Segments, droites et constructions : exercices de maths en 6ème corrigés à télécharger en PDF

a. Placer quatre points comme ci-dessous.

b. Tracer les segments [MT] et [SN]. Se coupent-ils ? Si oui, noter P ce point commun.

c. Tracer les droites (MN) et (ST). Se coupent-elles ? Si oui, noter R ce point commun.

Reproduire cette figure et placer le point D commun à la droite (AM) et à la demi-droite [ER).

1. Tracer cette figure où (d) est une droite qui passe par le point C.

2. Tracer la perpendiculaire à la droite (d) qui passe :

a. par A ; b. par B ; c. par C.

Tracer cette figure et construire :

a. les droites perpendiculaires aux droites \((d_{1})\) et \((d_{2})\) et passant par le point S ;

b. les droites perpendiculaires aux droites \((d_{1})\) et \((d_{2})\) et passant par le point T.

Le point O est commun aux droites (AB) et (CD). Lire chaque affirmation et dire si elle est vraie ou fausse.

a. Les points A, O, D sont alignés.

b. \(\mathrm{O}\in[\mathrm{AB}]\). c. \(\mathrm{O}\in[\mathrm{DC}]\).

d. Les segments [AB] et [CD] n’ont pas de point commun.

e. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en O.

En utilisant des lettres de la figure, nommer de trois façons :

a. la droite \((d)\) ;

b. la droite \((d^{\prime})\).

Observer ces deux figures. Qui a raison ?

Zoé : « Dans les deux cas, les droites \((d_{1})\) et \((d_{2})\) sont perpendiculaires. »

Arthur : « Pour la figure 1 on n’en est pas sûr. »

a. Sur quelle figure la médiatrice \((d)\) du segment [AB] est-elle correctement tracée ?

1

2

3

b. Quelles sont les erreurs sur les autres figures ?

1. Placer six points comme ci-contre.

2. Dans chaque cas, écrire avec les notations mathématiques et compléter la figure.

a. Le segment d’extrémités les points A et B.

b. La droite passant par les points C et D.

c. La demi-droite d’origine B passant par E.

d. Un point I appartenant à la droite qui passe par les points E et F.

Les points A, M, N, P et B sont alignés.

Recopier chaque expression en complétant par \(\in\) ou \(\notin\), puis lire à voix haute.

a. M … [AB] b. P … [MN] c. B … (AN)

d. N … (BP) e. M … [AN] f. A … [PM]

Recopier les phrases et observer la figure pour les compléter.

a. Les droites \((d_{1})\) et \((d_{2})\) se coupent en … .

b. Le point commun aux droites \((d_{3})\) et \((d_{4})\) est … .

c. D est le point commun aux droites … et … .

d. Les droites \((d_{2})\) et \((d_{3})\) … au point … .

e. A est le point … aux … .

Recopier les phrases en les complétant.

a. Les droites \((d_{1})\) et \((d_{2})\) sont sécantes en … .

b. Le point d’intersection des droites \((d_{2})\) et \((d_{3})\) est … .

c. B est … d’intersection des droites … et … .

d. C est le point … des droites … et … .

e. Les droites \((d_{3})\) et \((d_{4})\) sont … .

f. Les droites \((d_{2})\) et \((d_{4})\) sont … en … .

a. Tracer cette figure.

b. Tracer la droite \((d_{1})\) parallèle à la droite (AC) et passant par D.

c. Tracer la droite \((d_{2})\) parallèle à la droite (BC) et passant par D.

Emma : « Je suis certaine que les droites \((d_{1})\) et \((d_{2})\) sont parallèles. »

Emma a-t-elle raison ? Expliquer.

Raisonner • Communiquer

Sur cette figure, les droites \((d)\) et \((d^{\prime})\) sont parallèles. Qui a raison ? Expliquer.

Enzo : « \((d_{3})\) est perpendiculaire à \((d)\). »

Inès : « Pas d^{\prime}accord ! \((d_{2})\) est perpendiculaire à \((d)\). »

Problème

Retrouver les noms des huit points ci-contre grâce à ces informations :

• les points A, B et G sont alignés ;
• les droites (CG) et (BE) sont sécantes en H ;
• \((\mathrm{DF})\perp(\mathrm{BD})\) ;
• \((\mathrm{AB})\parallel(\mathrm{CE})\) ;
• \(\mathrm{F}\in[\mathrm{CE}]\) ;
• \(\mathrm{C}\in[\mathrm{EF}]\).

Raconter sur une feuille les différentes étapes de la recherche et les remarques qui ont fait changer de méthode ou qui ont permis de trouver.

a. Tracer cette figure, où A, B, C sont trois points alignés.

b. Tracer le segment [MC] en noir, la droite (AM) en vert, la demi-droite [MB) en bleu.

Conseil

Tu peux t’aider du tableau page 180.

segment [AB]

droite (AB)

Sam a rédigé un texte pour expliquer pourquoi les droites (AC) et (BD) ci-contre sont parallèles. Mais son texte est en miettes !

Recopier ces bouts de phrases dans le bon ordre, en mettant les majuscules nécessaires et en ponctuant.

• sont perpendiculaires
• donc je peux affirmer
• d’après les codages
• les droites (AC) et (BD)
• qu’elles sont parallèles
• à la droite (AB)

L’agent secret

La situation-problème

Un agent secret doit se rendre dans cinq villes de France. Les consignes lui sont parvenues par courriel. Quelles sont ces cinq villes ?

Les supports de travail

Une photocopie du doc. 2, les instruments de géométrie.

Doc. 2 Carte de France

Doc. 1 Le courriel

Objet : CONFIDENTIEL

Bonjour,

Voici les villes où vous devez vous rendre.

• La 1re ville est alignée avec Toulouse (T) et Saint-Étienne (S).
• La 2e ville, qu’on désigne par X, appartient à la droite perpendiculaire à la droite (TS) qui passe par Limoges.
• La 3e ville, qu’on désigne par Y, appartient à la droite parallèle à la droite (XD) qui passe par Paris.
• La 4e ville, qu’on désigne par Z, appartient à la droite parallèle à la droite (YB) qui passe par Nancy.
• La 5e ville appartient à la médiatrice du segment [ZL], à l’ouest d’une ligne passant par Dijon et Marseille.

Cordialement,

L’équipe secrète

Toute piste de recherche, même non aboutie, figurera sur la feuille.

Écris un programme de construction qui permet d’obtenir la figure suivante.

Recopie et complète les phrases suivantes.

a. \((d_{5})\) est … droite … à la droite \((d_{1})\) passant par le point … ;

b. \((d_{4})\) est la droite … à la droite \((d_{2})\) en … ;

c. \((d_{3})\) est … droite … à la droite \((d_{4})\).

Voici les quatre étapes d’une construction.

Pour chacune des quatre phrases suivantes, indique à quelle étape elle correspond.

Phrase A : Trace la droite (d), perpendiculaire à la droite (AB), passant par le point M.

Phrase B : Place deux points distincts A et B.

Phrase C : Place un point M n’appartenant pas à la droite (AB).

Phrase D : Trace la droite (AB).

Figure à observer : droites perpendiculaires (d1) et (d2) codées avec des angles droits.

À partir d’un carré de 20 carreaux de côté, réalise ce dessin en traçant juste des segments.

a. Quel est le point d’intersection des droites…

• \((d_1)\) et \((d_2)\) ? \(\quad\) \((d_2)\) et \((d_3)\) ? \(\quad\) \((d_3)\) et \((d_4)\) ?

b. Complète chaque phrase.

• N est le point d’intersection des droites … .
• E est le point d’intersection des droites … .
• S est le point d’intersection des droites … .

On considère le pentagone ci-dessous.

a. Donne quatre autres façons de nommer la droite (EC).

b. Quels points sont alignés avec I et B ?

c. Quel est le point d’intersection des droites (AC) et (BD) ? Et celui des droites (CE) et (AD) ?

Pour fabriquer un ovale, les ébénistes réalisent une construction à la règle et au compas.

Voici les constructions réalisées :

Le segment [AB] a 8 cm de longueur, \(\text{AI}=\text{IO}=\text{OJ}=\text{JB}\).

Les cercles de centre I, O et J ont le même rayon.

Les cercles de centres I et O se coupent en K et G. Les segments [CG] et [KF] sont des diamètres du cercle de centre I.

Les cercles de centres J et O se coupent en H et L.

Les segments [DL] et [HE] sont des diamètres du cercle de centre J.

Les droites (IG) et (JL) se coupent en N.

Les droites (IK) et (JH) se coupent en M.

L’arc de cercle de centre M a pour extrémités E et F.

L’arc de cercle de centre N a pour extrémités C et D.

Reproduire cette figure en prenant AB = 8 cm.

Ces figures ont été tracées à main levée.

Un ballon de football n’est pas parfaitement rond. Il est composé de 32 pièces qui sont des hexagones et des pentagones comme l’indique le dessin ci-dessous :

Reproduis ce dessin en prenant 3,5 cm pour longueur des côtés des polygones.

Mesurer des angles

Mesurer les angles suivants et les ranger dans l’ordre croissant :

Tracer des angles

Tracer les angles suivants :

\(\widehat{xOy}=15^{\circ}\) \(\quad\) \(\widehat{ABC}=95^{\circ}\) \(\quad\) \(\widehat{UCV}=120^{\circ}\)

\(\widehat{MDN}=170^{\circ}\) \(\quad\) \(\widehat{xEz}=45^{\circ}\) \(\quad\) \(\widehat{VFW}=135^{\circ}\)

Construire des triangles

Construire les dessins en respectant les mesures indiquées.

Construction guidée

1. Marguerite est une gentille coccinelle très obéissante. Léon, son dompteur, lui a demandé de se déplacer comme ceci :
   1. avancer de 5 cm puis tourner vers la gauche de \(90^{\circ}\) (elle sait reconnaître sa gauche !) ;
   2. recommencer à nouveau trois fois.
   3. Les pattes de Marguerite étaient mouillées et elle a laissé une trace sur le plateau où elle se déplace. Représenter le dessin que Marguerite a tracé.
2. Marguerite doit maintenant effectuer le programme suivant :
   1. avancer de 4 cm puis tourner vers la droite de \(60^{\circ}\) ;
   2. recommencer à nouveau 5 fois.
   3. Quel dessin obtient-on maintenant ?
3. Léon ne recule devant rien ! En effet, il veut maintenant que Marguerite fasse ce mouvement :
   1. avancer de 4 cm puis tourner vers la droite de \(135^{\circ}\) ;
   2. avancer de 4 cm puis tourner vers la gauche de \(90^{\circ}\) ;
   3. recommencer à nouveau tout ceci 7 fois !
   4. Tracer le parcours de Marguerite.

Tracer un segment [LU] tel que \(\text{LU}=10\) cm.

Placer le point E sur ce segment à 6,4 cm du point U.

Construire la droite perpendiculaire en E à la droite (LU).

Placer un point B sur cette droite à 4,8 cm de E. Tracer les segments [BL] et [BU].

a. Y a-t-il une seule construction possible ?

b. Que peut-on dire des droites (BL) et (BU) ? (à justifier)

1. On a réalisé et codé une figure :

Citer des droites perpendiculaires à (IC).

2. D’après la figure, certaines droites semblent parallèles. Lesquelles ?

À l’aide d’une propriété du cours, démontrer que ces deux droites sont parallèles.

Compléter sur cette feuille en utilisant les symboles \(\in\) et \(\notin\).

a) A…….[IJ] \(\qquad\) b) I…….[AJ]

c) H…….[IB) \(\qquad\) d) J…….[IA)

1. Reproduire cette figure sur votre feuille, en respectant les mesures.

2. Démontrer que les droites (BE) et (CF) sont parallèles.