Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 1 : divisions euclidiennes
Les trois divisions euclidiennes ci-dessous sont exactes :

$368\,=\,8\,\times \,46$
$368\,=\,24\,\times \,15\,%2B\,8$

$368\,=\,23\,\times \,16$

$368\,=\,26\,\times \,14\,%2B\,4$

Les nombres 14, 15 et 16 sont-ils des diviseurs de 368? Justifier.

– $Pour\,le\,nombre\,14$

$368\,=\,26\,\times \,14\,%2B\,4$

Comme le reste est différent de zéro, 14 n’est pas un diviseur de 368.

– $Pour\,le\,nombre\,15$

$368\,=\,24\,\times \,15\,%2B\,8$

Comme le reste est différent de zéro, 15 n’est pas un diviseur de 368.

– $Pour\,le\,nombre\,16$

$368\,=\,23\,\times \,16$

Comme le reste est , 16 est bien un diviseur de 368.

Quel est le plus petit multiple de 15 supérieur à 368 ? Justifier.

Calculons d’abord le quotient de la division de 368 par 15 :

$368\,: \,15\,\approx\,24.53$

Le plus petit multiple de 15 supérieur à 368 est :

$15\,\times \,25\,=\,375$

Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 368 ? Justifier.

Calculons d’abord le quotient de la division de 368 par 14 :

$368\,: \,14\,\approx\,26.29$

Le plus grand multiple de 14 inférieur à 368 est :

$14\,\times \,26\,=\,364$

Exercice 2 : dividende, diviseur, quotient et reste
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dividende} \text{Diviseur} \text{Quotient} \text{Reste} \\
\hline
16 1 29 11 \\
23 1 432 21 \\
456 41 11 5 \\
781 27 28 25 \\
935 17 55 0 \\
\hline
\end{array}

\begin{align*}
32 = 2 \cdot 16 + 0 \\
23 = 1 \cdot 23 + 0 \\
456 = 11 \cdot 41 + 5 \\
781 = 28 \cdot 27 + 25 \\
935 = 55 \cdot 17 + 0 \\
\end{align*}

Exercice 3 : activités d’un centre aéré
Le nombre total d’enfants est de 131.

– Pour le basket, chaque équipe comporte 5 joueurs :
$\lfloor\,\frac{131}{5}\,\rfloor\,=\,26\,\,equipes$
Enfants restant :
$131\,-\,(26\,\times \,5)\,=\,131\,-\,130\,=\,1\,\,enfant$

– Pour le hand-ball, chaque équipe comporte 7 joueurs :
$\lfloor\,\frac{131}{7}\,\rfloor\,=\,18\,\,equipes$
Enfants restant :
$131\,-\,(18\,\times \,7)\,=\,131\,-\,126\,=\,5\,\,enfants$

– Pour le football, chaque équipe comporte 11 joueurs :
$\lfloor\,\frac{131}{11}\,\rfloor\,=\,11\,\,equipes$
Enfants restant :
$131\,-\,(11\,\times \,11)\,=\,131\,-\,121\,=\,10\,\,enfants$

– Pour le rugby, chaque équipe comporte 15 joueurs :
$\lfloor\,\frac{131}{15}\,\rfloor\,=\,8\,\,equipes$
Enfants restant :
$131\,-\,(8\,\times \,15)\,=\,131\,-\,120\,=\,11\,\,enfants$

Combien d’enfants seront sans équipe ?

– Basket : 1 enfant
– Hand-ball : 5 enfants
– Football : 10 enfants
– Rugby : 11 enfants

Exercice 4 : liste des diviseurs d’un entier

16 : $1%2C\,2%2C\,4%2C\,8%2C\,16$
20 : $1%2C\,2%2C\,4%2C\,5%2C\,10%2C\,20$
36 : $1%2C\,2%2C\,3%2C\,4%2C\,6%2C\,9%2C\,12%2C\,18%2C\,36$
90 : $1%2C\,2%2C\,3%2C\,5%2C\,6%2C\,9%2C\,10%2C\,15%2C\,18%2C\,30%2C\,45%2C\,90$
59 : $1%2C\,59$ (59 est un nombre premier)
33 : $1%2C\,3%2C\,11%2C\,33$

Exercice 5 : critères de divisibilité
a. $5\,912$ :
$\begin{array}{c%7Ccccccc}%0D%0A\,%26\,2\,%26\,3\,%26\,4\,%26\,5\,%26\,9\,%26\,10\,\\%0D%0A\hline%0D%0ADivisibilite\,%26\,oui\,%26\,non\,%26\,oui\,%26\,non\,%26\,non\,%26\,non%0D%0A\end{array}$

b. $34\,200$ :
$\begin{array}{c%7Ccccccc}%0D%0A\,%26\,2\,%26\,3\,%26\,4\,%26\,5\,%26\,9\,%26\,10\,\\%0D%0A\hline%0D%0ADivisibilite\,%26\,oui\,%26\,oui\,%26\,oui\,%26\,oui\,%26\,non\,%26\,oui%0D%0A\end{array}$

c. $54\,208$ :
$\begin{array}{c%7Ccccccc}%0D%0A\,%26\,2\,%26\,3\,%26\,4\,%26\,5\,%26\,9\,%26\,10\,\\%0D%0A\hline%0D%0ADivisibilite\,%26\,oui\,%26\,non\,%26\,oui\,%26\,non\,%26\,non\,%26\,non%0D%0A\end{array}$

d. $317$ :
$\begin{array}{c%7Ccccccc}%0D%0A\,%26\,2\,%26\,3\,%26\,4\,%26\,5\,%26\,9\,%26\,10\,\\%0D%0A\hline%0D%0ADivisibilite\,%26\,non\,%26\,non\,%26\,non\,%26\,non\,%26\,non\,%26\,non%0D%0A\end{array}$

e. $708$ :
$\begin{array}{c%7Ccccccc}%0D%0A\,%26\,2\,%26\,3\,%26\,4\,%26\,5\,%26\,9\,%26\,10\,\\%0D%0A\hline%0D%0ADivisibilite\,%26\,oui\,%26\,oui\,%26\,non\,%26\,non\,%26\,non\,%26\,non%0D%0A\end{array}$

Exercice 6 : somme et multiple : démonstration
1. Soient et deux entiers positifs consécutifs et impairs. Nous devons démontrer que la somme est un multiple de 4.

$n\,%2B\,(n\,%2B\,2)\,=\,2n\,%2B\,2$

Factorisons par 2 :

$2n\,%2B\,2\,=\,2(n\,%2B\,1)$

Observons que est un entier impair, donc est un entier pair, disons $n\,%2B\,1\,=\,2k$ pour un entier quelconque. Ainsi :

$2(n\,%2B\,1)\,=\,2\,\times \,2k\,=\,4k$

Donc, $2(n\,%2B\,1)$ est multiple de 4.

Nous avons donc démontré que la somme de deux entiers consécutifs et impairs est un multiple de 4.

2. Soit un multiple de 8, où est un entier quelconque. Nous devons démontrer que est également un multiple de 4.

Nous pouvons écrire comme suit :

$8k\,=\,4\,\times \,(2k)$

Puisque est un entier (car est un entier), il est clair que est de la forme $4\,\times \,un\,entier$ . Donc, alors :

$8k\,=\,4m\,\quad\,pour\,un\,certain\,entier\,\,m\,=\,2k$

Nous avons ainsi démontré que tout multiple de 8 est également un multiple de 4.

Exercice 7 : paquets de billes et arithmétique
1. Pour déterminer combien de paquets Nori pourra-t-il réaliser en répartissant intégralement ses billes rouges et noires, il faut trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 90 et 150, car le contenu de chaque paquet doit être identique.

Le PGCD de 90 et 150 est 30. Donc, Nori peut faire 30 paquets contenant chacun $\frac{90}{30}\,=\,3$ billes rouges et $\frac{150}{30}\,=\,5$ billes noires.

2. Pour savoir s’il peut y avoir 9 paquets ou 30 paquets, nous devons vérifier si 90 et 150 sont divisibles par 9 et par 30.

\- Pour 9 :
$90\,: \,9\,=\,10\,\quad\,(entier)$
$150\,: \,9\,=\,16.67\,\quad\,(non\,entier)$

Donc, Nori ne peut pas faire 9 paquets.

\- Pour 30 :
$90\,: \,30\,=\,3\,\quad\,(entier)$
$150\,: \,30\,=\,5\,\quad\,(entier)$

Donc, Nori peut faire 30 paquets.

3. Liste des diviseurs de 90 :
$\{1%2C\,2%2C\,3%2C\,5%2C\,6%2C\,9%2C\,10%2C\,15%2C\,18%2C\,30%2C\,45%2C\,90\}$

Liste des diviseurs de 150 :
$\{1%2C\,2%2C\,3%2C\,5%2C\,6%2C\,10%2C\,15%2C\,25%2C\,30%2C\,50%2C\,75%2C\,150\}$

4. Les différentes possibilités pour le nombre de paquets sont les diviseurs communs de 90 et 150.

Les diviseurs communs sont :
$\{1%2C\,2%2C\,3%2C\,5%2C\,6%2C\,10%2C\,15%2C\,30\}$

Donc, les différentes possibilités pour le nombre de paquets sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.

Exercice 8 : décompositions en facteurs premiers

[a.] $36 = 4 \times 9 = 2^2 \times 3^2$
[b.] $18\,375 = 3 \times 125 \times 49 = 3 \times 5^3 \times 7^2$
[c.] $3\,872 = 32 \times 121 = 2^5 \times 11^2$
[d.] $1\,183 = 91 \times 13 = 7 \times 13^2$
[e.] $214\,375 = 625 \times 343 = 5^4 \times 7^3$

Exercice 9 : décomposition en facteurs premiers

$180\,=\,2^2\,\times \,3^2\,\times \,5$
$63\,=\,3^2\,\times \,7$
$1225\,=\,5^2\,\times \,7^2$
$3672\,=\,2^3\,\times \,3\,\times \,7\,\times \,11$
$416\,=\,2^5\,\times \,13$
$24000\,=\,2^6\,\times \,3\,\times \,5^3$

Exercice 10 : chercher un nombre
Soit le nombre $\overline{abc}$ , où , , et sont respectivement les chiffres des centaines, dizaines et unités.

1. , , et sont tels que $a\,\times \,100\,%2B\,b\,\times \,10\,%2B\,c$ est un nombre premier compris entre 100 et 150.
2. La différence entre le chiffre des unités et le chiffre des centaines est le double du chiffre des dizaines .

Autrement dit, nous avons :
$a\,-\,c\,=\,2b$

Recherchons maintenant tous les nombres premiers entre 100 et 150 :
$101%2C\,103%2C\,107%2C\,109%2C\,113%2C\,127%2C\,131%2C\,137%2C\,139%2C\,149$

Vérifions chacun des nombres premiers pour voir lequel satisfait la condition $a\,-\,c\,=\,2b$ .

1. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,0$ , $c\,=\,1$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,1\,=\,0$
$2b\,=\,2\,\times \,0\,=\,0$
$0\,=\,0\,\quad\,(ce\,nombre\,satisfait\,la\,condition)$

2. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,0$ , $c\,=\,3$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,3\,=\,-2$
$2b\,=\,2\,\times \,0\,=\,0$
$-2\,\neq\,0\,\quad\,(ce\,nombre\,ne\,satisfait\,pas\,la\,condition)$

3. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,0$ , $c\,=\,7$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,7\,=\,-6$
$2b\,=\,2\,\times \,0\,=\,0$
$-6\,\neq\,0\,\quad\,(ce\,nombre\,ne\,satisfait\,pas\,la\,condition)$

4. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,0$ , $c\,=\,9$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,9\,=\,-8$
$2b\,=\,2\,\times \,0\,=\,0$
$-8\,\neq\,0\,\quad\,(ce\,nombre\,ne\,satisfait\,pas\,la\,condition)$

5. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,1$ , $c\,=\,3$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,3\,=\,-2$
$2b\,=\,2\,\times \,1\,=\,2$
$-2\,\neq\,2\,\quad\,(ce\,nombre\,ne\,satisfait\,pas\,la\,condition)$

6. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,2$ , $c\,=\,7$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,7\,=\,-6$
$2b\,=\,2\,\times \,2\,=\,4$
$-6\,\neq\,4\,\quad\,(ce\,nombre\,ne\,satisfait\,pas\,la\,condition)$

7. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,3$ , $c\,=\,1$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,1\,=\,0$
$2b\,=\,2\,\times \,3\,=\,6$
$0\,\neq\,6\,\quad\,(ce\,nombre\,ne\,satisfait\,pas\,la\,condition)$

8. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,3$ , $c\,=\,7$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,7\,=\,-6$
$2b\,=\,2\,\times \,3\,=\,6$
$-6\,\neq\,6\,\quad\,(ce\,nombre\,ne\,satisfait\,pas\,la\,condition)$

9. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,3$ , $c\,=\,9$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,9\,=\,-8$
$2b\,=\,2\,\times \,3\,=\,6$
$-8\,\neq\,6\,\quad\,(ce\,nombre\,ne\,satisfait\,pas\,la\,condition)$

10. : $a\,=\,1$ , $b\,=\,4$ , $c\,=\,9$
$a\,-\,c\,=\,1\,-\,9\,=\,-8$
$2b\,=\,2\,\times \,4\,=\,8$
$-8\,\neq\,8\,\quad\,(ce\,nombre\,ne\,satisfait\,pas\,la\,condition)$

Parmi ces nombres, le seul qui satisfait les conditions données est .

Le nombre recherché est donc .

[/expander_maker]

Exercice 11 : fractions irréductibles
$\frac{504}{4400}\,=\,\frac{2^3\,\times \,3^2\,\times \,7}{2^4\,\times \,5^2\,\times \,11}\,=\,\frac{2^{3-4}\,\times \,3^2\,\times \,7}{5^2\,\times \,11}\,=\,\frac{2^{-1}\,\times \,3^2\,\times \,7}{5^2\,\times \,11}\,=\,\frac{3^2\,\times \,7}{2\,\times \,5^2\,\times \,11}\,=\,\frac{9\,\times \,7}{2\,\times \,25\,\times \,11}\,=\,\frac{63}{550}.$

$\frac{504}{11466}\,=\,\frac{2^3\,\times \,3^2\,\times \,7}{2\,\times \,3^2\,\times \,7^2\,\times \,13}\,=\,\frac{2^{3-1}\,\times \,3^2\,\times \,7^{1-2}}{3^2\,\times \,13}\,=\,\frac{2^2\,\times \,3^2\,\times \,7^{-1}}{3^2\,\times \,13}\,=\,\frac{2^2}{7\,\times \,13}\,=\,\frac{4}{91}.$

$\frac{13500}{504}\,=\,\frac{2^2\,\times \,3^3\,\times \,5^3}{2^3\,\times \,3^2\,\times \,7}\,=\,\frac{2^{2-3}\,\times \,3^{3-2}\,\times \,5^3}{7}\,=\,\frac{2^{-1}\,\times \,3^1\,\times \,5^3}{7}\,=\,\frac{3\,\times \,5^3}{2\,\times \,7}\,=\,\frac{3\,\times \,125}{2\,\times \,7}\,=\,\frac{375}{14}.$

Exercice 12 : rendre des fractions irréductibles
Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

1. Pour $\frac{8800}{1638}$ :
$\begin{align%2A}%0D%0APGCD(8800%2C\,1638)\,%26=\,2.\\%0D%0A\frac{8800}{1638}\,%26=\,\frac{8800\,: \,2}{1638\,: \,2}\\%0D%0A%26=\,\frac{4400}{819}.%0D%0A\end{align%2A}$

2. Pour $\frac{64}{4400}$ :
$\begin{align%2A}%0D%0APGCD(64%2C\,4400)\,%26=\,8.\\%0D%0A\frac{64}{4400}\,%26=\,\frac{64\,: \,8}{4400\,: \,8}\\%0D%0A%26=\,\frac{8}{550}.%0D%0A\end{align%2A}$

3. Pour $\frac{1260}{1638}$ :
$\begin{align%2A}%0D%0APGCD(1260%2C\,1638)\,%26=\,18.\\%0D%0A\frac{1260}{1638}\,%26=\,\frac{1260\,: \,18}{1638\,: \,18}\\%0D%0A%26=\,\frac{70}{91}.%0D%0A\end{align%2A}$

4. Pour $\frac{1638}{810}$ :
$\begin{align%2A}%0D%0APGCD(1638%2C\,810)\,%26=\,18.\\%0D%0A\frac{1638}{810}\,%26=\,\frac{1638\,: \,18}{810\,: \,18}\\%0D%0A%26=\,\frac{91}{45}.%0D%0A\end{align%2A}$

Ainsi, les fractions irréductibles sont:
$\frac{4400}{819}%2C\,\quad\,\frac{8}{550}%2C\,\quad\,\frac{70}{91}%2C\,\quad\,\frac{91}{45}.$

Exercice 13 : donner la division euclidienne à l’aide de la calculatrice
\paragraph{1.}
Parmi les égalités suivantes, donner la division euclidienne de 375 par :
$(a)\,\quad\,%26\,375\,=\,25\,\times \,14\,%2B\,25\,\\%0D%0A(b)\,\quad\,%26\,375\,=\,26\,\times \,14\,%2B\,11\,\\%0D%0A(c)\,\quad\,%26\,375\,=\,27\,\times \,14\,-\,3\,\\$

La division euclidienne de 375 par est donnée par $375\,=\,26\,\times \,14\,%2B\,11$ . La réponse correcte est donc l’option b.

\paragraph{2.}
Pour chaque question, à l’aide de la calculatrice, donner la division euclidienne de par :

$(a)\,\quad\,%26\,a\,=\,370\,%3B\,\quad\,b\,=\,250\,%26\,\Rightarrow\,%26\,\quad\,370\,=\,1\,\times \,250\,%2B\,120\,\\%0D%0A(b)\,\quad\,%26\,a\,=\,315\,%3B\,\quad\,b\,=\,16\,%26\,\Rightarrow\,%26\,\quad\,315\,=\,19\,\times \,16\,%2B\,11\,\\%0D%0A(c)\,\quad\,%26\,a\,=\,1\\,254\,%3B\,\quad\,b\,=\,26\,%26\,\Rightarrow\,%26\,\quad\,1\\,254\,=\,48\,\times \,26\,%2B\,6\,\\%0D%0A(d)\,\quad\,%26\,a\,=\,24\\,576\,%3B\,\quad\,b\,=\,134\,%26\,\Rightarrow\,%26\,\quad\,24\\,576\,=\,183\,\times \,134\,%2B\,28\,\\%0D%0A(e)\,\quad\,%26\,a\,=\,65\,%3B\,\quad\,b\,=\,120\,%26\,\Rightarrow\,%26\,\quad\,65\,=\,0\,\times \,120\,%2B\,65\,\\$

Exercice 14 : donner la liste des diviseurs et fraction irréductible
1. a. Les diviseurs de 30 sont $1%2C\,2%2C\,3%2C\,5%2C\,6%2C\,10%2C\,15%2C\,30$ .
Les diviseurs de 24 sont $1%2C\,2%2C\,3%2C\,4%2C\,6%2C\,8%2C\,12%2C\,24$ .

b. Les diviseurs communs aux entiers 30 et 24 sont $1%2C\,2%2C\,3%2C\,6$ .

2. Écrivons la fraction $\frac{30}{24}$ sous forme irréductible. Calculons le PGCD de 30 et 24 :
$30\,=\,2\,\times \,3\,\times \,5$
$24\,=\,2^3\,\times \,3$
Le PGCD de 30 et de 24 est $2\,\times \,3\,=\,6$ . On simplifie donc la fraction :
$\frac{30\,: \,6}{24\,: \,6}\,=\,\frac{5}{4}$

3. Effectuons le calcul suivant :
$\frac{30}{24}\,-\,\frac{3}{4}$
Écrivons $\frac{30}{24}$ sous forme irréductible :
$\frac{30}{24}\,=\,\frac{5}{4}$
Donc le calcul devient :
$\frac{5}{4}\,-\,\frac{3}{4}\,=\,\frac{5-3}{4}\,=\,\frac{2}{4}\,=\,\frac{1}{2}$

Exercice 15 : démontrer si l’affirmation est vraie ou fausse
L’affirmation est fausse. Analysons les valeurs de $2^n\,-\,1$ pour compris entre 2 et 9 :

Pour $n\,=\,2$ :
$2^2\,-\,1\,=\,4\,-\,1\,=\,3$
3 est un nombre premier.

Pour $n\,=\,3$ :
$2^3\,-\,1\,=\,8\,-\,1\,=\,7$
7 est un nombre premier.

Pour $n\,=\,4$ :
$2^4\,-\,1\,=\,16\,-\,1\,=\,15$
15 n’est pas un nombre premier car $15\,=\,3\,\times \,5$ .

Pour $n\,=\,5$ :
$2^5\,-\,1\,=\,32\,-\,1\,=\,31$
31 est un nombre premier.

Pour $n\,=\,6$ :
$2^6\,-\,1\,=\,64\,-\,1\,=\,63$
63 n’est pas un nombre premier car $63\,=\,3\,\times \,21$ (et $21\,=\,3\,\times \,7$ ).

Pour $n\,=\,7$ :
$2^7\,-\,1\,=\,128\,-\,1\,=\,127$
127 est un nombre premier.

Pour $n\,=\,8$ :
$2^8\,-\,1\,=\,256\,-\,1\,=\,255$
255 n’est pas un nombre premier car $255\,=\,3\,\times \,85$ (et $85\,=\,5\,\times \,17$ ).

Pour $n\,=\,9$ :
$2^9\,-\,1\,=\,512\,-\,1\,=\,511$
511 n’est pas un nombre premier car $511\,=\,7\,\times \,73$ .

En conclusion, l’affirmation est fausse car $2^n\,-\,1$ n’est pas toujours un nombre premier pour tous les entiers compris entre 2 et 9 (par exemple pour $n\,=\,4%2C\,6%2C\,8%2C\,9$ ).

Exercice 16 : décomposer en produit de facteurs premiers

Décomposer 140 et 870 en produit de nombres premiers.

$140\,=\,2\,\times \,70\,=\,2\,\times \,2\,\times \,35\,=\,2^2\,\times \,5\,\times \,7$

$870\,=\,2\,\times \,435\,=\,2\,\times \,3\,\times \,145\,=\,2\,\times \,3\,\times \,5\,\times \,29$

En déduire la forme irréductible de la fraction $\frac{140}{870}$ .

La fraction initiale est:

$\frac{140}{870}\,=\,\frac{2^2\,\times \,5\,\times \,7}{2\,\times \,3\,\times \,5\,\times \,29}$

Simplifions la fraction par les facteurs communs :

$\frac{140}{870}\,=\,\frac{2\,\times \,7}{3\,\times \,29}\,=\,\frac{14}{87}$

Donc, la forme irréductible de la fraction $\frac{140}{870}$ est:

$\frac{14}{87}$

Exercice 17 : des fruits et décomposition en facteurs premiers
a. S’il fait 4 paquets, quelle est leur composition ?

$Nombre\,de\,pommes\,par\,paquet\,=\,\frac{24\,\,pommes}{4}\,=\,6\,\,pommes$
$Nombre\,de\,poires\,par\,paquet\,=\,\frac{36\,\,poires}{4}\,=\,9\,\,poires$

Donc, chaque paquet contiendra 6 pommes et 9 poires.

b. Décomposer 24 et 36 en produit de facteurs premiers.

$24\,=\,2\,\times \,12\,=\,2\,\times \,2\,\times \,6\,=\,2\,\times \,2\,\times \,2\,\times \,3\,=\,2^3\,\times \,3$

$36\,=\,2\,\times \,18\,=\,2\,\times \,2\,\times \,9\,=\,2\,\times \,2\,\times \,3\,\times \,3\,=\,2^2\,\times \,3^2$

c. Combien de paquets le primeur peut-il faire au maximum ? Quelle sera alors la composition de chaque paquet ?

Pour déterminer le nombre maximum de paquets, nous devons trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 24 et 36.

$Facteurs\,premiers\,de\,\,24%3A\,2^3\,\times \,3$
$Facteurs\,premiers\,de\,\,36%3A\,2^2\,\times \,3^2$

Le PGCD est obtenu en prenant le plus petit exposant de chaque facteur commun :

$PGCD(24%2C\,36)\,=\,2^2\,\times \,3\,=\,4\,\times \,3\,=\,12$

Donc, le maximum de paquets que le primeur peut faire est 12. La composition de chaque paquet sera :

$Nombre\,de\,pommes\,par\,paquet\,=\,\frac{24\,\,pommes}{12}\,=\,2\,\,pommes$
$Nombre\,de\,poires\,par\,paquet\,=\,\frac{36\,\,poires}{12}\,=\,3\,\,poires$

Chaque paquet contiendra donc 2 pommes et 3 poires.

Exercice 18 : rendre irréductible chaque fraction avec les décompositions en facteurs premiers
a. $\frac{126}{180}$

D’abord, décomposons les numérateurs et les dénominateurs en facteurs premiers :

$126\,=\,2\,\times \,3^2\,\times \,7$
$180\,=\,2^2\,\times \,3^2\,\times \,5$

Ensuite, simplifions la fraction :

$\frac{126}{180}\,=\,\frac{2\,\times \,3^2\,\times \,7}{2^2\,\times \,3^2\,\times \,5}\,=\,\frac{7}{2\,\times \,5}\,=\,\frac{7}{10}$

Donc, $\frac{126}{180}\,=\,\frac{7}{10}$ après simplification.

b. $\frac{48}{75}$

D’abord, décomposons les numérateurs et les dénominateurs en facteurs premiers :

$48\,=\,2^4\,\times \,3$
$75\,=\,3\,\times \,5^2$

Ensuite, simplifions la fraction :

$\frac{48}{75}\,=\,\frac{2^4\,\times \,3}{3\,\times \,5^2}\,=\,\frac{2^4}{5^2}\,=\,\frac{16}{25}$

Donc, $\frac{48}{75}\,=\,\frac{16}{25}$ après simplification.

c. $\frac{220}{100}$

D’abord, décomposons les numérateurs et les dénominateurs en facteurs premiers :

$220\,=\,2^2\,\times \,5\,\times \,11$
$100\,=\,2^2\,\times \,5^2$

Ensuite, simplifions la fraction :

$\frac{220}{100}\,=\,\frac{2^2\,\times \,5\,\times \,11}{2^2\,\times \,5^2}\,=\,\frac{11}{5}$

Donc, $\frac{220}{100}\,=\,\frac{11}{5}$ après simplification.

Exercice 19 : divisions successives et décomposition
a.\ 308 = 2^2 \times 7 \times 11

b.\ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7

c.\ 1\ 470 = 2 \times 3 \times 5 \times 7^2

d.\ 3\ 780 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7^2

e.\ 308 \times 1\ 470 = (2^2 \times 7 \times 11) \times (2 \times 3 \times 5 \times 7^2) = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7^3 \times 11

f.\ \frac{3\ 780}{252} = \frac{(2^2 \times 3 \times 5 \times 7^2)}{(2^2 \times 3^2 \times 7)} = \frac{5 \times 7^2}{3} = 5 \times 7 \times \frac{7}{3} = 5 \times \frac{7^2}{3^2}

g.\ 252 \times 308 \times 1\ 470 \times 3\ 780 = (2^2 \times 3^2 \times 7) \times (2^2 \times 7 \times 11) \times (2 \times 3 \times 5 \times 7^2) \times (2^2 \times 3 \times 5 \times 7^2) = 2^{2+2+1+2} \times 3^{2+1+1} \times 5^{1+1} \times 7^{1+2+2} \times 11 = 2^7 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^5 \times 11

Exercice 20 : forme de produits de facteurs premiers
a.

La décomposition en facteurs premiers de 504 et 540 est la suivante :

$504\,=\,2^3\,\times \,3^2\,\times \,7$

$540\,=\,2^2\,\times \,3^3\,\times \,5$

Pour rendre la fraction $\frac{504}{540}$ irréductible, nous devons diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Les facteurs premiers communs sont 2^2 et 3^2 , donc :

$PGCD(504%2C\,540)\,=\,2^2\,\times \,3^2\,=\,4\,\times \,9\,=\,36$

Alors :

$\frac{504}{540}\,=\,\frac{504\,: \,36}{540\,: \,36}\,=\,\frac{14}{15}$

La fraction irréductible de $\frac{504}{540}$ est donc :

$\frac{14}{15}$

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : rendre la fraction irréductible
Pour simplifier la fraction $\frac{1204}{258}$ , nous devons trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 1204 et 258 et diviser le numérateur et le dénominateur par ce PGCD.

Tout d’abord, nous déterminons le PGCD de 1204 et 258 en utilisant l’algorithme d’Euclide :

$1204\,: \,258\,=\,4\,\quad\,avec\,un\,reste\,de\,\quad\,1204\,-\,4\,\times \,258\,=\,172$
$258\,: \,172\,=\,1\,\quad\,avec\,un\,reste\,de\,\quad\,258\,-\,1\,\times \,172\,=\,86$
$172\,: \,86\,=\,2\,\quad\,avec\,un\,reste\,de\,\quad\,172\,-\,2\,\times \,86\,=\,0$

Le PGCD de 1204 et 258 est donc 86.

Nous divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par 86 :

$\frac{1204}{258}\,=\,\frac{1204\,: \,86}{258\,: \,86}\,=\,\frac{14}{3}$

Ainsi, la fraction simplifiée au maximum est :

$\frac{1204}{258}\,=\,\frac{14}{3}$

Exercice 22 : plus grand commun diviseur
a. Quel est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres ?

Pour trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 1080 et 288 , nous utilisons leurs décompositions en facteurs premiers.

La décomposition en facteurs premiers de 1080 est:
$1080\,=\,2^3\,\times \,3^3\,\times \,5$

La décomposition en facteurs premiers de 288 est:
$288\,=\,2^5\,\times \,3^2$

Le PGCD est obtenu en prenant le plus petit exposant de chaque facteur commun aux deux décompositions.

Les facteurs premiers communs sont et .

Pour :
Le plus petit exposant est .

Donc:
$PGCD(1080%2C\,288)\,=\,2^3\,\times \,3^2\,=\,8\,\times \,9\,=\,72$

b. Simplifie la fraction $\frac{1080}{288}$ pour la rendre irréductible.

Pour simplifier la fraction $\frac{1080}{288}$ , nous utilisons le PGCD des deux nombres, que nous avons trouvé comme étant .

$\frac{1080}{288}\,=\,\frac{1080\,: \,72}{288\,: \,72}\,=\,\frac{15}{4}$

La fraction simplifiée de $\frac{1080}{288}$ est donc:
$\frac{1080}{288}\,=\,\frac{15}{4}$

La fraction $\frac{15}{4}$ ne peut plus être simplifiée, c’est la forme irréductible.

Exercice 23 : brins de muguet et roses
a. Pour trouver le nombre maximum de bouquets identiques que Julie peut faire en utilisant toutes les fleurs, nous devons déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de 182 et 78.

Commençons par la méthode de décomposition en facteurs premiers :

Pour 182 :
$182\,=\,2\,\times \,91$
$91\,=\,7\,\times \,13$
Donc, $182\,=\,2\,\times \,7\,\times \,13$

Pour 78 :
$78\,=\,2\,\times \,39$
$39\,=\,3\,\times \,13$
Donc, $78\,=\,2\,\times \,3\,\times \,13$

Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, avec le plus bas exposant.

Les facteurs premiers communs sont et .

Le PGCD de 182 et 78 est :
$PGCD(182%2C\,78)\,=\,2\,\times \,13\,=\,26$

Ainsi, le nombre maximum de bouquets identiques que Julie pourra faire est de 26.

b. Pour connaître la composition de chaque bouquet, nous devons diviser le nombre total de chaque type de fleur par le PGCD.

Nombre de brins de muguet par bouquet :
$\frac{182}{26}\,=\,7$

Nombre de roses par bouquet :
$\frac{78}{26}\,=\,3$

La composition de chaque bouquet sera donc de 7 brins de muguet et 3 roses.

Exercice 24 : terrain rectangulaire et clôture
$Correction\,de\,l'exercice%3A$

a. Deux poteaux peuvent-ils être espacés de cinq mètres? De trois mètres?
Pour savoir si deux poteaux peuvent être espacés de cinq mètres ou de trois mètres, nous devons vérifier si 78 et 102 sont multiples de ces distances.

1. Vérifions pour 5 mètres:
$78\,: \,5\,=\,15%2C6\,\quad\,(non\,entier%2C\,donc\,78\,n'est\,pas\,multiple\,de\,5)$
$102\,: \,5\,=\,20%2C4\,\quad\,(non\,entier%2C\,donc\,102\,n'est\,pas\,multiple\,de\,5)$
Les poteaux ne peuvent donc pas être espacés de cinq mètres.

2. Vérifions pour 3 mètres:
$78\,: \,3\,=\,26\,\quad\,(entier%2C\,donc\,78\,est\,multiple\,de\,3)$
$102\,: \,3\,=\,34\,\quad\,(entier%2C\,donc\,102\,est\,multiple\,de\,3)$
Les poteaux peuvent donc être espacés de trois mètres.

b. Aurélien veut planter le moins de poteaux possible. Que peux-tu dire alors de la distance entre deux poteaux?
Pour minimiser le nombre de poteaux, Aurélien doit choisir la plus grande distance possible. Cette distance doit être un diviseur commun aux deux longueurs 78 et 102. Nous devons donc déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de 78 et 102.

Pour trouver le PGCD, nous utilisons l’algorithme d’Euclide:
$102\,=\,78\,\times \,1\,%2B\,24$
$78\,=\,24\,\times \,3\,%2B\,6$
$24\,=\,6\,\times \,4$
Ainsi, le PGCD de 78 et 102 est 6. La plus grande distance entre deux poteaux est donc de 6 mètres.

c. Combien doit-il alors planter de poteaux?
Pour déterminer le nombre de poteaux, nous devons calculer le périmètre du rectangle et diviser par la distance entre les poteaux, en ajoutant un poteau à chaque coin.
Le périmètre du rectangle est donné par:
$P\,=\,2\,\times \,(78\,%2B\,102)\,=\,2\,\times \,180\,=\,360\,\%2C\,metres$

En espaçant les poteaux de 6 mètres:
$\frac{360}{6}\,=\,60$

Enfin, nous devons ajouter un poteau de plus pour fermer le tour du rectangle:
$Nombre\,total\,de\,poteaux\,=\,60$

Aurélien doit planter 60 poteaux pour clore son terrain en espaçant les poteaux de six mètres.

Exercice 25 : guirlande électrique et lumières
Pour trouver le temps au bout duquel les lumières rouges et bleues s’allumeront en même temps pour la première fois, il faut déterminer le plus petit commun multiple (PPCM) des deux intervalles de temps auxquels elles s’allument, c’est-à-dire 4 secondes pour les lumières rouges et 6 secondes pour les lumières bleues.

Calculons d’abord la décomposition en facteurs premiers de ces deux nombres.

$4\,=\,2^2$

$6\,=\,2\,\times \,3$

Le PPCM est obtenu en prenant chaque facteur premier avec sa plus haute puissance :

$PPCM(4%2C\,6)\,=\,2^2\,\times \,3\,=\,4\,\times \,3\,=\,12$

Donc, les lumières rouges et bleues s’allumeront simultanément toutes les 12 secondes.

Ainsi, le phénomène se reproduira pour la première fois après 12 secondes.

Exercice 26 : archéologie et arithmétique
1. Pour savoir si on peut quadriller le terrain avec des carrés de 33 cm de côté, convertissons d’abord les dimensions du terrain en centimètres :
$6%2C6\,\%2C\,m\,=\,660\,\%2C\,cm$
$8%2C58\,\%2C\,m\,=\,858\,\%2C\,cm$

Ensuite, on vérifie si 660 et 858 sont divisibles par 33 :
$\frac{660}{33}\,=\,20\,\%2C\,(exact%2C\,donc\,divisible)$
$\frac{858}{33}\,=\,26\,\%2C\,(exact%2C\,donc\,divisible)$

Donc, on peut quadriller le terrain avec des carrés de 33 cm de côté.

2. Décomposons 660 et 858 en produits de facteurs premiers :

$660\,=\,2^2\,\times \,3\,\times \,5\,\times \,11$
$858\,=\,2\,\times \,3\,\times \,11\,\times \,13$

3. Pour déterminer la plus grande taille possible des carrés permettant de quadriller le terrain dont le côté est un entier supérieur à 33 cm, nous devons trouver le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de 660 et 858 :

$Utilisons\,la\,decomposition\,en\,facteurs\,premiers\,%3A$
$PGCD(660%2C\,858)\,=\,2\,\times \,3\,\times \,11\,=\,66$

Ainsi, la plus grande taille des carrés pour quadriller le terrain est de 66 cm.

Pour savoir combien de ces carrés de 66 cm de côté sont nécessaires pour quadriller le terrain, calculons :

$Dimensions\,du\,terrain\,en\,carres\,de\,66\,cm\,%3A$
$\frac{660}{66}\,=\,10\,\%2C\,(dans\,la\,longueur)$
$\frac{858}{66}\,=\,13\,\%2C\,(dans\,la\,largeur)$

Calculons le nombre total de carrés :
$10\,\times \,13\,=\,130$
Donc, il faudra 130 carrés de 66 cm de côté pour quadriller le terrain.

Exercice 27 : entreprise et boîte en carton
L’énoncé nous informe que chaque boîte contient pâtes de fruits en forme de cubes ayant une arête de $2\,\%2C\,cm$ . Il est également précisé que 20000 pâtes de fruits doivent être rangées.

D’abord, nous devons déterminer combien de boîtes sont nécessaires pour contenir les $20\,000$ pâtes de fruits :

$Nombre\,de\,boites\,=\,\frac{20000}{36}\,\approx\,555%2C56$

Nous devons donc commander $\lceil\,555%2C56\,\rceil\,=\,556$ boîtes (car on ne peut pas commander une fraction de boîte).

Chaque pâte de fruit ayant une arête de $2\,\%2C\,cm$ , le volume d’une pâte est :

$V_{pate}\,=\,2^3\,=\,8\,\%2C\,cm^3$

Le volume total des 36 pâtes de fruits dans une boîte est donc :

$V_{boite}\,=\,36\,\times \,8\,=\,288\,\%2C\,cm^3$

Maintenant, considérons la forme de la boîte. Si nous disposons les pâtes de fruits sous la forme d’un pavé droit, nous devons déterminer les dimensions optimales pour minimiser la quantité de carton. Un agencement possible pour minimiser la surface serait en longueur, en largeur et en hauteur (car $3\,\times \,3\,\times \,4\,=\,36$ ).

Les dimensions optimales de la boîte seront donc :

$3\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,6\,\%2C\,cm\,\quad\,(longueur)\,\\%0D%0A3\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,6\,\%2C\,cm\,\quad\,(largeur)\,\\%0D%0A4\,\times \,2\,\%2C\,cm\,=\,8\,\%2C\,cm\,\quad\,(hauteur)$

Cela donne une boîte de dimensions $6\,\%2C\,cm\,\times \,6\,\%2C\,cm\,\times \,8\,\%2C\,cm$ .

La surface totale de carton nécessaire pour une boîte est alors :

$S_{boite}\,=\,2\,\times \,(6\,\times \,6\,%2B\,6\,\times \,8\,%2B\,6\,\times \,8)\,=\,2\,\times \,(36\,%2B\,48\,%2B\,48)\,=\,2\,\times \,132\,=\,264\,\%2C\,cm^2$

Pour 556 boîtes, la surface totale de carton est :

$S_{total}\,=\,556\,\times \,264\,=\,146784\,\%2C\,cm^2\,=\,14%2C6784\,\%2C\,m^2$

Avec un coût de $15%2C50\,\%2C\,%E2%82%AC$ par $1\,\%2C\,m^2$ , le coût total de la commande est :

$Cout\,total\,=\,14%2C6784\,\times \,15%2C50\,\approx\,227%2C52\,\%2C\,%E2%82%AC$

Donc, le coût total de cette commande est d’environ $227%2C52\,\%2C\,%E2%82%AC$ .

Exercice 28 : panneau mural et carreaux
1. Peut-on utiliser des carreaux de 10 cm de côté ? 14 cm de côté ? 18 cm de côté ?

Pour vérifier si l’on peut utiliser des carreaux de dimensions données, nous devons voir si ces dimensions divisent les dimensions du panneau mural sans reste.

– Pour 10 cm :
$\frac{240}{10}\,=\,24\,\quad\,(entier)$
$\frac{360}{10}\,=\,36\,\quad\,(entier)$
Donc, on peut utiliser des carreaux de 10 cm.

– Pour 14 cm :
$\frac{240}{14}\,\approx\,17%2C14\,\quad\,(pas\,un\,entier)$
$\frac{360}{14}\,\approx\,25%2C71\,\quad\,(pas\,un\,entier)$
Donc, on ne peut pas utiliser des carreaux de 14 cm.

– Pour 18 cm :
$\frac{240}{18}\,\approx\,13%2C33\,\quad\,(pas\,un\,entier)$
$\frac{360}{18}\,=\,20\,\quad\,(entier)$
Mais comme $\frac{240}{18}$ n’est pas un entier, on ne peut pas utiliser des carreaux de 18 cm.

2. Quelles sont toutes les tailles possibles de carreaux comprises entre 10 et 20 cm ?

Nous devons trouver les tailles comprises entre 10 et 20 cm qui divisent à la fois 240 cm et 360 cm sans reste. Il s’agit des diviseurs communs de 240 et 360.

Les diviseurs de 240 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240.

Les diviseurs de 360 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

Les diviseurs communs de 240 et 360 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20.

Ainsi, les tailles de carreaux comprises entre 10 et 20 cm sont : 10 cm, 12 cm, 15 cm, 20 cm.

3. On choisit des carreaux de 15 cm de côté. On pose une rangée de carreaux bleus sur le pourtour et des carreaux blancs ailleurs. Combien de carreaux bleus va-t-on utiliser ?

La dimension du panneau mural est de 240 cm par 360 cm. Avec des carreaux de 15 cm de côté, nous avons :
$\frac{240}{15}\,=\,16\,\quad\,carreaux\,pour\,la\,longueur\,de\,240\,cm$
$\frac{360}{15}\,=\,24\,\quad\,carreaux\,pour\,la\,longueur\,de\,360\,cm$

Pour calculer le nombre de carreaux bleus sur le pourtour, nous devons considérer le périmètre du panneau :
Il y a 2 rangées horizontales (en haut et en bas) et 2 rangées verticales (à gauche et à droite) constituant le pourtour.

– Rangées horizontales (haut et bas) :
24 carreaux par rangée. Deux rangées donnent :
$2\,\times \,24\,=\,48$

– Rangées verticales (gauche et droite) :
16 carreaux par rangée, mais les coins ont déjà été comptés dans les rangées horizontales. On retire donc 2 carreaux à chaque rangée verticale. Deux rangées donnent :
$2\,\times \,(16\,-\,2)\,=\,2\,\times \,14\,=\,28$

Total des carreaux bleus :
$48\,%2B\,28\,=\,76$

Le nombre de carreaux bleus qu’on va utiliser est de 76.

Exercice 29 : barquettes de nems et samossas
1. Décomposons les nombres 162 et 108 en produits de facteurs premiers.

$162\,=\,2\,\times \,81\,=\,2\,\times \,3^4$

$108\,=\,2^2\,\times \,54\,=\,2^2\,\times \,3^3$

Donc, les décompositions en facteurs premiers sont :
$162\,=\,2\,\times \,3^4$

$108\,=\,2^2\,\times \,3^3$

2. Deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10.

Pour déterminer les diviseurs communs, nous devons prendre les facteurs premiers en commun avec leurs plus petites puissances communes :
$PGCD\,de\,162\,et\,108\,=\,2^1\,\times \,3^3\,=\,54$

Donc, 54 est un diviseur commun plus grand que 10. Un autre diviseur, qui est plus grand que 10, peut être trouvé en divisant 54 par un facteur premier qui diminue la puissance jusqu’à la puissance commune minimale. Ainsi, 18 est un autre diviseur commun :
$2^1\,\times \,3^2\,=\,18$

3. Pour que chaque barquette contienne le même nombre de nems et de samossas, tout en utilisant tous les nems et samossas, nous devons trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) de 162 et 108 pour maximiser le nombre de barquettes.

Le PGCD de 162 et 108 est 54. Donc, le nombre maximal de barquettes est 54. Calculons les détails :

a. Le cuisinier peut-il réaliser 36 barquettes ? Vérifions si 36 est un diviseur commun :
Non, 36 n’est pas un diviseur commun de 162 et 108, donc il ne peut pas réaliser 36 barquettes.

b. Le nombre maximal de barquettes que le cuisinier pourra réaliser :
$PGCD\,de\,162\,et\,108\,=\,54$

Ainsi, il pourra réaliser 54 barquettes.

c. Combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette si le nombre maximal de barquettes est réalisé ?

Le nombre de nems par barquette :
$\frac{162}{54}\,=\,3$

Le nombre de samossas par barquette :
$\frac{108}{54}\,=\,2$

Donc, il y aura 3 nems et 2 samossas dans chaque barquette.

Exercice 30 : affirmations vraies ou fausses
Affirmation 1 : Les diviseurs communs à 12 et 18 sont les mêmes que les diviseurs de 6.

Les diviseurs de 12 sont $1%2C\,2%2C\,3%2C\,4%2C\,6%2C\,12$ .
Les diviseurs de 18 sont $1%2C\,2%2C\,3%2C\,6%2C\,9%2C\,18$ .
Les diviseurs communs à 12 et 18 sont $1%2C\,2%2C\,3%2C\,6$ .

Les diviseurs de 6 sont $1%2C\,2%2C\,3%2C\,6$ .

Les diviseurs communs à 12 et 18 sont donc bien les mêmes que les diviseurs de 6.

Affirmation correcte.

Affirmation 2 : 4 n’admet que deux diviseurs.

Les diviseurs de 4 sont $1%2C\,2%2C\,4$ .

L’affirmation est incorrecte car 4 admet trois diviseurs.

Affirmation 3 : Deux nombres impairs n’ont que 1 comme diviseur commun.

Prenons deux nombres impairs quelconques, par exemple 9 et 15.

Les diviseurs de 9 sont $1%2C\,3%2C\,9$ .
Les diviseurs de 15 sont $1%2C\,3%2C\,5%2C\,15$ .
Leur seul diviseur commun est .

Affirmation correcte.

Affirmation 4 : Tous les nombres premiers sont impairs.

Les nombres premiers sont les nombres qui n’ont que deux diviseurs, 1 et eux-mêmes. Par exemple, $2%2C\,3%2C\,5%2C\,7$ , etc.
Cependant, est un nombre premier et il est pair, ce qui contredit l’affirmation.

Affirmation incorrecte.

Affirmation 5 : Tous les nombres impairs sont premiers.

Prenons un nombre impair comme .
Les diviseurs de 9 sont $1%2C\,3%2C\,9$ .
9 est donc divisible par un autre nombre que et lui-même, ce qui signifie qu’il n’est pas premier.

Affirmation incorrecte.

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : rechercher un nombre entier
Soit un nombre entier.

1. J’ajoute 3 à :
$x\,%2B\,3$

2. Je multiplie le résultat par 7 :
$7(x%2B3)\,=\,7x\,%2B\,21$

3. J’ajoute le triple du nombre de départ (c’est-à-dire ) au résultat :
$7x\,%2B\,21\,%2B\,3x\,=\,10x\,%2B\,21$

4. J’enlève 21 :
$10x\,%2B\,21\,-\,21\,=\,10x$

Ainsi, le résultat obtenu est toujours 10x , qui est un multiple de 10 pour tout nombre entier .

Donc, l’affirmation est vraie.

Exercice 32 : un panneau mural
1. Peut-on utiliser des carreaux de : 10 cm de côté? 14 cm de côté? 18 cm de côté?

Pour répondre à cette question, il faut vérifier si les dimensions 240 cm et 360 cm sont divisibles par les dimensions des carreaux envisagés.

– Pour des carreaux de 10 cm de côté :
$\frac{240}{10}\,=\,24$ et $\frac{360}{10}\,=\,36$

Les deux dimensions sont divisibles par 10. Donc, les carreaux de 10 cm conviennent.

– Pour des carreaux de 14 cm de côté :
$\frac{240}{14}\,\approx\,17.14$ (pas un entier) et $\frac{360}{14}\,\approx\,25.71$ (pas un entier)

Les deux dimensions ne sont pas divisibles par 14. Donc, les carreaux de 14 cm ne conviennent pas.

– Pour des carreaux de 18 cm de côté :
$\frac{240}{18}\,\approx\,13.33$ (pas un entier) et $\frac{360}{18}\,=\,20$

La dimension 240 cm n’est pas divisible par 18. Donc, les carreaux de 18 cm ne conviennent pas.

2. Quelles sont toutes les tailles possibles de carreaux comprises entre 10 et 20 cm?

Il faut trouver tous les diviseurs communs de 240 et 360 qui sont compris entre 10 et 20.

Les diviseurs de 240 sont :
$1%2C\,2%2C\,3%2C\,4%2C\,5%2C\,6%2C\,8%2C\,10%2C\,12%2C\,15%2C\,20%2C\,24%2C\,30%2C\,40%2C\,48%2C\,60%2C\,80%2C\,120%2C\,240$

Les diviseurs de 360 sont :
$1%2C\,2%2C\,3%2C\,4%2C\,5%2C\,6%2C\,8%2C\,9%2C\,10%2C\,12%2C\,15%2C\,18%2C\,20%2C\,24%2C\,30%2C\,36%2C\,40%2C\,45%2C\,60%2C\,72%2C\,90%2C\,120%2C\,180%2C\,360$

Les diviseurs communs de 240 et 360 compris entre 10 et 20 sont :
$10%2C\,12%2C\,15%2C\,20$

3. On choisit des carreaux de 15 cm de côté. On pose une rangée de carreaux bleus sur le pourtour et des carreaux blancs ailleurs. Combien de carreaux bleus va-t-on utiliser?

– Nombre de carreaux de 15 cm le long de 240 cm :
$\frac{240}{15}\,=\,16$

– Nombre de carreaux de 15 cm le long de 360 cm :
$\frac{360}{15}\,=\,24$

Pour le pourtour, nous devons compter les carreaux sur les bords.

– Les deux longueurs de 240 cm ont chacune 16 carreaux, donc $2\,\times \,16\,=\,32$ carreaux.
– Les deux longueurs de 360 cm ont chacune 24 carreaux, donc $2\,\times \,24\,=\,48$ carreaux.

Cependant, les coins sont comptés deux fois, donc nous devons les soustraire une fois chacun. Il y a 4 coins.

Donc, nombre total de carreaux bleus :
$32\,%2B\,48\,-\,4\,=\,76$

On utilisera donc 76 carreaux bleus pour le pourtour.

Exercice 33 : motifs et carreaux de mosaïque
1. Combien de carreaux blancs Gaspard va-t-il utiliser pour border le carré gris du motif 4 (un carré ayant 4 carreaux gris de côté) ?

Pour le motif 4, nous avons un carré gris de 4 $\times$ 4 carreaux. Les carreaux blancs forment une bordure tout autour de ce carré.
– Nombre de carreaux blancs au-dessus: $4\,%2B\,2\,=\,6$
– Nombre de carreaux blancs en dessous: $4\,%2B\,2\,=\,6$
– Nombre de carreaux blancs à gauche: (sans compter les coins déjà pris en compte)
– Nombre de carreaux blancs à droite: (sans compter les coins déjà pris en compte)

Donc, le nombre total de carreaux blancs est:

$6\,%2B\,6\,%2B\,4\,%2B\,4\,=\,20$

2.a. Justifier que Gaspard peut réaliser un motif de ce type en utilisant exactement 144 carreaux gris.

Pour justifier cela, calculons le côté du carré qui utilise 144 carreaux gris.

$n^2\,=\,144$
$n\,=\,\sqrt{144}\,=\,12$

Donc, un carré de 12 $\times$ 12 carreaux gris utilise exactement 144 carreaux gris.

2.b. Combien de carreaux blancs utilisera-t-il alors pour border le carré gris obtenu?

$n\,=\,12$

Le nombre de carreaux blancs à utiliser pour former la bordure est:

– Le carré de bordure aura $12\,%2B\,2\,=\,14$ carreaux de côté.
– Nombre total de carreaux (gris + blancs) = $14^2\,=\,196$
– Nombre de carreaux gris = $12^2\,=\,144$

Donc, le nombre de carreaux blancs est:

$196\,-\,144\,=\,52$

3. Une seule de ces trois expressions ne convient pas. Laquelle?

– Expression n°1 : $2\,\times \,n\,%2B\,2\,\times \,(n\,%2B\,2)$
– Expression n°2 : $4\,\times \,(n\,%2B\,2)$
– Expression n°3 : $4\,\times \,(n\,%2B\,2)\,-\,4$

Analysons chaque expression :

– $2\,\times \,n\,%2B\,2\,\times \,(n\,%2B\,2)$
$2n\,%2B\,2(n%2B2)\,=\,2n\,%2B\,2n\,%2B\,4\,=\,4n\,%2B\,4$

– $4\,\times \,(n\,%2B\,2)$
$=\,4n\,%2B\,8$

– $4\,\times \,(n\,%2B\,2)\,-\,4$
$4(n%2B2)\,-\,4\,=\,4n\,%2B\,8\,-\,4\,=\,4n\,%2B\,4$

Nous voyons que l’expression $4\,\times \,(n\,%2B\,2)$ ne convient pas car elle donne $4n\,%2B\,8$ et non $4n\,%2B\,4$ .

Exercice 34 : une surface à paver
1. Pour savoir si Carole peut utiliser des carreaux de 3 cm de côté ou 6 cm de côté, il faut que les dimensions du rectangle (108 cm par 225 cm) soient divisibles par la dimension du carreau.

– $Carreaux\,de\,3\,cm\,de\,cote\,%3A$
– Division de 108 par 3 :
$108\,: \,3\,=\,36$
– Division de 225 par 3 :
$225\,: \,3\,=\,75$
– Les deux dimensions sont divisibles par 3, donc les carreaux de 3 cm de côté peuvent être utilisés.

– $Carreaux\,de\,6\,cm\,de\,cote\,%3A$
– Division de 108 par 6 :
$108\,: \,6\,=\,18$
– Division de 225 par 6 :
$225\,: \,6\,=\,37%2C5$
– 225 n’est pas divisible par 6, donc les carreaux de 6 cm de côté ne peuvent pas être utilisés.

2. Pour déterminer la dimension maximale des carreaux, il faut trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) des dimensions 108 cm et 225 cm.

– Utilisation de l’algorithme d’Euclide :
$225\,%26=\,108\,\times \,2\,%2B\,9\,\\%0D%0A108\,%26=\,9\,\times \,12\,%2B\,0\,\\$
– Le PGCD de 108 et 225 est donc 9.

– La dimension maximale des carreaux que Carole peut poser est de 9 cm de côté.

– Pour déterminer le nombre de carreaux nécessaires :
$Nombre\,de\,carreaux\,=\,(\frac{108}{9})\,\times \,(\frac{225}{9})\,=\,12\,\times \,25\,=\,300$

En conclusion :
1. Carole peut utiliser des carreaux de 3 cm de côté mais pas de 6 cm de côté.
2. La dimension maximale des carreaux que Carole peut poser est de 9 cm de côté, et elle utilisera 300 carreaux.

Voir Corrigés 31 à 34 ...