Translation : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 11 : l’image d’un bateau par translation
a. Pour déterminer la translation qui transforme \( K \) en \( P \), nous devons calculer le vecteur de translation \( \vec{KP} \).

Notons les coordonnées de \( K \) et \( P \) :
\[ K(3, 6) \]
\[ P(10, 9) \]

Le vecteur de translation \( \vec{KP} \) se calculera comme suit :
\[ \vec{KP} = P – K = (10 – 3, 9 – 6) = (7, 3) \]

On applique ce vecteur à chaque sommet du bateau pour obtenir les nouvelles coordonnées. Par exemple, pour un sommet \( A(x, y) \), l’image sera \( A'(x + 7, y + 3) \).

b. De même, pour la deuxième translation, nous devons déterminer le vecteur qui transforme \( L \) en \( P \).

Notons les coordonnées de \( L \) :
\[ L(3, 1) \]

Le vecteur de translation \( \vec{LP} \) se calculera comme suit :
\[ \vec{LP} = P – L = (10 – 3, 9 – 1) = (7, 8) \]

On applique ce vecteur à chaque sommet du bateau pour obtenir les nouvelles coordonnées. Par exemple, pour un sommet \( A(x, y) \), l’image sera \( A'(x + 7, y + 8) \).

Exercice 12 : l’image d’un polygone par translation
a. Soit \(\vec{v}\) le vecteur de translation qui transforme \(B\) en \(A\). En appliquant cette translation à chaque point du hexagone \(ABCDEF\), nous obtenons le nouvel hexagone \(A’B’C’D’E’F’\) tel que:
\[ A’ = A, \]
\[ B’ = A, \]
\[ C’ = C + \vec{v}, \]
\[ D’ = D + \vec{v}, \]
\[ E’ = E + \vec{v},\]
\[ F’ = F + \vec{v}. \]

b. Soit \(\vec{w}\) le vecteur de translation qui transforme \(A\) en \(E\). En appliquant cette translation à chaque point du hexagone \(ABCDEF\), nous obtenons le nouvel hexagone \(A »B »C »D »E »F »\) tel que:
\[ A » = E, \]
\[ B » = B + \vec{w}, \]
\[ C » = C + \vec{w}, \]
\[ D » = D + \vec{w}, \]
\[ E » = E + \vec{w}, \]
\[ F » = F + \vec{w}. \]

c. En répétant ces translations sur les nouveaux hexagones obtenus, on poursuit le dessin en traçant d’autres hexagones selon les vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

d. Le dessin obtenu est une frise, plus particulièrement un motif de frise périodique.

\[
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (1,0);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (1,-1);
\coordinate (D) at (0,-1);
\coordinate (E) at (2,-1);
\coordinate (F) at (1,-2);

\draw (B) — (A) — (E) — (F) — (D) — (C) — cycle;

\coordinate (Ap) at (2,0);
\coordinate (Bp) at (1,0);
\coordinate (Cp) at (2,-1);
\coordinate (Dp) at (1,-1);
\coordinate (Ep) at (3,-1);
\coordinate (Fp) at (2,-2);

\draw[dashed] (Bp) — (Ap) — (Ep) — (Fp) — (Dp) — (Cp) — cycle;

\coordinate (A2) at (3,0);
\coordinate (B2) at (2,0);
\coordinate (C2) at (3,-1);
\coordinate (D2) at (2,-1);
\coordinate (E2) at (4,-1);
\coordinate (F2) at (3,-2);

\draw[dashed] (B2) — (A2) — (E2) — (F2) — (D2) — (C2) — cycle;

\end{tikzpicture}
\]

Exercice 13 : déterminer une translation
a. Par la translation qui transforme \(D\) en \(D’\), les autres points du quadrilatère se transforment comme suit :
Soit \(\vec{u}\) le vecteur de translation tel que \( \vec{u} = \vec{D D’} \).
Le point \(C\) se transforme en un point \(C’\) tel que :
\[ C’ = C + \vec{D D’} \]

De même, le point \(B\) se transforme en un point \(B’\) :
\[ B’ = B + \vec{D D’} \]

Enfin, le point \(A\) se transforme en un point \(A’\) :
\[ A’ = A + \vec{D D’} \]

b. Par la translation qui transforme \(B\) en \(D\), les autres points du quadrilatère se transforment comme suit :
Soit \(\vec{v}\) le vecteur de translation tel que \( \vec{v} = \vec{B D} \).
Le point \(C\) se transforme en un point \(C’\) :
\[ C’ = C + \vec{B D} \]

De même, le point \(A\) se transforme en un point \(A’\) :
\[ A’ = A + \vec{B D} \]

Enfin, le point \(D\) se transforme en un point \(D’\) :
\[ D’ = D + \vec{B D} \]

Exercice 14 : polygone transformé
a. La translation qui transforme \( D \) en \( D’ \) conduit aux images suivantes pour les autres points:
– \( A \) devient \( A’ \)
– \( B \) devient \( B’ \)
– \( C \) devient \( C’ \)
– \( E \) devient \( E’ \)

En traçant les segments \( A’B’C’D’E’ \), nous obtenons le polygone transformé.

b. Le quadrilatère \( BB’D’D \) est un parallélogramme car les segments \( BB’ \) et \( DD’ \) sont parallèles et de même longueur, tout comme les segments \( B’D’ \) et \( BD \).

c. Toutes les translations qui ont le même vecteur de translation que \( \vec{DD’} \) transformeront \( ABCDE \) en \( A’B’C’D’E’ \). En d’autres termes, toute translation suivant \( \vec{DD’} \) transportera chaque point de \( ABCDE \) à la même distance et direction donnée par \( \vec{DD’} \).

d. Le quadrilatère \( CC’B’B \) est également un parallélogramme car les segments \( CC’ \) et \( BB’ \) sont parallèles et de même longueur, tout comme les segments \( C’B’ \) et \( CB \).

e. La translation qui transforme \( A’B’C’D’E’ \) en \( ABCDE \) est l’inverse de celle qui transforme \( D \) en \( D’ \). Si la translation originale est définie par le vecteur \( \vec{DD’} \), alors la translation inverse est définie par le vecteur \( \vec{D’D} \).

Exercice 15 : figure composée de cercles
a. La translation qui transforme \( O \) en \( O_1 \) déplace l’objet de \( F \) de telle sorte que \( O_1 \) devienne le nouveau centre de l’image \( F_1 \). Les rayons ne changent pas, donc les deux cercles (de rayons 3 cm et 3,5 cm) sont simplement déplacés.

Ensuite, la translation qui transforme \( O_1 \) en \( O_2 \) déplace \( F_1 \) vers \( F_2 \).

Enfin, pour obtenir l’image finale de \( F \), nous appliquons la translation qui transforme \( O \) en \( O_2 \).

b. Pour montrer que \( O \) est le milieu de \([O_3O_4]\):

1. La translation de \( O_1 \) vers \( O \) suivie de la translation de \( O \) vers \( O_4 \) est équivalente à une translation directe de \( O_1 \) vers \( O_4 \).
2. De même, la translation de \( O_2 \) vers \( O \) suivie de la translation de \( O \) vers \( O_3 \) est équivalente à une translation directe de \( O_2 \) vers \( O_3 \).
3. Si \( O \) est le point d’intersection des deux translations, cela implique que la distance \( O \) à \( O_3 \) est égale à la distance de \( O \) à \( O_4 \).

En utilisant ces relations, nous pouvons dire que \( O \) est le milieu segment \([O_3O_4]\):
\[ \overline{OO_3} = \overline{OO_4} \]

c. Complète puis colorie cette figure pour que le titre ait un sens !

– Pour compléter cette figure, vous pouvez ajouter les translations sur un graphique.
– Une fois les translation ajoutées (de \( O \) à \( O_1 \), \( O_1 \) à \( O_2 \) et de \( O_2 \) à \( O_3 \)), vous coloriez les cercles obtenus.

Exercice 16 : translation et construction d’images
a. Pour obtenir \(D\), l’image de \(B\) par la translation qui transforme \(A\) en \(C\):

1. La translation qui transforme \(A\) (situé à \((1,3)\)) en \(C\) (situé à \((3,5)\)) est de vecteur \(\vec{AC} = (3-1, 5-3) = (2,2)\).
2. \(B\) est situé à \((2,1)\).
3. L’image de \(B\) par cette translation est \(D\) situé à \((2+2, 1+2) = (4,3)\).

Donc \(D\) est en (4, 3).

b. Pour obtenir \(H\), l’image de \(E\) par la translation qui transforme \(G\) en \(F\):

1. La translation qui transforme \(G\) (situé à \((2,1)\)) en \(F\) (situé à \((4,3)\)) est de vecteur \(\vec{GF} = (4-2, 3-1) = (2,2)\).
2. \(E\) est situé à \((1,3)\).
3. L’image de \(E\) par cette translation est \(H\) situé à \((1+2, 3+2) = (3,5)\).

Donc \(H\) est en (3, 5).

c. Pour obtenir \(L\), l’image de \(I\) par la translation qui transforme \(K\) en \(J\):

1. La translation qui transforme \(K\) (situé à \((3,3)\)) en \(J\) (situé à \((1,4)\)) est de vecteur \(\vec{KJ} = (1-3, 4-3) = (-2,1)\).
2. \(I\) est situé à \((2,1)\).
3. L’image de \(I\) par cette translation est \(L\) situé à \((2-2, 1+1) = (0,2)\).

Donc \(L\) est en (0, 2).

d. Pour obtenir \(P\), l’image de \(N\) par la translation qui transforme \(M\) en \(O\):

1. La translation qui transforme \(M\) (situé à \((1,2)\)) en \(O\) (situé à \((2,4)\)) est de vecteur \(\vec{MO} = (2-1, 4-2) = (1,2)\).
2. \(N\) est situé à \((2,1)\).
3. L’image de \(N\) par cette translation est \(P\) situé à \((2+1, 1+2) = (3,3)\).

Donc \(P\) est en (3, 3).

Exercice 17 : construire l’image d’un triangle par translation
a. Pour construire l’image du triangle par la translation qui transforme \( A \) en \( B \):

Le vecteur de translation \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \( \mathbf{u} = (\Delta x, \Delta y) \) où :

\[ \Delta x = x_B – x_A \]
\[ \Delta y = y_B – y_A \]

En comptant les unités sur la grille, on obtient les coordonnées de \( B \) : \((2,4)\) et celles de \( A \) : \((6,8)\).

Ainsi,

\[ \Delta x = 2 – 6 = -4 \]
\[ \Delta y = 4 – 8 = -4 \]

Le vecteur de translation \(\vec{AB}\) est donc \((-4, -4)\). En appliquant ce vecteur aux sommets du triangle, on obtient les nouvelles positions :

Pour le sommet \( A (6,8) \) :

\[ A’ = (6 + (-4), 8 + (-4)) = (2, 4) \]

Représentons \( A’ \) par \( B \) puisque par définition de cette translation, \( A \) est déplacé sur \( B \).

Pour les autres sommets :
Soit \(D (5, 5.5)\)

\[ D’ = (5 + (-4), 5.5 + (-4)) = (1, 1.5) \]

Et soit \( E (4, 7)\)

\[ E’ = (4 + (-4), 7 + (-4)) = (0, 3) \]

Le nouveau triangle après translation \(\vec{AB}\) est donc les points \( B, D’, E’ \) en \[\]bleu\[\].

b. Pour construire l’image du triangle par la translation qui transforme \( A \) en \( C \):

Le vecteur de translation \(\vec{AC}\) a pour coordonnées :

\[ \Delta x = x_C – x_A \]
\[ \Delta y = y_C – y_A \]

En comptant les unités sur la grille, on obtient les coordonnées de \( C \) : \((4,3)\) et celles de \( A \) : \((6,8)\).

Ainsi,

\[ \Delta x = 4 – 6 = -2 \]
\[ \Delta y = 3 – 8 = -5 \]

Le vecteur de translation \(\vec{AC}\) est donc \((-2, -5)\). En appliquant ce vecteur aux sommets du triangle, on obtient les nouvelles positions :

Pour le sommet \( A (6,8) \):

\[ A’ = (6 + (-2), 8 + (-5)) = (4, 3) \]

Représentons \( A’ \) par \( C \) puisque par définition de cette translation \( A \) est déplacé sur \( C \).

Pour les autres sommets :
Soit \( D (5, 5.5) \):

\[ D’ = (5 + (-2), 5.5 + (-5)) = (3, 0.5) \]

Et soit \( E (4, 7) \):

\[ E’ = (4 + (-2), 7 + (-5)) = (2, 2) \]

Le nouveau triangle après translation \(\vec{AC}\) est donc les points \( C, D’, E’ \) en \[\]rouge\[\].

Exercice 18 : construire des images par translation
Correction de l’exercice :

1. Point \(D\), image de \(B\) par la translation qui transforme \(A\) en \(C\) :

La translation transforme \(A\) en \(C\), donc le vecteur de translation est \(\vec{AC}\).

Pour trouver \(D\), nous appliquons ce même vecteur à \(B\) :
\[ D = B + \vec{AC} \]

2. Point \(E\), image de \(A\) par la translation qui transforme \(C\) en \(B\) :

La translation transforme \(C\) en \(B\), donc le vecteur de translation est \(\vec{CB}\).

Pour trouver \(E\), nous appliquons ce même vecteur à \(A\) :
\[ E = A + \vec{CB} \]

3. Point \(F\), image de \(C\) par la translation qui transforme \(B\) en \(A\) :

La translation transforme \(B\) en \(A\), donc le vecteur de translation est \(\vec{BA}\).

Pour trouver \(F\), nous appliquons ce même vecteur à \(C\) :
\[ F = C + \vec{BA} \]

Exercice 19 : la translation qui transforme E en F
Pour résoudre cet exercice, nous devons appliquer la translation qui transforme le point \(E\) en \(F\) aux autres points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\).

1. Déterminons d’abord le vecteur de translation \(\vec{EF}\).
– Coordonnées de \(E\) : (5, 4)
– Coordonnées de \(F\) : (5, 2)

Le vecteur de translation \(\vec{EF}\) est donné par :
\[
\vec{EF} = (5 – 5, 2 – 4) = (0, -2)
\]

2. Appliquons cette translation à chaque point.

– Pour \(A (2, 7)\) :
\[
A’ = A + \vec{EF} = (2, 7) + (0, -2) = (2, 5)
\]
– Pour \(B (3, 5)\) :
\[
B’ = B + \vec{EF} = (3, 5) + (0, -2) = (3, 3)
\]
– Pour \(C (2, 1)\) :
\[
C’ = C + \vec{EF} = (2, 1) + (0, -2) = (2, -1)
\]
– Pour \(D (5, 7)\) :
\[
D’ = D + \vec{EF} = (5, 7) + (0, -2) = (5, 5)
\]
– Pour \(E (5, 4)\) :
\[
E’ = E + \vec{EF} = (5, 4) + (0, -2) = (5, 2)
\]
– Pour \(F (5, 2)\) :
\[
F’ = F + \vec{EF} = (5, 2) + (0, -2) = (5, 0)
\]

Les coordonnées des points après translation sont donc :

\[
A’ = (2, 5), \quad B’ = (3, 3), \quad C’ = (2, -1), \quad D’ = (5, 5), \quad E’ = (5, 2), \quad F’ = (5, 0)
\]

Exercice 20 : construire l’image de la figure par translation
La translation qui transforme le point \( R \) en le point \( P \) est une translation de vecteur \(\vec{RP}\).

Pour déterminer le vecteur \(\vec{RP}\), observons le déplacement depuis \( R \) vers \( P \). On constate un déplacement de quatre unités à droite et trois unités vers le bas.

Le vecteur de translation est donc \(\vec{RP} = (4, -3)\).

Pour translater la figure par ce vecteur, chaque sommet de la figure initiale doit être déplacé de ce vecteur. Prenons chaque sommet de la figure et appliquons la translation:

1. Déplacer chaque point de la figure d’origine de 4 unités vers la droite.
2. Déplacer ensuite chaque point de 3 unités vers le bas.

Trace ensuite l’image de la figure en bleu sur le grillage. Les sommets de l’image se trouvent aux coordonnées suivantes après translation:

– Si un sommet de la figure initiale est en (\(x_1\), \(y_1\)), alors après translation, ce sommet se trouve en \( (x_1 + 4, y_1 – 3) \).

Par exemple, si un sommet de la figure initiale est en (1, 3), après translation il se retrouve en \( (1 + 4, 3 – 3) = (5, 0) \).

Dessine l’ensemble de ces points déplacés et connecte-les de la même manière qu’ils le sont dans la figure initiale pour obtenir l’image translatée en bleu.

Utilise une règle et un crayon bleu pour obtenir un tracé précis de la figure translatée sur le même grillage.

Exercice 21 : translation d’un quadrilatère
Soit \(\vec{u}\) le vecteur de translation.

1. Pour trouver le point \( R \):
Le point \( P \) est transformé en \( R \) par la même translation qui transforme \( M \) en \( N \).
Par conséquent, le vecteur \(\vec{MN}\) est égal au vecteur \(\vec{PR}\).
Donc, \(\vec{PR} = \vec{MN}\).
Ainsi, les coordonnées de \( R \) seront trouvées en ajoutant le vecteur \(\vec{MN}\) aux coordonnées de \( P \).

2. Pour trouver le point \( S \):
Le point \( Q \) est transformé en \( S \) par la translation qui transforme \( M \) en \( P \).
Donc, le vecteur \(\vec{MP}\) est égal au vecteur \(\vec{QS}\).
Par conséquent, \(\vec{QS} = \vec{MP}\).
De ce fait, les coordonnées de \( S \) sont obtenues en ajoutant le vecteur \(\vec{MP}\) aux coordonnées de \( Q \).

3. Pour trouver le point \( T \):
Le point \( T \) est tel que \( T \) est l’image de \( N \) par la translation qui place \( T \) en \( P \).
Donc, le vecteur \(\vec{PT}\) doit être égal au vecteur \(\vec{NT}\).
Par conséquent, \(\vec{PT} = \vec{NT}\).
Les coordonnées de \( T \) seront obtenues par l’application de la translation inverse des coordonnées de \( N \) par le vecteur \(\vec{TP}\).

Formellement, les corrections peuvent être notées comme suit :

1. Pour \( R \) :
\[ R = P + \vec{MN} \]

2. Pour \( S \) :
\[ S = Q + \vec{MP} \]

3. Pour \( T \) :
\[ T = N + \vec{TP} \]

où:
\[
\vec{MN} = N – M
\]
\[
\vec{MP} = P – M
\]
\[
\vec{TP} = P – T
\]

Exercice 22 : quadrillage et transformation
Pour commencer, déterminons le vecteur de translation qui permet de transformer le point \(A\) en \(B\).

\( \vec{u} = \vec{AB} \)

Le point \(A\) est situé à \((3, 1)\) et le point \(B\) est situé à \((6, 4)\). Le vecteur de translation \( \vec{u} \) peut être calculé ainsi :
\[
\vec{u} = B – A = (6 – 3, 4 – 1) = (3, 3)
\]

Ensuite, nous appliquons cette translation \( \vec{u} \) à chaque sommet de la figure bleue initiale pour obtenir sa nouvelle position.

Pour clarity, consider the coordinates of the vertices of the blue figure relative to point \(A\). We apply the translation \( \vec{u} \) = (3, 3) to these vertices.

Next, we determine the translation that transforms the point \(A\) into \(C\).

\( \vec{v} = \vec{AC} \)

Le point \(A \) est situé à \( (3, 1) \) et le point \( C \) est situé à \( (1, 4) \).
Le vecteur de translation \( \vec{v} \) peut être calculé comme suit :
\[
\vec{v} = C – A = (1 – 3, 4 – 1) = (-2, 3)
\]

Nous appliquons ensuite cette translation \( \vec{v} = (-2, 3) \) à chaque sommet de la figure bleue initiale pour obtenir la nouvelle position de la figure transformée par \( \vec{v} \).

Enfin, cette méthode permet de construire l’image en deux étapes :
1. L’image de la figure bleue par translation selon \( \vec{u} \) \((3, 3)\).
2. L’image de la figure bleue par translation selon \( \vec{v} \) \((-2, 3)\).

Représentons ces étapes graphiquement dans le même repère pour vérifier les résultats.

\[
\text{Étape 1 : Application de } \vec{u} : \text{La figure se déplace de } (3, 3).
\]
\[
\text{Étape 2 : Application de } \vec{v} : \text{La figure se déplace de } (-2, 3).
\]

En superposant ces figures, nous pouvons observer les transformations successives demandées dans l’exercice.

Exercice 23 : figure image par translation
a. \(ED = 1,5 \, \text{cm}\) donc \(E’D’ = 1,5 \, \text{cm}\)

car une translation conserve les distances.

b. \(\widehat{BAI} = 45^\circ\) donc \(\widehat{B’A’I’} = 45^\circ\)

car une translation conserve les angles.

Exercice 24 : propriétés de la translation
a. Complète le tableau suivant.

Point | Image
—— | —–
R | B
A | O
M | L
I | E

Justification:
– Le quadrilatère BELO est l’image du quadrilatère RAMI par une translation. Les sommets correspondants sont donc les images les uns des autres par cette translation.

b. Quelle est la longueur du segment \([BE]\) ?

Puisque \([BE]\) est l’image du segment \([RI]\) par la translation, les longueurs des segments correspondants sont égales.

\[ [RI] = BE = 4,2 \text{ cm} \]

Exercice 25 : chercher une translation
a. Commençons par déterminer les translations.

1. Translation de l’avion \(1\) (initial) vers l’avion \(2\):

La translation qui transforme \(A\) en \(B\) se trouve en observant les coordonnées des points \(A\) et \(B\).

Coordonnées de \(A\): (7, 3)

Coordonnées de \(B\): (12, 1)

Pour aller de \(A\) à \(B\), le vecteur de translation \( \vec{AB} \) est :
\[
\vec{AB} = (12 – 7, 1 – 3) = (5, -2)
\]

Donc, la translation pour obtenir l’avion \(2\) est de \((5, -2)\).

2. Translation de l’avion \(1\) (initial) vers l’avion \(3\):

La translation qui transforme \(A\) en \(C\) se trouve également par les coordonnées des points \(A\) et \(C\).

Coordonnées de \(A\): (7, 3)

Coordonnées de \(C\): (1, 5)

Pour aller de \(A\) à \(C\), le vecteur de translation \( \vec{AC} \) est :
\[
\vec{AC} = (1 – 7, 5 – 3) = (-6, 2)
\]

Donc, la translation pour obtenir l’avion \(3\) est de \((-6, 2)\).

b. Pour passer de l’avion \(2\) à l’avion \(3\), trouvons le vecteur de translation entre \(B\) et \(C\).

Vecteur \( \vec{BC} \) :
\[
\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}
\]

De \(B\) à \(A\):
\[
\vec{BA} = -\vec{AB} = (-5, 2)
\]

De \(A\) à \(C\):
\[
\vec{AC} = (-6, 2)
\]

Donc,:
\[
\vec{BC} = (-5, 2) + (-6, 2) = (-11, 4)
\]

La translation qui permet de passer de l’avion \(2\) à l’avion \(3\) est donc de \((-11, 4)\).

Exercice 26 : translation d’un triangle
1. La construction en vraie grandeur est déjà fournie dans l’image, nous procédons donc aux calculs.

2. Pour calculer l’aire totale de la figure (le triangle rectangle et le quart de cercle),
\[
\text{Aire du triangle} = \frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{AC} = \frac{1}{2} \times 4 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} = 12 \, \text{cm}^2
\]
\[
\text{Aire du quart de cercle} = \frac{1}{4} \times \pi \times (\text{AB})^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times (4 \, \text{cm})^2 = 4\pi \, \text{cm}^2
\]
\[
\text{Aire totale} = 12 \, \text{cm}^2 + 4\pi \, \text{cm}^2 \approx 12 \, \text{cm}^2 + 12.57 \, \text{cm}^2 = 24.57 \, \text{cm}^2
\]
En arrondissant au cm², l’aire totale est donc,
\[
\text{Aire totale} \approx 25 \, \text{cm}^2
\]

3. La mesure de l’angle \( \widehat{BCA} \) est indiquée comme \( 33.7^\circ \), déjà fournie dans l’image.

4. Pour trouver l’aire de la figure image (dilatée par un facteur 1.5),
\[
\text{Facteur de dilatation} = 1.5
\]
L’aire étant proportionnelle au carré du facteur de dilatation,
\[
\text{Nouvelle aire} = (\text{Aire originale}) \times (1.5)^2 = 25 \, \text{cm}^2 \times 2.25 \approx 56.25 \, \text{cm}^2
\]
En arrondissant au cm², l’aire de la figure image est donc,
\[
\text{Aire image} \approx 56 \, \text{cm}^2
\]

5. Les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles. En effet, par définition, une transformation qui préserve les parallèles garde les droites parallèles. Puisque la figure est dilatée et non déformée par inclinaison, les droites restent parallèles après transformation.

Exercice 27 : image d’une’ figure par translation
Pour effectuer les translations demandées, nous allons d’abord déterminer les vecteurs de translation \vec{FG} et \vec{HI}.

1. \[\]Translation par \vec{FG} :\[\]

\( \vec{FG} = \begin{pmatrix} G_x – F_x \\ G_y – F_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 – (-2) \\ -2 – (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \)

Appliquons cette translation à chaque point de la figure orange:

– \( A(0, -2) \to A'(0 + 6, -2 + 3) = A'(6, 1) \)
– \( B(2, 1) \to B'(2 + 6, 1 + 3) = B'(8, 4) \)
– \( C(2, 0) \to C'(2 + 6, 0 + 3) = C'(8, 3) \)
– \( D(3, 0) \to D'(3 + 6, 0 + 3) = D'(9, 3) \)
– \( E(3, -1) \to E'(3 + 6, -1 + 3) = E'(9, 2) \)

2. \[\]Translation par \vec{HI} :\[\]

\( \vec{HI} = \begin{pmatrix} I_x – H_x \\ I_y – H_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 – 3 \\ 3 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \)

Appliquons cette translation à chaque point de la figure A’B’C’D’E’:

– \( A'(6, 1) \to A »(6 + 6, 1 + 2) = A »(12, 3) \)
– \( B'(8, 4) \to B »(8 + 6, 4 + 2) = B »(14, 6) \)
– \( C'(8, 3) \to C »(8 + 6, 3 + 2) = C »(14, 5) \)
– \( D'(9, 3) \to D »(9 + 6, 3 + 2) = D »(15, 5) \)
– \( E'(9, 2) \to E »(9 + 6, 2 + 2) = E »(15, 4) \)

En résumé, les coordonnées des points après les deux translations sont :

– \( A »(12, 3) \)
– \( B »(14, 6) \)
– \( C »(14, 5) \)
– \( D »(15, 5) \)
– \( E »(15, 4) \)

Exercice 28 : construction de l’image par translation
Pour résoudre cet exercice, nous allons effectuer deux translations successives sur la figure violette. La première translation transforme le point \( F \) en \( G \), et la deuxième translation transforme le point \( H \) en \( I \).

1. \[\]Translation qui transforme \( F \) en \( G \)\[\]:
– Soit le vecteur de translation \(\vec{FG}\). Observons que \( F(-2, -2) \) et \( G(4, -2) \), donc:
\[
\vec{FG} = (4 – (-2), -2 – (-2)) = (6, 0).
\]
– Appliquons cette translation à chaque point de la figure violette:
– Pour \( B(0, 2) \):
\[
B’ = B + \vec{FG} = (0 + 6, 2 + 0) = (6, 2).
\]
– Pour \( A(1, 1) \):
\[
A’ = A + \vec{FG} = (1 + 6, 1 + 0) = (7, 1).
\]
– Pour \( C(1, 3) \):
\[
C’ = C + \vec{FG} = (1 + 6, 3 + 0) = (7, 3).
\]
– Pour \( D(2, 2) \):
\[
D’ = D + \vec{FG} = (2 + 6, 2 + 0) = (8, 2).
\]
– Pour \( E(2, 0) \):
\[
E’ = E + \vec{FG} = (2 + 6, 0 + 0) = (8, 0).
\]

La nouvelle position des points après cette première translation sont donc \( B'(6, 2) \), \( A'(7, 1) \), \( C'(7, 3) \), \( D'(8, 2) \), et \( E'(8, 0) \).

2. \[\]Translation qui transforme \( H \) en \( I \)\[\]:
– Le vecteur de translation \(\vec{HI}\) est donné avec \( H(4, 4) \) et \( I(4, -2) \):
\[
\vec{HI} = (4 – 4, -2 – 4) = (0, -6).
\]
– Appliquons cette deuxième translation aux points \( B’ \), \( A’ \), \( C’ \), \( D’ \) et \( E’ \):
– Pour \( B'(6, 2) \):
\[
B » = B’ + \vec{HI} = (6 + 0, 2 – 6) = (6, -4).
\]
– Pour \( A'(7, 1) \):
\[
A » = A’ + \vec{HI} = (7 + 0, 1 – 6) = (7, -5).
\]
– Pour \( C'(7, 3) \):
\[
C » = C’ + \vec{HI} = (7 + 0, 3 – 6) = (7, -3).
\]
– Pour \( D'(8, 2) \):
\[
D » = D’ + \vec{HI} = (8 + 0, 2 – 6) = (8, -4).
\]
– Pour \( E'(8, 0) \):
\[
E » = E’ + \vec{HI} = (8 + 0, 0 – 6) = (8, -6).
\]

Les coordonnées des points après la deuxième translation sont donc \( B »(6, -4) \), \( A »(7, -5) \), \( C »(7, -3) \), \( D »(8, -4) \), et \( E »(8, -6) \).

La figure violette initiale a donc été transformée en une nouvelle figure définie par les points \( B »(6, -4) \), \( A »(7, -5) \), \( C »(7, -3) \), \( D »(8, -4) \), et \( E »(8, -6) \).

Exercice 29 : translaté d’une figure
Pour déterminer l’image de la figure rouge par la translation qui transforme le point \(F\) en \(G\), nous devons tout d’abord trouver le vecteur de translation \(\vec{FG}\). Ensuite, nous allons appliquer ce vecteur à chaque point de la figure rouge (points \(A\), \(B\), \(D\)).

Le vecteur \(\vec{FG}\) est obtenu en soustrayant les coordonnées de \(F\) de celles de \(G\).

\[ \vec{FG} = \vec{G} – \vec{F} \]

Supposons que les coordonnées des points soient les suivantes (les coordonnées exactes ne sont pas données, donc nous ne pouvons que supposer) :
– \(F(x_F, y_F)\)
– \(G(x_G, y_G)\)
– \(A(x_A, y_A)\)
– \(B(x_B, y_B)\)
– \(D(x_D, y_D)\)

Alors, le vecteur \(\vec{FG}\) est :
\[ \vec{FG} = (x_G – x_F, y_G – y_F) \]

Pour obtenir les coordonnées de l’image des points \(A\), \(B\), et \(D\) par la translation, nous ajoutons ce vecteur aux coordonnées de chacun de ces points :
– Image de \(A\) : \(A’ = (x_A + (x_G – x_F), y_A + (y_G – y_F))\)
– Image de \(B\) : \(B’ = (x_B + (x_G – x_F), y_B + (y_G – y_F))\)
– Image de \(D\) : \(D’ = (x_D + (x_G – x_F), y_D + (y_G – y_F))\)

Ensuite, pour la deuxième translation qui transforme \(H\) en \(I\), nous trouvons le vecteur de translation \(\vec{HI}\) et appliquons ce vecteur aux nouvelles coordonnées obtenues (points \(A’\), \(B’\), \(D’\)).

Le vecteur \(\vec{HI}\) est obtenu en soustrayant les coordonnées de \(H\) de celles de \(I\).

\[ \vec{HI} = \vec{I} – \vec{H} \]

Supposons que les coordonnées des points soient les suivantes (les coordonnées exactes ne sont pas données) :
– \(H(x_H, y_H)\)
– \(I(x_I, y_I)\)

Alors, le vecteur \(\vec{HI}\) est :
\[ \vec{HI} = (x_I – x_H, y_I – y_H) \]

Pour obtenir les coordonnées de l’image des points \(A’\), \(B’\), et \(D’\) par la translation, nous ajoutons ce vecteur aux coordonnées de chacun de ces points :
– Image de \(A’\) : \(A » = (x_A’ + (x_I – x_H), y_A’ + (y_I – y_H))\)
– Image de \(B’\) : \(B » = (x_B’ + (x_I – x_H), y_B’ + (y_I – y_H))\)
– Image de \(D’\) : \(D » = (x_D’ + (x_I – x_H), y_D’ + (y_I – y_H))\)

Ainsi, \(\{A », B », D »\}\) constituent les images finales de la figure rouge après les deux translations successives.

Exercice 30 : construction du translaté et propriétés de la translation
{Correction de l’exercice de mathématiques:}

1. Construction de la figure orange en taille réelle:
La figure orange est un secteur circulaire de rayon \(6 \, \text{cm}\) avec un angle de \(45^\circ\).
Pour la construire:
– On trace un cercle de centre \(C\) avec un rayon de \(6 \, \text{cm}\).
– On trace un triangle rectangle \(ABC\) avec \(AB = 5 \, \text{cm}\) et \(\angle ABC = 45^\circ\).
En utilisant les propriétés du triangle rectangle, on peut vérifier que \(AC = 6 \, \text{cm}\).

2. Construction de l’image de cette figure orange par la translation qui transforme \(D\) en \(E\):
L’image de la figure orange est obtenue en déplaçant chaque point de la figure de \(\vec{DE}\) (vecteur horizontal de \(5 \, \text{cm}\)). Ainsi, les nouveaux sommets seront :
– \(A’\) est l’image de \(A\)
– \(B’\) est l’image de \(B\)
– \(C’\) est l’image de \(C\)

3. Valeur de \(A’B’\):
La translation conserve les distances, donc la longueur de \(A’B’\) est la même que celle de \(AB\).
\(A’B’ = AB = 5 \, \text{cm}\).

4. Valeur de \(\angle C’B’A’\):
La translation conserve également les angles. Puisque \(\angle CBA = 45^\circ\), alors:
\[\angle C’B’A’ = 45^\circ\]

5. Droites \((CB)\) et \((C’B’)\):
La translation conserve les parallélismes. Les droites \((CB)\) et \((C’B’)\) sont parallèles car \(\vec{CC’} = \vec{BB’} = \vec{DE}\).
\[\text{Donc, } (CB) \parallel (C’B’).\]

Exercice 31 : translation et démontrer en utilisant les propriétés
1. L’image de la figure orange par la translation qui transforme \( D \) en \( E \) est obtenue en transférant chaque point de la figure orange de \( \vec{DE} \).

2. Calculons la valeur de \( AC \) en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \( \triangle ABC \).

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, \text{cm} \]

3. L’aire de la figure orange est la somme de l’air du demi-disque de centre \( B \) et rayon 2 cm et de l’aire du triangle rectangle \( \triangle ABC \).

\[ \text{Aire du demi-disque} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi \, \text{cm}^2 \]

\[ \text{Aire du triangle rectangle} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \, \text{cm}^2 \]

\[ \text{Aire totale de la figure orange} = 2\pi + 4 \, \text{cm}^2 \]

4. Les droites \( (AB) \) et \( (A’B’) \) obtenues après la translation sont parallèles car une translation conserve les directions.

5. La valeur de \( A’C’ \) est égale à \( AC \) car une translation conserve les distances:

\[ A’C’ = AC = 2\sqrt{5} \, \text{cm} \]

6. La valeur de l’aire de l’image de la figure orange est identique à l’aire de la figure orange initiale. Une translation conserve les aires :

\[ \text{Aire de la figure image} = 2\pi + 4 \, \text{cm}^2 \]

7. L’angle \( A’B’C’ \) de l’image correspond à l’angle \( ABC \) de la figure initiale. La translation conserve les angles:

\[ \angle A’B’C’ = \angle ABC = 90^\circ \]

Exercice 32 : translation et utilisation des propriétés
1. Construire l’image de la figure orange par la translation qui transforme I en J.

L’image de la figure orange par la translation de vecteur \(\vec{IJ}\) conduira à déplacer chaque point de la figure initiale selon ce vecteur. Autrement dit, chaque point \(X\) de la figure orange sera déplacé en \(X’\) tel que \(\vec{XX’} = \vec{IJ}\). Comme \(I\) et \(J\) sont distants de 5 cm, chaque point de la figure orange sera déplacé de 5 cm dans la direction de \(\vec{IJ}\).

2. Que peut-on dire des droites \( (E’H’) \) et \( (H’G’) \) ? Justifier.

Les droites \( (E’H’) \) et \( (H’G’) \) sont respectivement parallèles aux droites \( (EH) \) et \( (HG) \) car la translation conserve le parallélisme. De plus, la translation est une isométrie, donc les segments \(E’H’\) et \(H’G’\) ont la même longueur que les segments \(EH\) et \(HG\), respectivement.

3. Que peut-on dire des points \( A’B’C’ \)? Justifier.

Les points \(A’\), \(B’\) et \(C’\) sont respectivement les images des points \(A\), \(B\) et \(C\) par la translation de vecteur \(\vec{IJ}\). Donc, \( A’B’C’ \) est un triangle rectangle en \( B’ \), isométrique au triangle \( ABC \) par conservation des distances et des angles par la translation.

4. Calculer l’aire de la figure orange (arrondir au dixième de cm²).

L’aire de la figure orange est la somme de l’aire du carré \( EHGB \) et de l’aire du demi-disque de diamètre \( 5 \) cm.
L’aire d’un carré de côté \( a \) est \( a^2 \).

\[
\text{Aire du carré} = 1.5\, \text{cm} \times 1.5\, \text{cm} = 2.25 \, \text{cm}^2
\]

L’aire d’un disque de rayon \( r \) est \( \pi r^2 \).

\[
\text{Aire du demi-disque} = \frac{1}{2} \pi ( \frac{5}{2} )^2 = \frac{1}{2} \pi ( 2.5 )^2 = \frac{1}{2} \pi \times 6.25 = 3.125 \pi
\]

\[
\text{Aire du demi-disque} \approx 3.125 \times 3.14 = 9.81 \, \text{cm}^2
\]

L’aire totale de la figure orange est donc :

\[
\text{Aire totale} = 2.25 \, \text{cm}^2 + 9.81 \, \text{cm}^2 \approx 12.1 \, \text{cm}^2
\]

5. Quelle est la valeur de l’aire de la figure translatée? Justifier.

La translation est une isométrie, ce qui veut dire qu’elle conserve les distances et les aires. Par conséquent, l’aire de la figure translatée est la même que l’aire de la figure initiale. Ainsi, l’aire de la figure translatée est aussi de \( 12.1 \, \text{cm}^2 \).