Fractions : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 11 : division de fractions
On a :

\[ F = 2 – \frac{3 + \frac{1}{3}}{2 – \frac{1}{2}} \]

Commençons par simplifier le numérateur et le dénominateur de la fraction.

Numérateur :

\[ 3 + \frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{9 + 1}{3} = \frac{10}{3} \]

Dénominateur :

\[ 2 – \frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 – 1}{2} = \frac{4 – 1}{2} = \frac{3}{2} \]

On obtient donc:

\[ F = 2 – \frac{\frac{10}{3}}{\frac{3}{2}} \]

On simplifie cette fraction en multipliant par l’inverse du dénominateur :

\[ F = 2 – \frac{10}{3} \times \frac{2}{3} = 2 – \frac{20}{9} \]

Résolvons la soustraction en utilisant un dénominateur commun :

\[ 2 = \frac{2 \times 9}{9} = \frac{18}{9} \]

\[ F = \frac{18}{9} – \frac{20}{9} = \frac{18 – 20}{9} = \frac{-2}{9} \]

Donc, \( F = -\frac{2}{9} \).

\( F \) sous forme de fraction irréductible est :

\[ F = -\frac{2}{9} \]

Exercice 12 : probleme sur les fractions
1) Jean a dépensé les fractions suivantes pour ses achats et réparations :
\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{3} \]

Pour additionner ces fractions, nous devons d’abord trouver un dénominateur commun. Le plus petit multiple commun de 4, 10 et 3 est 60.

\[ \frac{1}{4} = \frac{15}{60}, \quad \frac{1}{10} = \frac{6}{60}, \quad \frac{1}{3} = \frac{20}{60} \]

Ainsi, la somme de ces fractions est :
\[ \frac{15}{60} + \frac{6}{60} + \frac{20}{60} = \frac{41}{60} \]

Jean a donc dépensé \(\frac{41}{60}\) de sa somme d’argent totale.

2) La fraction de la somme qu’il n’a pas dépensée est alors :
\[ 1 – \frac{41}{60} = \frac{60}{60} – \frac{41}{60} = \frac{19}{60} \]

Jean n’a donc pas dépensé \(\frac{19}{60}\) de sa somme d’argent.

3) Appelons \( x \) la somme d’argent que Jean possédait au début. On sait qu’il lui reste 19 euros après ses dépenses, ce qui correspond à \(\frac{19}{60}\) de \( x \). On peut donc écrire l’équation suivante :
\[ \frac{19}{60} \cdot x = 19 \]

Pour trouver \( x \), nous multiplions chaque côté de l’équation par \(\frac{60}{19}\) :
\[ x = 19 \times \frac{60}{19} = 60 \]

Jean possédait donc 60 euros au début.

4) Calculons le montant de chacune de ses dépenses :
– Pour l’achat de vêtements :
\[ \frac{1}{4} \times 60 = 15 \, \text{euros} \]

– Pour l’achat du livre :
\[ \frac{1}{10} \times 60 = 6 \, \text{euros} \]

– Pour la réparation de son scooter :
\[ \frac{1}{3} \times 60 = 20 \, \text{euros} \]

Les montants des dépenses sont donc respectivement 15 euros, 6 euros et 20 euros.

Exercice 13 : calculs simples sur les fractions
\[
A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}
\]
Pour additionner ces deux fractions, nous devons les mettre au même dénominateur. Le plus petit commun multiple de 2 et 3 est 6.

\[
A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}
\]

\[
B = -\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}
\]
Multiplier les fractions revient à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\[
B = -\frac{3 \times 1}{5 \times 2} = -\frac{3}{10}
\]

\[
C = \frac{3}{4} : \frac{5}{7}
\]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[
C = \frac{3}{4} \times \frac{7}{5} = \frac{3 \times 7}{4 \times 5} = \frac{21}{20}
\]

Donc, les réponses sont :
\[
A = \frac{5}{6}, \quad B = -\frac{3}{10}, \quad C = \frac{21}{20}
\]

Exercice 14 : calculs simples et simplification de fractions
\[\]A = -\frac{5}{6} + \frac{1}{8}\[\]

Calculons le dénominateur commun des deux fractions, qui est 24 :

\[\]A = -\frac{5 \times 4}{6 \times 4} + \frac{1 \times 3}{8 \times 3} = -\frac{20}{24} + \frac{3}{24} = \frac{-20 + 3}{24} = \frac{-17}{24}\[\]

\[\]B = -\frac{11}{8} \times -\frac{6}{5}\[\]

Multiplions les numérateurs et les dénominateurs :

\[\]B = \frac{11 \times 6}{8 \times 5} = \frac{66}{40} = \frac{33}{20} = 1 \frac{13}{20}\[\]

\[\]C = -\frac{7}{6} : -9\[\]

Diviser par -9 revient à multiplier par -\frac{1}{9} :

\[\]C = -\frac{7}{6} \times -\frac{1}{9} = \frac{7 \times 1}{6 \times 9} = \frac{7}{54}\[\]

\[\]D = 7 \times -\frac{2}{5} \times \frac{15}{26}\[\]

Effectuons les multiplications :

\[\]D = 7 \times \frac{-2 \times 15}{5 \times 26} = 7 \times \frac{-30}{130} = 7 \times \frac{-3}{13} = -\frac{21}{13} = -1 \frac{8}{13}\[\]

Les résultats simplifiés sont :

\[\]A = -\frac{17}{24}\[\]
\[\]B = 1 \frac{13}{20}\[\]
\[\]C = \frac{7}{54}\[\]
\[\]D = -1 \frac{8}{13}\[\]

Exercice 15 : calculer les expressions numériques
\[ H = \frac{5}{3} \times \frac{5}{7} \times (2 + \frac{1}{3}) \]

\[
= \frac{5}{3} \times \frac{5}{7} \times (\frac{6}{3} + \frac{1}{3})
\]

\[
= \frac{5}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{7}{3}
\]

\[
= \frac{5 \times 5 \times 7}{3 \times 7 \times 3}
\]

\[
= \frac{25 \times 7}{21}
\]

\[
= \frac{25}{3}
\]

—

\[ I = \frac{8}{3} : \frac{8}{5} = \frac{8}{3} \times \frac{5}{8} \]

\[
= \frac{8 \times 5}{3 \times 8}
\]

\[
= \frac{5}{3}
\]

—

\[ J = -3 + \frac{-5 – (-7)}{-4 – 5} \]

\[
= -3 + \frac{-5 + 7}{-9}
\]

\[
= -3 + \frac{2}{-9}
\]

\[
= -3 – \frac{2}{9}
\]

\[
= -3 – \frac{2}{9} = -3 – \frac{2}{9} = -\frac{27}{9} – \frac{2}{9}
\]

\[
= -\frac{29}{9}
\]

—

En résumé, les résultats sous forme de fractions irréductibles sont :

\[
H = \frac{25}{3}
\]

\[
I = \frac{5}{3}
\]

\[
J = -\frac{29}{9}
\]

Exercice 16 : la tarte-probleme sur les fractions
Soit \( T \) la tarte entière.

Un tiers de la tarte a déjà été mangé :
\[ \frac{1}{3} T \]

Il reste donc :
\[ T – \frac{1}{3} T = \frac{3}{3} T – \frac{1}{3} T = \frac{2}{3} T \]

Antonin prend les \(\frac{3}{4}\) du reste de la tarte :
\[ \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} T \]

En simplifiant, on obtient :
\[ \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

Antonin a donc pris la moitié de la quantité restante, soit :
\[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} T = \frac{2}{6} T = \frac{1}{3} T \]

Antonin a donc pris :
\[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Donc, Antonin a pris \(\frac{1}{2}\) de la tarte entière.

Correction complète en LaTeX:

\[
\text{Soit } T \text{ la tarte entière.}
\]
\[
\text{Un tiers de la tarte a déjà été mangé :} \frac{1}{3} T
\]
\[
\text{Il reste donc :} T – \frac{1}{3} T = \frac{3}{3} T – \frac{1}{3} T = \frac{2}{3} T
\]
\[
\text{Antonin prend les } \frac{3}{4} \text{ du reste de la tarte :} \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} T
\]
\[
\text{En simplifiant, on obtient :} \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
\]
\[
\text{Antonin a donc pris la moitié de la quantité restante, soit :} \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} T = \frac{2}{6} T = \frac{1}{3} T
\]
\[
\text{Antonin a donc pris :} \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]
\[
\text{Donc, Antonin a pris } \frac{1}{2} \text{ de la tarte entière.}
\]

Exercice 17 : la cafetière- problème sur les fractions.
Soit \( V \) le volume initial de café dans la cafetière, \( V = 1 \) litre.

Alfred a bu les \(\frac{3}{5}\) du café :
\[ V_{\text{Alfred}} = \frac{3}{5} \times 1 = \frac{3}{5} \, \text{litre} \]

Hector a bu les \(\frac{2}{7}\) du café :
\[ V_{\text{Hector}} = \frac{2}{7} \times 1 = \frac{2}{7} \, \text{litre} \]

Volume total de café bu par Alfred et Hector :
\[ V_{\text{total}} = V_{\text{Alfred}} + V_{\text{Hector}} = \frac{3}{5} + \frac{2}{7} \]

Pour additionner ces fractions, il faut les ramener à un dénominateur commun :
\[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35} \]
\[ \frac{2}{7} = \frac{2 \times 5}{7 \times 5} = \frac{10}{35} \]

Donc,
\[ V_{\text{total}} = \frac{21}{35} + \frac{10}{35} = \frac{21 + 10}{35} = \frac{31}{35} \, \text{litre} \]

Volume de café restant dans la cafetière :
\[ V_{\text{restant}} = V – V_{\text{total}} = 1 – \frac{31}{35} \]

Transformation de 1 en fraction avec le même dénominateur :
\[ 1 = \frac{35}{35} \]

Donc,
\[ V_{\text{restant}} = \frac{35}{35} – \frac{31}{35} = \frac{35 – 31}{35} = \frac{4}{35} \, \text{litre} \]

La fraction de litre qu’il reste est \(\frac{4}{35}\).

Exercice 18 : produit d’un nombre par une fraction
1. Écrire les fractions \( \frac{3}{5} \) et \( \frac{11}{20} \) sous forme d’un pourcentage:

Pour convertir les fractions en pourcentage, on multiplie chaque fraction par 100.

Pour \( \frac{3}{5} \):
\[
\frac{3}{5} \times 100 = \frac{3 \times 100}{5} = \frac{300}{5} = 60\%
\]

Pour \( \frac{11}{20} \):
\[
\frac{11}{20} \times 100 = \frac{11 \times 100}{20} = \frac{1100}{20} = 55\%
\]

En comparant les pourcentages, on obtient:
\[
60\% > 55\%
\]

2. Comparer le nombre de voix pour Monsieur A et Madame B:

Dans le village A, \( \frac{3}{5} \) des 1030 électeurs ont voté pour Monsieur A. Calculons le nombre de voix pour Monsieur A:
\[
\frac{3}{5} \times 1030 = \frac{3 \times 1030}{5} = \frac{3090}{5} = 618 \text{ voix}
\]

Dans le village B, \( \frac{11}{20} \) des 1140 votants ont voté pour Madame B. Calculons le nombre de voix pour Madame B:
\[
\frac{11}{20} \times 1140 = \frac{11 \times 1140}{20} = \frac{12540}{20} = 627 \text{ voix}
\]

En comparant le nombre de voix:
\[
627 \text{ voix} > 618 \text{ voix}
\]

Madame B a donc obtenu le plus de voix lors de ces élections.

Justification:
Bien que la fraction de voix de Monsieur A (\( \frac{3}{5} \) ou 60\%) soit plus grande que celle de Madame B (\( \frac{11}{20} \) ou 55\%), le nombre total de votants étant différent, nous devons comparer les nombres absolus de voix obtenus. Monsieur A a obtenu 618 voix, tandis que Madame B en a obtenu 627. Donc, Madame B a obtenu plus de voix que Monsieur A.

Exercice 19 : problème masse de cerises
Pour résoudre cet exercice, nous devons calculer la masse des cerises récoltées dans les autres régions en 2006 de deux façons différentes. Nous savons que la masse totale de cerises produites en France en 2006 était de \( 68 \, 000 \) tonnes et que \( \frac{7}{20} \) de cette production a été récoltée dans la région Provence-Alpes-Côte d’Azur.

\[\]1ère méthode : Calcul direct de la masse récoltée dans les autres régions\[\]

Nous allons d’abord calculer la quantité de cerises récoltée dans la région Provence-Alpes-Côte d’Azur :

\[
\text{Masse Provence-Alpes-Côte d’Azur} = ( \frac{7}{20} ) \times 68 \, 000
\]

Calculons cette quantité :

\[
\text{Masse Provence-Alpes-Côte d’Azur} = ( \frac{7}{20} ) \times 68 \, 000 = 23 \, 800 \text{ tonnes}
\]

Ensuite, on soustrait cette quantité de la masse totale pour obtenir la masse des cerises récoltées dans les autres régions :

\[
\text{Masse autres régions} = 68 \, 000 – 23 \, 800 = 44 \, 200 \text{ tonnes}
\]

\[\]2ème méthode : Utilisation de la part restante\[\]

La fraction récoltée dans les autres régions est :

\[
1 – \frac{7}{20} = \frac{13}{20}
\]

Nous calculons alors directement la masse des cerises récoltées dans les autres régions :

\[
\text{Masse autres régions} = ( \frac{13}{20} ) \times 68 \, 000
\]

Calculons cette quantité :

\[
\text{Masse autres régions} = ( \frac{13}{20} ) \times 68 \, 000 = 44 \, 200 \text{ tonnes}
\]

Dans les deux méthodes, nous obtenons le même résultat :

\[
\boxed{44 \, 200 \text{ tonnes}}
\]

Exercice 20 : problème jeu télévisé
Nombre initial de candidats : \( 80 \)

À la fin de la première semaine, un quart des candidats est éliminé :
\[
\text{Nombre de candidats éliminés} = \frac{1}{4} \times 80 = 20
\]
\[
\text{Nombre de candidats restants} = 80 – 20 = 60
\]

À la fin de la deuxième semaine, les deux tiers des candidats restants sont éliminés :
\[
\text{Nombre de candidats éliminés} = \frac{2}{3} \times 60 = 40
\]
\[
\text{Nombre de candidats restants} = 60 – 40 = 20
\]

À la fin de la troisième semaine, les trois cinquièmes des candidats restants sont éliminés :
\[
\text{Nombre de candidats éliminés} = \frac{3}{5} \times 20 = 12
\]
\[
\text{Nombre de candidats restants} = 20 – 12 = 8
\]

Le nombre de candidats qui participeront à la finale pendant la quatrième semaine est donc :
\[
\boxed{8}
\]

Exercice 21 : problème de bouteille d’eau
Soit \( V = 1,5 \) L le volume initial de la bouteille.

Le matin, Sabine a bu \(\frac{2}{5}\) de \( V \):

\[ V_{\text{matin}} = \frac{2}{5} \times 1,5 = \frac{2}{5} \times \frac{15}{10} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0,6 \, \text{L} \]

Il reste donc :

\[ V_{\text{reste}} = V – V_{\text{matin}} = 1,5 – 0,6 = 0,9 \, \text{L} \]

À midi, elle boit \(\frac{2}{3}\) du reste :

\[ V_{\text{midi}} = \frac{2}{3} \times 0,9 = \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0,6 \, \text{L} \]

Il reste alors :

\[ V_{\text{après-midi}} = V_{\text{reste}} – V_{\text{midi}} = 0,9 – 0,6 = 0,3 \, \text{L} \]

L’après-midi, Sabine termine la bouteille, donc elle boit :

\[ 0,3 \, \text{L} \]

Ainsi, Sabine a bu \(0,3\) L l’après-midi.

Exercice 22 : problème de timbres et fractions
Les données du problème sont les suivantes :
– Juliette possède \( 2057 \) timbres.
– \(\frac{3}{11}\) de ces timbres sont des timbres étrangers.
– \(\frac{5}{17}\) des timbres étrangers sont des timbres allemands.

1. Calculons d’abord le nombre de timbres étrangers :
\[
\text{Nombre de timbres étrangers} = \frac{3}{11} \times 2057
\]
\[
= \frac{3 \times 2057}{11}
\]
\[
= \frac{6171}{11}
\]
\[
= 561
\]

2. Ensuite, calculons le nombre de timbres allemands parmi les timbres étrangers :
\[
\text{Nombre de timbres allemands} = \frac{5}{17} \times 561
\]
\[
= \frac{5 \times 561}{17}
\]
\[
= \frac{2805}{17}
\]
\[
= 165
\]

Juliette possède donc \( 165 \) timbres allemands.

Exercice 23 : problème de tablette de chocolat et fractions
1. Premièrement, nous allons déterminer la fraction de la tablette que Pierre mange le soir.

Pierre mange le matin \(\frac{1}{4}\) de la tablette et le midi \(\frac{2}{5}\) de la tablette. La fraction totale de la tablette qu’il mange le matin et le midi est la somme de ces fractions :

\[
\frac{1}{4} + \frac{2}{5}
\]

Pour additionner ces fractions, nous devons les mettre au même dénominateur :

\[
\frac{1}{4} = \frac{5}{20}
\]
\[
\frac{2}{5} = \frac{8}{20}
\]

Ainsi,

\[
\frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{13}{20}
\]

La fraction de la tablette qu’il mange le soir est donc :

\[
1 – \frac{13}{20} = \frac{20}{20} – \frac{13}{20} = \frac{7}{20}
\]

Donc, Pierre mange \(\frac{7}{20}\) de la tablette le soir.

2. Sachant que la masse d’une tablette est de 240 g, calculons la masse de chocolat que Pierre mange le matin, le midi et le soir.

La masse de chocolat qu’il mange le matin est :

\[
240 \times \frac{1}{4} = 60 \, \text{g}
\]

La masse de chocolat qu’il mange le midi est :

\[
240 \times \frac{2}{5} = 240 \times 0.4 = 96 \, \text{g}
\]

La masse de chocolat qu’il mange le soir est :

\[
240 \times \frac{7}{20} = 240 \times 0.35 = 84 \, \text{g}
\]

Ainsi, les masses de chocolat que Pierre mange sont :
– Le matin : 60 g
– Le midi : 96 g
– Le soir : 84 g

Exercice 24 : problème triathlon et fractions
Pour déterminer la fraction de la distance totale parcourue en vélo, nous devons d’abord additionner les fractions de la distance totale parcourue à la nage et en courant, puis soustraire cette somme de 1 (la distance totale).

Distance totale parcourue à la nage :
\[ \frac{1}{24} \]

Distance totale parcourue en courant :
\[ \frac{1}{3} \]

Pour additionner ces fractions, nous devons les mettre au même dénominateur. Le plus petit multiple commun entre 24 et 3 est 24. Convertissons donc \(\frac{1}{3}\) en fraction avec le dénominateur de 24.

\[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 8}{3 \times 8} = \frac{8}{24} \]

Nous pouvons maintenant additionner les deux fractions :
\[ \frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{1 + 8}{24} = \frac{9}{24} \]

Simplifions cette fraction :
\[ \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \]

La fraction de la distance totale parcourue à la nage et en courant est donc \(\frac{3}{8}\).

Pour trouver la fraction de la distance totale parcourue en vélo, nous devons soustraire cette fraction de 1.
\[ 1 – \frac{3}{8} \]

Convertissons 1 en fraction avec le même dénominateur de 8 pour effectuer la soustraction :
\[ 1 = \frac{8}{8} \]

Soustrayons maintenant les deux fractions :
\[ \frac{8}{8} – \frac{3}{8} = \frac{8 – 3}{8} = \frac{5}{8} \]

Ainsi, la fraction de la distance totale parcourue en vélo est :
\[ \frac{5}{8} \]

Exercice 25 : problème orientation et fractions
Soit \( n \) le nombre total d’élèves à la fin du collège.

La moitié des élèves, c’est-à-dire \( \frac{n}{2} \), entrent en seconde générale et technologique, soit :

\[ \frac{1}{2} \]

Parmi ces élèves, \( \frac{5}{12} \) entrent en seconde professionnelle. Le nombre d’élèves restant qui redoublent est alors :

\[ 1 – \frac{5}{12} = \frac{12}{12} – \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \]

Ainsi, la fraction des élèves qui redoublent, après avoir déterminé que la moitié des élèves sont concernés, est calculée comme suit :

\[ \frac{1}{2} \times \frac{7}{12} = \frac{7}{24} \]

Donc, la fraction des élèves qui redoublent est \( \frac{7}{24} \).

Exercice 26 : problème lecture de livres et fractions
1. Vérifier par un calcul que tous les élèves de la classe ont participé au sondage.
\[
\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{5}{12} + \frac{1}{12}
\]
Pour additionner ces fractions, nous devons avoir un dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun pour 6, 3, et 12 est 12.
\[
\frac{1}{6} = \frac{2}{12}
\]
\[
\frac{1}{3} = \frac{4}{12}
\]
Ainsi, l’expression devient :
\[
\frac{2}{12} + \frac{4}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2+4+5+1}{12} = \frac{12}{12} = 1
\]
Comme la somme est 1, cela signifie que 100% des élèves ont participé au sondage.

2. Peut-on dire que ?
La question n’est pas complète et manque de contexte pour fournir une réponse claire. Il faut probablement plus d’informations pour répondre.

3. Des élèves de la classe ont lu un ou deux livres ?
Le nombre d’élèves ayant lu un livre est donné par \(\frac{1}{3}\) et ceux ayant lu deux livres par \(\frac{5}{12}\). Nous devons les additionner :
\[
\frac{1}{3} + \frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{5}{12} = \frac{4+5}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]
Donc, \(\frac{3}{4}\) des élèves de la classe ont lu un ou deux livres.

Exercice 27 : langues vivantes et fractions
Soit \( x \) la proportion totale des élèves ayant choisi une langue parmi l’anglais, l’allemand, l’espagnol ou le chinois.

\[
x = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + p
\]

où \( p \) est la proportion des élèves ayant choisi l’espagnol.

Calculons d’abord la somme des proportions des élèves ayant choisi l’anglais, l’allemand et le chinois :

\[
\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9}
\]

Pour additionner ces fractions, nous devons les mettre au même dénominateur. Le plus petit commun multiple de 3, 6 et 9 est 18.

\[
\frac{1}{3} = \frac{6}{18}, \quad \frac{1}{6} = \frac{3}{18}, \quad \frac{1}{9} = \frac{2}{18}
\]

Additionnons les fractions :

\[
\frac{6}{18} + \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{6 + 3 + 2}{18} = \frac{11}{18}
\]

Donc,

\[
\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{11}{18}
\]

Puisque la somme des proportions doit être égale à 1, nous pouvons écrire :

\[
\frac{11}{18} + p = 1
\]

Pour trouver \( p \), nous résolvons l’équation :

\[
p = 1 – \frac{11}{18}
\]

Exprimer 1 comme une fraction sur 18 :

\[
1 = \frac{18}{18}
\]

Ainsi,

\[
p = \frac{18}{18} – \frac{11}{18} = \frac{18 – 11}{18} = \frac{7}{18}
\]

La proportion des élèves qui ont choisi l’espagnol est donc :

\[
\boxed{\frac{7}{18}}
\]

Exercice 28 : tablette de chocolat et fractions

[a)] Quelle fraction d’une tablette a mangé Thomas ?

Thomas a mangé \(\frac{1}{4}\) de \(\frac{5}{6}\) de la première tablette, soit :

\[
\frac{1}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{24}
\]

Thomas a donc mangé \(\frac{5}{24}\) de la première tablette.

[b)] Quelle fraction d’une tablette a mangé Tom ?

Tom a mangé \(\frac{1}{2}\) de \(\frac{3}{4}\) de la deuxième tablette, soit :

\[
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}
\]

Tom a donc mangé \(\frac{3}{8}\) de la deuxième tablette.

[c)] Lequel a mangé le plus de chocolat ?

Comparons les fractions \(\frac{5}{24}\) et \(\frac{3}{8}\).

Pour cela, nous allons les mettre au même dénominateur :

\[
\frac{5}{24} \quad \text{et} \quad \frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24}
\]

Puisque \(\frac{9}{24} > \frac{5}{24}\), Tom a mangé plus de chocolat que Thomas.

Exercice 29 : problème chocolat et fractions
René a mangé \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\) de la première tablette.

Pour additionner ces deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur :

\[
\frac{1}{4} = \frac{3}{12} \quad \text{et} \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12}
\]

Ainsi,

\[
\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}
\]

René a donc mangé \(\frac{11}{12}\) de la première tablette.

Rémi a mangé \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) de la deuxième tablette.

Pour additionner ces deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur :

\[
\frac{1}{2} = \frac{3}{6} \quad \text{et} \quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6}
\]

Ainsi,

\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}
\]

Rémi a donc mangé \(\frac{5}{6}\) de la deuxième tablette.

Pour comparer \(\frac{11}{12}\) et \(\frac{5}{6}\), il faut encore les ramener au même dénominateur :

\[
\frac{5}{6} = \frac{10}{12}
\]

Donc,

\[
\frac{11}{12} > \frac{10}{12}
\]

René a donc mangé plus de chocolat que Rémi.

Exercice 30 : économies et problème sur les fractions
Alexandra a dépensé le quart des deux tiers de ses économies.

Représentons la fraction des économies par \( x \).

Elle a dépensé les deux tiers de ses économies, c’est-à-dire:
\[ \frac{2}{3}x \]

Ensuite, le quart de cette quantité est:
\[ \frac{1}{4} ( \frac{2}{3} x ) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \times x = \frac{2}{12}x = \frac{1}{6}x \]

Ainsi, Alexandra a dépensé la fraction suivante de ses économies:
\[ \frac{1}{6} \]

En conclusion, Alexandra a dépensé \(\frac{1}{6}\) de ses économies.

Exercice 31 : constitution de l’aire et fractions
1. Quelle est la proportion de gaz rares contenu dans l’air ?

L’air est composé de \( \frac{39}{50} \) de diazote, \( \frac{1}{5} \) de dioxygène, et des gaz rares. La proportion des gaz rares est calculée par la soustraction des proportions connues (diazote et dioxygène) de 1 (puisque la somme des proportions dans l’air doit être égale à 1).
Calculons donc la proportion des gaz rares :

\[ \text{Proportion totale} = 1 \]
\[ \text{Proportion des gaz rares} = 1 – ( \frac{39}{50} + \frac{1}{5} ) \]

Convertissons toutes les fractions en ayant le même dénominateur :

\[ \frac{1}{5} = \frac{10}{50} \]

\[ \text{Proportion des gaz rares} = 1 – ( \frac{39}{50} + \frac{10}{50} ) = 1 – \frac{49}{50} \]

\[ \text{Proportion des gaz rares} = 1 – 0,98 = 0,02 = \frac{1}{50} \]

Ainsi, la proportion de gaz rares dans l’air est \( \frac{1}{50} \).

2. L’argon est l’un des gaz rares, il représente \( \frac{9}{10} \) des gaz rares contenus dans l’air.

a) Quelle est la proportion d’argon dans l’air?

Sachant que les gaz rares représentent \( \frac{1}{50} \) de l’air et que l’argon constitue \( \frac{9}{10} \) de ces gaz rares :

\[ \text{Proportion} = \frac{9}{10} \times \frac{1}{50} = \frac{9}{500} \]

La proportion d’argon dans l’air est donc \( \frac{9}{500} \).

b) Quel est le volume (en centilitres) d’argon contenu dans 2 litres d’air?

Tout d’abord, convertissons 2 litres en centilitres:

\[ 2 \text{ litres} = 200 \text{ centilitres} \]

La proportion d’argon étant \( \frac{9}{500} \), le volume d’argon dans 200 centilitres d’air est :

\[ \text{Volume d’argon} = 200 \text{ centilitres} \times \frac{9}{500} = 200 \times 0,018 = 3,6 \text{ centilitres} \]

Ainsi, le volume d’argon contenu dans 2 litres d’air est de 3,6 centilitres.

Exercice 32 : paquet de bonbons et fractions
Soit \( N \) le nombre total de bonbons dans le paquet.

1. Marylise prend \(\frac{3}{5}\) des bonbons:
\[
M_{\text{Marylise}} = \frac{3}{5}N
\]

2. Martin prend \(\frac{1}{3}\) de ce que Marylise a laissé :
\[
M_{\text{Martin}} = \frac{1}{3} ( N – \frac{3}{5}N ) = \frac{1}{3} ( \frac{2}{5}N ) = \frac{2}{15}N
\]

3. La proportion de bonbons que Jules prend est le reste après le partage de Marylise et Martin :
\[
M_{\text{Juliette}} = N – ( \frac{3}{5}N + \frac{2}{15}N ) = N – ( \frac{9}{15}N + \frac{2}{15}N ) = N – \frac{11}{15}N = \frac{4}{15}N
\]

Calcul des bonbons pour chaque enfant sachant qu’il y a 75 bonbons dans le paquet (\( N = 75 \)) :

1. Nombre de bonbons pris par Marylise :
\[
M_{\text{Marylise}} = \frac{3}{5} \times 75 = 45
\]

2. Nombre de bonbons pris par Martin :
\[
M_{\text{Martin}} = \frac{2}{15} \times 75 = 10
\]

3. Nombre de bonbons pris par Juliette :
\[
M_{\text{Juliette}} = \frac{4}{15} \times 75 = 20
\]

En résumé :

– La proportion de bonbons pris par Martin est \(\frac{2}{15}\).
– La proportion de bonbons pris par Juliette est \(\frac{4}{15}\).
– Marylise a pris 45 bonbons, Martin a pris 10 bonbons, et Juliette a pris 20 bonbons.

Exercice 33 : usine Italienne et fractions
Soit \( P \) la quantité totale de produits fabriqués par l’usine.

L’usine exporte \(\frac{3}{5}\) de ses produits vers l’Espagne :
\[ Q_{\text{Espagne}} = \frac{3}{5}P \]

La quantité restante après l’exportation vers l’Espagne est :
\[ P – Q_{\text{Espagne}} = P – \frac{3}{5}P = \frac{2}{5}P \]

Ensuite, \(\frac{2}{3}\) de cette quantité restante est exportée vers Paris :
\[ Q_{\text{Paris}} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5}P = \frac{4}{15}P \]

La quantité diffusée en Italie est donc ce qui reste après les exportations vers l’Espagne et Paris :
\[ Q_{\text{Italie}} = P – Q_{\text{Espagne}} – Q_{\text{Paris}} \]
\[ Q_{\text{Italie}} = P – \frac{3}{5}P – \frac{4}{15}P \]

Pour combiner ces fractions, trouvons un dénominateur commun (ici, 15) :
\[ \frac{3}{5}P = \frac{9}{15}P \]
\[ Q_{\text{Italie}} = P – \frac{9}{15}P – \frac{4}{15}P = P – (\frac{9}{15}P + \frac{4}{15}P) = P – \frac{13}{15}P \]

Ainsi, la proportion de produits vendue en Italie est :
\[ Q_{\text{Italie}} = (1 – \frac{13}{15})P = \frac{2}{15}P \]

Donc, la proportion de produits vendue en Italie est :
\[ \frac{2}{15} \]

Exercice 34 : séjour de vacances et fractions
Soit \( N \) le nombre de voyageurs.

1. Le nombre de voyageurs qui montent dans le premier autocar est :
\[ \frac{N}{5} \]

2. Le nombre de voyageurs restants après le premier autocar est :
\[ N – \frac{N}{5} = \frac{4N}{5} \]

3. Le nombre de voyageurs qui montent dans le deuxième autocar est :
\[ \frac{1}{4} \times \frac{4N}{5} = \frac{N}{5} \]

4. Le nombre de voyageurs restants après le deuxième autocar est :
\[ \frac{4N}{5} – \frac{N}{5} = \frac{3N}{5} \]

5. Le nombre de voyageurs qui montent dans le troisième autocar est :
\[ \frac{1}{3} \times \frac{3N}{5} = \frac{N}{5} \]

6. Le nombre de voyageurs restants après le troisième autocar est :
\[ \frac{3N}{5} – \frac{N}{5} = \frac{2N}{5} \]

7. Le nombre de voyageurs qui montent dans le quatrième autocar est :
\[ \frac{1}{2} \times \frac{2N}{5} = \frac{N}{5} \]

8. Le nombre de voyageurs restants après le quatrième autocar est :
\[ \frac{2N}{5} – \frac{N}{5} = \frac{N}{5} \]

9. Le nombre de voyageurs qui montent dans le cinquième autocar est :
\[ \frac{N}{5} \]

Nous constatons que chaque autocar transporte :
\[ \frac{N}{5} \]

Les voyageurs sont donc également répartis entre les cinq autocars.

Exercice 35 : calculer astucieux et fractions
\[
Q = (1 – \frac{1}{6})(1 – \frac{2}{6})(1 – \frac{3}{6})(1 – \frac{4}{6})(1 – \frac{5}{6})(1 – \frac{6}{6}) : (1 – \frac{1}{6})
\]

Calculons chacune des parenthèses individuellement :

\[
1 – \frac{1}{6} = \frac{6-1}{6} = \frac{5}{6}
\]

\[
1 – \frac{2}{6} = \frac{6-2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]

\[
1 – \frac{3}{6} = \frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

\[
1 – \frac{4}{6} = \frac{6-4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

\[
1 – \frac{5}{6} = \frac{6-5}{6} = \frac{1}{6}
\]

\[
1 – \frac{6}{6} = 0
\]

Ainsi, la multiplication des termes dans le numérateur donne :

\[
Q = (\frac{5}{6})(\frac{2}{3})(\frac{1}{2})(\frac{1}{3})(\frac{1}{6}) \cdot 0 : (1 – \frac{1}{6})
\]

Et comme n’importe quel nombre multiplié par 0 donne 0, on obtient :

\[
Q = 0
\]

—

Pour \( R \) :

\[
R = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{9}{10} – \frac{17}{34} + \frac{51}{68} + \frac{153}{170}
\]

Calculons chaque terme en simplifiant :

\[
\frac{17}{34} = \frac{1}{2}, \frac{51}{68} = \frac{3}{4}, \frac{153}{170} = \frac{9}{10}
\]

Nous avons donc :

\[
\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{9}{10} – \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{9}{10}
\]

Additionnons les termes qui restent :

\[
2 \cdot \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{2} + \frac{18}{10} = \frac{3}{2} + \frac{9}{5}
\]

Mettons au même dénominateur :

\[
\frac{3}{2} = \frac{15}{10}, \frac{9}{5} = \frac{18}{10}
\]

Ainsi :

\[
\frac{15}{10} + \frac{18}{10} = \frac{33}{10} = 3.3
\]

Donc, \( R = 3.3 \).

Exercice 36 : calculs et fractions
1. \( E = \frac{8}{5} + \frac{7}{5} \times \frac{4}{5} \)

L’opération à effectuer en premier est la multiplication :
\[
E = \frac{8}{5} + ( \frac{7}{5} \times \frac{4}{5} ).
\]

2. \( F = \frac{53}{30} – ( \frac{3}{10} + \frac{9}{10} ) \)

L’opération à effectuer en premier est l’addition à l’intérieur des parenthèses :
\[
F = \frac{53}{30} – ( \frac{3}{10} + \frac{9}{10} ).
\]

3. \( G = \frac{7}{6} \times \frac{7}{2} – \frac{3}{2} \)

L’opération à effectuer en premier est la multiplication :
\[
G = \frac{7}{6} \times \frac{7}{2} – \frac{3}{2}.
\]

4. \( H = \frac{3}{7} + ( \frac{17}{14} – \frac{23}{28} ) \)

L’opération à effectuer en premier est la soustraction à l’intérieur des parenthèses :
\[
H = \frac{3}{7} + ( \frac{17}{14} – \frac{23}{28} ).
\]

5. \( J = ( \frac{8}{5} + \frac{7}{5} ) \times \frac{4}{5} \)

L’opération à effectuer en premier est l’addition à l’intérieur des parenthèses :
\[
J = ( \frac{8}{5} + \frac{7}{5} ) \times \frac{4}{5}.
\]

6. \( K = \frac{53}{30} – \frac{3}{10} + \frac{9}{10} \)

L’opération à effectuer en premier est la soustraction :
\[
K = ( \frac{53}{30} – \frac{3}{10} ) + \frac{9}{10}.
\]

7. \( L = \frac{7}{6} \times ( \frac{7}{2} – \frac{3}{2} ) \)

L’opération à effectuer en premier est la soustraction à l’intérieur des parenthèses :
\[
L = \frac{7}{6} \times ( \frac{7}{2} – \frac{3}{2} ).
\]

8. \( M = \frac{3}{7} + \frac{17}{14} – \frac{23}{28} \)

L’opération à effectuer en premier est l’addition :
\[
M = ( \frac{3}{7} + \frac{17}{14} ) – \frac{23}{28}.
\]

Exercice 37 : calculer les expressions avec des fractions
\[
N = \frac{8}{5} + \frac{7}{5} \times \frac{4}{5}
\]
\[
= \frac{8}{5} + \frac{7 \times 4}{5 \times 5}
\]
\[
= \frac{8}{5} + \frac{28}{25}
\]
\[
= \frac{40}{25} + \frac{28}{25}
\]
\[
= \frac{68}{25}
\]

\[
P = \frac{53}{30} – ( \frac{3}{10} + \frac{9}{10} )
\]
\[
= \frac{53}{30} – \frac{3 + 9}{10}
\]
\[
= \frac{53}{30} – \frac{12}{10}
\]
\[
= \frac{53}{30} – \frac{36}{30}
\]
\[
= \frac{53 – 36}{30}
\]
\[
= \frac{17}{30}
\]

\[
Q = \frac{7}{6} \times \frac{7}{2} \times \frac{3}{2}
\]
\[
= \frac{7 \times 7 \times 3}{6 \times 2 \times 2}
\]
\[
= \frac{147}{24}
\]
\[
= \frac{49}{8}
\]

\[
R = \frac{3}{7} + ( \frac{17}{14} – \frac{23}{28} )
\]
\[
= \frac{3}{7} + ( \frac{34}{28} – \frac{23}{28} )
\]
\[
= \frac{3}{7} + \frac{34 – 23}{28}
\]
\[
= \frac{3}{7} + \frac{11}{28}
\]
\[
= \frac{12}{28} + \frac{11}{28}
\]
\[
= \frac{23}{28}
\]

Exercice 38 : calculer les expressions avec des fractions
\[
S = (\frac{8}{5} + \frac{7}{5}) \times \frac{4}{5}
\]
\[
S = (\frac{8 + 7}{5}) \times \frac{4}{5}
\]
\[
S = (\frac{15}{5}) \times \frac{4}{5}
\]
\[
S = 3 \times \frac{4}{5}
\]
\[
S = \frac{12}{5}
\]

\[
T = \frac{53}{30} – \frac{3}{10} + \frac{9}{10}
\]
\[
T = \frac{53}{30} – \frac{3 \times 3}{30} + \frac{9 \times 3}{30}
\]
\[
T = \frac{53}{30} – \frac{9}{30} + \frac{27}{30}
\]
\[
T = \frac{53 – 9 + 27}{30}
\]
\[
T = \frac{71}{30}
\]

\[
U = \frac{7}{6} \times (\frac{7}{2} – \frac{3}{2})
\]
\[
U = \frac{7}{6} \times (\frac{7 – 3}{2})
\]
\[
U = \frac{7}{6} \times \frac{4}{2}
\]
\[
U = \frac{7}{6} \times 2
\]
\[
U = \frac{7 \times 2}{6}
\]
\[
U = \frac{14}{6}
\]
\[
U = \frac{7}{3}
\]

\[
V = \frac{3}{7} + \frac{17}{14} + \frac{23}{28}
\]
\[
V = \frac{3 \times 4}{28} + \frac{17 \times 2}{28} + \frac{23}{28}
\]
\[
V = \frac{12}{28} + \frac{34}{28} + \frac{23}{28}
\]
\[
V = \frac{12 + 34 + 23}{28}
\]
\[
V = \frac{69}{28}
\]

Exercice 39 : des fractions imbriquées
La correction de l’exercice est la suivante:

\[ A = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{7}}}} \]

Commençons par simplifier l’expression à partir de l’intérieur :

\[ \frac{1}{7} = 0.142857 \]

Donc :

\[ 1 + \frac{1}{7} = 1.142857 \]

Ensuite, nous avons :

\[ \frac{1}{1.142857} \approx 0.875 \]

Maintenant, nous continuons la simplification :

\[ 1 + 0.875 = 1.875 \]

Ensuite:

\[ \frac{1}{1.875} \approx 0.533 \]

Puis, nous avons :

\[ 1 + 0.533 = 1.533 \]

Enfin :

\[ \frac{1}{1.533} \approx 0.652 \]

Ainsi :

\[ A = 1 + 0.652 = 1.652 \]

Donc, après simplification, nous obtenons :

\[ A \approx 1.652 \]

Exercice 40 : addition et soustraction de fractions
\[
A = \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{7 + 9}{3} = \frac{16}{3}
\]

\[
B = \frac{5}{11} – \frac{7}{11} = \frac{5 – 7}{11} = \frac{-2}{11}
\]

\[
C = \frac{7}{4} + \frac{9}{3} = \frac{7}{4} + \frac{9 \times 4}{3 \times 4} = \frac{7}{4} + \frac{36}{12} = \frac{7 \times 3}{4 \times 3} + \frac{36}{12} = \frac{21}{12} + \frac{36}{12} = \frac{21 + 36}{12} = \frac{57}{12} = \frac{19}{4}
\]

\[
D = \frac{5}{7} – \frac{4}{5} = \frac{5 \times 5}{7 \times 5} – \frac{4 \times 7}{5 \times 7} = \frac{25}{35} – \frac{28}{35} = \frac{25 – 28}{35} = \frac{-3}{35}
\]

Exercice 41 : calculer avec des fractions
\[ A = \frac{7 + 7 \times 4}{14 + 7 \times 2} \]

Calculons d’abord le numérateur et le dénominateur :

Numérateur :
\[ 7 + 7 \times 4 = 7 + 28 = 35 \]

Dénominateur :
\[ 14 + 7 \times 2 = 14 + 14 = 28 \]

Ainsi,
\[ A = \frac{35}{28} = \frac{5}{4} \]

Pour \( B \) :
\[ B = \frac{5 – 4 \times 5}{4 \times 3 + 5} \]

Calculons d’abord le numérateur et le dénominateur :

Numérateur :
\[ 5 – 4 \times 5 = 5 – 20 = -15 \]

Dénominateur :
\[ 4 \times 3 + 5 = 12 + 5 = 17 \]

Ainsi,
\[ B = \frac{-15}{17} = -\frac{15}{17} \]

Exercice 42 : simplifier des fractions
Pour simplifier les fractions, nous commençons par décomposer chaque terme en facteurs premiers.

Pour \( A \):
\[
A = \frac{14 \times 21 \times 18}{6 \times 7 \times 9}
\]

Décomposition en facteurs premiers des termes au numérateur et au dénominateur :
\[
14 = 2 \times 7
\]
\[
21 = 3 \times 7
\]
\[
18 = 2 \times 3^2
\]
\[
6 = 2 \times 3
\]
\[
7 = 7
\]
\[
9 = 3^2
\]

Substitution des décompositions dans l’expression de \( A \) :
\[
A = \frac{(2 \times 7) \times (3 \times 7) \times (2 \times 3^2)}{(2 \times 3) \times 7 \times 3^2}
\]

On simplifie ensuite en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur :
\[
A = \frac{(2 \times 7) \times (3 \times 7) \times (2 \times 3^2)}{(2 \times 3) \times 7 \times 3^2} = \frac{2 \times 3 \times 2 \times 3}{1} = 4
\]

Pour \( B \) :
\[
B = \frac{36 \times 35 \times 14}{7 \times 24 \times 15}
\]

Décomposition en facteurs premiers des termes au numérateur et au dénominateur :
\[
36 = 2^2 \times 3^2
\]
\[
35 = 5 \times 7
\]
\[
14 = 2 \times 7
\]
\[
7 = 7
\]
\[
24 = 2^3 \times 3
\]
\[
15 = 3 \times 5
\]

Substitution des décompositions dans l’expression de \( B \) :
\[
B = \frac{(2^2 \times 3^2) \times (5 \times 7) \times (2 \times 7)}{7 \times (2^3 \times 3) \times (3 \times 5)}
\]

On simplifie ensuite en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur :
\[
B = \frac{(2^2 \times 3^2) \times (5 \times 7) \times (2 \times 7)}{7 \times (2^3 \times 3) \times (3 \times 5)} = \frac{2 \times 7}{2 \times 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}
\]

Conclusion :
\[
A = 4
\]
\[
B = \frac{7}{3}
\]

Exercice 43 : quotient de deux fractions
Calculons d’abord le numérateur de l’expression :

\[
\frac{1}{3} + \frac{2}{6}
\]

Pour additionner ces fractions, nous devons avoir le même dénominateur. On convertit donc \(\frac{1}{3}\) en une fraction équivalente avec le dénominateur 6 :

\[
\frac{1}{3} = \frac{2}{6}
\]

Ainsi, le numérateur devient :

\[
\frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]

Calculons ensuite le dénominateur de l’expression :

\[
\frac{4}{3} – \frac{1}{6}
\]

Pour soustraire ces fractions, nous devons obtenir un dénominateur commun, qui est 6. On convertit donc \(\frac{4}{3}\) en une fraction équivalente avec le dénominateur 6 :

\[
\frac{4}{3} = \frac{8}{6}
\]

Ainsi, le dénominateur devient :

\[
\frac{8}{6} – \frac{1}{6} = \frac{7}{6}
\]

Nous avons maintenant l’expression sous cette forme :

\[
A = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{7}{6}}
\]

Pour diviser par une fraction, on multiplie par l’inverse de cette fraction :

\[
A = \frac{2}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{2 \times 6}{3 \times 7} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}
\]

Donc, la valeur de \(A\) est :

\[
A = \frac{4}{7}
\]

Exercice 44 : expressions et divisions de fractions
\[
A = ( \frac{5}{3} – \frac{8}{3} ) : ( \frac{5}{7} + \frac{3}{2} )
\]

\[
A = ( \frac{5 – 8}{3} ) : ( \frac{5 \cdot 2 + 3 \cdot 7}{7 \cdot 2} )
\]

\[
A = ( \frac{-3}{3} ) : ( \frac{10 + 21}{14} )
\]

\[
A = (-1) : ( \frac{31}{14} ) = (-1) \times ( \frac{14}{31} )
\]

\[
A = \frac{-14}{31}
\]

\[
B = \frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{4}}{\frac{3}{8} – \frac{6}{5}}
\]

\[
\text{Dans le numérateur: } \frac{4 \cdot 4 + 3 \cdot 7}{7 \cdot 4} = \frac{16 + 21}{28} = \frac{37}{28}
\]

\[
\text{Dans le dénominateur: } \frac{3 \cdot 5 – 6 \cdot 8}{8 \cdot 5} = \frac{15 – 48}{40} = \frac{-33}{40}
\]

\[
B = \frac{\frac{37}{28}}{\frac{-33}{40}} = \frac{37}{28} \times \frac{40}{-33} = \frac{37 \cdot 40}{28 \cdot -33} = \frac{1480}{-924} = -\frac{740}{462} = -\frac{370}{231} = -\frac{370 / 37}{231 / 37} = -\frac{10}{7}
\]

\[
C = \frac{-2}{7} + \frac{5}{-3} : \frac{-4}{7}
\]

\[
C = \frac{-2}{7} + \frac{5}{-3} \times ( \frac{7}{-4} )
\]

\[
C = \frac{-2}{7} + \frac{5 \times 7}{-3 \times -4} = \frac{-2}{7} + \frac{35}{12}
\]

\[
\text{Pour faire l’addition:} (\frac{-2 \cdot 12}{7 \cdot 12} + \frac{35 \cdot 7}{12 \cdot 7}) = \frac{-24}{84} + \frac{245}{84} = \frac{245 – 24}{84} = \frac{221}{84}
\]

\[
C = \frac{221}{84}
\]

\[
D = \frac{8}{6} – \frac{3}{4} + \frac{5}{7} : \frac{4}{35}
\]

\[
D = \frac{8}{6} – \frac{3}{4} + \frac{5}{7} \times \frac{35}{4}
\]

\[
D = \frac{4}{3} – \frac{3}{4} + \frac{5 \times 35}{7 \times 4} = \frac{4}{3} – \frac{3}{4} + \frac{25}{4}
\]

\[
\text{Pour faire la soustraction entre} \frac{4}{3} \text{ et } \frac{3}{4} : (\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} – \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} ) = \frac{16}{12} – \frac{9}{12} = \frac{7}{12}
\]

\[
D = \frac{7}{12} + \frac{25}{4} = \frac{7}{12} + (\frac{25 \times 3}{4 \times 3} ) = \frac{7}{12} + \frac{75}{12}
\]

\[
D = \frac{7 + 75}{12} = \frac{82}{12} = \frac{82 / 2}{12 / 2} = \frac{41}{6}
\]

Exercice 45 : calculs avec des fractions.
\[ A = \frac{4}{5} + \frac{7}{5} \times \frac{8}{3} \]
\[ = \frac{4}{5} + \frac{56}{15} \]
Pour additionner les fractions, mettons-les sur un dénominateur commun : 15.
\[ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15} \]
\[ A = \frac{12}{15} + \frac{56}{15} = \frac{12 + 56}{15} = \frac{68}{15} \]
68 et 15 n’ont pas de diviseur commun autre que 1, donc c’est déjà une fraction irréductible.

\[ B = \frac{4}{5} – \frac{7}{5} : \frac{8}{3} \]
Rappelons que \(: \frac{8}{3} = \times \frac{3}{8}\).
\[ = \frac{4}{5} – \frac{7}{5} \times \frac{3}{8} \]
\[ = \frac{4}{5} – \frac{21}{40} \]
Pour soustraire les fractions, mettons-les sur un dénominateur commun : 40.
\[ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 8}{5 \times 8} = \frac{32}{40} \]
\[ B = \frac{32}{40} – \frac{21}{40} = \frac{32 – 21}{40} = \frac{11}{40} \]
11 et 40 n’ont pas de diviseur commun autre que 1, donc c’est déjà une fraction irréductible.

\[ C = \frac{2}{3} + \frac{7}{9} : \frac{21}{27} \]
Rappelons que \(: \frac{21}{27} = \times \frac{27}{21}\) et simplifions \(\frac{27}{21}\) à \(\frac{9}{7}\).
\[ = \frac{2}{3} + \frac{7}{9} \times \frac{9}{7} \]
\[ = \frac{2}{3} + 1 \]
Mettons \(\frac{2}{3}\) et 1 sur un dénominateur commun : 3.
\[ 1 = \frac{3}{3} \]
\[ C = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{2 + 3}{3} = \frac{5}{3} \]
5 et 3 n’ont pas de diviseur commun autre que 1, donc c’est déjà une fraction irréductible.

\[ D = \frac{\frac{3}{4} – \frac{5}{2}}{\frac{4}{7} + \frac{3}{2}} \]
Simplifions d’abord les fractions du haut:
\[ \frac{3}{4} – \frac{5}{2} = \frac{3}{4} – \frac{10}{4} = \frac{3 – 10}{4} = \frac{-7}{4} \]

Puis les fractions du bas:
\[ \frac{4}{7} + \frac{3}{2} = \frac{8}{14} + \frac{21}{14} = \frac{8 + 21}{14} = \frac{29}{14} \]

\[ D = \frac{\frac{-7}{4}}{\frac{29}{14}} \]
\[ = ( \frac{-7}{4} ) \times ( \frac{14}{29} ) = \frac{-7 \times 14}{4 \times 29} = \frac{-98}{116} \]
Simplifions par \(\frac{2}{2}\) :
\[ \frac{-98}{116} = \frac{-49}{58} \]
49 et 58 n’ont pas de diviseur commun autre que 1, donc c’est déjà une fraction irréductible.

Exercice 46 : expressions numériques et fractions
\[ A = ( \frac{3}{4} – \frac{3}{4} ) \times \frac{8}{9} = 0 \times \frac{8}{9} = 0 \]

\[ B = \frac{5}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{16}{45} \times \frac{35}{8} \]

Calcul de la première partie de \(B\):
\[ \frac{5}{3} \times \frac{3}{5} = 1 \]

Calcul de la seconde partie de \(B\):
\[ \frac{16}{45} \times \frac{35}{8} = \frac{16 \times 35}{45 \times 8} = \frac{560}{360} = \frac{56}{36} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9} \]

Donc,
\[ B = 1 + \frac{14}{9} = \frac{9}{9} + \frac{14}{9} = \frac{23}{9} \]

\[ C = \frac{( -\frac{1}{2} – \frac{1}{3} )}{( \frac{3}{2} – \frac{2}{3} )} \]

Calcul du numérateur de \(C\):
\[ -\frac{1}{2} – \frac{1}{3} = -\frac{3}{6} – \frac{2}{6} = -\frac{5}{6} \]

Calcul du dénominateur de \(C\):
\[ \frac{3}{2} – \frac{2}{3} = \frac{9}{6} – \frac{4}{6} = \frac{5}{6} \]

Donc,
\[ C = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = -1 \]

Les résultats finaux sont :
\[ A = 0 \]
\[ B = \frac{23}{9} \]
\[ C = -1 \]

Exercice 47 : résultat sous forme d’une fraction irréductible
Pour \( A \):

\[
A = -\frac{7}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{10} \times \frac{3}{4}
\]

En multipliant les fractions :

\[
A = -( \frac{7 \times 1 \times 3 \times 3}{5 \times 2 \times 10 \times 4} ) = -\frac{63}{400}
\]

La fraction \(\frac{63}{400}\) est déjà irréductible.

Donc,

\[
A = -\frac{63}{400}
\]

Pour \( B \):

\[
B = ( \frac{3}{2} – \frac{5}{4} ) \times \frac{2}{3} : ( \frac{7}{6} – 1 )
\]

Commençons par simplifier chaque partie.

\[
\frac{3}{2} – \frac{5}{4} = \frac{6}{4} – \frac{5}{4} = \frac{1}{4}
\]

\[
\frac{7}{6} – 1 = \frac{7}{6} – \frac{6}{6} = \frac{1}{6}
\]

Ensuite,

\[
B = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{6}{1} = \frac{1 \times 2 \times 6}{4 \times 3 \times 1} = \frac{12}{12} = 1
\]

Donc,

\[
B = 1
\]

Pour \( C \):

\[
C = ( \frac{9}{4} – \frac{1}{2} ) : \frac{3}{2} + \frac{1}{3} ( \frac{7}{2} – 2 )
\]

Commençons par simplifier chaque partie.

\[
\frac{9}{4} – \frac{1}{2} = \frac{9}{4} – \frac{2}{4} = \frac{7}{4}
\]

Ensuite, on divise par \(\frac{3}{2}\):

\[
\frac{7}{4} : \frac{3}{2} = \frac{7}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{7 \times 2}{4 \times 3} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}
\]

Puis,

\[
\frac{7}{2} – 2 = \frac{7}{2} – \frac{4}{2} = \frac{3}{2}
\]

Ensuite,

\[
\frac{1}{3} ( \frac{3}{2} ) = \frac{1 \times 3}{3 \times 2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

Donc,

\[
C = \frac{7}{6} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}
\]

Donc,

\[
C = \frac{5}{3}
\]