,25
\]

On simplifie le tout :

\(3 \times 7 \times 1,25 = 26,25\)

\(10^{-4} \times 10^9 = 10^5\)

Donc,

\[
B = 26,25 \times 10^5 = 2,625 \times 10^6
\]

\[
C = \frac{8 \times 10^{35} \times 15 \times 10^{-6}}{20 \times (10^2)^5}
\]

On simplifie le numérateur et le dénominateur séparément :

\(8 \times 15 = 120\)

\(10^{35} \times 10^{-6} = 10^{29}\)

\((10^2)^5 = 10^{10}\)

Donc,

\[
C = \frac{120 \times 10^{29}}{20 \times 10^{10}} = \frac{120}{20} \times 10^{29-10} = 6 \times 10^{19}
\]

\[
D = 7,5 \times (10^9)^{-2} \times 2 \times 10^{-14}
\]

\( (10^9)^{-2} = 10^{-18}\)

Donc,

\[
D = 7,5 \times 2 \times 10^{-18-14} = 15 \times 10^{-32} = 1,5 \times 10^{-31}
\]

\[
E = 2 \times 10^6 \times 29 \times 10^{-3} \times 0,001
\]

On simplifie le tout :

\(2 \times 29 = 58\)

\(10^6 \times 10^{-3} \times 10^{-3} = 10^0 = 1\)

Donc,

\[
E = 58 \times 1 = 5,8 \times 10^1
\]

\[
F = \frac{6 \times (10^3)^{-4}}{4 \times 10^6 \times 3,3 \times 10^{-7}}
\]

On simplifie le numérateur et le dénominateur séparément :

\(6 \times (10^3)^{-4} = 6 \times 10^{-12}\)

\(4 \times 3,3 = 13,2\)

\(10^6 \times 10^{-7} = 10^{-1}\)

Donc,

\[
F = \frac{6 \times 10^{-12}}{13,2 \times 10^{-1}} = \frac{6}{13,2} \times 10^{-12+1} = \frac{6}{13,2} \times 10^{-11} = 0.4545 \times 10^{-11} = 4.545 \times 10^{-12}
\]

\[
G = \frac{15 \times 10^7 \times 4 \times 10^{-5}}{0,25 \times 10^2}
\]

On simplifie le tout :

\(15 \times 4 = 60\)

\(10^7 \times 10^{-5} = 10^{2}\)

\(0,25 \times 10^2 = 25\)

Donc,

\[
G = \frac{60 \times 10^2}{25} = \frac{60}{25} \times 10^2 = 2,4 \times 10^2
\]

\[
H = 0,01 \times 0,00296 \times 10^4 \times 5 \times 10^{-6} \times 10000
\]

On convertit tout en notation scientifique :

\[
0,01 = 1 \times 10^{-2}
\]

\[
0,00296 = 2,96 \times 10^{-3}
\]

\[
10^4 = 10^4
\]

\[
5 = 5 \times 10^0
\]

\[
10^{-6} = 10^{-6}
\]

\[
10000 = 10^4
\]

Ce qui donne :

\[
H = (1 \times 10^{-2}) \times (2,96 \times 10^{-3}) \times (10^4) \times (5 \times 10^0) \times (10^{-6}) \times (10^4)
\]

Regroupant les nombres et puissances de 10 :

\[
H = 1 \times 2,96 \times 5 \times 10^{-2-3+4+0-6+4} = 14.8 \times 10^{-3}
\]

En notation scientifique :
\[
H = 1,48 \times 10^{-2}
\]

Exercice 44 : calculer la distance entre la terre et soleil
\[
\text{La vitesse de la lumière est } v = 3 \times 10^8 \text{ m/s}.
\]
\[
\text{La durée de propagation est } t = 8 \text{ minutes et } 20 \text{ secondes}.
\]
\[
1 \text{ minute } = 60 \text{ secondes}, \text{ donc } 8 \text{ minutes } = 8 \times 60 \text{ secondes} = 480 \text{ secondes}.
\]
\[
\text{La durée totale en secondes est donc } t = 480 \text{ secondes } + 20 \text{ secondes } = 500 \text{ secondes}.
\]
\[
\text{La distance Terre-Soleil, } d, \text{ est donnée par la formule } d = v \times t.
\]
\[
d = 3 \times 10^8 \text{ m/s} \times 500 \text{ s} = 1.5 \times 10^{11} \text{ m}.
\]
\[
1 \text{ kilomètre } = 1000 \text{ mètres}, \text{ donc } 1.5 \times 10^{11} \text{ m} = 1.5 \times 10^{11} : 10^3 \text{ km}.
\]
\[
d = 1.5 \times 10^8 \text{ km}.
\]

Ainsi, la distance Terre-Soleil est \(1.5 \times 10^{11} \text{ m} \) en notation scientifique et \(150,000,000 \text{ km} \) en kilomètres.

Exercice 45 : porte-avions et billets de banque
\begin{align*}
\text{Le coût du porte-avions est de} \ \ 2 \text{ milliards d’euros} = 2 \times 10^9 \ \text{euros}. \\
\text{Chaque billet de 50 € a une épaisseur de} \ \ 80 \ \text{micromètres} = 80 \times 10^{-6} \ \text{m}.
\end{align*}

Pour calculer le nombre de billets de 50 € nécessaires pour atteindre 2 milliards d’euros :
\begin{align*}
\text{Nombre de billets} = \frac{2 \times 10^9 \ \text{euros}}{50 \ \text{euros/billet}} \\
= \frac{2 \times 10^9}{50} \\
= 4 \times 10^7 \ \text{billets}.
\end{align*}

Pour calculer la hauteur totale de cette pile de billets :
\begin{align*}
\text{Hauteur totale} = \text{nombre de billets} \times \text{épaisseur d’un billet} \\
= 4 \times 10^7 \ \text{billets} \times 80 \times 10^{-6} \ \text{m/billet} \\
= 3.2 \times 10^3 \ \text{m}.
\end{align*}

Donc, la hauteur de la pile de billets de banque de 50 € représentant 2 milliards d’euros serait de \( 3 200 \ \text{m} \).

Exercice 46 : plage de Syracuse et grains de sable
Le volume total de sable sur la plage peut être calculé en multipliant les dimensions de la plage:

\[
V_{\text{plage}} = L \times l \times h = 2000 \, \text{m} \times 50 \, \text{m} \times 1 \, \text{m} = 100000 \, \text{m}^3.
\]

Sachant qu’il faut 10 grains de sable pour faire un volume de \(1 \, \text{mm}^3\), nous pouvons convertir ce volume en mètres cubes:

\[
1 \, \text{mm}^3 = 1 \times 10^{-9} \, \text{m}^3.
\]

Le volume total occupé par un grain de sable est donc :

\[
V_{\text{grain}} = \frac{1 \times 10^{-9} \, \text{m}^3}{10} = 1 \times 10^{-10} \, \text{m}^3.
\]

Pour trouver le nombre total de grains de sable, nous divisons le volume total de la plage par le volume occupé par un seul grain de sable :

\[
n_{\text{grains}} = \frac{V_{\text{plage}}}{V_{\text{grain}}} = \frac{100000 \, \text{m}^3}{1 \times 10^{-10} \, \text{m}^3} = 1 \times 10^{15}.
\]

Donc, l’ordre de grandeur du nombre de grains de sable est \(10^{15}\).