Proportionnalité : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : tube d’acier-problème de proportionnalité.
Pour cette correction, nous allons utiliser les relations de proportionnalité. La masse est proportionnelle à la longueur du tube d’acier.

1. Pour calculer la masse d’un tube de 5 m :

Soit $L_1\,=\,3.4$ m la longueur du premier tube et $M_1\,=\,41.7$ kg sa masse.

La masse par mètre de tube d’acier est :
$d\,=\,\frac{M_1}{L_1}\,=\,\frac{41.7}{3.4}\,\approx\,12.26\,\frac{kg}{m}$

Pour une longueur $L_2\,=\,5$ m, la masse est :
$M_2\,=\,d\,\times \,L_2\,=\,12.26\,\times \,5\,\approx\,61.3\,\%2C\,kg$

Arrondir à l’unité:
$M_2\,\approx\,61\,\%2C\,kg$

2. Pour déterminer la longueur d’un tube de masse $M_3\,=\,8.34$ kg :

Utilisons la même densité linéique calculée précédemment.
$L_3\,=\,\frac{M_3}{d}\,=\,\frac{8.34}{12.26}\,\approx\,0.68\,\%2C\,m$

Ainsi, la longueur du tube est d’environ:

$L_3\,\approx\,0.68\,\%2C\,m$

Exercice 2 : problème du panda-proportionnalité
1. Calcul de la masse de bambous mangée par le panda en 13 jours :

Le panda mange 45,6 kg de bambous en 2 jours, soit par jour :

$\frac{45%2C6\,\%2C\,kg}{2\,\%2C\,jours}\,=\,22%2C8\,\%2C\,kg%2Fjour$

En 13 jours, il mangera donc :

$22%2C8\,\%2C\,kg%2Fjour\,\times \,13\,\%2C\,jours\,=\,296%2C4\,\%2C\,kg$

2. Calcul du nombre de jours pour manger 1 tonne (1000 kg) de bambous :

En 1 jour, il mange 22,8 kg, donc pour 1000 kg, il lui faut :

$\frac{1000\,\%2C\,kg}{22%2C8\,\%2C\,kg%2Fjour}\,\approx\,43%2C86\,\%2C\,jours$

Arrondi à l’unité :

$\approx\,44\,\%2C\,jours$

Exercice 3 : calcul de la quatrième proportionnelle.
Calculons dans chaque tableau de proportionnalité en utilisant les produits en croix.

1. Premier tableau :
$\frac{16}{125}\,=\,\frac{24}{x}$
En utilisant le produit en croix, nous obtenons :
$16\,\times \,x\,=\,125\,\times \,24$
$x\,=\,\frac{125\,\times \,24}{16}$
$x\,=\,\frac{3000}{16}$
$x\,=\,187.5$

2. Deuxième tableau :
$\frac{80}{54}\,=\,\frac{15}{x}$
En utilisant le produit en croix, nous obtenons :
$80\,\times \,x\,=\,54\,\times \,15$
$x\,=\,\frac{54\,\times \,15}{80}$
$x\,=\,\frac{810}{80}$
$x\,=\,10.125$

3. Troisième tableau :
$\frac{x}{42}\,=\,\frac{625}{12}$
En utilisant le produit en croix, nous obtenons :
$x\,\times \,12\,=\,625\,\times \,42$
$x\,=\,\frac{625\,\times \,42}{12}$
$x\,=\,\frac{26250}{12}$
$x\,=\,2187.5$

Exercice 4 : mathématiques et environnement .
1. Commençons par le calcul du temps nécessaire pour remplir un arrosoir de 10 L.

Sachant que la pompe a un débit de $3\,000\,\%2C\,L%2Fh$ , nous devons convertir le débit en litres par minute pour plus de commodité :

$Debit\,en\,L%2Fmin\,=\,\frac{3\,000\,\%2C\,L}{60\,\%2C\,min}\,=\,50\,\%2C\,L%2Fmin$

Ensuite, on calcule le temps nécessaire pour remplir 10 L en utilisant la formule $t\,=\,\frac{volume}{debit}$ :

$t\,=\,\frac{10\,\%2C\,L}{50\,\%2C\,L%2Fmin}\,=\,0{%2C}2\,\%2C\,minutes$

2. Pour remplir une citerne de $1\,440\,\%2C\,L$ , on utilise à nouveau la formule $t\,=\,\frac{1\,440\,\%2C\,L}{3\,000\,\%2C\,L%2Fh}$ :

$t\,=\,\frac{1\,440\,\%2C\,L}{3\,000\,\%2C\,L%2Fh}\,=\,0{%2C}48\,\%2C\,heures$

Convertissons ce temps en minutes pour mieux appréhender la valeur :

$0{%2C}48\,\%2C\,heures\,\times \,60\,\%2C\,min%2Fh\,=\,28{%2C}8\,\%2C\,minutes$

En arrondissant à l’unité près, $28{%2C}8\,\%2C\,minutes$ devient $29\,\%2C\,minutes$ .

3. Marion fait fonctionner sa pompe pendant 12 minutes. Sachant que la pompe a un débit de $50\,\%2C\,L%2Fmin$ :

$Quantite\,d'eau\,utilisee\,=\,12\,\%2C\,min\,\times \,50\,\%2C\,L%2Fmin\,=\,600\,\%2C\,L$

4. Si Marion oublie de fermer sa pompe pendant 2 jours (soit 48 heures), la quantité d’eau utilisée sera :

$Quantite\,d'eau\,utilisee\,=\,48\,\%2C\,h\,\times \,3\,000\,\%2C\,L%2Fh\,=\,144\,000\,\%2C\,L$

Fin de la correction.

Exercice 5 : vitesse moyenne et proportionnalité .
L’objet se déplace à la vitesse de $100\,\%2C\,m%2Fs$ .

Pour convertir cette vitesse en km/h, nous utilisons la relation suivante :
$1\,\%2C\,m%2Fs\,=\,3.6\,\%2C\,km%2Fh$

Donc,
$100\,\%2C\,m%2Fs\,=\,100\,\times \,3.6\,\%2C\,km%2Fh\,=\,360\,\%2C\,km%2Fh$

L’objet se déplace donc à $360\,\%2C\,km%2Fh$ . Les autres vitesses proposées ( $36\,\%2C\,km%2Fh$ et $3600\,\%2C\,km%2Fh$ ) ne sont pas correctes.

Exercice 6 : vitesse moyenne d’un véhicule
Convertissons d’abord la vitesse d’Emma en mètres par seconde (m/s).

On sait que :
$1\,\%2C\,km%2Fh\,=\,\frac{1000\,\%2C\,m}{3600\,\%2C\,s}\,=\,\frac{5}{18}\,\%2C\,m%2Fs$

Alors, pour convertir 90 km/h en m/s, nous avons :
$90\,\%2C\,km%2Fh\,=\,90\,\times \,\frac{5}{18}\,\%2C\,m%2Fs\,=\,90\,\times \,0.277\,\%2C\,m%2Fs\,=\,25\,\%2C\,m%2Fs$

Comparons maintenant les vitesses :

– Vitesse de Noah : $2\,\%2C\,m%2Fs$
– Vitesse d’Emma : $25\,\%2C\,m%2Fs$

Donc, Emma est plus rapide que Noah.

La réponse finale est donc qu’Emma est plus rapide.

Exercice 7 : vitesse moyenne d’une girafe .
1.
a. Convertir 250 m en km:

$250\,\,m\,=\,\frac{250}{1000}\,\,km\,=\,0.25\,\,km$

b. Combien de temps met-elle pour parcourir 250 m à cette vitesse ?

$Temps\,=\,\frac{Distance}{Vitesse}\,=\,\frac{0.25\,\,km}{50\,\,km%2Fh}\,=\,\frac{0.25}{50}\,\,h\,=\,0.005\,\,h$

Convertissons 0.005 heures en secondes pour une meilleure compréhension:

$0.005\,\,h\,=\,0.005\,\times \,3600\,\,s\,=\,18\,\,s$

2. Quelle distance parcourt-elle en 3 min à cette vitesse ?

$3\,\,min\,=\,3\,\times \,60\,\,s\,=\,180\,\,s\,=\,\frac{180}{3600}\,\,h\,=\,0.05\,\,h$

Distance parcourue en 0.05 h à 50 km/h:

$Distance\,=\,Vitesse\,\times \,Temps\,=\,50\,\,km%2Fh\,\times \,0.05\,\,h\,=\,2.5\,\,km$

Exercice 8 : eclair et vitesse moyenne, proportionnalité .
La vitesse du son est donnée par:
$v\,=\,340\,\%2C\,m%2Fs$

Le temps qu’il faut pour entendre le tonnerre après avoir vu l’éclair est:
$t\,=\,8\,\%2C\,s$

La distance à laquelle se trouve l’éclair peut être calculée en utilisant la formule de la distance:
$d\,=\,v\,\times \,t$

Substituons les valeurs données:
$d\,=\,340\,\%2C\,m%2Fs\,\times \,8\,\%2C\,s$
$d\,=\,2720\,\%2C\,m$

Donc, la distance à laquelle vous vous trouvez de l’éclair est:
$d\,=\,2720\,\%2C\,m$

Exercice 9 : aire de la portion d’un disque
Pour calculer l’aire de la zone grisée, nous devons d’abord déterminer l’aire du secteur circulaire $\overset{\frown}{BAC}$ et l’aire du triangle , puis soustraire l’aire du triangle de celle du secteur circulaire.

1. Calcul de l’aire du secteur circulaire $\overset{\frown}{BAC}$ :

La formule pour l’aire d’un secteur circulaire de rayon et d’angle au centre $\theta$ (en radians) est :
$A_{secteur}\,=\,\frac{1}{2}\,r^2\,\theta$
L’angle au centre est de $40^\circ$ , que nous devons convertir en radians. Sachant que $180^\circ\,=\,\pi$ radians, nous avons :
$40^\circ\,=\,\frac{40\,\pi}{180}\,=\,\frac{2\,\pi}{9}\,\,radians$
Donc, en utilisant $r\,=\,4\,\,cm$ , nous obtenons :
$A_{secteur}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4^2\,\times \,\frac{2\,\pi}{9}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,16\,\times \,\frac{2\,\pi}{9}\,=\,\frac{16\,\pi}{9}\,\,cm^2$

2. Calcul de l’aire du triangle :

La formule pour l’aire d’un triangle est:
$A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,a\,b\,\sin(\theta)$
Ici, $a\,=\,b\,=\,4\,\,cm$ et $\theta\,=\,40^\circ$ . Nous utilisons donc :
$A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\times \,4\,\times \,\sin(40^\circ)\,=\,8\,\sin(40^\circ)\,\,cm^2$
En utilisant la valeur approximative $\sin(40^\circ)\,\approx\,0.6428$ , nous trouvons :
$A_{triangle}\,\approx\,8\,\times \,0.6428\,=\,5.1424\,\,cm^2$

3. Aire de la zone grisée :

Pour obtenir l’aire de la zone grisée, nous soustrayons l’aire du triangle de l’aire du secteur circulaire :
$A_{grise}\,=\,A_{secteur}\,-\,A_{triangle}\,=\,\frac{16\,\pi}{9}\,-\,5.1424$
Approximativement, en utilisant $\pi\,\approx\,3.1416$ :
$A_{secteur}\,\approx\,\frac{16\,\times \,3.1416}{9}\,\approx\,5.583$
Donc,
$A_{grise}\,\approx\,5.583\,-\,5.1424\,=\,0.4406\,\,cm^2$

L’aire de la zone grisée arrondie au près est donc $0\,\%2Ccm^2$ .

Exercice 10 : volume d’eau et proportionnalité
1. Pour 6 litres de liquide, traçons une ligne verticale depuis sur l’axe (Volume d’eau liquide en L) jusqu’à ce qu’elle rencontre la droite de proportionnalité. De ce point, une ligne horizontale est tracée jusqu’à l’axe (Volume de glace en L). Nous constatons que la ligne horizontale rencontre l’axe à .

Ainsi, le volume de glace obtenu à partir de litres de liquide est litres.

2. Pour obtenir litres de glace, traçons une ligne horizontale depuis sur l’axe (Volume de glace en L) jusqu’à ce qu’elle rencontre la droite de proportionnalité. De ce point, une ligne verticale est tracée jusqu’à l’axe (Volume d’eau liquide en L). Nous constatons que la ligne verticale rencontre l’axe à .

Ainsi, il faut mettre à geler litres de liquide pour obtenir litres de glace.

3. Oui, le volume de glace est proportionnel au volume d’eau liquide. Pour vérifier la proportionnalité, on divise le volume de glace par le volume d’eau liquide :

$\frac{V_{glace}}{V_{eau}}\,=\,\frac{10}{8}\,=\,1.25$

Le coefficient de proportionnalité est $\frac{5}{4}\,=\,1.25$ , soit:

$k\,=\,1.25$

Ainsi,

$V_{glace}\,=\,k\,\times \,V_{eau}$

Ce qui confirme que le volume de glace est proportionnel au volume d’eau liquide avec un coefficient de proportionnalité de .

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Exercice 11 : tableaux et proportionnalité
Pour vérifier la proportionnalité dans chaque tableau, nous devons vérifier si le rapport entre chaque paire de valeurs dans la même ligne est constant.

Temps de calcul:
$\frac{3%2C06}{1%2C025}\,\approx\,\frac{4\,123}{102%2C5}\,\approx\,3$

$3%2C06\,: \,1%2C025\,\approx\,2%2C9844$
$4\,123\,: \,102%2C5\,\approx\,40%2C2439$

Les rapports ne sont pas constants, donc ce tableau n’est pas proportionnel.

Nombre d’entrées / Prix:
$\frac{12}{9}\,=\,\frac{5}{4}\,=\,\frac{20}{14}$

$12\,: \,9\,=\,\frac{4}{3}\,\approx\,1%2C333$
$5\,: \,4\,=\,1%2C25$
$20\,: \,14\,\approx\,1%2C428$

Les rapports ne sont pas constants, donc ce tableau n’est pas proportionnel.

Largeur du matelas / Prix du lit :
$\frac{120}{90}\,=\,\frac{150}{120}\,=\,\frac{400}{300}\,=\,2$

$120\,: \,90\,=\,\frac{4}{3}\,\approx\,1%2C333$
$150\,: \,120\,\approx\,1%2C25$
$400\,: \,300\,=\,\frac{4}{3}\,\approx\,1%2C333$

Les rapports sont constants, donc ce tableau est proportionnel.

Le tableau correspond à une situation de proportionnalité.

Exercice 12 : situations de proportionnalité
a. Âge de Laurent (années) et Taille de Laurent (m)

Pour vérifier la proportionnalité, calculons le rapport entre la taille et l’âge pour chaque couple de valeurs.

$\frac{0%2C8}{5}\,=\,0%2C16%2C\,\quad\,\frac{1%2C2}{10}\,=\,0%2C12%2C\,\quad\,\frac{1%2C6}{15}\,\approx\,0%2C107$

Les rapports ne sont pas constants, donc cette situation n’est pas une situation de proportionnalité.

b. Nombre de baguettes et Prix (€)

Calculons le rapport entre le prix et le nombre de baguettes.

$\frac{1%2C8}{2}\,=\,0%2C9%2C\,\quad\,\frac{5%2C4}{6}\,=\,0%2C9%2C\,\quad\,\frac{9}{10}\,=\,0%2C9$

Les rapports sont constants (0,9), donc cette situation est une situation de proportionnalité.

c. Volume de pâte à crêpe (L) et Nombre de crêpes préparées

Calculons le rapport entre le nombre de crêpes et le volume de pâte.

$\frac{25}{1}\,=\,25%2C\,\quad\,\frac{5}{0%2C2}\,=\,25%2C\,\quad\,\frac{20}{0%2C8}\,=\,25$

Les rapports sont constants (25), donc cette situation est une situation de proportionnalité.

Exercice 13 : pack de yaourts

Prix d’un pack de 6 yaourts : $1%2C50\,\%2C\,%E2%82%AC$
Prix d’un pack de 10 yaourts : $2\,\%2C\,%E2%82%AC$

Pour déterminer si le prix est proportionnel au nombre de yaourts, nous devons vérifier si le rapport $\frac{prix}{nombre\,de\,yaourts}$ est constant.

Calculons le prix par yaourt pour chaque pack :

Pour le pack de 6 yaourts :
$\frac{1%2C50\,\%2C\,%E2%82%AC}{6}\,=\,0%2C25$ € par yaourt

Pour le pack de 10 yaourts :
$\frac{2\,}{10}\,=\,0%2C20$ € par yaourt

Les prix par yaourt ne sont pas les mêmes (0,25 € et 0,20 €), donc le prix n’est pas proportionnel au nombre de yaourts.

Exercice 14 : une boite de clous
Pour déterminer si le prix des clous est proportionnel au nombre de clous dans la boîte, on doit vérifier si le rapport entre le prix et le nombre de clous est constant.

Pour une boîte de 100 clous coûtant 35 centimes :
$\frac{35}{100}\,=\,0{.}35$ centimes par clou

Pour une boîte de 500 clous coûtant 1,50 € :
1,50 ,€ = 150 ,centimes
$\frac{150}{500}\,=\,0%2C30$ centimes par clou

Nous constatons que :
$0{.}35\,\neq\,0{.}30$

Les rapports ne sont pas égaux, donc le prix des clous n’est pas proportionnel au nombre de clous contenus dans la boîte.

Exercice 15 : addition, soustraction et proportionnalité
a.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A6\,%26\,7\,%26\,1\,%26\,13\,%26\,13\,\\%0D%0A\hline%0D%0A9\,%26\,10%2C5\,%26\,1%2C5\,%26\,19%2C5\,%26\,19%2C5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour vérifier que le tableau est bien un tableau de proportionnalité, nous devons vérifier que les rapports sont constants. Le rapport entre la première ligne et la deuxième ligne est de:

$\frac{9}{6}\,=\,\frac{10%2C5}{7}\,=\,\frac{19%2C5}{13}$

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A8\,%26\,3\,%26\,5\,%26\,13\,%26\,13\,\\%0D%0A\hline%0D%0A3%2C2\,%26\,1%2C2\,%26\,2\,%26\,5%2C2\,%26\,5%2C2\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour vérifier que le tableau est bien un tableau de proportionnalité, nous devons vérifier que les rapports sont constants. Le rapport entre la première ligne et la deuxième ligne est de:

$\frac{3%2C2}{8}\,=\,\frac{1%2C2}{3}\,=\,\frac{5%2C2}{13}$

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A14\,%26\,11\,%26\,3\,%26\,17\,%26\,17\,\\%0D%0A\hline%0D%0A18%2C2\,%26\,14%2C3\,%26\,3%2C9\,%26\,22%2C1\,%26\,22%2C1\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Pour vérifier que le tableau est bien un tableau de proportionnalité, nous devons vérifier que les rapports sont constants. Le rapport entre la première ligne et la deuxième ligne est de:

$\frac{18%2C2}{14}\,=\,\frac{14%2C3}{11}\,=\,\frac{22%2C1}{17}$

Exercice 16 : compléter les tableaux de proportionnalité

[a.]
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A6\,%26\,18\,%26\,5\,%26\,x\,\\%0D%0A\hline%0D%0A7\,%26\,y\,%26\,7\,%26\,1\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$
La constante de proportionnalité est
$k\,=\,\frac{6}{7}$
Pour trouver :
$y\,=\,18\,: \,k\,=\,18\,\times \,\frac{7}{6}\,=\,21$
Pour trouver :
$x\,=\,5\,\times \,k\,=\,5\,\times \,\frac{6}{7}\,=\,\frac{30}{7}\,\approx\,4.29$

[b.]
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,8\,%26\,20\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1\,%26\,5\,%26\,y\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$
La constante de proportionnalité est
$k\,=\,\frac{8}{5}\,=\,1.6$
Pour trouver :
$y\,=\,20\,: \,k\,=\,20\,\times \,\frac{1}{1.6}\,=\,12.5$
Pour trouver :
$x\,=\,1\,\times \,k\,=\,1.6$

[c.]
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A3\,%26\,x\,%26\,10.5\,\\%0D%0A\hline%0D%0A4\,%26\,120\,%26\,y\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$
La constante de proportionnalité est
$k\,=\,\frac{3}{4}\,=\,0.75$
Pour trouver :
$x\,=\,0.75\,\times \,120\,=\,90$
Pour trouver :
$y\,=\,\frac{10.5}{0.75}\,=\,14$

[d.]
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0Ax\,%26\,2\,%26\,200\,\\%0D%0A\hline%0D%0A5\,%26\,y\,%26\,250\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$
La constante de proportionnalité est
$k\,=\,\frac{200}{250}\,=\,\frac{4}{5}\,=\,0.8$
Pour trouver :
$k\,=\,\frac{x}{5}\,\Rightarrow\,x\,=\,5\,\times \,0.8\,=\,4$
Pour trouver :
$k\,=\,\frac{2}{y}\,\Rightarrow\,y\,=\,\frac{2}{0.8}\,=\,2.5$

Exercice 17 : propriétés de la proportionnalité
$a.\,Nombre\,de\,gateaux\,%2F\,Nombre\,de\,paquets\,de\,gateaux$
Pour trouver le nombre de gâteaux correspondant à 14 paquets :

$\frac{36}{3}\,=\,\frac{x}{14}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,36\,\times \,\frac{14}{3}\,=\,168$

Pour trouver le nombre de gâteaux correspondant à 2 paquets :

$\frac{36}{3}\,=\,\frac{x}{2}\,\,\Rightarrow\,x\,=\,36\,\times \,\frac{2}{3}\,=\,24$

Le tableau complété est le suivant :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ANombre\,de\,gateaux\,%26\,36\,%26\,132\,%26\,24\,%26\,168\,\\%0D%0A\hline%0D%0ANombre\,de\,paquets\,de\,gateaux\,%26\,3\,%26\,11\,%26\,2\,%26\,14\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

$b.\,Nombre\,de\,livres\,ranges\,%2F\,Nombre\,d\%2Cetageres$
Pour trouver le nombre de livres correspondant à 5 étagères :

$\frac{117}{9}\,=\,\frac{x}{5}\,\,\Rightarrow\,x\,=\,117\,\times \,\frac{5}{9}\,=\,65$

Pour trouver le nombre de livres correspondant à 1 étagère :

$\frac{52}{4}\,=\,\frac{x}{1}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,52\,\times \,\frac{1}{4}\,=\,13$

Le tableau complété est le suivant :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ANombre\,de\,livres\,ranges\,%26\,117\,%26\,52\,%26\,65\,%26\,13\,\\%0D%0A\hline%0D%0ANombre\,d%E2%80%99etageres\,%26\,9\,%26\,4\,%26\,5\,%26\,1\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

$c.\,Volume\,\%2Cd\%2Ceau\,de\,mer\,(L)\,%2F\,Masse\%2C\,de\%2C\,sel\,\%2Cextraite\%2C\,(g)$
Pour trouver la masse de sel correspondant à 6,6 L :

$\frac{3%2C8}{96}\,=\,\frac{6%2C6}{x}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,6%2C6\,\times \,\frac{96}{3%2C8}\,=\,166%2C105\,\approx\,166%2C1$

Pour trouver le volume d’eau correspondant à 192 g :

$\frac{96}{3%2C8}\,=\,\frac{192}{x}\,\,\Rightarrow\,\,x\,=\,192\,\times \,\frac{3%2C8}{96}\,=\,7%2C6$

Le tableau complété est le suivant :

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0AVolume\,d%E2%80%99eau\,de\,mer\,(L)\,%26\,3%2C8\,%26\,1%2C1\,%26\,6%2C6\,%26\,7%2C6\,\\%0D%0A\hline%0D%0AMasse\,de\,sel\,extraite\,(g)\,%26\,96\,%26\,27%2C5\,%26\,166%2C1\,%26\,192\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 18 : problèmes sur la proportionnalité

Une demi-baguette coûte 45 centimes . Combien coûtent 3 baguettes ?

Si une demi-baguette coûte 45 centimes , alors une baguette entière coûte :
$1\,\%2C\,baguette\,=\,2\,\times \,45\,\%2C\,centimes \,=\,90\,\%2C\,centimes$

Le coût de 3 baguettes est donc:
$3\,\%2C\,baguettes\,=\,3\,\times \,90\,\%2C\,centimes \,=\,270\,\%2C\,centimes \,=\,2%2C70\,\%2C\,euros$

Peter court 1 km en 4 min. Quelle distance peut-il parcourir en 1 min ?

La vitesse de Peter est :
$vitesse\,=\,\frac{1\,\%2C\,km}{4\,\%2C\,min}\,=\,0%2C25\,\%2C\,km%2Fmin$

En une minute, il peut parcourir :
$distance\,en\,1\,min\,=\,0%2C25\,\%2C\,km\,\times \,1\,\%2C\,min\,=\,0%2C25\,\%2C\,km$

5 kg de tomates coûtent 7,20 € et 3 kg coûtent 4,32 €. Quel est le prix de 2 kg de tomates ?

Calculons le prix au kg à partir des deux informations données :

Pour 5 kg :
$prix\,au\,kg\,=\,\frac{7%2C20}{5}\,=\,1%2C44$ €/kg

Pour 3 kg :
$prix\,au\,kg\,=\,\frac{4%2C32}{3}\,=\,1%2C44$ €/kg

Donc, le prix au kg est bien de 1,44 € par kg.

Pour 2 kg, le coût sera :
$prix\,de\,2\,kg\,=\,2\,\,\times \,1%2C44\,\,\,=\,2%2C88$ €

Il faut 3 disques durs pour stocker 690 Go de données, et 7 disques durs pour stocker 1 610 Go. Combien faut-il de disques durs pour stocker 4 600 Go de données ?

Calculons la capacité d’un disque dur en utilisant les deux informations données :

Pour 3 disques durs :
$capacite\,totale\,=\,690\,\%2C\,Go$

Par conséquent, la capacité d’un disque dur est :
$capacite%2Fdisque\,=\,\frac{690\,\%2C\,Go}{3}\,=\,230\,\%2C\,Go%2Fdisque$

Pour 7 disques durs :
$capacite\,totale\,=\,1\%2C610\,\%2C\,Go$

Par conséquent, la capacité d’un disque dur est :
$capacite%2Fdisque\,=\,\frac{1\%2C610\,\%2C\,Go}{7}\,\approx\,230\,\%2C\,Go%2Fdisque$

La capacité d’un disque dur est donc de 230 Go. Pour stocker 4 600 Go, il faut :
$nombre\,de\,disques\,=\,\frac{4\%2C600\,\%2C\,Go}{230\,\%2C\,Go%2Fdisque}\,=\,20\,\%2C\,disques$

Exercice 19 : notion de vitesse moyenne
Pour déterminer la distance parcourue par une voiture roulant à une vitesse constante de 45 km/h, utilisons la formule de la distance:
$d\,=\,v\,\times \,t$
où représente la distance, la vitesse et le temps.

$a.\,10\,min\,%3A$
Convertissons les minutes en heures :
$t\,=\,\frac{10\,\,min}{60}\,=\,\frac{1}{6}\,\,h$
La distance parcourue :
$d\,=\,45\,\times \,\frac{1}{6}\,=\,7%2C5\,\,km$

$b.\,25\,min\,%3A$
Convertissons les minutes en heures :
$t\,=\,\frac{25\,\,min}{60}\,=\,\frac{5}{12}\,\,h$
La distance parcourue :
$d\,=\,45\,\times \,\frac{5}{12}\,=\,18%2C75\,\,km$

$c.\,35\,min\,%3A$
Convertissons les minutes en heures :
$t\,=\,\frac{35\,\,min}{60}\,=\,\frac{7}{12}\,\,h$
La distance parcourue :
$d\,=\,45\,\times \,\frac{7}{12}\,=\,26%2C25\,\,km$

$d.\,0%2C8\,h\,%3A$
La distance parcourue :
$d\,=\,45\,\times \,0%2C8\,=\,36\,\,km$

$e.\,1%2C5\,h\,%3A$
La distance parcourue :
$d\,=\,45\,\times \,1%2C5\,=\,67%2C5\,\,km$

$f.\,1\,h\,25\,min\,%3A$
Convertissons les minutes en heures :
$t\,=\,1\,%2B\,\frac{25\,\,min}{60}\,=\,1\,%2B\,\frac{5}{12}\,=\,\frac{17}{12}\,\,h$
La distance parcourue :
$d\,=\,45\,\times \,\frac{17}{12}\,=\,63%2C75\,\,km$

Ainsi, les distances parcourues pour chaque temps donné sont :
a. 7,5 km
b. 18,75 km
c. 26,25 km
d. 36 km
e. 67,5 km
f. 63,75 km

Exercice 20 : notion de pourcentages
Correction de l’exercice :

[a.] Sur les 25 kg de fraises qu’il avait récoltés Lundi, un maraîcher a dû jeter 12\%. Quelle masse de fraises a-t-il jeté ?

Pour calculer la masse de fraises jetées, on utilise :
$Masse\,jetee\,=\,\frac{12}{100}\,\times \,25\%2C\,kg$

$Masse\,jetee\,=\,0.12\,\times \,25\%2C\,kg$

$Masse\,jetee\,=\,3\%2C\,kg$

Donc, la masse de fraises qu’il a jetée est de 3 kg.

[b.] Sur les 30 kg de fraises récoltés Mardi, 6 kg ont été jetés. Quel est le pourcentage de la masse des fraises qui a été jetée ?

Pour trouver le pourcentage de fraises jetées, on utilise :
$Pourcentage\,jete\,=\,(\,\frac{Masse\,jetee}{Masse\,totale}\,)\,\times \,100$

$Pourcentage\,jete\,=\,(\,\frac{6\%2C\,kg}{30\%2C\,kg}\,)\,\times \,100$

$Pourcentage\,jete\,=\,\frac{6}{30}\,\times \,100$

$Pourcentage\,jete\,=\,0.2\,\times \,100$

$Pourcentage\,jete\,=\,20\%25$

Donc, le pourcentage de la masse des fraises qui a été jetée est de 20\%.

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Exercice 21 : pourcentages et nombre d’élèves
Nombre d’élèves de la classe = 28

Pourcentage d’élèves ayant 13 ans = 39\%

Nombre d’élèves ayant 13 ans = $(\,\frac{39}{100}\,)\,\times \,28$
Calculons le nombre d’élèves ayant 13 ans :

Nombre d’élèves ayant 13 ans $\approx\,0.39\,\times \,28$
Nombre d’élèves ayant 13 ans $\approx\,10.92$
Puisque le nombre d’élèves doit indiquer une valeur entière, et en considérant que l’énoncé mentionne « un peu plus de 39 % », nous pouvons arrondir à l’unité la plus proche supérieure :

Nombre d’élèves ayant 13 ans $\approx\,11$
Ainsi, le nombre d’élèves ayant 13 ans est de 11.

Exercice 22 : dimensions réelles et sur dessin
a. Pour trouver le coefficient de proportionnalité, nous devons diviser chaque dimension réelle par la dimension correspondante sur le dessin :
$k\,=\,\frac{300}{5}\,=\,60$
$k\,=\,\frac{450}{7%2C5}\,=\,60$
$k\,=\,\frac{150}{2%2C5}\,=\,60$
$k\,=\,\frac{612}{10%2C2}\,=\,60$
$k\,=\,\frac{90}{1%2C5}\,=\,60$

Le coefficient de proportionnalité est donc $k\,=\,60$ .

b. L’échelle du dessin est le rapport entre la dimension sur le dessin et la dimension réelle. Ainsi, l’échelle est de cm sur le dessin pour cm réels, c’est-à-dire :
$Echelle\,=\,\frac{1}{60}$

Exercice 23 : graphique et proportionnalité
Pour déterminer le prix de 13 pralinés en utilisant le graphique fourni, nous pouvons observer les points et en déduire une relation linéaire entre le nombre de pralinés et le prix en euros.

Les points donnés sur le graphique sont :
– Pour pralinés, le prix est €.
– Pour pralinés, le prix est €.
– Pour pralinés, le prix est €.

Nous remarquons que le prix augmente de € chaque fois que le nombre de pralinés augmente de .

La relation linéaire entre le prix et le nombre de pralinés peut être trouvée en reformulant le problème comme suit :
$Nous\,avons\,une\,droite\,passant\,par\,les\,points\,\,(5%2C\,2)%2C\,(10%2C\,4)%2C\,\,et\,\,(15%2C\,6).$

Calculons la pente de la droite :
$m\,=\,\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}\,=\,\frac{4\,-\,2}{10\,-\,5}\,=\,\frac{2}{5}\,=\,0.4$

Connaissant la pente, nous pouvons déterminer l’équation de la droite. Nous prenons un des points, par exemple $(5%2C\,2)$ , et appliquons la formule de la droite :
$y\,=\,mx\,%2B\,c$

Remplaçons par 5, par 2 et par 0.4 dans l’équation pour trouver :
$2\,=\,(0.4)\,\times \,\,\,5\,%2B\,c\,\,\Rightarrow\,\,2\,=\,2\,%2B\,c\,\,\Rightarrow\,\,c\,=\,0$

Ainsi, l’équation de la droite est :
$y\,=\,0.4x$

Pour trouver le prix de 13 pralinés ( $x\,=\,13$ ), substituons par 13 dans l’équation $y\,=\,0.4x$ :
$y\,=\,0.4\,\times \,13\,=\,5.2$

Par conséquent, le prix de 13 pralinés est de €.

Exercice 24 : représentations graphiques
Dans une situation de proportionnalité, la variable est proportionnelle à la variable , ce qui se représente graphiquement par une droite passant par l’origine.

– $Graphique\,a.$
Les points du graphique ne se trouvent pas tous sur la même droite passant par l’origine, ce n’est donc pas une situation de proportionnalité.

– $Graphique\,b.$
Dans ce graphique, les points semblent alignés et passent par l’origine (0,0). Donc, c’est une situation de proportionnalité.

– $Graphique\,c.$
Ce graphique ne montre pas une ligne droite passant par l’origine pour tous les points. Ce n’est donc pas une situation de proportionnalité.

– $Graphique\,d.$
Les points ne forment pas une ligne droite qui passe par l’origine. Donc, ce n’est pas une situation de proportionnalité.

Ainsi, seul le graphique représente une situation de proportionnalité.

Exercice 25 : calculer la quatrième proportionnelle

$\frac{5}{6}\,=\,\frac{11}{x}$
$5x\,=\,66$
$x\,=\,\frac{66}{5}$
$x\,=\,13%2C2$

$\frac{3}{10}\,=\,\frac{7}{x}$
$3x\,=\,70$
$x\,=\,\frac{70}{3}$
$x\,\approx\,23%2C33$

$\frac{7}{10}\,=\,\frac{14}{x}$
$7x\,=\,140$
$x\,=\,\frac{140}{7}$
$x\,=\,20$

$\frac{0%2C5}{x}\,=\,\frac{8}{20}$
$0%2C5\,\times \,20\,=\,8x$
$10\,=\,8x$
$x\,=\,\frac{10}{8}$
$x\,=\,1%2C25$

$\frac{2%2C4}{7%2C5}\,=\,\frac{x}{5}$
$2%2C4\,\times \,5\,=\,7%2C5x$
$12\,=\,7%2C5x$
$x\,=\,\frac{12}{7%2C5}$
$x\,=\,1%2C6$

$\frac{x}{3}\,=\,\frac{3}{4}$
$4x\,=\,9$
$x\,=\,\frac{9}{4}$
$x\,=\,2%2C25$

$\frac{0%2C5}{x}\,=\,\frac{6}{28}$
$0%2C5\,\times \,28\,=\,6x$
$14\,=\,6x$
$x\,=\,\frac{14}{6}$
$x\,=\,\frac{7}{3}$
$x\,\approx\,2%2C33$

$\frac{x}{\frac{5}{6}}\,=\,\frac{\frac{8}{3}}{\frac{8}{3}}$

pour résoudre cela, nous remarquons que toutes les valeurs sontégales
$x\,=\,\frac{5}{6}$

$\frac{7}{\frac{2}{3}}\,=\,\frac{x}{\frac{1}{4}}$
$\frac{7\,\times \,3}{2}\,=\,\frac{4x}{1}$
$\frac{21}{2}\,=\,4x$
$x\,=\,\frac{21}{8}$
$x\,=\,2%2C625$

$\frac{2%2C7}{0%2C18}\,=\,\frac{20}{x}$
$2%2C7x\,=\,20\,\times \,0%2C18$
$2%2C7x\,=\,3%2C6$
$x\,=\,\frac{3%2C6}{2%2C7}$
$x\,\approx\,1%2C33$

Exercice 26 : tom et les pommes de terre
Tom met 0.2 heures pour éplucher 37 pommes de terre.

1. Éplucher des pommes de terre en 48 minutes:

$48\,\,minutes\,\,=\,0%2C8\,\,heures$

Pour trouver combien de pommes de terre Tom peut éplucher en 0,8 heures, nous utilisons une règle de trois:
$\frac{37\,\,pommes\,de\,terre}{0%2C2\,\,heures}\,=\,\frac{x\,\,pommes\,de\,terre}{0%2C8\,\,heures}$

En résolvant pour :
$x\,=\,\frac{37\,\,pommes\,de\,terre\,\times \,0%2C8\,\,heures}{0%2C2\,\,heures}$
$x\,=\,\frac{37\,\times \,0%2C8}{0%2C2}$
$x\,=\,\frac{29%2C6}{0%2C2}$
$x\,=\,148\,\,pommes\,de\,terre$

Donc, Tom peut éplucher pommes de terre en minutes.

2. Épelucher des pommes de terre en 2 h 06 min:

$2\,\,heures\,\,6\,\,minutes\,=\,2\,\,heures\,\,%2B\,\frac{6}{60}\,\,heures\,=\,2\,%2B\,0.1\,\,heures\,=\,2.1\,\,heures$

Utilisons encore une règle de trois:
$\frac{37\,\,pommes\,de\,terre}{0%2C2\,\,heures}\,=\,\frac{y\,\,pommes\,de\,terre}{2%2C1\,\,heures}$

En résolvant pour :
$y\,=\,\frac{37\,\,pommes\,de\,terre\,\times \,2%2C1\,\,heures}{0%2C2\,\,heures}$
$y\,=\,\frac{37\,\times \,2%2C1}{0%2C2}$
$y\,=\,\frac{77%2C7}{0%2C2}$
$y\,=\,388.5\,\,pommes\,de\,terre$

Donc, Tom peut éplucher environ pommes de terre en heures et minutes.

Exercice 27 : usain Bolt et le record du monde
a. Quelle est sa vitesse moyenne en m/s lors de son 100 m le plus rapide ? Lors de son 200 m le plus rapide ?

Pour le 100 m en 9,58 s :
$v\,=\,\frac{d}{t}\,=\,\frac{100\,\%2C\,m}{9%2C58\,\%2C\,s}\,\approx\,10%2C44\,\%2C\,m%2Fs$

Pour le 200 m en 19,19 s :
$v\,=\,\frac{d}{t}\,=\,\frac{200\,\%2C\,m}{19%2C19\,\%2C\,s}\,\approx\,10%2C42\,\%2C\,m%2Fs$

b. Sur quelle distance sa vitesse est-elle la plus élevée ? Cela vous semble-t-il logique ?

La vitesse moyenne la plus élevée est celle du 100 m avec environ 10,44 m/s comparée à celle du 200 m avec environ 10,42 m/s. Cela semble logique car il est plus facile de maintenir une vitesse maximale sur une distance plus courte.

Exercice 28 : prix d’un pot de confiture
Pour calculer le nouveau prix d’un pot de confiture après une augmentation de 25 %, nous devons multiplier l’ancien prix par $1\,%2B\,\frac{25}{100}$ .

Soit $P_{ancien}$ l’ancien prix et $P_{nouveau}$ le nouveau prix.

Nous avons :

$P_{ancien}\,=\,1%2C80\,\%2C\,%E2%82%AC$
$Augmentation\,=\,25\%25\,=\,0%2C25$

Le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 25 % est :

$1\,%2B\,0%2C25\,=\,1%2C25$

Alors, le nouveau prix $P_{nouveau}$ est :

$P_{nouveau}\,=\,P_{ancien}\,\times \,1%2C25$

Substituons $P_{ancien}$ par 1,80 € :

$P_{nouveau}\,=\,1{%2C}80\,\times \,1{%2C}25$

Calculons :

$P_{nouveau}\,=\,1{%2C}80\,\times \,1{%2C}25\,=\,2{%2C}25\,\%2C\,%E2%82%AC$

Le nouveau prix d’un pot de confiture est donc de 2,25 €.

Exercice 29 : prix d’un smartphone
Soit le prix initial du smartphone.

La réduction est de 20%, ce qui signifie que le smartphone coûte maintenant 80% de son prix initial:

$0.8P\,=\,224$

Pour trouver le prix initial , il suffit de diviser les deux côtés de l’équation par 0.8 :

$P\,=\,\frac{224}{0.8}$

Calculons cette division :

$P\,=\,280$

Donc, le prix initial du smartphone avant la réduction était de 280 €.

Exercice 30 : le circuit Spa-Francorchamps
1) Calculer cette vitesse en m/s.

$1\,\%2C\,km\,=\,1000\,\%2C\,m\,\quad\,et\,\quad\,1\,\%2C\,h\,=\,3600\,\%2C\,s$

Pour convertir des km/h en m/s, on utilise le facteur de conversion suivant :

$1\,\%2C\,km%2Fh\,=\,\frac{1000\,\%2C\,m}{3600\,\%2C\,s}\,=\,\frac{5}{18}\,\%2C\,m%2Fs$

Ainsi, pour convertir 350 km/h en m/s :

$350\,\%2C\,km%2Fh\,\times \,\frac{5}{18}\,=\,\frac{350\,\times \,5}{18}\,=\,\frac{1750}{18}\,\approx\,97.22\,\%2C\,m%2Fs$

Donc, la vitesse est de :

$350\,\%2C\,km%2Fh\,\approx\,97.22\,\%2C\,m%2Fs$

2) Calculer la distance parcourue à cette vitesse en 45 s.

La distance parcourue à une vitesse constante pendant un temps est donnée par la formule :

$d\,=\,v\,\times \,t$

En utilisant la vitesse calculée précédemment :

$d\,=\,97.22\,\%2C\,m%2Fs\,\times \,45\,\%2C\,s\,=\,4374.9\,\%2C\,m$

Donc, la distance parcourue en 45 secondes est :

$d\,\approx\,4374.9\,\%2C\,m$

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Exercice 31 : vitesse moyenne d’un ballon
1) Calculer, en mètres par seconde, la vitesse du ballon.

Pour convertir la vitesse de 108 km/h en m/s, on utilise la relation suivante:
$1\,\,km%2Fh\,=\,\frac{1000\,\,m}{3600\,\,s}\,=\,\frac{5}{18}\,\,m%2Fs$

Donc, la vitesse en m/s est:
$v\,=\,108\,\times \,\frac{5}{18}\,=\,108\,: \,3.6\,=\,30\,\,m%2Fs$

2) Calculer, en secondes, la durée mise par le ballon pour atteindre la ligne de but.

La formule de la durée est:
$t\,=\,\frac{d}{v}$

Où $d\,=\,18\,\,m$ et $v\,=\,30\,\,m%2Fs$ .

Donc:
$t\,=\,\frac{18}{30}\,=\,0.6\,\,s$

La durée mise par le ballon pour atteindre la ligne de but est de seconde.

Exercice 32 : train et vitesse moyenne
1) Calculer la durée du voyage.

Le train part à 12 h 55 min et atteint Bordeaux à 18 h 25 min. La durée du voyage est donc :

$18\,\%2C\,h\,\%2C\,25\,\%2C\,min\,-\,12\,\%2C\,h\,\%2C\,55\,\%2C\,min$

Convertissons les heures en minutes pour faciliter la soustraction :

$18\,\%2C\,h\,\%2C\,25\,\%2C\,min\,=\,18\,\times \,60\,%2B\,25\,=\,1080\,%2B\,25\,=\,1105\,\%2C\,min$

$12\,\%2C\,h\,\%2C\,55\,\%2C\,min\,=\,12\,\times \,60\,%2B\,55\,=\,720\,%2B\,55\,=\,775\,\%2C\,min$

La différence est donc :

$1105\,\%2C\,min\,-\,775\,\%2C\,min\,=\,330\,\%2C\,min$

Convertissons ces minutes en heures et minutes :

$330\,\%2C\,min\,=\,5\,\%2C\,h\,\%2C\,30\,\%2C\,min$

Donc, la durée du voyage est de 5 heures et 30 minutes.

2) Calculer la vitesse moyenne de ce train en km/h.

La distance entre Marseille et Bordeaux est de 715 km. La durée du voyage est de 5,5 heures (5 heures et 30 minutes équivalent à 5,5 heures). La vitesse moyenne est donnée par :

$v\,=\,\frac{distance}{temps}$

$v\,=\,\frac{715\,\%2C\,km}{5%2C5\,\%2C\,h}$

Calculons :

$v\,=\,\frac{715}{5%2C5}\,\approx\,130\,\%2C\,km%2Fh$

Donc, la vitesse moyenne du train est d’environ 130 km/h.

Exercice 33 : compteur kilométrique et vitesse moyenne
1) La distance parcourue par le véhicule est :

$\Delta\,d\,=\,27\%2C503\,\%2C\,km\,-\,26\%2C783\,\%2C\,km\,=\,720\,\%2C\,km$

Le temps de trajet total est de 12 heures (de 8 h à 20 h).

La vitesse moyenne se calcule ainsi :

$V_m\,=\,\frac{\Delta\,d}{\Delta\,t}\,=\,\frac{720\,\%2C\,km}{12\,\%2C\,h}\,=\,60\,\%2C\,km%2Fh$

2) Nous devons soustraire le temps d’arrêt du temps total pour trouver le temps de trajet effectif :

$\Delta\,t_{trajet}\,=\,12\,\%2C\,h\,-\,1.5\,\%2C\,h\,=\,10.5\,\%2C\,h$

La vitesse moyenne réelle en tenant compte des arrêts est :

$V_{m\,reel}\,=\,\frac{\Delta\,d}{\Delta\,t_{trajet}}\,=\,\frac{720\,\%2C\,km}{10.5\,\%2C\,h}\,\approx\,68.57\,\%2C\,km%2Fh$

Donc, la vitesse moyenne réelle de l’automobiliste est d’environ 68.57 km/h.

Exercice 34 : la vitesse de Monsieur Nomade
1) Monsieur Nomade roule à 90 km/h. Calculer, en minute, le temps nécessaire pour parcourir 36 kilomètres.

La formule du temps nécessaire pour parcourir une distance à une vitesse est $t\,=\,\frac{d}{v}$ .

$t\,=\,\frac{36\,\,km}{90\,\,km%2Fh}$

Comme nous voulons le temps en minutes, nous devons multiplier le résultat par 60:

$t\,=\,\frac{36}{90}\,\times \,60$
$t\,=\,0.4\,\times \,60$
$t\,=\,24\,\,minutes$

2) Monsieur Nomade est parti à 8 h. Il arrive à son entreprise à 9 h 20 min en roulant à une vitesse moyenne de 60 km/h. Calculer, en kilomètres, la distance parcourue.

La différence de temps entre l’heure de départ et l’heure d’arrivée est:

$9\,\,h\,20\,min\,-\,8\,\,h\,=\,1\,\,h\,20\,min$

Convertissons 20 minutes en heures:

$1\,\,h\,20\,min\,=\,1\,%2B\,\frac{20}{60}\,\,h$
$1\,\,h\,20\,min\,=\,1\,%2B\,\frac{1}{3}\,\,h$
$1\,\,h\,20\,min\,=\,\frac{3}{3}\,%2B\,\frac{1}{3}\,\,h$
$1\,\,h\,20\,min\,=\,\frac{4}{3}\,\,h$

La formule de la distance parcourue est $d\,=\,v\,\times \,t$ .

$d\,=\,60\,\,km%2Fh\,\times \,\frac{4}{3}\,\,h$

$d\,=\,60\,\times \,\frac{4}{3}$
$d\,=\,80\,\,km$

Donc, la distance parcourue est de 80 kilomètres.

Exercice 35 : transport de buses par camion
1) Calculer en heure puis en secondes le temps du parcours.

Le chauffeur part à 9 h 15 min et arrive à 9 h 45 min.
Le temps du parcours est donc :

$9\,\%2C\,h\,\%2C\,45\,\%2C\,min\,-\,9\,\%2C\,h\,\%2C\,15\,\%2C\,min\,=\,30\,\%2C\,min$

Convertissons 30 minutes en heures :

$30\,\%2C\,min\,=\,\frac{30}{60}\,\%2C\,h\,=\,0%2C5\,\%2C\,h$

Puis en secondes :

$30\,\%2C\,min\,=\,30\,\times \,60\,=\,1800\,\%2C\,s$

2) Calculer la vitesse du camion en km/h puis en m/s.

La distance parcourue est de 25 km.
Le temps du parcours est de 0,5 h.

La vitesse en km/h se calcule ainsi :

$Vitesse\,(km%2Fh)\,=\,\frac{distance\,(km)}{temps\,(h)}\,=\,\frac{25}{0%2C5}\,=\,50\,\%2C\,km%2Fh$

Convertissons cette vitesse en m/s :

$50\,\%2C\,km%2Fh\,=\,50\,\times \,\frac{1000\,\%2C\,m}{3600\,\%2C\,s}\,=\,\frac{50000}{3600}\,\%2C\,m%2Fs\,\approx\,13%2C9\,\%2C\,m%2Fs$

Donc, la vitesse du camion est de 50 km/h ou environ 13,9 m/s (arrondie à 0,1 m/s près).

Exercice 36 : le marathon et vitesse moyenne
1) Calculer la durée du parcours en heure – minute – seconde, puis en seconde.

La durée du parcours est le temps écoulé entre le départ et l’arrivée.

$Heure\,de\,depart\,=\,14h\,\\%0D%0AHeure\,d'arrivee\,=\,16h\,\%3B\,20min\,\%3B\,05s$

Pour trouver la durée en heure, minutes et secondes:

$Heures\,=\,16h\,-\,14h\,=\,2h\,\\%0D%0AMinutes\,=\,20min\,-\,0min\,=\,20min\,\\%0D%0ASecondes\,=\,05s\,-\,0s\,=\,5s\,\\$

Donc, la durée du parcours est de:

$2h\,\%3B\,20min\,\%3B\,05s$

Pour convertir cette durée en secondes:

$Duree\,en\,secondes\,=\,(2\,\times \,3600s)\,%2B\,(20\,\times \,60s)\,%2B\,5s\,=\,7200s\,%2B\,1200s\,%2B\,5s\,=\,8405s$

2) Calculer la vitesse moyenne de ce concurrent en m/s arrondie à l’unité, sachant que le marathon se court sur une distance de 42,195 km.

La distance du marathon est de 42,195 km, que nous convertissons en mètres:

$Distance\,=\,42%2C195\,\%3B\,km\,=\,42195\,\%3B\,m$

La durée totale en secondes est de 8405s.

La vitesse moyenne est donnée par la formule:

$v\,=\,\frac{distance}{temps}$

En substituant les valeurs:

$v\,=\,\frac{42195\,\%3B\,m}{8405\,\%3B\,s}\,\approx\,5.02\,\%3B\,m%2Fs$

En arrondissant à l’unité, la vitesse moyenne est:

$5\,\%3B\,m%2Fs$

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