Proportionnalité : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : tube d’acier-problème de proportionnalité.
Pour cette correction, nous allons utiliser les relations de proportionnalité. La masse est proportionnelle à la longueur du tube d’acier.

1. Pour calculer la masse d’un tube de 5 m :

Soit L_1\,=\,3.4 m la longueur du premier tube et M_1\,=\,41.7 kg sa masse.

La masse par mètre de tube d’acier est :
d\,=\,\frac{M_1}{L_1}\,=\,\frac{41.7}{3.4}\,\approx\,12.26\,\frac{kg}{m}

Pour une longueur L_2\,=\,5 m, la masse M_2 est :
M_2\,=\,d\,\times  \,L_2\,=\,12.26\,\times  \,5\,\approx\,61.3\,\%2C\,kg

Arrondir à l’unité:
M_2\,\approx\,61\,\%2C\,kg

2. Pour déterminer la longueur L_3 d’un tube de masse M_3\,=\,8.34 kg :

Utilisons la même densité linéique d calculée précédemment.
L_3\,=\,\frac{M_3}{d}\,=\,\frac{8.34}{12.26}\,\approx\,0.68\,\%2C\,m

Ainsi, la longueur du tube est d’environ:

L_3\,\approx\,0.68\,\%2C\,m

Exercice 2 : problème du panda-proportionnalité
1. Calcul de la masse de bambous mangée par le panda en 13 jours :

Le panda mange 45,6 kg de bambous en 2 jours, soit par jour :

\frac{45%2C6\,\%2C\,kg}{2\,\%2C\,jours}\,=\,22%2C8\,\%2C\,kg%2Fjour

En 13 jours, il mangera donc :

22%2C8\,\%2C\,kg%2Fjour\,\times  \,13\,\%2C\,jours\,=\,296%2C4\,\%2C\,kg

2. Calcul du nombre de jours pour manger 1 tonne (1000 kg) de bambous :

En 1 jour, il mange 22,8 kg, donc pour 1000 kg, il lui faut :

\frac{1000\,\%2C\,kg}{22%2C8\,\%2C\,kg%2Fjour}\,\approx\,43%2C86\,\%2C\,jours

Arrondi à l’unité :

\approx\,44\,\%2C\,jours

Exercice 3 : calcul de la quatrième proportionnelle.
Calculons x dans chaque tableau de proportionnalité en utilisant les produits en croix.

1. Premier tableau :
\frac{16}{125}\,=\,\frac{24}{x}
En utilisant le produit en croix, nous obtenons :
16\,\times  \,x\,=\,125\,\times  \,24
x\,=\,\frac{125\,\times  \,24}{16}
x\,=\,\frac{3000}{16}
x\,=\,187.5

2. Deuxième tableau :
\frac{80}{54}\,=\,\frac{15}{x}
En utilisant le produit en croix, nous obtenons :
80\,\times  \,x\,=\,54\,\times  \,15
x\,=\,\frac{54\,\times  \,15}{80}
x\,=\,\frac{810}{80}
x\,=\,10.125

3. Troisième tableau :
\frac{x}{42}\,=\,\frac{625}{12}
En utilisant le produit en croix, nous obtenons :
x\,\times  \,12\,=\,625\,\times  \,42
x\,=\,\frac{625\,\times  \,42}{12}
x\,=\,\frac{26250}{12}
x\,=\,2187.5

Exercice 4 : mathématiques et environnement .
1. Commençons par le calcul du temps nécessaire pour remplir un arrosoir de 10 L.

Sachant que la pompe a un débit de 3\,000\,\%2C\,L%2Fh, nous devons convertir le débit en litres par minute pour plus de commodité :

Debit\,en\,L%2Fmin\,=\,\frac{3\,000\,\%2C\,L}{60\,\%2C\,min}\,=\,50\,\%2C\,L%2Fmin

Ensuite, on calcule le temps t nécessaire pour remplir 10 L en utilisant la formule t\,=\,\frac{volume}{debit} :

t\,=\,\frac{10\,\%2C\,L}{50\,\%2C\,L%2Fmin}\,=\,0{%2C}2\,\%2C\,minutes

2. Pour remplir une citerne de 1\,440\,\%2C\,L, on utilise à nouveau la formule t\,=\,\frac{1\,440\,\%2C\,L}{3\,000\,\%2C\,L%2Fh} :

t\,=\,\frac{1\,440\,\%2C\,L}{3\,000\,\%2C\,L%2Fh}\,=\,0{%2C}48\,\%2C\,heures

Convertissons ce temps en minutes pour mieux appréhender la valeur :

0{%2C}48\,\%2C\,heures\,\times  \,60\,\%2C\,min%2Fh\,=\,28{%2C}8\,\%2C\,minutes

En arrondissant à l’unité près, 28{%2C}8\,\%2C\,minutes devient 29\,\%2C\,minutes.

3. Marion fait fonctionner sa pompe pendant 12 minutes. Sachant que la pompe a un débit de 50\,\%2C\,L%2Fmin :

Quantite\,d'eau\,utilisee\,=\,12\,\%2C\,min\,\times  \,50\,\%2C\,L%2Fmin\,=\,600\,\%2C\,L

4. Si Marion oublie de fermer sa pompe pendant 2 jours (soit 48 heures), la quantité d’eau utilisée sera :

Quantite\,d'eau\,utilisee\,=\,48\,\%2C\,h\,\times  \,3\,000\,\%2C\,L%2Fh\,=\,144\,000\,\%2C\,L

Fin de la correction.

Exercice 5 : vitesse moyenne et proportionnalité .
L’objet se déplace à la vitesse de 100\,\%2C\,m%2Fs.

Pour convertir cette vitesse en km/h, nous utilisons la relation suivante :
1\,\%2C\,m%2Fs\,=\,3.6\,\%2C\,km%2Fh

Donc,
100\,\%2C\,m%2Fs\,=\,100\,\times  \,3.6\,\%2C\,km%2Fh\,=\,360\,\%2C\,km%2Fh

L’objet se déplace donc à 360\,\%2C\,km%2Fh. Les autres vitesses proposées (36\,\%2C\,km%2Fh et 3600\,\%2C\,km%2Fh) ne sont pas correctes.

Exercice 6 : vitesse moyenne d’un véhicule
Convertissons d’abord la vitesse d’Emma en mètres par seconde (m/s).

On sait que :
1\,\%2C\,km%2Fh\,=\,\frac{1000\,\%2C\,m}{3600\,\%2C\,s}\,=\,\frac{5}{18}\,\%2C\,m%2Fs

Alors, pour convertir 90 km/h en m/s, nous avons :
90\,\%2C\,km%2Fh\,=\,90\,\times  \,\frac{5}{18}\,\%2C\,m%2Fs\,=\,90\,\times  \,0.277\,\%2C\,m%2Fs\,=\,25\,\%2C\,m%2Fs

Comparons maintenant les vitesses :

– Vitesse de Noah : 2\,\%2C\,m%2Fs
– Vitesse d’Emma : 25\,\%2C\,m%2Fs

Donc, Emma est plus rapide que Noah.

La réponse finale est donc qu’Emma est plus rapide.

Exercice 7 : vitesse moyenne d’une girafe .
1.
a. Convertir 250 m en km:

250\,\,m\,=\,\frac{250}{1000}\,\,km\,=\,0.25\,\,km

b. Combien de temps met-elle pour parcourir 250 m à cette vitesse ?

Temps\,=\,\frac{Distance}{Vitesse}\,=\,\frac{0.25\,\,km}{50\,\,km%2Fh}\,=\,\frac{0.25}{50}\,\,h\,=\,0.005\,\,h

Convertissons 0.005 heures en secondes pour une meilleure compréhension:

0.005\,\,h\,=\,0.005\,\times  \,3600\,\,s\,=\,18\,\,s

2. Quelle distance parcourt-elle en 3 min à cette vitesse ?

3\,\,min\,=\,3\,\times  \,60\,\,s\,=\,180\,\,s\,=\,\frac{180}{3600}\,\,h\,=\,0.05\,\,h

Distance parcourue en 0.05 h à 50 km/h:

Distance\,=\,Vitesse\,\times  \,Temps\,=\,50\,\,km%2Fh\,\times  \,0.05\,\,h\,=\,2.5\,\,km

Exercice 8 : eclair et vitesse moyenne, proportionnalité .
La vitesse du son est donnée par:
v\,=\,340\,\%2C\,m%2Fs

Le temps qu’il faut pour entendre le tonnerre après avoir vu l’éclair est:
t\,=\,8\,\%2C\,s

La distance d à laquelle se trouve l’éclair peut être calculée en utilisant la formule de la distance:
d\,=\,v\,\times  \,t

Substituons les valeurs données:
d\,=\,340\,\%2C\,m%2Fs\,\times  \,8\,\%2C\,s
d\,=\,2720\,\%2C\,m

Donc, la distance à laquelle vous vous trouvez de l’éclair est:
d\,=\,2720\,\%2C\,m

Exercice 9 : aire de la portion d’un disque
Pour calculer l’aire de la zone grisée, nous devons d’abord déterminer l’aire du secteur circulaire \overset{\frown}{BAC} et l’aire du triangle ABC, puis soustraire l’aire du triangle ABC de celle du secteur circulaire.

1. Calcul de l’aire du secteur circulaire \overset{\frown}{BAC}:

La formule pour l’aire d’un secteur circulaire de rayon r et d’angle au centre \theta (en radians) est :
A_{secteur}\,=\,\frac{1}{2}\,r^2\,\theta
L’angle au centre est de 40^\circ, que nous devons convertir en radians. Sachant que 180^\circ\,=\,\pi radians, nous avons :
40^\circ\,=\,\frac{40\,\pi}{180}\,=\,\frac{2\,\pi}{9}\,\,radians
Donc, en utilisant r\,=\,4\,\,cm, nous obtenons :
A_{secteur}\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,4^2\,\times  \,\frac{2\,\pi}{9}\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,16\,\times  \,\frac{2\,\pi}{9}\,=\,\frac{16\,\pi}{9}\,\,cm^2

2. Calcul de l’aire du triangle ABC:

La formule pour l’aire d’un triangle est:
A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,a\,b\,\sin(\theta)
Ici, a\,=\,b\,=\,4\,\,cm et \theta\,=\,40^\circ. Nous utilisons donc :
A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,4\,\times  \,4\,\times  \,\sin(40^\circ)\,=\,8\,\sin(40^\circ)\,\,cm^2
En utilisant la valeur approximative \sin(40^\circ)\,\approx\,0.6428, nous trouvons :
A_{triangle}\,\approx\,8\,\times  \,0.6428\,=\,5.1424\,\,cm^2

3. Aire de la zone grisée :

Pour obtenir l’aire de la zone grisée, nous soustrayons l’aire du triangle ABC de l’aire du secteur circulaire :
A_{grise}\,=\,A_{secteur}\,-\,A_{triangle}\,=\,\frac{16\,\pi}{9}\,-\,5.1424
Approximativement, en utilisant \pi\,\approx\,3.1416 :
A_{secteur}\,\approx\,\frac{16\,\times  \,3.1416}{9}\,\approx\,5.583
Donc,
A_{grise}\,\approx\,5.583\,-\,5.1424\,=\,0.4406\,\,cm^2

L’aire de la zone grisée arrondie au cm^2 près est donc 0\,\%2Ccm^2.

Exercice 10 : volume d’eau et proportionnalité
1. Pour 6 litres de liquide, traçons une ligne verticale depuis 6 sur l’axe x (Volume d’eau liquide en L) jusqu’à ce qu’elle rencontre la droite de proportionnalité. De ce point, une ligne horizontale est tracée jusqu’à l’axe y (Volume de glace en L). Nous constatons que la ligne horizontale rencontre l’axe y à 7.5.

Ainsi, le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide est 7.5 litres.

2. Pour obtenir 10 litres de glace, traçons une ligne horizontale depuis 10 sur l’axe y (Volume de glace en L) jusqu’à ce qu’elle rencontre la droite de proportionnalité. De ce point, une ligne verticale est tracée jusqu’à l’axe x (Volume d’eau liquide en L). Nous constatons que la ligne verticale rencontre l’axe x à 8.

Ainsi, il faut mettre à geler 8 litres de liquide pour obtenir 10 litres de glace.

3. Oui, le volume de glace est proportionnel au volume d’eau liquide. Pour vérifier la proportionnalité, on divise le volume de glace par le volume d’eau liquide :

\frac{V_{glace}}{V_{eau}}\,=\,\frac{10}{8}\,=\,1.25

Le coefficient de proportionnalité k est \frac{5}{4}\,=\,1.25, soit:

k\,=\,1.25

Ainsi,

V_{glace}\,=\,k\,\times  \,V_{eau}

Ce qui confirme que le volume de glace est proportionnel au volume d’eau liquide avec un coefficient de proportionnalité de 1.25.

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