Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : corrigés des exercices de maths en 3ème.

Exercice 11 : fractions irréductibles
\[
\frac{504}{4400} = \frac{2^3 \times 3^2 \times 7}{2^4 \times 5^2 \times 11} = \frac{2^{3-4} \times 3^2 \times 7}{5^2 \times 11} = \frac{2^{-1} \times 3^2 \times 7}{5^2 \times 11} = \frac{3^2 \times 7}{2 \times 5^2 \times 11} = \frac{9 \times 7}{2 \times 25 \times 11} = \frac{63}{550}.
\]

\[
\frac{504}{11466} = \frac{2^3 \times 3^2 \times 7}{2 \times 3^2 \times 7^2 \times 13} = \frac{2^{3-1} \times 3^2 \times 7^{1-2}}{3^2 \times 13} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 7^{-1}}{3^2 \times 13} = \frac{2^2}{7 \times 13} = \frac{4}{91}.
\]

\[
\frac{13500}{504} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5^3}{2^3 \times 3^2 \times 7} = \frac{2^{2-3} \times 3^{3-2} \times 5^3}{7} = \frac{2^{-1} \times 3^1 \times 5^3}{7} = \frac{3 \times 5^3}{2 \times 7} = \frac{3 \times 125}{2 \times 7} = \frac{375}{14}.
\]

Exercice 12 : rendre des fractions irréductibles
Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

1. Pour \[\frac{8800}{1638}\] :
\[
\begin{align*}
\text{PGCD}(8800, 1638) = 2.\\
\frac{8800}{1638} = \frac{8800 : 2}{1638 : 2}\\
= \frac{4400}{819}.
\end{align*}
\]

2. Pour \[\frac{64}{4400}\] :
\[
\begin{align*}
\text{PGCD}(64, 4400) = 8.\\
\frac{64}{4400} = \frac{64 : 8}{4400 : 8}\\
= \frac{8}{550}.
\end{align*}
\]

3. Pour \[\frac{1260}{1638}\] :
\[
\begin{align*}
\text{PGCD}(1260, 1638) = 18.\\
\frac{1260}{1638} = \frac{1260 : 18}{1638 : 18}\\
= \frac{70}{91}.
\end{align*}
\]

4. Pour \[\frac{1638}{810}\] :
\[
\begin{align*}
\text{PGCD}(1638, 810) = 18.\\
\frac{1638}{810} = \frac{1638 : 18}{810 : 18}\\
= \frac{91}{45}.
\end{align*}
\]

Ainsi, les fractions irréductibles sont:
\[
\frac{4400}{819}, \quad \frac{8}{550}, \quad \frac{70}{91}, \quad \frac{91}{45}.
\]

Exercice 13 : donner la division euclidienne à l’aide de la calculatrice
\paragraph{1.}
Parmi les égalités suivantes, donner la division euclidienne de \( 375 \) par \( 14 \) :
\[
\begin{aligned}
\text{(a)} \quad 375 = 25 \times 14 + 25 \\
\text{(b)} \quad 375 = 26 \times 14 + 11 \\
\text{(c)} \quad 375 = 27 \times 14 – 3 \\
\end{aligned}
\]

La division euclidienne de \( 375 \) par \( 14 \) est donnée par \( 375 = 26 \times 14 + 11 \). La réponse correcte est donc l’option {b}.

\paragraph{2.}
Pour chaque question, à l’aide de la calculatrice, donner la division euclidienne de \( a \) par \( b \) :

\[
\begin{aligned}
\text{(a)} \quad a = 370 ; \quad b = 250 \Rightarrow \quad 370 = 1 \times 250 + 120 \\
\text{(b)} \quad a = 315 ; \quad b = 16 \Rightarrow \quad 315 = 19 \times 16 + 11 \\
\text{(c)} \quad a = 1\ 254 ; \quad b = 26 \Rightarrow \quad 1\ 254 = 48 \times 26 + 6 \\
\text{(d)} \quad a = 24\ 576 ; \quad b = 134 \Rightarrow \quad 24\ 576 = 183 \times 134 + 28 \\
\text{(e)} \quad a = 65 ; \quad b = 120 \Rightarrow \quad 65 = 0 \times 120 + 65 \\
\end{aligned}
\]

Exercice 14 : donner la liste des diviseurs et fraction irréductible
1. a. Les diviseurs de 30 sont \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\).
Les diviseurs de 24 sont \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\).

b. Les diviseurs communs aux entiers 30 et 24 sont \(1, 2, 3, 6\).

2. Écrivons la fraction \(\frac{30}{24}\) sous forme irréductible. Calculons le PGCD de 30 et 24 :
\[
30 = 2 \times 3 \times 5
\]
\[
24 = 2^3 \times 3
\]
Le PGCD de 30 et de 24 est \(2 \times 3 = 6\). On simplifie donc la fraction :
\[
\frac{30 : 6}{24 : 6} = \frac{5}{4}
\]

3. Effectuons le calcul suivant :
\[
\frac{30}{24} – \frac{3}{4}
\]
Écrivons \(\frac{30}{24}\) sous forme irréductible :
\[
\frac{30}{24} = \frac{5}{4}
\]
Donc le calcul devient :
\[
\frac{5}{4} – \frac{3}{4} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]

Exercice 15 : démontrer si l’affirmation est vraie ou fausse
L’affirmation est fausse. Analysons les valeurs de \( 2^n – 1 \) pour \( n \) compris entre 2 et 9 :

Pour \( n = 2 \) :
\[ 2^2 – 1 = 4 – 1 = 3 \]
3 est un nombre premier.

Pour \( n = 3 \) :
\[ 2^3 – 1 = 8 – 1 = 7 \]
7 est un nombre premier.

Pour \( n = 4 \) :
\[ 2^4 – 1 = 16 – 1 = 15 \]
15 n’est pas un nombre premier car \( 15 = 3 \times 5 \).

Pour \( n = 5 \) :
\[ 2^5 – 1 = 32 – 1 = 31 \]
31 est un nombre premier.

Pour \( n = 6 \) :
\[ 2^6 – 1 = 64 – 1 = 63 \]
63 n’est pas un nombre premier car \( 63 = 3 \times 21 \) (et \( 21 = 3 \times 7 \)).

Pour \( n = 7 \) :
\[ 2^7 – 1 = 128 – 1 = 127 \]
127 est un nombre premier.

Pour \( n = 8 \) :
\[ 2^8 – 1 = 256 – 1 = 255 \]
255 n’est pas un nombre premier car \( 255 = 3 \times 85 \) (et \( 85 = 5 \times 17 \)).

Pour \( n = 9 \) :
\[ 2^9 – 1 = 512 – 1 = 511 \]
511 n’est pas un nombre premier car \( 511 = 7 \times 73 \).

En conclusion, l’affirmation est fausse car \( 2^n – 1 \) n’est pas toujours un nombre premier pour tous les entiers \( n \) compris entre 2 et 9 (par exemple pour \( n = 4, 6, 8, 9 \)).

Exercice 16 : décomposer en produit de facteurs premiers

Décomposer 140 et 870 en produit de nombres premiers.

\[
140 = 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 35 = 2^2 \times 5 \times 7
\]

\[
870 = 2 \times 435 = 2 \times 3 \times 145 = 2 \times 3 \times 5 \times 29
\]

En déduire la forme irréductible de la fraction \(\frac{140}{870}\).

La fraction initiale est:

\[
\frac{140}{870} = \frac{2^2 \times 5 \times 7}{2 \times 3 \times 5 \times 29}
\]

Simplifions la fraction par les facteurs communs :

\[
\frac{140}{870} = \frac{2 \times 7}{3 \times 29} = \frac{14}{87}
\]

Donc, la forme irréductible de la fraction \(\frac{140}{870}\) est:

\[
\frac{14}{87}
\]

Exercice 17 : des fruits et décomposition en facteurs premiers
a. S’il fait 4 paquets, quelle est leur composition ?

\[
\text{Nombre de pommes par paquet} = \frac{24 \text{ pommes}}{4} = 6 \text{ pommes}
\]
\[
\text{Nombre de poires par paquet} = \frac{36 \text{ poires}}{4} = 9 \text{ poires}
\]

Donc, chaque paquet contiendra 6 pommes et 9 poires.

b. Décomposer 24 et 36 en produit de facteurs premiers.

\[
24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3
\]

\[
36 = 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2
\]

c. Combien de paquets le primeur peut-il faire au maximum ? Quelle sera alors la composition de chaque paquet ?

Pour déterminer le nombre maximum de paquets, nous devons trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 24 et 36.

\[
\text{Facteurs premiers de } 24: 2^3 \times 3
\]
\[
\text{Facteurs premiers de } 36: 2^2 \times 3^2
\]

Le PGCD est obtenu en prenant le plus petit exposant de chaque facteur commun :

\[
\text{PGCD}(24, 36) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12
\]

Donc, le maximum de paquets que le primeur peut faire est 12. La composition de chaque paquet sera :

\[
\text{Nombre de pommes par paquet} = \frac{24 \text{ pommes}}{12} = 2 \text{ pommes}
\]
\[
\text{Nombre de poires par paquet} = \frac{36 \text{ poires}}{12} = 3 \text{ poires}
\]

Chaque paquet contiendra donc 2 pommes et 3 poires.

Exercice 18 : rendre irréductible chaque fraction avec les décompositions en facteurs premiers
a. \(\frac{126}{180}\)

D’abord, décomposons les numérateurs et les dénominateurs en facteurs premiers :

\[126 = 2 \times 3^2 \times 7\]
\[180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\]

Ensuite, simplifions la fraction :

\[
\frac{126}{180} = \frac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \frac{7}{2 \times 5} = \frac{7}{10}
\]

Donc, \(\frac{126}{180} = \frac{7}{10}\) après simplification.

b. \(\frac{48}{75}\)

D’abord, décomposons les numérateurs et les dénominateurs en facteurs premiers :

\[48 = 2^4 \times 3\]
\[75 = 3 \times 5^2\]

Ensuite, simplifions la fraction :

\[
\frac{48}{75} = \frac{2^4 \times 3}{3 \times 5^2} = \frac{2^4}{5^2} = \frac{16}{25}
\]

Donc, \(\frac{48}{75} = \frac{16}{25}\) après simplification.

c. \(\frac{220}{100}\)

D’abord, décomposons les numérateurs et les dénominateurs en facteurs premiers :

\[220 = 2^2 \times 5 \times 11\]
\[100 = 2^2 \times 5^2\]

Ensuite, simplifions la fraction :

\[
\frac{220}{100} = \frac{2^2 \times 5 \times 11}{2^2 \times 5^2} = \frac{11}{5}
\]

Donc, \(\frac{220}{100} = \frac{11}{5}\) après simplification.

Exercice 19 : divisions successives et décomposition
a.\ 308 = 2^2 \times 7 \times 11

b.\ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7

c.\ 1\ 470 = 2 \times 3 \times 5 \times 7^2

d.\ 3\ 780 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7^2

e.\ 308 \times 1\ 470 = (2^2 \times 7 \times 11) \times (2 \times 3 \times 5 \times 7^2) = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7^3 \times 11

f.\ \frac{3\ 780}{252} = \frac{(2^2 \times 3 \times 5 \times 7^2)}{(2^2 \times 3^2 \times 7)} = \frac{5 \times 7^2}{3} = 5 \times 7 \times \frac{7}{3} = 5 \times \frac{7^2}{3^2}

g.\ 252 \times 308 \times 1\ 470 \times 3\ 780 = (2^2 \times 3^2 \times 7) \times (2^2 \times 7 \times 11) \times (2 \times 3 \times 5 \times 7^2) \times (2^2 \times 3 \times 5 \times 7^2) = 2^{2+2+1+2} \times 3^{2+1+1} \times 5^{1+1} \times 7^{1+2+2} \times 11 = 2^7 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^5 \times 11

Exercice 20 : forme de produits de facteurs premiers
a.

La décomposition en facteurs premiers de 504 et 540 est la suivante :

\[
504 = 2^3 \times 3^2 \times 7
\]

\[
540 = 2^2 \times 3^3 \times 5
\]

b.

Pour rendre la fraction \(\frac{504}{540}\) irréductible, nous devons diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Les facteurs premiers communs sont \(2^2\) et \(3^2\), donc :

\[
\text{PGCD}(504, 540) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36
\]

Alors :

\[
\frac{504}{540} = \frac{504 : 36}{540 : 36} = \frac{14}{15}
\]

La fraction irréductible de \(\frac{504}{540}\) est donc :

\[
\frac{14}{15}
\]

Exercice 21 : rendre la fraction irréductible
Pour simplifier la fraction \(\frac{1204}{258}\), nous devons trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) de 1204 et 258 et diviser le numérateur et le dénominateur par ce PGCD.

Tout d’abord, nous déterminons le PGCD de 1204 et 258 en utilisant l’algorithme d’Euclide :

\[
1204 : 258 = 4 \quad \text{avec un reste de} \quad 1204 – 4 \times 258 = 172
\]
\[
258 : 172 = 1 \quad \text{avec un reste de} \quad 258 – 1 \times 172 = 86
\]
\[
172 : 86 = 2 \quad \text{avec un reste de} \quad 172 – 2 \times 86 = 0
\]

Le PGCD de 1204 et 258 est donc 86.

Nous divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par 86 :

\[
\frac{1204}{258} = \frac{1204 : 86}{258 : 86} = \frac{14}{3}
\]

Ainsi, la fraction simplifiée au maximum est :

\[
\frac{1204}{258} = \frac{14}{3}
\]

Exercice 22 : plus grand commun diviseur
a. Quel est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres ?

Pour trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres \(1080\) et \(288\), nous utilisons leurs décompositions en facteurs premiers.

La décomposition en facteurs premiers de \(1080\) est:
\[ 1080 = 2^3 \times 3^3 \times 5 \]

La décomposition en facteurs premiers de \(288\) est:
\[ 288 = 2^5 \times 3^2 \]

Le PGCD est obtenu en prenant le plus petit exposant de chaque facteur commun aux deux décompositions.

Les facteurs premiers communs sont \(2\) et \(3\).

Pour \(2\):
Le plus petit exposant est \(3\).

Pour \(3\):
Le plus petit exposant est \(2\).

Donc:
\[ \text{PGCD}(1080, 288) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \]

b. Simplifie la fraction \( \frac{1080}{288} \) pour la rendre irréductible.

Pour simplifier la fraction \( \frac{1080}{288} \), nous utilisons le PGCD des deux nombres, que nous avons trouvé comme étant \(72\).

\[ \frac{1080}{288} = \frac{1080 : 72}{288 : 72} = \frac{15}{4} \]

La fraction simplifiée de \( \frac{1080}{288} \) est donc:
\[ \frac{1080}{288} = \frac{15}{4} \]

La fraction \( \frac{15}{4} \) ne peut plus être simplifiée, c’est la forme irréductible.

Exercice 23 : brins de muguet et roses
a. Pour trouver le nombre maximum de bouquets identiques que Julie peut faire en utilisant toutes les fleurs, nous devons déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de 182 et 78.

Commençons par la méthode de décomposition en facteurs premiers :

Pour 182 :
\[ 182 = 2 \times 91 \]
\[ 91 = 7 \times 13 \]
Donc, \( 182 = 2 \times 7 \times 13 \)

Pour 78 :
\[ 78 = 2 \times 39 \]
\[ 39 = 3 \times 13 \]
Donc, \( 78 = 2 \times 3 \times 13 \)

Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, avec le plus bas exposant.

Les facteurs premiers communs sont \( 2 \) et \( 13 \).

Le PGCD de 182 et 78 est :
\[ PGCD(182, 78) = 2 \times 13 = 26 \]

Ainsi, le nombre maximum de bouquets identiques que Julie pourra faire est de 26.

b. Pour connaître la composition de chaque bouquet, nous devons diviser le nombre total de chaque type de fleur par le PGCD.

Nombre de brins de muguet par bouquet :
\[ \frac{182}{26} = 7 \]

Nombre de roses par bouquet :
\[ \frac{78}{26} = 3 \]

La composition de chaque bouquet sera donc de 7 brins de muguet et 3 roses.

Exercice 24 : terrain rectangulaire et clôture
\[\]Correction de l’exercice:\[\]

a. Deux poteaux peuvent-ils être espacés de cinq mètres? De trois mètres?
Pour savoir si deux poteaux peuvent être espacés de cinq mètres ou de trois mètres, nous devons vérifier si 78 et 102 sont multiples de ces distances.

1. Vérifions pour 5 mètres:
\[ 78 : 5 = 15,6 \quad \text{(non entier, donc 78 n’est pas multiple de 5)} \]
\[ 102 : 5 = 20,4 \quad \text{(non entier, donc 102 n’est pas multiple de 5)} \]
Les poteaux ne peuvent donc pas être espacés de cinq mètres.

2. Vérifions pour 3 mètres:
\[ 78 : 3 = 26 \quad \text{(entier, donc 78 est multiple de 3)} \]
\[ 102 : 3 = 34 \quad \text{(entier, donc 102 est multiple de 3)} \]
Les poteaux peuvent donc être espacés de trois mètres.

b. Aurélien veut planter le moins de poteaux possible. Que peux-tu dire alors de la distance entre deux poteaux?
Pour minimiser le nombre de poteaux, Aurélien doit choisir la plus grande distance possible. Cette distance doit être un diviseur commun aux deux longueurs 78 et 102. Nous devons donc déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de 78 et 102.

Pour trouver le PGCD, nous utilisons l’algorithme d’Euclide:
\[ 102 = 78 \times 1 + 24 \]
\[ 78 = 24 \times 3 + 6 \]
\[ 24 = 6 \times 4 \]
Ainsi, le PGCD de 78 et 102 est 6. La plus grande distance entre deux poteaux est donc de 6 mètres.

c. Combien doit-il alors planter de poteaux?
Pour déterminer le nombre de poteaux, nous devons calculer le périmètre du rectangle et diviser par la distance entre les poteaux, en ajoutant un poteau à chaque coin.
Le périmètre \(P\) du rectangle est donné par:
\[ P = 2 \times (78 + 102) = 2 \times 180 = 360 \, \text{mètres} \]

En espaçant les poteaux de 6 mètres:
\[ \frac{360}{6} = 60 \]

Enfin, nous devons ajouter un poteau de plus pour fermer le tour du rectangle:
\[ \text{Nombre total de poteaux} = 60 \]

Aurélien doit planter 60 poteaux pour clore son terrain en espaçant les poteaux de six mètres.

Exercice 25 : guirlande électrique et lumières
Pour trouver le temps au bout duquel les lumières rouges et bleues s’allumeront en même temps pour la première fois, il faut déterminer le plus petit commun multiple (PPCM) des deux intervalles de temps auxquels elles s’allument, c’est-à-dire 4 secondes pour les lumières rouges et 6 secondes pour les lumières bleues.

Calculons d’abord la décomposition en facteurs premiers de ces deux nombres.

\(4 = 2^2\)

\(6 = 2 \times 3\)

Le PPCM est obtenu en prenant chaque facteur premier avec sa plus haute puissance :

\[
\text{PPCM}(4, 6) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12
\]

Donc, les lumières rouges et bleues s’allumeront simultanément toutes les 12 secondes.

Ainsi, le phénomène se reproduira pour la première fois après 12 secondes.

Exercice 26 : archéologie et arithmétique
1. Pour savoir si on peut quadriller le terrain avec des carrés de 33 cm de côté, convertissons d’abord les dimensions du terrain en centimètres :
\[ 6,6 \, m = 660 \, cm \]
\[ 8,58 \, m = 858 \, cm \]

Ensuite, on vérifie si 660 et 858 sont divisibles par 33 :
\[ \frac{660}{33} = 20 \, \text{(exact, donc divisible)} \]
\[ \frac{858}{33} = 26 \, \text{(exact, donc divisible)} \]

Donc, on peut quadriller le terrain avec des carrés de 33 cm de côté.

2. Décomposons 660 et 858 en produits de facteurs premiers :

\[ 660 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 11 \]
\[ 858 = 2 \times 3 \times 11 \times 13 \]

3. Pour déterminer la plus grande taille possible des carrés permettant de quadriller le terrain dont le côté est un entier supérieur à 33 cm, nous devons trouver le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de 660 et 858 :

\[ \text{Utilisons la décomposition en facteurs premiers :} \]
\[ \text{PGCD(660, 858) = 2 \times 3 \times 11 = 66} \]

Ainsi, la plus grande taille des carrés pour quadriller le terrain est de 66 cm.

Pour savoir combien de ces carrés de 66 cm de côté sont nécessaires pour quadriller le terrain, calculons :

\[ \text{Dimensions du terrain en carrés de 66 cm :} \]
\[ \frac{660}{66} = 10 \, \text{(dans la longueur)} \]
\[ \frac{858}{66} = 13 \, \text{(dans la largeur)} \]

Calculons le nombre total de carrés :
\[ 10 \times 13 = 130 \]
Donc, il faudra 130 carrés de 66 cm de côté pour quadriller le terrain.

Exercice 27 : entreprise et boîte en carton
L’énoncé nous informe que chaque boîte contient \(36\) pâtes de fruits en forme de cubes ayant une arête de \(2 \, \text{cm}\). Il est également précisé que \(20000\) pâtes de fruits doivent être rangées.

D’abord, nous devons déterminer combien de boîtes sont nécessaires pour contenir les \(20 000\) pâtes de fruits :

\[
\text{Nombre de boîtes} = \frac{20000}{36} \approx 555,56
\]

Nous devons donc commander \(\lceil 555,56 \rceil = 556\) boîtes (car on ne peut pas commander une fraction de boîte).

Chaque pâte de fruit ayant une arête de \(2 \, \text{cm}\), le volume d’une pâte est :

\[
V_{\text{pâte}} = 2^3 = 8 \, \text{cm}^3
\]

Le volume total des 36 pâtes de fruits dans une boîte est donc :

\[
V_{\text{boîte}} = 36 \times 8 = 288 \, \text{cm}^3
\]

Maintenant, considérons la forme de la boîte. Si nous disposons les \(36\) pâtes de fruits sous la forme d’un pavé droit, nous devons déterminer les dimensions optimales pour minimiser la quantité de carton. Un agencement possible pour minimiser la surface serait \(3\) en longueur, \(3\) en largeur et \(4\) en hauteur (car \(3 \times 3 \times 4 = 36\)).

Les dimensions optimales de la boîte seront donc :

\[
3 \times 2 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm} \quad (\text{longueur}) \\
3 \times 2 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm} \quad (\text{largeur}) \\
4 \times 2 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} \quad (\text{hauteur})
\]

Cela donne une boîte de dimensions \(6 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm}\).

La surface totale de carton nécessaire pour une boîte est alors :

\[
S_{\text{boîte}} = 2 \times (6 \times 6 + 6 \times 8 + 6 \times 8) = 2 \times (36 + 48 + 48) = 2 \times 132 = 264 \, \text{cm}^2
\]

Pour \(556\) boîtes, la surface totale de carton est :

\[
S_{\text{total}} = 556 \times 264 = 146784 \, \text{cm}^2 = 14,6784 \, \text{m}^2
\]

Avec un coût de \(15,50 \, \text{€} \) par \(1 \, \text{m}^2\), le coût total de la commande est :

\[
\text{Coût total} = 14,6784 \times 15,50 \approx 227,52 \, \text{€}
\]

Donc, le coût total de cette commande est d’environ \({227,52 \, €}\).

Exercice 28 : panneau mural et carreaux
1. {Peut-on utiliser des carreaux de 10 cm de côté ? 14 cm de côté ? 18 cm de côté ?}

Pour vérifier si l’on peut utiliser des carreaux de dimensions données, nous devons voir si ces dimensions divisent les dimensions du panneau mural sans reste.

– Pour 10 cm :
\[
\frac{240}{10} = 24 \quad \text{(entier)}
\]
\[
\frac{360}{10} = 36 \quad \text{(entier)}
\]
Donc, on peut utiliser des carreaux de 10 cm.

– Pour 14 cm :
\[
\frac{240}{14} \approx 17,14 \quad \text{(pas un entier)}
\]
\[
\frac{360}{14} \approx 25,71 \quad \text{(pas un entier)}
\]
Donc, on ne peut pas utiliser des carreaux de 14 cm.

– Pour 18 cm :
\[
\frac{240}{18} \approx 13,33 \quad \text{(pas un entier)}
\]
\[
\frac{360}{18} = 20 \quad \text{(entier)}
\]
Mais comme \( \frac{240}{18} \) n’est pas un entier, on ne peut pas utiliser des carreaux de 18 cm.

2. {Quelles sont toutes les tailles possibles de carreaux comprises entre 10 et 20 cm ?}

Nous devons trouver les tailles comprises entre 10 et 20 cm qui divisent à la fois 240 cm et 360 cm sans reste. Il s’agit des diviseurs communs de 240 et 360.

Les diviseurs de 240 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240.

Les diviseurs de 360 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

Les diviseurs communs de 240 et 360 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20.

Ainsi, les tailles de carreaux comprises entre 10 et 20 cm sont : 10 cm, 12 cm, 15 cm, 20 cm.

3. {On choisit des carreaux de 15 cm de côté. On pose une rangée de carreaux bleus sur le pourtour et des carreaux blancs ailleurs. Combien de carreaux bleus va-t-on utiliser ?}

La dimension du panneau mural est de 240 cm par 360 cm. Avec des carreaux de 15 cm de côté, nous avons :
\[
\frac{240}{15} = 16 \quad \text{carreaux pour la longueur de 240 cm}
\]
\[
\frac{360}{15} = 24 \quad \text{carreaux pour la longueur de 360 cm}
\]

Pour calculer le nombre de carreaux bleus sur le pourtour, nous devons considérer le périmètre du panneau :
Il y a 2 rangées horizontales (en haut et en bas) et 2 rangées verticales (à gauche et à droite) constituant le pourtour.

– Rangées horizontales (haut et bas) :
24 carreaux par rangée. Deux rangées donnent :
\[
2 \times 24 = 48
\]

– Rangées verticales (gauche et droite) :
16 carreaux par rangée, mais les coins ont déjà été comptés dans les rangées horizontales. On retire donc 2 carreaux à chaque rangée verticale. Deux rangées donnent :
\[
2 \times (16 – 2) = 2 \times 14 = 28
\]

Total des carreaux bleus :
\[
48 + 28 = 76
\]

Le nombre de carreaux bleus qu’on va utiliser est de 76.

Exercice 29 : barquettes de nems et samossas
1. Décomposons les nombres 162 et 108 en produits de facteurs premiers.

\[
162 = 2 \times 81 = 2 \times 3^4
\]

\[
108 = 2^2 \times 54 = 2^2 \times 3^3
\]

Donc, les décompositions en facteurs premiers sont :
\[
162 = 2 \times 3^4
\]

\[
108 = 2^2 \times 3^3
\]

2. Deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10.

Pour déterminer les diviseurs communs, nous devons prendre les facteurs premiers en commun avec leurs plus petites puissances communes :
\[
\text{PGCD de 162 et 108} = 2^1 \times 3^3 = 54
\]

Donc, 54 est un diviseur commun plus grand que 10. Un autre diviseur, qui est plus grand que 10, peut être trouvé en divisant 54 par un facteur premier qui diminue la puissance jusqu’à la puissance commune minimale. Ainsi, 18 est un autre diviseur commun :
\[
2^1 \times 3^2 = 18
\]

3. Pour que chaque barquette contienne le même nombre de nems et de samossas, tout en utilisant tous les nems et samossas, nous devons trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) de 162 et 108 pour maximiser le nombre de barquettes.

Le PGCD de 162 et 108 est 54. Donc, le nombre maximal de barquettes est 54. Calculons les détails :

a. Le cuisinier peut-il réaliser 36 barquettes ? Vérifions si 36 est un diviseur commun :
Non, 36 n’est pas un diviseur commun de 162 et 108, donc il ne peut pas réaliser 36 barquettes.

b. Le nombre maximal de barquettes que le cuisinier pourra réaliser :
\[
\text{PGCD de 162 et 108} = 54
\]

Ainsi, il pourra réaliser 54 barquettes.

c. Combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette si le nombre maximal de barquettes est réalisé ?

Le nombre de nems par barquette :
\[
\frac{162}{54} = 3
\]

Le nombre de samossas par barquette :
\[
\frac{108}{54} = 2
\]

Donc, il y aura 3 nems et 2 samossas dans chaque barquette.

Exercice 30 : affirmations vraies ou fausses
Affirmation 1 : Les diviseurs communs à 12 et 18 sont les mêmes que les diviseurs de 6.

Les diviseurs de 12 sont \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
Les diviseurs de 18 sont \(1, 2, 3, 6, 9, 18\).
Les diviseurs communs à 12 et 18 sont \(1, 2, 3, 6\).

Les diviseurs de 6 sont \(1, 2, 3, 6\).

Les diviseurs communs à 12 et 18 sont donc bien les mêmes que les diviseurs de 6.

Affirmation correcte.

Affirmation 2 : 4 n’admet que deux diviseurs.

Les diviseurs de 4 sont \(1, 2, 4\).

L’affirmation est incorrecte car 4 admet trois diviseurs.

Affirmation 3 : Deux nombres impairs n’ont que 1 comme diviseur commun.

Prenons deux nombres impairs quelconques, par exemple 9 et 15.

Les diviseurs de 9 sont \(1, 3, 9\).
Les diviseurs de 15 sont \(1, 3, 5, 15\).
Leur seul diviseur commun est \(1\).

Affirmation correcte.

Affirmation 4 : Tous les nombres premiers sont impairs.

Les nombres premiers sont les nombres qui n’ont que deux diviseurs, 1 et eux-mêmes. Par exemple, \(2, 3, 5, 7\), etc.
Cependant, \(2\) est un nombre premier et il est pair, ce qui contredit l’affirmation.

Affirmation incorrecte.

Affirmation 5 : Tous les nombres impairs sont premiers.

Prenons un nombre impair comme \(9\).
Les diviseurs de 9 sont \(1, 3, 9\).
9 est donc divisible par un autre nombre que \(1\) et lui-même, ce qui signifie qu’il n’est pas premier.

Affirmation incorrecte.

Exercice 31 : rechercher un nombre entier
Soit \( x \) un nombre entier.

1. J’ajoute 3 à \( x \) :
\[
x + 3
\]

2. Je multiplie le résultat par 7 :
\[
7(x+3) = 7x + 21
\]

3. J’ajoute le triple du nombre de départ (c’est-à-dire \( 3x \)) au résultat :
\[
7x + 21 + 3x = 10x + 21
\]

4. J’enlève 21 :
\[
10x + 21 – 21 = 10x
\]

Ainsi, le résultat obtenu est toujours \( 10x \), qui est un multiple de 10 pour tout nombre entier \( x \).

Donc, l’affirmation est vraie.

Exercice 32 : un panneau mural
1. Peut-on utiliser des carreaux de : 10 cm de côté? 14 cm de côté? 18 cm de côté?

Pour répondre à cette question, il faut vérifier si les dimensions 240 cm et 360 cm sont divisibles par les dimensions des carreaux envisagés.

– Pour des carreaux de 10 cm de côté :
\( \frac{240}{10} = 24 \) et \( \frac{360}{10} = 36 \)

Les deux dimensions sont divisibles par 10. Donc, les carreaux de 10 cm conviennent.

– Pour des carreaux de 14 cm de côté :
\( \frac{240}{14} \approx 17.14 \) (pas un entier) et \( \frac{360}{14} \approx 25.71 \) (pas un entier)

Les deux dimensions ne sont pas divisibles par 14. Donc, les carreaux de 14 cm ne conviennent pas.

– Pour des carreaux de 18 cm de côté :
\( \frac{240}{18} \approx 13.33 \) (pas un entier) et \( \frac{360}{18} = 20 \)

La dimension 240 cm n’est pas divisible par 18. Donc, les carreaux de 18 cm ne conviennent pas.

2. Quelles sont toutes les tailles possibles de carreaux comprises entre 10 et 20 cm?

Il faut trouver tous les diviseurs communs de 240 et 360 qui sont compris entre 10 et 20.

Les diviseurs de 240 sont :
\( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240 \)

Les diviseurs de 360 sont :
\( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 \)

Les diviseurs communs de 240 et 360 compris entre 10 et 20 sont :
\( 10, 12, 15, 20 \)

3. On choisit des carreaux de 15 cm de côté. On pose une rangée de carreaux bleus sur le pourtour et des carreaux blancs ailleurs. Combien de carreaux bleus va-t-on utiliser?

– Nombre de carreaux de 15 cm le long de 240 cm :
\( \frac{240}{15} = 16 \)

– Nombre de carreaux de 15 cm le long de 360 cm :
\( \frac{360}{15} = 24 \)

Pour le pourtour, nous devons compter les carreaux sur les bords.

– Les deux longueurs de 240 cm ont chacune 16 carreaux, donc \( 2 \times 16 = 32 \) carreaux.
– Les deux longueurs de 360 cm ont chacune 24 carreaux, donc \( 2 \times 24 = 48 \) carreaux.

Cependant, les coins sont comptés deux fois, donc nous devons les soustraire une fois chacun. Il y a 4 coins.

Donc, nombre total de carreaux bleus :
\[ 32 + 48 – 4 = 76 \]

On utilisera donc 76 carreaux bleus pour le pourtour.

Exercice 33 : motifs et carreaux de mosaïque
1. Combien de carreaux blancs Gaspard va-t-il utiliser pour border le carré gris du motif 4 (un carré ayant 4 carreaux gris de côté) ?

Pour le motif 4, nous avons un carré gris de 4 \(\times \) 4 carreaux. Les carreaux blancs forment une bordure tout autour de ce carré.
– Nombre de carreaux blancs au-dessus: \(4 + 2 = 6\)
– Nombre de carreaux blancs en dessous: \(4 + 2 = 6\)
– Nombre de carreaux blancs à gauche: \(4\) (sans compter les coins déjà pris en compte)
– Nombre de carreaux blancs à droite: \(4\) (sans compter les coins déjà pris en compte)

Donc, le nombre total de carreaux blancs est:

\[
6 + 6 + 4 + 4 = 20
\]

2.a. Justifier que Gaspard peut réaliser un motif de ce type en utilisant exactement 144 carreaux gris.

Pour justifier cela, calculons le côté \( n \) du carré qui utilise 144 carreaux gris.

\[ n^2 = 144 \]
\[ n = \sqrt{144} = 12 \]

Donc, un carré de 12 \(\times \) 12 carreaux gris utilise exactement 144 carreaux gris.

2.b. Combien de carreaux blancs utilisera-t-il alors pour border le carré gris obtenu?

\[
n = 12
\]

Le nombre de carreaux blancs à utiliser pour former la bordure est:

– Le carré de bordure aura \( 12 + 2 = 14 \) carreaux de côté.
– Nombre total de carreaux (gris + blancs) = \( 14^2 = 196 \)
– Nombre de carreaux gris = \( 12^2 = 144 \)

Donc, le nombre de carreaux blancs est:

\[
196 – 144 = 52
\]

3. Une seule de ces trois expressions ne convient pas. Laquelle?

– Expression n°1 : \( 2 \times n + 2 \times (n + 2) \)
– Expression n°2 : \( 4 \times (n + 2) \)
– Expression n°3 : \( 4 \times (n + 2) – 4 \)

Analysons chaque expression :

– \( 2 \times n + 2 \times (n + 2) \)
\[ 2n + 2(n+2) = 2n + 2n + 4 = 4n + 4 \]

– \( 4 \times (n + 2) \)
\[ = 4n + 8 \]

– \( 4 \times (n + 2) – 4 \)
\[ 4(n+2) – 4 = 4n + 8 – 4 = 4n + 4 \]

Nous voyons que l’expression \( 4 \times (n + 2) \) ne convient pas car elle donne \( 4n + 8 \) et non \( 4n + 4 \).

Exercice 34 : une surface à paver
1. Pour savoir si Carole peut utiliser des carreaux de 3 cm de côté ou 6 cm de côté, il faut que les dimensions du rectangle (108 cm par 225 cm) soient divisibles par la dimension du carreau.

– \[\]Carreaux de 3 cm de côté :\[\]
– Division de 108 par 3 :
\[
108 : 3 = 36
\]
– Division de 225 par 3 :
\[
225 : 3 = 75
\]
– Les deux dimensions sont divisibles par 3, donc les carreaux de 3 cm de côté peuvent être utilisés.

– \[\]Carreaux de 6 cm de côté :\[\]
– Division de 108 par 6 :
\[
108 : 6 = 18
\]
– Division de 225 par 6 :
\[
225 : 6 = 37,5
\]
– 225 n’est pas divisible par 6, donc les carreaux de 6 cm de côté ne peuvent pas être utilisés.

2. Pour déterminer la dimension maximale des carreaux, il faut trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) des dimensions 108 cm et 225 cm.

– Utilisation de l’algorithme d’Euclide :
\[
\begin{aligned}
225 = 108 \times 2 + 9 \\
108 = 9 \times 12 + 0 \\
\end{aligned}
\]
– Le PGCD de 108 et 225 est donc 9.

– La dimension maximale des carreaux que Carole peut poser est de 9 cm de côté.

– Pour déterminer le nombre de carreaux nécessaires :
\[
\text{Nombre de carreaux} = (\frac{108}{9}) \times (\frac{225}{9}) = 12 \times 25 = 300
\]

En conclusion :
1. Carole peut utiliser des carreaux de 3 cm de côté mais pas de 6 cm de côté.
2. La dimension maximale des carreaux que Carole peut poser est de 9 cm de côté, et elle utilisera 300 carreaux.