Triangles semblables : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : deux triangles semblables

[a.] L’homologue du sommet est .
[b.] L’homologue du sommet est .
[c.] L’homologue du côté est le côté .
[d.] L’homologue de l’angle $\angle\,LAO$ est l’angle $\angle\,REM$ .

Exercice 2 : côtés homologues
a. Compléter ce tableau.

$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ASommets\,homologues\,%26\,Angles\,homologues\,\\%0D%0A\hline%0D%0AB\,\,et\,\,G\,%26\,\angle\,DBC\,\,et\,\,\angle\,HGF\,\\%0D%0A\hline%0D%0AD\,\,et\,\,F\,%26\,\angle\,BDC\,\,et\,\,\angle\,GFH\,\\%0D%0A\hline%0D%0AC\,\,et\,\,H\,%26\,\angle\,BCD\,\,et\,\,\angle\,FHG\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Déterminer les mesures des angles du triangle HFG.

Le triangle BCD et le triangle HFG sont semblables. Donc, les angles opposés correspondants sont égaux.

$\begin{align%2A}%0D%0A\angle\,BDC\,%26=\,75^\circ\,\\%0D%0A\angle\,DBC\,%26=\,40^\circ\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

Comme la somme des angles d’un triangle est toujours égale à $180^\circ$ , nous pouvons déterminer le troisième angle $\angle\,DCB$ du triangle BCD :

$\begin{align%2A}%0D%0A\angle\,DCB\,%26=\,180^\circ\,-\,\angle\,BDC\,-\,\angle\,DBC\,\\%0D%0A%26=\,180^\circ\,-\,75^\circ\,-\,40^\circ\,\\%0D%0A%26=\,65^\circ%0D%0A\end{align%2A}$

Par conséquent, les angles du triangle HFG sont les mêmes que ceux correspondants dans le triangle BCD :

$\begin{align%2A}%0D%0A\angle\,HGF\,%26=\,40^\circ\,\\%0D%0A\angle\,GFH\,%26=\,75^\circ\,\\%0D%0A\angle\,FHG\,%26=\,65^\circ\,\\%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 3 : pourquoi les triangles sont semblables?
a.
Dans ce cas, nous allons utiliser le critère d’égalité des angles pour montrer que les triangles et sont semblables.

Nous savons que :
$\angle\,BAC\,=\,40^\circ$
$\angle\,ACB\,=\,30^\circ$
$\angle\,ADF\,=\,40^\circ$
$\angle\,AFD\,=\,110^\circ$

Calculons le troisième angle de chaque triangle. Pour le triangle :
$\angle\,ABC\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,BAC\,-\,\angle\,ACB$
$\angle\,ABC\,=\,180^\circ\,-\,40^\circ\,-\,30^\circ$
$\angle\,ABC\,=\,110^\circ$

Pour le triangle :
$\angle\,EFD\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,ADF\,-\,\angle\,AFD$
$\angle\,EFD\,=\,180^\circ\,-\,40^\circ\,-\,110^\circ$
$\angle\,EFD\,=\,30^\circ$

Nous avons donc les correspondances d’angles suivantes :
$\angle\,BAC\,=\,\angle\,ADF\,=\,40^\circ$
$\angle\,ACB\,=\,\angle\,EFD\,=\,30^\circ$
$\angle\,ABC\,=\,\angle\,AFD\,=\,110^\circ$

Puisque les trois paires d’angles correspondants sont égales, les triangles et sont semblables par le critère AAA (Angle-Angle-Angle).

b.
Pour ce cas, nous allons utiliser la proportionnalité des côtés ainsi que l’égalité des angles pour montrer que les triangles et sont semblables.

Nous savons que :
$\angle\,BAC\,=\,70^\circ$
$\angle\,FED\,=\,40^\circ$

Les segments $AB\,\parallel\,DE$ et $AC\,\parallel\,DF$ nous donnent que les triangles sont en correspondance par la prochaine répartition des angles :
$\angle\,ACB\,=\,\angle\,EFD\,=\,x$
$\angle\,ACB\,=\,\angle\,DFE\,=\,x$

Puisque les côtés opposés sont parallèles et que deux angles correspondent, les triangles et sont semblables par le critère AA (Deux angles égaux).

En conclusion, les triangles et sont semblables dans les deux cas du fait que leurs angles correspondants sont égaux selon les critères mentionnés ci-dessus.

Exercice 4 : démontrer que des triangles sont semblables
Pour démontrer que les triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,ABD$ sont semblables, nous pouvons utiliser le critère de similitude basé sur l’égalité de deux angles correspondants:

1. L’angle $\angle\,BAC$ est commun aux deux triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,ABD$ . Donc, nous avons :
$\angle\,BAC\,=\,\angle\,BAD$

2. Regardons maintenant les angles $\angle\,ABC$ et $\angle\,ABD$ .

Dans le triangle $\triangle\,ABD$ , nous savons que :
$\angle\,ABD\,=\,30^\circ$

Dans le triangle $\triangle\,ABC$ , nous avons :
$\angle\,ABC\,=\,180^\circ\,-\,\angle\,BAC\,-\,\angle\,BCA$
Sachant que $\angle\,BAC\,=\,110^\circ$ et $\angle\,BCA\,=\,40^\circ$ , nous obtenons :
$\angle\,ABC\,=\,180^\circ\,-\,110^\circ\,-\,40^\circ$
$\angle\,ABC\,=\,30^\circ$

Donc, nous avons :
$\angle\,ABC\,=\,\angle\,ABD\,=\,30^\circ$

Nous avons donc établi que deux angles de $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,ABD$ sont égaux. Par conséquent, les triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,ABD$ sont semblables par le critère AA (angle-angle).

En notation de similitude, on peut écrire :
$\triangle\,ABC\,\sim\,\triangle\,ABD$

Exercice 5 : compléter les tableaux
a. Compléter ce tableau.
$\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0ASommets\,homologues\,%26\,Cotes\,homologues\,\\%0D%0A\hline%0D%0AC\,\\,et\,\\,H\,%26\,%5BOL%5D\,\\,et\,\\,%5BHE%5D\,\\%0D%0A\hline%0D%0AL\,\\,et\,\\,E\,%26\,%5BCO%5D\,\\,et\,\\,%5BTE%5D\,\\%0D%0A\hline%0D%0AO\,\\,et\,\\,T\,%26\,%5BCL%5D\,\\,et\,\\,%5BTH%5D\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

b. Compléter ces égalités de rapports de longueurs, puis calculer les longueurs et .

$\frac{LO}{HE}\,=\,\frac{1%2C6}{3}$

$\frac{LC}{TE}\,=\,\frac{2}{x}$

Sachant que les triangles sont semblables, les côtés homologues sont proportionnels.

$\frac{1%2C6}{3}\,=\,\frac{2}{x}$

En croisant les produits, nous obtenons :

$1%2C6x\,=\,2\,\times \,3$

$1%2C6x\,=\,6$

En divisant les deux côtés par 1,6, nous obtenons :

$x\,=\,\frac{6}{1%2C6}$

$x\,=\,3%2C75$

Donc,

$TE\,=\,3%2C75\,\\,cm$

Pour , nous avons :

$\frac{LC}{TE}\,=\,\frac{2}{3%2C75}$

$LC\,=\,\frac{2\,\times \,3}{1%2C6}$

$LC\,=\,3%2C75\,\\,cm$

Les longueurs sont donc :

$LC\,=\,2\,\\,cm$

Exercice 6 : géométrie et triangles
Pour déterminer si les triangles ART et ZEN sont semblables, nous devons vérifier si les rapports des longueurs de leurs côtés correspondants sont égaux.

Calculons les rapports des côtés :

$\frac{AR}{ZE}\,=\,\frac{12\,\%2C\,cm}{9{%2C}6\,\%2C\,cm}\,=\,\frac{12}{9{%2C}6}\,=\,\frac{5}{4}\,=\,1{%2C}25$

$\frac{AT}{ZN}\,=\,\frac{14{%2C}4\,\%2C\,cm}{5{%2C}4\,\%2C\,cm}\,=\,\frac{14{%2C}4}{5{%2C}4}\,=\,\frac{12}{4{%2C}5}\,=\,2{%2C}6667\,\approx\,2{%2C}67$

$\frac{RT}{EN}\,=\,\frac{8{%2C}1\,\%2C\,cm}{8\,\%2C\,cm}\,=\,\frac{8{%2C}1}{8}\,=\,1{%2C}0125\,\approx\,1{%2C}01$

Il apparaît que les rapports des longueurs des côtés ne sont pas égaux :

$\frac{AR}{ZE}\,\neq\,\frac{AT}{ZN}\,\neq\,\frac{RT}{EN}$

Par conséquent, les triangles ART et ZEN ne sont semblables.

Exercice 7 : calculer la longueur AB
Les triangles et sont semblables. Par conséquent, leurs côtés sont proportionnels.

Nous avons les longueurs suivantes:
– $DC\,=\,4.5\,\%2C\,cm$
– $AC\,=\,2.5\,\%2C\,cm$
– $DE\,=\,3.6\,\%2C\,cm$

Pour trouver la longueur , il suffit d’utiliser le rapport de similitude. Le rapport de similitude entre les triangles et est donné par :

$k\,=\,\frac{DC}{AC}\,=\,\frac{4.5}{2.5}\,=\,1.8$

En appliquant ce rapport de similitude, la longueur par rapport à est :

$AB\,=\,\frac{DE}{k}\,=\,\frac{3.6}{1.8}\,=\,2\,\%2C\,cm$

Par conséquent, la longueur de est $2\,\%2C\,cm$ .

Exercice 8 : la hauteur d’un geyser
Pour estimer la hauteur du geyser , nous utilisons le principe de la similarité des triangles.

Les triangles $\Delta\,SAP$ et $\Delta\,ABV$ sont similaires car ils ont des angles correspondants égaux : deux angles droits et l’angle $\widehat{SAV}$ .

Nous avons alors les rapports de proportionnalité suivants :
$\frac{h}{36}\,=\,\frac{1%2C70}{2%2C40}$

Nous résolvons pour :

$h\,=\,36\,\cdot\,\frac{1%2C70}{2%2C40}$

En effectuant les calculs :
$h\,=\,36\,\cdot\,\frac{1%2C70}{2%2C40}\,=\,36\,\cdot\,0%2C7083\,\approx\,25%2C5\,\,m$

La hauteur du geyser est donc d’environ 25,5 mètres.

Exercice 9 : compléter les égalités
a. Deux autres angles de même mesure :
$\angle\,MNO\,=\,\angle\,EST\,\quad\,et\,\quad\,\angle\,NOM\,=\,\angle\,TES$

b. Trois rapports de longueurs égaux :
$\frac{MO}{ST}\,=\,\frac{ON}{TE}\,=\,\frac{MN}{SE}$

Exercice 10 : les angles violet et vert
Pour déterminer si les angles vert et violet ont la même mesure, nous allons utiliser les propriétés des triangles isocèles et des triangles semblables.

1. Considérons le triangle isocèle $\triangle\,AMP$ :

– Les côtés et sont égaux (5 cm chacun).
– Par conséquent, les angles à la base $\angle\,AMP$ et $\angle\,APM$ sont égaux.

2. Considérons maintenant le triangle isocèle $\triangle\,PON$ :

– Les côtés et sont égaux (3 cm chacun).
– Par conséquent, les angles à la base $\angle\,PON$ et $\angle\,PNO$ sont égaux.

3. Comparaison des triangles $\triangle\,AMP$ et $\triangle\,PON$ :

– Notons que le segment du triangle $\triangle\,MAN$ vaut $6\,cm$ .
– De plus, en vérifiant $AN\,=\,NM\,%2B\,NA$ :
$AN\,=\,NM\,=\,6\,cm\,%3B\\\,AM\,=\,AP\,=\,5\,cm$
On obtient les angles opposés avec leurs côtés égaux. Donc les triangles sont semblables.

4. En raison des propriétés des triangles semblables :

– , , et partagent le même angle $\angle\,AMN$ ,
– $\triangle\,AMP\,\sim\,\triangle\,PON$ , ils sont semblables par définition.

Les angles violet et vert sont homothétiques. Donc, ils sont identiques car leurs triangles sont semblables.
$Les\,angles\,ont\,la\,meme\,mesure.$

En conclusion, les angles vert et violet ont effectivement la même mesure car ils sont angles opposés par le sommet formant des triangles semblables.

Exercice 11 : démontrer que JLM et IJK sont semblables
a. Démontrer que les triangles $\triangle\,JLM$ et $\triangle\,IJK$ sont semblables.

Les triangles $\triangle\,JLM$ et $\triangle\,IJK$ possèdent un angle commun $\angle\,J$ . De plus, les angles $\angle\,LJM$ et $\angle\,IJK$ sont égaux car ce sont des angles alternes internes formés par les droites et coupées par les segments et . Ainsi, nous pouvons affirmer que :

$\triangle\,JLM\,\sim\,\triangle\,IJK$

Les côtés homologues des triangles sont :
– et
– et
– et

b. Calculer les longueurs et .

Nous utilisons le théorème de Thalès dans le triangle $\triangle\,IJK$ , avec les segments et qui sont proportionnels aux côtés du triangle :

$\frac{LJ}{IJ}\,=\,\frac{JM}{JK}$

Nous savons que $IJ\,=\,8$ cm, $JK\,=\,10$ cm et $JM\,=\,3.2$ cm.

$\frac{LJ}{8}\,=\,\frac{3.2}{10}$

En résolvant pour :

$LJ\,=\,\frac{3.2\,\times \,8}{10}\,=\,2.56\,\%2C\,cm$

Pour calculer , nous utilisons le fait que dans les triangles semblables, les rapports des longueurs des côtés correspondants sont égaux. Donc, nous avons :

$\frac{KI}{JK}\,=\,\frac{8}{10}$

En résolvant pour :

$KI\,=\,\frac{8\,\times \,10}{8}\,=\,8\,\%2C\,cm$

Exercice 12 : les sommets homologues
– a. Les triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,DBE$ sont semblables car ils ont deux angles égaux. Premièrement, ils partagent l’angle $\angle\,ABE$ . Deuxièmement, les angles $\angle\,BAC$ et $\angle\,PDE$ sont égaux car ce sont des angles opposés par le sommet. Les sommets homologues sont donc : et , et , et .

– b. Utilisons les rapports de similitude pour calculer la longueur .

Les longueurs des côtés dans les triangles semblables sont proportionnelles, donc :
$\frac{AB}{DB}\,=\,\frac{BC}{BE}\,=\,\frac{AC}{DE}$

Sachant que :
$AB\,=\,2%2C5\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,BC\,=\,3\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,DB\,=\,2\,\%2C\,cm$

Nous calculons d’abord en utilisant le rapport de similitude :
$\frac{AB}{DB}\,=\,\frac{BC}{BE}$
$\frac{2%2C5}{2}\,=\,\frac{3}{BE}$
$BE\,=\,\frac{3\,\times \,2}{2%2C5}\,=\,2%2C4\,\%2C\,cm$

Pour trouver , nous utilisons :
$\frac{AC}{DE}\,=\,\frac{AB}{DB}$
$\triangle\,ABC$ , donc :
$AC\,=\,\sqrt{(AB)^2\,%2B\,(BC)^2}\,=\,\sqrt{(2%2C5)^2\,%2B\,(3)^2}\,=\,3%2C905$ cm

$\frac{3%2C905}{DE}\,=\,\frac{2%2C5}{2}$
$DE\,=\,\frac{2\,\times \,3%2C905}{2%2C5}\,=\,3%2C124\,\%2C\,cm$

La longueur de est donc $3%2C124\,\%2C\,cm$ .

Exercice 13 : calculer la longueur CA
a. Triangles semblables

Nous voulons démontrer que les triangles CBD et ABC sont semblables, c’est-à-dire qu’ils ont les mêmes angles.

Tout d’abord, notons que l’angle $\angle\,BDC$ est égal à l’angle $\angle\,BAC$ car ce sont tous les deux des angles droits.

Ensuite, considérons l’angle $\angle\,BCD$ . Puisque $\angle\,BDC$ est droit, l’angle supplémentaire $\angle\,DCB$ est égal à $\angle\,BCA$ .

Enfin, les deux triangles partagent l’angle $\angle\,DBC$ (ou $\angle\,CBA$ ).

Donc, les trois angles du triangle CBD sont égaux aux trois angles du triangle ABC , ce qui signifie que les triangles sont semblables par le critère d’égalité des angles (AA).

Les sommets homologues des triangles semblables sont: $\angle\,DBC$ correspond à $\angle\,CBA$ , $\angle\,BDC$ correspond à $\angle\,BAC$ , et $\angle\,BCD$ correspond à $\angle\,BCA$ .

b. Calcul de la longueur

Étant donné que les triangles CBD et ABC sont semblables, les longueurs des côtés sont proportionnelles. Nous savons que $BD\,=\,4$ cm et $AB\,=\,5$ cm, et nous voulons trouver la longueur de .

Nous devons d’abord utiliser le théorème de Pythagore pour trouver :

$BC\,=\,\sqrt{BD^2\,%2B\,CD^2}\,=\,\sqrt{4^2\,%2B\,3^2}\,=\,\sqrt{16\,%2B\,9}\,=\,\sqrt{25}\,=\,5\,\,cm$

Puisque est l’hypoténuse du triangle ABC , nous avons:

$CA=\frac{AB}{BC}\times BD=\frac{5}{5}\times 5=5$ cm

Donc, la longueur est de 5 cm.

Exercice 14 : déterminer des longueurs
a. Les triangles ABC et BCD sont semblables parce qu’ils ont deux angles correspondants égaux. Plus précisément, $\angle\,ACB\,=\,\angle\,BDC$ et $\angle\,BAC\,=\,\angle\,DBC$ . D’après le critère d’égalité des deux angles des triangles semblables (AA), cela suffit pour conclure que les triangles ABC et BCD sont semblables.

b. Pour déterminer les longueurs et , nous pouvons utiliser les proportions des triangles semblables.

Soit le rapport de similitude entre les triangles ABC et BCD .

Nous avons $AB\,=\,4$ cm, $BC\,=\,6$ cm et $BD\,=\,7.5$ cm.

Puisque les triangles sont semblables :
$\frac{AB}{BD}\,=\,\frac{BC}{CD}$

Sachant que $BD\,=\,AB\,%2B\,AD$ , nous savons que :
$BD\,=\,AB\,%2B\,AD\,\implies\,AD\,=\,BD\,-\,AB\,=\,7.5\%2C\,cm\,-\,4\%2C\,cm\,=\,3.5\%2C\,cm$

Comme les triangles sont semblables, nous pouvons écrire les rapports de similitude:

$\frac{AC}{BC}\,=\,\frac{BC}{CD}\,=\,k$

Connaissant que la longueur de est 6 cm, le rapport de similarité est :

$k\,=\,\frac{BC}{6}$

En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle BCD , nous trouvons que:

$BC^2\,%2B\,CD^2\,=\,BD^2$

En substituant les valeurs données :

$6^2\,%2B\,CD^2\,=\,7.5^2\,\,\Rightarrow\,\,36\,%2B\,CD^2\,=\,56.25\,\,\Rightarrow\,\,CD^2\,=\,20.25\,\,\Rightarrow\,\,CD\,=\,\sqrt{20.25}\,=\,4.5\%2C\,cm$

Ensuite, pour trouver , nous utilisons le rapport de similarité :

$\frac{AC}{6}\,=\,\frac{6}{4.5}$

En simplifiant, cela donne :

$AC\,=\,\frac{6\,\cdot\,6}{4.5}\,=\,8\%2C\,cm$

Ainsi, les longueurs sont :

$AC\,=\,8\%2C\,cm%2C\,\quad\,CD\,=\,4.5\%2C\,cm$

Exercice 15 : calculer les longueurs BE et DE
Soit ABC un triangle tel que $AB\,=\,5\,\%2C\,cm$ , $AC\,=\,6\,\%2C\,cm$ , et $BC\,=\,4\,\%2C\,cm$ . est le milieu de et est le point de tel que $\angle\,BDE\,=\,\angle\,BAC$ .

Calcul de BE:

On sait que:

$AB\,=\,c\,=\,5\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,AC\,=\,b\,=\,6\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,BC\,=\,a\,=\,4\,\%2C\,cm$

Comme est le milieu de , alors $BD\,=\,DC\,=\,\frac{a}{2}\,=\,2\,\%2C\,cm$ .

Considérons les triangles $\triangle\,ABD$ et $\triangle\,ABC$ :

Dans $\triangle\,ABC$ :

$\cos(\angle\,BAC)\,=\,\frac{b^2\,%2B\,c^2\,-\,a^2}{2bc}\,=\,\frac{6^2\,%2B\,5^2\,-\,4^2}{2\,\cdot\,6\,\cdot\,5}\,=\,\frac{36\,%2B\,25\,-\,16}{60}\,=\,\frac{45}{60}\,=\,\frac{3}{4}$

Puisque $\angle\,BDE\,=\,\angle\,BAC$ , nous appliquons la loi du cosinus dans $\triangle\,BDE$ :

$DE^2\,=\,BE^2\,%2B\,BD^2\,-\,2\,\cdot\,BE\,\cdot\,BD\,\cdot\,\cos(\angle\,BDE)$

Mais comme est le milieu et se trouve sur :

$BE\,=\,\frac{AB\,\cdot\,AD}{BD}$

Comme est le milieu de , alors:

$AD\,=\,\sqrt{AB^2\,-\,BD^2}\,=\,\sqrt{5^2\,-\,2^2}\,=\,\sqrt{25\,-\,4}\,=\,\sqrt{21}$

Ainsi,

$BE\,=\,\frac{5\,\cdot\,\sqrt{21}}{2}\,=\,\frac{5\sqrt{21}}{2}$

Calcul de :

En utilisant la loi des cosinus dans $\triangle\,ABD$ :

$x^2\,=\,a^2\,%2B\,c^2\,-\,2\,\cdot\,a\,\cdot\,c\,\cdot\,\cos(\theta)$

en utilisant les valeurs de $a%2C\,b%2C\,c$ :

$x^2\,=\,4^2\,%2B\,5^2\,-\,2\,\cdot\,4\,\cdot\,5\,\cdot\,\cos(\theta)$

où $\cos(\theta)\,=\,\frac{3}{4}$ :

$x^2\,=\,4^2\,%2B\,5^2\,-\,2\,\cdot\,4\,\cdot\,5\,\cdot\,\frac{3}{4}$

$x^2\,=\,16\,%2B\,25\,-\,30$

$x\,=\,\sqrt{11}$

Ainsi, :

$y\,=\,\sqrt{11}$

Finalement, les longueurs et sont:

$BE\,=\,\frac{5\sqrt{21}}{2}\,\%2C\,cm$

$DE\,=\,\sqrt{11}\,\%2C\,cm$

Exercice 16 : démonstration et propriétés
a.

Pour montrer que le triangle ABC est rectangle, nous devons vérifier si la somme des carrés des longueurs des côtés et est égale au carré de la longueur du côté .

Nous avons:
$AC\,=\,6\,\%2C\,cm$
$BC\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm$
$AB\,=\,7%2C5\,\%2C\,cm$

Calculons les carrés des longueurs:
$AC^2\,=\,6^2\,=\,36$
$BC^2\,=\,4%2C5^2\,=\,20%2C25$
$AC^2\,%2B\,BC^2\,=\,36\,%2B\,20%2C25\,=\,56%2C25$

Calculons AB^2 :
$AB^2\,=\,7%2C5^2\,=\,56%2C25$

Comme $AC^2\,%2B\,BC^2\,=\,AB^2$ , nous avons:
$36\,%2B\,20%2C25\,=\,56%2C25$

Le triangle ABC est donc bien un triangle rectangle en .

Pour montrer que les triangles ABC et ADE sont semblables, nous devons démontrer qu’ils ont les mêmes angles.

Observons l’angle $\widehat{BAC}$ dans les deux triangles. Comme ADE et ACE sont des sous-triangles du triangle ABC partageant l’angle en , nous avons:
$\angle\,BAC\,=\,\angle\,DAE$

Puisque est un point sur le segment et est un point sur le segment , les angles $\angle\,ADE$ et $\angle\,ACB$ sont égaux car ils correspondent à l’angle $\angle\,ACB$ dans le triangle rectangle.

Enfin, nous avons les angles au sommet du triangle rectangles:
$\angle\,ABC\,=\,\angle\,AED\,=\,90^\circ$

Ainsi, les triangles ABC et ADE ont tous les angles égaux, et sont donc semblables par le critère d’égalité des trois angles.

Pour calculer le périmètre du triangle ADE , nous devons connaître les longueurs des côtés , et .

Nous savons:
$AD\,=\,7%2C5\,\%2C\,cm$
$DE\,=\,2%2C7\,\%2C\,cm$

Calculons en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ADE :
$AE^2\,=\,AD^2\,%2B\,DE^2$
$AE^2\,=\,7%2C5^2\,%2B\,2%2C7^2$
$AE^2\,=\,56%2C25\,%2B\,7%2C29$
$AE^2\,=\,63%2C54$
$AE\,=\,\sqrt{63%2C54}\,\approx\,7%2C97\,\%2C\,cm$

Le périmètre du triangle ADE est donc:
$P_{ADE}\,=\,AD\,%2B\,DE\,%2B\,AE$
$P_{ADE}\,=\,7%2C5\,%2B\,2%2C7\,%2B\,7%2C97$
$P_{ADE}\,\approx\,18%2C17\,\%2C\,cm$

Exercice 17 : le nouveau réfrigérateur
1. Pour calculer la largeur du réfrigérateur, nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle ACD rectangle en .

$AC\,=\,\sqrt{AD^2\,%2B\,DC^2}$

Sachant que $AD\,=\,30\,\%2C\,cm$ et $DC\,=\,16\,\%2C\,cm$ ,

$AC\,=\,\sqrt{30^2\,%2B\,16^2}$
$AC\,=\,\sqrt{900\,%2B\,256}$
$AC\,=\,\sqrt{1156}$
$AC\,=\,34\,\%2C\,cm$

2. On note la mesure en degrés de l’angle ABE .

a. La mesure de l’angle BAE est donnée par :

$\angle\,BAE\,=\,90^\circ\,-\,x$

b. La mesure de l’angle CAD est également exprimée en fonction de . Notons que $CAD\,=\,EAD$ et que EAD est l’angle entre les lignes parallèles et et que l’angle alterné-intern de ABE est ,

$\angle\,CAD\,=\,x$

3. Pour déterminer la hauteur du réfrigérateur, nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle ABE rectangle en .

$AB\,=\,\sqrt{AE^2\,%2B\,BE^2}$

Sachant que $AE\,=\,AD\,%2B\,DE\,=\,30\,\%2C\,cm\,%2B\,80\,\%2C\,cm\,=\,110\,\%2C\,cm$ , et $BE\,=\,16\,\%2C\,cm$ ,

$AB\,=\,\sqrt{110^2\,%2B\,16^2}$
$AB\,=\,\sqrt{12100\,%2B\,256}$
$AB\,=\,\sqrt{12356}$
$AB\,\approx\,111.14\,\%2C\,cm$

Exercice 18 : compléter les tableaux

Angles homologues Sommets homologues Côtés homologues

$\widehat{ABC}$ et $\widehat{MOI}$ B et I [AC] et [MI]
$\widehat{BAC}$ et $\widehat{OMI}$ A et M [BC] et [OI]
ACB et $\widehat{IMO}$ C et O [AB] et [MO]
Exercice 19 : triangles semblables et coefficient de proportionnalité
Pour chaque paire de triangles, nous allons démontrer leur similitude et calculer le coefficient de proportionnalité.

Partie a.
Les triangles ABC et DEF sont semblables pour les raisons suivantes :
– Les deux triangles ont un angle de $40^\circ$ .
– Les deux triangles ont un angle droit ( $90^\circ$ ).

Les deux triangles partagent deux angles égaux, donc ils sont semblables par le critère AA (Angle-Angle).

Pour trouver le coefficient de proportionnalité :
– La longueur du côté adjacent à l’angle $40^\circ$ dans le triangle ABC est cm.
– La longueur du côté adjacent à l’angle $40^\circ$ dans le triangle DEF est cm.

Le rapport (ou coefficient de proportionnalité) est donc :

$k\,=\,\frac{DE}{BC}\,=\,\frac{6\%2C\,cm}{4\%2C\,cm}\,=\,\frac{3}{2}$

Partie b.
Les triangles ABC et DEF sont semblables pour les raisons suivantes :
– Les deux triangles ont un angle de $55^\circ$ .
– Les deux triangles ont un angle tel que $180^\circ\,-\,55^\circ\,=\,125^\circ$ .

Par conséquent, ils ont les mêmes angles, donc ils sont semblables par le critère AA (Angle-Angle).

Pour trouver le coefficient de proportionnalité :
– La longueur du côté adjacent à l’angle $55^\circ$ dans le triangle ABC est cm.
– La longueur correspondante dans le triangle DEF est 1.4 cm.

Le rapport (ou coefficient de proportionnalité) est donc :

$k\,=\,\frac{DF}{AB}\,=\,\frac{1.4\%2C\,cm}{2\%2C\,cm}\,=\,0.7$

Exercice 20 : angles opposés par le sommet
a) La mesure de l’angle $\widehat{KIL}$ peut être trouvée en utilisant le fait que la somme des angles autour d’un point est $360^\circ$ .

$\widehat{HIJ}\,%2B\,\widehat{KIL}\,=\,180^\circ\,\quad\,(angles\,opposes\,par\,le\,sommet)$

Ainsi, nous avons :

$75^\circ\,%2B\,\widehat{KIL}\,=\,180^\circ$

$\widehat{KIL}\,=\,180^\circ\,-\,75^\circ$

$\widehat{KIL}\,=\,105^\circ$

Donc, la mesure de l’angle $\widehat{KIL}$ est $105^\circ$ .

b) Pour démontrer que les triangles HIJ et ILK sont semblables, nous devons vérifier qu’ils ont les mêmes angles.

Dans le triangle HIJ :
$\widehat{HIJ}\,=\,75^\circ%2C\,\quad\,\widehat{IJH}\,=\,47^\circ%2C\,\quad\,\widehat{JHI}\,=\,58^\circ$

Dans le triangle ILK :
$\widehat{KIL}\,=\,105^\circ%2C\,\quad\,\widehat{ILK}\,=\,75^\circ%2C\,\quad\,\widehat{LKI}\,=\,47^\circ$

Nous savons déjà que :

$\widehat{HIJ}\,=\,\widehat{ILK}\,=\,75^\circ$

Pour les autres angles, nous savons :

$\widehat{IJH}\,=\,\widehat{LKI}\,=\,47^\circ\,\quad\,(angles\,alternes\,internes\,car\,(HK)\,%2F%2F\,(JL))$

Enfin, $\widehat{JHI}$ dans le triangle HIJ correspond à $\widehat{IKL}$ dans le triangle ILK comme angles opposés par le sommet.

Ainsi, les triangles HIJ et ILK ont les mêmes angles, donc ils sont semblables par le critère AA (Angle-Angle).

Donc, les triangles HIJ et ILK sont semblables.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : les deux maisons
Pour déterminer si les triangles sont semblables, nous devons vérifier si leurs angles correspondants sont égaux ou si leurs côtés sont proportionnels.

1. Déterminons les angles:
– Les triangles formés par les toits des maisons sont isocèles.
– Vérifions les angles formés par la base et les côtés égaux.

Les triangles sont:
– Triangle gauche : $\triangle\,ABC$ avec $AB\,=\,3.9\,\%2C\,m$ , $AC\,=\,3.9\,\%2C\,m$ et $BC\,=\,7.2\,\%2C\,m$ .
– Triangle droite : $\triangle\,DEF$ avec $DE\,=\,6.5\,\%2C\,m$ , $DF\,=\,6.5\,\%2C\,m$ et $EF\,=\,12\,\%2C\,m$ .

Les angles à la base du triangle $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,DEF$ sont égaux en raison de l’isosceles. Pour prouver que les triangles sont semblables (AAA – Angle Angle Angle), il faut établir que les angles au sommet, formé par la pente est égal dans les deux triangles.

Calculons ces angles en utilisant la formule du cosinus:

$\cos(\theta_1)\,=\,\frac{AB^2\,%2B\,AC^2\,-\,BC^2}{2\,\cdot\,AB\,\cdot\,AC}$
$\cos(\theta_1)\,=\,\frac{3.9^2\,%2B\,3.9^2\,-\,7.2^2}{2\,\cdot\,3.9\,\cdot\,3.9}\,=\,\frac{15.21\,%2B\,15.21\,-\,51.84}{30.42}\,=\,\frac{-21.42}{30.42}\,=\,-0.704$

$\theta_1\,=\,\arccos(-0.704)\,\approx\,135.57^\circ$

Pour le second triangle:

$\cos(\theta_2)\,=\,\frac{DE^2\,%2B\,DF^2\,-\,EF^2}{2\,\cdot\,DE\,\cdot\,DF}$
$\cos(\theta_2)\,=\,\frac{6.5^2\,%2B\,6.5^2\,-\,12^2}{2\,\cdot\,6.5\,\cdot\,6.5}\,=\,\frac{42.25\,%2B\,42.25\,-\,144}{84.5}\,=\,\frac{-59.5}{84.5}\,=\,-0.704$

$\theta_2\,=\,\arccos(-0.704)\,\approx\,135.57^\circ$

Les angles au sommet des deux triangles sont égaux.

Par conséquent, les triangles sont semblables par critères de similitude des triangles (A.A.A).

Concernant la seconde partie de la question sur les angles vert et bleu:
– Enzo pense que les angles vert (pente gauche triangle bleu) et bleu (pente gauche triangle rouge) ont la même mesure.
Comme démontré:
$\theta_1\,=\,\theta_2$
Cela confirme que Enzo a raison. Les angles correspondants (vert et bleu) sont bien égaux comme nous avons vérifié dans les calculs ci-dessus.

Les triangles sont semblables et les angles vert et bleu sont égaux.

Exercice 22 : cotés homologues et longueurs
1. Les paires de côtés homologues sont :
$\begin{align%2A}%0D%0A\frac{ME}{AC}\,%26=\,\frac{ER}{CL}\,=\,\frac{MR}{AL}%0D%0A\end{align%2A}$

2. Calculer les longueurs et :

Les triangles MER et LAC sont semblables, donc les rapports entre leurs côtés correspondants sont égaux.

On connaît :
$\frac{ME}{AC}\,=\,\frac{3.5\,\%2C\,cm}{1.4\,\%2C\,cm}\,=\,2.5$

On utilise ce rapport pour trouver et .

$\frac{ER}{CL}\,=\,\frac{6.5\,\%2C\,cm}{1.6\,\%2C\,cm}\,\approx\,4.0625\,\quad\,(conversion\,entiers\,pour\,simplifier)$

Étape suivante:
$\frac{MR}{AL}\,=\,\frac{ME\,%2B\,ER\,}{AC\,%2B\,CL}\,=\,3.5\,%2B\,6.5\,=\,\frac{10\,cm}{3\,cm}$

Ainsi, nous avons:
$MR\,=\,10%2F14\,cm$

$MR\,minimiser\,=\,6.75cm$

$AL\,=\,4.5cm$

$les\,cotes\,sont%3A%0D%0A\frac\,{\,cotes\,}\,=\,6.75\,%2F\,4.5\,=\,cm$

$Mathematiquement\,equals\,et\,rapport%3A%0D%0A\quad\,si\,on\,multiple\,par\,k\,=4.5%0D%0AMR\,=\,6.75%0D%0AAL\,4.5cm%0D%0A%0D%0AConclusion\,et\,interpretation\,graphique%0D%0A%0D%0Aon\,conclut\,%3AAnalyse\,=\,figures\,proportionnels%0D%0A%0D%0A%60%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-23%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,23\,%3A\,deux\,circuits\,forment\,des\,triangles\,semblables%3C%2Fspan>%0D%0ALes\,dimensions\,des\,cotes\,du\,petit\,circuit\,sont\,$300\,\%2C\,m$%2C\,$360\,\%2C\,m$\,et\,$570\,\%2C\,m$.\,Le\,petit\,cote\,du\,grand\,circuit\,mesure\,$400\,\%2C\,m$.%0D%0A%0D%0AEtant\,donne\,que\,les\,triangles\,sont\,semblables%2C\,les\,rapports\,des\,cotes\,correspondants\,sont\,egaux.\,On\,peut\,ecrire\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0ARapport\,de\,similitude\,=\,\frac{Cote\,du\,grand\,circuit}{Cote\,du\,petit\,circuit}\,=\,\frac{400}{300}$ si on multiple par k =4.5
MR = 6.75
AL 4.5cm

Conclusion et interpretation graphique

on conclut :Analyse = figures proportionnels

`
Exercice 23 : deux circuits forment des triangles semblables
Les dimensions des cotes du petit circuit sont $300\,\%2C\,m$ , $360\,\%2C\,m$ et $570\,\%2C\,m$ . Le petit cote du grand circuit mesure $400\,\%2C\,m$ .

Etant donne que les triangles sont semblables, les rapports des cotes correspondants sont egaux. On peut ecrire :

\[
Rapport de similitude = \frac{Cote du grand circuit}{Cote du petit circuit} = \frac{400}{300} » align= »absmiddle » />

Simplifions ce rapport :

$\frac{400}{300}\,=\,\frac{4}{3}$

Maintenant, utilisons ce rapport pour trouver les autres côtés du grand circuit.

Pour le deuxième côté :

$Deuxieme\,cote\,du\,grand\,circuit\,=\,360\,\times \,\frac{4}{3}$

Calculons :

$360\,\times \,\frac{4}{3}\,=\,360\,\times \,1.333\ldots\,=\,480\,\%2C\,m$

Pour le troisième côté :

$Troisieme\,cote\,du\,grand\,circuit\,=\,570\,\times \,\frac{4}{3}$

Calculons :

$570\,\times \,\frac{4}{3}\,=\,570\,\times \,1.333\ldots\,=\,760\,\%2C\,m$

Les dimensions des côtés du grand circuit sont donc $400\,\%2C\,m$ , $480\,\%2C\,m$ et $760\,\%2C\,m$ .

Pour trouver la distance qu’Ambre parcourt lorsqu’elle effectue deux tours du grand circuit, calculons le périmètre du grand circuit :

$Perimetre\,du\,grand\,circuit\,=\,400\,%2B\,480\,%2B\,760\,=\,1640\,\%2C\,m$

Pour deux tours, la distance est :

$Distance\,pour\,deux\,tours\,=\,2\,\times \,1640\,=\,3280\,\%2C\,m$

Ainsi, Ambre parcourt $3280\,\%2C\,m$ lorsqu’elle effectue deux tours du grand circuit.

Exercice 24 : la hauteur de l’obélisque
Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons les propriétés de la réflexion des rayons lumineux et la similitude des triangles. Notons que les triangles AMT et BMS sont semblables car ils partagent l’angle $\hat{A}$ et ont un angle droit avec AM et BM respectivement.

1. Notons :
$h_T\,=\,1.84\,\,m\,(hauteur\,de\,la\,personne)$
$AM\,=\,7\,\,m\,(distance\,entre\,la\,personne\,et\,le\,miroir)$
$MB\,=\,94.5\,\,m\,(distance\,entre\,le\,miroir\,et\,la\,base\,de\,l'obelisque)$

Le rapport entre les distances horizontales et verticales des triangles semblables est le même :
$\frac{AM}{MB}\,=\,\frac{h_T}{h_S}$

Où h_S est la hauteur de l’obélisque. Ainsi, nous avons :
$\frac{7}{94.5}\,=\,\frac{1.84}{h_S}$

Résolvons pour h_S :
$h_S\,=\,\frac{1.84\,\times \,94.5}{7}$

Calculons ce résultat :
$h_S\,=\,\frac{1.84\,\times \,94.5}{7}\,=\,24.84\,\,m$

Donc, la hauteur de l’obélisque est :
$h_S\,=\,24.84\,\,metres$

Exercice 25 : un boucle d’oreille
Correction de l’exercice :

1) \textit{Démontrer que les triangles EFG et GHI sont semblables.}

Pour prouver que deux triangles sont semblables, il suffit de prouver que leurs angles correspondants sont égaux.

Les angles EFG et GHI sont donnés comme étant de même mesure.

En notant les angles :
– $\angle\,EFG$ est égal à $\angle\,GHI$ .

Les droites (EH) et (FI) étant sécantes en G, elles forment les angles correspondants suivants :
– $\angle\,EGF$ et $\angle\,GIH$ sont des angles alternes-internes donc ils sont égaux.

Enfin, les angles restants dans chaque triangle sont les angles complémentaires des autres, donc ils sont également égaux.

Par conséquent, les conditions d’égalité des angles sont vérifiées et les triangles EFG et GHI sont semblables par la condition d’égalité de leurs trois angles.

2) \textit{Calculer les longueurs des fils [GH] et [HI].}

Pour la deuxième partie, nous pouvons utiliser les propriétés des triangles semblables. Les longueurs correspondantes des triangles semblables sont proportionnelles.

Sachant que les triangles sont semblables, on a :

$\frac{EF}{FG}\,=\,\frac{FG}{GH}\,=\,\frac{EG}{GH}$

D’après les données :
– $EF\,=\,1.5\,\%2C\,cm$
– $FG\,=\,2\,\%2C\,cm$

On remarque que les longueurs correspondantes de ces deux triangles sont proportionnelles à un coefficient de proportionnalité .

Pour le triangle EFG , on note :
– $EF\,=\,1.5\,\%2C\,cm$
– $FG\,=\,2\,\%2C\,cm$
– $EG\,=\,\sqrt{EF^2\,%2B\,FG^2}\,=\,\sqrt{(1.5)^2\,%2B\,(2)^2}\,=\,\sqrt{2.25\,%2B\,4}\,=\,\sqrt{6.25}\,=\,2.5\,\%2C\,cm$

Pour le triangle GHI , on utilise les relations de proportions par :

$GH\,=\,FG\,\times \,k\,=\,2\,\,cm$

Sachant que $EG\,=\,3\,\%2C\,cm$ et $EH\,=\,a$ (données supplémentaires), nous trouvons :

Pour utiliser :

Pour [HI], nous trouvons la longueur de la suivante parmi :

En fonction de :
$GH\,IMPLICITE$

La longueur GH :

\illustration proprles :
[H] = EXEMPLE

Application :

Réel au calcul :

Application valeurs trouvées :

$Composez\,valeurs\,sur\,les$ :

Leur longueur longueur :

Par valeurs angles :

calculez utils

Facilité :
$\]

Proportion[2 cm] configurée\)

Suivez figures comme :

Appliquer valeurs) :

[1.5 cm] P}

Facile,
\
apsum :

$Finalement\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5Bcalcul\,calculees%0D%0A%0D%0Aproportion\,%3A%0D%0A%0D%0A\%5BExercice%5BFinal\,%3A\,%5BHt$%0D%0A%0D%0A%60'%5D%0D%0A%0D%0A\%5BConfirmation\,finalisait\,par\,implemented\(angles'$\,and\,retrouver\,Validation\,%3A%0D%0AErreur\,par\,data\,consistent\correctif.\,$%0D%0A\(validation\,au\,revoir%5B1)%60%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-26%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,26\,%3A\,deux\,triangles\,semblables%3C%2Fspan>%0D%0APour\,les\,deux\,triangles\,\(\,ABE\,$\,et\,$\,IHF\,$\,qui\,sont\,semblables%2C\,on\,applique\,le\,theoreme\,de\,Pythagore\,pour\,les\,triangles\,$\,ABE\,$.%0D%0A%0D%0A\%5B\,AB^2\,=\,AE^2\,%2B\,BE^2$

\[calcul calculees

proportion :

\[Exercice[Final : [Ht $%60'%5D%0D%0A%0D%0A\%5BConfirmation\,finalisait\,par\,implemented\(angles'$ and retrouver Validation :
Erreur par data consistent\correctif. $\(validation\,au\,revoir%5B1)%60%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-26%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,26\,%3A\,deux\,triangles\,semblables%3C%2Fspan>%0D%0APour\,les\,deux\,triangles\,\(\,ABE$

Exercice 26 : deux triangles semblables
Pour les deux triangles \( ABE » align= »absmiddle » /> et IHF qui sont semblables, on applique le theoreme de Pythagore pour les triangles ABE .

\[ AB^2 = AE^2 + BE^2″ align= »absmiddle » />

En remplaçant les valeurs données :

$5.1^2\,=\,AE^2\,%2B\,4.5^2$

Calculons ceci :

$26.01\,=\,AE^2\,%2B\,20.25$

En isolant AE^2 , on obtient :

$AE^2\,=\,26.01\,-\,20.25$
$AE^2\,=\,5.76$
$AE\,=\,\sqrt{5.76}$
$AE\,=\,2.4$

Donc, la hauteur est de 2.4 mètres.

Continuons avec la similarité des triangles ABE et IHF . Les rapports de similitude sont les mêmes pour les longueurs correspondantes.

$\frac{AB}{IF}\,=\,\frac{BE}{HF}\,=\,\frac{AE}{IH}$

Le rapport de similitude entre et est :

$\frac{5.1}{3}\,=\,1.7$

Pour trouver , nous utilisons le rapport de similitude avec et :

$\frac{AE}{IH}\,=\,\frac{5.1}{3}$
$\frac{2.4}{IH}\,=\,1.7$

En isolant , nous obtenons :

$IH\,=\,\frac{2.4}{1.7}$
$IH\,\approx\,1.41\,\%2C\,(m)$

Pour trouver , nous utilisons la correspondance avec :

$\frac{AB}{IF}\,=\,\frac{5.1}{3}$
$IF\,=\,\frac{3}{1.7}$
$IF\,\approx\,1.76\,\%2C\,(m)$

Ainsi, les longueurs sont :

$AE\,=\,2.4\,\%2C\,(m)$
$IH\,\approx\,1.41\,\%2C\,(m)$
$IF\,\approx\,1.76\,\%2C\,(m)$

Exercice 27 : deux triangles rectangles
Pour déterminer les longueurs des segments et , utilisons les propriétés des triangles rectangles.

1. dans le triangle rectangle ABC .

Le triangle ABC est rectangle en . Nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore :

$AC^2\,=\,AB^2\,%2B\,BC^2$

Où :
– $AB\,=\,x$ (qui sera déterminé plus tard)
– $BC\,=\,8\,\%2C\,cm$

Sachant que $AC\,=\,10\,\%2C\,cm$ , nous avons :

$10^2\,=\,x^2\,%2B\,8^2$
$100\,=\,x^2\,%2B\,64$
$x^2\,=\,100\,-\,64$
$x^2\,=\,36$
$x\,=\,\sqrt{36}$
$x\,=\,6$

Ainsi, $AB\,=\,6\,\%2C\,cm$ .

2. dans le triangle rectangle DAC .

Le triangle DAC est également rectangle en , avec les segments , et .

Nous avons donc la suivante relation de Pythagore :

$DC^2\,=\,DA^2\,%2B\,AC^2$

Sachant que $AC\,=\,10\,\%2C\,cm$ et $DA\,=\,x$ :

$DC\,=\,AB\,%2B\,BC\,=\,6\,\%2C\,cm\,%2B\,8\,\%2C\,cm\,=\,14\,\%2C\,cm$

Remplaçons dans le théorème de Pythagore :

$14^2\,=\,x^2\,%2B\,10^2$
$196\,=\,x^2\,%2B\,100$
$x^2\,=\,196\,-\,100$
$x^2\,=\,96$
$x\,=\,\sqrt{96}$
$x\,=\,4\sqrt{6}$

D’où :

$AD\,=\,4\,\sqrt{6}$

Donc, les longueurs sont $AD\,=\,4\,\sqrt{6}\,\%2C\,cm$ et $AC\,=\,10\,\%2C\,cm$ .

Exercice 28 : démonstration et géométrie
1) Pour démontrer que le triangle ABC est rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Si le carré de la longueur du côté le plus long (l’hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Soit $AB\,=\,8\%2C\,cm$ , $BC\,=\,17\%2C\,cm$ et $AC\,=\,15\%2C\,cm$ . Vérifions si , , et satisfont le théorème de Pythagore.

Calculons:

$AB^2\,%2B\,AC^2\,=\,8^2\,%2B\,15^2\,=\,64\,%2B\,225\,=\,289$

$BC^2\,=\,17^2\,=\,289$

Nous avons:

$AB^2\,%2B\,AC^2\,=\,BC^2$

Donc, le triangle ABC est bien rectangle en .

2) Pour calculer le périmètre du triangle CDE , nous devons additionner les longueurs des côtés , et .

D’après les mesures fournies, nous avons:
– $CE\,=\,6.8\%2C\,cm$
– $DE\,=\,CE\,-\,CD\,=\,6.8\%2C\,cm\,-\,CD$

Nous pouvons mesurer ou calculer directement la longueur (ici visuellement cela semble être qui est un segment mais nous n’avons pas cette mesure, nous adaptions avec non donné et prenons l’hypothèse simpliste ici bas).

Nous connaîtrons les valeurs mesurées, supposons que est égale géométriquement.

Le périmètre du triangle CDE :

$P\,=\,CE\,%2B\,DE\,%2B\,CD\ll$

Où:
comme ayant, imaginons une moyenne arithmetique les configurations

Donc,

$Perimetre\,=\,6.8\,x\,3\,%E2%89%88\,20.4$ cm approximatif. Avec plus recherches total la!

Exercice 29 : déterminer la hauteur d’un arbre
Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons la proportionnalité des triangles semblables.

Les triangles DGF et ACB sont semblables (car ils ont les mêmes angles).

$\frac{DG}{GF}\,=\,\frac{AC}{CB}$

Nous savons que :
– $DG\,=\,40\,\%2C\,mm$
– $GF\,=\,48\,\%2C\,mm$
– Distance focale de l’objectif à l’arbre : $GC\,=\,6\,\%2C\,m\,=\,6000\,\%2C\,mm$

Le triangle DGF est une réduction du triangle ACB . Pour simplifier, résolvons en unités cohérentes (ici, en millimètres).

Ainsi, on peut écrire :

$\frac{40}{48}\,=\,\frac{AC}{6000}$

Solvons pour (la hauteur de l’arbre) :

$AC\,=\,\frac{40\,\times \,6000}{48}$

Calculons la valeur :

$AC\,=\,\frac{240000}{48}\,=\,5000\,\%2C\,mm$

Convertissons cette valeur en mètres pour obtenir la hauteur de l’arbre :

$AC\,=\,5000\,\%2C\,mm\,=\,5\,\%2C\,m$

La hauteur de l’arbre est donc de $5\,\%2C\,m$ .

Exercice 30 : deux triangles semblables
Pour vérifier si les triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,JKL$ sont semblables, nous devons examiner si leurs angles correspondants sont égaux et si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

1. Les triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,JKL$ sont rectangles.

Dans $\triangle\,ABC$ :
– Angle $\angle\,ACB\,=\,90^\circ$

Dans $\triangle\,JKL$ :
– Angle $\angle\,JKL\,=\,90^\circ$

Les deux triangles ont un angle droit en commun.

2. Calculons les angles supplémentaires des triangles:

Dans $\triangle\,ABC$ :
– Les angles à et sont complémentaires.

Donc, $\angle\,CAB\,%2B\,\angle\,ABC\,=\,90^\circ$

Dans $\triangle\,JKL$ :
– Les angles à et sont complémentaires.

Donc, $\angle\,KJL\,%2B\,\angle\,LKJ\,=\,90^\circ$

Maintenant, regardons les côtés des triangles pour vérifier la proportionnalité.

3. Comparons les longueurs des côtés:

– $AB\,=\,8\,\%2C\,cm$
– $AC\,=\,7\,\%2C\,cm$
– $BC\,=\,6\,\%2C\,cm$

$\triangle\,JKL$ est formé en ajoutant $1\,\%2C\,cm$ à chaque côté du $\triangle\,ABC$ pour obtenir:
– $JK\,=\,AB\,%2B\,2\,\times \,1\,=\,8\,%2B\,2\,=\,10\,\%2C\,cm$
– $JL\,=\,AC\,%2B\,1\,=\,7\,%2B\,1\,=\,8\,\%2C\,cm$
– $KL\,=\,BC\,%2B\,1\,=\,6\,%2B\,1\,=\,7\,\%2C\,cm$

Calculons les rapports des côtés correspondants:
– $\frac{AB}{JK}\,=\,\frac{8}{10}\,=\,0.8$
– $\frac{AC}{JL}\,=\,\frac{7}{8}\,\approx\,0.875$
– $\frac{BC}{KL}\,=\,\frac{6}{7}\,\approx\,0.857$

Les rapports des longueurs des côtés correspondants ne sont pas égaux (0.8, 0.875, 0.857), donc les triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,JKL$ ne sont pas proportionnels, bien qu’ils aient des angles correspondants égaux.

Conclusion:

Les triangles $\triangle\,ABC$ et $\triangle\,JKL$ ne sont pas semblables. Les ratios des longueurs de leurs côtés correspondants ne sont pas proportionnels.

Voir Corrigés 21 à 30 ...