Théorème de Pythagore : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : théorème de Pythagore.
1. À l’aide des informations données par la figure, calculer AC et HB.

exercices Pythagore 4ème

Utilisons la partie directe du théorème de Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H pour calculer AC:

AC^2\,=\,AH^2\,%2B\,CH^2
AC^2\,=\,12^2\,%2B\,9^2
AC^2\,=\,144\,%2B\,81
AC^2\,=\,225
AC\,=\,\sqrt{225}
AC\,=\,15\,\%2C\,cm

Ensuite, utilisons la partie directe du théorème de Pythagore dans le triangle AHB  rectangle en H pour calculer HB:

AB^2\,=\,AH^2\,%2B\,HB^2
13^2\,=\,12^2\,%2B\,HB^2
169\,=\,144\,%2B\,HB^2
HB^2\,=\,169\,-\,144
HB^2\,=\,25
HB\,=\,\sqrt{25}
HB\,=\,5\,\%2C\,cm

2. Calculer l’aire et le périmètre du triangle ABC.

L’aire A du triangle ABC est donnée par:

A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,base\,\times  \,hauteur
A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,BC\,\times  \,AH
A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,(9\,\%2C\,cm\,%2B\,5\,\%2C\,cm)\,\times  \,12\,\%2C\,cm
A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,14\,\%2C\,cm\,\times  \,12\,\%2C\,cm
A\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,168\,\%2C\,cm^2
A\,=\,84\,\%2C\,cm^2

Le périmètre P du triangle ABC est la somme des longueurs de ses côtés:

P\,=\,AC\,%2B\,CB\,%2B\,AB
P\,=\,15\,\%2C\,cm\,%2B\,9\,\%2C\,cm\,%2B\,13\,\%2C\,cm
P\,=\,37\,\%2C\,cm

Exercice 2 : Pythagore – calcul.

exercices théorème de Pythagore 4ème

1. Calcul de AH :
Dans le triangle ABH rectangle en H, nous utilisons la partie directe du théorème de Pythagore :

AB^2\,=\,AH^2\,%2B\,BH^2

11%2C5^2\,=\,AH^2\,%2B\,6%2C9^2

132%2C25\,=\,AH^2\,%2B\,47%2C61

AH^2\,=\,132%2C25\,-\,47%2C61

AH^2\,=\,84%2C64

AH\,=\,\sqrt{84%2C64}

AH\,=\,9%2C2\,\%2C\,cm

2. Calcul de AC :

Dans le triangle AHC rectangle en H, nous utilisons à nouveau le théorème de Pythagore :

AC^2\,=\,AH^2\,%2B\,HC^2

AC^2\,=\,84%2C64\,%2B\,15^2

AC^2\,=\,84%2C64\,%2B\,225

AC^2\,=\,\,309%2C64

AC\,=\,\sqrt{309%2C64}

AC \approx 17,5965

Valeurs\,approchees\,au\,millieme\,%3A

AH\,\approx\,17%2C597\,\%2C\,cm

AC\,\approx\,17%2C597\,\%2C\,cm

Exercice 3 : volume et Pythagore.

exercice volume Pythagore
1) La face ABCD est un carré de côté 4 cm.

2) Le triangle ABC est un triangle isocèle en B car AB\,=\,BC\,=\,4 cm et AC est l’hypoténuse.

3) Le segment %5BAC%5D est la diagonale du carré ABCD.

4) Le segment %5BAC%5D est l’hypoténuse du triangle isocèle ABC.

5) Le triangle ACE est un triangle rectangle en A, car AC et AE sont perpendiculaires.

6) Le segment %5BCE%5D est l’hypoténuse du triangle rectangle ACE.

7) Pour calculer la longueur de %5BAC%5D, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABC :
AC^2\,=\,AB^2\,%2B\,BC^2
AC^2\,=\,4^2\,%2B\,4^2
AC^2\,=\,16\,%2B\,16
AC^2\,=\,32
AC\,=\,\sqrt{32}\,\approx\,5.66\,\%2C\,cm

8) Pour calculer la longueur de %5BCE%5D, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ACE :
CE^2\,=\,AC^2\,%2B\,AE^2
CE^2\,=\,32\,%2B\,4^2
CE^2\,=\,32\,%2B\,16
CE^2\,=\,48
CE\,=\,\sqrt{48}\,=\,4\sqrt{3}\,\approx\,6.93\,\%2C\,cm

La valeur exacte de CE est 4\sqrt{3}\,\approx\,6.93\,\%2C\,cm, arrondi au millimètre près.

Exercice 4 : réciproque du théorème de Pythagore.
Pour vérifier si le triangle est rectangle, on doit vérifier si le théorème de Pythagore est vérifié. Le théorème de Pythagore stipule que pour un triangle rectangle avec les longueurs des côtés a, b et l’hypoténuse c :

c^2\,=\,a^2\,%2B\,b^2

Dans notre cas, nous avons :
AB\,=\,7%2C3\%2C\,cm
AC\,=\,5%2C5\%2C\,cm
BC\,=\,4%2C8\%2C\,cm

Nous allons vérifier les trois cas possibles :

1. AB est l’hypoténuse :

AB^2\,=\,AC^2\,%2B\,BC^2

Calculons :

AB^2\,=\,7%2C3^2\,=\,53%2C29
AC^2\,=\,5%2C5^2\,=\,30%2C25
BC^2\,=\,4%2C8^2\,=\,23%2C04

AB^2\,=\,AC^2\,%2B\,BC^2
53%2C29\,=\,30%2C25\,%2B\,23%2C04

53%2C29\,=\,53%2C29

Donc, le triangle est rectangle car le théorème de Pythagore est vérifié lorsqu’ AB est l’hypoténuse.

2. AC est l’hypoténuse :

AC^2\,=\,AB^2\,%2B\,BC^2

AC^2\,=\,5%2C5^2\,=\,30%2C25
AB^2\,=\,7%2C3^2\,=\,53%2C29
BC^2\,=\,4%2C8^2\,=\,23%2C04

AC^2\,=\,AB^2\,%2B\,BC^2
30%2C25\,\ne\,53%2C29\,%2B\,23%2C04

3. BC est l’hypoténuse :

BC^2\,=\,AB^2\,%2B\,AC^2

BC^2\,=\,4%2C8^2\,=\,23%2C04
AB^2\,=\,7%2C3^2\,=\,53%2C29
AC^2\,=\,5%2C5^2\,=\,30%2C25

BC^2\,=\,AB^2\,%2B\,AC^2
23%2C04\,\ne\,53%2C29\,%2B\,30%2C25

Puisque le théorème de Pythagore est vérifié uniquement lorsque AB est l’hypoténuse, cela confirme que:

Le triangle avec les côtés AB\,=\,7%2C3\%2C\,cm, AC\,=\,5%2C5\%2C\,cm et BC\,=\,4%2C8\%2C\,cm est un triangle rectangle.

Exercice 5 : réciproque du théorème de Pythagore – application.
Pour démontrer qu’un triangle est rectangle, il suffit de vérifier si le carré de la longueur de l’un des côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, conformément au théorème de Pythagore.

Pour le Triangle 1 :
AB\,=\,22%2C1\,\%2C\,mm%2C\,\quad\,AC\,=\,14\,\%2C\,mm%2C\,\quad\,BC\,=\,17%2C1\,\%2C\,mm

Calculons les carrés des longueurs :
AB^2\,=\,22%2C1^2\,=\,488%2C41
AC^2\,=\,14^2\,=\,196
BC^2\,=\,17%2C1^2\,=\,292%2C41

Vérifions si AB^2 est égal à AC^2\,%2B\,BC^2 :
AC^2\,%2B\,BC^2\,=\,196\,%2B\,292%2C41\,=\,488%2C41

Nous avons :
AB^2\,=\,AC^2\,%2B\,BC^2

Donc, le triangle ABC est rectangle en C, et l’hypoténuse est AB.

Pour le Triangle 2 :
AB\,=\,60\,\%2C\,mm%2C\,\quad\,AC\,=\,100\,\%2C\,mm%2C\,\quad\,BC\,=\,80\,\%2C\,mm

Calculons les carrés des longueurs :
AB^2\,=\,60^2\,=\,3600
AC^2\,=\,100^2\,=\,10000
BC^2\,=\,80^2\,=\,6400

Vérifions si AC^2 est égal à AB^2\,%2B\,BC^2 :
AB^2\,%2B\,BC^2\,=\,3600\,%2B\,6400\,=\,10000

Nous avons :
AC^2\,=\,AB^2\,%2B\,BC^2

Donc, le triangle ABC est rectangle en B, et l’hypoténuse est AC.

Exercice 6 : théorème de Pythagore.
Pour démontrer que le triangle PAS est rectangle, nous utiliserons le théorème de Pythagore. Le triangle sera rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

exercices théorème de Pythagore

Les longueurs des côtés sont les suivantes :
PA\,=\,3x\,%2B\,6
PS\,=\,4x\,%2B\,8
AS\,=\,5x\,%2B\,10

Nous devons vérifier l’équation suivante :
AS^2\,=\,PA^2\,%2B\,PS^2

Calculons d’abord AS^2:

AS\,=\,5x\,%2B\,10
AS^2\,=\,(5x\,%2B\,10)^2\,=\,25x^2\,%2B\,100x\,%2B\,100

Calculons ensuite PA^2 et PS^2:

PA\,=\,3x\,%2B\,6
PA^2\,=\,(3x\,%2B\,6)^2\,=\,9x^2\,%2B\,36x\,%2B\,36

PS\,=\,4x\,%2B\,8
PS^2\,=\,(4x\,%2B\,8)^2\,=\,16x^2\,%2B\,64x\,%2B\,64

Additionnons les deux résultats :

PA^2\,%2B\,PS^2\,=\,(9x^2\,%2B\,36x\,%2B\,36)\,%2B\,(16x^2\,%2B\,64x\,%2B\,64)
PA^2\,%2B\,PS^2\,=\,9x^2\,%2B\,16x^2\,%2B\,36x\,%2B\,64x\,%2B\,36\,%2B\,64
PA^2\,%2B\,PS^2\,=\,25x^2\,%2B\,100x\,%2B\,100

Nous constatons que :

PA^2\,%2B\,PS^2\,=\,25x^2\,%2B\,100x\,%2B\,100\,=\,AS^2

Donc, par le théorème de Pythagore, le triangle PAS est bien un triangle rectangle.

Exercice 7 : theoreme de pythagore
Soit ABC, un triangle rectangle en B tel que AB\,=\,6 cm et BC\,=\,8 cm. Calculons la longueur AC.

Dans un triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse se calcule à l’aide du théorème de Pythagore.

AC^2\,=\,AB^2\,%2B\,BC^2

Remplaçons les valeurs données :

AC^2\,=\,6^2\,%2B\,8^2

AC^2\,=\,36\,%2B\,64

AC^2\,=\,100

En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation, nous obtenons :

AC\,=\,\sqrt{100}

AC\,=\,10\,\%2C\,cm

Donc, la longueur de AC est 10 cm.

Exercice 8 : le théorème de Pythagore
Situation 1

IJK est un triangle rectangle en I tel que IJ\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm et JK\,=\,7%2C5\,\%2C\,cm.

Utilisons le théorème de Pythagore pour calculer la longueur exacte de IK.

Dans un triangle rectangle, on a :
IK^2\,=\,IJ^2\,%2B\,JK^2

Substituons les valeurs données :
IK^2\,=\,(4%2C5)^2\,%2B\,(7%2C5)^2
IK^2\,=\,20%2C25\,%2B\,56%2C25
IK^2\,=\,76%2C5

En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons :
IK\,=\,\sqrt{76%2C5}
IK\,=\,\sqrt{76%2C5}\,\approx\,8%2C75\,\%2C\,cm

Donc, la longueur exacte de IK est \sqrt{76%2C5}\,\%2C\,cm.

Situation 2

Dans chaque cas, déterminons si le triangle ABC est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore. Si oui, précisons en quel point.

a) AB\,=\,24\,\%2C\,cm%2C\,\%2C\,AC\,=\,7\,\%2C\,cm%2C\,\%2C\,BC\,=\,25\,\%2C\,cm

Pour savoir si le triangle est rectangle, vérifions si le carré de la longueur de la plus grande côté (BC) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (AB et AC):

BC^2\,=\,AB^2\,%2B\,AC^2
25^2\,=\,24^2\,%2B\,7^2
625\,=\,576\,%2B\,49
625 = 625

Les deux côtés sont égaux, donc le triangle ABC est rectangle en A.

b) AB\,=\,4\,\%2C\,cm%2C\,\%2C\,AC\,=\,7\,\%2C\,cm%2C\,\%2C\,BC\,=\,5%2C75\,\%2C\,cm

Vérifions de la même manière :

BC^2\,=\,AB^2\,%2B\,AC^2
(5%2C75)^2\,=\,4^2\,%2B\,7^2
33%2C0625\,=\,16\,%2B\,49
33%2C0625\,\neq\,65

Les deux côtés ne sont pas égaux, donc le triangle ABC n’est pas rectangle.

Exercice 9 : théorème de Pythagore et applications

exercices théorème de Pythagore
On considère les deux triangles rectangles ABD et  BCD :

1. BD^2 :

Dans \triangle\,ABD, on applique le théorème de Pythagore :

BD^2\,=\,AB^2\,%2B\,AD^2

Sachant que AB\,=\,5%2C5\,\%2C\,cm et AD\,=\,1%2C5\,\%2C\,cm, nous avons :

BD^2\,=\,(5.5)^2\,%2B\,(1.5)^2

Calculons :

BD^2\,=\,30.25\,%2B\,2.25\,=\,32.5\,\%2C\,cm^2

2.

Dans \triangle\,BCD, on applique aussi le théorème de Pythagore :

BC^2\,=\,BD^2\,%2B\,CD^2

Sachant que BC\,=\,3%2C5\,\%2C\,cm et BD^2\,=\,32%2C5\,\%2C\,cm^2, nous avons :

BC^2\,=\,BD^2\,%2B\,CD^2\,\Rightarrow\,(3.5)^2\,=\,32.5\,%2B\,CD^2

Ce qui donne :

12.25\,=\,32.5\,%2B\,CD^2\,\Rightarrow\,CD^2\,=\,12.25\,-\,32.5\,=\,-20.25

Nous faisons une erreur ici car vous ne pouvez pas obtenir valeur negative.

Recalculons

BD\,^\,2\,=\,AB\,^\,2\,%2B\,AD\,^\,2
BD\,^\,2\,=\,(\,5\,%2C\,5\,)\,^\,2\,-\,(\,1\,%2C\,5\,)\,^\,2\,=\,30\,%2C\,25\,-\,2\,%2C\,25\,=\,28

BC\,^\,2\,=\,BD\,^\,2\,%2B\,CD\,^\,2
BC\,^\,2\,-\,CD\,^\,2\,=\,BD\,^\,2
BC\,^\,2\,-\,BD\,^\,2\,=\,CD\,^\,2
(\,3\,%2C\,5\,)\,^\,2\,-\,28\,=\,CD\,^\,2
12.25 – 28 = -15.75

Ainsi, la valeur de CD^2 serait negative non existe. Rectifions des valeurs de des longs. Pour correct l’équation! Result error in calculs.

Rectifications des valeurs des longs. Pour corriger l’équation ! Erreur de résultat dans les calculs.

Exercice 10 : le trapèze rectangle

Théorème de Pythagore
1) Le quadrilatère NORD est un . On peut observer que NO est perpendiculaire à NR. Les côtés NO et DF sont parallèles, et les côtés ND et OR ne sont pas parallèles, formant un trapèze rectangle.

On peut observer que NO est perpendiculaire à NR. Les côtés NO et DF sont parallèles, et les côtés ND et OR ne sont pas parallèles, formant un rectangle trapèze.

2) Le quadrilatère NOFD est un rectangle. En effet, NO est perpendiculaire à ND, et DF est perpendiculaire à NR, ce qui en fait un rectangle avec des angles droits à chaque coin.

3) Calcul des longueurs FO, DF et FR.

Puisque NOFD est un rectangle, nous avons:
NO\,\parallel\,DF\,\quad\,et\,\quad\,ND\,\parallel\,OF
Donc:
ND\,=\,OF\,=\,122\,-\,107\,=\,15
et
NO\,=\,DF\,=\,112

Pour calculer FR, il faut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle FOR:
FR^2\,=\,FO^2\,%2B\,OR^2
FO est égal à 112 (la hauteur du rectangle), et OR est égal à 15 (la différence entre 122 et 107):
FR^2\,=\,112^2\,%2B\,15^2
FR^2\,=\,12544\,%2B\,225
FR^2\,=\,12769
FR\,=\,\sqrt{12769}
FR\,=\,113

En récapitulant:
FO\,=\,112%2C\,\quad\,DF\,=\,112%2C\,\quad\,FR\,=\,113

4) Calcul de la longueur OR:

La longueur OR a été déterminée précédemment comme étant l’écart entre ND et DF:
OR\,=\,15

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