Exercice 1 : calcul du volume d’un cône de révolution.
Pour calculer le volume d’un cône de révolution, on utilise la formule suivante :
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
Dans cet exercice, on nous donne les valeurs suivantes :
– Le rayon de la base \( r \) est de 5 cm.
– La hauteur \( h \) du cône est de 6 cm.
En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :
\[ V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (6) \]
Calculons étape par étape :
\[ (5)^2 = 25 \]
\[ 25 \times 6 = 150 \]
Ainsi,
\[ V = \frac{1}{3} \pi (150) = 50 \pi \]
Pour donner une valeur numérique approchée, nous pouvons utiliser l’approximation \(\pi \approx 3.14\) :
\[ V \approx 50 \times 3.14 = 157 \]
Ainsi, le volume du cône est :
\[ V = 50 \pi \, \text{cm}^3 \approx 157 \, \text{cm}^3 \]
Exercice 2 : calcul du volume d’une pyramide
Pour calculer le volume de la pyramide, nous utiliserons la formule du volume d’une pyramide :
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur} \]
La base de la pyramide est un rectangle de dimensions 30 m et 50 m. Calculons l’aire de la base.
\[ \text{Aire de la base} = 30 \, \text{m} \times 50 \, \text{m} = 1500 \, \text{m}^2 \]
La hauteur de la pyramide est de 90 m.
En appliquant la formule du volume de la pyramide, nous obtenons :
\[ V = \frac{1}{3} \times 1500 \, \text{m}^2 \times 90 \, \text{m} \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 135000 \, \text{m}^3 \]
\[ V = 45000 \, \text{m}^3 \]
Donc, le volume de la pyramide est de \( 45000 \, \text{m}^3 \).
Exercice 3 : patron d’un cône de révolution
1. Le sommet de ce cône est le point A, qui est commun à la surface latérale du cône.
2. Le centre du disque de base du cône est le point O, et le rayon de ce disque est la distance \(OB\).
3. La génératrice du cône est le segment \(AB\). Si \(AB = l\) et \(OB = r\), alors la génératrice mesure \(l = AB\).
4. La longueur de l’arc de cercle BC est égale à la circonférence complète du cercle multipliée par le rapport de l’angle de l’arc sur \(2\pi\). Si l’angle au centre est \(\theta\) radians, la longueur de l’arc BC est donnée par :
\[
L = r\theta
\]
où \(L\) est la longueur de l’arc et \(r\) est le rayon du cercle.
Exercice 4 : pyramide droite à base rectangulaire
1. La nature de BCDE est celle d’un rectangle. Puisque ABCDE est une pyramide à base rectangulaire, la base BCDE est un rectangle.
2. La hauteur de ABCDE est la perpendiculaire issue du sommet A à la base rectangulaire BCDE. Dans ce cas, la hauteur est le segment [AE].
Pour trouver la hauteur \(AE\), on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle \(ABE\) (qui est rectangle en \(B\)):
\[
AE^2 = AB^2 + BE^2
\]
En substituant les longueurs données:
\[
AE^2 = 5^2 + 9^2
\]
\[
AE^2 = 25 + 81
\]
\[
AE^2 = 106
\]
\[
AE = \sqrt{106} \approx 10.3 \, \text{cm}
\]
3. Pour tracer en vraie grandeur le triangle \(ABC\), on utilise les mesures données:
– \(AB = 5 \, \text{cm}\)
– \(BC = 7 \, \text{cm}\)
Nous devons déterminer la longueur de \(AC\). Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle \(ABC\) (si \(\angle ABC = 90^\circ\)).
Puisque \(ABC\) est un triangle rectangle en \(B\):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
\[
AC^2 = 5^2 + 7^2
\]
\[
AC^2 = 25 + 49
\]
\[
AC^2 = 74
\]
\[
AC = \sqrt{74} \approx 8.6 \, \text{cm}
\]
On peut ainsi construire le triangle \(ABC\) en suivant ces dimensions sur du papier à l’échelle ou à l’aide d’un logiciel de traçage géométrique.
Exercice 5 : volume d’une pyramide à base carrée
Pour calculer le volume de la pyramide, nous devons utiliser la formule du volume d’une pyramide :
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} \]
La base de la pyramide est un carré de 6 cm de côté, donc l’aire de la base est :
\[ \text{Base} = 6 \times 6 = 36 \, \text{cm}^2 \]
La hauteur de la pyramide, notée \( h \), est de 34 cm. En remplaçant les valeurs dans la formule du volume, nous obtenons :
\[ V = \frac{1}{3} \times 36 \, \text{cm}^2 \times 34 \, \text{cm} \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 1224 \, \text{cm}^3 \]
\[ V = 408 \, \text{cm}^3 \]
Le volume de la pyramide est donc :
\[ V = 408 \, \text{cm}^3 \]
Exercice 6 : volume d’une cône de révolution
Soit \( r = 7 \) cm le rayon de la base du cône et \( h = 9 \) cm sa hauteur. Le volume \( V \) d’un cône est donné par la formule suivante :
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]
En substituant les valeurs de \( r \) et \( h \) :
\[
V = \frac{1}{3} \pi \times 7^2 \times 9
\]
Calculons \( 7^2 \) :
\[
7^2 = 49
\]
Donc :
\[
V = \frac{1}{3} \pi \times 49 \times 9
\]
Calculons \( 49 \times 9 \) :
\[
49 \times 9 = 441
\]
Ainsi :
\[
V = \frac{1}{3} \pi \times 441
\]
Calculons \( \frac{1}{3} \times 441 \) :
\[
\frac{1}{3} \times 441 = 147
\]
Donc :
\[
V = 147 \pi
\]
Pour obtenir une valeur approchée, utilisons \( \pi \approx 3.14159 \) :
\[
V \approx 147 \times 3.14159
\]
Calculons :
\[
147 \times 3.14159 \approx 461.81253
\]
Ainsi, le volume du cône, arrondi au centième près, est :
\[
V \approx 461.81 \, \text{cm}^3
\]
Exercice 7 : volume d’une pyramide à base triangulaire
Pour calculer le volume de la pyramide, nous devons d’abord déterminer l’aire de la base, qui est un triangle ABC rectangle en B.
1. Calcul de l’aire de la base (triangle ABC) :
Étant donné que le triangle est rectangle en B, nous utiliserons les côtés AB et BC qui sont perpendiculaires l’un à l’autre.
\[
\text{Aire du triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC
\]
Avec \( AB = 4,5 \, cm \) et \( BC = 6 \, cm \), nous avons :
\[
\text{Aire du triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 4,5 \times 6 = \frac{1}{2} \times 27 = 13,5 \, cm^2
\]
2. Calcul du volume de la pyramide :
La hauteur de la pyramide est donnée comme étant de 7 cm.
\[
\text{Volume de la pyramide} = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}
\]
Avec une aire de base de \( 13,5 \, cm^2 \) et une hauteur de \( 7 \, cm \), nous obtenons :
\[
\text{Volume de la pyramide} = \frac{1}{3} \times 13,5 \times 7 = \frac{1}{3} \times 94,5 = 31,5 \, cm^3
\]
Donc, le volume de la pyramide est de \( 31,5 \, cm^3 \).
Exercice 8 : volume d’une pyramide à base un parallèlogramme
Pour calculer le volume de la pyramide, il nous faut la surface de la base et la hauteur de la pyramide.
1. \[\]Calcul de la surface de la base (parallélogramme \(ABCD\)) :\[\]
La formule de la surface \(S\) d’un parallélogramme est :
\[ S = AB \times AH \]
Avec
\[ AB = 4 \, cm \]
et
\[ AH = 4 \, cm \]
Alors :
\[ S = 4 \times 4 = 16 \, cm^2 \]
2. \[\]Volume de la pyramide :\[\]
La formule du volume \(V\) d’une pyramide est :
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} \]
Pour cette pyramide, la hauteur est donnée :
\[ \text{Hauteur} = 8 \, cm \]
Donc :
\[ V = \frac{1}{3} \times 16 \times 8 \]
Calculons :
\[ V = \frac{1}{3} \times 128 \]
\[ V = \frac{128}{3} \]
\[ V \approx 42.67 \, cm^3 \]
Le volume de cette pyramide est donc d’environ \(42,67 \, cm^3\).
Exercice 9 : calcul du rayon de la base d’un cône
Le volume \( V \) d’un cône de révolution est donné par la formule :
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
où \( r \) est le rayon de la base et \( h = 5 \, \text{cm} \) est la hauteur.
On sait que le volume du cône est de \( 18 \, \text{cm}^3 \). En remplaçant les valeurs connues dans la formule, nous obtenons :
\[ 18 = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 5 \]
Nous pouvons simplifier cette équation :
\[ 18 = \frac{5}{3} \pi r^2 \]
En multipliant les deux côtés de l’équation par \( \frac{3}{5} \), nous obtenons :
\[ r^2 = \frac{18 \times 3}{5 \pi} \]
\[ r^2 = \frac{54}{5 \pi} \]
En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation, nous trouvons le rayon \( r \) :
\[ r = \sqrt{\frac{54}{5 \pi}} \]
Nous pouvons laisser cette valeur sous forme exacte, puis trouver une approximation numérique :
La valeur exacte est :
\[ r = \sqrt{\frac{54}{5 \pi}} \]
Pour l’approximation, nous utilisons \( \pi \approx 3.14159 \) :
\[ r \approx \sqrt{\frac{54}{5 \times 3.14159}} \]
\[ r \approx \sqrt{\frac{54}{15.70795}} \]
\[ r \approx \sqrt{3.4386} \]
\[ r \approx 1.85 \, \text{cm} \]
Donc, le rayon de la base du cône est :
– Valeur exacte : \( \sqrt{\frac{54}{5 \pi}} \)
– Valeur approchée au centième : \( 1.85 \, \text{cm} \)
Exercice 10 : calcul de la hauteur d’une pyramide
Pour trouver la hauteur de la pyramide, nous allons utiliser la formule du volume d’une pyramide à base carrée. La formule est :
\[ V = \frac{1}{3} \times B \times h \]
où :
– \( V \) est le volume de la pyramide (63 cm³),
– \( B \) est l’aire de la base de la pyramide,
– \( h \) est la hauteur de la pyramide.
L’aire de la base \( B \) se calcule comme suit :
\[ B = c^2 \]
où \( c \) est le côté du carré de la base.
Ici, \( c = 5 \) cm, donc :
\[ B = 5^2 = 25 \, \text{cm}^2 \]
Nous savons que :
\[ V = 63 \, \text{cm}^3 \]
Substituons \( B \) et \( V \) dans la formule du volume pour trouver \( h \) :
\[ 63 = \frac{1}{3} \times 25 \times h \]
Multiplions les deux côtés de l’équation par 3 pour isoler \( h \) :
\[ 3 \times 63 = 25 \times h \]
\[ 189 = 25 \times h \]
Ensuite, divisons les deux côtés de l’équation par 25 :
\[ h = \frac{189}{25} \]
Finalement, en simplifiant :
\[ h = 7,56 \, \text{cm} \]
La hauteur de la pyramide est donc de 7,56 cm.
Exercice 11 : conversions de volumes
Exercice 1
a. \( 4 \, \text{dam}^2 = 400 \, \text{m}^2 \)
b. \( 15 \, \text{hm}^2 = 1\,500\,000 \, \text{m}^2 \)
c. \( 5{,}1 \, \text{cm}^2 = 0{,}00051 \, \text{m}^2 \)
d. \( 350 \, \text{mm}^2 = 3{,}5 \, \text{cm}^2 \)
e. \( 5{,}2 \, \text{km}^2 = 520 \, \text{hm}^2 \)
f. \( 0{,}7 \, \text{m}^2 = 7 \, \text{dm}^2 \)
g. \( 320 \, \text{a} = 3{,}2 \, \text{hm}^2 \)
h. \( 2{,}5 \, \text{ha} = 0{,}025 \, \text{km}^2 \)
i. \( 15\,300 \, \text{mm}^2 = 153 \, \text{cm}^2 = 0{,}0153 \, \text{m}^2 \)
Exercice 2
a. \( 2 \, \text{km}^2 = 2\,000\,000 \, \text{m}^2 \)
b. \( 37\,000 \, \text{dm}^2 = 370 \, \text{m}^2 \)
c. \( 45\,300 \, \text{mm}^2 = 0{,}0453 \, \text{m}^2 \)
d. \( 153{,}7 \, \text{dam}^2 = 153\,700 \, \text{m}^2 \)
e. \( 28{,}9 \, \text{cm}^2 = 0{,}00289 \, \text{m}^2 \)
f. \( 3{,}008 \, \text{hm}^2 = 300\,800 \, \text{m}^2 \)
g. \( 52 \, \text{a} = 5\,200 \, \text{m}^2 \)
h. \( 0{,}05 \, \text{ha} = 500 \, \text{m}^2 \)
i. \( 200 \, \text{ha} = 2\,000\,000 \, \text{m}^2 \)
Exercice 3
a. \( 15 \, \text{mm}^2 = 0{,}15 \, \text{cm}^2 \)
b. \( 73{,}1 \, \text{m}^2 = 731{,}000 \, \text{cm}^2 \)
c. \( 28 \, \text{dm}^2 = 2\,800 \, \text{cm}^2 \)
d. \( 17\,300 \, \text{m}^2 = 1\,730\,000 \, \text{cm}^2 \)
e. \( 0{,}004 \, \text{m}^2 = 40 \, \text{cm}^2 \)
f. \( 27,008 \, \text{dam}^2 = 27,008 \times 10^4 \, \text{cm}^2 = 2\,700\,800 \, \text{cm}^2 \)
g. \( 0{,}08 \, \text{mm}^2 = 0{,}0008 \, \text{cm}^2 \)
h. \( 13 \, \text{a} = 1\,300 \, \text{m}^2 = 130\,000 \, \text{cm}^2 \)
i. \( 0{,}0105 \, \text{a} = 1{,}05 \, \text{m}^2 = 105 \, \text{cm}^2 \)
Exercice 4
a. \( 12 \, \text{m}^3 = 12\,000 \, \text{dm}^3 \)
b. \( 10 \, \text{mm}^3 = 0{,}01 \, \text{cm}^3 \)
c. \( 1\,200 \, \text{dm}^3 = 1{,}2 \, \text{m}^3 \)
d. \( 0{,}75 \, \text{m}^3 = 750 \, \text{dm}^3 \)
e. \( 12\,426 \, \text{mm}^3 = 12{,}426 \, \text{cm}^3 \)
f. \( 25{,}7 \, \text{cm}^3 = 25{,}700 \, \text{mm}^3 \)
Exercice 5
a. \( 127 \, \text{mL} = 0{,}127 \, \text{L} \)
b. \( 752{,}3 \, \text{hL} = 75\,230 \, \text{L} \)
c. \( 132 \, \text{cL} = 1{,}32 \, \text{L} \)
d. \( \frac{1}{2} \, \text{L} = 0{,}5 \, \text{L} \)
e. \( 0{,}051 \, \text{L} = 5{,}1 \, \text{cL} \)
f. \( 25 \, \text{dL} = 2{,}5 \, \text{L} \)
g. \( 0{,}3 \, \text{cL} = 0{,}03 \, \text{dL} \)
h. \( \frac{1}{4} \, \text{L} = 2{,}5 \, \text{dL} \)
Exercice 6
a. \( 12 \, \text{L} = 12 \times 10^3 \, \text{cm}^3 = 12{,}000 \, \text{cm}^3 \)
b. \( 0{,}3 \, \text{L} = 300 \, \text{cm}^3 \)
c. \( 40 \, \text{mL} = 40 \, \text{cm}^3 \)
d. \( 1{,}8 \, \text{hL} = 180 \, \text{L} \)
e. \( 1 \, \text{m}^3 = 1{,}000 \, \text{L} \)
f. \( 24 \, \text{dm}^3 = 2{,}400 \, \text{cL} \)
g. \( 12{,}9 \, \text{dm}^3 = 12{,}900 \, \text{mL} \)
h. \( 42{,}1 \, \text{m}^3 = 42{,}1 \times 10^3 \, \text{L} = 42{,}100 \, \text{L} \)
Exercice 12 : volume d’un camembert
1. La forme géométrique du solide ainsi construit est un cylindre.
2. Pour déterminer le volume d’un cylindre, nous utilisons la formule suivante :
\[ V = \pi \times r^2 \times h \]
où :
– \( V \) est le volume,
– \( r \) est le rayon de la base,
– \( h \) est la hauteur du cylindre.
Dans cet exercice, nous avons :
– le diamètre de la base du cylindre est de 12 cm, donc le rayon \( r \) est de \( \frac{12}{2} = 6 \) cm,
– la hauteur \( h \) du cylindre est de 3 cm.
En remplaçant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :
\[ V = \pi \times (6\, \text{cm})^2 \times 3\, \text{cm} \]
\[ V = \pi \times 36\, \text{cm}^2 \times 3\, \text{cm} \]
\[ V = \pi \times 108\, \text{cm}^3 \]
\[ V \approx 3.14 \times 108\, \text{cm}^3 \]
\[ V \approx 339.12\, \text{cm}^3 \]
Donc, le volume de la boîte de camembert est d’environ \( 339.12\, \text{cm}^3 \).
Exercice 13 : volume d’un coffre ancien
Pour déterminer le volume du coffre ancien, nous devons additionner le volume du pavé droit et le volume du demi-cylindre qui le surmonte.
1. Volume du pavé droit :
Le pavé droit a une base de \(50 \, \text{cm} \times 85 \, \text{cm}\) et une hauteur de \(35 \, \text{cm}\).
Le volume \(V_{\text{pavé}}\) du pavé droit est donné par :
\[
V_{\text{pavé}} = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur}
\]
\[
V_{\text{pavé}} = 50 \, \text{cm} \times 85 \, \text{cm} \times 35 \, \text{cm}
\]
\[
V_{\text{pavé}} = 148750 \, \text{cm}^3
\]
2. Volume du demi-cylindre :
Le demi-cylindre a une longueur de \(85 \, \text{cm}\) et un diamètre de \(50 \, \text{cm}\), donc un rayon de \( \frac{50 \, \text{cm}}{2} = 25 \, \text{cm} \).
Le volume \(V_{\text{demi-cylindre}}\) du demi-cylindre est donné par :
\[
V_{\text{demi-cylindre}} = \frac{1}{2} \times \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}
\]
\[
V_{\text{demi-cylindre}} = \frac{1}{2} \times \pi \times (25 \, \text{cm})^2 \times 85 \, \text{cm}
\]
\[
V_{\text{demi-cylindre}} = \frac{1}{2} \times \pi \times 625 \, \text{cm}^2 \times 85 \, \text{cm}
\]
\[
V_{\text{demi-cylindre}} = \frac{1}{2} \times \pi \times 53125 \, \text{cm}^3
\]
\[
V_{\text{demi-cylindre}} = 26562.5 \times \pi \, \text{cm}^3
\]
En utilisant \(\pi \approx 3.1416\), nous avons :
\[
V_{\text{demi-cylindre}} \approx 26562.5 \times 3.1416 \, \text{cm}^3
\]
\[
V_{\text{demi-cylindre}} \approx 83484.96 \, \text{cm}^3
\]
Enfin, le volume total du coffre \(V_{\text{total}}\) est la somme des volumes du pavé droit et du demi-cylindre :
\[
V_{\text{total}} = V_{\text{pavé}} + V_{\text{demi-cylindre}}
\]
\[
V_{\text{total}} = 148750 \, \text{cm}^3 + 83484.96 \, \text{cm}^3
\]
\[
V_{\text{total}} \approx 232234.96 \, \text{cm}^3
\]
Le volume du coffre arrondi au centimètre cube près est :
\[
\boxed{232235 \, \text{cm}^3}
\]
Exercice 14 : volume d’une piscine
Pour déterminer la capacité de la piscine, nous devons calculer le volume de la piscine en mètres cubes et ensuite convertir ce volume en litres. La piscine comprend deux parties : un prisme rectangulaire et un demi-cylindre.
1. \[\]Volume du prisme rectangulaire :\[\]
Les dimensions du prisme rectangulaire sont \(5 \, m\) de largeur (largeur de la base), \(10 \, m\) de longueur et \(1,2 \, m\) de hauteur.
\( V_{\text{prisme}} = \text{largeur} \times \text{longueur} \times \text{hauteur} \)
\[ V_{\text{prisme}} = 5 \times 10 \times 1,2 \]
\[ V_{\text{prisme}} = 60 \, \text{m}^3 \]
2. \[\]Volume du demi-cylindre :\[\]
Le demi-cylindre a un rayon \( r = 1,55 \, m \) (puisqu’il s’agit de la moitié de 3,1 m) et une longueur (qui correspond à la hauteur du prisme) de \(5 \, m\).
Le volume d’un cylindre complet est :
\[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h \]
Donc, le volume du demi-cylindre est :
\[ V_{\text{demi-cylindre}} = \frac{1}{2} \times \pi \times r^2 \times h \]
\[ V_{\text{demi-cylindre}} = \frac{1}{2} \times \pi \times (1,55)^2 \times 5 \]
\[ V_{\text{demi-cylindre}} = \frac{1}{2} \times 3,1416 \times 2,4025 \times 5 \]
\[ V_{\text{demi-cylindre}} = \frac{1}{2} \times 3,1416 \times 12,0125 \]
\[ V_{\text{demi-cylindre}} = 18,845 \, \text{m}^3 \]
3. \[\]Volume total de la piscine :\[\]
Le volume total est la somme des volumes du prisme rectangulaire et du demi-cylindre.
\[ V_{\text{total}} = V_{\text{prisme}} + V_{\text{demi-cylindre}} \]
\[ V_{\text{total}} = 60 + 18,845 \]
\[ V_{\text{total}} = 78,845 \, \text{m}^3 \]
4. \[\]Conversion en litres :\[\]
Puisque \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{litres}\),
\[ V_{\text{total}} = 78,845 \times 1000 \]
\[ V_{\text{total}} = 78845 \, \text{litres} \]
La capacité de la piscine est de \( 78{,}845 \) litres.
Exercice 15 : volume d’une tente
1. La forme géométrique du solide ainsi construit est un prisme triangulaire.
2. Déterminons le volume du prisme triangulaire.
Le volume \( V \) d’un prisme triangulaire est donné par la formule :
\[ V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur} \]
Pour commencer, calculons l’aire de la base triangulaire.
La base est un triangle isocèle de hauteur \( h = 1,5 \, \text{m} \) et de base \( b = 2 \, \text{m} \).
L’aire \( A \) du triangle est donnée par :
\[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 2 \, \text{m} \times 1,5 \, \text{m} \]
\[ A = 1 \times 1,5 \]
\[ A = 1,5 \, \text{m}^2 \]
Ensuite, calculons le volume du prisme. La hauteur du prisme (profondeur de la tente) est de \( 2,5 \, \text{m} \).
\[ V = \text{Aire de la base} \times \text{profondeur} \]
\[ V = 1,5 \, \text{m}^2 \times 2,5 \, \text{m} \]
\[ V = 3,75 \, \text{m}^3 \]
Ainsi, le volume du prisme triangulaire est de \( 3,75 \, \text{m}^3 \).
Exercice 16 : volumes et desserts en coupe.
a. Le volume d’un pot de glace au chocolat est donné par le volume d’un parallélépipède rectangle. La formule pour calculer le volume \( V \) d’un parallélépipède rectangle est :
\[
V = L \times l \times h
\]
où \( L \) est la longueur, \( l \) est la largeur, et \( h \) est la hauteur.
Dans notre cas, les dimensions sont \( L = 20 \, \text{cm} \), \( l = 15 \, \text{cm} \), et \( h = 12 \, \text{cm} \). Donc,
\[
V = 20 \times 15 \times 12 = 3600 \, \text{cm}^3
\]
b. Le volume d’un pot de glace à la vanille est donné par le volume d’un cylindre. La formule pour calculer le volume \( V \) d’un cylindre est :
\[
V = \pi r^2 h
\]
où \( r \) est le rayon de la base et \( h \) est la hauteur.
Dans notre cas, le diamètre est \( 14 \, \text{cm} \), donc le rayon \( r \) est \( 7 \, \text{cm} \), et la hauteur \( h \) est \( 15 \, \text{cm} \). Donc,
\[
V = \pi \times 7^2 \times 15 = \pi \times 49 \times 15
\]
\[
V \approx 3,14 \times 49 \times 15 \approx 2309 \, \text{cm}^3
\]
c. Pour calculer le volume d’une boule de glace sphérique, nous utilisons la formule pour le volume \( V \) d’une sphère :
\[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
\]
où \( r \) est le rayon de la sphère. Le diamètre de la boule est \( 4,2 \, \text{cm} \), donc le rayon \( r \) est \( 2,1 \, \text{cm} \). Donc,
\[
V = \frac{4}{3} \pi \times (2,1)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 9,261
\]
\[
V \approx \frac{4}{3} \times 3,14 \times 9,261 \approx 38,8 \, \text{cm}^3
\]
En arrondissant au cm\(^3\),
\[
V \approx 39 \, \text{cm}^3
\]
d. Une coupe de glace comprend deux boules de chocolat et une boule de vanille. Donc, le volume total de glace nécessaire par coupe est :
\[
2 \times 39 \, \text{cm}^3 \, (\text{chocolat}) + 39 \, \text{cm}^3 \, (\text{vanille}) = 117 \, \text{cm}^3
\]
Pour 100 coupes, le volume total nécessaire est :
\[
100 \times 117 = 11700 \, \text{cm}^3
\]
Pour les pots de chocolat, chaque pot a un volume de \( 3600 \, \text{cm}^3 \). Le nombre de pots nécessaires est donc :
\[
\lceil \frac{2}{3} \times 11700 \, \text{cm}^3 / 3600 \, \text{cm}^3 \rceil = \lceil \frac{2 \times 11700}{3 \times 3600} \rceil = \lceil 2,17 \rceil = 3 \text{ pots}
\]
Pour les pots de vanille, chaque pot a un volume de \( 2309 \, \text{cm}^3 \). Le nombre de pots nécessaires est donc :
\[
\lceil \frac{1}{3} \times 11700 \, \text{cm}^3 / 2309 \, \text{cm}^3 \rceil = \lceil \frac{1 \times 11700}{3 \times 2309} \rceil = \lceil 1,69 \rceil = 2 \text{ pots}
\]
Donc, le restaurateur devrait acheter 3 pots de chocolat et 2 pots de vanille.
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