Puissances : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : puissances de 10
Exprimer sous la forme d’une puissance de 10 :

$A\,=\,(10^2)^3\,=\,10^{2\,\times \,3}\,=\,10^6$

$B\,=\,(10^{-2})^3\,=\,10^{-2\,\times \,3}\,=\,10^{-6}$

$C\,=\,(10^{-5})^{-1}\,=\,10^{-5\,\times \,(-1)}\,=\,10^5$

$D\,=\,10\,\times \,\frac{10^3}{10^2}\,=\,10\,\times \,10^{3-2}\,=\,10\,\times \,10^1\,=\,10^2$

$E\,=\,\frac{10^3\,\times \,10^{-4}}{10^{-2}\,\times \,10^5}\,=\,\frac{10^{3\,-\,4}}{10^{-2\,%2B\,5}}\,=\,\frac{10^{-1}}{10^3}\,=\,10^{-1\,-\,3}\,=\,10^{-4}$

$F\,=\,(\,\frac{10^5}{10^8}\,)^3\,=\,(\,10^{5-8}\,)^3\,=\,(10^{-3})^3\,=\,10^{-3\,\times \,3}\,=\,10^{-9}$

$G\,=\,\frac{(10^{-2})^3}{10^{-4}}\,=\,\frac{10^{-6}}{10^{-4}}\,=\,10^{-6\,%2B\,4}\,=\,10^{-2}$

$H\,=\,\frac{10^4\,\times \,(10^{-1})^3}{10^3}\,=\,\frac{10^4\,\times \,10^{-3}}{10^3}\,=\,\frac{10^{4\,-\,3}}{10^3}\,=\,\frac{10^1}{10^3}\,=\,10^{1-3}\,=\,10^{-2}$

Nombre de secondes dans une année de 365 jours :

$1\,\,annee\,=\,365\,\,jours$
$=\,365\,\times \,24\,\,heures$
$=\,365\,\times \,24\,\times \,60\,\,minutes$
$=\,365\,\times \,24\,\times \,60\,\times \,60\,\,secondes$
$=\,365\,\times \,86\%2C400\,\,secondes$
$=\,31\%2C536\%2C000\,\,secondes$

1) Encadrer entre deux puissances de 10 consécutives :

$10^7\,%3C\,31\%2C536\%2C000\,%3C\,10^8$

2) Quelle puissance de 10 donne le meilleur ordre de grandeur de ce nombre ?

$31\%2C536\%2C000\,\approx\,3.1536\,\times \,10^7$
Le meilleur ordre de grandeur du nombre de secondes dans une année de 365 jours est donc .

Exercice 2 : les puissances
Soient , , et les nombres donnés. Nous souhaitons les exprimer en notation scientifique.

Pour :
$A\,=\,274%2C274\,\times \,10^4\,=\,2%2C74274\,\times \,10^2\,\times \,10^4\,=\,2%2C74274\,\times \,10^6$

Pour :
$B\,=\,52000000\,=\,5%2C2\,\times \,10^7$

Pour :
$C\,=\,0%2C0023\,\times \,10^4\,=\,2%2C3\,\times \,10^{-3}\,\times \,10^4\,=\,2%2C3\,\times \,10^1\,=\,2%2C3\,\times \,10$

Pour :
$D\,=\,7824\,\times \,10^3\,=\,7%2C824\,\times \,10^3\,\times \,10^3\,=\,7%2C824\,\times \,10^6$

Ainsi, les écritures scientifiques sont :
$A\,=\,2%2C74274\,\times \,10^6$
$B\,=\,5%2C2\,\times \,10^7$
$C\,=\,2%2C3\,\times \,10^1$
$D\,=\,7%2C824\,\times \,10^6$

Exercice 3 : puissances de 10 et calculs
$Situation\,1$

Donner l’écriture décimale de chaque nombre.

$a.\\,10^8\,=\,100\%2C000\%2C000$

$b.\\,10^3\,=\,1\%2C000$

$c.\\,10^0\,=\,1$

$d.\\,10^6\,=\,1\%2C000\%2C000$

$e.\\,10^{-4}\,=\,0.0001$

$f.\\,10^{-2}\,=\,0.01$

$g.\\,10^{-8}\,=\,0.00000001$

$h.\\,10^{-1}\,=\,0.1$

$Situation\,2$

Écrire dans chacun de ces cas, à l’aide d’une puissance de 10.

$a.\\,100\%2C000\,=\,10^5$

$b.10\,=\,10^1$

$c.\\,1\,=\,10^0$

$d.\\,0.000001\,=\,10^{-6}$

$e.\\,-0.0001\,=\,-10^{-4}$

$f.\\,\frac{1}{10000}\,=\,\frac{1}{10^4}\,=\,10^{-4}$

$Situation\,3$

Donner le résultat sous la forme $a\,\times \,10^p$ .

$a.\\,3.2\,\times \,10^{15}\,%2B\,5.7\,\times \,10^{13}\,=\,3.257\,\times \,10^{15}$

$b.\\,9.34\,\times \,10^{-17}\,-\,6.34\,\times \,10^{-15}\,=\,-6.2466\,\times \,10^{-15}$

$c.\\,\frac{0.015\,\times \,10^{-8}}{8\,\times \,10^{-3}}\,=\,\frac{0.015}{8}\,\times \,10^{-5}\,=\,1.875\,\times \,10^{-6}$

Exercice 4 : puissances, mathématiques et technologie.

1a : Exprimer 1 Go en octets, en utilisant une puissance de 2.
$1\,\%2C\,Go\,=\,2^{30}\,\%2C\,octets$

1b : Indiquer en écriture décimale le nombre exact d’octets qui correspond à 1 Go.
$2^{30}\,=\,1{%2C}073{%2C}741{%2C}824\,\%2C\,octets$

2a : Écrire $2^{10}$ sous forme scientifique.
$2^{10}\,=\,1024\,\approx\,1{%2C}024\,\times \,10^3$
En notation scientifique, cela peut s’écrire aussi $2^{10}\,\approx\,1{%2C}024\,\times \,10^3$ .

2b : Quelle puissance de 10 est la plus proche de $2^{10}$ ?
$2^{10}\,\approx\,10^{3}$ (car $1024\,\approx\,1000$ et $1000\,=\,10^3$ ).

3a : Quelle est la capacité réelle en octets d’un disque dur de 150 giga-octets commerciaux ?
$150\,\%2C\,Go\,\times \,10^9\,\%2C\,octets\,=\,150\,\times \,10^9\,\%2C\,octets\,=\,150{%2C}000{%2C}000{%2C}000\,\%2C\,octets$

3b : Combien de giga-octets ne sont pas pris en compte pour ce disque ?
$150\,\%2C\,Go\,\times \,(2^{30}\,-\,10^9)\,\%2C\,octets$
$2^{30}\,=\,1{%2C}073{%2C}741{%2C}824\,\%2C\,octets$
$1{%2C}073{%2C}741{%2C}824\,-\,1{%2C}000{%2C}000{%2C}000\,=\,73{%2C}741{%2C}824\,\%2C\,octets%2Fgo$
Pour 150 Go :
$150\,\times \,73{%2C}741{%2C}824\,=\,11{%2C}061{%2C}273{%2C}600\,\%2C\,octets\,\approx\,11{%2C}061\,\%2C\,Go$

3c : Quel pourcentage de la capacité commerciale représente cette différence ?
$Pourcentage\,=\,(\frac{73{%2C}741{%2C}824}{1{%2C}073{%2C}741{%2C}824})\,\times \,100\,\approx\,6{%2C}87\%25$

En résumé, le disque dur de 150 Go perd environ 6.87% de sa capacité en raison de la différence entre 2^30 octets et 10^9 octets.

Exercice 5 : calculs simples et puissances de 10
$A\,=\,10^2\,\times \,10^8\,=\,10^{2%2B8}\,=\,10^{10}$

$B\,=\,10\,\times \,10^{17}\,=\,10^1\,\times \,10^{17}\,=\,10^{1%2B17}\,=\,10^{18}$

$C\,=\,10^{-3}\,\times \,10^8\,=\,10^{-3%2B8}\,=\,10^5$

$D\,=\,\frac{10^7}{10^3}\,=\,10^{7-3}\,=\,10^4$

$E\,=\,\frac{10^4}{10^{12}}\,=\,10^{4-12}\,=\,10^{-8}$

Exercice 6 : calculs complexes sur les puissances de 10.

$G\,=\,\frac{(10^{-7})^4}{10^4\,\times \,10^2}$

$G\,=\,\frac{10^{-28}}{10^6}$

$G\,=\,10^{-28}\,\times \,10^{-6}$

$G\,=\,10^{-34}$

$H\,=\,\frac{10^4\,\times \,10^{11}}{(10^{-1})^{-8}}$

$H\,=\,\frac{10^{4%2B11}}{10^{-1\,\times \,(-8)}}$

$H\,=\,\frac{10^{15}}{10^8}$

$H\,=\,10^{15-8}$

$H\,=\,10^7$

$I\,=\,\frac{10^{-12}\,\times \,10^2}{(10^8)^3\,\times \,10^8}$

$I\,=\,\frac{10^{-12%2B2}}{10^{24}\,\times \,10^8}$

$I\,=\,\frac{10^{-10}}{10^{24%2B8}}$

$I\,=\,\frac{10^{-10}}{10^{32}}$

$I\,=\,10^{-10-32}$

$I\,=\,10^{-42}$

Exercice 7 : problème sur les puissances de 10 – les moustiques et éléphants .
Soit le poids moyen d’un moustique et le poids d’un éléphant.

On a :

$m_m\,=\,1.5\,\times \,10^{-6}\,\%2C\,kg$
$m_e\,=\,6\,\times \,10^3\,\%2C\,kg$

Pour obtenir le nombre de moustiques nécessaires pour égaler le poids d’un éléphant, on doit diviser le poids de l’éléphant par le poids moyen d’un moustique :

$N\,=\,\frac{m_e}{m_m}$

Substituons les valeurs données :

$N\,=\,\frac{6\,\times \,10^3}{1.5\,\times \,10^{-6}}$

Appliquons la division des puissances de :

$N\,=\,\frac{6}{1.5}\,\times \,10^{3\,-\,(-6)}$

Simplifions le rapport $\frac{6}{1.5}$ :

$\frac{6}{1.5}\,=\,4$

Ensuite,

$N\,=\,4\,\times \,10^{3\,%2B\,6}$
$N\,=\,4\,\times \,10^9$

Ainsi, le nombre de moustiques nécessaires pour égaler le poids d’un éléphant est :

$4\,\times \,10^9$

Exercice 8 : problème sur les puissances et la consommation d’eau
La quantité d’eau bue par jour en litres est donnée par le produit de la population mondiale et de la consommation individuelle d’eau.

Calculons cette quantité :

6,8 milliards de personnes = $6%2C8\,\times \,10^9$ personnes

Consommation d’eau par personne par jour = 1,5 litres

Ainsi, la quantité totale d’eau consommée par jour est :

$(6%2C8\,\times \,10^9)\,\times \,1%2C5$
$=\,6%2C8\,\times \,1%2C5\,\times \,10^9$
$=\,10%2C2\,\times \,10^9$

Pour exprimer 10,2 en notation scientifique avec une seule décimale :

$10%2C2\,\times \,10^9\,=\,1%2C02\,\times \,10^{10}$

Donc, la quantité d’eau bue par jour est $1%2C02\,\times \,10^{10}$ litres.

Exercice 9 : écriture scientifique
Pour l’exercice donné, nous allons simplifier chaque expression et les écrire sous forme scientifique.

Pour :

$A\,=\,12\,\times \,10^8\,\times \,5\,\times \,10^{-2}$

Nous regroupons les termes constants et les puissances de 10 :

$A\,=\,12\,\times \,5\,\times \,10^8\,\times \,10^{-2}$

$A\,=\,60\,\times \,10^{8-2}$

$A\,=\,60\,\times \,10^6$

Pour mettre sous forme scientifique, nous avons besoin d’un chiffre significatif à gauche de la virgule :

$A\,=\,6%2C0\,\times \,10\,\times \,10^6$

$A\,=\,6%2C0\,\times \,10^7$

Pour :

$B\,=\,8\,\times \,10^{-5}\,\times \,4\,\times \,(10^8)^2$

Nous simplifions l’expression :

$B\,=\,8\,\times \,4\,\times \,10^{-5}\,\times \,10^{2\,\times \,8}$

$B\,=\,32\,\times \,10^{-5}\,\times \,10^{16}$

$B\,=\,32\,\times \,10^{-5\,%2B\,16}$

$B\,=\,32\,\times \,10^{11}$

Pour mettre sous forme scientifique, nous avons besoin d’un chiffre significatif à gauche de la virgule :

$B\,=\,3%2C2\,\times \,10\,\times \,10^{11}$

$B\,=\,3%2C2\,\times \,10^{12}$

Pour :

$C\,=\,5\,\times \,(10^5)^{-3}\,\times \,8\,\times \,10^2$

Nous simplifions l’expression :

$C\,=\,5\,\times \,8\,\times \,10^{(-3\,\times \,5)}\,\times \,10^2$

$C\,=\,40\,\times \,10^{-15}\,\times \,10^2$

$C\,=\,40\,\times \,10^{-15%2B2}$

$C\,=\,40\,\times \,10^{-13}$

Pour mettre sous forme scientifique, nous avons besoin d’un chiffre significatif à gauche de la virgule :

$C\,=\,4%2C0\,\times \,10\,\times \,10^{-13}$

$C\,=\,4%2C0\,\times \,10^{-12}$

Ainsi, les écritures scientifiques de chaque nombre sont :

$A\,=\,6%2C0\,\times \,10^7$

$B\,=\,3%2C2\,\times \,10^{12}$

$C\,=\,4%2C0\,\times \,10^{-12}$

Exercice 10 : calculs avec des puissances quelconques

$A=3^5\times \,3^3\,=\,3^{5%2B3}=3^8$
$B=\,4^{-5}\,\times \,4^{-3}\,=\,4^{-5-3}\,=\,4^{-8}$
$C=\,(-2)^{-5}\,\times \,(2)^{-1}\,=\,(-2)^{-5}\,\times \,2^{-1}$
$=\,(-1)^{-5}\,\times \,2^{-5}\,\times \,2^{-1}$
$=\,(-1)^{-5}\,\times \,2^{-5-1}$
$=\,(-1)^{-5}\,\times \,2^{-6}$

$D=\,3^5\,\times \,4^5\,=\,(3\,\times \,4)^5\,=\,12^5$

$E\,=\,9^{-6}\,\times \,(-7)^{-6}\,=\,(3^2)^{-6}\,\times \,(-7)^{-6}$
$=\,3^{-12}\,\times \,(-7)^{-6}$
$F=\,(-7)^2\,\times \,6^2\,=\,(\,(-7)\,\times \,6\,)^2\,=\,(-42)^2$
$G=\,\frac{11^7}{11^2}\,=\,11^{7-2}\,=\,11^5$
$H=\,\frac{7^6}{7^{-2}}\,=\,7^{6-(-2)}\,=\,7^{6%2B2}\,=\,7^8$
$I=\,(-2)^{-4}\,\times \,(-2)^5\,=\,(-2)^{-4%2B5}\,=\,(-2)^1\,=\,-2$

Exercice 11 : écriture scientifique et puissances

Calculer 5^8 .

$5^8\,=\,5\,\times \,5\,\times \,5\,\times \,5\,\times \,5\,\times \,5\,\times \,5\,\times \,5\,\$
$=\,390625$
Déterminer l’écriture scientifique de $0{%2C}000\,\%2C\,548\,\%2C\,4$ .

$0{%2C}000\,\%2C\,548\,\%2C\,4\,=\,\frac{5484}{10000\,\%2C\,0000}$
$2%2Bsin(x)=5{%2C}484\,\times \,10^{-4}$
Calculer $A\,=\,124\,\times \,10^{17}\,%2B\,0{%2C}89\,\times \,10^{19}$ .

$A\,=\,124\,\times \,10^{17}\,%2B\,(0{%2C}89\,\times \,10^{19})$
$A=\,124\,\times \,10^{17}\,%2B\,8{%2C}9\,\times \,10^{18}$
$A=\,124\,\times \,10^{17}\,%2B\,89\,\times \,10^{17}$
$A=\,(124\,%2B\,89)\,\times \,10^{17}$
$A=\,213\,\times \,10^{17}$
$A=\,2{%2C}13\,\times \,10^{19}$
Exercice 12 : puissances et calculs
1. Calculons 5^4 :

$5^4\,=\,5\,\times \,5\,\times \,5\,\times \,5\,=\,625$

Donc,

$5^4\,=\,625$

2. Déterminons l’écriture scientifique de $587\%2C402\%2C000$ :

$587\%2C402\%2C000\,=\,5%2C87402\,\times \,10^8$

3. Calculons :

$B\,=\,\frac{8%2C7\,\times \,10^5\,%2B\,7%2C7\,\times \,10^6}{8\,\times \,10^{-9}}$

Commençons par simplifier le numérateur :

$8%2C7\,\times \,10^5\,%2B\,7%2C7\,\times \,10^6\,=\,8%2C7\,\times \,10^5\,%2B\,77\,\times \,10^5\,=\,(8%2C7\,%2B\,77)\,\times \,10^5\,=\,85%2C7\,\times \,10^5$

Nous avons donc :

$B\,=\,\frac{85%2C7\,\times \,10^5}{8\,\times \,10^{-9}}$

Pour simplifier, écrivons le dénominateur comme suit :

$8\,\times \,10^{-9}\,=\,\frac{8}{10^9}$

Maintenant, la division devient :

$B\,=\,\frac{85%2C7\,\times \,10^5}{\frac{8}{10^9}}\,=\,85%2C7\,\times \,10^5\,\times \,\frac{10^9}{8}\,=\,85%2C7\,\times \,\frac{10^{14}}{8}\,=\,85%2C7\,\times \,1%2C25\,\times \,10^{14}$

Enfin,

$B\,=\,107%2C125\,\times \,10^{14}$

En notation scientifique, est :

$B\,=\,1%2C07125\,\times \,10^{16}$

Exercice 13 : contrôle sur les puissances de 10
Situation 1

Écrire sous la forme 10^n où est un entier relatif.
1. $A\,=\,10^3\,\times \,10^{-7}$

$A\,=\,10^{3-7}$

$A\,=\,10^{-4}$

2. $B\,=\,(10^4)^{-2}$

$B\,=\,10^{4\,\times \,-2}$

$B\,=\,10^{-8}$

3. $C\,=\,\frac{10^{-5}}{10^{-2}}$

$C\,=\,10^{-5\,-\,(-2)}$

$C\,=\,10^{-5\,%2B\,2}$

$C\,=\,10^{-3}$

4. $D\,=\,\frac{10^3\,\times \,10^{-5}}{(10^2)^{-1}}$

$D\,=\,\frac{10^{3-5}}{10^{2\,\times \,-1}}$

$D\,=\,\frac{10^{-2}}{10^{-2}}$

$D\,=\,10^{-2\,-\,(-2)}$

$D\,=\,10^{0}\,=\,1$

5. $E\,=\,10^3\,\times \,(10^{-2})^3$

$E\,=\,10^3\,\times \,10^{-6}$

$E\,=\,10^{3-6}$

$E\,=\,10^{-3}$

Situation 2

Écrire sous forme $a\,\times \,10^n$ où est un nombre relatif et un entier relatif.
1. $F\,=\,5\,\times \,10^4\,\times \,2\,\times \,10^2$

$F\,=\,(5\,\times \,2)\,\times \,10^{4%2B2}$

$F\,=\,10\,\times \,10^6$

$F\,=\,1\,\times \,10^7$

2. $G\,=\,3\,\times \,10^{-1}\,\times \,4\,\times \,(10^3)^{-2}$

$G\,=\,3\,\times \,4\,\times \,10^{-1}\,\times \,10^{-6}$

$G\,=\,12\,\times \,10^{-7}$

$G\,=\,1.2\,\times \,10^{-6}$

Exercice 14 : propagation d’une rumeur et puissances
Le 1er mars, Laura prévient 3 personnes. Le 2 mars, ces trois personnes propagent la rumeur en prévenant chacune 3 nouvelles personnes,

donc $3 \times 3 = 3^2$ .

Chaque jour, chaque personne prévenue la veille prévient 3 nouvelles personnes.

L’exercice nous demande de trouver le nombre de personnes informées chaque jour en utilisant la notation exponentielle 3^n .

1) Exprimer, sous la forme 3^n , où est un entier, le nombre de personnes qui auraient appris la rumeur :

a) le jour du 2 mars :

3^1

b) le jour du 3 mars :

3^2

c) le jour du 4 mars :

3^3

d) le jour du 10 mars :

3^9

2) a) Exprimer sous la forme 3^n , où est un entier, le nombre de personnes qui auraient appris la rumeur le jour du 15 mars.

$3^{14}$

b) Commenter le résultat.

Les résultats montrent une croissance exponentielle du nombre de personnes prévenues chaque jour. Ce nombre augmente très rapidement, atteignant des valeurs astronomiques en peu de temps. En effet, chaque personne en prévient trois autres chaque jour, produisant une situation où le nombre de personnes informées triple chaque jour. Par exemple, au 10 mars, $3^9\,=\,19683$ personnes auront appris la rumeur et, au 15 mars, le nombre sera de $3^{14}\,=\,4782969$ personnes, ce qui montre à quel point les rumeurs peuvent se propager rapidement dans un réseau.

Exercice 15 : chimie et puissances
La masse d’une mole de carbone peut être calculée en multipliant la masse d’un atome de carbone par le nombre d’atomes dans une mole (le nombre d’Avogadro).

La masse d’un atome de carbone est $1.99\,\times \,10^{-23}$ gramme.

Le nombre d’Avogadro est $6.022\,\times \,10^{23}$ .

La masse d’une mole de carbone est donc:
$Masse\,d'une\,mole\,de\,carbone\,=\,(masse\,d'un\,atome\,de\,carbone)\,\times \,(nombre\,d'Avogadro)$

En substituant les valeurs, nous obtenons:
$Masse\,d'une\,mole\,de\,carbone\,=\,(1.99\,\times \,10^{-23}\,\,g)\,\times \,(6.022\,\times \,10^{23})$

Pour simplifier les calculs, nous multiplions les puissances de 10 et les coefficients séparément:
$Masse\,d'une\,mole\,de\,carbone\,=\,1.99\,\times \,6.022\,\times \,(10^{-23}\,\times \,10^{23})$

Puisque $10^{-23}\,\times \,10^{23}\,=\,10^{0}\,=\,1$ , l’équation devient:
$Masse\,d'une\,mole\,de\,carbone\,=\,1.99\,\times \,6.022$

En effectuant la multiplication:
$1.99\,\times \,6.022\,\approx\,11.978$

Ainsi, la masse d’une mole de carbone est approximativement 11.978 grammes.

Exercice 16 : simplifier des écritures avec des puissances
a. (-2)^6

$(-2)^6\,=\,(-2\,\times \,-2\,\times \,-2\,\times \,-2\,\times \,-2\,\times \,-2)\,=\,64$

—

b. $(-4)^{-3}\,\times \,4^5$

$(-4)^{-3}\,=\,(\,\frac{1}{-4}\,)^3\,=\,\frac{1}{(-4)^3}\,=\,\frac{1}{-64}$
$(-4)^{-3}\,\times \,4^5\,=\,\frac{1}{-4^3}\,\times \,4^5\,=\,\frac{4^5}{-4^3}\,=\,4^{5-3}\,=\,4^2\,=\,16$

c. $-3^5\,\times \,3^{-2}\,\times \,(-3)^{-7}$

$(-3^5)\,\times \,3^{-2}\,\times \,(-3)^{-7}\,=\,-3^5\,\times \,3^{-2}\,\times \,(-1)^7\,\times \,3^{-7}$
$=\,-3^5\,\times \,3^{-2}\,\times \,-3^{-7}\,=\,-3^5\,\times \,3^{-2-7}\,=\,-3^5\,\times \,3^{-9}\,=\,-3^{5-9}$
$=\,-3^{-4}\,=\,-\frac{1}{3^4}\,=\,-\frac{1}{81}$

d. $\frac{(-3)^7}{-3^5}$

$\frac{(-3)^7}{-3^5}\,=\,(-3)^{7-5}\,=\,(-3)^2\,=\,9$

e. $\frac{(-5)^{-7}}{-5^4\,\times \,(-5)^{-4}}$

$\frac{(-5)^{-7}}{-5^4\,\times \,(-5)^{-4}}\,=\,\frac{(-5)^{-7}}{-5^{4-4}}\,=\,\frac{(-5)^{-7}}{-5^0}$
$=\,\frac{(-5)^{-7}}{1}\,=\,(-5)^{-7}\,=\,\frac{1}{(-5)^7}\,=\,\frac{1}{-78125}\,=\,-\frac{1}{78125}$

f. $(-2)^5\,\times \,(-6)^5$

$=\,(-1\,\times \,2)^5\,\times \,(-1\,\times \,6)^5\,=\,(-1)^5\,\times \,2^5\,\times \,(-1)^5\,\times \,6^5$
$=\,(-1)^5\,\times \,(-1)^5\,\times \,2^5\,\times \,6^5\,=\,(-1\,\times \,-1)\,\times \,2^5\,\times \,6^5\,=\,1\,\times \,2^5\,\times \,6^5$
$=\,2^5\,\times \,6^5\,=\,(2\,\times \,6)^5\,=\,12^5\,=\,248832$

Exercice 17 : formules des puissances
a. $(\,-5\,)^{4}\,\times \,5^{-8}$

Utilisons la propriété des exposants : $a^m\,\times \,a^n\,=\,a^{m%2Bn}$ .

$(\,-5\,)^{4}\,\times \,5^{-8}\,=\,(-5)^4\,\times \,(-5)^{-8}\,=\,(-5)^{4\,%2B\,(-8)}\,=\,(-5)^{-4}\,=\,\frac{1}{(-5)^4}\,=\,\frac{1}{625}$

b. $3^{-3}\,\times \,(\,-3\,)^{-3}$

$3^{-3}\,\times \,(\,-3\,)^{-3}\,=\,3^{-3}\,\times \,(-1)^{-3}\,\times \,3^{-3}\,=\,(-1)^{-3}\,\times \,3^{-6}\,=\,-1\,\times \,3^{-6}\,=\,-3^{-6}\,=\,-\frac{1}{3^6}\,=\,-\frac{1}{729}$

c. $(\,-5\,)^{2}\,\times \,(\,-5\,)^{7}$

Utilisons la propriété des exposants : $a^m\,\times \,a^n\,=\,a^{m%2Bn}$ .

$(\,-5\,)^{2}\,\times \,(\,-5\,)^{7}\,=\,(\,-5\,)^{2%2B7}\,=\,(\,-5\,)^{9}$

d. $\frac{\,(\,-7\,)^{7}\,}{\,75\,\times \,(\,-7\,)^{2}\,}$

Utilisons la propriété des exposants : $a^m\,\times \,a^n\,=\,a^{m%2Bn}$ et $\frac{a^m}{a^n}\,=\,a^{m-n}$ .

$\frac{\,(\,-7\,)^{7}\,}{\,75\,\times \,(\,-7\,)^{2}\,}\,=\,\frac{\,(\,-7\,)^{7}\,}{\,75\,\times \,(\,-7\,)^{2}\,}\,=\,\frac{\,(\,-7\,)^{7}\,}{\,75\,\times \,(\,-7\,)^{2}\,}\,=\,\frac{\,(\,-7\,)^{7\,-\,2}\,}{\,75\,}\,=\,\frac{\,(\,-7\,)^{5}\,}{\,75\,}$

e. $-\frac{\,(\,-11\,)^{4}\,}{\,55^{4}\,}$

$-\frac{\,(\,-11\,)^{4}\,}{\,55^{4}\,}\,=\,-\frac{\,(\,-11\,)^{4}\,}{\,11^{4}\,\times \,5^{4}\,}\,=\,-\frac{\,(\,-1\,\times \,11\,)^{4}\,}{\,11^{4}\,\times \,5^{4}\,}\,=\,-\frac{\,(\,-1\,)^{4}\,\times \,11^{4}\,}{\,11^{4}\,\times \,5^{4}\,}\,=\,-\frac{\,1\,\times \,11^{4}\,}{\,11^{4}\,\times \,5^{4}\,}\,=\,-\frac{\,11^{4}\,}{\,11^{4}\,\times \,5^{4}\,}\,=\,-\frac{\,1\,}{\,5^{4}\,}\,=\,-\frac{\,1\,}{\,625\,}$

f. $\frac{\,(\,-2\,)^{5}\,\times \,6^{5}\,}{\,(\,-12\,)^{-3}\,}$

Utilisons la propriété des exposants : $a^m\,\times \,a^n\,=\,a^{m%2Bn}$ et $\frac{a^m}{a^n}\,=\,a^{m-n}$ .

$\frac{\,(\,-2\,)^{5}\,\times \,6^{5}\,}{\,(\,-12\,)^{-3}\,}\,=\,(\,-2\,\times \,6\,)^{5}\,\times \,(\,-12\,)^{3}\,=\,(\,-1\,)^{5}\,\times \,2^{5}\times \,6^{5}\,\times \,(-1\,)^{3}\,\times \,12^{3}=\,-2^{5}\times \,6^{5}\,\times \,(-1)\,\times \,6^{3}\,\times \,2^{3}=\,2^{8}\times \,6^{5%2B\,3}\,\times \,(-1)\times (-1)\,=2^{8}\times \,6^{8}=\,12^{8}$

Exercice 18 : déterminer le signe des produits
Répondons à chaque question en déterminant le signe du produit.

a. $(-2)^2\,\times \,2^{-3}$

$\begin{align%2A}%0D%0A(-2)^2\,%26=\,4\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0A2^{-3}\,%26=\,\frac{1}{2^3}\,=\,\frac{1}{8}\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0ADonc%2C\,\,4\,\times \,\frac{1}{8}\,%26=\,\frac{4}{8}\,=\,\frac{1}{2}\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

b. $(-3)^5\,\times \,(-2)^4$

$\begin{align%2A}%0D%0A(-3)^5\,%26=\,-243\,\quad\,(negatif)\,\\%0D%0A(-2)^4\,%26=\,16\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0ADonc%2C\,\,-243\,\times \,16\,%26=\,-3888\,\quad\,(negatif)\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

c. $(-1)^{10}\,\times \,(-2)^{-2}$

$\begin{align%2A}%0D%0A(-1)^{10}\,%26=\,1\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0A(-2)^{-2}\,%26=\,(\frac{1}{-2})^2\,=\,\frac{1}{4}\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0ADonc%2C\,\,1\,\times \,\frac{1}{4}\,%26=\,\frac{1}{4}\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

d. $(-4)^7\,\times \,2^{-3}$

$\begin{align%2A}%0D%0A(-4)^7\,%26=\,-16384\,\quad\,(negatif)\,\\%0D%0A2^{-3}\,%26=\,\frac{1}{2^3}\,=\,\frac{1}{8}\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0ADonc%2C\,\,-16384\,\times \,\frac{1}{8}\,%26=\,-2048\,\quad\,(negatif)\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

e. $(-1)^{-9}\,\times \,(-2)$

$\begin{align%2A}%0D%0A(-1)^{-9}\,%26=\,-1\,\quad\,(negatif)\,\\%0D%0A(-2)\,%26=\,-2\,\quad\,(negatif)\,\\%0D%0ADonc%2C\,\,-1\,\times \,-2\,%26=\,2\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

f. $\frac{(-1)^{-5}\,\times \,7^{-2}}{(-2)^5}$

$\begin{align%2A}%0D%0A(-1)^{-5}\,%26=\,-1\,\quad\,(negatif)\,\\%0D%0A7^{-2}\,%26=\,\frac{1}{7^2}\,=\,\frac{1}{49}\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0A(-2)^5\,%26=\,-32\,\quad\,(negatif)\,\\%0D%0A-1\,\times \,\frac{1}{49}\,%26=\,-\frac{1}{49}\,\quad\,(negatif)\,\\%0D%0A\frac{-\frac{1}{49}}{-32}\,%26=\,\frac{1}{49\,\times \,32}\,=\,\frac{1}{1568}\,\quad\,(positif)\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

[a.] Positif
[b.] Négatif
[c.] Positif
[d.] Négatif
[e.] Positif
[f.] Positif

Exercice 19 : écriture scientifique d’un nombre

$6000\,=\,6\,\times \,10^3$
$82000\,=\,8.2\,\times \,10^4$
$0.00005\,=\,5\,\times \,10^{-5}$
$420000000000\,=\,4.2\,\times \,10^{11}$
$-0.00000000009264\,=\,-9.264\,\times \,10^{-11}$
$-1815000000\,=\,-1.815\,\times \,10^9$

Exercice 20 : calculs directs sur les puissances de 10
$A\,=\,9%2C373421\,\times \,10^4%0D%0A=\,93734%2C21$

$B\,=\,0%2C00047127\,\times \,10^7%0D%0A=\,4712%2C7$

$C\,=\,-14973213%2C27\,\times \,10^{-5}%0D%0A=\,-149%2C7321327$

$D\,=\,0%2C00245\,\times \,10^{-3}%0D%0A=\,2%2C45\,\times \,10^{-6}%0D%0A=\,0%2C00000245$

$E\,=\,-7%2C23429\,\times \,10^9%0D%0A=\,-7234290000$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : expressions plus complexes
Pour chaque nombre, donnons son écriture scientifique :

1. $E\,=\,\frac{6\,\times \,10^{-7}\,\times \,15\,\times \,10^{11}}{8\,\times \,(10^2)^4}$

Calcul : Simplifions le numérateur et le dénominateur :
$E\,=\,\frac{6\,\times \,15\,\times \,10^{-7}\,\times \,10^{11}}{8\,\times \,10^{8}}$
$E\,=\,\frac{90\,\times \,10^{4}}{8\,\times \,10^{8}}$
$E\,=\,\frac{90}{8}\,\times \,10^{4-8}$
$E\,=\,11.25\,\times \,10^{-4}$
L’écriture scientifique correcte est :
$E\,=\,1.125\,\times \,10^{-3}$

2. $F\,=\,\frac{3\,\times \,10^{-2}\,\times \,1.2\,\times \,(10^{-3})^4}{0.2\,\times \,10^{-7}}$

Calcul : Simplifions le numérateur et le dénominateur :
$F\,=\,\frac{3\,\times \,1.2\,\times \,10^{-2}\,\times \,10^{-12}}{0.2\,\times \,10^{-7}}$
$F\,=\,\frac{3.6\,\times \,10^{-14}}{0.2\,\times \,10^{-7}}$
$F\,=\,\frac{3.6}{0.2}\,\times \,10^{-14%2B7}$
$F\,=\,18\,\times \,10^{-7}$
L’écriture scientifique correcte est :
$F\,=\,1.8\,\times \,10^{-6}$

3. $G\,=\,\frac{4\,\times \,10^{-2}\,\times \,30\,\times \,10^{5}}{6\,\times \,10^{-1}}$

Calcul : Simplifions le numérateur et le dénominateur :
$G\,=\,\frac{4\,\times \,30\,\times \,10^{-2}\,\times \,10^{5}}{6\,\times \,10^{-1}}$
$G\,=\,\frac{120\,\times \,10^{3}}{6\,\times \,10^{-1}}$
$G\,=\,\frac{120}{6}\,\times \,10^{3-1}$
$G\,=\,20\,\times \,10^{2}$
L’écriture scientifique correcte est :
$G\,=\,2\,\times \,10^{3}$

4. $H\,=\,\frac{5\,\times \,10^{-2}\,\times \,7\,\times \,10^{5}}{2\,\times \,10^{7}}$

Calcul : Simplifions le numérateur et le dénominateur :
$H\,=\,\frac{5\,\times \,7\,\times \,10^{-2}\,\times \,10^{5}}{2\,\times \,10^{7}}$
$H\,=\,\frac{35\,\times \,10^{3}}{2\,\times \,10^{7}}$
$H\,=\,\frac{35}{2}\,\times \,10^{-4}$
$H\,=\,17.5\,\times \,10^{-4}$
L’écriture scientifique correcte est:
$H\,=\,1.75\,\times \,10^{-3}$

$E\,=\,1.125\,\times \,10^{-3}\,\\,F\,=\,1.8\,\times \,10^{-6}\,\\,G\,=\,2\,\times \,10^{3}\,\\,H\,=\,1.75\,\times \,10^{-3}$

Exercice 22 : notation scientifique de ces nombres
Pour exprimer les nombres suivants en notation scientifique, il faut écrire les nombres sous la forme $a\,\times \,10^n$ où $1\,\leq\,\,%7Ca%7C\,%3C\,10$ et est un entier.

$A\,=\,3254789%2C742\,\times \,10^{-15}$

On doit déplacer la virgule pour obtenir un nombre compris entre 1 et 10, soit :

$3%2C254789742\,\times \,10^6$

Ainsi,

$A\,=\,3%2C254789742\,\times \,10^6\,\times \,10^{-15}$
$A\,=\,3%2C254789742\,\times \,10^{-9}$

$B\,=\,0%2C0000045\,\times \,10^{31}$

On doit déplacer la virgule de 6 positions vers la droite :

$4%2C5\,\times \,10^{-6}$

Ainsi,

$B\,=\,4%2C5\,\times \,10^{-6}\,\times \,10^{31}$
$B\,=\,4%2C5\,\times \,10^{25}$

$C\,=\,478256%2C56\,\times \,10^{-17}$

On doit déplacer la virgule de 5 positions vers la gauche :

$4%2C7825656\,\times \,10^5$

Ainsi,

$C\,=\,4%2C7825656\,\times \,10^5\,\times \,10^{-17}$
$C\,=\,4%2C7825656\,\times \,10^{-12}$

$D\,=\,-0%2C000000045\,\times \,10^{12}$

On doit déplacer la virgule de 8 positions vers la droite :

$-4%2C5\,\times \,10^{-8}$

Ainsi,

$D\,=\,-4%2C5\,\times \,10^{-8}\,\times \,10^{12}$
$D\,=\,-4%2C5\,\times \,10^4$

Exercice 23 : écrire des nombres à l’aide de puissances de 10

[a.] dix mille = 10^4
[b.] un million = 10^6
[c.] cent millions = 10^8
[d.] un milliard = 10^9
[e.] dix milliards = 10^{10}

[a.] un centième = 10^{-2}
[b.] un dix-millième= 10^{-4}
[c.] un millionième = 10^{-6}
[d.] un cent millionième = 10^{-8}
[e.] un milliardième = 10^{-9}

Exercice 24 : multiples et sous-multiples d’unité
Correction de l’exercice :

a. $7\,\%2C\,megahertz\,=\,7\,\times \,10^6\,\%2C\,Hz$

b. $2\,\%2C\,millisecondes\,=\,2\,\times \,10^{-3}\,\%2C\,s$

c. $5\,\%2C\,gigawatts\,=\,5\,\times \,10^9\,\%2C\,W$

d. $6\,\%2C\,microvolts\,=\,6\,\times \,10^{-6}\,\%2C\,V$

e. $8\,\%2C\,nanometres\,=\,8\,\times \,10^{-9}\,\%2C\,m$

f. $4\,\%2C\,decagrammes\,=\,4\,\times \,10^1\,\%2C\,g$

Exercice 25 : décomposer un nombre décimal
a. $2%2C75\,=\,2\,\times \,10^0\,%2B\,7\,\times \,10^{-1}\,%2B\,5\,\times \,10^{-2}$

b. $18%2C29\,=\,1\,\times \,10^1\,%2B\,8\,\times \,10^0\,%2B\,2\,\times \,10^{-1}\,%2B\,9\,\times \,10^{-2}$

c. $34\%2C000\,=\,3\,\times \,10^4\,%2B\,4\,\times \,10^3$

d. $0%2C0096\,=\,9\,\times \,10^{-3}\,%2B\,6\,\times \,10^{-4}$

e. $1%2C014\,=\,1\,\times \,10^0\,%2B\,1\,\times \,10^{-2}\,%2B\,4\,\times \,10^{-3}$

Exercice 26 : l’écriture décimale et base décimale
a. $3\,\times \,10^0\,%2B\,4\,\times \,10^{-1}\,%2B\,7\,\times \,10^{-2}$

$3\,\times \,1\,%2B\,4\,\times \,0.1\,%2B\,7\,\times \,0.01\,=\,3\,%2B\,0.4\,%2B\,0.07\,=\,3.47$

b. $6\,\times \,10^1\,%2B\,2\,\times \,10^0\,%2B\,5\,\times \,10^{-1}$

$6\,\times \,10\,%2B\,2\,\times \,1\,%2B\,5\,\times \,0.1\,=\,60\,%2B\,2\,%2B\,0.5\,=\,62.5$

c. $1\,\times \,10^4\,%2B\,2\,\times \,10^3$

$1\,\times \,10000\,%2B\,2\,\times \,1000\,=\,10000\,%2B\,2000\,=\,12000$

d. $8\,\times \,10^{-4}\,%2B\,9\,\times \,10^{-5}$

$8\,\times \,0.0001\,%2B\,9\,\times \,0.00001\,=\,0.0008\,%2B\,0.00009\,=\,0.00089$

e. $4\,\times \,10^0\,%2B\,3\,\times \,10^{-3}\,%2B\,6\,\times \,10^{-4}$

$4\,\times \,1\,%2B\,3\,\times \,0.001\,%2B\,6\,\times \,0.0001\,=\,4\,%2B\,0.003\,%2B\,0.0006\,=\,4.0036$

Exercice 27 : relier les expressions numériques
Les pairs de nombres égaux sont :

$\begin{align%2A}%0D%0A271\,\%2C800\,\times \,10^{-6}\,%26\,\quad\,avec\,\quad\,0%2C2718\,\\%0D%0A271%2C8\,\times \,10^{-2}\,%26\,\quad\,avec\,\quad\,2%2C718\,\\%0D%0A2\%2C718\,\times \,10^{-1}\,%26\,\quad\,avec\,\quad\,271%2C8\,\\%0D%0A0%2C2718\,\times \,10^{-1}\,%26\,\quad\,avec\,\quad\,0%2C02718\,\\%0D%0A2\%2C718\,\times \,10^{0}\,%26\,\quad\,avec\,\quad\,2\%2C718\,\\%0D%0A0%2C2718\,\times \,10^{3}\,%26\,\quad\,avec\,\quad\,271%2C8\,\\%0D%0A0%2C002718\,\times \,10^{4}\,%26\,\quad\,avec\,\quad\,27\%2C180\,\\%0D%0A0%2C02718\,\times \,10^{7}\,%26\,\quad\,avec\,\quad\,271\%2C800\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 28 : écrire chaque nombre en notation scientifique
a. $6\\,540\,=\,6{%2C}54\,\times \,10^3$

b. $34%2C3\,=\,3%2C43\,\times \,10^1$

c. $1\\,475{%2C}2\,=\,1{%2C}4752\,\times \,10^3$

d. $23{%2C}45\,=\,2{%2C}345\,\times \,10^1$

e. $0{%2C}003\,=\,3\,\times \,10^{-3}$

f. $0{%2C}001\,=\,1\,\times \,10^{-3}$

Exercice 29 : expression numérique et puissances de 10
On donne l’expression numérique :
$A\,=\,2\,\times \,10^2\,%2B\,10^1\,%2B\,10^{-1}\,%2B\,2\,\times \,10^{-2}$

a. Écriture décimale de :
$A\,=\,2\,\times \,100\,%2B\,10\,%2B\,0.1\,%2B\,0.02\,=\,200\,%2B\,10\,%2B\,0.1\,%2B\,0.02\,=\,210.12$

b. Écriture scientifique de :
$A\,=\,2.1012\,\times \,10^2$

c. Forme du produit d’un nombre entier par une puissance de 10 :
$A\,=\,21012\,\times \,10^{-2}$

d. Forme de la somme d’un nombre entier et d’une fraction irréductible inférieure à 1 :
$A\,=\,210\,%2B\,\frac{3}{25}$

Exercice 30 : donner l’écriture scientifique de ces nombres
a. $645%2C3\,\times \,10^{-15}\,=\,6%2C453\,\times \,10^2\,\times \,10^{-15}\,=\,6%2C453\,\times \,10^{-13}$

b. $0%2C056\,\times \,10^{17}\,=\,5%2C6\,\times \,10^{-2}\,\times \,10^{17}\,=\,5%2C6\,\times \,10^{15}$

c. $13%2C6\,\times \,10^{-9}\,=\,1%2C36\,\times \,10^1\,\times \,10^{-9}\,=\,1%2C36\,\times \,10^{-8}$

d. $523\,\times \,10^7\,=\,5%2C23\,\times \,10^2\,\times \,10^7\,=\,5%2C23\,\times \,10^9$

e. $34\,\%2C000\,\times \,10^{12}\,=\,3%2C4\,\times \,10^4\,\times \,10^{12}\,=\,3%2C4\,\times \,10^{16}$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : calculer ces expressions numériques
$\begin{align%2A}%0D%0AA\,%26=\,45\,\times \,10^{12}\,\times \,4\,\times \,10^{-26}\,\\%0D%0A%26=\,(45\,\times \,4)\,\times \,(10^{12}\,\times \,10^{-26})\,\\%0D%0A%26=\,180\,\times \,10^{-14}\,\\%0D%0A%26=\,1.8\,\times \,10^2\,\times \,10^{-14}\,\\%0D%0A%26=\,1.8\,\times \,10^{-12}%0D%0A\end{align%2A}$

$\begin{align%2A}%0D%0AB\,%26=\,12\,\times \,10^{-5}\,\times \,5\,\times \,10^{-5}\,\\%0D%0A%26=\,(12\,\times \,5)\,\times \,(10^{-5}\,\times \,10^{-5})\,\\%0D%0A%26=\,60\,\times \,10^{-10}\,\\%0D%0A%26=\,6.0\,\times \,10^1\,\times \,10^{-10}\,\\%0D%0A%26=\,6.0\,\times \,10^{-9}%0D%0A\end{align%2A}$

$\begin{align%2A}%0D%0AC\,%26=\,2.7\,\times \,10^{13}\,\times \,15.1\,\times \,10^{-8}\,\\%0D%0A%26=\,(2.7\,\times \,15.1)\,\times \,(10^{13}\,\times \,10^{-8})\,\\%0D%0A%26=\,40.77\,\times \,10^5\,\\%0D%0A%26=\,4.077\,\times \,10^1\,\times \,10^5\,\\%0D%0A%26=\,4.077\,\times \,10^6%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 32 : qCM sur les puissances de 10
a. L’écriture scientifique de 65 100 000 est :
$6%2C51\,\times \,10^7$
La bonne réponse est la Réponse A.

b. Le nombre décimal 0,246 s’écrit aussi :
$2%2C46\,\times \,10^{-1}$
La bonne réponse est la Réponse C.

c. $28\,\times \,10^{-3}$ est égal à :
0%2C028
La bonne réponse est la Réponse B.

d. Le nombre $50\,\times \,10^{-3}$ s’écrit encore :
0%2C05
La bonne réponse est la Réponse C.

e. L’écriture scientifique de 0,0035 est :
$3%2C5\,\times \,10^{-3}$
La bonne réponse est la Réponse A.

Exercice 33 : problème sur l’atome de carbone
Correction de l’exercice:

a. Calculons d’abord la masse en kilogrammes d’un paquet contenant $6{%2C}022\,\times \,10^{23}$ atomes de carbone.

La masse d’un atome de carbone est $1{%2C}99\,\times \,10^{-26}\,\%2C\,kg$ .

La masse totale du paquet est donc :
$m_{total}\,=\,6{%2C}022\,\times \,10^{23}\,\times \,1{%2C}99\,\times \,10^{-26}\,\%2C\,kg$

Simplifions cette expression :
$m_{total}\,=\,(6{%2C}022\,\times \,1{%2C}99)\,\times \,(10^{23}\,\times \,10^{-26})\,\%2C\,kg$
$m_{total}\,=\,11{%2C}98438\,\times \,10^{-3}\,\%2C\,kg$

Pour convertir en grammes, on doit multiplier par 1000 :
$m_{total}\,=\,11{%2C}98438\,\times \,10^{-3}\,\times \,1000\,\%2C\,g$
$m_{total}\,=\,11{%2C}98438\,\%2C\,g$

Donc, la masse en grammes d’un tel paquet d’atomes de carbone est $11{%2C}98438\,\%2C\,g$ .

b. Arrondissons maintenant cette masse à un gramme près.

La valeur arrondie de $11{%2C}98438\,\%2C\,g$ est $12\,\%2C\,g$ .

Ainsi, la masse arrondie à un gramme près est $12\,\%2C\,g$ .

Exercice 34 : problème de la vitesse de la lumière
a. La lumière se propage à la vitesse moyenne de $3\,\times \,10^5$ km par seconde.

La distance parcourue par la lumière en une année est donnée par :
$d\,=\,v\,\times \,t$

où :
– $v\,=\,3\,\times \,10^5$ km/s (vitesse de la lumière)
– est le nombre de secondes dans une année.

Calculons :
$t\,=\,60\,\%2C\,sec%2Fmin\,\times \,60\,\%2C\,min%2Fh\,\times \,24\,\%2C\,h%2Fjour\,\times \,365\,\%2C\,jours%2Fan$
$t\,=\,60\,\times \,60\,\times \,24\,\times \,365$
$t\,\approx\,3.1536\,\times \,10^7\,\%2C\,seconds$

Alors, la distance est :
$d\,=\,3\,\times \,10^5\,\%2C\,km%2Fs\,\times \,3.1536\,\times \,10^7\,\%2C\,sec$

En utilisant la notation scientifique et en arrondissant au dixième :
$d\,\approx\,9.5\,\times \,10^{12}\,\%2C\,km$

C’est ce qu’on appelle une année-lumière (a.l.).

b. Les astronomes ont observé que l’extinction d’une étoile s’est produite il y a environ 5000 ans.

La distance séparant cette étoile de la Terre est donnée par :
$d\,=\,v\,\times \,t$

où :
– $t\,=\,5000\,\%2C\,annees$

Nous avons déjà calculé la distance parcourue par la lumière en une année, soit $9.5\,\times \,10^{12}\,\%2C\,km%2Fan$ .

Alors, la distance séparant cette étoile de la Terre est :
$d\,=\,9.5\,\times \,10^{12}\,\%2C\,km%2Fan\,\times \,5000\,\%2C\,ans$
$d\,=\,4.75\,\times \,10^{16}\,\%2C\,km$

Exercice 35 : quelle est la planète la plus éloignée du soleil ?
Les distances des planètes Vénus, Mars et Terre au Soleil sont données ainsi :

Vénus : $105\,\times \,10^6$ km
Mars : $2\,250\,\times \,10^5$ km
Terre : $1%2C5\,\times \,10^8$ km

Pour pouvoir comparer ces distances, il est préférable d’exprimer toutes les distances en une même base. Exprimons chaque distance en kilomètres de la façon suivante :

1. Vénus :
$105\,\times \,10^6\,=\,105\,\times \,1\%2C000\%2C000\,=\,105\%2C000\%2C000\,\,km$

2. Mars :
$2\%2C250\,\times \,10^5\,=\,2\%2C250\,\times \,100\%2C000\,=\,225\%2C000\%2C000\,\,km$

3. Terre :
$1{%2C}5\,\times \,10^8\,=\,1{%2C}5\,\times \,100\%2C000\%2C000\,=\,150\%2C000\%2C000\,\,km$

Maintenant, comparons les distances obtenues en kilomètres :

Vénus : 105 000 000 km
Mars : 225 000 000 km
Terre : 150 000 000 km

On constate que la distance de Mars au Soleil (225 000 000 km) est la plus grande parmi les trois planètes mentionnées.

Ainsi, la planète la plus éloignée du Soleil parmi Vénus, Mars et Terre est Mars .

Exercice 36 : calculs et écriture scientifique
$A\,=\,732%2C472\,\times \,10^{-6}\,=\,7%2C32472\,\times \,10^{2}\,\times \,10^{-6}\,=\,7%2C32472\,\times \,10^{-4}$

$B\,=\,4\,\times \,(10^{-5})^2\,\times \,3\,\times \,10^{4}\,\times \,10^{6}$
$=\,4\,\times \,10^{-10}\,\times \,3\,\times \,10^{4}\,\times \,10^{6}\,=\,4\,\times \,3\,\times \,10^{-10\,%2B\,4\,%2B\,6}\,=\,12\,\times \,10^{0}\,=\,1%2C2\,\times \,10^{1}$

$C\,=\,\frac{42\,\times \,(10^{-3})^{-1}\,\times \,37\,\times \,10^{4}}{6\,\times \,10^{-3}\,\times \,7\,\times \,10^{5}}$
$=\,\frac{42\,\times \,10^{3}\,\times \,37\,\times \,10^{4}}{6\,\times \,10^{-3}\,\times \,7\,\times \,10^{5}}\,=\,\frac{42\,\times \,37\,\times \,10^{7}}{6\,\times \,7\,\times \,10^{2}}\,=\,\frac{1554\,\times \,10^{7}}{42\,\times \,10^{2}}\,=\,\frac{1554}{42}\,\times \,10^{5}$
$=\,37\,\times \,10^{5}\,=\,3.7\,\times \,10^{6}$

Exercice 37 : aire , périmètre et puissances
Pour calculer l’aire et le périmètre d’un rectangle de longueur $L\,=\,6{%2C}4\,\times \,10^{30}$ m et de largeur $l\,=\,1{%2C}28\,\times \,10^{20}$ m, nous procédons comme suit :

L’aire du rectangle est donnée par $A\,=\,L\,\times \,l$ :
$A\,=\,6{%2C}4\,\times \,10^{30}\,\times \,1{%2C}28\,\times \,10^{20}$
$A\,=\,(6{%2C}4\,\times \,1{%2C}28)\,\times \,(10^{30}\,\times \,10^{20})$
$A\,=\,8{%2C}192\,\times \,10^{50}$

Le périmètre du rectangle est donné par $P\,=\,2(L\,%2B\,l)$ :
$P\,=\,2\,(\,6{%2C}4\,\times \,10^{30}\,%2B\,1{%2C}28\,\times \,10^{20}\,)$
Puisque $10^{30}$ est beaucoup plus grand que $10^{20}$ , nous pouvons approximativement considérer la somme en termes de l’ordre de grandeur de $10^{30}$ :
$P\,\approx\,2\,\times \,6{%2C}4\,\times \,10^{30}$
$P\,\approx\,12{%2C}8\,\times \,10^{30}$

En notation scientifique :
$P\,=\,1{%2C}28\,\times \,10^{1}\,\times \,10^{30}$
$P\,=\,1{%2C}28\,\times \,10^{31}$

Donc, les résultats sont :
$A\,=\,8{%2C}192\,\times \,10^{50}\,\,m^2$
$P\,=\,1{%2C}28\,\times \,10^{31}\,\,m$

Exercice 38 : calculs et puissances
Calculons :

$A\,=\,734%2C23\,\times \,10^{-1}\,%2B\,48%2C32\,%2B\,0%2C00045\,\times \,10^3$

Décomposons chaque terme:
$734%2C23\,\times \,10^{-1}\,=\,73%2C423$

$0%2C00045\,\times \,10^3\,=\,0%2C00045\,\times \,1000\,=\,0%2C45$

Additionnons les termes:
$A\,=\,73%2C423\,%2B\,48%2C32\,%2B\,0%2C45\,=\,122%2C193$

Le résultat en notation scientifique est :
$A\,=\,1%2C22193\,\times \,10^2$

Calculons :

$B\,=\,\frac{42\,\times \,10^{-5}}{7\,\times \,10^{-8}}$

Simplifions le coefficient numérique :
$\frac{42}{7}\,=\,6$

Utilisons les propriétés des puissances de 10 :
$10^{-5}\,: \,10^{-8}\,=\,10^{-5\,-\,(-8)}\,=\,10^{-5\,%2B\,8}\,=\,10^3$

Ainsi, nous obtenons :
$B\,=\,6\,\times \,10^3$

Donc, le résultat en notation scientifique est :
$B\,=\,6\,\times \,10^3$

Exercice 39 : recouvrir la terre à l’aide de la France
La superficie totale de la Terre est de $510\%2C065\%2C000\,\%2C\,km^2$ .

La superficie de la France est de $551\%2C602\,\%2C\,km^2$ .

Pour trouver combien de fois la France peut couvrir la Terre, nous devons diviser la superficie de la Terre par la superficie de la France :

$\frac{510\%2C065\%2C000\,\%2C\,km^2}{551\%2C602\,\%2C\,km^2}$

Pour déterminer un ordre de grandeur de ce quotient, nous exprimons les superficies en utilisant des puissances de dix :

$510\%2C065\%2C000\,\approx\,5.1\,\times \,10^8\,\%2C\,km^2$

$551\%2C602\,\approx\,5.5\,\times \,10^5\,\%2C\,km^2$

Maintenant, nous calculons :

$\frac{5.1\,\times \,10^8\,\%2C\,km^2}{5.5\,\times \,10^5\,\%2C\,km^2}\,=\,\frac{5.1}{5.5}\,\times \,10^{8\,-\,5}\,=\,\frac{5.1}{5.5}\,\times \,10^3$

$\frac{5.1}{5.5}$ est approximativement égal à 0.927 , ce qui est proche de 1 pour une estimation d’ordre de grandeur. Donc :

$\frac{0.927\,\times \,10^3\,\%2C\,km^2}{1}\,\approx\,10^3$

Ainsi, il faudrait en ordre de grandeur environ 10^3 (ou 1,000) « France » pour couvrir la Terre.

Exercice 40 : mettre sous forme d’une puissance de 10
$A\,=\,\frac{10^3\,\times \,10^{-5}}{10^2}\,=\,\frac{10^{3\,%2B\,(-5)}}{10^2}\,=\,\frac{10^{-2}}{10^2}\,=\,10^{-2\,-\,2}\,=\,10^{-4}$

$B\,=\,\frac{10^{-2}\,\times \,10^{-9}}{(10^3)^4}\,=\,\frac{10^{-2\,%2B\,(-9)}}{10^{3\,\times \,4}}\,=\,\frac{10^{-11}}{10^{12}}\,=\,10^{-11\,-\,12}\,=\,10^{-23}$

$C\,=\,\frac{(10^{-2})^5}{10^7\,\times \,10^{-8}}\,=\,\frac{10^{-2\,\times \,5}}{10^{7\,%2B\,(-8)}}\,=\,\frac{10^{-10}}{10^{-1}}\,=\,10^{-10\,-\,(-1)}\,=\,10^{-10\,%2B\,1}\,=\,10^{-9}$

$D\,=\,\frac{10^2\,\times \,10^{-9}}{10^{-7}}\,=\,\frac{10^{2\,%2B\,(-9)}}{10^{-7}}\,=\,\frac{10^{-7}}{10^{-7}}\,=\,10^{-7\,-\,(-7)}\,=\,10^{-7\,%2B\,7}\,=\,10^0\,=\,1$

$E\,=\,\frac{10^7\,\times \,10^5}{10^{-3}\,\times \,10^{-1}}\,=\,\frac{10^{7\,%2B\,5}}{10^{-3\,%2B\,(-1)}}\,=\,\frac{10^{12}}{10^{-4}}\,=\,10^{12\,-\,(-4)}\,=\,10^{12\,%2B\,4}\,=\,10^{16}$

$F\,=\,\frac{(10^4)^3}{10^8\,\times \,10^{-2}}\,=\,\frac{10^{4\,\times \,3}}{10^{8\,%2B\,(-2)}}\,=\,\frac{10^{12}}{10^6}\,=\,10^{12\,-\,6}\,=\,10^6$

Voir Corrigés 31 à 40 ...

Exercice 41 : notation scientifique d’un nombre décimal
$540\%2C000\%2C000\%2C000\,=\,5{%2C}4\,\times \,10^{11}$

$650\%2C000\%2C000\,=\,6{%2C}5\,\times \,10^{8}$

$0{%2C}000\%2C000\%2C006\,=\,6\,\times \,10^{-9}$

$1\%2C048\%2C000\%2C000\%2C000\,=\,1{%2C}048\,\times \,10^{12}$

$0{%2C}000\%2C002\%2C64\,=\,2{%2C}64\,\times \,10^{-6}$

$20\%2C300\%2C000\,=\,2{%2C}03\,\times \,10^{7}$

$673{%2C}185\,=\,6{%2C}73185\,\times \,10^{2}$

$8\%2C070\%2C000\%2C000\,=\,8{%2C}07\,\times \,10^{9}$

$4\%2C000{%2C}007\,=\,4{%2C}000007\,\times \,10^{3}$

$0{%2C}700\%2C600\%2C000\,=\,7{%2C}006\,\times \,10^{-1}$

Exercice 42 : donner la notation scientifique

$1.\%2C6\%2C300\,\times \,10^4\,=\,6.3\,\times \,10\,\times \,10^4\,=\,6.3\,\times \,10^5$
$2.\%2C0.012\%2C500\,\times \,10^{-14}\,=\,1.25\,\times \,10^{-2}\,\times \,10^{-14}\,=\,1.25\,\times \,10^{-16}$
$3.81\%2C500\%2C000\,\times \,10^{23}\,=\,8.15\,\times \,10^7\,\times \,10^{23}\,=\,8.15\,\times \,10^{30}$
$4.450\,\times \,10^6\,=\,4.5\,\times \,10^2\,\times \,10^6\,=\,4.5\,\times \,10^8$
$5.0.012\%2C500\,\times \,10^{-12}\,=\,1.25\,\times \,10^{-2}\,\times \,10^{-12}\,=\,1.25\,\times \,10^{-14}$
$6.81\%2C500\%2C000\,\times \,10^{13}\,=\,8.15\,\times \,10^7\,\times \,10^{13}\,=\,8.15\,\times \,10^{20}$
$7.0.000\%2C67\,\times \,10^{-5}\,=\,6.7\,\times \,10^{-4}\,\times \,10^{-5}\,=\,6.7\,\times \,10^{-9}$
$8.0.012\%2C500\,\times \,10^{15}\,=\,1.25\,\times \,10^{-2}\,\times \,10^{15}\,=\,1.25\,\times \,10^{13}$
$9.6\%2C300\,\times \,10^{12}\,=\,6.3\,\times \,10^3\,\times \,10^{12}\,=\,6.3\,\times \,10^{15}$
Exercice 43 : calculer et fournir l’écriture scientifique
Correction des exercices :

$A\,=\,\frac{3\,\times \,10^2\,\times \,1%2C2\,\times \,10^{-9}}{15\,\times \,10^2}$

On simplifie le numérateur et le dénominateur séparément :

$3\,\times \,1%2C2\,=\,3%2C6$

$10^2\,\times \,10^{-9}\,=\,10^{-7}$

Donc,

$A\,=\,\frac{3%2C6\,\times \,10^{-7}}{15\,\times \,10^2}\,=\,\frac{3%2C6}{15}\,\times \,10^{-7-2}\,=\,0%2C24\,\times \,10^{-9}$

En notation scientifique :

$A\,=\,2%2C4\,\times \,10^{-10}$

$B\,=\,3\,\times \,10^{-4}\,\times \,7\,\times \,10^9\,\times \,1%2C25$

On simplifie le tout :

$3\,\times \,7\,\times \,1%2C25\,=\,26%2C25$

$10^{-4}\,\times \,10^9\,=\,10^5$

Donc,

$B\,=\,26%2C25\,\times \,10^5\,=\,2%2C625\,\times \,10^6$

$C\,=\,\frac{8\,\times \,10^{35}\,\times \,15\,\times \,10^{-6}}{20\,\times \,(10^2)^5}$

On simplifie le numérateur et le dénominateur séparément :

$8\,\times \,15\,=\,120$

$10^{35}\,\times \,10^{-6}\,=\,10^{29}$

$(10^2)^5\,=\,10^{10}$

Donc,

$C\,=\,\frac{120\,\times \,10^{29}}{20\,\times \,10^{10}}\,=\,\frac{120}{20}\,\times \,10^{29-10}\,=\,6\,\times \,10^{19}$

$D\,=\,7%2C5\,\times \,(10^9)^{-2}\,\times \,2\,\times \,10^{-14}$

$(10^9)^{-2}\,=\,10^{-18}$

Donc,

$D\,=\,7%2C5\,\times \,2\,\times \,10^{-18-14}\,=\,15\,\times \,10^{-32}\,=\,1%2C5\,\times \,10^{-31}$

$E\,=\,2\,\times \,10^6\,\times \,29\,\times \,10^{-3}\,\times \,0%2C001$

On simplifie le tout :

$2\,\times \,29\,=\,58$

$10^6\,\times \,10^{-3}\,\times \,10^{-3}\,=\,10^0\,=\,1$

Donc,

$E\,=\,58\,\times \,1\,=\,5%2C8\,\times \,10^1$

$F\,=\,\frac{6\,\times \,(10^3)^{-4}}{4\,\times \,10^6\,\times \,3%2C3\,\times \,10^{-7}}$

On simplifie le numérateur et le dénominateur séparément :

$6\,\times \,(10^3)^{-4}\,=\,6\,\times \,10^{-12}$

$4\,\times \,3%2C3\,=\,13%2C2$

$10^6\,\times \,10^{-7}\,=\,10^{-1}$

Donc,

$F\,=\,\frac{6\,\times \,10^{-12}}{13%2C2\,\times \,10^{-1}}\,=\,\frac{6}{13%2C2}\,\times \,10^{-12%2B1}\,=\,\frac{6}{13%2C2}\,\times \,10^{-11}\,=\,0.4545\,\times \,10^{-11}\,=\,4.545\,\times \,10^{-12}$

$G\,=\,\frac{15\,\times \,10^7\,\times \,4\,\times \,10^{-5}}{0%2C25\,\times \,10^2}$

On simplifie le tout :

$15\,\times \,4\,=\,60$

$10^7\,\times \,10^{-5}\,=\,10^{2}$

$0%2C25\,\times \,10^2\,=\,25$

Donc,

$G\,=\,\frac{60\,\times \,10^2}{25}\,=\,\frac{60}{25}\,\times \,10^2\,=\,2%2C4\,\times \,10^2$

$H\,=\,0%2C01\,\times \,0%2C00296\,\times \,10^4\,\times \,5\,\times \,10^{-6}\,\times \,10000$

On convertit tout en notation scientifique :

$0%2C01\,=\,1\,\times \,10^{-2}$

$0%2C00296\,=\,2%2C96\,\times \,10^{-3}$

$10^4\,=\,10^4$

$5\,=\,5\,\times \,10^0$

$10^{-6}\,=\,10^{-6}$

$10000\,=\,10^4$

Ce qui donne :

$H\,=\,(1\,\times \,10^{-2})\,\times \,(2%2C96\,\times \,10^{-3})\,\times \,(10^4)\,\times \,(5\,\times \,10^0)\,\times \,(10^{-6})\,\times \,(10^4)$

Regroupant les nombres et puissances de 10 :

$H\,=\,1\,\times \,2%2C96\,\times \,5\,\times \,10^{-2-3%2B4%2B0-6%2B4}\,=\,14.8\,\times \,10^{-3}$

En notation scientifique :
$H\,=\,1%2C48\,\times \,10^{-2}$

Exercice 44 : calculer la distance entre la terre et soleil
$La\,vitesse\,de\,la\,lumiere\,est\,\,v\,=\,3\,\times \,10^8\,\,m%2Fs.$
$La\%2C\,duree\%2C\,de\%2C\,propagation\,\%2Cest\%2C\,t\,=\%2C\,8\%2C\,minutes\%2C\,et\,\%2C20\%2C\,secondes.$
$1\%2C\,minute\,=\,60\%2C\,secondes%2C\%2C\,donc\%2C\,8\%2C\,minutes\,\%2C=\%2C\,8\,\times \,60\,\%2Csecondes\,=\,480\%2C\,secondes.$
$La\,duree\,totale\,en\,secondes\,est\,donc\,\,t\,=\,480\,\,secondes\,\,%2B\,20\,\,secondes\,\,=\,500\,\,secondes.$
$La\,distance\,Terre-Soleil%2C\,\,d%2C\,\,est\,donnee\,par\,la\,formule\,\,d\,=\,v\,\times \,t.$
$d\,=\,3\,\times \,10^8\,\,m%2Fs\,\times \,500\,\,s\,=\,1.5\,\times \,10^{11}\,\,m.$
$1\,\,kilometre\,\,=\,1000\,\,metres%2C\,\,donc\,\,1.5\,\times \,10^{11}\,\,m\,=\,1.5\,\times \,10^{11}\,: \,10^3\,\,km.$
$d\,=\,1.5\,\times \,10^8\,\,km.$

Ainsi, la distance Terre-Soleil est $1.5\,\times \,10^{11}\,\,m$ en notation scientifique et $150%2C000%2C000\,\,km$ en kilomètres.

Exercice 45 : porte-avions et billets de banque
Le coût du porte-avions est de 2 milliards d’euros = $2\,\times \,10^9$ euros .
Chaque billet de 50 € a une épaisseur de 80 micromètres = $80\,\times \,10^{-6}$ m.

Pour calculer le nombre de billets de 50 € nécessaires pour atteindre 2 milliards d’euros :
$Nombre\,de\,billets\,=\,\frac{2\,\times \,10^9\,\\,\text{euros}}{50\,\\,\text{euros%2Fbillet}}$
$=\,\frac{2\,\times \,10^9}{50}$
$=\,4\,\times \,10^7\,\\,\text{billets}.$

Pour calculer la hauteur totale de cette pile de billets :
$\text{Hauteur\,totale}\,\,\,=\,\text{nombre\,de\,billets}\,\times \,\text{epaisseur\,d'un\,billet}$
$=\,4\,\times \,10^7\,\\,\text{billets}\,\times \,80\,\times \,10^{-6}\,\\,\text{m%2Fbillet}$
$=\,3.2\,\times \,10^3\,\\,\text{m}.$

Donc, la hauteur de la pile de billets de banque de 50 € représentant 2 milliards d’euros serait de $3\,200\,\\,m$ .

Exercice 46 : plage de Syracuse et grains de sable
Le volume total de sable sur la plage peut être calculé en multipliant les dimensions de la plage:

$V_{plage}\,=\,L\,\times \,l\,\times \,h\,=\,2000\,\%2C\,m\,\times \,50\,\%2C\,m\,\times \,1\,\%2C\,m\,=\,100000\,\%2C\,m^3.$

Sachant qu’il faut 10 grains de sable pour faire un volume de $1\,\%2C\,mm^3$ , nous pouvons convertir ce volume en mètres cubes:

$1\,\%2C\,mm^3\,=\,1\,\times \,10^{-9}\,\%2C\,m^3.$

Le volume total occupé par un grain de sable est donc :

$V_{grain}\,=\,\frac{1\,\times \,10^{-9}\,\%2C\,m^3}{10}\,=\,1\,\times \,10^{-10}\,\%2C\,m^3.$

Pour trouver le nombre total de grains de sable, nous divisons le volume total de la plage par le volume occupé par un seul grain de sable :

$n_{grains}\,=\,\frac{V_{plage}}{V_{grain}}\,=\,\frac{100000\,\%2C\,m^3}{1\,\times \,10^{-10}\,\%2C\,m^3}\,=\,1\,\times \,10^{15}.$

Donc, l’ordre de grandeur du nombre de grains de sable est $10^{15}$ .

Voir Corrigés 41 à 46 ...

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