Volumes : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : calcul du volume d’un cône de révolution.
Pour calculer le volume d’un cône de révolution, on utilise la formule suivante :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h

Dans cet exercice, on nous donne les valeurs suivantes :
– Le rayon de la base r est de 5 cm.
– La hauteur h du cône est de 6 cm.

En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(5)^2\,(6)

Calculons étape par étape :

(5)^2\,=\,25

25\,\times  \,6\,=\,150

Ainsi,

V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,(150)\,=\,50\,\pi

Pour donner une valeur numérique approchée, nous pouvons utiliser l’approximation \pi\,\approx\,3.14 :

V\,\approx\,50\,\times  \,3.14\,=\,157

Ainsi, le volume du cône est :

V\,=\,50\,\pi\,\%2C\,cm^3\,\approx\,157\,\%2C\,cm^3

Exercice 2 : calcul du volume d’une pyramide
Pour calculer le volume de la pyramide, nous utiliserons la formule du volume d’une pyramide :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,Aire\,de\,la\,base\,\times  \,Hauteur

La base de la pyramide est un rectangle de dimensions 30 m et 50 m. Calculons l’aire de la base.

Aire\,de\,la\,base\,=\,30\,\%2C\,m\,\times  \,50\,\%2C\,m\,=\,1500\,\%2C\,m^2

La hauteur de la pyramide est de 90 m.

En appliquant la formule du volume de la pyramide, nous obtenons :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,1500\,\%2C\,m^2\,\times  \,90\,\%2C\,m

V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,135000\,\%2C\,m^3

V\,=\,45000\,\%2C\,m^3

Donc, le volume de la pyramide est de 45000\,\%2C\,m^3.

Exercice 3 : patron d’un cône de révolution
1. Le sommet de ce cône est le point A, qui est commun à la surface latérale du cône.

2. Le centre du disque de base du cône est le point O, et le rayon de ce disque est la distance OB.

3. La génératrice du cône est le segment AB. Si AB\,=\,l et OB\,=\,r, alors la génératrice mesure l\,=\,AB.

4. La longueur de l’arc de cercle BC est égale à la circonférence complète du cercle multipliée par le rapport de l’angle de l’arc sur 2\pi. Si l’angle au centre est \theta radians, la longueur de l’arc BC est donnée par :
L\,=\,r\theta
L est la longueur de l’arc et r est le rayon du cercle.

Exercice 4 : pyramide droite à base rectangulaire
1. La nature de BCDE est celle d’un rectangle. Puisque ABCDE est une pyramide à base rectangulaire, la base BCDE est un rectangle.

2. La hauteur de ABCDE est la perpendiculaire issue du sommet A à la base rectangulaire BCDE. Dans ce cas, la hauteur est le segment [AE].

Pour trouver la hauteur AE, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABE (qui est rectangle en B):

AE^2\,=\,AB^2\,%2B\,BE^2

En substituant les longueurs données:
AE^2\,=\,5^2\,%2B\,9^2
AE^2\,=\,25\,%2B\,81
AE^2\,=\,106
AE\,=\,\sqrt{106}\,\approx\,10.3\,\%2C\,cm

3. Pour tracer en vraie grandeur le triangle ABC, on utilise les mesures données:
AB\,=\,5\,\%2C\,cm
BC\,=\,7\,\%2C\,cm

Nous devons déterminer la longueur de AC. Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle ABC (si \angle\,ABC\,=\,90^\circ).

Puisque ABC est un triangle rectangle en B:
AC^2\,=\,AB^2\,%2B\,BC^2
AC^2\,=\,5^2\,%2B\,7^2
AC^2\,=\,25\,%2B\,49
AC^2\,=\,74
AC\,=\,\sqrt{74}\,\approx\,8.6\,\%2C\,cm

On peut ainsi construire le triangle ABC en suivant ces dimensions sur du papier à l’échelle ou à l’aide d’un logiciel de traçage géométrique.

Exercice 5 : volume d’une pyramide à base carrée
Pour calculer le volume de la pyramide, nous devons utiliser la formule du volume d’une pyramide :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,Base\,\times  \,Hauteur

La base de la pyramide est un carré de 6 cm de côté, donc l’aire de la base est :

Base\,=\,6\,\times  \,6\,=\,36\,\%2C\,cm^2

La hauteur de la pyramide, notée h, est de 34 cm. En remplaçant les valeurs dans la formule du volume, nous obtenons :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,36\,\%2C\,cm^2\,\times  \,34\,\%2C\,cm

V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,1224\,\%2C\,cm^3

V\,=\,408\,\%2C\,cm^3

Le volume de la pyramide est donc :

V\,=\,408\,\%2C\,cm^3

Exercice 6 : volume d’une cône de révolution
Soit r\,=\,7 cm le rayon de la base du cône et h\,=\,9 cm sa hauteur. Le volume V d’un cône est donné par la formule suivante :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h

En substituant les valeurs de r et h :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times  \,7^2\,\times  \,9

Calculons 7^2 :

7^2\,=\,49

Donc :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times  \,49\,\times  \,9

Calculons 49\,\times  \,9 :

49\,\times  \,9\,=\,441

Ainsi :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,\times  \,441

Calculons \frac{1}{3}\,\times  \,441 :

\frac{1}{3}\,\times  \,441\,=\,147

Donc :

V\,=\,147\,\pi

Pour obtenir une valeur approchée, utilisons \pi\,\approx\,3.14159 :

V\,\approx\,147\,\times  \,3.14159

Calculons :

147\,\times  \,3.14159\,\approx\,461.81253

Ainsi, le volume du cône, arrondi au centième près, est :

V\,\approx\,461.81\,\%2C\,cm^3

Exercice 7 : volume d’une pyramide à base triangulaire
Pour calculer le volume de la pyramide, nous devons d’abord déterminer l’aire de la base, qui est un triangle ABC rectangle en B.

1. Calcul de l’aire de la base (triangle ABC) :
Étant donné que le triangle est rectangle en B, nous utiliserons les côtés AB et BC qui sont perpendiculaires l’un à l’autre.
Aire\,du\,triangle\,ABC\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,AB\,\times  \,BC
Avec AB\,=\,4%2C5\,\%2C\,cm et BC\,=\,6\,\%2C\,cm, nous avons :
Aire\,du\,triangle\,ABC\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,4%2C5\,\times  \,6\,=\,\frac{1}{2}\,\times  \,27\,=\,13%2C5\,\%2C\,cm^2

2. Calcul du volume de la pyramide :
La hauteur de la pyramide est donnée comme étant de 7 cm.
Volume\,de\,la\,pyramide\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,Aire\,de\,la\,base\,\times  \,Hauteur
Avec une aire de base de 13%2C5\,\%2C\,cm^2 et une hauteur de 7\,\%2C\,cm, nous obtenons :
Volume\,de\,la\,pyramide\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,13%2C5\,\times  \,7\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,94%2C5\,=\,31%2C5\,\%2C\,cm^3

Donc, le volume de la pyramide est de 31%2C5\,\%2C\,cm^3.

Exercice 8 : volume d’une pyramide à base un parallèlogramme
Pour calculer le volume de la pyramide, il nous faut la surface de la base et la hauteur de la pyramide.

1. Calcul\,de\,la\,surface\,de\,la\,base\,(parallelogramme\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3FABCD%22\,alt=%22ABCD) : » align= »absmiddle » />

La formule de la surface S d’un parallélogramme est :

S\,=\,AB\,\times  \,AH

Avec
AB\,=\,4\,\%2C\,cm
et
AH\,=\,4\,\%2C\,cm

Alors :
S\,=\,4\,\times  \,4\,=\,16\,\%2C\,cm^2

2. Volume\,de\,la\,pyramide\,%3A

La formule du volume V d’une pyramide est :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,Base\,\times  \,Hauteur

Pour cette pyramide, la hauteur est donnée :
Hauteur\,=\,8\,\%2C\,cm

Donc :
V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,16\,\times  \,8

Calculons :
V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,128
V\,=\,\frac{128}{3}
V\,\approx\,42.67\,\%2C\,cm^3

Le volume de cette pyramide est donc d’environ 42%2C67\,\%2C\,cm^3.

Exercice 9 : calcul du rayon de la base d’un cône
Le volume V d’un cône de révolution est donné par la formule :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h

r est le rayon de la base et h\,=\,5\,\%2C\,cm est la hauteur.

On sait que le volume du cône est de 18\,\%2C\,cm^3. En remplaçant les valeurs connues dans la formule, nous obtenons :

18\,=\,\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,\times  \,5

Nous pouvons simplifier cette équation :

18\,=\,\frac{5}{3}\,\pi\,r^2

En multipliant les deux côtés de l’équation par \frac{3}{5}, nous obtenons :

r^2\,=\,\frac{18\,\times  \,3}{5\,\pi}

r^2\,=\,\frac{54}{5\,\pi}

En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation, nous trouvons le rayon r :

r\,=\,\sqrt{\frac{54}{5\,\pi}}

Nous pouvons laisser cette valeur sous forme exacte, puis trouver une approximation numérique :

La valeur exacte est :

r\,=\,\sqrt{\frac{54}{5\,\pi}}

Pour l’approximation, nous utilisons \pi\,\approx\,3.14159 :

r\,\approx\,\sqrt{\frac{54}{5\,\times  \,3.14159}}

r\,\approx\,\sqrt{\frac{54}{15.70795}}

r\,\approx\,\sqrt{3.4386}

r\,\approx\,1.85\,\%2C\,cm

Donc, le rayon de la base du cône est :

– Valeur exacte : \sqrt{\frac{54}{5\,\pi}}
– Valeur approchée au centième : 1.85\,\%2C\,cm

Exercice 10 : calcul de la hauteur d’une pyramide
Pour trouver la hauteur de la pyramide, nous allons utiliser la formule du volume d’une pyramide à base carrée. La formule est :

V\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,B\,\times  \,h

où :
V est le volume de la pyramide (63 cm³),
B est l’aire de la base de la pyramide,
h est la hauteur de la pyramide.

L’aire de la base B se calcule comme suit :
B\,=\,c^2
c est le côté du carré de la base.

Ici, c\,=\,5 cm, donc :
B\,=\,5^2\,=\,25\,\%2C\,cm^2

Nous savons que :
V\,=\,63\,\%2C\,cm^3

Substituons B et V dans la formule du volume pour trouver h :
63\,=\,\frac{1}{3}\,\times  \,25\,\times  \,h

Multiplions les deux côtés de l’équation par 3 pour isoler h :
3\,\times  \,63\,=\,25\,\times  \,h
189\,=\,25\,\times  \,h

Ensuite, divisons les deux côtés de l’équation par 25 :
h\,=\,\frac{189}{25}

Finalement, en simplifiant :
h\,=\,7%2C56\,\%2C\,cm

La hauteur de la pyramide est donc de 7,56 cm.

Voir Corrigés 11 à 16 ...

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