Triangles semblables : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : deux triangles semblables

[a.] L’homologue du sommet \( L \) est \( R \).
[b.] L’homologue du sommet \( E \) est \( A \).
[c.] L’homologue du côté \([ME]\) est le côté \([OA]\).
[d.] L’homologue de l’angle \( \angle LAO \) est l’angle \( \angle REM \).

Exercice 2 : côtés homologues
a. Compléter ce tableau.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Sommets homologues} \text{Angles homologues} \\
\hline
B \text{ et } G \angle DBC \text{ et } \angle HGF \\
\hline
D \text{ et } F \angle BDC \text{ et } \angle GFH \\
\hline
C \text{ et } H \angle BCD \text{ et } \angle FHG \\
\hline
\end{array}
\]

b. Déterminer les mesures des angles du triangle HFG.

Le triangle BCD et le triangle HFG sont semblables. Donc, les angles opposés correspondants sont égaux.

\[
\begin{align*}
\angle BDC = 75^\circ \\
\angle DBC = 40^\circ \\
\end{align*}
\]

Comme la somme des angles d’un triangle est toujours égale à \( 180^\circ \), nous pouvons déterminer le troisième angle \(\angle DCB\) du triangle BCD :

\[
\begin{align*}
\angle DCB = 180^\circ – \angle BDC – \angle DBC \\
= 180^\circ – 75^\circ – 40^\circ \\
= 65^\circ
\end{align*}
\]

Par conséquent, les angles du triangle HFG sont les mêmes que ceux correspondants dans le triangle BCD :

\[
\begin{align*}
\angle HGF = 40^\circ \\
\angle GFH = 75^\circ \\
\angle FHG = 65^\circ \\
\end{align*}
\]

Exercice 3 : pourquoi les triangles sont semblables?
a.
Dans ce cas, nous allons utiliser le critère d’égalité des angles pour montrer que les triangles \( ABC \) et \( DEF \) sont semblables.

Nous savons que :
\[ \angle BAC = 40^\circ \]
\[ \angle ACB = 30^\circ \]
\[ \angle ADF = 40^\circ \]
\[ \angle AFD = 110^\circ \]

Calculons le troisième angle de chaque triangle. Pour le triangle \( ABC \) :
\[ \angle ABC = 180^\circ – \angle BAC – \angle ACB \]
\[ \angle ABC = 180^\circ – 40^\circ – 30^\circ \]
\[ \angle ABC = 110^\circ \]

Pour le triangle \( DEF \) :
\[ \angle EFD = 180^\circ – \angle ADF – \angle AFD \]
\[ \angle EFD = 180^\circ – 40^\circ – 110^\circ \]
\[ \angle EFD = 30^\circ \]

Nous avons donc les correspondances d’angles suivantes :
\[ \angle BAC = \angle ADF = 40^\circ \]
\[ \angle ACB = \angle EFD = 30^\circ \]
\[ \angle ABC = \angle AFD = 110^\circ \]

Puisque les trois paires d’angles correspondants sont égales, les triangles \( ABC \) et \( DEF \) sont semblables par le critère {AAA} (Angle-Angle-Angle).

b.
Pour ce cas, nous allons utiliser la proportionnalité des côtés ainsi que l’égalité des angles pour montrer que les triangles \( ABC \) et \( DEF \) sont semblables.

Nous savons que :
\[ \angle BAC = 70^\circ \]
\[ \angle FED = 40^\circ \]

Les segments \( AB \parallel DE \) et \( AC \parallel DF \) nous donnent que les triangles sont en correspondance par la prochaine répartition des angles :
\[ \angle ACB = \angle EFD = x \]
\[ \angle ACB = \angle DFE = x \]

Puisque les côtés opposés sont parallèles et que deux angles correspondent, les triangles \( ABC \) et \( DEF \) sont semblables par le critère {AA} (Deux angles égaux).

En conclusion, les triangles \( ABC \) et \( DEF \) sont semblables dans les deux cas du fait que leurs angles correspondants sont égaux selon les critères mentionnés ci-dessus.

Exercice 4 : démontrer que des triangles sont semblables
Pour démontrer que les triangles \( \triangle ABC \) et \( \triangle ABD \) sont semblables, nous pouvons utiliser le critère de similitude basé sur l’égalité de deux angles correspondants:

1. L’angle \( \angle BAC \) est commun aux deux triangles \( \triangle ABC \) et \( \triangle ABD \). Donc, nous avons :
\[ \angle BAC = \angle BAD \]

2. Regardons maintenant les angles \( \angle ABC \) et \( \angle ABD \).

Dans le triangle \( \triangle ABD \), nous savons que :
\[ \angle ABD = 30^\circ \]

Dans le triangle \( \triangle ABC \), nous avons :
\[ \angle ABC = 180^\circ – \angle BAC – \angle BCA \]
Sachant que \( \angle BAC = 110^\circ \) et \( \angle BCA = 40^\circ \), nous obtenons :
\[ \angle ABC = 180^\circ – 110^\circ – 40^\circ \]
\[ \angle ABC = 30^\circ \]

Donc, nous avons :
\[ \angle ABC = \angle ABD = 30^\circ \]

Nous avons donc établi que deux angles de \( \triangle ABC \) et \( \triangle ABD \) sont égaux. Par conséquent, les triangles \( \triangle ABC \) et \( \triangle ABD \) sont semblables par le critère AA (angle-angle).

En notation de similitude, on peut écrire :
\[ \triangle ABC \sim \triangle ABD \]

Exercice 5 : compléter les tableaux
a. Compléter ce tableau.
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
{Sommets homologues} {Côtés homologues} \\
\hline
C \ \text{et} \ H [OL] \ \text{et} \ [HE] \\
\hline
L \ \text{et} \ E [CO] \ \text{et} \ [TE] \\
\hline
O \ \text{et} \ T [CL] \ \text{et} \ [TH] \\
\hline
\end{array}
\]

b. Compléter ces égalités de rapports de longueurs, puis calculer les longueurs \(LC\) et \(TE\).

\[
\frac{LO}{HE} = \frac{1,6}{3}
\]

\[
\frac{LC}{TE} = \frac{2}{x}
\]

Sachant que les triangles sont semblables, les côtés homologues sont proportionnels.

\[
\frac{1,6}{3} = \frac{2}{x}
\]

En croisant les produits, nous obtenons :

\[
1,6x = 2 \times 3
\]

\[
1,6x = 6
\]

En divisant les deux côtés par 1,6, nous obtenons :

\[
x = \frac{6}{1,6}
\]

\[
x = 3,75
\]

Donc,

\[
TE = 3,75 \ \text{cm}
\]

Pour \(LC\), nous avons :

\[
\frac{LC}{TE} = \frac{2}{3,75}
\]

\[
LC = \frac{2 \times 3}{1,6}
\]

\[
LC = 3,75 \ \text{cm}
\]

Les longueurs sont donc :

\[
LC = 2 \ \text{cm}
\]

Exercice 6 : géométrie et triangles
Pour déterminer si les triangles ART et ZEN sont semblables, nous devons vérifier si les rapports des longueurs de leurs côtés correspondants sont égaux.

Calculons les rapports des côtés :

\[
\frac{AR}{ZE} = \frac{12 \, \text{cm}}{9{,}6 \, \text{cm}} = \frac{12}{9{,}6} = \frac{5}{4} = 1{,}25
\]

\[
\frac{AT}{ZN} = \frac{14{,}4 \, \text{cm}}{5{,}4 \, \text{cm}} = \frac{14{,}4}{5{,}4} = \frac{12}{4{,}5} = 2{,}6667 \approx 2{,}67
\]

\[
\frac{RT}{EN} = \frac{8{,}1 \, \text{cm}}{8 \, \text{cm}} = \frac{8{,}1}{8} = 1{,}0125 \approx 1{,}01
\]

Il apparaît que les rapports des longueurs des côtés ne sont pas égaux :

\[
\frac{AR}{ZE} \neq \frac{AT}{ZN} \neq \frac{RT}{EN}
\]

Par conséquent, les triangles ART et ZEN ne sont \[\]pas\[\] semblables.

Exercice 7 : calculer la longueur AB
Les triangles \(ABC\) et \(DEF\) sont semblables. Par conséquent, leurs côtés sont proportionnels.

Nous avons les longueurs suivantes:
– \(DC = 4.5 \, \text{cm}\)
– \(AC = 2.5 \, \text{cm}\)
– \(DE = 3.6 \, \text{cm}\)

Pour trouver la longueur \(AB\), il suffit d’utiliser le rapport de similitude. Le rapport de similitude \(k\) entre les triangles \(DEF\) et \(ABC\) est donné par :

\[ k = \frac{DC}{AC} = \frac{4.5}{2.5} = 1.8 \]

En appliquant ce rapport de similitude, la longueur \(AB\) par rapport à \(DE\) est :

\[ AB = \frac{DE}{k} = \frac{3.6}{1.8} = 2 \, \text{cm} \]

Par conséquent, la longueur de \(AB\) est \(2 \, \text{cm}\).

Exercice 8 : la hauteur d’un geyser
Pour estimer la hauteur \( h \) du geyser \( S \), nous utilisons le principe de la similarité des triangles.

Les triangles \( \Delta SAP \) et \( \Delta ABV \) sont similaires car ils ont des angles correspondants égaux : deux angles droits et l’angle \(\widehat{SAV}\).

Nous avons alors les rapports de proportionnalité suivants :
\[
\frac{h}{36} = \frac{1,70}{2,40}
\]

Nous résolvons pour \( h \) :

\[
h = 36 \cdot \frac{1,70}{2,40}
\]

En effectuant les calculs :
\[
h = 36 \cdot \frac{1,70}{2,40} = 36 \cdot 0,7083 \approx 25,5 \text{ m}
\]

La hauteur du geyser est donc d’environ 25,5 mètres.

Exercice 9 : compléter les égalités
a. Deux autres angles de même mesure :
\[ \angle MNO = \angle EST \quad \text{et} \quad \angle NOM = \angle TES \]

b. Trois rapports de longueurs égaux :
\[ \frac{MO}{ST} = \frac{ON}{TE} = \frac{MN}{SE} \]

Exercice 10 : les angles violet et vert
Pour déterminer si les angles vert et violet ont la même mesure, nous allons utiliser les propriétés des triangles isocèles et des triangles semblables.

1. Considérons le triangle isocèle \( \triangle AMP \):

– Les côtés \( AM \) et \( AP \) sont égaux (5 cm chacun).
– Par conséquent, les angles à la base \( \angle AMP \) et \( \angle APM \) sont égaux.

2. Considérons maintenant le triangle isocèle \( \triangle PON \):

– Les côtés \( PO \) et \( PN \) sont égaux (3 cm chacun).
– Par conséquent, les angles à la base \( \angle PON \) et \( \angle PNO \) sont égaux.

3. Comparaison des triangles \( \triangle AMP \) et \( \triangle PON \):

– Notons que le segment \( AN \) du triangle \( \triangle MAN \) vaut \(6 cm\).
– De plus, en vérifiant \(AN = NM + NA\):
\[ AN = NM = 6 cm ;\\ AM = AP = 5 cm\]
On obtient les angles opposés avec leurs côtés égaux. Donc les triangles sont semblables.

4. En raison des propriétés des triangles semblables :

– \(M\), \(P\), et \(N\) partagent le même angle \( \angle AMN \),
– \( \triangle AMP \sim \triangle PON \), ils sont semblables par définition.

Les angles violet et vert sont homothétiques. Donc, ils sont identiques car leurs triangles sont semblables.
\[ \text{\boxed{Les angles ont la même mesure.}} \]

En conclusion, les angles vert et violet ont effectivement la même mesure car ils sont angles opposés par le sommet formant des triangles semblables.

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