Translation : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : etude d’une frise
a. Le motif a pour image le motif par la translation de vecteur $\vec{AB}$ .

b. Le motif a pour image le motif par la translation de vecteur $\vec{AD}$ .

c. Le motif est l’image du motif par la translation de vecteur $\vec{CE}$ .

d. Le motif est l’image du motif par la translation de vecteur $\vec{BC}$ .

Exercice 2 : compléter un tableau
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ATranslation\,%26\,Point\,initial\,%26\,Point\,obtenu\,%26\,Figure\,initiale\,%26\,Figure\,obtenue\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%E2%91%A0\,%26\,E\,%26\,F\,%26\,BCG\,%26\,\mathbf{ADH}\,\\%0D%0A%E2%91%A1\,%26\,L\,%26\,G\,%26\,KGHL\,%26\,\mathbf{AFJK}\,\\%0D%0A%E2%91%A2\,%26\,H\,%26\,K\,%26\,EIJF\,%26\,\mathbf{BFGH}\,\\%0D%0A%E2%91%A3\,%26\,I\,%26\,J\,%26\,ABF\,%26\,\mathbf{BCG}\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 3 : construction de la translation d’un soulier
Pour résoudre cet exercice de translation, il est nécessaire de calculer le vecteur de translation en utilisant les points donnés. Les points de départ et d’arrivée pour la translation sont M et N.

Calculons le vecteur de translation $\vec{MN}$ , puis appliquer ce même vecteur à chaque point du polygone pour trouver leurs nouvelles positions.

Notons les coordonnées des points :
– $M\,(2%2C\,-6)$
– $N\,(8%2C\,-8)$
– $J\,(-2%2C\,0)$
– $K\,(4%2C\,-1)$
– $L\,(2%2C\,3)$
– $O\,(8%2C\,2)$

Le vecteur de translation $\vec{MN}$ est donné par :
$\vec{MN}\,=\,N\,-\,M\,=\,(8\,-\,2%2C\,-8\,-\,(-6))\,=\,(6%2C\,-2)$

Appliquons ce vecteur à chaque sommet $A%2C\,B%2C\,C%2C\,D%2C\,E%2C\,F%2C\,G%2C\,H%2C\,I$ du polygone ABCDEFGHI. Les coordonnées de chacun sont les suivantes :
$A\,(1%2C\,4)$
$B\,(3%2C\,7)$
$C\,(5%2C\,4)$
$D\,(4%2C\,1)$
$E\,(2%2C\,0)$
$F\,(1%2C\,2)$
$G\,(0%2C\,0)$
$H\,(-1%2C\,2)$
$I\,(1%2C\,3)$

Ajoutons le vecteur de translation $\vec{MN}\,=\,(6%2C\,-2)$ à chaque point :

$A'\,=\,A\,%2B\,\vec{MN}\,=\,(1%2B6%2C\,4-2)\,=\,(7%2C\,2)$
$B'\,=\,B\,%2B\,\vec{MN}\,=\,(3%2B6%2C\,7-2)\,=\,(9%2C\,5)$
$C'\,=\,C\,%2B\,\vec{MN}\,=\,(5%2B6%2C\,4-2)\,=\,(11%2C\,2)$
$D'\,=\,D\,%2B\,\vec{MN}\,=\,(4%2B6%2C\,1-2)\,=\,(10%2C\,-1)$
$E'\,=\,E\,%2B\,\vec{MN}\,=\,(2%2B6%2C\,0-2)\,=\,(8%2C\,-2)$
$F'\,=\,F\,%2B\,\vec{MN}\,=\,(1%2B6%2C\,2-2)\,=\,(7%2C\,0)$
$G'\,=\,G\,%2B\,\vec{MN}\,=\,(0%2B6%2C\,0-2)\,=\,(6%2C\,-2)$
$H'\,=\,H\,%2B\,\vec{MN}\,=\,(-1%2B6%2C\,2-2)\,=\,(5%2C\,0)$
$I'\,=\,I\,%2B\,\vec{MN}\,=\,(1%2B6%2C\,3-2)\,=\,(7%2C\,1)$

Les nouvelles coordonnées après la translation sont donc :
– $A'\,(7%2C\,2)$
– $B'\,(9%2C\,5)$
– $C'\,(11%2C\,2)$
– $D'\,(10%2C\,-1)$
– $E'\,(8%2C\,-2)$
– $F'\,(7%2C\,0)$
– $G'\,(6%2C\,-2)$
– $H'\,(5%2C\,0)$
– $I'\,(7%2C\,1)$

Le polygone translaté est donc défini par les points .

Exercice 4 : construire les images par translation
– Dans la figure ci-dessus, les droites $(d_1)%2C\,(d_2)$ et sont parallèles.
– Le point est obtenu par translation du point le long de la direction donnée par les droites.
– Les points et subissent la même translation pour obtenir les points et .

La translation de en sera appliquée de la même manière à pour obtenir , et à pour obtenir . Puisque et sont sur les mêmes droites parallèles, leurs images et seront respectivement sur les mêmes droites.

On va donc construire et de la manière suivante :

1. Tracer un vecteur $\vec{AA'}$ qui correspond à la translation.
2. Appliquer ce vecteur de translation $\vec{AA'}$ au point pour obtenir , de telle manière que
$\vec{BB'}\,=\,\vec{AA'}.$
3. De même, appliquer le vecteur de translation $\vec{AA'}$ au point pour obtenir , de telle manière que
$\vec{CC'}\,=\,\vec{AA'}.$

En termes de coordonnées, si a des coordonnées $(x'%2C\,y')$ telles que
$A'\,=\,A\,%2B\,\vec{t}%2C$
alors aura des coordonnées $(x_B\,%2B\,\vec{t_x}%2C\,y_B\,%2B\,\vec{t_y})$ , et aura des coordonnées $(x_C\,%2B\,\vec{t_x}%2C\,y_C\,%2B\,\vec{t_y})$ , où $\vec{t}\,=\,(\,\vec{t_x}%2C\,\vec{t_y})$ est le vecteur de translation.

En résumé, pour obtenir et :
$B'\,=\,B\,%2B\,\vec{t}\,\quad\,et\,\quad\,C'\,=\,C\,%2B\,\vec{t}.$

Les points et seront donc obtenus par la projection des points et suivant la translation donnée par $\vec{AA'}$ et ils resteront sur les droites parallèles correspondantes et .

Exercice 5 : quadrillage et translation
$Correction\,de\,l'exercice\,%3A$

Reproduire cette figure sur un quadrillage.

Tracer la figure $\mathscr{P_1$, symétrique de la figure $\mathscr{P}$ par rapport au point O.}

Pour tracer la symétrie par rapport au point O, chaque point de la figure $\mathscr{P}$ doit être reporté symétriquement de l’autre côté de O.

\begin{itemize}
Le point A se trouve à gauche de O. Pour la symétrie, le point correspondant, noté $A’$, sera à la droite de O, à la même distance que A.
Les autres points de la figure $\mathscr{P}$ doivent également être reportés en utilisant le même principe.

\end{itemize}
$\begin{array}{c}%0D%0AA'\,=\,(-1%2C\,-1)\,\\%0D%0AB'\,=\,(-3%2C\,-3)\,\\%0D%0AE'\,=\,(-2%2C\,3)\,\\%0D%0AF'\,=\,(-5%2C\,2)%0D%0A\end{array}$

Tracer la figure $\mathscr{P_2$, symétrique de la figure $\mathscr{P}$ par rapport à la droite (EF).}

Pour la symétrie par rapport à une droite, chaque point de la figure $\mathscr{P}$ doit être reporté symétriquement de l’autre côté de la droite (EF).

\begin{itemize}
Le point A est en bas de la droite (EF). Pour la symétrie, le point correspondant, noté $A »$, sera en haut de la droite (EF), à la même distance que A.
Les autres points de la figure $\mathscr{P}$ doivent également être reportés en utilisant le même principe.

\end{itemize}
$\begin{array}{c}%0D%0AA''\,=\,(2%2C1)\,\\%0D%0AB''\,=\,(5%2C5)\,\\%0D%0AO''\,=\,(6%2C1)%0D%0A\end{array}$

Tracer la figure $\mathscr{P_3$ image de la figure $\mathscr{P}$ par la translation qui transforme A en B.}

Une translation qui transforme A en B signifie que chaque point de la figure $\mathscr{P}$ doit être déplacé de la même manière qu’A est déplacé vers B.
\begin{equation}
B – A = ( B_x – A_x, B_y – A_y )
\end{equation}
$B\,-\,A\,=\,(1-(-1)%2C\,1-(-1))\,=\,(2%2C\,2)$

\begin{itemize}
Chaque point $P$ de la figure $\mathscr{P}$ est déplacé selon le vecteur $(2,2)$.
$\begin{array}{c}%0D%0AA'\,=\,(A_x\,%2B\,2%2C\,A_y\,%2B\,2)\,=\,(-1\,%2B\,2%2C\,-1\,%2B\,2)\,=\,(1%2C\,1)\,\\%0D%0AB'\,=\,(B_x\,%2B\,2%2C\,B_y\,%2B\,2)\,=\,(1\,%2B\,2%2C\,1\,%2B\,2)\,=\,(3%2C\,3)\,\\%0D%0AO'\,=\,(O_x\,%2B\,2%2C\,O_y\,%2B\,2)\,=\,(1\,%2B\,2%2C\,-1\,%2B\,2)\,=\,(3%2C\,1)%0D%0A\end{array}$
Recaler tous les points par translation.

\end{itemize}

$\boxed{%0D%0A%0D%0A%26\,Points\,transformes\,%3A\,\,\\%0D%0A%26\,A'\,=\,(1%2C\,1)\,\\%0D%0A%26\,B'\,=\,(3%2C\,3)\,\\%0D%0A%26\,O'\,=\,(3%2C\,1)%0D%0A%0D%0A}$

Exercice 6 : utiliser les propriétés de la translation
1.

a. Pour construire le rectangle ABCD tel que :
$AB\,=\,4\,\,cm%2C\,\%2C\,BC\,=\,3\,\,cm%2C\,\%2C\,AC\,=\,5\,\,cm$ :

Dessiner un triangle ABC tel que :
$AB\,=\,4\,\,cm%2C\,\%2C\,BC\,=\,3\,\,cm%2C\,\%2C\,AC\,=\,5\,\,cm$ .

Ensuite, tracer les perpendiculaires à et passant par . Leur intersection avec le prolongement des côtés et formera les points et .

Finalement, compléter le rectangle ABCD en traçant les segments et .

b. Pour construire le rectangle obtenu par la translation qui transforme en :

Effectuer une translation de vecteur $\vec{DB}$ aux points $A%2C\,B$ et . On obtient ainsi les points $A'%2C\,B'$ , et .

2. Sans mesurer, donner les longueurs demandées :

a. est égale à donc $BA'\,=\,3\,\,cm$ .

b. est égale à donc $A'C'\,=\,4\,\,cm$ .

c. est égale à car est translaté en donc $BC'\,=\,5\,\,cm$ .

d. est égale à donc $A'B'\,=\,4\,\,cm$ .

Exercice 7 : translation et bateaux
a. Peut-on trouver deux bateaux qui se correspondent :

– par une symétrie axiale ? Non, aucune paire de bateaux ne se correspond par une symétrie axiale.
– par une symétrie centrale ? Non, aucune paire de bateaux ne se correspond par une symétrie centrale.

b. On considère la translation qui amène le bateau A4 sur le bateau B3. Quel bateau correspond à

$A5\,\to\,B4$
$B4\,\to\,C3$

c. On considère la translation qui amène le bateau C3 sur le bateau B2. Quelle est l’image de

$B4\,\to\,A3$
$B2\,\to\,A1$

d. On considère la translation qui transforme A4 en A2. Quel bateau a pour image

$B2\,\to\,B4$
$A3\,\to\,A5$

Exercice 8 : pavage et translation
a. Dans la translation qui transforme A en H :

– L’image de la pièce n°13 est la pièce n°25.
– L’image de la pièce n°6 est la pièce n°18.
– L’image de la pièce n°15 est la pièce n°27.
– L’image de la pièce n°1 est la pièce n°13.

b. Dans la translation qui transforme H en A :

– L’image de la pièce n°25 est la pièce n°13.
– L’image de la pièce n°18 est la pièce n°6.
– L’image de la pièce n°23 est la pièce n°11.
– L’image de la pièce n°20 est la pièce n°8.

Exercice 9 : triangle et translation
Pour le triangle dans l’image a :

1. Translation de en :
– Vecteur de translation : $\vec{AB}\,=\,(3%2C\,2)$
– Image de : $A'\,=\,B\,=\,(4%2C\,3)$
– Image de : $B'\,=\,(4\,%2B\,3%2C\,3\,%2B\,2)\,=\,(7%2C\,5)$
– Image de : $C'\,=\,(7\,%2B\,3%2C\,5\,%2B\,2)\,=\,(10%2C\,7)$
– Image du triangle en rouge : Sommets $(4%2C\,3)%2C\,(7%2C\,5)%2C\,(10%2C\,7)$

2. Translation de en :
– Vecteur de translation : $\vec{CD}\,=\,(2%2C\,-2)$
– Image de : $C'\,=\,D\,=\,(5%2C\,3)$
– Image de : $A'\,=\,(1\,%2B\,2%2C\,1\,-\,2)\,=\,(3%2C\,-1)$
– Image de : $B'\,=\,(7\,%2B\,2%2C\,5\,-\,2)\,=\,(9%2C\,3)$
– Image du triangle en vert : Sommets $(3%2C\,-1)%2C\,(4%2C\,3)%2C\,(5%2C\,3)$

Pour le triangle dans l’image b :

1. Translation de en :
– Vecteur de translation : $\vec{AB}\,=\,(3%2C\,-3)$
– Image de : $A'\,=\,B\,=\,(4%2C\,2)$
– Image de : $B'\,=\,(4\,%2B\,3%2C\,2\,-\,3)\,=\,(7%2C\,-1)$
– Image de : $C'\,=\,(8\,%2B\,3%2C\,7\,-\,3)\,=\,(11%2C\,5)$
– Image du triangle en rouge : Sommets $(4%2C\,2)%2C\,(7%2C\,-1)%2C\,(11%2C\,5)$

2. Translation de en :
– Vecteur de translation : $\vec{CD}\,=\,(-4%2C\,-4)$
– Image de : $C'\,=\,D\,=\,(2%2C\,2)$
– Image de : $A'\,=\,(3\,-\,4%2C\,2\,-\,4)\,=\,(-1%2C\,-2)$
– Image de : $B'\,=\,(4\,-\,4%2C\,-1\,-\,4)\,=\,(0%2C\,-5)$
– Image du triangle en vert : Sommets $(-1%2C\,-2)%2C\,(0%2C\,-5)%2C\,(2%2C\,2)$

En résumé :

Pour le triangle dans l’image a :
– Translation de en en rouge :
$A'(4%2C\,3)%2C\,B'(7%2C\,5)%2C\,C'(10%2C\,7)$
– Translation de en en vert :
$A'(3%2C\,-1)%2C\,B'(4%2C\,3)%2C\,C'(5%2C\,3)$

Pour le triangle dans l’image b :
– Translation de en en rouge :
$A'(4%2C\,2)%2C\,B'(7%2C\,-1)%2C\,C'(11%2C\,5)$
– Translation de en en vert :
$A'(-1%2C\,-2)%2C\,B'(0%2C\,-5)%2C\,C'(2%2C\,2)$

Exercice 10 : construire l’image par translation
Soit $\vec{u}\,=\,\vec{AB}$ et $\vec{v}\,=\,\vec{BC}$ .\\

a. Le vecteur de translation pour transformer en est $\vec{AB}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,2\,\end{pmatrix}$ .

Pour trouver , on applique cette translation au point :
$\vec{CD}\,=\,\vec{AB}$
$D\,=\,C\,%2B\,\vec{AB}$
$D\,=\,\begin{pmatrix}\,5\,\\\,6\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,2\,\end{pmatrix}$
$D\,=\,\begin{pmatrix}\,8\,\\\,8\,\end{pmatrix}$

Le vecteur de translation pour transformer en est $\vec{BC}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,4\,\end{pmatrix}$ .

Pour trouver , on applique cette translation au point :
$\vec{AE}\,=\,\vec{BC}$
$E\,=\,A\,%2B\,\vec{BC}$
$E\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,1\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,4\,\end{pmatrix}$
$E\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,5\,\end{pmatrix}$

b. Le vecteur de translation pour transformer en est $\vec{AB}\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,3\,\end{pmatrix}$ .

Pour trouver , on applique cette translation au point :
$\vec{CD}\,=\,\vec{AB}$
$D\,=\,C\,%2B\,\vec{AB}$
$D\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,5\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,3\,\end{pmatrix}$
$D\,=\,\begin{pmatrix}\,5\,\\\,8\,\end{pmatrix}$

Le vecteur de translation pour transformer en est $\vec{BC}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,-2\,\end{pmatrix}$ .

Pour trouver , on applique cette translation au point :
$\vec{AE}\,=\,\vec{BC}$
$E\,=\,A\,%2B\,\vec{BC}$
$E\,=\,\begin{pmatrix}\,2\,\\\,2\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,-2\,\end{pmatrix}$
$E\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,0\,\end{pmatrix}$

c. Le vecteur de translation pour transformer en est $\vec{AB}\,=\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,2\,\end{pmatrix}$ .

Pour trouver , on applique cette translation au point :
$\vec{CD}\,=\,\vec{AB}$
$D\,=\,C\,%2B\,\vec{AB}$
$D\,=\,\begin{pmatrix}\,-1\,\\\,3\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,2\,\end{pmatrix}$
$D\,=\,\begin{pmatrix}\,-3\,\\\,5\,\end{pmatrix}$

Le vecteur de translation pour transformer en est $\vec{BC}\,=\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,-2\,\end{pmatrix}$ .

Pour trouver , on applique cette translation au point :
$\vec{AE}\,=\,\vec{BC}$
$E\,=\,A\,%2B\,\vec{BC}$
$E\,=\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,1\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,-2\,\end{pmatrix}$
$E\,=\,\begin{pmatrix}\,-4\,\\\,-1\,\end{pmatrix}$

d. Le vecteur de translation pour transformer en est $\vec{AB}\,=\,\begin{pmatrix}\,4\,\\\,1\,\end{pmatrix}$ .

Pour trouver , on applique cette translation au point :
$\vec{CD}\,=\,\vec{AB}$
$D\,=\,C\,%2B\,\vec{AB}$
$D\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,-2\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,4\,\\\,1\,\end{pmatrix}$
$D\,=\,\begin{pmatrix}\,7\,\\\,-1\,\end{pmatrix}$

Le vecteur de translation pour transformer en est $\vec{BC}\,=\,\begin{pmatrix}\,-4\,\\\,-3\,\end{pmatrix}$ .

Pour trouver , on applique cette translation au point :
$\vec{AE}\,=\,\vec{BC}$
$E\,=\,A\,%2B\,\vec{BC}$
$E\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,2\,\end{pmatrix}\,%2B\,\begin{pmatrix}\,-4\,\\\,-3\,\end{pmatrix}$
$E\,=\,\begin{pmatrix}\,-3\,\\\,-1\,\end{pmatrix}$

Exercice 11 : l’image d’un bateau par translation
a. Pour déterminer la translation qui transforme en , nous devons calculer le vecteur de translation $\vec{KP}$ .

Notons les coordonnées de et :
$K(3%2C\,6)$
$P(10%2C\,9)$

Le vecteur de translation $\vec{KP}$ se calculera comme suit :
$\vec{KP}\,=\,P\,-\,K\,=\,(10\,-\,3%2C\,9\,-\,6)\,=\,(7%2C\,3)$

On applique ce vecteur à chaque sommet du bateau pour obtenir les nouvelles coordonnées. Par exemple, pour un sommet $A(x%2C\,y)$ , l’image sera $A'(x\,%2B\,7%2C\,y\,%2B\,3)$ .

b. De même, pour la deuxième translation, nous devons déterminer le vecteur qui transforme en .

Notons les coordonnées de :
$L(3%2C\,1)$

Le vecteur de translation $\vec{LP}$ se calculera comme suit :
$\vec{LP}\,=\,P\,-\,L\,=\,(10\,-\,3%2C\,9\,-\,1)\,=\,(7%2C\,8)$

On applique ce vecteur à chaque sommet du bateau pour obtenir les nouvelles coordonnées. Par exemple, pour un sommet $A(x%2C\,y)$ , l’image sera $A'(x\,%2B\,7%2C\,y\,%2B\,8)$ .

Exercice 12 : l’image d’un polygone par translation
a. Soit $\vec{v}$ le vecteur de translation qui transforme en . En appliquant cette translation à chaque point du hexagone ABCDEF , nous obtenons le nouvel hexagone tel que:
$A'\,=\,A%2C$
$B'\,=\,A%2C$
$C'\,=\,C\,%2B\,\vec{v}%2C$
$D'\,=\,D\,%2B\,\vec{v}%2C$
$E'\,=\,E\,%2B\,\vec{v}%2C$
$F'\,=\,F\,%2B\,\vec{v}.$

b. Soit $\vec{w}$ le vecteur de translation qui transforme en . En appliquant cette translation à chaque point du hexagone ABCDEF , nous obtenons le nouvel hexagone tel que:
$A''\,=\,E%2C$
$B''\,=\,B\,%2B\,\vec{w}%2C$
$C''\,=\,C\,%2B\,\vec{w}%2C$
$D''\,=\,D\,%2B\,\vec{w}%2C$
$E''\,=\,E\,%2B\,\vec{w}%2C$
$F''\,=\,F\,%2B\,\vec{w}.$

c. En répétant ces translations sur les nouveaux hexagones obtenus, on poursuit le dessin en traçant d’autres hexagones selon les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{w}$ .

d. Le dessin obtenu est une frise, plus particulièrement un motif de frise périodique.

$\begin{tikzpicture}%0D%0A\coordinate\,(A)\,at\,(1%2C0)%3B%0D%0A\coordinate\,(B)\,at\,(0%2C0)%3B%0D%0A\coordinate\,(C)\,at\,(1%2C-1)%3B%0D%0A\coordinate\,(D)\,at\,(0%2C-1)%3B%0D%0A\coordinate\,(E)\,at\,(2%2C-1)%3B%0D%0A\coordinate\,(F)\,at\,(1%2C-2)%3B%0D%0A%0D%0A\draw\,(B)\,--\,(A)\,--\,(E)\,--\,(F)\,--\,(D)\,--\,(C)\,--\,cycle%3B%0D%0A%0D%0A\coordinate\,(Ap)\,at\,(2%2C0)%3B%0D%0A\coordinate\,(Bp)\,at\,(1%2C0)%3B%0D%0A\coordinate\,(Cp)\,at\,(2%2C-1)%3B%0D%0A\coordinate\,(Dp)\,at\,(1%2C-1)%3B%0D%0A\coordinate\,(Ep)\,at\,(3%2C-1)%3B%0D%0A\coordinate\,(Fp)\,at\,(2%2C-2)%3B%0D%0A%0D%0A\draw%5Bdashed%5D\,(Bp)\,--\,(Ap)\,--\,(Ep)\,--\,(Fp)\,--\,(Dp)\,--\,(Cp)\,--\,cycle%3B%0D%0A%0D%0A\coordinate\,(A2)\,at\,(3%2C0)%3B%0D%0A\coordinate\,(B2)\,at\,(2%2C0)%3B%0D%0A\coordinate\,(C2)\,at\,(3%2C-1)%3B%0D%0A\coordinate\,(D2)\,at\,(2%2C-1)%3B%0D%0A\coordinate\,(E2)\,at\,(4%2C-1)%3B%0D%0A\coordinate\,(F2)\,at\,(3%2C-2)%3B%0D%0A%0D%0A\draw%5Bdashed%5D\,(B2)\,--\,(A2)\,--\,(E2)\,--\,(F2)\,--\,(D2)\,--\,(C2)\,--\,cycle%3B%0D%0A%0D%0A\end{tikzpicture}$

Exercice 13 : déterminer une translation
a. Par la translation qui transforme en , les autres points du quadrilatère se transforment comme suit :
Soit $\vec{u}$ le vecteur de translation tel que $\vec{u}\,=\,\vec{D\,D'}$ .
Le point se transforme en un point tel que :
$C'\,=\,C\,%2B\,\vec{D\,D'}$

De même, le point se transforme en un point :
$B'\,=\,B\,%2B\,\vec{D\,D'}$

Enfin, le point se transforme en un point :
$A'\,=\,A\,%2B\,\vec{D\,D'}$

b. Par la translation qui transforme en , les autres points du quadrilatère se transforment comme suit :
Soit $\vec{v}$ le vecteur de translation tel que $\vec{v}\,=\,\vec{B\,D}$ .
Le point se transforme en un point :
$C'\,=\,C\,%2B\,\vec{B\,D}$

De même, le point se transforme en un point :
$A'\,=\,A\,%2B\,\vec{B\,D}$

Enfin, le point se transforme en un point :
$D'\,=\,D\,%2B\,\vec{B\,D}$

Exercice 14 : polygone transformé
a. La translation qui transforme en conduit aux images suivantes pour les autres points:
– devient
– devient
– devient
– devient

En traçant les segments , nous obtenons le polygone transformé.

b. Le quadrilatère BB'D'D est un parallélogramme car les segments BB' et DD' sont parallèles et de même longueur, tout comme les segments B'D' et .

c. Toutes les translations qui ont le même vecteur de translation que $\vec{DD'}$ transformeront ABCDE en . En d’autres termes, toute translation suivant $\vec{DD'}$ transportera chaque point de ABCDE à la même distance et direction donnée par $\vec{DD'}$ .

d. Le quadrilatère CC'B'B est également un parallélogramme car les segments CC' et BB' sont parallèles et de même longueur, tout comme les segments C'B' et .

e. La translation qui transforme en ABCDE est l’inverse de celle qui transforme en . Si la translation originale est définie par le vecteur $\vec{DD'}$ , alors la translation inverse est définie par le vecteur $\vec{D'D}$ .

Exercice 15 : figure composée de cercles
a. La translation qui transforme en O_1 déplace l’objet de de telle sorte que O_1 devienne le nouveau centre de l’image F_1 . Les rayons ne changent pas, donc les deux cercles (de rayons 3 cm et 3,5 cm) sont simplement déplacés.

Ensuite, la translation qui transforme O_1 en O_2 déplace F_1 vers F_2 .

Enfin, pour obtenir l’image finale de , nous appliquons la translation qui transforme en O_2 .

b. Pour montrer que est le milieu de :

1. La translation de O_1 vers suivie de la translation de vers O_4 est équivalente à une translation directe de O_1 vers O_4 .
2. De même, la translation de O_2 vers suivie de la translation de vers O_3 est équivalente à une translation directe de O_2 vers O_3 .
3. Si est le point d’intersection des deux translations, cela implique que la distance à O_3 est égale à la distance de à O_4 .

En utilisant ces relations, nous pouvons dire que est le milieu segment :
$\overline{OO_3}\,=\,\overline{OO_4}$

c. Complète puis colorie cette figure pour que le titre ait un sens !

– Pour compléter cette figure, vous pouvez ajouter les translations sur un graphique.
– Une fois les translation ajoutées (de à O_1 , O_1 à O_2 et de O_2 à O_3 ), vous coloriez les cercles obtenus.

Exercice 16 : translation et construction d’images
a. Pour obtenir , l’image de par la translation qui transforme en :

1. La translation qui transforme (situé à (1%2C3) ) en (situé à (3%2C5) ) est de vecteur $\vec{AC}\,=\,(3-1%2C\,5-3)\,=\,(2%2C2)$ .
2. est situé à (2%2C1) .
3. L’image de par cette translation est situé à $(2%2B2%2C\,1%2B2)\,=\,(4%2C3)$ .

Donc est en (4, 3).

b. Pour obtenir , l’image de par la translation qui transforme en :

1. La translation qui transforme (situé à (2%2C1) ) en (situé à (4%2C3) ) est de vecteur $\vec{GF}\,=\,(4-2%2C\,3-1)\,=\,(2%2C2)$ .
2. est situé à (1%2C3) .
3. L’image de par cette translation est situé à $(1%2B2%2C\,3%2B2)\,=\,(3%2C5)$ .

Donc est en (3, 5).

c. Pour obtenir , l’image de par la translation qui transforme en :

1. La translation qui transforme (situé à (3%2C3) ) en (situé à (1%2C4) ) est de vecteur $\vec{KJ}\,=\,(1-3%2C\,4-3)\,=\,(-2%2C1)$ .
2. est situé à (2%2C1) .
3. L’image de par cette translation est situé à $(2-2%2C\,1%2B1)\,=\,(0%2C2)$ .

Donc est en (0, 2).

d. Pour obtenir , l’image de par la translation qui transforme en :

1. La translation qui transforme (situé à (1%2C2) ) en (situé à (2%2C4) ) est de vecteur $\vec{MO}\,=\,(2-1%2C\,4-2)\,=\,(1%2C2)$ .
2. est situé à (2%2C1) .
3. L’image de par cette translation est situé à $(2%2B1%2C\,1%2B2)\,=\,(3%2C3)$ .

Donc est en (3, 3).

Exercice 17 : construire l’image d’un triangle par translation
a. Pour construire l’image du triangle par la translation qui transforme en :

Le vecteur de translation $\vec{AB}$ a pour coordonnées $\mathbf{u}\,=\,(\Delta\,x%2C\,\Delta\,y)$ où :

$\Delta\,x\,=\,x_B\,-\,x_A$
$\Delta\,y\,=\,y_B\,-\,y_A$

En comptant les unités sur la grille, on obtient les coordonnées de : (2%2C4) et celles de : (6%2C8) .

Ainsi,

$\Delta\,x\,=\,2\,-\,6\,=\,-4$
$\Delta\,y\,=\,4\,-\,8\,=\,-4$

Le vecteur de translation $\vec{AB}$ est donc $(-4%2C\,-4)$ . En appliquant ce vecteur aux sommets du triangle, on obtient les nouvelles positions :

Pour le sommet $A\,(6%2C8)$ :

$A'\,=\,(6\,%2B\,(-4)%2C\,8\,%2B\,(-4))\,=\,(2%2C\,4)$

Représentons par puisque par définition de cette translation, est déplacé sur .

Pour les autres sommets :
Soit $D\,(5%2C\,5.5)$

$D'\,=\,(5\,%2B\,(-4)%2C\,5.5\,%2B\,(-4))\,=\,(1%2C\,1.5)$

Et soit $E\,(4%2C\,7)$

$E'\,=\,(4\,%2B\,(-4)%2C\,7\,%2B\,(-4))\,=\,(0%2C\,3)$

Le nouveau triangle après translation $\vec{AB}$ est donc les points $B%2C\,D'%2C\,E'$ en bleu .

b. Pour construire l’image du triangle par la translation qui transforme en :

Le vecteur de translation $\vec{AC}$ a pour coordonnées :

$\Delta\,x\,=\,x_C\,-\,x_A$
$\Delta\,y\,=\,y_C\,-\,y_A$

En comptant les unités sur la grille, on obtient les coordonnées de : (4%2C3) et celles de : (6%2C8) .

Ainsi,

$\Delta\,x\,=\,4\,-\,6\,=\,-2$
$\Delta\,y\,=\,3\,-\,8\,=\,-5$

Le vecteur de translation $\vec{AC}$ est donc $(-2%2C\,-5)$ . En appliquant ce vecteur aux sommets du triangle, on obtient les nouvelles positions :

Pour le sommet $A\,(6%2C8)$ :

$A'\,=\,(6\,%2B\,(-2)%2C\,8\,%2B\,(-5))\,=\,(4%2C\,3)$

Représentons par puisque par définition de cette translation est déplacé sur .

Pour les autres sommets :
Soit $D\,(5%2C\,5.5)$ :

$D'\,=\,(5\,%2B\,(-2)%2C\,5.5\,%2B\,(-5))\,=\,(3%2C\,0.5)$

Et soit $E\,(4%2C\,7)$ :

$E'\,=\,(4\,%2B\,(-2)%2C\,7\,%2B\,(-5))\,=\,(2%2C\,2)$

Le nouveau triangle après translation $\vec{AC}$ est donc les points $C%2C\,D'%2C\,E'$ en rouge .

Exercice 18 : construire des images par translation
Correction de l’exercice :

1. Point , image de par la translation qui transforme en :

La translation transforme en , donc le vecteur de translation est $\vec{AC}$ .

Pour trouver , nous appliquons ce même vecteur à :
$D\,=\,B\,%2B\,\vec{AC}$

2. Point , image de par la translation qui transforme en :

La translation transforme en , donc le vecteur de translation est $\vec{CB}$ .

Pour trouver , nous appliquons ce même vecteur à :
$E\,=\,A\,%2B\,\vec{CB}$

3. Point , image de par la translation qui transforme en :

La translation transforme en , donc le vecteur de translation est $\vec{BA}$ .

Pour trouver , nous appliquons ce même vecteur à :
$F\,=\,C\,%2B\,\vec{BA}$

Exercice 19 : la translation qui transforme E en F
Pour résoudre cet exercice, nous devons appliquer la translation qui transforme le point en aux autres points , , , et .

1. Déterminons d’abord le vecteur de translation $\vec{EF}$ .
– Coordonnées de : (5, 4)
– Coordonnées de : (5, 2)

Le vecteur de translation $\vec{EF}$ est donné par :
$\vec{EF}\,=\,(5\,-\,5%2C\,2\,-\,4)\,=\,(0%2C\,-2)$

2. Appliquons cette translation à chaque point.

– Pour $A\,(2%2C\,7)$ :
$A'\,=\,A\,%2B\,\vec{EF}\,=\,(2%2C\,7)\,%2B\,(0%2C\,-2)\,=\,(2%2C\,5)$
– Pour $B\,(3%2C\,5)$ :
$B'\,=\,B\,%2B\,\vec{EF}\,=\,(3%2C\,5)\,%2B\,(0%2C\,-2)\,=\,(3%2C\,3)$
– Pour $C\,(2%2C\,1)$ :
$C'\,=\,C\,%2B\,\vec{EF}\,=\,(2%2C\,1)\,%2B\,(0%2C\,-2)\,=\,(2%2C\,-1)$
– Pour $D\,(5%2C\,7)$ :
$D'\,=\,D\,%2B\,\vec{EF}\,=\,(5%2C\,7)\,%2B\,(0%2C\,-2)\,=\,(5%2C\,5)$
– Pour $E\,(5%2C\,4)$ :
$E'\,=\,E\,%2B\,\vec{EF}\,=\,(5%2C\,4)\,%2B\,(0%2C\,-2)\,=\,(5%2C\,2)$
– Pour $F\,(5%2C\,2)$ :
$F'\,=\,F\,%2B\,\vec{EF}\,=\,(5%2C\,2)\,%2B\,(0%2C\,-2)\,=\,(5%2C\,0)$

Les coordonnées des points après translation sont donc :

$A'\,=\,(2%2C\,5)%2C\,\quad\,B'\,=\,(3%2C\,3)%2C\,\quad\,C'\,=\,(2%2C\,-1)%2C\,\quad\,D'\,=\,(5%2C\,5)%2C\,\quad\,E'\,=\,(5%2C\,2)%2C\,\quad\,F'\,=\,(5%2C\,0)$

Exercice 20 : construire l’image de la figure par translation
La translation qui transforme le point en le point est une translation de vecteur $\vec{RP}$ .

Pour déterminer le vecteur $\vec{RP}$ , observons le déplacement depuis vers . On constate un déplacement de quatre unités à droite et trois unités vers le bas.

Le vecteur de translation est donc $\vec{RP}\,=\,(4%2C\,-3)$ .

Pour translater la figure par ce vecteur, chaque sommet de la figure initiale doit être déplacé de ce vecteur. Prenons chaque sommet de la figure et appliquons la translation:

1. Déplacer chaque point de la figure d’origine de 4 unités vers la droite.
2. Déplacer ensuite chaque point de 3 unités vers le bas.

Trace ensuite l’image de la figure en bleu sur le grillage. Les sommets de l’image se trouvent aux coordonnées suivantes après translation:

– Si un sommet de la figure initiale est en ( x_1 , y_1 ), alors après translation, ce sommet se trouve en $(x_1\,%2B\,4%2C\,y_1\,-\,3)$ .

Par exemple, si un sommet de la figure initiale est en (1, 3), après translation il se retrouve en $(1\,%2B\,4%2C\,3\,-\,3)\,=\,(5%2C\,0)$ .

Dessine l’ensemble de ces points déplacés et connecte-les de la même manière qu’ils le sont dans la figure initiale pour obtenir l’image translatée en bleu.

Utilise une règle et un crayon bleu pour obtenir un tracé précis de la figure translatée sur le même grillage.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : translation d’un quadrilatère
Soit $\vec{u}$ le vecteur de translation.

1. Pour trouver le point :
Le point est transformé en par la même translation qui transforme en .
Par conséquent, le vecteur $\vec{MN}$ est égal au vecteur $\vec{PR}$ .
Donc, $\vec{PR}\,=\,\vec{MN}$ .
Ainsi, les coordonnées de seront trouvées en ajoutant le vecteur $\vec{MN}$ aux coordonnées de .

2. Pour trouver le point :
Le point est transformé en par la translation qui transforme en .
Donc, le vecteur $\vec{MP}$ est égal au vecteur $\vec{QS}$ .
Par conséquent, $\vec{QS}\,=\,\vec{MP}$ .
De ce fait, les coordonnées de sont obtenues en ajoutant le vecteur $\vec{MP}$ aux coordonnées de .

3. Pour trouver le point :
Le point est tel que est l’image de par la translation qui place en .
Donc, le vecteur $\vec{PT}$ doit être égal au vecteur $\vec{NT}$ .
Par conséquent, $\vec{PT}\,=\,\vec{NT}$ .
Les coordonnées de seront obtenues par l’application de la translation inverse des coordonnées de par le vecteur $\vec{TP}$ .

Formellement, les corrections peuvent être notées comme suit :

1. Pour :
$R\,=\,P\,%2B\,\vec{MN}$

2. Pour :
$S\,=\,Q\,%2B\,\vec{MP}$

3. Pour :
$T\,=\,N\,%2B\,\vec{TP}$

où:
$\vec{MN}\,=\,N\,-\,M$
$\vec{MP}\,=\,P\,-\,M$
$\vec{TP}\,=\,P\,-\,T$

Exercice 22 : quadrillage et transformation
Pour commencer, déterminons le vecteur de translation qui permet de transformer le point en .

$\vec{u}\,=\,\vec{AB}$

Le point est situé à $(3%2C\,1)$ et le point est situé à $(6%2C\,4)$ . Le vecteur de translation $\vec{u}$ peut être calculé ainsi :
$\vec{u}\,=\,B\,-\,A\,=\,(6\,-\,3%2C\,4\,-\,1)\,=\,(3%2C\,3)$

Ensuite, nous appliquons cette translation $\vec{u}$ à chaque sommet de la figure bleue initiale pour obtenir sa nouvelle position.

Pour clarity, consider the coordinates of the vertices of the blue figure relative to point . We apply the translation $\vec{u}$ = (3, 3) to these vertices.

Next, we determine the translation that transforms the point into .

$\vec{v}\,=\,\vec{AC}$

Le point est situé à $(3%2C\,1)$ et le point est situé à $(1%2C\,4)$ .
Le vecteur de translation $\vec{v}$ peut être calculé comme suit :
$\vec{v}\,=\,C\,-\,A\,=\,(1\,-\,3%2C\,4\,-\,1)\,=\,(-2%2C\,3)$

Nous appliquons ensuite cette translation $\vec{v}\,=\,(-2%2C\,3)$ à chaque sommet de la figure bleue initiale pour obtenir la nouvelle position de la figure transformée par $\vec{v}$ .

Enfin, cette méthode permet de construire l’image en deux étapes :
1. L’image de la figure bleue par translation selon $\vec{u}$ $(3%2C\,3)$ .
2. L’image de la figure bleue par translation selon $\vec{v}$ $(-2%2C\,3)$ .

Représentons ces étapes graphiquement dans le même repère pour vérifier les résultats.

$Etape\,1\,%3A\,Application\,de\,\,\vec{u}\,%3A\,La\,figure\,se\,deplace\,de\,\,(3%2C\,3).$
$Etape\,2\,%3A\,Application\,de\,\,\vec{v}\,%3A\,La\,figure\,se\,deplace\,de\,\,(-2%2C\,3).$

En superposant ces figures, nous pouvons observer les transformations successives demandées dans l’exercice.

Exercice 23 : figure image par translation
a. $ED\,=\,1%2C5\,\%2C\,cm$ donc $E'D'\,=\,1%2C5\,\%2C\,cm$

car une translation conserve les distances.

b. $\widehat{BAI}\,=\,45^\circ$ donc $\widehat{B'A'I'}\,=\,45^\circ$

car une translation conserve les angles.

Exercice 24 : propriétés de la translation
a. Complète le tableau suivant.

Point | Image
—— | —–
R | B
A | O
M | L
I | E

Justification:
– Le quadrilatère BELO est l’image du quadrilatère RAMI par une translation. Les sommets correspondants sont donc les images les uns des autres par cette translation.

b. Quelle est la longueur du segment ?

Puisque est l’image du segment par la translation, les longueurs des segments correspondants sont égales.

$%5BRI%5D\,=\,BE\,=\,4%2C2\,\,cm$

Exercice 25 : chercher une translation
a. Commençons par déterminer les translations.

1. Translation de l’avion (initial) vers l’avion :

La translation qui transforme en se trouve en observant les coordonnées des points et .

Coordonnées de : (7, 3)

Coordonnées de : (12, 1)

Pour aller de à , le vecteur de translation $\vec{AB}$ est :
$\vec{AB}\,=\,(12\,-\,7%2C\,1\,-\,3)\,=\,(5%2C\,-2)$

Donc, la translation pour obtenir l’avion est de $(5%2C\,-2)$ .

2. Translation de l’avion (initial) vers l’avion :

La translation qui transforme en se trouve également par les coordonnées des points et .

Coordonnées de : (7, 3)

Coordonnées de : (1, 5)

Pour aller de à , le vecteur de translation $\vec{AC}$ est :
$\vec{AC}\,=\,(1\,-\,7%2C\,5\,-\,3)\,=\,(-6%2C\,2)$

Donc, la translation pour obtenir l’avion est de $(-6%2C\,2)$ .

b. Pour passer de l’avion à l’avion , trouvons le vecteur de translation entre et .

Vecteur $\vec{BC}$ :
$\vec{BC}\,=\,\vec{BA}\,%2B\,\vec{AC}$

De à :
$\vec{BA}\,=\,-\vec{AB}\,=\,(-5%2C\,2)$

De à :
$\vec{AC}\,=\,(-6%2C\,2)$

Donc,:
$\vec{BC}\,=\,(-5%2C\,2)\,%2B\,(-6%2C\,2)\,=\,(-11%2C\,4)$

La translation qui permet de passer de l’avion à l’avion est donc de $(-11%2C\,4)$ .

Exercice 26 : translation d’un triangle
1. La construction en vraie grandeur est déjà fournie dans l’image, nous procédons donc aux calculs.

2. Pour calculer l’aire totale de la figure (le triangle rectangle et le quart de cercle),
$Aire\,du\,triangle\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,AC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\%2C\,cm\,\times \,6\,\%2C\,cm\,=\,12\,\%2C\,cm^2$
$Aire\,du\,quart\,de\,cercle\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,\pi\,\times \,(AB)^2\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,\pi\,\times \,(4\,\%2C\,cm)^2\,=\,4\pi\,\%2C\,cm^2$
$Aire\,totale\,=\,12\,\%2C\,cm^2\,%2B\,4\pi\,\%2C\,cm^2\,\approx\,12\,\%2C\,cm^2\,%2B\,12.57\,\%2C\,cm^2\,=\,24.57\,\%2C\,cm^2$
En arrondissant au cm², l’aire totale est donc,
$Aire\,totale\,\approx\,25\,\%2C\,cm^2$

3. La mesure de l’angle $\widehat{BCA}$ est indiquée comme $33.7^\circ$ , déjà fournie dans l’image.

4. Pour trouver l’aire de la figure image (dilatée par un facteur 1.5),
$Facteur\,de\,dilatation\,=\,1.5$
L’aire étant proportionnelle au carré du facteur de dilatation,
$Nouvelle\,aire\,=\,(Aire\,originale)\,\times \,(1.5)^2\,=\,25\,\%2C\,cm^2\,\times \,2.25\,\approx\,56.25\,\%2C\,cm^2$
En arrondissant au cm², l’aire de la figure image est donc,
$Aire\,image\,\approx\,56\,\%2C\,cm^2$

5. Les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles. En effet, par définition, une transformation qui préserve les parallèles garde les droites parallèles. Puisque la figure est dilatée et non déformée par inclinaison, les droites restent parallèles après transformation.

Exercice 27 : image d’une’ figure par translation
Pour effectuer les translations demandées, nous allons d’abord déterminer les vecteurs de translation \vec{FG} et \vec{HI}.

1. $Translation\,par\,\vec{FG}\,%3A$

$\vec{FG}\,=\,\begin{pmatrix}\,G_x\,-\,F_x\,\\\,G_y\,-\,F_y\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,4\,-\,(-2)\,\\\,-2\,-\,(-5)\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,6\,\\\,3\,\end{pmatrix}$

Appliquons cette translation à chaque point de la figure orange:

– $A(0%2C\,-2)\,\to\,A'(0\,%2B\,6%2C\,-2\,%2B\,3)\,=\,A'(6%2C\,1)$
– $B(2%2C\,1)\,\to\,B'(2\,%2B\,6%2C\,1\,%2B\,3)\,=\,B'(8%2C\,4)$
– $C(2%2C\,0)\,\to\,C'(2\,%2B\,6%2C\,0\,%2B\,3)\,=\,C'(8%2C\,3)$
– $D(3%2C\,0)\,\to\,D'(3\,%2B\,6%2C\,0\,%2B\,3)\,=\,D'(9%2C\,3)$
– $E(3%2C\,-1)\,\to\,E'(3\,%2B\,6%2C\,-1\,%2B\,3)\,=\,E'(9%2C\,2)$

2. $Translation\,par\,\vec{HI}\,%3A$

$\vec{HI}\,=\,\begin{pmatrix}\,I_x\,-\,H_x\,\\\,I_y\,-\,H_y\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,9\,-\,3\,\\\,3\,-\,1\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,6\,\\\,2\,\end{pmatrix}$

Appliquons cette translation à chaque point de la figure A’B’C’D’E’:

– $A'(6%2C\,1)\,\to\,A''(6\,%2B\,6%2C\,1\,%2B\,2)\,=\,A''(12%2C\,3)$
– $B'(8%2C\,4)\,\to\,B''(8\,%2B\,6%2C\,4\,%2B\,2)\,=\,B''(14%2C\,6)$
– $C'(8%2C\,3)\,\to\,C''(8\,%2B\,6%2C\,3\,%2B\,2)\,=\,C''(14%2C\,5)$
– $D'(9%2C\,3)\,\to\,D''(9\,%2B\,6%2C\,3\,%2B\,2)\,=\,D''(15%2C\,5)$
– $E'(9%2C\,2)\,\to\,E''(9\,%2B\,6%2C\,2\,%2B\,2)\,=\,E''(15%2C\,4)$

En résumé, les coordonnées des points après les deux translations sont :

– $A''(12%2C\,3)$
– $B''(14%2C\,6)$
– $C''(14%2C\,5)$
– $D''(15%2C\,5)$
– $E''(15%2C\,4)$

Exercice 28 : construction de l’image par translation
Pour résoudre cet exercice, nous allons effectuer deux translations successives sur la figure violette. La première translation transforme le point en , et la deuxième translation transforme le point en .

1. $Translation\,qui\,transforme\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FF%22\,alt=%22F$ en » align= »absmiddle » />:
– Soit le vecteur de translation $\vec{FG}$ . Observons que $F(-2%2C\,-2)$ et $G(4%2C\,-2)$ , donc:
$\vec{FG}\,=\,(4\,-\,(-2)%2C\,-2\,-\,(-2))\,=\,(6%2C\,0).$
– Appliquons cette translation à chaque point de la figure violette:
– Pour $B(0%2C\,2)$ :
$B'\,=\,B\,%2B\,\vec{FG}\,=\,(0\,%2B\,6%2C\,2\,%2B\,0)\,=\,(6%2C\,2).$
– Pour $A(1%2C\,1)$ :
$A'\,=\,A\,%2B\,\vec{FG}\,=\,(1\,%2B\,6%2C\,1\,%2B\,0)\,=\,(7%2C\,1).$
– Pour $C(1%2C\,3)$ :
$C'\,=\,C\,%2B\,\vec{FG}\,=\,(1\,%2B\,6%2C\,3\,%2B\,0)\,=\,(7%2C\,3).$
– Pour $D(2%2C\,2)$ :
$D'\,=\,D\,%2B\,\vec{FG}\,=\,(2\,%2B\,6%2C\,2\,%2B\,0)\,=\,(8%2C\,2).$
– Pour $E(2%2C\,0)$ :
$E'\,=\,E\,%2B\,\vec{FG}\,=\,(2\,%2B\,6%2C\,0\,%2B\,0)\,=\,(8%2C\,0).$

La nouvelle position des points après cette première translation sont donc $B'(6%2C\,2)$ , $A'(7%2C\,1)$ , $C'(7%2C\,3)$ , $D'(8%2C\,2)$ , et $E'(8%2C\,0)$ .

2. $Translation\,qui\,transforme\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FH%22\,alt=%22H$ en » align= »absmiddle » />:
– Le vecteur de translation $\vec{HI}$ est donné avec $H(4%2C\,4)$ et $I(4%2C\,-2)$ :
$\vec{HI}\,=\,(4\,-\,4%2C\,-2\,-\,4)\,=\,(0%2C\,-6).$
– Appliquons cette deuxième translation aux points , , , et :
– Pour $B'(6%2C\,2)$ :
$B''\,=\,B'\,%2B\,\vec{HI}\,=\,(6\,%2B\,0%2C\,2\,-\,6)\,=\,(6%2C\,-4).$
– Pour $A'(7%2C\,1)$ :
$A''\,=\,A'\,%2B\,\vec{HI}\,=\,(7\,%2B\,0%2C\,1\,-\,6)\,=\,(7%2C\,-5).$
– Pour $C'(7%2C\,3)$ :
$C''\,=\,C'\,%2B\,\vec{HI}\,=\,(7\,%2B\,0%2C\,3\,-\,6)\,=\,(7%2C\,-3).$
– Pour $D'(8%2C\,2)$ :
$D''\,=\,D'\,%2B\,\vec{HI}\,=\,(8\,%2B\,0%2C\,2\,-\,6)\,=\,(8%2C\,-4).$
– Pour $E'(8%2C\,0)$ :
$E''\,=\,E'\,%2B\,\vec{HI}\,=\,(8\,%2B\,0%2C\,0\,-\,6)\,=\,(8%2C\,-6).$

Les coordonnées des points après la deuxième translation sont donc $B''(6%2C\,-4)$ , $A''(7%2C\,-5)$ , $C''(7%2C\,-3)$ , $D''(8%2C\,-4)$ , et $E''(8%2C\,-6)$ .

La figure violette initiale a donc été transformée en une nouvelle figure définie par les points $B''(6%2C\,-4)$ , $A''(7%2C\,-5)$ , $C''(7%2C\,-3)$ , $D''(8%2C\,-4)$ , et $E''(8%2C\,-6)$ .

Exercice 29 : translaté d’une figure
Pour déterminer l’image de la figure rouge par la translation qui transforme le point en , nous devons tout d’abord trouver le vecteur de translation $\vec{FG}$ . Ensuite, nous allons appliquer ce vecteur à chaque point de la figure rouge (points , , ).

Le vecteur $\vec{FG}$ est obtenu en soustrayant les coordonnées de de celles de .

$\vec{FG}\,=\,\vec{G}\,-\,\vec{F}$

Supposons que les coordonnées des points soient les suivantes (les coordonnées exactes ne sont pas données, donc nous ne pouvons que supposer) :
– $F(x_F%2C\,y_F)$
– $G(x_G%2C\,y_G)$
– $A(x_A%2C\,y_A)$
– $B(x_B%2C\,y_B)$
– $D(x_D%2C\,y_D)$

Alors, le vecteur $\vec{FG}$ est :
$\vec{FG}\,=\,(x_G\,-\,x_F%2C\,y_G\,-\,y_F)$

Pour obtenir les coordonnées de l’image des points , , et par la translation, nous ajoutons ce vecteur aux coordonnées de chacun de ces points :
– Image de : $A'\,=\,(x_A\,%2B\,(x_G\,-\,x_F)%2C\,y_A\,%2B\,(y_G\,-\,y_F))$
– Image de : $B'\,=\,(x_B\,%2B\,(x_G\,-\,x_F)%2C\,y_B\,%2B\,(y_G\,-\,y_F))$
– Image de : $D'\,=\,(x_D\,%2B\,(x_G\,-\,x_F)%2C\,y_D\,%2B\,(y_G\,-\,y_F))$

Ensuite, pour la deuxième translation qui transforme en , nous trouvons le vecteur de translation $\vec{HI}$ et appliquons ce vecteur aux nouvelles coordonnées obtenues (points , , ).

Le vecteur $\vec{HI}$ est obtenu en soustrayant les coordonnées de de celles de .

$\vec{HI}\,=\,\vec{I}\,-\,\vec{H}$

Supposons que les coordonnées des points soient les suivantes (les coordonnées exactes ne sont pas données) :
– $H(x_H%2C\,y_H)$
– $I(x_I%2C\,y_I)$

Alors, le vecteur $\vec{HI}$ est :
$\vec{HI}\,=\,(x_I\,-\,x_H%2C\,y_I\,-\,y_H)$

Pour obtenir les coordonnées de l’image des points , , et par la translation, nous ajoutons ce vecteur aux coordonnées de chacun de ces points :
– Image de : $A''\,=\,(x_A'\,%2B\,(x_I\,-\,x_H)%2C\,y_A'\,%2B\,(y_I\,-\,y_H))$
– Image de : $B''\,=\,(x_B'\,%2B\,(x_I\,-\,x_H)%2C\,y_B'\,%2B\,(y_I\,-\,y_H))$
– Image de : $D''\,=\,(x_D'\,%2B\,(x_I\,-\,x_H)%2C\,y_D'\,%2B\,(y_I\,-\,y_H))$

Ainsi, $\{A''%2C\,B''%2C\,D''\}$ constituent les images finales de la figure rouge après les deux translations successives.

Exercice 30 : construction du translaté et propriétés de la translation
Correction de l’exercice de mathématiques:

1. Construction de la figure orange en taille réelle:
La figure orange est un secteur circulaire de rayon $6\,\%2C\,cm$ avec un angle de $45^\circ$ .
Pour la construire:
– On trace un cercle de centre avec un rayon de $6\,\%2C\,cm$ .
– On trace un triangle rectangle ABC avec $AB\,=\,5\,\%2C\,cm$ et $\angle\,ABC\,=\,45^\circ$ .
En utilisant les propriétés du triangle rectangle, on peut vérifier que $AC\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

2. Construction de l’image de cette figure orange par la translation qui transforme en :
L’image de la figure orange est obtenue en déplaçant chaque point de la figure de $\vec{DE}$ (vecteur horizontal de $5\,\%2C\,cm$ ). Ainsi, les nouveaux sommets seront :
– est l’image de
– est l’image de
– est l’image de

3. Valeur de A'B' :
La translation conserve les distances, donc la longueur de A'B' est la même que celle de .
$A'B'\,=\,AB\,=\,5\,\%2C\,cm$ .

4. Valeur de $\angle\,C'B'A'$ :
La translation conserve également les angles. Puisque $\angle\,CBA\,=\,45^\circ$ , alors:
$\angle\,C'B'A'\,=\,45^\circ$

5. Droites (CB) et (C'B') :
La translation conserve les parallélismes. Les droites (CB) et (C'B') sont parallèles car $\vec{CC'}\,=\,\vec{BB'}\,=\,\vec{DE}$ .
$Donc%2C\,\,(CB)\,\parallel\,(C'B').$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : translation et démontrer en utilisant les propriétés
1. L’image de la figure orange par la translation qui transforme

est obtenue en transférant chaque point de la figure orange de $\vec{DE}$ .

2. Calculons la valeur de en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $\triangle\,ABC$ .

$AC\,=\,\sqrt{AB^2\,%2B\,BC^2}\,=\,\sqrt{4^2\,%2B\,2^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{20}\,=\,2\sqrt{5}\,\%2C\,cm$

3. L’aire de la figure orange est la somme de l’air du demi-disque de centre et rayon 2 cm et de l’aire du triangle rectangle $\triangle\,ABC$ .

$Aire\,du\,demi-disque\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,r^2\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(2)^2\,=\,2\pi\,\%2C\,cm^2$

$Aire\,du\,triangle\,rectangle\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,BC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\times \,2\,=\,4\,\%2C\,cm^2$

$Aire\,totale\,de\,la\,figure\,orange\,=\,2\pi\,%2B\,4\,\%2C\,cm^2$

4. Les droites (AB) et (A'B') obtenues après la translation sont parallèles car une translation conserve les directions.

5. La valeur de A'C' est égale à car une translation conserve les distances:

$A'C'\,=\,AC\,=\,2\sqrt{5}\,\%2C\,cm$

6. La valeur de l’aire de l’image de la figure orange est identique à l’aire de la figure orange initiale. Une translation conserve les aires :

$Aire\,de\,la\,figure\,image\,=\,2\pi\,%2B\,4\,\%2C\,cm^2$

7. L’angle A'B'C' de l’image correspond à l’angle ABC de la figure initiale. La translation conserve les angles:

$\angle\,A'B'C'\,=\,\angle\,ABC\,=\,90^\circ$

Exercice 32 : translation et utilisation des propriétés
1. Construire l’image de la figure orange par la translation qui transforme I en J.

L’image de la figure orange par la translation de vecteur $\vec{IJ}$ conduira à déplacer chaque point de la figure initiale selon ce vecteur. Autrement dit, chaque point de la figure orange sera déplacé en tel que $\vec{XX'}\,=\,\vec{IJ}$ . Comme et sont distants de 5 cm, chaque point de la figure orange sera déplacé de 5 cm dans la direction de $\vec{IJ}$ .

2. Que peut-on dire des droites (E'H') et (H'G') ? Justifier.

Les droites (E'H') et (H'G') sont respectivement parallèles aux droites (EH) et (HG) car la translation conserve le parallélisme. De plus, la translation est une isométrie, donc les segments E'H' et H'G' ont la même longueur que les segments et , respectivement.

3. Que peut-on dire des points A'B'C' ? Justifier.

Les points , et sont respectivement les images des points , et par la translation de vecteur $\vec{IJ}$ . Donc, A'B'C' est un triangle rectangle en , isométrique au triangle ABC par conservation des distances et des angles par la translation.

4. Calculer l’aire de la figure orange (arrondir au dixième de cm²).

L’aire de la figure orange est la somme de l’aire du carré EHGB et de l’aire du demi-disque de diamètre cm.
L’aire d’un carré de côté est a^2 .

$Aire\,du\,carre\,=\,1.5\%2C\,cm\,\times \,1.5\%2C\,cm\,=\,2.25\,\%2C\,cm^2$

L’aire d’un disque de rayon est $\pi\,r^2$ .

$Aire\,du\,demi-disque\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(\,\frac{5}{2}\,)^2\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(\,2.5\,)^2\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,6.25\,=\,3.125\,\pi$

$Aire\,du\,demi-disque\,\approx\,3.125\,\times \,3.14\,=\,9.81\,\%2C\,cm^2$

L’aire totale de la figure orange est donc :

$Aire\,totale\,=\,2.25\,\%2C\,cm^2\,%2B\,9.81\,\%2C\,cm^2\,\approx\,12.1\,\%2C\,cm^2$

5. Quelle est la valeur de l’aire de la figure translatée? Justifier.

La translation est une isométrie, ce qui veut dire qu’elle conserve les distances et les aires. Par conséquent, l’aire de la figure translatée est la même que l’aire de la figure initiale. Ainsi, l’aire de la figure translatée est aussi de $12.1\,\%2C\,cm^2$ .