Calcul littéral : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : réduction d’expressions littérales.

A\,=\,2x\,%2B\,x\,=\,3x
B=\,3x\,\times  \,x\,=\,3x^2
C\,=\,4x\,-\,x\,=\,3x
D=\,3x\,%2B\,2 (ne peut pas être simplifié davantage)
E\,=\,x\,\times  \,2\,=\,2x
F\,=\,x^2\,%2B\,x (ne peut pas être simplifié davantage)
G\,=\,0\,\times  \,x\,=\,0
H=\,1\,%2B\,2x  (ne peut pas être simplifié davantage)
I\,=\,0\,%2B\,x\,=\,x
J\,=\,5x\,\times  \,6x\,=\,30x^2
K=\,4\,\times  \,x\,\times  \,5\,=\,20x
L\,=\,x\,\times  \,x\,%2B\,x\,=\,x^2\,%2B\,x

Exercice 2 : calcul littéral – suppression de parenthèses.
M\,%26=\,(x\,%2B\,3)\,%2B\,(4x\,-\,5)\,\\%0D%0A%26=\,x\,%2B\,3\,%2B\,4x\,-\,5\,\\%0D%0A%26=\,x\,%2B\,4x\,%2B\,3\,-\,5\,\\%0D%0A%26=\,5x\,-\,2\,\\%0D%0A\\%0D%0AP\,%26=\,(2y\,%2B\,7)\,%2B\,(-5y\,%2B\,3)\,\\%0D%0A%26=\,2y\,%2B\,7\,-\,5y\,%2B\,3\,\\%0D%0A%26=\,2y\,-\,5y\,%2B\,7\,%2B\,3\,\\%0D%0A%26=\,-3y\,%2B\,10\,\\%0D%0A\\%0D%0AN\,%26=\,6\,-\,2t\,-\,(4t\,-\,8)\,\\%0D%0A%26=\,6\,-\,2t\,-\,4t\,%2B\,8\,\\%0D%0A%26=\,6\,%2B\,8\,-\,2t\,-\,4t\,\\%0D%0A%26=\,14\,-\,6t\,\\%0D%0A\\%0D%0AQ\,%26=\,5z\,-\,6\,-\,(7\,-\,2z)\,%2B\,3z\,\\%0D%0A%26=\,5z\,-\,6\,-\,7\,%2B\,2z\,%2B\,3z\,\\%0D%0A%26=\,5z\,%2B\,2z\,%2B\,3z\,-\,6\,-\,7\,\\%0D%0A%26=\,10z\,-\,13\,\\%0D%0A\\%0D%0AO\,%26=\,-(8a\,%2B\,3)\,-\,4a\,\\%0D%0A%26=\,-8a\,-\,3\,-\,4a\,\\%0D%0A%26=\,-8a\,-\,4a\,-\,3\,\\%0D%0A%26=\,-12a\,-\,3\,\\%0D%0A\\%0D%0AR\,%26=\,(3\,-\,4x)\,-\,(-2x\,%2B\,8)\,\\%0D%0A%26=\,3\,-\,4x\,%2B\,2x\,-\,8\,\\%0D%0A%26=\,3\,-\,8\,-\,4x\,%2B\,2x\,\\%0D%0A%26=\,-5\,-\,2x\,\\

Exercice 3 : calcul littéral – réduire.
Pour A:
A\,=\,x\,-\,6\,-\,5x^2\,-\,30\,-\,x
Regroupons les termes similaires :
A\,=\,-5x^2\,%2B\,x\,-\,x\,-\,6\,-\,30
Simplifions :
A\,=\,-5x^2\,-\,36

Pour B:
B\,=\,12x\,-\,x^2\,-\,10\,%2B\,x\,-\,3\,-\,8x^2\,%2B\,1\,-\,2x
Regroupons les termes similaires :
B\,=\,(12x\,%2B\,x\,-\,2x)\,%2B\,(-x^2\,-\,8x^2)\,%2B\,(-10\,-\,3\,%2B\,1)
Simplifions :
B\,=\,11x\,-\,9x^2\,-\,12

Pour C:
C\,=\,-3a\,-\,a\,%2B\,b\,%2B\,5a\,-\,9\,%2B\,(-3a\,-\,5b)
Regroupons les termes similaires :
C\,=\,(-3a\,-\,a\,%2B\,5a\,-\,3a)\,%2B\,(b\,-\,5b)\,-\,9
Simplifions :
C\,=\,-2a\,-\,4b\,-\,9

Pour D:
D\,=\,x^2\,-\,(3x^2\,-\,15x\,%2B\,4)\,%2B\,(15x^2\,-\,12x\,-\,3)
Distribuons les signes :
D\,=\,x^2\,-\,3x^2\,%2B\,15x\,-\,4\,%2B\,15x^2\,-\,12x\,-\,3
Regroupons les termes similaires :
D\,=\,(x^2\,-\,3x^2\,%2B\,15x^2)\,%2B\,(15x\,-\,12x)\,%2B\,(-4\,-\,3)
Simplifions :
D\,=\,13x^2\,%2B\,3x\,-\,7

Exercice 4 : calcul littéral – écrire et développer.
1. Du texte à l’écriture mathématique :

a) Le double de x augmenté de 1 :
2x\,%2B\,1

b) La somme de 3 et du triple de x :
3\,%2B\,3x

c) Le tiers de x diminué de 5 :
\frac{x}{3}\,-\,5

d) Le produit par 5 de la somme de x et de 4 :
5(x\,%2B\,4)

e) La somme de 6 et du produit de x par 7 :
6\,%2B\,7x

2. Développer et réduire :

a)
A\,=\,3(t\,-\,2)\,-\,2(1\,-\,t)
Développement:
A\,=\,3t\,-\,6\,-\,2\,%2B\,2t
A\,=\,5t\,-\,8

b)
B\,=\,(1\,-\,x)(3x\,-\,2)
Développement:
B\,=\,1\,\cdot\,3x\,%2B\,(-x)\,\cdot\,3x\,%2B\,1\,\cdot\,(-2)\,%2B\,(-x)\,\cdot\,(-2)
B\,=\,3x\,-\,3x^2\,-\,2\,%2B\,2x
B\,=\,-3x^2\,%2B\,5x\,-\,2

c)
C\,=\,(a\,-\,2b)(2a\,-\,b)
Développement:
C\,=\,a\,\cdot\,2a\,%2B\,(-2b)\,\cdot\,2a\,%2B\,a\,\cdot\,(-b)\,%2B\,(-2b)\,\cdot\,(-b)
C\,=\,2a^2\,-\,4ab\,-\,ab\,%2B\,2b^2
C\,=\,2a^2\,-\,5ab\,%2B\,2b^2

d)
D\,=\,4(1\,-\,a)(2\,-\,a)
Développement:
D\,=\,4%5B1\,\cdot\,2\,%2B\,(-a)\,\cdot\,2\,%2B\,1\,\cdot\,(-a)\,%2B\,(-a)\,\cdot\,(-a)%5D
D\,=\,4(2\,-\,2a\,-\,a\,%2B\,a^2)
D\,=\,4(2\,-\,3a\,%2B\,a^2)
D\,=\,8\,-\,12a\,%2B\,4a^2

e)
E\,=\,1(3\,-\,x^2)\,%2B\,4(x\,-\,1)(5\,-\,2x)
Développement:
E\,=\,3\,-\,x^2\,%2B\,4%5Bx\,\cdot\,5\,%2B\,(-1)\,\cdot\,5\,%2B\,x\,\cdot\,(-2x)\,%2B\,(-1)\,\cdot\,(-2x)%5D
E\,=\,3\,-\,x^2\,%2B\,4(5x\,-\,5\,-\,2x^2\,%2B\,2x)
E\,=\,3\,-\,x^2\,%2B\,4(7x\,-\,5\,-\,2x^2)
E\,=\,3\,-\,x^2\,%2B\,28x\,-\,20\,-\,8x^2
E\,=\,-9x^2\,%2B\,28x\,-\,17

Exercice 5 : programme de calcul.
1. Effectuer ce programme de calcul pour 2 et pour 7.

Pour un nombre donné a, on suit le programme de calcul.

### Pour a\,=\,2 :
1. Choisir un nombre : 2.
2. Soustraire 3 à ce nombre : 2\,-\,3\,=\,-1.
3. Multiplier le résultat obtenu par 5 : (-1)\,\times  \,5\,=\,-5.
4. Diviser le résultat obtenu par 4 : \frac{-5}{4}\,=\,-\frac{5}{4}.
5. Ajouter le nombre de départ au résultat obtenu : -\frac{5}{4}\,%2B\,2\,=\,-\frac{5}{4}\,%2B\,\frac{8}{4}\,=\,\frac{3}{4}.

Le résultat est donc \frac{3}{4}.

Pour a\,=\,7 :
1. Choisir un nombre : 7.
2. Soustraire 3 à ce nombre : 7\,-\,3\,=\,4.
3. Multiplier le résultat obtenu par 5 : 4\,\times  \,5\,=\,20.
4. Diviser le résultat obtenu par 4 : \frac{20}{4}\,=\,5.
5. Ajouter le nombre de départ au résultat obtenu : 5\,%2B\,7\,=\,12.

Le résultat est donc 12.

2. Reprendre ce programme pour un nombre x.

Pour un nombre x, on suit les étapes du programme de calcul.

1. Choisir un nombre : x.
2. Soustraire 3 à ce nombre : x\,-\,3.
3. Multiplier le résultat obtenu par 5 : (x\,-\,3)\,\times  \,5.
4. Diviser le résultat obtenu par 4 : \frac{(x\,-\,3)\,\times  \,5}{4}.
5. Ajouter le nombre de départ au résultat obtenu :
x\,%2B\,\frac{(x\,-\,3)\,\times  \,5}{4}

Simplifions cette expression :

x\,%2B\,\frac{5(x\,-\,3)}{4}\,=\,x\,%2B\,\frac{5x\,-\,15}{4}\,=\,\frac{4x}{4}\,%2B\,\frac{5x\,-\,15}{4}\,=\,\frac{4x\,%2B\,5x\,-\,15}{4}\,=\,\frac{9x\,-\,15}{4}

Le résultat général est donc \frac{9x\,-\,15}{4}.

Exercice 6 : calcul algébrique.
Situation\,1

Réduire chaque expression littérale suivante :

D\,=\,x^2\,%2B\,3x\,-\,1\,%2B\,x^2\,-\,15x\,-\,2\,%2B\,4\,-\,5x^2

Regroupons les termes similaires :
D\,=\,(x^2\,%2B\,x^2\,-\,5x^2)\,%2B\,(3x\,-\,15x)\,%2B\,(-1\,-\,2\,%2B\,4)

Effectuons les simplifications :
D\,=\,(-3x^2)\,%2B\,(-12x)\,%2B\,1

Donc :
D\,=\,-3x^2\,-\,12x\,%2B\,1

E\,=\,12x^2\,-\,8\,%2B\,3x\,-\,8x^2\,%2B\,7\,%2B\,7x\,-\,3x

Regroupons les termes similaires :
E\,=\,(12x^2\,-\,8x^2)\,%2B\,(3x\,%2B\,7x\,-\,3x)\,%2B\,(-8\,%2B\,7)

Effectuons les simplifications :
E\,=\,4x^2\,%2B\,7x\,-\,1

Donc :
E\,=\,4x^2\,%2B\,7x\,-\,1

F\,=\,9a\,%2B\,15a^2\,-\,15a\,-\,11a^2\,-\,3a\,-\,4a^2\,%2B\,2

Regroupons les termes similaires :
F\,=\,(15a^2\,-\,11a^2\,-\,4a^2)\,%2B\,(9a\,-\,15a\,-\,3a)\,%2B\,2

Effectuons les simplifications :
F\,=\,0\,%2B\,(-9a)\,%2B\,2

Donc :
F\,=\,-9a\,%2B\,2

Situation\,2

Réduire chacune de ces expressions :

G\,=\,%2B3\,-\,(a\,-\,b)\,%2B\,5\,%2B\,(-(a\,%2B\,b))\,%2B\,a

Simplifions :
G\,=\,3\,-\,a\,%2B\,b\,%2B\,5\,-\,a\,-\,b\,%2B\,a

Regroupons les termes similaires :
G\,=\,(3\,%2B\,5)\,%2B\,(-a\,-\,a\,%2B\,a)\,%2B\,(b\,-\,b)

Effectuons les simplifications :
G\,=\,8\,-\,a

Donc :
G\,=\,8\,-\,a

H\,=\,-3\,-\,(\,-a\,%2B\,b)\,%2B\,5a\,-\,9\,%2B\,(\,-3a\,-\,5b)

Simplifions :
H\,=\,-3\,%2B\,a\,-\,b\,%2B\,5a\,-\,9\,-\,3a\,-\,5b

Regroupons les termes similaires :
H\,=\,(-3\,-\,9)\,%2B\,(a\,%2B\,5a\,-\,3a)\,%2B\,(-b\,-\,5b)

Effectuons les simplifications :
H\,=\,-12\,%2B\,3a\,-\,6b

Donc :
H\,=\,-12\,%2B\,3a\,-\,6b

Exercice 7 : identité remarquable

Expression A :

A\,=\,(x\,%2B\,4)^2
A\,=\,(x\,%2B\,4)(x\,%2B\,4)
A\,=\,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,4x\,%2B\,16
A\,=\,x^2\,%2B\,8x\,%2B\,16
Expression B :
B=\,(2x\,-\,3)^2
B=\,(2x\,-\,3)(2x\,-\,3)
B=\,2x\,\,\times  \,\,2x\,-\,2x\,\times  \,\,3\,-\,3\,\times  \,\,2x\,%2B\,3\,\times  \,\,3
B=\,4x^2\,-\,12x\,%2B\,9
B=2%2Bsin(x)B=\,4x^2\,-\,12x\,%2B\,9
Exercice 8 : parenthèses et calcul littéral.

E\,=\,-(x\,%2B\,1)\,%2B\,(x\,-\,1)\,-\,(x\,%2B\,2)
E=\,-x\,-\,1\,%2B\,x\,-\,1\,-\,x\,-\,2
E=\,-x\,%2B\,x\,-\,x\,-\,1\,-\,1\,-\,2
E=\,-x\,-\,4

F=\,(6x\,-\,1)\,%2B\,7\,-\,(3\,-\,6x)
F=\,6x\,-\,1\,%2B\,7\,-\,3\,%2B\,6x
F=\,6x\,%2B\,6x\,-\,1\,%2B\,7\,-\,3
F=\,12x\,%2B\,3
Exercice 9 : développer et réduire
A\,=\,(x\,%2B\,1)(x\,%2B\,4)
A\,=\,x(x\,%2B\,4)\,%2B\,1(x\,%2B\,4)
A\,=\,x^2\,%2B\,4x\,%2B\,x\,%2B\,4
A\,=\,x^2\,%2B\,5x\,%2B\,4

B\,=\,(x\,%2B\,1)(4\,-\,x)
B\,=\,x(4\,-\,x)\,%2B\,1(4\,-\,x)
B\,=\,4x\,-\,x^2\,%2B\,4\,-\,x
B\,=\,-x^2\,%2B\,3x\,%2B\,4

C\,=\,(x\,-\,1)(4\,%2B\,x)
C\,=\,x(4\,%2B\,x)\,-\,1(4\,%2B\,x)
C\,=\,4x\,%2B\,x^2\,-\,4\,-\,x
C\,=\,x^2\,%2B\,3x\,-\,4

D\,=\,(x\,-\,1)(x\,-\,4)
D\,=\,x(x\,-\,4)\,-\,1(x\,-\,4)
D\,=\,x^2\,-\,4x\,-\,x\,%2B\,4
D\,=\,x^2\,-\,5x\,%2B\,4

Exercice 10 : calcul littéral, développer et factoriser
Situation 1

a. 2x\,\times  \,7\,=\,14x

b. -5y\,\times  \,(-2)\,=\,10y

c. 4x\,\times  \,(-5)\,=\,-20x

d. -5\,\times  \,9a\,=\,-45a

e. -3x\,\times  \,x\,=\,-3x^2

f. 5bx\,\times  \,(-2b)\,=\,-10b^2x

g. \frac{2}{3}\,\times  \,a\,\times  \,(-6a)\,=\,-4a^2

h. 3x\,-\,5\,%2B\,4x\,-\,13\,-\,9x\,=\,(3x\,%2B\,4x\,-\,9x)\,%2B\,(-5\,-\,13)\,=\,-19

i. -2x\,%2B\,3\,-\,9x\,-\,4\,%2B\,3x\,=\,(-2x\,-\,9x\,%2B\,3x)\,%2B\,(3\,-\,4)\,=\,-8x\,-\,1

j. 5x\,-\,2\,-\,4x\,%2B\,7\,-\,3x\,-\,2\,-\,9x\,-\,11\,=\,(5x\,-\,4x\,-\,3x\,-\,9x)\,%2B\,(-2\,%2B\,7\,-\,2\,-\,11)\,=\,-11x\,-\,8

Situation 2

a. 25\,-\,(2a\,-\,3)\,=\,25\,-\,2a\,%2B\,3\,=\,28\,-\,2a

b. 3a\,-\,(-2a\,%2B\,7)\,=\,3a\,%2B\,2a\,-\,7\,=\,5a\,-\,7

c. (a\,%2B\,3b)\,%2B\,(b\,-\,2a)\,=\,a\,%2B\,3b\,%2B\,b\,-\,2a\,=\,-a\,%2B\,4b

d. (5\,%2B\,a)\,-\,(-7x\,-\,5)\,=\,5\,%2B\,a\,%2B\,7x\,%2B\,5\,=\,a\,%2B\,7x\,%2B\,10

e. (2x\,-\,5x)\,%2B\,(2a^2\,%2B\,7x\,-\,8)\,=\,-3x\,%2B\,2a^2\,%2B\,7x\,-\,8\,=\,2a^2\,%2B\,4x\,-\,8

f. (3x^2\,-\,5x\,-\,4)\,-\,(-4x^2\,%2B\,7c\,%2B\,5)\,=\,3x^2\,-\,5x\,-\,4\,%2B\,4x^2\,-\,7c\,-\,5\,=\,7x^2\,-\,5x\,-\,7c\,-\,9

g. (\frac{3}{4}a^2\,%2B\,\frac{3}{4}a\,-\,4)\,-\,(\frac{1}{4}a^2\,%2B\,\frac{1}{3}a\,%2B\,3)\,=\,(\frac{3}{4}a^2\,-\,\frac{1}{4}a^2)\,%2B\,(\frac{3}{4}a\,-\,\frac{1}{3}a)\,-\,(4\,%2B\,3)\,=\,\frac{2}{4}a^2\,%2B\,\frac{9}{12}a\,-\,7\,=\,\frac{1}{2}a^2\,%2B\,\frac{3}{4}a\,-\,7

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