Exercice 1 : statistiques – histogramme.
1) La population étudiée est la population française. Le critère étudié est le lieu d’achat des livres en 2004.
2) Les données représentées sur le graphique sont les pourcentages de la population française qui ont acheté leurs livres dans les différents types de lieux en 2004.
3) Le chiffre 17,2 dans la colonne « Librairies » signifie que 17,2 % de la population française a acheté ses livres dans des librairies en 2004.
4) Une autre forme graphique qui aurait été opportune pour représenter cette série de données est un diagramme en secteurs (ou camembert), qui permettrait de visualiser la répartition des pourcentages de manière différente et complémentaire.
« `latex
La population étudiée est la population française. Le critère étudié est le lieu d’achat des livres en 2004.
Les données représentées sur le graphique sont les pourcentages de la population française qui ont acheté leurs livres dans les différents types de lieux en 2004.
Le chiffre 17,2 dans la colonne « Librairies » signifie que 17,2 \% de la population française a acheté ses livres dans des librairies en 2004.
Une autre forme graphique qui aurait été opportune pour représenter cette série de données est un diagramme en secteurs (ou camembert), qui permettrait de visualiser la répartition des pourcentages de manière différente et complémentaire.
« `
Exercice 2 : statistique – moyenne.
Pour calculer la moyenne annuelle des températures minimales moyennes relevées à Narssak au Groenland, nous devons d’abord additionner toutes les températures minimales mensuelles, puis diviser le résultat par le nombre de mois, soit 12. Voici le détail du calcul :
\[
\text{Somme des températures} = (-11) + (-10) + (-9) + (-4) + 3 + 6 + 8 + 7 + 4 + (-2) + (-6) + (-8)
\]
Calculons cette somme étape par étape :
\[
(-11) + (-10) = -21
\]
\[
-21 + (-9) = -30
\]
\[
-30 + (-4) = -34
\]
\[
-34 + 3 = -31
\]
\[
-31 + 6 = -25
\]
\[
-25 + 8 = -17
\]
\[
-17 + 7 = -10
\]
\[
-10 + 4 = -6
\]
\[
-6 + (-2) = -8
\]
\[
-8 + (-6) = -14
\]
\[
-14 + (-8) = -22
\]
La somme des températures est donc \(-22\). Maintenant, nous voulons la moyenne, donc nous divisons cette somme par 12 :
\[
\text{Moyenne} = \frac{-22}{12} = -1.83
\]
La moyenne annuelle des températures minimales moyennes est donc \(-1.83\)°C.
Exercice 3 : statistiques
1. La population étudiée est « les principales grandes chaînes françaises. » Le caractère étudié est « le nombre de films diffusés à la télévision en 2004. »
2. Le chiffre 271 à la ligne « Arte » signifie que la chaîne Arte a diffusé 271 films en 2004.
3. Calculer l’effectif total :
\[
\text{Effectif total} = 191 + 158 + 209 + 8 + 271 + 170 + 400 = 1407
\]
4. Donner la fréquence relative à chaque chaîne :
\begin{align*}
\text{Fréquence relative de } \text{TF1} = \frac{191}{1407} \approx 0,136 \\
\text{Fréquence relative de } \text{France 2} = \frac{158}{1407} \approx 0,112 \\
\text{Fréquence relative de } \text{France 3} = \frac{209}{1407} \approx 0,149 \\
\text{Fréquence relative de } \text{France 5} = \frac{8}{1407} \approx 0,006 \\
\text{Fréquence relative de } \text{Arte} = \frac{271}{1407} \approx 0,193 \\
\text{Fréquence relative de } \text{M 6} = \frac{170}{1407} \approx 0,121 \\
\text{Fréquence relative de } \text{Canal+} = \frac{400}{1407} \approx 0,284 \\
\end{align*}
5. Présenter les résultats sous forme d’un diagramme circulaire :
Pour créer un diagramme circulaire, chaque section du cercle représente la proportion de films diffusés par chaque chaîne. Utilisons un logiciel adapté tel que Python avec Matplotlib pour générer ce diagramme.
« `python
import matplotlib.pyplot as plt
labels = [‘TF1’, ‘France 2’, ‘France 3’, ‘France 5’, ‘Arte’, ‘M 6’, ‘Canal+’]
sizes = [191, 158, 209, 8, 271, 170, 400]
colors = [‘gold’, ‘yellowgreen’, ‘lightcoral’, ‘lightskyblue’, ‘blue’, ‘green’, ‘red’]
explode = (0, 0, 0, 0, 0.1, 0, 0) # explode the 1st slice (i.e. ‘Arte’)
plt.pie(sizes, explode=explode, labels=labels, colors=colors,
autopct=’%1.1f%%’, shadow=True, startangle=140)
plt.axis(‘equal’) # Equal aspect ratio ensures that pie is drawn as a circle.
plt.title(‘Répartition des films diffusés par chaîne en 2004’)
plt.show()
« `
Le code ci-dessus crée un diagramme circulaire où chaque segment représente une chaîne française avec la taille du segment proportionnelle au nombre de films diffusés par cette chaîne en 2004.
Exercice 4 : statistiques-caractère continu.
\[\]1. Signification de l’écriture \([15 – 20[\) :\[\]
L’écriture \([15 – 20[\) signifie que l’intervalle d’ancienneté va de 15 ans inclus à 20 ans exclus.
—
\[\]2. Effectifs cumulés croissants et décroissants :\[\]
Effectifs cumulés croissants :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Classe} \text{Effectif cumulé croissant} \\
\hline
[0 – 5[ 15 \\
\hline
[5 – 10[ 15 + 23 = 38 \\
\hline
[10 – 15[ 38 + 14 = 52 \\
\hline
[15 – 20[ 52 + 9 = 61 \\
\hline
[20 – 25[ 61 + 7 = 68 \\
\hline
[25 – 30[ 68 + 2 = 70 \\
\hline
\end{array}
\]
Effectifs cumulés décroissants :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Classe} \text{Effectif cumulé décroissant} \\
\hline
[0 – 5[ 70 \\
\hline
[5 – 10[ 70 – 15 = 55 \\
\hline
[10 – 15[ 55 – 23 = 32 \\
\hline
[15 – 20[ 32 – 14 = 18 \\
\hline
[20 – 25[ 18 – 9 = 9 \\
\hline
[25 – 30[ 9 – 7 = 2 \\
\hline
\end{array}
\]
—
\[\]3. Nombre de personnes avec plus de 10 ans d’ancienneté et moins de 20 ans d’ancienneté :\[\]
Plus de 10 ans d’ancienneté :
\[
14 + 9 + 7 + 2 = 32
\]
Moins de 20 ans d’ancienneté :
\[
15 + 23 + 14 + 9 = 61
\]
—
\[\]4. Polygone des effectifs cumulés croissants :\[\]
Voici la représentation graphique (non inclus, veuillez tracer sur un papier millimétré) :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Classe} \text{Effectif cumulé croissant} \\
\hline
0 15 \\
\hline
5 38 \\
\hline
10 52 \\
\hline
15 61 \\
\hline
20 68 \\
\hline
25 70 \\
\hline
\end{array}
\]
—
\[\]5. Calcul de l’ancienneté moyenne avec les centres de chaque classe :\[\]
Les centres des classes sont :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Classe} \text{Centre} \\
\hline
[0 – 5[ \frac{0+5}{2} = 2.5 \\
\hline
[5 – 10[ \frac{5+10}{2} = 7.5 \\
\hline
[10 – 15[ \frac{10+15}{2} = 12.5 \\
\hline
[15 – 20[ \frac{15+20}{2} = 17.5 \\
\hline
[20 – 25[ \frac{20+25}{2} = 22.5 \\
\hline
[25 – 30[ \frac{25+30}{2} = 27.5 \\
\hline
\end{array}
\]
On multiplie chaque centre par l’effectif correspondant et on divise par l’effectif total :
\[
\frac{(2.5 \cdot 15) + (7.5 \cdot 23) + (12.5 \cdot 14) + (17.5 \cdot 9) + (22.5 \cdot 7) + (27.5 \cdot 2)}{70} = \frac{37.5 + 172.5 + 175 + 157.5 + 157.5 + 55}{70} = \frac{755}{70} \approx 10.79
\]
L’ancienneté moyenne est environ \( 10.79 \) ans.
—
\[\]6. Fréquences des valeurs et fréquences cumulées :\[\]
Fréquences :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Classe} \text{Fréquence} \\
\hline
[0 – 5[ \frac{15}{70} = 0.2143 \\
\hline
[5 – 10[ \frac{23}{70} = 0.3286 \\
\hline
[10 – 15[ \frac{14}{70} = 0.2000 \\
\hline
[15 – 20[ \frac{9}{70} = 0.1286 \\
\hline
[20 – 25[ \frac{7}{70} = 0.1000 \\
\hline
[25 – 30[ \frac{2}{70} = 0.0286 \\
\hline
\end{array}
\]
Fréquences cumulées :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Classe} \text{Fréquence cumulée} \\
\hline
[0 – 5[ 0.2143 \\
\hline
[5 – 10[ 0.2143 + 0.3286 = 0.5429 \\
\hline
[10 – 15[ 0.5429 + 0.2000 = 0.7429 \\
\hline
[15 – 20[ 0.7429 + 0.1286 = 0.8714 \\
\hline
[20 – 25[ 0.8714 + 0.1000 = 0.9714 \\
\hline
[25 – 30[ 0.9714 + 0.0286 = 1.0000 \\
\hline
\end{array}
\]
—
\[\]7. Pourcentage de salariés dont l’ancienneté est comprise entre 5 et 15 ans :\[\]
Nombre de salariés entre 5 et 15 ans :
\[
23 + 14 = 37
\]
Pourcentage :
\[
\frac{37}{70} \times 100 \approx 52.86\%
\]
Le pourcentage de salariés dont l’ancienneté est comprise entre 5 et 15 ans est environ \( 52.86\% \).
—
Ceci termine la correction de l’exercice.
Exercice 5 : le SMIC horaire
Pour déterminer la médiane de la série des SMIC horaires bruts de 2001 à 2011, il faut d’abord ranger les valeurs dans l’ordre croissant ou décroissant. Les valeurs déjà données par ordre décroissant sont :
\[ 9,40 ; 9,00 ; 8,82 ; 8,63 ; 8,44 ; 8,27 ; 8,03 ; 7,61 ; 7,19 ; 6,83 ; 6,67 \]
La médiane est la valeur qui sépare cette liste en deux parties égales. Comme il y a 11 valeurs, la médiane est la 6ème valeur une fois les nombres classés par ordre croissant:
\[ 6,67 ; 6,83 ; 7,19 ; 7,61 ; 8,03 ; 8,27 ; 8,44 ; 8,63 ; 8,82 ; 9,00 ; 9,40 \]
La médiane est donc la 6ème valeur, soit :
\[ 8,27 \]
Par conséquent, la médiane de cette série statistique est \( 8,27 \) euros.
Exercice 6 : compétition d’athlétisme et statistiques
a. L’effectif total de cette série est le nombre de valeurs présentes. Il y a 8 temps listés :
\[ 20,25 \quad 20,12 \quad 20,48 \quad 20,09 \quad 20,69 \quad 20,19 \quad 20,38 \quad 20,09 \]
Donc, l’effectif total est
\[ n = 8 \]
b. Pour ranger ces temps dans l’ordre croissant :
\[ 20,09 \quad 20,09 \quad 20,12 \quad 20,19 \quad 20,25 \quad 20,38 \quad 20,48 \quad 20,69 \]
Pour déterminer la médiane, comme n est pair ( \( n = 8 \) ), la médiane est la moyenne des 4ème et 5ème valeurs de la série ordonnée.
Les 4ème et 5ème valeurs sont 20,19 et 20,25. Donc, la médiane est :
\[ \text{Médiane} = \frac{20,19 + 20,25}{2} = \frac{40,44}{2} = 20,22 \]
Ainsi, la médiane de cette série est :
\[ 20,22 \]
Exercice 7 : résultats obtenus en mathématiques
Pour déterminer la médiane de la série de notes de Mathieu, nous devons d’abord lister toutes ses notes, les trier dans l’ordre croissant, puis trouver la valeur médiane.
Les notes obtenues par Mathieu au cours de l’année sont :
\[ 12, 10, 13, 8, 12, 14, 10, 20, 16, 18, 7, 12 \]
Classons-les par ordre croissant :
\[ 7, 8, 10, 10, 12, 12, 12, 13, 14, 16, 18, 20 \]
Nous avons un total de 12 notes. Pour une série de 12 valeurs (nombre pair), la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Les deux valeurs centrales sont les 6ème et 7ème valeurs :
\[ \text{6ème valeur} = 12 \]
\[ \text{7ème valeur} = 12 \]
La médiane est donc :
\[ \text{Médiane} = \frac{12 + 12}{2} = 12 \]
La médiane de la série de notes de Mathieu est donc \( 12 \).
Exercice 8 : des fans de jeux de société et statistiques
a. Calcul de la durée moyenne d’une partie :
La durée moyenne \( \overline{x} \) est donnée par la formule :
\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
Où \( x_i \) représente la durée de chaque partie et \( n \) le nombre total de parties jouées.
Données : 72, 35, 48, 52, 26, 55, 43, 105
\[ \overline{x} = \frac{72+35+48+52+26+55+43+105}{8} \]
\[ \overline{x} = \frac{436}{8} \]
\[ \overline{x} = 54.5 \]
Donc, la durée moyenne d’une partie est de 54.5 minutes.
b. Calcul de la médiane de la série ci-dessus :
Pour trouver la médiane, il faut d’abord trier les valeurs par ordre croissant :
26, 35, 43, 48, 52, 55, 72, 105
La médiane est la valeur qui sépare la série en deux parties égales. Pour un nombre pair de valeurs, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Les deux valeurs centrales sont 48 et 52.
\[ \text{Médiane} = \frac{48 + 52}{2} = \frac{100}{2} = 50 \]
Donc, la médiane de la série est de 50 minutes.
c. Interprétation du résultat obtenu à la question b.
La médiane de la série, qui est de 50 minutes, représente la valeur au milieu de la distribution des durées des parties. Cela signifie que, parmi toutes les parties jouées, la moitié a duré moins de 50 minutes et l’autre moitié a duré plus de 50 minutes. Comparée à la moyenne de 54.5 minutes trouvée à la question a, cela suggère qu’il y a des durées de parties particulièrement longues (comme 105 minutes) qui augmentent la moyenne.
Exercice 9 : notes lors d’un contrôle
a. Complétons le tableau en classant toutes les notes par ordre croissant.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 \\
\hline
\text{Effectif} 0 0 0 2 0 0 4 3 1 0 \\
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Note} 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 \\
\hline
\text{Effectif} 2 3 3 0 1 0 3 4 0 0 \\
\hline
\end{array}
\]
b. Calculons l’effectif total de la classe. En additionnant les effectifs de chaque note, nous obtenons :
\[
0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 + 4 + 3 + 1 + 0 + 2 + 3 + 3 + 0 + 1 + 0 + 3 + 4 + 0 + 0 = 26
\]
L’effectif total de la classe est donc de 26 élèves.
c. Pour déterminer la médiane, nous devons d’abord ordonner toutes les notes. Les valeurs triées sont :
\[
7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 15, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18
\]
La médiane est la valeur située exactement au milieu de cet ensemble.
Puisqu’il y a 26 notes, la médiane sera la moyenne des 13ème et 14ème valeurs.
Les 13ème et 14ème valeurs sont 13 et 13.
La médiane est donc :
\[
\text{Médiane} = \frac{13 + 13}{2} = 13
\]
Exercice 10 : une station de ski et statistiques
{Correction de l’exercice de mathématiques}
a. Complétez le tableau ci-dessous.
À partir du graphique, on observe les effectifs suivants:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Âge} \text{Effectif} \\
\hline
[0;10[ 30 \\
\hline
[10;20[ 45 \\
\hline
[20;30[ 40 \\
\hline
[30;40[ 35 \\
\hline
[40;50[ 40 \\
\hline
[50;60[ 35 \\
\hline
[60;70[ 25 \\
\hline
[70;80[ 25 \\
\hline
[80;90[ 25 \\
\hline
\end{array}
\]
b. Déterminons l’âge médian des skieurs fréquentant cette station.
Pour déterminer l’âge médian, nous devons d’abord calculer l’effectif cumulé:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Âge} \text{Effectif} \text{Effectif cumulé} \\
\hline
[0;10[ 30 30 \\
\hline
[10;20[ 45 75 \\
\hline
[20;30[ 40 115 \\
\hline
[30;40[ 35 150 \\
\hline
[40;50[ 40 190 \\
\hline
[50;60[ 35 225 \\
\hline
[60;70[ 25 250 \\
\hline
[70;80[ 25 275 \\
\hline
[80;90[ 25 300 \\
\hline
\end{array}
\]
L’effectif total est de 300 skieurs. La médiane se trouve donc à la position \(\frac{300}{2} = 150\).
En regardant l’effectif cumulé, nous remarquons que la médiane se situe dans la classe d’âge [30;40[ car l’effectif cumulé passe de 115 à 150 à cette classe.
Pour trouver plus précisément, nous utilisons la formule de la médiane dans une classe:
\[
\text{Médiane} = L + ( \frac{ \frac{N}{2} – F}{f} ) \times h
\]
Où :
– \(L\) est la borne inférieure de la classe médiane (ici, 30).
– \(N\) est l’effectif total (ici, 300).
– \(F\) est l’effectif cumulé avant la classe médiane (ici, 115).
– \(f\) est l’effectif de la classe médiane (ici, 35).
– \(h\) est l’amplitude de la classe (ici, 10).
En appliquant les valeurs, nous obtenons :
\[
\text{Médiane} = 30 + ( \frac{150 – 115}{35} ) \times 10
\]
\[
= 30 + ( \frac{35}{35} ) \times 10
\]
\[
= 30 + 10
\]
\[
= 40
\]
Donc, l’âge médian des skieurs fréquentant cette station est de 40 ans.
Exercice 11 : moyenne de jours de pluie
a. Le nombre total de jours de pluie dans cette ville durant l’année est :
\[
8 + 9 + 2 + 3 + 1 + 0 + 7 + 10 + 11 + 4 + 6 + 6 = 67 \text{ jours}
\]
b. Le nombre moyen de jours de pluie par mois est calculé en divisant le nombre total de jours de pluie par le nombre de mois :
\[
\text{Nombre moyen de jours de pluie} = \frac{67 \text{ jours}}{12 \text{ mois}} \approx 5,58 \text{ jours/mois}
\]
Après arrondi à l’unité :
\[
\text{Nombre moyen de jours de pluie par mois} \approx 6 \text{ jours/mois}
\]
Exercice 12 : valeur de l’IMC moyen
Pour calculer l’IMC moyen des employés de l’entreprise, nous devons utiliser la formule suivante :
\[
\text{IMC moyen} = \frac{\sum (\text{IMC} \times \text{Effectif})}{\text{Total des effectifs}}
\]
Dans notre cas, nous avons le tableau suivant :
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{IMC} 20 22 24 25 29 30 33 \\
\hline
\text{Effectif} 9 12 6 8 2 1 3 \\
\end{array}
\]
Calculons maintenant le produit de chaque IMC par son effectif:
\[
20 \times 9 = 180
\]
\[
22 \times 12 = 264
\]
\[
24 \times 6 = 144
\]
\[
25 \times 8 = 200
\]
\[
29 \times 2 = 58
\]
\[
30 \times 1 = 30
\]
\[
33 \times 3 = 99
\]
Additionnons ces valeurs :
\[
180 + 264 + 144 + 200 + 58 + 30 + 99 = 975
\]
Le total des effectifs est déjà donné, c’est 41.
L’IMC moyen est donc :
\[
\text{IMC moyen} = \frac{975}{41} \approx 23,78
\]
Arrondi à l’unité près, l’IMC moyen est \( 24 \).
Exercice 13 : jeu de fléchettes et statistiques
a. Pour calculer le nombre moyen de points obtenus par Rémi, on utilise la formule de la moyenne arithmétique :
\[ \text{Moyenne}_{\text{Rémi}} = \frac{\sum \text{points}_{\text{Rémi}}}{\text{nombre de parties}} \]
\[ \text{Moyenne}_{\text{Rémi}} = \frac{40 + 35 + 85 + 67 + 68 + 24 + 28}{7} \]
\[ \text{Moyenne}_{\text{Rémi}} = \frac{347}{7} \]
\[ \text{Moyenne}_{\text{Rémi}} = 49.57 \]
b. On sait que Nadia a obtenu en moyenne 51 points par partie sur les 7 parties, donc :
\[ \text{Moyenne}_{\text{Nadia}} = \frac{\sum \text{points}_{\text{Nadia}}}{7} = 51 \]
\[ \sum \text{points}_{\text{Nadia}} = 51 \times 7 = 357 \]
Les points de Nadia sur 6 parties sont : 12, 62, 7, 100, 81, 30 (le résultat de la 6ème partie est manquant). Donc, pour trouver le score de la 6ème partie :
\[ 12 + 62 + 7 + 100 + 81 + x + 30 = 357 \]
\[ 292 + x = 357 \]
\[ x = 357 – 292 \]
\[ x = 65 \]
Nadia a donc obtenu 65 points lors de la 6ème partie.
c. Pour déterminer la médiane de la série de points obtenus par Rémi puis par Nadia, on ordonne leurs points de manière croissante et on trouve la valeur centrale.
Rémi : 24, 28, 35, 40, 67, 68, 85
Ainsi, la médiane (la 4ème valeur dans cette série de 7 éléments) est :
\[ \text{Médiane}_{\text{Rémi}} = 40 \]
Nadia (en incluant la 6ème partie calculée) : 7, 12, 30, 62, 65, 81, 100
De même, la médiane (la 4ème valeur dans cette série de 7 éléments) est :
\[ \text{Médiane}_{\text{Nadia}} = 62 \]
Exercice 14 : boutique de macarons et médiane
a. Pour calculer le nombre total de macarons vendus dans la semaine, la formule à entrer dans la case \( I2 \) est:
\[ I2 = SUM(B2:H2) \]
En utilisant des cellules correspondantes, cela donne:
\[ I2 = 324 + 240 + 310 + 204 + 318 + 386 + 468 \]
b. Le nombre moyen de macarons vendus par jour peut être calculé en utilisant la somme totale des macarons vendus divisée par le nombre de jours.
\[ \text{Moyenne} = \frac{\text{Total des macarons}}{\text{Nombre de jours}} \]
\[ \text{Moyenne} = \frac{324 + 240 + 310 + 204 + 318 + 386 + 468}{7} \]
\[ \text{Moyenne} = \frac{2250}{7} \]
\[ \text{Moyenne} \approx 321.43 \]
Arrondi à l’unité:
\[ \text{Moyenne} \approx 321 \]
c. Pour calculer le nombre médian de macarons vendus, nous devons d’abord arranger les nombres de macarons vendus en ordre croissant:
\[ 204, 240, 310, 318, 324, 386, 468 \]
Comme il y a un nombre impair (7) de jours, la médiane est le nombre au milieu de la liste.
La médiane est donc:
\[ 318 \]
Justification: La médiane d’un ensemble de nombres est le nombre au centre de cet ensemble lorsqu’il est trié en ordre croissant. Puisque nous avons 7 valeurs, la 4ème valeur est au milieu, et c’est 318.
Exercice 15 : une entreprise de fabrication de bonbons
Calcul de la moyenne :
La moyenne \[\mu\] est donnée par :
\[
\mu = \frac{\sum (x_i \times f_i)}{N}
\]
où \[x_i\] est le nombre de bonbons, \[f_i\] est l’effectif correspondant, et \[N\] est le total des effectifs.
\[
\sum (x_i \times f_i) = 56 \times 4 + 57 \times 6 + 58 \times 35 + 59 \times 79 + 60 \times 145 + 61 \times 82 + 62 \times 56 + 63 \times 38 + 64 \times 7
\]
\[
= 224 + 342 + 2030 + 4661 + 8700 + 5002 + 3472 + 2394 + 448
\]
\[
= 27273
\]
Le total des effectifs \[N\] est de 500.
Donc la moyenne est :
\[
\mu = \frac{27273}{500} = 54.546
\]
La moyenne des bonbons par paquet est de 54.546, qui n’est pas comprise entre 59.9 et 60.1.
Calcul de la médiane :
Pour déterminer la médiane, nous devons trouver la valeur du 250ème et 251ème terme (la position médiane pour un total de 500).
En cumulant les effectifs :
\[
4 + 6 = 10
\]
\[
10 + 35 = 45
\]
\[
45 + 79 = 124
\]
\[
124 + 145 = 269
\]
Les 250ème et 251ème valeurs se trouvent donc dans la class 59 puisque la classe 59 commence à la position 125 (effective cumulée) et se termine à la position 269.
Donc la médiane est 59.
Conclusion:
La moyenne des bonbons par paquet n’est pas comprise entre 59.9 et 60.1 (µ = 54.546).
La médiane des bonbons par paquet est de 59, ce qui est conforme aux critères de qualité.
Par conséquent, la nouvelle machine ne respecte pas les critères de qualité.
Exercice 16 : les longueurs des gousses de vanille
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques\[\]
\[\]a.\[\] Pour déterminer l’effectif total, nous devons additionner tous les effectifs donnés :
\[
600 + 800 + 1800 + 1200 + 600 = 5000
\]
L’effectif total de cette production est de 5000.
\[\]b.\[\] Pourcentage de la production qui peut être conditionnée dans les tubes de 20 cm de long :
On doit traiter les gousses de taille \(\leq\, 20 \, \text{cm}\).
Les tailles de gousses qui répondent à ce critère sont 12 cm, 15 cm, et 17 cm.
Le total des effectifs pour ces tailles est :
\[
600 + 800 + 1800 = 3200
\]
Le pourcentage des gousses conditionnables est donc :
\[
( \frac{3200}{5000} ) \times 100 = 64 \%
\]
64% de cette production peut être conditionnée sans plier les gousses.
\[\]c.\[\] Pour recevoir le « label de qualité », deux critères doivent être vérifiés :
1. \[\]Calcul de la longueur moyenne des gousses :\[\]
\[
\text{Longueur moyenne} = \frac{\sum (\text{Longueur} \times \text{Effectif})}{\text{Effectif total}} = \frac{(12 \times 600) + (15 \times 800) + (17 \times 1800) + (22 \times 1200) + (23 \times 600)}{5000}
\]
\[
\text{Longueur moyenne} = \frac{(7200 + 12000 + 30600 + 26400 + 13800)}{5000} = \frac{90000}{5000} = 18 \, \text{cm}
\]
La longueur moyenne est de 18 cm, ce qui est supérieur à 16,5 cm.
2. \[\]Calcul de la proportion des gousses de taille supérieure à 17,5 cm :\[\]
Les gousses de taille supérieure à 17,5 cm sont les gousses de tailles 22 cm et 23 cm.
Le total des effectifs pour ces tailles est :
\[
1200 + 600 = 1800
\]
La proportion des gousses supérieures à 17,5 cm est donc :
\[
( \frac{1800}{5000} ) \times 100 = 36 \%
\]
36% des gousses sont de taille supérieure à 17,5 cm, ce qui est inférieur à 50%.
\[\]Conclusion :\[\]
Le cultivateur ne pourra pas recevoir le « label de qualité » car même si la longueur moyenne des gousses est respectée, plus de la moitié des gousses de production n’ont pas une taille supérieure à 17,5 cm.
Exercice 17 : statistiques et probabilités
Correction de l’exercice :
a. Quelle est la probabilité d’obtenir la lettre I ?
\[ P(I) = \frac{\text{Nombre de jetons avec la lettre } I}{\text{Nombre total de jetons}} = \frac{8}{100} = 0,08 \]
b. Quelle est la probabilité d’obtenir une voyelle ?
Les voyelles dans ce jeu sont A, E, I, O, U, Y. Le nombre total de jetons avec une voyelle est:
\[ 9 + 15 + 8 + 6 + 6 + 1 = 45 \]
La probabilité d’obtenir une voyelle est donc :
\[ P(\text{voyelle}) = \frac{45}{100} = 0,45 \]
c. Quelle est la probabilité d’obtenir une consonne ?
Le nombre total de jetons dessiné pour les voyelles est de 45. Puisque le total de jetons est 100, le nombre de jetons avec une consonne est :
\[ 100 – 45 = 55 \]
La probabilité d’obtenir une consonne est donc :
\[ P(\text{consonne}) = \frac{55}{100} = 0,55 \]
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