Exercice 1 : réduction d’expressions littérales.
\begin{aligned}
A = 2x + x = 3x \\
B = 3x \times x = 3x^2 \\
C = 4x – x = 3x \\
D = 3x + 2 \quad \text{(ne peut pas être simplifié davantage)} \\
E = x \times 2 = 2x \\
F = x^2 + x \quad \text{(ne peut pas être simplifié davantage)} \\
G = 0 \times x = 0 \\
H = 1 + 2x \quad \text{(ne peut pas être simplifié davantage)} \\
I = 0 + x = x \\
J = 5x \times 6x = 30x^2 \\
K = 4 \times x \times 5 = 20x \\
L = x \times x + x = x^2 + x
\end{aligned}
Exercice 2 : calcul littéral – suppression de parenthèses.
\[
\begin{aligned}
M = (x + 3) + (4x – 5) \\
= x + 3 + 4x – 5 \\
= x + 4x + 3 – 5 \\
= 5x – 2 \\
\\
P = (2y + 7) + (-5y + 3) \\
= 2y + 7 – 5y + 3 \\
= 2y – 5y + 7 + 3 \\
= -3y + 10 \\
\\
N = 6 – 2t – (4t – 8) \\
= 6 – 2t – 4t + 8 \\
= 6 + 8 – 2t – 4t \\
= 14 – 6t \\
\\
Q = 5z – 6 – (7 – 2z) + 3z \\
= 5z – 6 – 7 + 2z + 3z \\
= 5z + 2z + 3z – 6 – 7 \\
= 10z – 13 \\
\\
O = -(8a + 3) – 4a \\
= -8a – 3 – 4a \\
= -8a – 4a – 3 \\
= -12a – 3 \\
\\
R = (3 – 4x) – (-2x + 8) \\
= 3 – 4x + 2x – 8 \\
= 3 – 8 – 4x + 2x \\
= -5 – 2x \\
\end{aligned}
\]
Exercice 3 : calcul littéral – réduire.
Voici la correction de l’exercice :
Pour \( A \):
\[
A = x – 6 – 5x^2 – 30 – x
\]
Regroupons les termes similaires :
\[
A = -5x^2 + x – x – 6 – 30
\]
Simplifions :
\[
A = -5x^2 – 36
\]
Pour \( B \):
\[
B = 12x – x^2 – 10 + x – 3 – 8x^2 + 1 – 2x
\]
Regroupons les termes similaires :
\[
B = (12x + x – 2x) + (-x^2 – 8x^2) + (-10 – 3 + 1)
\]
Simplifions :
\[
B = 11x – 9x^2 – 12
\]
Pour \( C \):
\[
C = -3a – a + b + 5a – 9 + (-3a – 5b)
\]
Regroupons les termes similaires :
\[
C = (-3a – a + 5a – 3a) + (b – 5b) – 9
\]
Simplifions :
\[
C = -2a – 4b – 9
\]
Pour \( D \):
\[
D = x^2 – (3x^2 – 15x + 4) + (15x^2 – 12x – 3)
\]
Distribuons les signes :
\[
D = x^2 – 3x^2 + 15x – 4 + 15x^2 – 12x – 3
\]
Regroupons les termes similaires :
\[
D = (x^2 – 3x^2 + 15x^2) + (15x – 12x) + (-4 – 3)
\]
Simplifions :
\[
D = 13x^2 + 3x – 7
\]
Exercice 4 : calcul littéral – écrire et développer.
1. Du texte à l’écriture mathématique :
a) Le double de \(x\) augmenté de \(1\) :
\[ 2x + 1 \]
b) La somme de \(3\) et du triple de \(x\) :
\[ 3 + 3x \]
c) Le tiers de \(x\) diminué de \(5\) :
\[ \frac{x}{3} – 5 \]
d) Le produit par \(5\) de la somme de \(x\) et de \(4\) :
\[ 5(x + 4) \]
e) La somme de \(6\) et du produit de \(x\) par \(7\) :
\[ 6 + 7x \]
2. Développer et réduire :
a)
\[ A = 3(t – 2) – 2(1 – t) \]
Développement:
\[ A = 3t – 6 – 2 + 2t \]
\[ A = 5t – 8 \]
b)
\[ B = (1 – x)(3x – 2) \]
Développement:
\[ B = 1 \cdot 3x + (-x) \cdot 3x + 1 \cdot (-2) + (-x) \cdot (-2) \]
\[ B = 3x – 3x^2 – 2 + 2x \]
\[ B = -3x^2 + 5x – 2 \]
c)
\[ C = (a – 2b)(2a – b) \]
Développement:
\[ C = a \cdot 2a + (-2b) \cdot 2a + a \cdot (-b) + (-2b) \cdot (-b) \]
\[ C = 2a^2 – 4ab – ab + 2b^2 \]
\[ C = 2a^2 – 5ab + 2b^2 \]
d)
\[ D = 4(1 – a)(2 – a) \]
Développement:
\[ D = 4[1 \cdot 2 + (-a) \cdot 2 + 1 \cdot (-a) + (-a) \cdot (-a)] \]
\[ D = 4(2 – 2a – a + a^2) \]
\[ D = 4(2 – 3a + a^2) \]
\[ D = 8 – 12a + 4a^2 \]
e)
\[ E = 1(3 – x^2) + 4(x – 1)(5 – 2x) \]
Développement:
\[ E = 3 – x^2 + 4[x \cdot 5 + (-1) \cdot 5 + x \cdot (-2x) + (-1) \cdot (-2x)] \]
\[ E = 3 – x^2 + 4(5x – 5 – 2x^2 + 2x) \]
\[ E = 3 – x^2 + 4(7x – 5 – 2x^2) \]
\[ E = 3 – x^2 + 28x – 20 – 8x^2 \]
\[ E = -9x^2 + 28x – 17 \]
Exercice 5 : programme de calcul.
1. Effectuer ce programme de calcul pour \(2\) et pour \(7\).
Pour un nombre donné \(a\), on suit le programme de calcul.
### Pour \(a = 2\) :
1. Choisir un nombre : \(2\).
2. Soustraire 3 à ce nombre : \(2 – 3 = -1\).
3. Multiplier le résultat obtenu par 5 : \((-1) \times 5 = -5\).
4. Diviser le résultat obtenu par 4 : \(\frac{-5}{4} = -\frac{5}{4}\).
5. Ajouter le nombre de départ au résultat obtenu : \(-\frac{5}{4} + 2 = -\frac{5}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4}\).
Le résultat est donc \(\frac{3}{4}\).
### Pour \(a = 7\) :
1. Choisir un nombre : \(7\).
2. Soustraire 3 à ce nombre : \(7 – 3 = 4\).
3. Multiplier le résultat obtenu par 5 : \(4 \times 5 = 20\).
4. Diviser le résultat obtenu par 4 : \(\frac{20}{4} = 5\).
5. Ajouter le nombre de départ au résultat obtenu : \(5 + 7 = 12\).
Le résultat est donc \(12\).
2. Reprendre ce programme pour un nombre \(x\).
Pour un nombre \(x\), on suit les étapes du programme de calcul.
1. Choisir un nombre : \(x\).
2. Soustraire 3 à ce nombre : \(x – 3\).
3. Multiplier le résultat obtenu par 5 : \((x – 3) \times 5\).
4. Diviser le résultat obtenu par 4 : \(\frac{(x – 3) \times 5}{4}\).
5. Ajouter le nombre de départ au résultat obtenu :
\[x + \frac{(x – 3) \times 5}{4}\]
Simplifions cette expression :
\[x + \frac{5(x – 3)}{4} = x + \frac{5x – 15}{4} = \frac{4x}{4} + \frac{5x – 15}{4} = \frac{4x + 5x – 15}{4} = \frac{9x – 15}{4}\]
Le résultat général est donc \(\frac{9x – 15}{4}\).
Exercice 6 : calcul algébrique.
Correction de l’exercice :
\[\]Situation 1\[\]
Réduire chaque expression littérale suivante :
\[ D = x^2 + 3x – 1 + x^2 – 15x – 2 + 4 – 5x^2 \]
Regroupons les termes similaires :
\[ D = (x^2 + x^2 – 5x^2) + (3x – 15x) + (-1 – 2 + 4) \]
Effectuons les simplifications :
\[ D = (-3x^2) + (-12x) + 1 \]
Donc :
\[ D = -3x^2 – 12x + 1 \]
\[ E = 12x^2 – 8 + 3x – 8x^2 + 7 + 7x – 3x \]
Regroupons les termes similaires :
\[ E = (12x^2 – 8x^2) + (3x + 7x – 3x) + (-8 + 7) \]
Effectuons les simplifications :
\[ E = 4x^2 + 7x – 1 \]
Donc :
\[ E = 4x^2 + 7x – 1 \]
\[ F = 9a + 15a^2 – 15a – 11a^2 – 3a – 4a^2 + 2 \]
Regroupons les termes similaires :
\[ F = (15a^2 – 11a^2 – 4a^2) + (9a – 15a – 3a) + 2 \]
Effectuons les simplifications :
\[ F = 0 + (-9a) + 2 \]
Donc :
\[ F = -9a + 2 \]
\[\]Situation 2\[\]
Réduire chacune de ces expressions :
\[ G = +3 – (a – b) + 5 + (-(a + b)) + a \]
Simplifions :
\[ G = 3 – a + b + 5 – a – b + a \]
Regroupons les termes similaires :
\[ G = (3 + 5) + (-a – a + a) + (b – b) \]
Effectuons les simplifications :
\[ G = 8 – a \]
Donc :
\[ G = 8 – a \]
\[ H = -3 – ( -a + b) + 5a – 9 + ( -3a – 5b) \]
Simplifions :
\[ H = -3 + a – b + 5a – 9 – 3a – 5b \]
Regroupons les termes similaires :
\[ H = (-3 – 9) + (a + 5a – 3a) + (-b – 5b) \]
Effectuons les simplifications :
\[ H = -12 + 3a – 6b \]
Donc :
\[ H = -12 + 3a – 6b \]
Exercice 7 : identité remarquable
{Expression A :}
\begin{align*}
A = (x + 4)^2 \\
= (x + 4)(x + 4) \\
= x^2 + 4x + 4x + 16 \\
= x^2 + 8x + 16
\end{align*}
{Expression B :}
\begin{align*}
B = (2x – 3)^2 \\
= (2x – 3)(2x – 3) \\
= 2x \cdot 2x – 2x \cdot 3 – 3 \cdot 2x + 3 \cdot 3 \\
= 4x^2 – 6x – 6x + 9 \\
= 4x^2 – 12x + 9
\end{align*}
Exercice 8 : parenthèses et calcul littéral.
\begin{align*}
E = -(x + 1) + (x – 1) – (x + 2) \\
= -x – 1 + x – 1 – x – 2 \\
= -x + x – x – 1 – 1 – 2 \\
= -x – 4
\end{align*}
\begin{align*}
F = (6x – 1) + 7 – (3 – 6x) \\
= 6x – 1 + 7 – 3 + 6x \\
= 6x + 6x – 1 + 7 – 3 \\
= 12x + 3
\end{align*}
Exercice 9 : développer et réduire
\[ A = (x + 1)(x + 4) \]
\[
A = x(x + 4) + 1(x + 4)
\]
\[
A = x^2 + 4x + x + 4
\]
\[
A = x^2 + 5x + 4
\]
\[ B = (x + 1)(4 – x) \]
\[
B = x(4 – x) + 1(4 – x)
\]
\[
B = 4x – x^2 + 4 – x
\]
\[
B = -x^2 + 3x + 4
\]
\[ C = (x – 1)(4 + x) \]
\[
C = x(4 + x) – 1(4 + x)
\]
\[
C = 4x + x^2 – 4 – x
\]
\[
C = x^2 + 3x – 4
\]
\[ D = (x – 1)(x – 4) \]
\[
D = x(x – 4) – 1(x – 4)
\]
\[
D = x^2 – 4x – x + 4
\]
\[
D = x^2 – 5x + 4
\]
Exercice 10 : calcul littéral, développer et factoriser
Situation 1
a. \(2x \times 7 = 14x\)
b. \(-5y \times (-2) = 10y\)
c. \(4x \times (-5) = -20x\)
d. \(-5 \times 9a = -45a\)
e. \(-3x \times x = -3x^2\)
f. \(5bx \times (-2b) = -10b^2x\)
g. \(\frac{2}{3} \times a \times (-6a) = -4a^2\)
h. \(3x – 5 + 4x – 13 – 9x = (3x + 4x – 9x) + (-5 – 13) = -19\)
i. \(-2x + 3 – 9x – 4 + 3x = (-2x – 9x + 3x) + (3 – 4) = -8x – 1\)
j. \(5x – 2 – 4x + 7 – 3x – 2 – 9x – 11 = (5x – 4x – 3x – 9x) + (-2 + 7 – 2 – 11) = -11x – 8\)
Situation 2
a. \(25 – (2a – 3) = 25 – 2a + 3 = 28 – 2a\)
b. \(3a – (-2a + 7) = 3a + 2a – 7 = 5a – 7\)
c. \((a + 3b) + (b – 2a) = a + 3b + b – 2a = -a + 4b\)
d. \( (5 + a) – (-7x – 5) = 5 + a + 7x + 5 = a + 7x + 10 \)
e. \((2x – 5x) + (2a^2 + 7x – 8) = -3x + 2a^2 + 7x – 8 = 2a^2 + 4x – 8\)
f. \((3x^2 – 5x – 4) – (-4x^2 + 7c + 5) = 3x^2 – 5x – 4 + 4x^2 – 7c – 5 = 7x^2 – 5x – 7c – 9\)
g. \((\frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{4}a – 4) – (\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{3}a + 3) = (\frac{3}{4}a^2 – \frac{1}{4}a^2) + (\frac{3}{4}a – \frac{1}{3}a) – (4 + 3) = \frac{2}{4}a^2 + \frac{9}{12}a – 7 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{4}a – 7 \)
Exercice 11 : calcul littéral et développement
\[\]Situation 1\[\]
Développer et réduire
\( A = x (x + 2)B = 5x (x + 3) \)
\[
\begin{aligned}
A = x(x + 2) \\
= x^2 + 2x
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
B = 5x (x + 3) \\
= 5x^2 + 15x
\end{aligned}
\]
\( C = 2x (3x – 5) \)
\[
\begin{aligned}
C = 2x (3x – 5) \\
= 6x^2 – 10x
\end{aligned}
\]
\( D = -3x (1 – 4x) \)
\[
\begin{aligned}
D = -3x (1 – 4x) \\
= -3x + 12x^2
\end{aligned}
\]
\( E = (x + 2) (-x + 3) \)
\[
\begin{aligned}
E = (x + 2) (-x + 3) \\
= x(-x) + x(3) + 2(-x) + 2(3) \\
= -x^2 + 3x – 2x + 6 \\
= -x^2 + x + 6
\end{aligned}
\]
\( F = (2x + 3) (4x – 1) \)
\[
\begin{aligned}
F = (2x + 3) (4x – 1) \\
= 2x(4x) + 2x(-1) + 3(4x) + 3(-1) \\
= 8x^2 – 2x + 12x – 3 \\
= 8x^2 + 10x – 3
\end{aligned}
\]
\( G = (5 – 3y) (6 – 2y) \)
\[
\begin{aligned}
G = (5 – 3y) (6 – 2y) \\
= 5(6) + 5(-2y) + (-3y)(6) + (-3y)(-2y) \\
= 30 – 10y – 18y + 6y^2 \\
= 6y^2 – 28y + 30
\end{aligned}
\]
\[\]Situation 2\[\]
Développer et réduire
\[
\begin{aligned}
A = (x + 3) (x – 2) + (2x + 4) (x + 5) \\
= [x(x) + x(-2) + 3(x) + 3(-2)] + [2x(x) + 2x(5) + 4(x) + 4(5)] \\
= [x^2 – 2x + 3x – 6] + [2x^2 + 10x + 4x + 20] \\
= [x^2 + x – 6] + [2x^2 + 14x + 20] \\
= 3x^2 + 15x + 14
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
B = (2x – 1) (7x + 8) – (5 – 4x) (3x + 1) \\
= [2x(7x) + 2x(8) + (-1)(7x) + (-1)(8)] – [5(3x) + 5(1) + (-4x)(3x) + (-4x)(1)] \\
= [14x^2 + 16x – 7x – 8] – [15x + 5 – 12x^2 – 4x ] \\
= [14x^2 + 9x – 8] – [-12x^2 + 11x + 5] \\
= 14x^2 + 9x – 8 + 12x^2 – 11x – 5 \\
= 26x^2 – 2x – 13
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
C = (3x + 4) (7x – 1) + (2x + 5) (3x – 2) \\
= [3x(7x) + 3x(-1) + 4(7x) + 4(-1)] + [2x(3x) + 2x(-2) + 5(3x) + 5(-2)] \\
= [21x^2 – 3x + 28x – 4] + [6x^2 – 4x + 15x – 10] \\
= [21x^2 + 25x – 4] + [6x^2 + 11x – 10] \\
= 27x^2 + 36x – 14
\end{aligned}
\]
\[\]Situation 3\[\]
\[
\begin{aligned}
A = (x – 3) (3x – 1) – 2x^2 + 4 \\
= [x(3x) + x(-1) + (-3)(3x) + (-3)(-1)] – 2x^2 + 4 \\
= 3x^2 – x – 9x + 3 – 2x^2 + 4 \\
= x^2 – 10x + 7 \\
Calculer \, A \, pour \, : \, x = 2 \, et \, x = -1 \\
A \, pour \, x = 2 : \\
A = (2)^2 – 10 (2) + 7 \\
= 4 – 20 + 7 \\
= -9 \\
A \, pour \, x = -1 : \\
A = (-1)^2 – 10 (-1) + 7 \\
= 1 + 10 + 7 \\
= 18
\end{aligned}
\]
Exercice 12 : programme de calcul de mr Hamraoui
Soit \( x \) le nombre choisi par Anna. On suit les étapes indiquées:
1. Multiplication de \( x \) par -11 :
\[
-11x
\]
2. Ajout de 8 :
\[
-11x + 8
\]
3. Multiplication du résultat par -9 :
\[
-9(-11x + 8) = 99x – 72
\]
4. Ajout du nombre choisi \( x \) :
\[
99x – 72 + x = 100x – 72
\]
5. Ajout de -28 :
\[
100x – 72 – 28 = 100x – 100
\]
Anna trouve 400, donc :
\[
100x – 100 = 400
\]
Résolvons cette équation pour \( x \) :
\[
100x – 100 = 400
\]
\[
100x = 500
\]
\[
x = 5
\]
Mr Hamraoui utilise une astuce mathématique. En effet, si l’on suit les instructions données, peu importe le nombre choisi \( x \) à la fin on trouve :
\[
100x – 100
\]
Ce qui signifie que Mr Hamraoui peut facilement retrouver le nombre choisi initialement en ajoutant 100 au résultat final puis en divisant par 100 :
\[
\frac{400 + 100}{100} = 5
\]
Donc Mr Hamraoui a déduit le nombre initial choisi par Anna en utilisant l’équation :
\[
x = \frac{400 + 100}{100}
\]
Exercice 13 : calcul littéral développer et réduire.
a) Suppression des parenthèses et réduction de l’expression \( M \):
\[
M = 11x + 7 – (5x – 3) + (x – 21)
\]
Enlever les parenthèses :
\[
M = 11x + 7 – 5x + 3 + x – 21
\]
Regrouper les termes similaires :
\[
M = (11x – 5x + x) + (7 + 3 – 21)
\]
Calculer :
\[
M = 7x – 11
\]
b) Développer et réduire \( N \) et \( P \) :
Pour \( N \) :
\[
N = 3(5x – 4) + 4x + 7
\]
Distribuer \( 3 \) dans \( (5x – 4) \) :
\[
N = 15x – 12 + 4x + 7
\]
Regrouper les termes similaires :
\[
N = (15x + 4x) + (-12 + 7)
\]
Calculer :
\[
N = 19x – 5
\]
Pour \( P \) :
\[
P = (2x + 3)(3x – 5)
\]
Utiliser la distributivité (méthode FOIL) :
\[
P = 2x(3x) + 2x(-5) + 3(3x) + 3(-5)
\]
Calculer :
\[
P = 6x^2 – 10x + 9x – 15
\]
Regrouper les termes similaires :
\[
P = 6x^2 – x – 15
\]
c) Calcul de \( N \) lorsque \( x = 3 \) :
\[
N = 19x – 5
\]
Substituer \( x \) par 3 :
\[
N = 19(3) – 5
\]
Calculer :
\[
N = 57 – 5
\]
\[
N = 52
\]
Exercice 14 : programme de calcul et calcul littéral.
1) Vérification avec le nombre \( -1 \):
\[
\begin{aligned}
\text{Choisir un nombre : } x = -1 \\
\text{Lui ajouter 2 : } x + 2 = -1 + 2 = 1 \\
\text{Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi : } 1 \times (-1) = -1 \\
\text{Ajouter 1 au produit : } -1 + 1 = 0 \\
\text{Résultat : } 0
\end{aligned}
\]
2) Résultat pour le nombre choisi \( -6 \):
\[
\begin{aligned}
\text{Choisir un nombre : } x = -6 \\
\text{Lui ajouter 2 : } x + 2 = -6 + 2 = -4 \\
\text{Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi : } -4 \times (-6) = 24 \\
\text{Ajouter 1 au produit : } 24 + 1 = 25 \\
\text{Résultat : } 25
\end{aligned}
\]
3) Résultat pour le nombre choisi \( 4 \):
\[
\begin{aligned}
\text{Choisir un nombre : } x = 4 \\
\text{Lui ajouter 2 : } x + 2 = 4 + 2 = 6 \\
\text{Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi : } 6 \times 4 = 24 \\
\text{Ajouter 1 au produit : } 24 + 1 = 25 \\
\text{Résultat : } 25
\end{aligned}
\]
4) Expression pour un nombre quelconque \( x \):
\[
\begin{aligned}
\text{Choisir un nombre : } x \\
\text{Lui ajouter 2 : } x + 2 \\
\text{Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi : } (x + 2) \times x = x^2 + 2x \\
\text{Ajouter 1 au produit : } x^2 + 2x + 1 \\
\text{Résultat : } x^2 + 2x + 1
\end{aligned}
\]
L’expression obtenue pour un nombre quelconque \( x \) est donc \( x^2 + 2x + 1 \).
Exercice 15 : développer des expressions littérales
### Correction de l’exercice
1. \( A = 6 (2x + 8) \)
\[
A = 6 \cdot 2x + 6 \cdot 8 = 12x + 48
\]
2. \( B = 7 (5x – 1) \)
\[
B = 7 \cdot 5x – 7 \cdot 1 = 35x – 7
\]
3. \( C = -4x (x – 9) \)
\[
C = -4x \cdot x – (-4x \cdot 9) = -4x^2 + 36x
\]
4. \( D = (3x + 4)(2x + 3) \)
\[
D = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 + 4 \cdot 2x + 4 \cdot 3 = 6x^2 + 9x + 8x + 12 = 6x^2 + 17x + 12
\]
5. \( E = (7x + 5)(5x + (-3)) \)
\[
E = 7x \cdot 5x + 7x \cdot (-3) + 5 \cdot 5x + 5 \cdot (-3) = 35x^2 – 21x + 25x – 15 = 35x^2 + 4x – 15
\]
6. \( F = (2x + 9)(7x – 1) \)
\[
F = 2x \cdot 7x + 2x \cdot (-1) + 9 \cdot 7x + 9 \cdot (-1) = 14x^2 – 2x + 63x – 9 = 14x^2 + 61x – 9
\]
Exercice 16 : salle de concert et calcul littéral
1°)
a- \(600 – x\) représente le nombre de places debout.
b- \(25x\) représente la recette des places assises en euros.
c- \(15 (600 – x)\) représente la recette des places debout en euros.
2°) La recette totale \( R \) en fonction de \( x \) est donnée par:
\[ R = 25x + 15(600 – x) \]
\[ R = 25x + 9000 – 15x \]
\[ R = 10x + 9000 \]
3°) La recette pour \( x = 200 \) est donnée par:
\[ R = 10(200) + 9000 \]
\[ R = 2000 + 9000 \]
\[ R = 11000 \, \text{€} \]
4°) Si la salle est comble et que la recette est de 12500 €, on résout l’équation suivante:
\[ 12500 = 10x + 9000 \]
\[ 12500 – 9000 = 10x \]
\[ 3500 = 10x \]
\[ x = \frac{3500}{10} \]
\[ x = 350 \]
Ainsi, le nombre de places assises est de 350.
Exercice 17 : controle de calcul littéral
\[\]
\text{1. Simplifier les écritures suivantes :}
\[\]
\[\]
\begin{align*}
A = 7x – 9 + 8x + 6 \\
= 7x + 8x – 9 + 6 \\
= 15x – 3
\end{align*}
\[\]
\[\]
\begin{align*}
B = 7x^2 + 8x – 3 – 4x^2 – 3x – 4 \\
= (7x^2 – 4x^2) + (8x – 3x) – 3 – 4 \\
= 3x^2 + 5x – 7
\end{align*}
\[\]
\[\]
\begin{align*}
C = 7x + 3 – 3x^2 – 3x + 9 \\
= -3x^2 + (7x – 3x) + (3 + 9) \\
= -3x^2 + 4x + 12
\end{align*}
\[\]
\[\]
\text{2. Développer et réduire les expressions suivantes :}
\[\]
\[\]
\begin{align*}
A = (x + 3)(x + 4) \\
= x(x + 4) + 3(x + 4) \\
= x^2 + 4x + 3x + 12 \\
= x^2 + 7x + 12
\end{align*}
\[\]
\[\]
\begin{align*}
B = (x – 3)(x + 6) \\
= x(x + 6) – 3(x + 6) \\
= x^2 + 6x – 3x – 18 \\
= x^2 + 3x – 18
\end{align*}
\[\]
\[\]
\begin{align*}
C = (x – 1)(x – 5) \\
= x(x – 5) – 1(x – 5) \\
= x^2 – 5x – x + 5 \\
= x^2 – 6x + 5
\end{align*}
\[\]
\[\]
\begin{align*}
D = (x + 2)(x + 4) + 5x^2 – 3x – 6 \\
= x(x + 4) + 2(x + 4) + 5x^2 – 3x – 6 \\
= x^2 + 4x + 2x + 8 + 5x^2 – 3x – 6 \\
= x^2 + 6x + 8 + 5x^2 – 3x – 6 \\
= 6x^2 + 3x + 2
\end{align*}
\[\]
\[\]
\begin{align*}
E = (x – 3)(2x + 6) – 4(x – 2) \\
= x(2x + 6) – 3(2x + 6) – 4x + 8 \\
= 2x^2 + 6x – 6x – 18 – 4x + 8 \\
= 2x^2 – 4x – 10
\end{align*}
\[\]
Exercice 18 : donner l’expression littérale
1) Le double du carré de \(a\):
\[ 2a^2 \]
2) Le carré du double de \(a\):
\[ (2a)^2 = 4a^2 \]
3) La moitié du carré de \(a\):
\[ \frac{a^2}{2} \]
4) Le carré de la moitié de \(a\):
\[ (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} \]
5) Le carré de l’opposé de \(a\):
\[ (-a)^2 = a^2 \]
6) L’opposé du carré de \(a\):
\[ -a^2 \]
7) Le carré de l’inverse de \(a\):
\[ (\frac{1}{a})^2 = \frac{1}{a^2} \]
8) L’inverse du carré de \(a\):
\[ \frac{1}{a^2} \]
Exercice 19 : introduction au calcul littéral
Pour simplifier la consigne de l’exercice, sans dicter tous les calculs, il suffit de reconnaître que chaque expression suit une structure du type :
\[ 23 \times n + 3 \]
où \( n \) prend successivement les valeurs de \( 7 \) à \( 14 \).
En résumé, la consigne à donner est :
« Calcule \( 23n + 3 \) pour \( n \) variant de 7 à 14. »
Ainsi, l’élève doit calculer :
\[ 23 \times 7 + 3 \]
\[ 23 \times 8 + 3 \]
\[ 23 \times 9 + 3 \]
\[ 23 \times 10 + 3 \]
\[ 23 \times 11 + 3 \]
\[ 23 \times 12 + 3 \]
\[ 23 \times 13 + 3 \]
\[ 23 \times 14 + 3 \]
Exercice 20 : activité d’introduction au calcul littéral
1. Pour déterminer le nombre d’allumettes nécessaires aux étapes \( n = 4 \) et \( n = 10 \), observons la progression. À chaque étape, on ajoute une maison avec 5 nouvelles allumettes, plus 2 allumettes pour la jonction avec la maison précédente.
* Étape 1 : 6 allumettes
* Étape 2 : \( 6 + 4 = 10 \) (2 allumettes sont partagées)
* Étape 3 : \( 6 + 4 + 4 = 14 \) (chaque maison additionnelle ajoute 4 allumettes avec 2 allumettes partagées)
La formule générale pour l’étape \( n \) est :
\[
N_n = 6 + 4(n – 1)
\]
* À l’étape 4 :
\[
N_4 = 6 + 4(4 – 1) = 6 + 12 = 18
\]
* À l’étape 10 :
\[
N_{10} = 6 + 4(10 – 1) = 6 + 36 = 42
\]
2. Vérification du nombre trouvé : En suivant la même logique et directement appliqué la formule, les nombres pour les étapes 4 et 10 sont corrects, soit 18 et 42 respectivement.
3. Pour l’étape n° 2007, appliquons la même formule :
\[
N_{2007} = 6 + 4(2007 – 1) = 6 + 4 \times 2006 = 6 + 8024 = 8030
\]
4. Pour exprimer le nombre d’allumettes pour une étape quelconque \( n \), la formule générale est :
\[
N_n = 6 + 4(n – 1)
\]
Simplifions la formule :
\[
N_n = 4n + 2
\]
Exercice 21 : périmètre et aire d’une figure
1) Exprime en fonction de \(x\) le périmètre \(p\) de cette figure. Factorise l’expression obtenue.
Le périmètre \(p\) de la figure est la somme des longueurs de tous les côtés. La figure a quatre côtés de longueur \(x\) et deux côtés de longueur \(5 \text{ cm}\).
\[
p = 4x + 2 \cdot 5
\]
Factorisons l’expression :
\[
p = 4x + 10
\]
2) Exprime en fonction de \(x\) l’aire \(\mathcal{A}\) de cette figure.
L’aire \(\mathcal{A}\) de la figure est donnée par la longueur \(x\) multipliée par la somme des deux segments de largeur : \(x\) et \(5 \text{ cm}\).
\[
\mathcal{A} = x \cdot (x + 5)
\]
3) Sachant que le périmètre \(p\) vaut \(45 \text{ cm}\), trouve \(x\) et déduis-en l’aire \(\mathcal{A}\) de cette figure.
Écrivons l’équation du périmètre en fonction de \(x\) et résolvons pour \(x\) :
\[
4x + 10 = 45
\]
Soustrayons \(10\) des deux côtés de l’équation :
\[
4x = 35
\]
Divisons par \(4\) :
\[
x = \frac{35}{4} = 8.75
\]
Maintenant, calculons l’aire \(\mathcal{A}\) :
\[
\mathcal{A} = x \cdot (x + 5) = 8.75 \cdot (8.75 + 5) = 8.75 \cdot 13.75 = 120.3125 \text{ cm}^2
\]
Donc, pour \(x = 8.75 \text{ cm}\), l’aire \(\mathcal{A}\) vaut \(120.3125 \text{ cm}^2\).
Exercice 22 : réciproque du théorème de Pythagore
Pour démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), nous devons vérifier si les longueurs des côtés \(AB\), \(AC\), et \(BC\) satisfont le théorème de Pythagore :
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Les longueurs des côtés \(AB\), \(AC\), et \(BC\) sont données par les expressions suivantes :
\[
AB = 5x + 10,\quad AC = 3x + 6,\quad BC = 4x + 8
\]
Calculons les carrés des longueurs des côtés :
1. \( AB^2 \):
\[
AB^2 = (5x + 10)^2 = 25x^2 + 100x + 100
\]
2. \( AC^2 \):
\[
AC^2 = (3x + 6)^2 = 9x^2 + 36x + 36
\]
3. \( BC^2 \):
\[
BC^2 = (4x + 8)^2 = 16x^2 + 64x + 64
\]
Nous devons vérifier que \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \):
Calculons \( AC^2 + BC^2 \) :
\[
AC^2 + BC^2 = (9x^2 + 36x + 36) + (16x^2 + 64x + 64)
\]
\[
AC^2 + BC^2 = 9x^2 + 36x + 36 + 16x^2 + 64x + 64
\]
\[
AC^2 + BC^2 = 25x^2 + 100x + 100
\]
Ainsi :
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 = 25x^2 + 100x + 100
\]
La relation du théorème de Pythagore est vérifiée quelle que soit la valeur de \( x \) :
\[
(5x + 10)^2 = (3x + 6)^2 + (4x + 8)^2
\]
Donc, le triangle \( ABC \) est toujours rectangle en \( C \).
Exercice 23 : l’aire de quatre rectangles
Pour calculer l’aire des quatre rectangles en fonction de \( x \), nous devons déterminer les dimensions de chaque rectangle.
1. La largeur totale du grand rectangle est donnée comme \( 120 \) unités.
2. La hauteur totale du grand rectangle est \( 40 \) unités.
3. La hauteur des rectangles \( 1 \) et \( 2 \), ainsi que des rectangles \( 3 \) et \( 4 \) est \( 2x \) chacun.
4. La largeur des rectangles \( 1 \) et \( 4 \) est \( 6x \).
5. La largeur des rectangles \( 2 \) et \( 3 \) est obtenue par soustraction de \( 6x \) de la largeur totale : \( 120 – 6x \).
Les airs sont donc les suivantes :
– Pour les rectangles \( 1 \) et \( 2 \) :
\[
\text{Aire}_{1, 2} = \text{largeur} \times \text{hauteur} = 6x \times 2x = 12x^2
\]
– Pour les rectangles \( 3 \) et \( 4 \) :
\[
\text{Aire}_{3, 4} = \text{largeur} \times \text{hauteur} = (120 – 6x) \times 2x = 240x – 12x^2
\]
En conclusion, les aires des quatre rectangles sont :
– Les rectangles \( 1 \) et \( 2 \) ont chacun une aire de \( 12x^2 \).
– Les rectangles \( 3 \) et \( 4 \) ont chacun une aire de \( 240x – 12x^2 \).
Exercice 24 : une piscine rectangulaire
1) Exprimons l’aire du bassin EFGH en fonction de \( x \).
Les longueurs des côtés de la piscine EFGH sont réduites par \( x \) mètres de chaque côté par rapport aux côtés de la piscine ABCD. Donc, les dimensions du bassin EFGH sont :
– Longueur: \(10 – 2x\) mètres
– Largeur: \(7 – 2x\) mètres
L’aire du bassin EFGH \( A(x) \) est donc donnée par :
\[
A(x) = (10 – 2x) \times (7 – 2x)
\]
Développons cette expression :
\[
A(x) = (10 \times 7) – (10 \times 2x) – (7 \times 2x) + (2x \times 2x)
\]
\[
A(x) = 70 – 20x – 14x + 4x^2
\]
\[
A(x) = 70 – 34x + 4x^2
\]
Donc, l’aire du bassin EFGH en fonction de \( x \) est :
\[
A(x) = 4x^2 – 34x + 70
\]
2) Utilisons cette formule pour calculer l’aire du bassin quand la bordure a une largeur de 0,75 mètre.
Substituons \( x = 0,75 \) dans l’expression pour \( A(x) \) :
\[
A(0,75) = 4(0,75)^2 – 34(0,75) + 70
\]
Calculons étape par étape :
\[
A(0,75) = 4 \times 0,5625 – 34 \times 0,75 + 70
\]
\[
A(0,75) = 2,25 – 25,5 + 70
\]
\[
A(0,75) = 2,25 – 25,5 + 70
\]
\[
A(0,75) = 46,75
\]
Donc, l’aire du bassin EFGH quand la bordure a une largeur de 0,75 mètre est \( 46,75 \, \text{m}^2 \).
Exercice 25 : l’aire d’une figure en fonction de a
a. Pour chaque proposition, indique le découpage utilisé :
1. La première proposition est \( a^2 + a(a + 1) + 1 \) :
– Ce découpage consiste à diviser la figure en trois parties : un carré de côté \( a \), un rectangle de dimensions \( a \) et \( a + 1 \), et un carré de côté 1.
2. La deuxième proposition est \( (a + 1)(2a + 1) – a – a \) :
– Ce découpage consiste à considérer un grand rectangle de dimensions \( (a + 1) \) et \( (2a + 1) \) et à soustraire deux rectangles de dimensions \( a \) et \( a \) respectivement.
b. Propose une autre expression.
\[ \text{Considérons une autre méthode de découpage :} \]
\[ \text{On peut également diviser la figure en un rectangle et deux petits rectangles.} \]
\[ \begin{aligned}
\text{Aire totale} = \text{Aire du grand rectangle} + \text{Aire des deux petits rectangles} – \text{Aire des carrés soustraits} \\
= (a + 1)^2 + a – a
\end{aligned} \]
Simplifions :
\[ (a + 1)^2 + a – a = a^2 + 2a + 1 \]
Donc, une autre expression pour l’aire de la figure en fonction de \(a\) est :
\[ a^2 + 2a + 1 \]
Exercice 26 : volume de solides
Pour démontrer que les deux solides ont le même volume, nous allons calculer le volume de chacun des solides séparément et comparer les résultats.
1. Volume du premier solide (\(V_1\)) :
Le premier solide est un parallélépipède rectangle. Le volume \(V_1\) de ce solide est donné par la formule :
\[
V_1 = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur}
\]
Ici :
\[
\text{Longueur} = 2x + 4
\]
\[
\text{Largeur} = 2x
\]
\[
\text{Hauteur} = x
\]
Donc :
\[
V_1 = (2x + 4) \times 2x \times x = (2x + 4) \times 2x^2 = 4x^3 + 8x^2
\]
2. Volume du deuxième solide (\(V_2\)) :
Le deuxième solide est un prisme droit avec une base triangulaire. Le volume \(V_2\) de ce solide est donné par la formule :
\[
V_2 = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}
\]
Pour la base triangulaire du prisme :
\[
\text{Base} = 2x \quad \text{et} \quad \text{Hauteur} = 4x
\]
L’aire de la base triangulaire est alors :
\[
\text{Aire de la base} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} = \frac{1}{2} \times 2x \times 4x = 4x^2
\]
La hauteur du prisme est :
\[
\text{Hauteur du prisme} = x + 2
\]
Donc :
\[
V_2 = 4x^2 \times (x + 2) = 4x^2 \times x + 4x^2 \times 2 = 4x^3 + 8x^2
\]
Ainsi, les volumes des deux solides sont :
\[
V_1 = 4x^3 + 8x^2
\]
\[
V_2 = 4x^3 + 8x^2
\]
Donc, \(V_1 = V_2\), ce qui prouve que les deux solides ont le même volume.
Exercice 27 : simple et double distributivité
Développer et réduire les expressions suivantes :
\(A = -5(2x – 3)\)
\[
A = -5(2x – 3) = -5 \cdot 2x + (-5) \cdot (-3) = -10x + 15
\]
\(B = (x – 1)(x – 7)\)
\[
B = (x – 1)(x – 7) = x \cdot x + x \cdot (-7) + (-1) \cdot x + (-1) \cdot (-7) = x^2 – 7x – x + 7 = x^2 – 8x + 7
\]
\(C = (3x – 4)(-8x + 6)\)
\[
C = (3x – 4)(-8x + 6) = 3x \cdot (-8x) + 3x \cdot 6 + (-4) \cdot (-8x) + (-4) \cdot 6 = -24x^2 + 18x + 32x – 24 = -24x^2 + 50x – 24
\]
Soit l’expression algébrique \( D = 7x – 1 \).
Calculer \(D\) lorsque \(x = 3\).
\[
D = 7x – 1 = 7 \cdot 3 – 1 = 21 – 1 = 20
\]
Calculer \(D\) lorsque \(x = -2,5\).
\[
D = 7x – 1 = 7 \cdot (-2,5) – 1 = -17,5 – 1 = -18,5
\]
Exercice 28 : développer et réduire puis substituer
Développer et réduire :
\begin{align*}
A = -4(x – 7) – (x + 6) + (-x + 4) \\
= -4x + 28 – x – 6 – x + 4 \\
= -4x – x – x + 28 – 6 + 4 \\
= -6x + 26 \\
\\
B = (2x – 4)(3x + 2) – (4x^2 – 5x + 11) \\
= (2x \cdot 3x + 2x \cdot 2 – 4 \cdot 3x – 4 \cdot 2) – 4x^2 + 5x – 11 \\
= (6x^2 + 4x – 12x – 8) – 4x^2 + 5x – 11 \\
= 6x^2 – 4x^2 + 4x – 12x + 5x – 8 – 11 \\
= 2x^2 – 3x – 19 \\
\\
C = -(-6x + 7) + (-3x + 2) – (8x – 4) \\
= 6x – 7 – 3x + 2 – 8x + 4 \\
= 6x – 3x – 8x – 7 + 2 + 4 \\
= -5x – 1
\end{align*}
Soit \( x = -3 \), calculer la valeur que prend A puis B.
\begin{align*}
A = -6(-3) + 26 \\
= 18 + 26 \\
= 44 \\
\\
B = 2(-3)^2 – 3(-3) – 19 \\
= 2(9) + 9 – 19 \\
= 18 + 9 – 19 \\
= 8
\end{align*}
Exercice 29 : simplifier puis réduire des expressions littérales
\begin{align*}
A = 5 – (x – 3) \\\\
= 5 – x + 3 \\\\
= 8 – x \\\\ \\
B = (x + 7) – (-3x + 8) \\\\
= x + 7 + 3x – 8 \\\\
= 4x – 1 \\\\ \\
C = 3x^2 – 2x – 5 – (5x^2 + 2x – 1) \\\\
= 3x^2 – 2x – 5 – 5x^2 – 2x + 1 \\\\
= (3x^2 – 5x^2) + (-2x – 2x) + (-5 + 1) \\\\
= -2x^2 – 4x – 4 \\\\ \\
D = 4 + (2y + 1) – (2y – 1) \\\\
= 4 + 2y + 1 – 2y + 1 \\\\\
= 4 + 1 + 1 \\\\
= 6
\end{align*}
Exercice 30 : géométrie et calcul littéral
1. Exprimer en fonction de \(x\) :
a. La longueur \(AD\) :
\[
AD = x
\]
b. L’aire \(\mathcal{A}\) du carré \(ABCD\) :
\[
\mathcal{A} = x^2
\]
c. L’aire \(\mathcal{B}\) du rectangle \(ABEF\) :
\[
\mathcal{B} = x \times (x + 3) = x(x + 3) = x^2 + 3x
\]
d. L’aire \(\mathcal{C}\) du rectangle \(ECDF\) :
\[
\mathcal{C} = x \times (x – 2) = x(x – 2) = x^2 – 2x
\]
2.
a. Exprimer les aires \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) et leur somme sous forme développée et réduite :
\[
\sum (\mathcal{B} + \mathcal{C}) = (x^2 + 3x) + (x^2 – 2x) = x^2 + 3x + x^2 – 2x = 2x^2 + x
\]
b. Vérifier que cette somme est égale à \(\mathcal{A}\) :
\[
\mathcal{A} = x^2
\]
La somme des aires \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) n’est pas égale à l’aire \(\mathcal{A}\) du carré \(ABCD\). En effet :
\[
\sum (\mathcal{B} + \mathcal{C}) = 2x^2 + x
\]
\[
\mathcal{A} = x^2
\]
Donc, \(\sum (\mathcal{B} + \mathcal{C}) \neq \mathcal{A}\).
Cependant, si nous interprétons la somme des parties \(ABEF\) et \(ECDF\) de la figure, nous trouvons que:
\[
\mathcal{A} du carré = Aire_ABEF + Aire_ECDF = x^2
\]
N.B vous vérifiez bien que vous avez sujet correct entre la somme aire(\mathcal{A}) et le somme (\mathcal{B} + \mathcal{C}).
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