Corrigé des 34 exercices sur les segments, droites et constructions en 6ème à télécharger en PDF

a. On place les quatre points M, N, S, T en respectant leurs positions.

Également, b. Un segment s’arrête à ses extrémités. Puis les segments [MT] et [SN] se croisent entre les quatre points : oui, ils se coupent, en un point que l’on note P.

Par conséquent, c. Une droite est illimitée : on prolonge (MN) et (ST) au-delà des points. De plus, elles ne sont pas parallèles (elles se rapprochent vers la droite) : oui, elles se coupent, en un point R situé assez loin à droite de N et T. Ensuite, il faut parfois prolonger longuement les tracés.

On repère les points sur le quadrillage : en partant de A, M est à 1 carreau à droite et 2 carreaux en haut ; en partant de E, R est à 2 carreaux à gauche et 1 carreau en bas.

• La droite (AM) se prolonge des deux côtés : au-delà de A, elle descend de 2 carreaux pour 1 carreau vers la gauche.
• La demi-droite [ER) part de E, passe par R et continue au-delà de R (mais pas au-delà de E).

En effet, les deux tracés se rencontrent au point D, situé 1 carreau à gauche et 2 carreaux en dessous de A. D est bien sur la demi-droite, du côté de R.

1. On trace une droite (d), on marque C dessus, puis A et B de part et d’autre.

Ensuite, 2. Méthode à l’équerre : on pose un côté de l’angle droit de l’équerre le long de (d), on fait glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par le point, puis on trace. Par ailleurs, on code l’angle droit.

• a. perpendiculaire à (d) passant par A (en rouge) ;
• b. perpendiculaire à (d) passant par B (en bleu) ;
• c. perpendiculaire à (d) passant par C (en vert) : ici le point est sur (d), l’angle droit est en C.

De plus, les trois droites tracées sont perpendiculaires à la même droite (d) : elles sont donc parallèles entre elles.

On procède comme à l’exercice 3, avec l’équerre, une droite après l’autre.

• a. Par S : une perpendiculaire à (d₁) et une perpendiculaire à (d₂).
• b. Par T : une perpendiculaire à (d₁) et une perpendiculaire à (d₂).

On obtient 4 droites. Puis les deux perpendiculaires à (d₁) sont parallèles entre elles ; de même pour les deux perpendiculaires à (d₂).

• a. Fausse. A est sur (AB) et D est sur (CD) ; la droite (OD) est la droite (CD), qui ne passe pas par A. Les points A, O, D ne sont pas alignés.
• b. Vraie. O est situé entre A et B sur la droite (AB) : \( O \in [AB] \).
• c. Fausse. Sur la droite (CD), l’ordre est C, D, O : O n’est pas entre D et C, donc \( O \notin [DC] \).
• d. Vraie. Le seul point commun possible des deux droites est O, et O n’est pas sur [CD] : les segments [AB] et [CD] n’ont aucun point commun.
• e. Vraie. O est commun aux deux droites : (AB) et (CD) sont sécantes en O.

Une droite se nomme avec deux de ses points, dans n’importe quel ordre.

• a. Les points A, D et B sont sur (d) : \( (d) = (AD) = (AB) = (DB) \) (on peut aussi écrire (DA), (BA), (BD)).
• b. Les points E, C et B sont sur (d′) : (d′) = (EC) = (EB) = (CB) (ou (CE), (BE), (BC)).

Par ailleurs, Attention : A et C ne sont pas sur la même de ces deux droites, (AC) est une troisième droite.

Sur une figure, deux droites ne sont perpendiculaires que si l’angle droit est codé (petit carré) ou vérifié avec l’équerre. Ensuite, une droite qui « a l’air » droite ne suffit pas.

• Figure 2 : l’angle droit est codé, (d₁) et (d₂) sont perpendiculaires.
• Figure 1 : aucun codage. À l’œil les droites semblent presque perpendiculaires, mais on ne peut pas l’affirmer ; il faudrait vérifier à l’équerre (et (d₁) est d’ailleurs légèrement penchée).

La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire au segment et qui passe par son milieu. Puis il faut les deux conditions.

Ainsi, a. La médiatrice est correctement tracée sur la figure 2 : angle droit codé et deux moitiés codées égales.

Donc, b. Erreurs sur les autres figures :

• Figure 1 : (d) passe bien par le milieu de [AB] (codage des moitiés égales), mais elle n’est pas perpendiculaire à [AB] (elle est verticale, le segment est penché).
• Figure 3 : (d) est bien perpendiculaire à [AB], mais elle ne passe pas par le milieu : 0,8 cm d’un côté et 1,2 cm de l’autre. Le milieu est à \( 2 \div 2 = 1 \) cm de A.

1. On place les six points sur le quadrillage comme sur le modèle.

Également, 2. Les notations :

• a. Le segment d’extrémités A et B : [AB] (crochets : on s’arrête aux deux points).
• Dans corrigé segments 6ème, b. La droite passant par C et D : (CD) (parenthèses : illimitée des deux côtés).
• c. La demi-droite d’origine B passant par E : [BE) (crochet du côté de l’origine B).
• d. Un point I de la droite (EF) : \( I \in (EF) \). On place I n’importe où sur (EF), ici dans le prolongement de F vers E.

Les points sont dans l’ordre A, M, N, P, B sur une même droite. De plus, un point appartient à un segment s’il est entre les extrémités ; il appartient à une droite dès qu’il est aligné avec les deux points.

• a. \( M \in [AB] \) : « M appartient au segment AB ».
• b. \( P \notin [MN] \) : « P n’appartient pas au segment MN ».
• c. \( B \in (AN) \) : « B appartient à la droite AN ».
• d. \( N \in (BP) \) : « N appartient à la droite BP ».
• e. \( M \in [AN] \) : « M appartient au segment AN ».
• f. \( A \notin [PM] \) : « A n’appartient pas au segment PM ».

On commence par repérer, pour chaque point, les deux droites qui passent par lui :

• (d₁), la droite violette, passe par A, B et C ;
• (d₂), la droite verte, passe par D, F et C ;
• (d₃), la droite bleue, passe par E, F et B ;
• (d₄), la droite rouge, passe par A, D et E.

Par conséquent, le point d’intersection de deux droites est le seul point qui appartient aux deux droites.

• a. Les droites (d₁) et (d₂) se coupent en C.
• b. Le point commun aux droites (d₃) et (d₄) est E.
• c. D est le point commun aux droites (d₂) et (d₄).
• d. Les droites (d₂) et (d₃) se coupent (sont sécantes) au point F.
• e. A est le point commun (point d’intersection) aux droites (d₁) et (d₄).

On lit sur la figure : (d₁) passe par B, D et C ; (d₂) passe par A, D et E ; (d₃) passe par A et B ; (d₄) passe par E et C, et l’angle droit est codé en E entre (d₂) et (d₄).

• a. Les droites (d₁) et (d₂) sont sécantes en D.
• b. Le point d’intersection des droites (d₂) et (d₃) est A.
• c. B est le point d’intersection des droites (d₁) et (d₃).
• d. C est le point d’intersection (point commun) des droites (d₁) et (d₄).
• e. Les droites (d₃) et (d₄) sont sécantes : leur point d’intersection n’est pas dessiné, il se trouve plus haut, en dehors du cadre, mais deux droites qui ne sont pas parallèles se coupent toujours si on les prolonge.
• f. Les droites (d₂) et (d₄) sont perpendiculaires en E (c’est le petit carré qui l’indique).

a. On reproduit le triangle ABC et le point D à l’intérieur, en gardant à peu près les mêmes positions (le côté [BC] horizontal, A en haut, D près du côté [AB]).

En effet, b. Pour tracer la parallèle à (AC) passant par D, on utilise la règle et l’équerre :

1. on place un côté de l’angle droit de l’équerre le long de (AC) ;
2. on pose la règle contre l’autre côté de l’angle droit ;
3. on fait glisser l’équerre le long de la règle, sans bouger la règle, jusqu’à ce que le côté de l’équerre passe par D ;
4. on trace la droite (d₁) le long de ce côté.

Ensuite, c. Même méthode avec le côté (BC) : la droite (d₂) passe par D et ne coupe jamais (BC). Comme (BC) est ici horizontale, (d₂) est elle aussi horizontale.

De plus, on vérifie : (d₁) « suit la même direction » que (AC) et coupe [AB] et [BC] ; (d₂) coupe [AB] et [AC]. Ensuite, les deux droites se coupent en D.

Sur la figure, deux angles droits sont codés : la droite (d₁) est perpendiculaire à (d) et la droite (d₂) est aussi perpendiculaire à (d).

Par ailleurs, On utilise la propriété du cours : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Ici, (d₁) ⊥ (d) et (d₂) ⊥ (d), donc (d₁) // (d₂). Emma n’a pas besoin de mesurer : les codages suffisent pour être sûre.

On regarde uniquement ce qui est sûr : les informations de l’énoncé et les codages.

• Sur cette fiche corrigé segments 6ème, on sait que (d) // (d′) (c’est dit dans l’énoncé).
• Le seul angle droit codé est entre (d₂) et (d′) : donc (d₂) ⊥ (d′).

Ainsi, Propriété : si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Comme (d) // (d′) et (d₂) ⊥ (d′), on en déduit que (d₂) ⊥ (d).

Donc, pour (d₃), aucun angle droit n’est codé : on ne peut pas affirmer qu’elle est perpendiculaire à (d). D’ailleurs, sur le dessin, (d₃) est un peu plus penchée que (d₂) : elle ne semble même pas perpendiculaire à (d).

On observe d’abord la figure : les points 1, 2, 3 sont sur la droite verticale de gauche, les points 5, 6, 7, 8 sur celle de droite ; la droite horizontale passe par 3 et 8 avec deux angles droits codés ; le point 4 est à l’intersection des trois segments [1 ; 7], [2 ; 6] et [3 ; 5]. Par ailleurs, les deux verticales sont perpendiculaires à la même droite, donc parallèles.

Étape 1 : le point D. (DF) ⊥ (BD) : il y a un angle droit en D. Puis les seuls angles droits sont en 3 et en 8, donc D est le point 3 ou le point 8.

De même, Étape 2 : première piste (elle échoue). On essaie D = 3 avec B = 8 sur l’horizontale. Alors (AB) serait la verticale de droite (car (AB) // (CE) et les seules droites parallèles sont les deux verticales) et (CE) la verticale de gauche. Mais F est sur [CE) donc aussi sur la verticale de gauche, qui contiendrait D, C, E et F : quatre points alors qu’elle n’en a que trois. Impossible. Ensuite, les autres essais avec D = 3 (ou avec F sur l’horizontale) conduisent eux aussi à trop de points sur une des verticales, ou à F ∉ [CE).

Suite du corrigé corrigé segments 6ème

Étape 3 : la bonne piste. D = 8 et B = 3 (B sur l’horizontale, F sur la verticale de droite).

• A, B, G sont alignés et (AB) // (CE) : A et G sont sur la verticale de gauche avec B = 3, donc {A ; G} = {1 ; 2}.
• C, E, F sont alors sur la verticale de droite, avec D = 8 : {C ; E ; F} = {5 ; 6 ; 7}.
• Le 8e point, H, est le point 4 : H = 4.
• (BE) passe par H : la droite qui part de 3 et passe par 4 arrive en 5, donc E = 5.
• F ∈ [CE) et C ∈ [EF) : en partant de E = 5 vers le bas, on rencontre d’abord F puis C, donc F = 6 et C = 7.
• (CG) passe par H : la droite qui part de 7 et passe par 4 arrive en 1, donc G = 1 et il reste A = 2.

Ensuite, Vérification : A, B, G (2, 3, 1) sont sur la verticale de gauche, donc alignés ; (CG) et (BE) se coupent en 4 = H ; (DF) est la verticale de droite, (BD) l’horizontale : elles sont perpendiculaires ; (AB) et (CE) sont les deux verticales, parallèles ; F = 6 est bien sur la demi-droite [CE) qui part de 7 et monte vers 5 ; C = 7 est bien sur [EF) qui part de 5 et descend en passant par 6.

a. On trace une droite, on y place trois points A, B et C dans cet ordre, puis un point M en dehors de la droite, au-dessus, à peu près au-dessus de C.

De plus, b. On applique le vocabulaire :

• le segment [MC] (en noir) s’arrête en M et en C : c’est un trait qui a deux extrémités ;
• la droite (AM) (en vert) passe par A et M et se prolonge des deux côtés, jusqu’au bord de la feuille ;
• la demi-droite [MB) (en bleu) a pour origine M : elle commence en M, passe par B et continue au-delà de B, mais ne dépasse pas M de l’autre côté.

Un raisonnement se construit dans l’ordre : ce qu’on sait (les codages), puis la propriété qui s’applique, puis la conclusion.

• Ce qu’on sait : « D’après les codages, les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires à la droite (AB) ».
• La conclusion, introduite par « donc » : « donc je peux affirmer qu’elles sont parallèles ».

Par ailleurs, Le texte remis en ordre, avec la majuscule et la ponctuation :

« D’après les codages, les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires à la droite (AB), donc je peux affirmer qu’elles sont parallèles. »

Ainsi, ce raisonnement utilise la propriété : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

On travaille sur la carte avec la règle et l’équerre, ville après ville, car chaque consigne utilise la ville trouvée juste avant.

1. 1re ville. On trace la droite (TS) qui passe par Toulouse et Saint-Étienne et on la prolonge au-delà de Saint-Étienne : elle passe par Lyon.
2. 2e ville X. Avec l’équerre, on trace la perpendiculaire à (TS) passant par Limoges. Vers le nord-ouest, elle passe par Rennes : X = Rennes.
3. 3e ville Y. On trace la droite (XD), de Rennes à Dijon, puis la parallèle à (XD) passant par Paris (règle et équerre). Vers l’ouest, elle passe par Caen : Y = Caen.
4. 4e ville Z. On trace (YB), de Caen à Bordeaux (presque verticale), puis la parallèle à (YB) passant par Nancy. Vers le sud, elle arrive à Marseille : Z = Marseille.
5. 5e ville. On trace la médiatrice du segment [ZL], entre Marseille et La Rochelle : la droite perpendiculaire à [ZL] passant par son milieu (le milieu se trouve à la règle graduée). Elle passe près de Clermont-Ferrand et, plus au nord-est, près de Nancy. Mais Nancy est à l’est de la ligne Dijon-Marseille, donc la ville cherchée est Clermont-Ferrand.

Donc, en pointillés gris : les droites (XD), (YB) et le segment [ZL] qui servent de référence ; en rouge : les droites tracées pour trouver chaque ville.

On observe la figure : A et B sont sur (d₃) ; (d₂) passe par A ; (d₁) passe par B et coupe (d₂) en O, avec un angle droit codé en O. Puis on écrit les étapes dans l’ordre où on les trace, avec le vocabulaire précis.

Programme de construction possible :

1. Tracer une droite (d₃).
2. Placer deux points A et B sur la droite (d₃).
3. Tracer une droite (d₂) passant par A (et différente de (d₃)).
4. Tracer la droite (d₁) perpendiculaire à (d₂) passant par B.
5. Placer le point O, point d’intersection des droites (d₁) et (d₂), et coder l’angle droit.

On repère les angles droits codés : en A entre (d₁) et (d₅), en B entre (d₂) et (d₄), et à l’intersection de (d₃) et (d₄).

• a. (d₅) est la droite perpendiculaire à la droite (d₁) passant par le point A.
• b. (d₄) est la droite perpendiculaire à la droite (d₂) en B.
• c. (d₃) est une droite perpendiculaire à la droite (d₄).

Pour bien réussir corrigé segments 6ème, on retient que par conséquent, au c., on écrit « une » droite et non « la » droite : aucun point n’est précisé, et il existe une infinité de droites perpendiculaires à (d₄) (par exemple (d₂) en est une autre). De plus, en revanche, par un point donné, il ne passe qu’une seule perpendiculaire à une droite, d’où « la » au a. et au b.

On regarde ce qui apparaît en vert (l’élément nouveau) dans chaque cadre :

• Étape 1 : deux points A et B → phrase B (« Place deux points distincts A et B »).
• Étape 2 : la droite qui passe par A et B → phrase D (« Trace la droite (AB) »).
• Étape 3 : un point M hors de la droite → phrase C (« Place un point M n’appartenant pas à la droite (AB) »).
• Étape 4 : la droite (d) avec l’angle droit codé → phrase A (« Trace la droite (d), perpendiculaire à la droite (AB), passant par le point M »).

On doit montrer que les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Ensuite, on lit sur la figure les deux codages d’angle droit :

• en E, l’angle entre (d1) et la droite (EF) est droit : (d1) est perpendiculaire à (EF) ;
• en F, l’angle entre (d2) et la droite (EF) est droit : (d2) est perpendiculaire à (EF).

On utilise alors la propriété du cours : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

En effet, les droites (d1) et (d2) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (EF), donc elles sont parallèles.

Attention : on ne démontre pas le parallélisme « parce que ça se voit ». C’est le codage des angles droits qui permet d’appliquer la propriété.

Aucune courbe n’est tracée au compas : les formes arrondies apparaissent toutes seules, parce que beaucoup de segments se touchent le long d’une courbe. Par ailleurs, il suffit de trouver quels points on relie.

Par ailleurs, Étape 1 : le cadre. On trace le carré de 20 carreaux de côté, puis ses deux médianes (le segment vertical et le segment horizontal qui passent par le milieu). Puis le carré est ainsi partagé en quatre carrés de 10 carreaux. Chaque demi-côté et chaque demi-médiane est graduée de 0 à 10 par les nœuds du quadrillage.

De plus, Étape 2 : les arrondis des coins (le grand « cercle »). Dans le coin en haut à gauche, on numérote les nœuds du bord du haut de 0 à 10 en partant du coin, et ceux du bord de gauche de 0 à 10 en partant aussi du coin. Ensuite, on relie le point 1 du haut au point 9 de gauche, le point 2 au point 8, le point 3 au point 7… jusqu’au point 9 relié au point 1 : la somme des deux numéros vaut toujours 10. Puis on fait la même chose dans les trois autres coins.

Suite du corrigé corrigé segments 6ème

De même, Étape 3 : l’étoile du centre. On recommence la même règle, mais en partant du centre du carré et en utilisant les deux médianes : sur chaque quart, le point à 1 carreau du centre sur la médiane horizontale est relié au point à 9 carreaux du centre sur la médiane verticale, 2 avec 8, 3 avec 7, etc. De plus, les quatre quarts donnent les quatre branches de l’étoile.

Conseil : trace d’abord tous les segments d’un même coin, avec une règle et un crayon bien taillé ; la courbe se dessine au fur et à mesure. Plus les points sont serrés, plus la courbe paraît lisse.

On repère d’abord quels points sont sur chaque droite (chaque droite a sa couleur) :

• (d1), en orange, passe par C, E et S ;
• (d2), en bleu, passe par C, N et T ;
• (d3), en rouge, passe par E, A et T ;
• (d4), en vert, passe par S, A et N.

Ainsi, le point d’intersection de deux droites est le point qui appartient aux deux droites à la fois.

Donc, a.

• (d1) et (d2) : le point commun est C.
• (d2) et (d3) : le point commun est T.
• (d3) et (d4) : le point commun est A.

Également, b.

• N est le point d’intersection des droites (d2) et (d4).
• E est le point d’intersection des droites (d1) et (d3).
• S est le point d’intersection des droites (d1) et (d4).

On repère d’abord les points de chaque diagonale : sur [EC] il y a E, H, I, C ; sur [BD] il y a B, J, I, D ; sur [AC] il y a A, F, J, C ; sur [AD] il y a A, G, H, D ; sur [EB] il y a E, G, F, B.

Par conséquent, a. Une droite se nomme avec deux de ses points, dans n’importe quel ordre. Ensuite, la droite (EC) passe par E, H, I et C, donc on peut l’appeler par exemple (EH), (HI), (IC), (EI) (ou encore (HC), (CE)…).

En effet, b. Des points sont alignés quand ils sont sur une même droite. Par ailleurs, la droite (IB) est la diagonale (BD), qui passe par B, J, I et D : les points alignés avec I et B sont J et D.

Ensuite, c. Les droites (AC) et (BD) ont en commun le point J. Puis les droites (CE) et (AD) ont en commun le point H.

On suit le programme de construction dans l’ordre, avec AB = 8 cm.

1. On trace le segment [AB] de 8 cm et on place I, O et J tels que AI = IO = OJ = JB. Il y a 4 parts égales : \( 8 \div 4 = 2 \), donc AI = IO = OJ = JB = 2 cm (O est le milieu de [AB]).
2. On trace les trois cercles de centres I, O et J et de même rayon 2 cm (chaque cercle passe par le centre du voisin).
3. Les cercles de centres I et O se coupent en K (au-dessus) et G (au-dessous). On trace les diamètres [CG] et [KF] du cercle de centre I : on trace la droite (GI) jusqu’à recouper le cercle en C, et la droite (KI) jusqu’à le recouper en F.
4. En travaillant corrigé segments 6ème, on remarque que de même, les cercles de centres J et O se coupent en H et L ; on trace les diamètres [DL] et [HE] du cercle de centre J.
5. On prolonge les droites (IG) et (JL) : elles se coupent en N, sous [AB]. On prolonge (IK) et (JH) : elles se coupent en M, au-dessus.

Suite du corrigé corrigé segments 6ème

• On trace l’ovale avec quatre arcs : l’arc du cercle de centre I qui va de C à F en passant par A ; l’arc du cercle de centre J qui va de D à E en passant par B ; l’arc de centre M qui va de E à F (en bas) ; l’arc de centre N qui va de C à D (en haut). Pour ces deux derniers, on écarte le compas de M jusqu’à E (ou de N jusqu’à C).

De plus, Vérification : avec AB = 8 cm, l’écartement du compas pour les arcs de centres M et N est de 6 cm (ME = MF = NC = ND = 6 cm). Ensuite, les triangles IOK, IOG, OJH et OJL sont équilatéraux (leurs côtés mesurent tous 2 cm) : c’est pour cela que les droites vertes forment des angles de 60° avec [AB].

Une figure à main levée donne les informations (longueurs, angles, angles droits) mais n’est pas en vraie grandeur. Puis il faut la construire en vraie grandeur avec la règle, l’équerre, le rapporteur et le compas, en commençant par ce qui est entièrement connu.

Également, Figure 1 (triangles IUL et ILM).

1. On trace [IU] de 5,4 cm.
2. Au rapporteur, on trace en I un angle de 20° à partir de [IU].
3. À l’équerre, on trace la perpendiculaire à (IU) en U : elle coupe le côté de l’angle en L (on mesure IL ≈ 5,7 cm).
4. On trace la perpendiculaire à (IL) en L, et on place M dessus, de l’autre côté de (IL) par rapport à U, avec LM = 3,2 cm. On trace [IM].

Figure 2 (triangles GJK et GJU). Le codage indique JU = JK = 4 cm et un angle droit en J entre [JG] et [JU].

1. On trace [JK] de 4 cm.
2. En J, on trace un angle de 37° et en K un angle de 113°, du même côté de [JK] : les deux demi-droites se coupent en G.

Suite du corrigé corrigé segments 6ème

• On trace la perpendiculaire à (GJ) en J, et on place U dessus, de l’autre côté de (GJ) par rapport à K, avec JU = 4 cm. On trace [GU].

Donc, en mesurant, on trouve un angle de 30° en G dans le triangle GJK (car \( 180 – 37 – 113 = 30 \)) et GJ ≈ 7,4 cm.

Figure 3 (triangle RTE et demi-cercle).

1. On trace [RE] de 4,2 cm, puis la perpendiculaire à (RE) en R, et on place T avec RT = 2,8 cm. On trace [TE].
2. On place S, milieu de [TE] (le codage l’indique), et on trace le demi-cercle de centre S qui passe par T et E, du côté opposé à R (rayon ≈ 2,5 cm, car TE ≈ 5 cm).

Par conséquent, Remarque : une fois les deux longueurs et l’angle droit tracés, l’angle en T mesure environ 56° et non 60°. De plus, les informations du croquis ne sont pas tout à fait compatibles : on construit avec l’angle droit et les deux longueurs, puis on constate que l’angle en T vaut environ 56°. (Si on voulait vraiment 60° en T avec RT = 2,8 cm, il faudrait RE ≈ 4,8 cm.)

Exercice 28 (suite 3)

Figure 4 (quadrilatère ABCD).

1. On trace [DC] de 6 cm.
2. En D, on trace un angle de 80° et on place A sur ce côté avec DA = 6,8 cm.
3. En C, on trace un angle de 61° (du même côté que A) et on place B avec CB = 8 cm.
4. On trace [AB].

Ensuite, en vraie grandeur, on obtient un côté [AB] très court (environ 1 cm) : le croquis à main levée ne respecte pas les proportions, c’est normal.

Le dessin est formé d’un pentagone régulier (5 côtés égaux, angles de 108°) et d’un hexagone régulier (6 côtés égaux, angles de 120°) qui ont un côté commun. Tous les côtés mesurent 3,5 cm.

L’hexagone.

1. On trace le côté commun [PQ] de 3,5 cm.
2. En Q, au rapporteur, on trace un angle de 120° et on reporte 3,5 cm sur le nouveau côté ; on recommence à chaque nouveau sommet, toujours du même côté, jusqu’à revenir en P (6 côtés).

Par ailleurs, autre méthode au compas : l’hexagone régulier est inscrit dans un cercle de rayon 3,5 cm ; on reporte 6 fois l’écartement de 3,5 cm sur le cercle.

Le pentagone. De l’autre côté de [PQ], on recommence avec des angles de 108° : en P, angle de 108° et côté de 3,5 cm, puis de même aux sommets suivants, jusqu’à revenir en Q (5 côtés).

Ainsi, Vérification : en P (et en Q), l’angle du pentagone et celui de l’hexagone sont côte à côte : \( 108 + 120 = 228 \), il reste \( 360 – 228 = 132 \) degrés autour du point, c’est l’espace laissé libre sur le dessin.

Suite du corrigé corrigé segments 6ème

1. Mesurer des angles. On place le centre du rapporteur sur le sommet, le zéro d’une graduation sur un côté, et on lit sur la même graduation là où passe l’autre côté (prolonge les côtés si besoin). Avant de lire, on regarde si l’angle est aigu (moins de 90°) ou obtus (plus de 90°) pour ne pas se tromper de graduation.

Donc, sur la figure de l’énoncé, on mesure environ :

• \( \widehat{a} \approx 20^\circ \) (aigu) ;
• \( \widehat{b} \approx 63^\circ \) (aigu) ;
• \( \widehat{c} \approx 49^\circ \) (aigu) ;
• \( \widehat{d} \approx 124^\circ \) (obtus) ;
• \( \widehat{e} \approx 17^\circ \) (aigu).

Les mesures peuvent varier d’un ou deux degrés selon l’impression de la feuille, mais l’ordre croissant ne change pas : \( \widehat{e} \lt \widehat{a} \lt \widehat{c} \lt \widehat{b} \lt \widehat{d} \).

2. Tracer des angles. Pour tracer \( \widehat{xOy} = 15^\circ \) : on trace une demi-droite [Ox), on place le centre du rapporteur en O et le zéro sur [Ox), on marque un point en face de 15 sur la graduation qui part de ce zéro, puis on trace [Oy) passant par ce point. Ensuite, on fait de même pour les autres.

Suite du corrigé corrigé segments 6ème

Également, 3. Construire des triangles.

• Triangle ABC : on trace [AB] de 6 cm ; en A on trace un angle de 70° et en B un angle de 60°, du même côté de [AB] ; les deux côtés se coupent en C. On peut vérifier que l’angle en C mesure 50° (car \( 180 – 70 – 60 = 50 \)).
• Triangle EFG : on trace [FG] de 4,5 cm ; en F on trace un angle de 55° et on place E sur ce côté avec FE = 5 cm ; on trace [EG] (on mesure EG ≈ 4,4 cm).

À chaque étape, Marguerite avance (on trace un segment de la longueur donnée) puis tourne : l’angle dont elle tourne est l’angle entre la direction où elle allait et sa nouvelle direction. Par ailleurs, on le trace au rapporteur en prolongeant le segment qu’on vient de tracer.

1) Elle fait « avancer de 5 cm puis tourner de 90° à gauche », puis recommence trois fois : en tout 4 fois. Puis elle trace 4 segments de 5 cm avec des angles droits entre eux : c’est un carré de 5 cm de côté. Ensuite, elle a tourné en tout de \( 4 \times 90 = 360 \) degrés : elle revient à son point de départ, dans la même direction.

2) « Avancer de 4 cm puis tourner de 60° à droite », répété en tout 6 fois : \( 6 \times 60 = 360 \) degrés, la figure se referme. Puis elle trace 6 côtés de 4 cm ; à chaque sommet, l’angle intérieur vaut \( 180 – 60 = 120 \) degrés. De plus, on obtient un hexagone régulier de 4 cm de côté.

En effet, 3) Chaque « motif » est : avancer de 4 cm, tourner de 135° à droite, avancer de 4 cm, tourner de 90° à gauche. Sur un motif, elle tourne au total de \( 135 – 90 = 45 \) degrés vers la droite. Ensuite, le motif est fait 8 fois (une fois, puis recommencé 7 fois) : \( 8 \times 45 = 360 \) degrés, donc le parcours se referme.

Suite du corrigé corrigé segments 6ème

Ensuite, elle trace \( 8 \times 2 = 16 \) segments de 4 cm. Aux virages de 135°, l’angle entre les deux segments vaut \( 180 – 135 = 45 \) degrés : ce sont des pointes. Aux virages de 90°, elle fait un creux en angle droit. Par ailleurs, le dessin obtenu est une étoile à 8 branches.

Construction. On trace [LU] de 10 cm. Puis on place E sur [LU] avec EU = 6,4 cm, donc \( LE = 10 – 6{,}4 = 3{,}6 \text{ cm} \). À l’équerre, on trace la droite perpendiculaire à (LU) passant par E, puis on place B sur cette droite avec EB = 4,8 cm. Ensuite, on trace [BL] et [BU].

De plus, a. Non, il y a deux constructions possibles. Sur la perpendiculaire, il y a deux points situés à 4,8 cm de E : un au-dessus de (LU) et un au-dessous. Puis les deux figures obtenues sont symétriques l’une de l’autre par rapport à la droite (LU), elles ont les mêmes mesures.

Par ailleurs, b. En mesurant sur la figure, on trouve BL = 6 cm et BU = 8 cm, et en plaçant l’équerre en B, on constate que l’angle \( \widehat{LBU} \) est droit : les droites (BL) et (BU) sont perpendiculaires.

Suite du corrigé corrigé segments 6ème

Justification (avec les outils du collège, à partir de la 4e) : dans le triangle LBU, \( LU^2 = 10^2 = 100 \) et \( BL^2 + BU^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). Comme \( LU^2 = BL^2 + BU^2 \), la réciproque du théorème de Pythagore prouve que le triangle LBU est rectangle en B. (Les longueurs BL et BU se calculent aussi par Pythagore : \( BL^2 = 3{,}6^2 + 4{,}8^2 = 36 \) et \( BU^2 = 6{,}4^2 + 4{,}8^2 = 64 \).) En 6e, on se contente de la vérification à l’équerre sur une figure précise.

1. On cherche les codages d’angle droit sur la droite (IC) : il y en a un en H et un en C.

• en H : (AH) est perpendiculaire à (IC) ;
• Pour progresser en corrigé segments 6ème, en C : (JC) est perpendiculaire à (IC).

Ainsi, 2. Les droites qui semblent parallèles sont (AH) et (JC).

Donc, Démonstration : on sait que (AH) ⊥ (IC) et que (JC) ⊥ (IC). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc (AH) // (JC).

Compléter avec ∈ ou ∉. Un point appartient à un segment seulement s’il est sur la droite et entre les deux extrémités.

• a) A est sur [IJ], entre I et J : A ∈ [IJ].
• b) I est sur la droite (AJ) mais pas entre A et J (il est au-delà de A) : I ∉ [AJ].
• c) H est sur la droite (IB) mais au-delà de B : H ∉ [IB].
• d) J est sur la droite (IA) mais au-delà de A : J ∉ [IA].

1. Reproduire la figure.

1. On trace [AD] : \( 17 + 31 + 15 = 63 \), donc AD = 63 mm. On place E à 17 mm de A, puis F à 31 mm de E (soit à \( 17 + 31 = 48 \) mm de A) ; on vérifie que FD = 15 mm.
2. À l’équerre, on trace la perpendiculaire à (AD) en E et on place B dessus avec EB = 23 mm.
3. On trace la perpendiculaire à (AD) en F et on place C dessus, du même côté que B, avec FC = 15 mm.
4. On trace les segments [AB], [BC], [BF] et [CD], et on code les deux angles droits.

Par ailleurs, 2. Démontrer que (BE) et (CF) sont parallèles.

• On sait que (BE) ⊥ (AD) (angle droit codé en E).
• On sait que (CF) ⊥ (AD) (angle droit codé en F).
• Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
• Donc (BE) // (CF).

En effet, les longueurs (17 mm, 23 mm…) servent à reproduire la figure, mais pas à la démonstration : seuls les deux angles droits comptent.