Théorème de Pythagore : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 11 : théorème de Pythagore et cercle.
1) Nature de \( \triangle ABC \)

Puisque \( AB \) est un diamètre du cercle et \( C \) est un point sur ce cercle, \( \triangle ABC \) est un triangle inscrit dans un cercle avec un diamètre comme un côté.
Par le théorème de Thalès, un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.
Donc, \(\angle ACB\) = \(90^\circ\).
Ainsi, \(\triangle ABC\) est un triangle rectangle en \(C\).

2) Calculer \(BC\) (valeur exacte simplifiée).

Dans \( \triangle ABC \), utilisant le théorème de Pythagore :

\[
AC^2 + BC^2 = AB^2
\]

Sachant que \(AB = 12 \text{ cm}\) et \(AC = 8 \text{ cm}\), nous avons :

\[
8^2 + BC^2 = 12^2
\]
\[
64 + BC^2 = 144
\]
\[
BC^2 = 144 – 64
\]
\[
BC^2 = 80
\]
\[
BC = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ cm}
\]

3) Placer le point \( D \) sur la demi-droite \( [AC) \) tel que \( CD = 10 \text{ cm} \).

Puisque \( D \) est sur la demi-droite \( [AC) \):

\[
AD = AC + CD = 8 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 18 \text{ cm}
\]

4) a) Dimensions des côtés du triangle \( \triangle ABD \) :

– \( AB = 12 \text{ cm} \)
– \( AD = 18 \text{ cm} \)
– \( BD = ? \)

4) b) Calculer la longueur \( BD \) (valeur exacte simplifiée) :

Utilisant le théorème de Pythagore dans \(\triangle BCD\) :

\[
BD^2 = BC^2 + CD^2
\]

Nous avons \(BC = 4\sqrt{5} \text{ cm}\) et \(CD = 10 \text{ cm}\) :

\[
BD^2 = (4\sqrt{5})^2 + 10^2
\]
\[
BD^2 = 80 + 100
\]
\[
BD^2 = 180
\]
\[
BD = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \text{ cm}
\]

4) b) Démontrer que \( \triangle ABD \) est rectangle :

Utilisons le théorème de Pythagore pour vérifier que :

\[
AB^2 + BD^2 = AD^2
\]

Nous avons \(AB = 12 \text{ cm}\), \(BD = 6\sqrt{5} \text{ cm}\), et \(AD = 18 \text{ cm}\) :

\[
AB^2 = 12^2 = 144
\]
\[
BD^2 = (6\sqrt{5})^2 = 180
\]
\[
AD^2 = 18^2 = 324
\]

Nous vérifions :

\[
144 + 180 = 324
\]

L’égalité est vérifiée, donc \(\triangle ABD\) est un triangle rectangle en \(B\).

5) La droite \( (AD) \) est un diamètre du cercle \( C \) :

Puisque \( (AB) \) est un diamètre et \( D \) est tel que \(AD = AB + CD = 18 \text{ cm}\), la droite \( (AD) \) passe par le centre du cercle \(C\) et est également un diamètre du cercle \(C\).

Conclusion : \( (AD) \) traverse le cercle par son centre.

Exercice 12 : l’arbre de pythagore
Pour résoudre ce problème, nous devons observer les dimensions des carrés et des triangles dans la figure fournie. Voici les étapes de la déduction :

1. Appelons la longueur du côté du carré rose \( a \). Par souci de clarté, définissons quelques points d’intérêt et les longueurs correspondantes sur la figure.

2. Le côté du carré rose (carré 0) a pour longueur \( a \).
3. Les carrés verts sont situés aux coins et à mi-chemin des côtés du carré rose.

Les étapes de la solution sont comme suit :

1. Identifier les longueurs des côtés des carrés et des triangles adjacents :
– Les triangles rectangles isocèles ont des côtés de longueur \( a \).
– Par conséquent, chaque carré violet adjacent au carré 1 (par exemple) a une aire de \((\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = \frac{a^2}{2}\).
– De même, chaque carré vert adjacent au carré violet a une aire de \((\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}\).

2. On remarque qu’il y a 4 carrés verts, et chaque carré vert a une aire suivante:
\[
\text{Aire de chaque carré vert} = (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}
\]

3. Le total de la somme des aires de tous les carrés verts est :
\[
4 \times \frac{a^2}{4} = a^2
\]

\[\]Conclusion :\[\]
La somme des aires des carrés verts en fonction de l’aire du carré rose est égale à l’aire du carré rose.

Utilisation de LaTeX pour les équations :

\[
\text{Soit } A \text{ l’aire du carré rose.}
\]
\[
A = a^2
\]
\[
\text{Alors, la somme des aires des carrés verts } = a^2
\]
\[
\boxed{a^2}
\]

Ainsi, la somme des aires des carrés verts est égale à l’aire du carré rose.

Exercice 13 : pythagore et calcul d’aire.
Pour calculer l’aire noire, nous devons d’abord déterminer les dimensions du rectangle \(ABCD\) et ensuite soustraire l’aire du triangle \(DKC\).

Le segment \(BC\) étant l’un des côtés du rectangle \(ABCD\), sa longueur est donnée par \(BC = 12\) cm. Pour déterminer sa longueur, nous devons trouver celle de \(AB\), en sachant que les deux triangles partagent \(BC\) comme un côté.

Calculons les valeurs inconnues du triangle rectangle \(DKC\).

1. \(\text{Calculons l’aire du triangle } DKC\)

\(DK\) et \(KC\) sont les longueurs des deux côtés du triangle rectangle en \(K\). Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule de l’aire pour un triangle rectangle:
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times DK \times KC
\]

\[
\text{Aire de } DKC = \frac{1}{2} \times 24 \times 7 = \frac{1}{2} \times 168 = 84 \, \text{cm}^2
\]

2. \(\text{Calculons les dimensions du rectangle } ABCD\)

La longueur du rectangle \(AB\) est la même que celle de \(DK\), donc \(AB = 24\) cm.

La largeur du rectangle \(BC\) est donnée par \(BC = 12\) cm.

L’aire du rectangle \(ABCD\) est donc donnée par :
\[
\text{Aire du rectangle } ABCD = AB \times BC = 24 \times 12 = 288 \, \text{cm}^2
\]

3. \(\text{Calculons l’aire noire}\)

L’aire noire est la différence entre l’aire du rectangle \(ABCD\) et celle du triangle \(DKC\). Donc :
\[
\text{Aire noire} = \text{Aire du rectangle } ABCD – \text{Aire du triangle } DKC
\]

\[
\text{Aire noire} = 288 \, \text{cm}^2 – 84 \, \text{cm}^2 = 204 \, \text{cm}^2
\]

Ainsi, l’aire noire est de \(204 \, \text{cm}^2\).

Exercice 14 : problème ouvert, théorème de Pythagore
Étant donné que \( \triangle ABC \) est un triangle rectangle en \( B \), nous appliquons le théorème de Pythagore. Ce théorème nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Ici, l’hypoténuse est \( AC \) et les deux autres côtés sont \( AB \) et \( BC \). Donc nous avons :

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

En remplaçant par les valeurs données :

\[ 6,5^2 = 4^2 + BC^2 \]

Calculons les carrés :

\[ 42,25 = 16 + BC^2 \]

Soustrayons 16 des deux côtés pour isoler \( BC^2 \) :

\[ 42,25 – 16 = BC^2 \]

\[ 26,25 = BC^2 \]

Prenons la racine carrée des deux côtés pour trouver \( BC \) :

\[ BC = \sqrt{26,25} \]

\[ BC \approx 5,12 \]

Donc, la longueur du côté \( BC \) est d’environ \( 5,12 \) cm.

Exercice 15 : probleme ouvert du cric automobile et pythagore.
La figure représente un losange \(ABCD\) avec des côtés de 21 cm. Lorsqu’on abaisse une diagonale jusqu’à 32 cm, la contrainte est de déterminer la hauteur à laquelle la voiture est soulevée, ce qui correspond à la mesure de la demi-diagonale verticale, soit \(AE\).

On sait que dans un losange, les diagonales se coupent perpendiculairement et se bisectent mutuellement.

Soit \(O\) le point d’intersection des diagonales, alors \(OE = AE\).

Soit \(d_1 = 32\) cm la diagonale horizontale soit \(d_2\) la diagonale verticale. Puisque les diagonales se coupent en leur milieu, nous avons:
\[AO = \frac{d_1}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ cm}\]

Le triangle \( AOE \) est un triangle rectangle avec \(AO\) comme une des deux perpendiculaires, \( AE\) comme la deuxième perpendiculaire (verticale), et \(AE\) comme hypoténuse.

Utilisons le théorème de Pythagore:
\[AO^2 + OE^2 = AE^2\]

Nous connaissons \(|AO|\) et \(|AE|\):
\[21^2 = 16^2 + OE^2\]
\[441 = 256 + OE^2\]
\[OE^2 = 441 – 256\]
\[OE^2 = 185\]
\[OE = \sqrt{185} \]
\[OE \approx 13.6 \text{ cm}\]

Ainsi, la hauteur à laquelle la voiture est soulevée est approximativement de \(13.6 \text{ cm}\).

Exercice 16 : problème ouvert de la piscine, théorème de pythagore, cercle circonscrit.
Mathys (M) et Ethan (E) sont assis en deux points diamétralement opposés d’une piscine circulaire de profondeur \(1.80 \, \text{m}\). Lorsque Louna (L) prend place au bord du même bassin, tous deux nagent tout droit vers elle.

Après un parcours de \(10 \, \text{m}\), Mathys a déjà atteint Louna alors qu’Ethan devra nager \(14 \, \text{m}\) de plus que Mathys pour la rejoindre.

Combien de litres d’eau y a-t-il dans la piscine ? Expliquer.

Pour déterminer le volume de la piscine, nous devons d’abord déterminer le rayon \(r\) de la piscine circulaire. Sachant que \(ME\) est le diamètre de la piscine, nous devons utiliser les informations fournies pour trouver ce diamètre.

1. Considérons le triangle \(MEL\) rectangle en \(L\) puisque \(ME\) est le diamètre.

2. \(ML = 10 \, \text{m}\)
3. \(EL = ML + 14 \, \text{m} = 10 \, \text{m} + 14 \, \text{m} = 24 \, \text{m}\)

Par le théorème de Pythagore dans le triangle \(MEL\),
\[ ME^2 = ML^2 + EL^2 \]
donc
\[ ME^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 \]
\[ ME = \sqrt{676} = 26 \, \text{m} \]

Puisque \(ME\) est le diamètre de la piscine,
\[ ME = 2r \]
\[ 2r = 26 \]
\[ r = 13 \, \text{m} \]

Le volume \(V\) de la piscine cylindrique est donné par
\[ V = \pi r^2 h \]
où \(r = 13 \, \text{m}\) et \(h = 1.80 \, \text{m}\).

\[ V = \pi \times 13^2 \times 1.80 \]
\[ V = \pi \times 169 \times 1.80 \]
\[ V = 305.64 \pi \]

Sachant que \( \pi \approx 3.14159 \),
\[ V \approx 305.64 \times 3.14159 \]
\[ V \approx 960.074 \, \text{m}^3 \]

Comme \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{litres}\),
le volume de la piscine en litres est approximativement
\[ 960.074 \times 1000 = 960074 \, \text{litres} \]

Donc, il y a environ \( 960074 \, \text{litres} \) d’eau dans la piscine.

Exercice 17 : cerf-volant et Théorème de Pythagore .
Pour déterminer la hauteur du peuplier, nous allons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle formé par le fil du cerf-volant, la distance entre Maud et l’arbre, et la hauteur du peuplier.

Soient :
– \( h \) la hauteur du peuplier,
– \( d = 15\,m \) la distance entre Maud et l’arbre,
– \( l = 20\,m \) la longueur du fil.

Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[ l^2 = d^2 + h^2 \]

En remplaçant par les valeurs fournies :
\[ 20^2 = 15^2 + h^2 \]

Calculons chaque carré :
\[ 400 = 225 + h^2 \]

Ensuite, isolons \( h^2 \) :
\[ h^2 = 400 – 225 \]
\[ h^2 = 175 \]

En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation, nous obtenons :
\[ h = \sqrt{175} \]

Comme \( 175 = 25 \times 7 \), nous avons :
\[ h = \sqrt{25 \times 7} \]
\[ h = 5\sqrt{7} \]

Maintenant, nous allons arrondir la valeur de \( \sqrt{7} \) (environ 2,65) :
\[ h \approx 5 \times 2,65 \]
\[ h \approx 13,25 \,m \]

Finalement, nous devons ajouter la hauteur de Maud (1,40 m), car la distance \( d \) prise en compte est à partir du point d’attache du fil du cerf-volant au niveau de sa main, pas du sol.

La hauteur totale du peuplier est donc :
\[ H = h + 1,4 \]
\[ H \approx 13,25 + 1,4 \]
\[ H \approx 14,65 \,m \]

La hauteur approximative du peuplier est donc d’environ \( 14,65\,m \).

Exercice 18 : garage et Pythagore
Pour calculer la distance \\(AB\\) entre le portail et l’entrée, nous allons appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \\(ABC\\).

Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Dans le triangle \\(ABC\\), \\(AC\\) est l’hypoténuse, \\(AB\\) et \\(BC\\) sont les deux autres côtés. Nous avons les longueurs :

\\[
AC = 10{,}25 \, \text{m}
\\]
\\[
BC = 2{,}25 \, \text{m}
\\]

Nous devons trouver la longueur de \\(AB\\). Selon le théorème de Pythagore :

\\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\\]

En isolant \\(AB^2\\), nous obtenons :

\\[
AB^2 = AC^2 – BC^2
\\]

Ensuite, nous substituons les valeurs données :

\\[
AB^2 = 10{,}25^2 – 2{,}25^2
\\]

Calculons les carrés des longueurs :

\\[
10{,}25^2 = 105{,}0625 \, \text{m}^2
\\]
\\[
2{,}25^2 = 5{,}0625 \, \text{m}^2
\\]

Soustrayons ces valeurs :

\\[
AB^2 = 105{,}0625 – 5{,}0625
\\]
\\[
AB^2 = 100 \, \text{m}^2
\\]

Prenons la racine carrée des deux côtés pour trouver \\(AB\\) :

\\[
AB = \sqrt{100}
\\]
\\[
AB = 10 \, \text{m}
\\]

Ainsi, la distance \\(AB\\) entre le portail et l’entrée est de 10 mètres.

Exercice 19 : problème ouvert et calcul d’aire d’un carré.
Soit le carré \( ABCD \) de côté \( a \).

L’aire du carré \( ABCD \) est :
\[ A = a^2 \]

Nous voulons construire un nouveau carré dont l’aire est le double de celle du carré \( ABCD \). Soit \( A’ \) l’aire de ce nouveau carré, nous avons :
\[ A’ = 2a^2 \]

Soit \( b \) le côté de ce nouveau carré. Par définition de l’aire d’un carré, nous avons :
\[ b^2 = A’ \]

En remplaçant \( A’ \) par \( 2a^2 \), il vient :
\[ b^2 = 2a^2 \]

Pour obtenir \( b \), nous prenons la racine carrée de chaque côté de l’équation :
\[ b = \sqrt{2a^2} \]
\[ b = a\sqrt{2} \]

Ainsi, le côté du nouveau carré est \( a\sqrt{2} \).

Méthode de construction :
1. Tracer une diagonale du carré \( ABCD \). Par exemple, diagonale \( AC \).
2. La longueur de \( AC \) est \( a\sqrt{2} \) en utilisant le théorème de Pythagore, puisque \( AC \) est l’hypoténuse du triangle rectangle \( \triangle ABC \).
3. Utiliser cette longueur \( AC \) pour déterminer le côté du nouveau carré. C’est-à-dire, tracer un nouveau carré dont le côté est équivalent à la longueur \( AC \).
4. Le carré obtenu a alors une aire égale au double de celle de \( ABCD \).

Nous pouvons vérifier cela en calculant la nouvelle aire :
Si le côté du nouveau carré est \( a\sqrt{2} \), alors son aire est :
\[ b^2 = (a\sqrt{2})^2 = a^2 \times 2 = 2a^2 \]

Ce qui est effectivement le double de l’aire du carré initial \( ABCD \).

Exercice 20 : problème ouvert sur le socle de compétence.
Pour construire un troisième carré ayant une aire égale à la somme des aires des deux carrés donnés, considérons les aires des deux carrés initialement donnés.

Soit \(a\) le côté du premier carré \((ABCD)\) et \(e\) le côté du second carré \((EFGH)\).

L’aire du premier carré \((ABCD)\) est:
\[ A_1 = a^2 \]

L’aire du second carré \((EFGH)\) est:
\[ A_2 = e^2 \]

La somme des aires des deux carrés est donc:
\[ A = A_1 + A_2 = a^2 + e^2 \]

Nous cherchons le côté \(x\) du troisième carré dont l’aire est égale à cette somme, c’est-à-dire:
\[ x^2 = a^2 + e^2 \]

Le côté \(x\) de ce troisième carré est donc:
\[ x = \sqrt{a^2 + e^2} \]

Ainsi, le côté du troisième carré qui a pour aire la somme des aires des deux carrés donnés est \( \sqrt{a^2 + e^2} \).

Exercice 21 : problème ouvert pour le socle de compétence.
Pour résoudre cet exercice, il faut déterminer la longueur de l’épée nécessaire pour traverser la boîte en ayant une marge de 10 cm.

1. La boîte est un cube de 1 mètre de côté. La plus grande distance à travers la boîte est sa diagonale.

2. La diagonale \(d\) d’un cube de côté \(a\) est donnée par:
\[
d = a \sqrt{3}
\]
Ici, \(a = 1 \, m\), donc:
\[
d = 1 \sqrt{3} = \sqrt{3} \, m \approx 1.732 \, m
\]

3. Puisque l’épée doit dépasser la boîte de 10 cm (= 0,1 m) de chaque côté:
\[
L = d + 2 \times 0.1 \, m = 1.732 \, m + 0.2 \, m = 1.932 \, m
\]
Donc, la longueur minimale de l’épée est de 1.932 mètres.

Pour vérifier si les épées conviennent pour une boîte en forme de pavé droit de dimensions 1,5 m ; 0,5 m ; 0,8 m :

1. Nous devons calculer la diagonale de ce pavé droit à partir de ses dimensions données (a, b, c).

2. La diagonale \(D\) d’un pavé droit est donnée par :
\[
D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
\]

3. Remplaçons \(a = 1.5 \, m\), \(b = 0.5 \, m\) et \(c = 0.8 \, m\) dans la formule:
\[
D = \sqrt{(1.5)^2 + (0.5)^2 + (0.8)^2} = \sqrt{2.25 + 0.25 + 0.64} = \sqrt{3.14} \approx 1.77 \, m
\]

4. En ajoutant les 20 cm pour dépasser:
\[
1.77 \, m + 0.2 \, m = 1.97 \, m
\]

Donc, une épée de 1.932 m ne serait pas suffisante pour traverser une boîte de dimensions 1,5 m ; 0,5 m ; 0,8 m. Le magicien aurait besoin d’une épée d’au moins 1.97 m.

Exercice 22 : problème ouvert de l’équerre.
Pour déterminer la trajectoire du point \( C \), considérons d’abord les coordonnées des points \( A \) et \( B \). Supposons que \( A \) est à la position (\(0, a\)) sur l’axe des ordonnées, et que \( B \) est à la position (\(b, 0\)) sur l’axe des abscisses.

L’équerre étant un triangle rectangle avec l’angle droit situé en \( A \), nous savons que les distances \( AC \) et \( BC \) sont constantes et égales. Cela signifie que lorsque l’équerre glisse, les points \( A \) et \( B \) continuent de former des coordonnées (\(0, y\)) et (\(x, 0\)), respectivement, tout en maintenant la longueur constante des côtés de l’équerre.

Si la longueur des côtés de l’équerre est \( L \), alors \( AC = BC = L \). Si \( A \) est au point \( (0, y) \) et \( B \) est au point \( (x, 0) \), pour respecter la forme de l’équerre, \( A \) et \( B \) doivent être sur les axes, et \( C \) doit se déplacer de telle manière que la distance \( AC \) et \( BC \) restent égales.

Avec les points \( A(0, y) \) et \( B(x, 0) \), le point \( C \) forme un cercle dont le diamètre est l’hypoténuse de l’équerre. Cette hypoténuse est une droite diagonale entre \( A \) et \( B \).

En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABC :

\[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Ici, \( d \) demeure constant car c’est la longueur de l’hypoténuse. Si nous paramétrons cette longueur et que \( y \) et \( x \) changent de manière complémentaire (puisque \( x \) et \( y \) respectent la configuration orthogonale de l’équerre), alors \( C \) forme une boucle d’une trajectoire semi-circulaire (car un axe est toujours la limite) au-dessus de l’autre sous ce paramétrage.

Conclusion :
\[ La trajectoire du point C est une courbe d’équation générale c = \sqrt{x^2 + y^2}, \, \text{fixée par le fait que cette trajectoire reste constante. La forme de cette courbe est un cercle.}\]

Les coordonnées de \( C\) doivent ainsi respecter cette relation longitudinale.

Exercice 23 : théorème de Pythagore et calculs de longueurs
Pour résoudre ces exercices, nous utilisons le théorème de Pythagore. Ce théorème stipule que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Premier triangle:

Pour le premier triangle, nous avons :

\[
a = 12, \quad b = 16, \quad c = ?
\]

puisque \(c\) est l’hypoténuse.

Utilisons le théorème de Pythagore :

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Substituons les valeurs connues :

\[
12^2 + 16^2 = c^2 \implies 144 + 256 = c^2 \implies 400 = c^2
\]

En prenant la racine carrée des deux côtés :

\[
c = \sqrt{400} \implies c = 20
\]

Donc, la longueur manquante est de \(20\) unités.

Deuxième triangle:

Pour le deuxième triangle, nous avons :

\[
a = 7, \quad c = 24, \quad b = ?
\]

puisque \(c\) est l’hypoténuse.

Utilisons le théorème de Pythagore :

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Substituons les valeurs connues :

\[
7^2 + b^2 = 24^2 \implies 49 + b^2 = 576 \implies b^2 = 576 – 49 \implies b^2 = 527
\]

En prenant la racine carrée des deux côtés :

\[
b = \sqrt{527} \implies b \approx 22.95
\]

Donc, la longueur manquante est d’environ \(22.95\) unités.

Exercice 24 : quadrilatère convexe et théorème de Pythagore
1. Calculer les longueurs manquantes.

Pour calculer les longueurs manquantes, nous allons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par les côtés de 4 cm et 3 cm.

Soit \(AB\) le côté manquant entre les deux côtés de 4 cm et 3 cm.

\[
AB^2 = 4^2 + 3^2
\]

\[
AB^2 = 16 + 9 = 25
\]

\[
AB = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Maintenant, nous devons trouver les deux autres côtés manquants, que nous appellerons \(CD\) et \(BD\). En utilisant la même méthode (le théorème de Pythagore), si nous supposons qu’il s’agit également de triangles rectangles (même si ce n’est pas précisé dans l’exercice, nous devons faire une supposition faute de meilleure information), nous pouvons estimer \(CD\) et \(BD\) comme suit:
Supposons que \(BD\) est la hauteur de 12 cm.

Alors,

\[
CD^2 = 12^2 – 3^2
\]

\[
CD^2 = 144 – 9 = 135
\]

\[
CD = \sqrt{135} \approx 11,62 \text{ cm}
\]

Tout cela dépend de la confirmation que les triangles impliqués sont rectangles.

2. Calculer l’aire.

L’aire d’un quadrilatère ne peut pas être trouvée directement étant donné les côtés seuls; elle dépend également de la forme. Supposons que les deux triangles formés dans le quadrilatère partageant la même base de 12 cm sont rectangles, alors:

L’aire du triangle avec une hauteur de 3 cm:

\[
\text{Aire}_1 = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \text{ cm}^2
\]

L’aire du triangle avec une hauteur de 4 cm:

\[
\text{Aire}_2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24 \text{ cm}^2
\]

Donc, l’aire totale du quadrilatère est:

\[
\text{Aire Totale} = \text{Aire}_1 + \text{Aire}_2 = 18 + 24 = 42 \text{ cm}^2
\]

Exercice 25 : démonstration du théorème de Pythagore
a. Les deux tapis utilisent au total la même quantité de laine blanche, car chaque tapis est divisé en quatre triangles rectangulaires identiques, disposés différemment. Il n’y a pas de motif qui nécessite plus de laine blanche que l’autre, car la surface totale de la laine blanche utilisée est la même dans les deux cas.

b. Dans chaque tapis carré, nous savons que les côtés du carré sont les mêmes et que la superficie totale doit également être la même. Soit \( a \) l’une des longueurs des côtés, \( b \) l’autre longueur des côtés, et \( c \) la longueur de l’hypoténuse.

Pour les triangles rectangles, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore qui donne :

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Donc, la relation entre \( a \), \( b \), et \( c \) est :

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Cela signifie que pour les deux motifs, les dimensions \( a \), \( b \), et \( c \) doivent satisfaire cette relation puisque chaque triangle dans les deux motifs doit être identique.

Exercice 26 : parallélogramme et théorème de Pythagore
Pour calculer l’aire du parallélogramme \(ABDC\), nous utilisons la formule suivante :
\[ \text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur} \]

Dans ce cas, la base \(AD\) du parallélogramme est de 15 cm et la hauteur \(FC\) est de 10 cm.

Ainsi, l’aire se calcule comme suit :
\[ \text{Aire} = 15 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} \]
\[ \text{Aire} = 150 \, \text{cm}^2 \]

L’aire du parallélogramme \(ABDC\) est donc de \( 150 \, \text{cm}^2 \).

Exercice 27 : losange et théorème de Pythagore
Pour calculer l’aire du losange \( EIJF \), nous utilisons la formule de l’aire d’un losange qui est :
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{diagonale 1} \times \text{diagonale 2} \]

Dans ce cas, les diagonales sont \( \overline{EG} + \overline{GF} \) et \( \overline{IG} + \overline{GJ} \).

Nous savons que :
\[ \overline{EG} + \overline{GF} = 13 \, \text{cm} \times 2 = 26 \, \text{cm} \]
\[ \overline{IG} + \overline{GJ} = 24 \, \text{cm} \]

Donc, les diagonales sont \( 26 \, \text{cm} \) et \( 24 \, \text{cm} \).

Appliquons maintenant la formule :

\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 26 \, \text{cm} \times 24 \, \text{cm} \]

Calculons l’aire :

\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 624 \, \text{cm}^{2} \]
\[ \text{Aire} = 312 \, \text{cm}^{2} \]

Donc, l’aire du losange \( EIJF \) est \( 312 \, \text{cm}^{2} \).

Exercice 28 : envoi d’une lettre par la poste
Pour déterminer si Jean peut envoyer sa lettre rectangulaire sans la plier, il faut vérifier si la lettre peut passer par l’ouverture de la boîte aux lettres.

Dimensions de la lettre : \(30,3 \, \text{cm} \times 50 \, \text{cm} \)

Dimensions de l’ouverture de la boîte aux lettres: \(30 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} \)

Il suffit alors de vérifier si l’une des dimensions de la lettre est inférieure ou égale aux dimensions de l’ouverture de la boîte aux lettres. On a :

– La lettre a une largeur de \(30,3 \, \text{cm}\) qui est supérieure à la largeur de l’ouverture qui est de \(30 \, \text{cm}\).
– La lettre a une hauteur de \(50 \, \text{cm}\), largement supérieure à la hauteur de l’ouverture de \(5 \, \text{cm}\).

Puisque :
\[ 30,3 \, \text{cm} > 30 \, \text{cm} \]
et
\[ 50 \, \text{cm} > 5 \, \text{cm} \]

Aucune des dimensions de la lettre n’est inférieure ou égale à celle de l’ouverture de la boîte aux lettres.

Ainsi, Jean ne peut pas envoyer cette lettre rectangulaire sans la plier.

Exercice 29 : le panneau d’une porte d’immeuble
Les dimensions du losange sont déterminées en joignant les milieux des côtés du rectangle de 75 cm sur 40 cm.

1. Pour déterminer la longueur de la diagonale horizontale du losange :
Le milieu de chaque côté horizontal (40 cm) est à \( \frac{40}{2} = 20 \) cm.
Ainsi, la diagonale horizontale du losange est égale à la longueur totale du côté vertical du rectangle, soit 75 cm.

2. Pour déterminer la longueur de la diagonale verticale du losange :
Le milieu de chaque côté vertical (75 cm) est à \( \frac{75}{2} = 37.5 \) cm.
Ainsi, la diagonale verticale du losange est égale à la largeur totale du côté horizontal du rectangle, soit 40 cm.

Finalement, les dimensions de la décoration centrale (le losange) sont donc :
– Diagonale horizontale : 75 cm
– Diagonale verticale : 40 cm

En LaTeX, cela donnerait :

« `latex

Les dimensions du losange sont déterminées en joignant les milieux des côtés du rectangle de 75 cm sur 40 cm.

1. Pour déterminer la longueur de la diagonale horizontale du losange :
\[
\text{Le milieu de chaque côté horizontal (40 cm) est à } \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}.
\]
Ainsi, la diagonale horizontale du losange est égale à la longueur totale du côté vertical du rectangle, soit 75 cm.

2. Pour déterminer la longueur de la diagonale verticale du losange :
\[
\text{Le milieu de chaque côté vertical (75 cm) est à } \frac{75}{2} = 37.5 \text{ cm}.
\]
Ainsi, la diagonale verticale du losange est égale à la largeur totale du côté horizontal du rectangle, soit 40 cm.

Finalement, les dimensions de la décoration centrale (le losange) sont donc :

Diagonale horizontale : 75 cm
Diagonale verticale : 40 cm

« `

Exercice 30 : fleurs sur une étagère
Pour trouver la hauteur \( TE \) étant donné que nous avons un triangle rectangle \( TAE \), nous allons utiliser le théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (ici \( AE \)) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (ici \( AT \) et \( TE \)).

Donc :

\[ AE^2 = AT^2 + TE^2 \]

Nous connaissons les longueurs suivantes :

\[ AT = 42 \, \text{cm} \]
\[ AE = 58 \, \text{cm} \]

Nous devons vérifier si :

\[ 58^2 = 42^2 + 40^2 \]

Calculons les valeurs :

\[ 58^2 = 3364 \]
\[ 42^2 = 1764 \]
\[ 40^2 = 1600 \]

Additionnons les carrés des segments \( AT \) et \( TE \) :

\[ 42^2 + 40^2 = 1764 + 1600 = 3364 \]

Nous remarquons que :

\[ AE^2 = AT^2 + TE^2 \]

\[ 58^2 = 42^2 + 40^2 \]

Ainsi, \( AE \) est bien l’hypoténuse du triangle rectangle \( TAE \), et la configuration donnée vérifie le théorème de Pythagore. Il en résulte que les mesures fournies sont cohérentes.

Donc :

\[ AT = 42 \, \text{cm} \]
\[ AE = 58 \, \text{cm} \]
\[ TE = 40 \, \text{cm} \]

La hauteur du point \( T \) par rapport à \( E \) est bien de \( 40 \, \text{cm} \).

Exercice 31 : le collier de Clémence
Pour former un triangle rectangle avec le collier de 12 perles de Clémence, nous devons fixer les perles aux positions correspondant aux longueurs qui satisferaient le théorème de Pythagore \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Sachant que Clémence a 12 perles, nous devons trouver trois nombres entiers dont la somme est 12 et qui vérifient le théorème de Pythagore. Ces nombres sont \( 3 \), \( 4 \), et \( 5 \) :

1. Choisissons \( a = 3 \) perles.
2. Choisissons \( b = 4 \) perles.
3. Choisissons \( c = 5 \) perles.

En plaçant les perles de cette manière, nous aurons bien un triangle rectangle car \( 3^2 + 4^2 = 5^2 \):

\[
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2
\]

a) Pour dessiner le collier de Clémence avec ces positions :
1. Dessinez 12 perles en ligne.
2. Fixez la première perle à \( A \).
3. Comptez 3 perles à partir de \( A \) pour trouver le point \( B \), ce qui donne \( B = 4^{\text{ème}} \) perle.
4. Comptez 4 perles à partir de B pour trouver le point \( C \), ce qui donne \( C = 8^{\text{ème}} \) perle.
5. Enfin, \( C \) doit être relié à \( A \).

b) La justification de ce choix repose sur la satisfaction du théorème de Pythagore qui garantit que le triangle \(\triangle ABC\) formé est un triangle rectangle. En formant ce triangle avec \( AB = 3 \), \( BC = 4 \) et \( AC = 5 \), nous assurons que le triangle est rectangle en \( B \) car la plus longue longueur \( AC \) doit être l’hypoténuse de ce triangle:

\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

Exercice 32 : construction d’un mur
Pour savoir si le mur est perpendiculaire au sol, nous devons vérifier si le triangle formé par les points \(A\), \(B\) et \(C\) est un triangle rectangle en \(C\).

Soit \(C\) le point où le mur rencontre le sol, à la base du mur.

Les coordonnées des points sont :
– Point \(C\) : \((0, 0)\)
– Point \(A\) : \((60 \, \text{cm}, 0)\)
– Point \(B\) : \((0, 80 \, \text{cm})\)

Calculons la distance \(AC\) :
\[
AC = 60 \, \text{cm} = 0.60 \, \text{m}
\]

Calculons la distance \(BC\) :
\[
BC = 80 \, \text{cm} = 0.80 \, \text{m}
\]

Calculons la distance \(AB\) à l’aide du théorème de Pythagore :
\[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(0.60)^2 + (0.80)^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1 \, \text{m}
\]

La distance mesurée \(AB\) est bien de 1 mètre.

Comme \(AB = 1 \, \text{m}\), \(AC = 0.60 \, \text{m}\), et \(BC = 0.80 \, \text{m}\), et \(\sqrt{AC^2 + BC^2} = AB\), nous pouvons conclure que le mur a bien été construit perpendiculaire au sol.

Exercice 33 : le tunnel et le camion
Pour résoudre cet exercice, nous devons déterminer la hauteur maximale \( h \) que peut atteindre un camion de largeur \( 2,6\, \text{m} \) lorsqu’il traverse le tunnel.

1. La largeur totale du tunnel est de \( 4\, \text{m} \), avec deux parois verticales de \( 2,5\, \text{m} \) de hauteur, surmontées d’une voûte semi-circulaire de diamètre \( 4\, \text{m} \) et donc de rayon \( 2\, \text{m} \).

2. Le camion ayant une largeur de \( 2,6\, \text{m} \) sera centré dans le tunnel. Ainsi, il y aura \( \frac{4 – 2,6}{2} = 0,7\, \text{m} \) de chaque côté du camion, entre le bord du camion et les parois du tunnel.

3. Considérons un point situé à \( 0,7\, \text{m} \) du bord de la voûte semi-circulaire (c’est-à-dire à \( 2\, \text{m} – 0,7\, \text{m} = 1,3\, \text{m} \) du centre de la voûte).

4. Nous devons déterminer la hauteur \( h \) de la voûte à ce point.

La voûte semi-circulaire est décrite par l’équation d’un cercle de rayon \( 2\, \text{m} \) centré à \( (0,2) \) (la hauteur à partir du centre du cercle).

L’équation du cercle est :
\[ (x – 0)^2 + (y – 2)^2 = 2^2 \]

Plaçons \( x = 1,3\, \text{m} \):
\[ (1,3)^2 + (y – 2)^2 = 4 \]

5. Résolvons pour \( y \):
\[ 1,69 + (y – 2)^2 = 4 \]
\[ (y – 2)^2 = 2,31 \]
\[ y – 2 = \sqrt{2,31} \]
\[ y = 2 + \sqrt{2,31} \]

6. Calculons \( y \) :
\[ y \approx 2 + 1,52 \]
\[ y \approx 3,52 \, \text{m} \]

7. Finalement, ajoutons la hauteur des parois verticales :
\[ H = 2,5\, \text{m} + y \]
\[ H \approx 2,5\, \text{m} + 3,52\, \text{m} \]
\[ H \approx 6,02\, \text{m} \]

La hauteur maximale du camion est donc :
\[ H \approx 6,02\, \text{m} – 2\, \text{m} \ (hauteur de la voûte semi-circulaire) \]
\[ H \approx 4,52 \, \text{m} (sous la voûte) \]

Nous devons corriger les étages et trouver la réponse correcte :
\[(\ y – 2)^2 \]
\[ H = 2,5 + \sqrt{2^2 – (1.3)^2}\]

donc

\[ h = 2,5 + 1.52 = 4,02 – 0,52 = 3,52 \ ]
\[ le largeur maximal = \]

En conclusion, la hauteur maximale du camion qui peut traverser le tunnel est de \( 3,52 \, \text{m} \).

Exercice 34 : longueur de câble
a. Pour déterminer lequel des deux parcours utilise le moins de câble, nous devons calculer la longueur de chaque parcours.

### Parcours bleu (A → G → L) :
1. Distance de A à G :
\[ AG = \sqrt{AB^2 + BG^2} = \sqrt{5^2 + 2.5^2} = \sqrt{25 + 6.25} = \sqrt{31.25} \approx 5.59 \, \text{m} \]

2. Distance de G à L :
\[ GL = \sqrt{GD^2 + DL^2} = \sqrt{2.5^2 + 2^2} = \sqrt{6.25 + 4} = \sqrt{10.25} \approx 3.2 \, \text{m} \]

Donc la longueur totale du parcours bleu est :
\[ AG + GL \approx 5.59 + 3.2 = 8.79 \, \text{m} \]

### Parcours violet (A → C → L) :
1. Distance de A à C :
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 2.5^2} = \sqrt{25 + 6.25} = \sqrt{31.25} \approx 5.59 \, \text{m} \]

2. Distance de C à L :
\[ CL = \sqrt{CF^2 + FL^2} = \sqrt{4^2 + 1.25^2} = \sqrt{16 + 1.5625} = \sqrt{17.5625} \approx 4.19 \, \text{m} \]

Donc la longueur totale du parcours violet est :
\[ AC + CL \approx 5.59 + 4.19 = 9.78 \, \text{m} \]

### Conclusion :
Le parcours bleu (A → G → L) utilise moins de câble que le parcours violet (A → C → L).

b. On doit dessiner une figure à l’échelle 1/100 montrant les faces ABCD et CDEF et représentant les deux possibilités pour le passage du câble.

c. Le chemin de longueur minimum peut être trouvé en développant le pavé droit en un plan.

Sur la figure (ABCD et CDEF projetées), le chemin minimum correspond à une ligne droite du point A au point L sur le plan.

Calculons la longueur du chemin direct \( AL \) sur le plan :
1. \( AL \) sur le plan développé :
\[ AL = \sqrt{AD^2 + DL^2} = \sqrt{4^2 + (5 + \frac{2.5}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 6.25^2} = \sqrt{16 + 39.0625} = \sqrt{55.0625} \approx 7.42 \, \text{m} \]

Ainsi, le câble de longueur minimum lorsqu’il est étendu en une seule ligne droite est d’environ 7.42 m.

Exercice 35 : secrétaire et Pythagore
Les stylos de Mathieu roulent et tombent parce que le secrétaire n’est pas horizontal, mais incliné. Cela est dû à l’angle que forme le plateau du secrétaire avec l’horizontale.

L’inclinaison du plateau est donnée par l’angle de 4°.

Pour expliquer pourquoi les stylos roulent et tombent, on peut utiliser les composantes de la force de gravité. En effet, la force de gravité \( \mathbf{F_g} \) peut être décomposée en deux composantes sur un plan incliné :

– Une composante \( \mathbf{F_\perp} \) perpendiculaire au plan incliné,
– Une composante \( \mathbf{F_\parallel} \) parallèle au plan incliné.

La composante parallèle \( \mathbf{F_\parallel} \) est responsable du mouvement des stylos le long du plateau incliné. Elle est donnée par la formule suivante :

\[ \mathbf{F_\parallel} = \mathbf{F_g} \sin(\theta) \]

où
– \( \mathbf{F_g} \) est la force de gravité,
– \( \theta \) est l’angle d’inclinaison du plateau, ici \( \theta = 4° \).

Même si cet angle est faible, la composante \( \mathbf{F_\parallel} \) de la force de gravité entraîne les stylos vers le bas de l’inclinaison, les faisant rouler et tomber.

Ainsi, pour empêcher ses stylos de rouler et tomber, Mathieu doit rendre le plateau du secrétaire horizontal, c’est-à-dire avec un angle \( \theta \) égal à 0°.

Exercice 36 : l’égalité de Pythagore
Pour chaque triangle rectangle, nous allons utiliser le théorème de Pythagore qui stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Voici les formules correspondant à chaque triangle de l’image :

1. Triangle \( DEF \)
\[ DE^2 = DF^2 + FE^2 \]

2. Triangle \( ABC \)
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

3. Triangle \( GHI \)
\[ GI^2 = GH^2 + HI^2 \]

4. Triangle \( JKL \)
\[ JL^2 = JK^2 + KL^2 \]

Exercice 37 : Pythagore et fenêtre rectangulaire
Pour vérifier si le quadrilatère est un rectangle, nous devons utiliser le théorème de Pythagore.

Pour qu’un quadrilatère soit un rectangle, les diagonales doivent être égales et chaque moitié doit former deux triangles rectangles avec les côtés.
Ici, nous avons deux côtés égaux à \(60\) cm et deux autres côtés égaux à \(144\) cm. La diagonale mesurée est de \(156\) cm.

Vérifions si la diagonale trouve une valeur conforme avec le théorème de Pythagore:

Formons un triangle rectangle avec les côtés \(60\) cm et \(144\) cm.
Selon le théorème de Pythagore :
\[
d^2 = 60^2 + 144^2
\]

Calculons \(60^2\) :
\[
60^2 = 3600
\]

Calculons \(144^2\) :
\[
144^2 = 20736
\]

Ajoutons ces deux valeurs :
\[
3600 + 20736 = 24336
\]

Prenons la racine carrée pour trouver la diagonale \(d\) :
\[
d = \sqrt{24336} = 156 \text{ cm}
\]

La diagonale mesurée est bien \(156\) cm, donc le quadrilatère satisfait le théorème de Pythagore pour des triangles rectangles.

Conclusion: La fenêtre est bien rectangulaire.

Exercice 38 : bracelet et réciproque du théorème de Pythagore
Pour former un triangle rectangle avec le bracelet de Zoé comportant 12 perles régulièrement espacées, nous devons utiliser le théorème de Pythagore, qui nous indique que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse.

En choisissant 3 perles pour un côté, 4 perles pour l’autre côté et 5 perles pour l’hypoténuse, nous pouvons former un triangle rectangle. En effet :

\[
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2
\]

Donc, les longueurs des segments formés par les perles respectent la relation de Pythagore et peuvent donc former un triangle rectangle.

Pour visualiser ce triangle sur les perles du bracelet :
1. Prenez la première perle comme point de départ.
2. Comptez 3 perles pour former le premier côté, en vous déplaçant sur la chaîne.
3. À partir de cette perle, comptez 4 perles pour former le second côté.
4. Le dernier côté devrait relier à la 5ème perle depuis le début, complétant ainsi l’hypoténuse.

Voici une représentation schématique de la disposition des perles pour former le triangle rectangle :

1 – 2 – 3 – 4
|
5
|
6 – 7 – 8 – 9 – 10
|
11 – 12

Ainsi, les perles 1, 4, 8 et 5 marquent les sommets du triangle rectangle.

Exercice 39 : hauteur d’un grenier
Soit le triangle \( \triangle ASB \). Nous savons que :

\[ AS = SB = 5,6 \, m \]
\[ AB = 9 \, m \]

Le point \( H \) est le milieu de \( AB \), donc :

\[ AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \, m \]

Nous devons calculer \( SH \). Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \( \triangle ASH \) :

\[ AS^2 = AH^2 + SH^2 \]

Remplaçons \( AS \) par 5,6 m et \( AH \) par 4,5 m :

\[ (5,6)^2 = (4,5)^2 + SH^2 \]

Calculons les carrés :

\[ 31,36 = 20,25 + SH^2 \]

Isolons \( SH^2 \) :

\[ SH^2 = 31,36 – 20,25 \]
\[ SH^2 = 11,11 \]

Prenons la racine carrée de chaque côté :

\[ SH = \sqrt{11,11} \]
\[ SH \approx 3,3 \, m \]

Ainsi, la hauteur \( SH \) du grenier est environ \( 3.3 \) mètres.

Exercice 40 : haie perpendiculaire au sol
Pour déterminer si la haie est taillée perpendiculairement au sol, nous devons vérifier si les mesures données forment un triangle rectangle. Nous utiliserons le théorème de Pythagore, qui stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Les données fournies sont :
– Hauteur de la haie : \(3,3 \, \text{m}\)
– Distance au sol : \(5,6 \, \text{m}\)
– Longueur de l’hypoténuse : \(6,5 \, \text{m}\)

Selon le théorème de Pythagore, nous devons vérifier si :

\[
(3,3)^2 + (5,6)^2 = (6,5)^2
\]

Calculons chaque côté :

\[
3,3^2 = 10,89
\]

\[
5,6^2 = 31,36
\]

\[
10,89 + 31,36 = 42,25
\]

Calculons le carré de l’hypoténuse :

\[
6,5^2 = 42,25
\]

Comme \(10,89 + 31,36 = 42,25\) est égal à \(6,5^2\), nous constatons que les mesures respectent bien le théorème de Pythagore.

Par conséquent, le triangle est bien rectangle et la haie est taillée perpendiculairement au sol.

Exercice 41 : Pythagore et médiatrice
a) Calculer \( AC \) et \( AE \).

Utilisons le théorème de Pythagore pour calculer \( AC \) et \( AE \).

Pour \( AC \):

Dans le triangle \( ABC \) rectangle en \( C \):

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Ainsi,

\[ 9,7^2 = AC^2 + 7,2^2 \]
\[ 94,09 = AC^2 + 51,84 \]
\[ AC^2 = 94,09 – 51,84 \]
\[ AC^2 = 42,25 \]
\[ AC = \sqrt{42,25} \]
\[ AC = 6,5 \]

Pour \( AE \):

Dans le triangle \( ADE \) rectangle en \( D \):

\[ AE^2 = AD^2 + DE^2 \]

Ainsi,

\[ AE^2 = 5,6^2 + 3,3^2 \]
\[ AE^2 = 31,36 + 10,89 \]
\[ AE^2 = 42,25 \]
\[ AE = \sqrt{42,25} \]
\[ AE = 6,5 \]

b) En déduire que le point \( A \) appartient à la médiatrice du segment \( [CE] \).

Pour qu’un point appartienne à la médiatrice d’un segment, il doit être équidistant des extrémités de ce segment. Nous devons donc vérifier que \( AC = AE \).

D’après les calculs précédents, nous avons :

\[ AC = 6,5 \]
\[ AE = 6,5 \]

Comme \( AC = AE \), le point \( A \) est équidistant des points \( C \) et \( E \). Donc, le point \( A \) appartient à la médiatrice du segment \( [CE] \).

Exercice 42 : racine carrée et valeur approchée
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\sqrt{0,6} \sqrt{1,11} \sqrt{2} \sqrt{3,4} \sqrt{8} \sqrt{15} \sqrt{28,86} \sqrt{130,8} \\
\hline
0,77 1,05 1,41 1,84 2,83 3,87 5,37 11,43 \\
\hline
\end{array}
\]

Exercice 43 : ecrire l’égalité de Pythagore

Pour le triangle AFL:

AFL est rectangle en \[A\].
Son hypoténuse est \[FL\].
L’égalité de Pythagore correspondante est: \[FL^2 = AF^2 + AL^2\].

Pour le triangle PMN:

PMN est rectangle en \[M\].
Son hypoténuse est \[PN\].
L’égalité de Pythagore correspondante est: \[PN^2 = PM^2 + MN^2\].

Pour le triangle IJK:

IJK est rectangle en \[J\].
Son hypoténuse est \[IK\].
L’égalité de Pythagore correspondante est: \[IK^2 = IJ^2 + JK^2\].

Pour le triangle RTU:

RTU est rectangle en \[T\].
Son hypoténuse est \[RU\].
L’égalité de Pythagore correspondante est: \[RU^2 = RT^2 + TU^2\].

Exercice 44 : triangles et égalité de Pythagore
Pour le triangle \(BGH\) :
\[ BH^2 = BG^2 + GH^2 \]

Pour le triangle \(CXY\) :
\[ CY^2 = CX^2 + XY^2 \]

Pour le triangle \(VDZ\) :
\[ VZ^2 = VD^2 + DZ^2 \]

Pour le triangle \(WEQ\) :
\[ WQ^2 = WE^2 + EQ^2 \]

Exercice 45 : partie directe du théorème de Pythagore
{Correction de l’exercice de mathématiques}

{Calcul de la longueur de l’hypoténuse}

On a le triangle rectangle \( \triangle ERL \) en \( R \), avec :
\[ ER = 9 \, \text{cm} \]
\[ RL = 12 \, \text{cm} \]

Pour trouver la longueur de l’hypoténuse \( EL \), on utilise le théorème de Pythagore :
\[ EL^2 = ER^2 + RL^2 \]

Calculons :
\[ EL^2 = 9^2 + 12^2 \]
\[ EL^2 = 81 + 144 \]
\[ EL^2 = 225 \]
\[ EL = \sqrt{225} \]
\[ EL = 15 \, \text{cm} \]

{Calcul d’un côté de l’angle droit}

On a le triangle rectangle \( \triangle ARC \) en \( R \), avec :
\[ AC = 73 \, \text{mm} \]
\[ RC = 48 \, \text{mm} \]

Pour trouver la longueur de \( AR \), on utilise également le théorème de Pythagore :
\[ AC^2 = AR^2 + RC^2 \]

Isolons \( AR \) :
\[ AR^2 = AC^2 – RC^2 \]

Calculons :
\[ AR^2 = 73^2 – 48^2 \]
\[ AR^2 = 5329 – 2304 \]
\[ AR^2 = 3025 \]
\[ AR = \sqrt{3025} \]
\[ AR = 55 \, \text{mm} \]

Exercice 46 : théorème de Pythagore : partie directe

Pour le calcul de la longueur de l’hypoténuse \( LI \) du triangle LOI :
\\
Selon le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle :
\[
LI^2 = LO^2 + OI^2
\]
\[
LI^2 = 21^2 + 20^2
\]
\[
LI^2 = 441 + 400
\]
\[
LI^2 = 841
\]
\[
LI = \sqrt{841}
\]
\[
LI = 29 \ \text{cm}
\]
Donc, la longueur de \( LI \) est 29 cm.

Pour le calcul de la longueur de \( KZ \) du triangle \( KXZ \) :
\\
Selon le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle :
\[
KZ^2 = KX^2 + ZX^2
\]
\[
KX^2 = KZ^2 – XZ^2
\]
\[
(KZ )^2 = (9,7)^2 – (6,5)^2
\]
\[
(KZ)^2 = 94,09 – 42.25
\]
\[
KZ \approx \sqrt{94,09 – 42,25}
\]
\[
KZ \approx \sqrt{51.84}
\]
\[
KZ \approx 7,2 \text {cm}
\]
Donc la longueur de \( KZ \) est environ \( 7,2 cm \).

Exercice 47 : calculs de longueurs dans deux triangles
L’exercice demande de calculer les segments \(RT\) et \(RA\).

a. Calculons \(RT\).

Dans le triangle rectangle \(ERT\), nous utilisons le théorème de Pythagore :

\[
ET^2 = ER^2 + RT^2
\]

où \(ET = 60 \, \text{cm}\) et \(ER = 32 \, \text{cm}\). Donc,

\[
60^2 = 32^2 + RT^2
\]

Résolvons cette équation :

\[
3600 = 1024 + RT^2
\]
\[
RT^2 = 3600 – 1024
\]
\[
RT^2 = 2576
\]
\[
RT = \sqrt{2576}
\]
\[
RT \approx 50.75 \, \text{cm}
\]

b. Calculons \(RA\).

Le triangle \(TAR\) est rectangle en \(R\), donc nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore de nouveau :

\[
TA^2 = TR^2 + RA^2
\]

où \(TA = 85 \, \text{cm}\) et \(TR \approx 50.75 \, \text{cm}\). Donc,

\[
85^2 = 50.75^2 + RA^2
\]

Résolvons cette équation :

\[
7225 = 2576 + RA^2
\]
\[
RA^2 = 7225 – 2576
\]
\[
RA^2 = 4649
\]
\[
RA = \sqrt{4649}
\]
\[
RA \approx 68.17 \, \text{cm}
\]

Les longueurs recherchées sont donc :

a. \(RT \approx 50.75 \, \text{cm}\)
b. \(RA \approx 68.17 \, \text{cm}\)

Exercice 48 : problème de la nappe et de la table carrée
Pour déterminer si la nappe ronde de 2,5 mètres de diamètre peut recouvrir une table carrée de 2 mètres de côté, il faut comparer les dimensions de la nappe et de la table.

La nappe est un cercle de diamètre \(d = 2{,}5\) mètres.

Pour connaître la taille de la nappe, calculons le rayon de la nappe :
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{2{,}5}{2} = 1{,}25 \text{ mètres} \]

Le diamètre de la nappe doit être comparé à la diagonale de la table carrée.

Pour une table carrée, la diagonale \(D\) peut être calculée à partir de la formule du diamètre d’un carré :
\[ D = \sqrt{c^2 + c^2} = c\sqrt{2} \]
où \(c\) est la longueur d’un côté de la table carrée.

Ici, \(c = 2\) mètres. La diagonale de la table est donc :
\[ D = 2 \sqrt{2} \text{ mètres} \]

Calculons cette valeur :
\[ 2 \sqrt{2} \approx 2 \times 1{,}414 = 2{,}828 \text{ mètres} \]

La diagonale de la table est de 2,828 mètres.

Comparons cette diagonale avec le diamètre de la nappe :
\[ D_{\text{nappe}} = 2{,}5 \text{ mètres} \]

Comme \(2{,}5 \text{ mètres} < 2{,}828 \text{ mètres}\), la diagonale de la table est plus grande que le diamètre de la nappe.

En conclusion, la nappe ronde d’un diamètre de 2,5 mètres ne peut pas recouvrir entièrement la table carrée de 2 mètres de côté.

Exercice 49 : démonter qu’un triangle est rectangle
Soit le triangle \( ABC \) tel que \( AB = 12 \, m \), \( AC = 35 \, m \) et \( BC = 37 \, m \).

Pour démontrer que le triangle est rectangle, nous pouvons vérifier si le théorème de Pythagore est satisfait. Selon le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Calculons donc \( AB^2 + AC^2 \) et comparons avec \( BC^2 \):

\[
AB^2 = 12^2 = 144
\]

\[
AC^2 = 35^2 = 1225
\]

\[
AB^2 + AC^2 = 144 + 1225 = 1369
\]

\[
BC^2 = 37^2 = 1369
\]

Nous constatons que :

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Ainsi, le théorème de Pythagore est satisfait, ce qui signifie que le triangle \( ABC \) est effectivement un triangle rectangle.

Exercice 50 : réciproque du théorème de Pythagore
Pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle, nous allons vérifier si le théorème de Pythagore est respecté. Rappelons que pour un triangle rectangle, \( a^2 + b^2 = c^2 \), où \( a \) et \( b \) sont les longueurs des côtés de l’angle droit, et \( c \) est l’hypoténuse.

Dans notre cas, les côtés du triangle TOC sont :
– \( TO = 77 \) mm
– \( OC = 35 \) mm
– \( CT = 85 \) mm

Vérifions si \( TO^2 + OC^2 = CT^2 \).

\[
TO^2 = 77^2 = 5929
\]

\[
OC^2 = 35^2 = 1225
\]

\[
TO^2 + OC^2 = 5929 + 1225 = 7154
\]

\[
CT^2 = 85^2 = 7225
\]

Nous constatons que \( TO^2 + OC^2 \neq CT^2 \) puisque \( 7154 \neq 7225 \).

Donc, le triangle TOC n’est pas rectangle.

Exercice 51 : montrer que le triangle MER est rectangle
Pour déterminer si le triangle MER est rectangle, nous utiliserons le théorème de Pythagore.

D’après ce théorème, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si le triangle MER est rectangle, le côté le plus long (hypoténuse) sera vérifié par cette condition.

Les longueurs des côtés du triangle MER sont :
\[
\text{ME} = 2,21 \, \text{m}, \quad \text{ER} = 0,6 \, \text{m}, \quad \text{MR} = 2,29 \, \text{m}
\]

Calculons le carré des longueurs des côtés :
\[
\text{ME}^2 = 2,21^2 = 4,8841 \, \text{m}^2
\]
\[
\text{ER}^2 = 0,6^2 = 0,36 \, \text{m}^2
\]
\[
\text{MR}^2 = 2,29^2 = 5,2441 \, \text{m}^2
\]

Vérifions si \(\text{MR}^2 = \text{ME}^2 + \text{ER}^2\) :
\[
\text{ME}^2 + \text{ER}^2 = 4,8841 + 0,36 = 5,2441 \, \text{m}^2
\]
\[
\text{MR}^2 = 5,2441 \, \text{m}^2
\]

Ainsi, \(\text{ME}^2 + \text{ER}^2 = \text{MR}^2\).

Par conséquent, le triangle MER est rectangle en E (car ME et ER forment les côtés de l’angle droit).

Exercice 52 : théorème de Pythagore et sa réciproque
Pour montrer que le triangle MNP n’est pas rectangle, nous devons vérifier si le théorème de Pythagore est vérifié pour les trois côtés du triangle. Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle de côtés \[a\], \[b\] et \[c\], avec \[c\] l’hypoténuse :

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Nous avons les longueurs suivantes :
– \( MN = 9{,}6\, \text{cm} \)
– \( MP = 4\, \text{cm} \)
– \( NP = 10{,}3\, \text{cm} \)

Nous vérifions si l’une des combinaisons des côtés vérifie le théorème de Pythagore.

### Cas 1 : \[ NP^2 = MN^2 + MP^2 \]

Calculons \( NP^2 \) :
\[ 10{,}3^2 = 106{,}09\, \text{cm}^2 \]

Calculons \( MN^2 + MP^2 \) :
\[ 9{,}6^2 = 92{,}16\, \text{cm}^2 \]
\[ 4^2 = 16\, \text{cm}^2 \]
\[ MN^2 + MP^2 = 92{,}16\, +\, 16 = 108{,}16\, \text{cm}^2 \]

Comparons :
\[ NP^2 = 106{,}09\, \text{cm}^2 \]
\[ MN^2 + MP^2 = 108{,}16\, \text{cm}^2 \]

\[ 106{,}09 \neq 108{,}16 \]

### Cas 2 : \[ MN^2 = MP^2 + NP^2 \]

Calculons \( MN^2 \) :
\[ 9{,}6^2 = 92{,}16\, \text{cm}^2 \]

Calculons \( MP^2 + NP^2 \) :
\[ 4^2 = 16\, \text{cm}^2 \]
\[ 10{,}3^2 = 106{,}09\, \text{cm}^2 \]
\[ MP^2 + NP^2 = 16\, +\, 106{,}09 = 122{,}09\, \text{cm}^2 \]

Comparons :
\[ MN^2 = 92{,}16\, \text{cm}^2 \]
\[ MP^2 + NP^2 = 122{,}09\, \text{cm}^2 \]

\[ 92{,}16 \neq 122{,}09 \]

### Cas 3 : \[ MP^2 = MN^2 + NP^2 \]

Calculons \( MP^2 \) :
\[ 4^2 = 16\, \text{cm}^2 \]

Calculons \( MN^2 + NP^2 \) :
\[ 9{,}6^2 = 92{,}16\, \text{cm}^2 \]
\[ 10{,}3^2 = 106{,}09\, \text{cm}^2 \]
\[ MN^2 + NP^2 = 92{,}16\, +\, 106{,}09 = 198{,}25\, \text{cm}^2 \]

Comparons :
\[ MP^2 = 16\, \text{cm}^2 \]
\[ MN^2 + NP^2 = 198{,}25\, \text{cm}^2 \]

\[ 16 \neq 198{,}25 \]

Aucun des cas ne vérifie le théorème de Pythagore. Donc, le triangle MNP n’est pas rectangle.

Exercice 53 : un mur vertical et une étagère
Pour résoudre cet exercice, nous devons vérifier si la configuration donnée forme bien un triangle rectangle. En utilisant le théorème de Pythagore, nous savons que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Le théorème de Pythagore s’écrit mathématiquement comme suit :

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

où \( a \) et \( b \) sont les longueurs des deux côtés perpendiculaires, et \( c \) est la longueur de l’hypoténuse.

Dans notre situation :
– \( a = 40 \, \text{cm} \)
– \( b = 42 \, \text{cm} \)
– \( c = 58 \, \text{cm} \)

Vérifions si ces mesures satisfont le théorème de Pythagore :

\[ 40^2 + 42^2 = 58^2 \]

Calculons chacune des valeurs :

\[ 40^2 = 1600 \]
\[ 42^2 = 1764 \]
\[ 58^2 = 3364 \]

Alors :

\[ 1600 + 1764 = 3364 \]

Nous avons bien :

\[ 3364 = 3364 \]

Par conséquent, l’équation est satisfaite, ce qui signifie que les mesures forment bien un triangle rectangle. Donc, l’étagère est parfaitement horizontale.

Exercice 54 : Pythagore et carte géographique

1. Le triangle \( CLP \) est un triangle rectangle en \( L \).

D’après le théorème de Pythagore :
\[ CP^2 = CL^2 + PL^2 \]

On sait que \( CP = 46 \) km et \( PL = 17 \) km. Calculons \( CL \) :
\[ 46^2 = CL^2 + 17^2 \]
\[ 2116 = CL^2 + 289 \]
\[ CL^2 = 2116 – 289 \]
\[ CL^2 = 1827 \]
\[ CL = \sqrt{1827} \]
\[ CL \approx 42.76 \] km

Donc, la distance \( CL \) est d’environ 43 km.

2. Sachant que \( CP \) mesure 4,6 cm sur la carte et que \( CP \) mesure en réalité 46 km, on peut trouver l’échelle en utilisant la proportion suivante :

\[\frac{46 \text{ km}}{4,6 \text{ cm}} = \frac{46000 \text{ m}}{4,6 \text{ cm}} = \frac{4600000 \text{ cm}}{4,6 \text{ cm}}\]

Décrivons la relation sous la forme d’une échelle :
\[ \frac{4600000 \text{ cm}}{4,6 \text{ cm}} \approx 1000000 \]

L’échelle de la carte est donc de 1:1,000,000.

Exercice 55 : la corde à 13 noeuds des égyptiens
D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle \(\triangle ABC\) rectangle en \(C\), on a :

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Avec les valeurs données :

\[ AB = 5 \]
\[ AC = 4 \]
\[ BC = 3 \]

Vérifions cette relation :

\[
AB^2 = 5^2 = 25
\]
\[
AC^2 = 4^2 = 16
\]
\[
BC^2 = 3^2 = 9
\]

\[
AC^2 + BC^2 = 16 + 9 = 25
\]

Ainsi,

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

La relation de Pythagore est vérifiée, ce qui confirme que le triangle \(\triangle ABC\) est bien un triangle rectangle.