Segments, droites et constructions en 6ème : corrigé des exercices 1 à 10

a. On place les quatre points M, N, S, T en respectant leurs positions.

b. Un segment s’arrête à ses extrémités. Les segments [MT] et [SN] se croisent entre les quatre points : oui, ils se coupent, en un point que l’on note P.

c. Une droite est illimitée : on prolonge (MN) et (ST) au-delà des points. Elles ne sont pas parallèles (elles se rapprochent vers la droite) : oui, elles se coupent, en un point R situé assez loin à droite de N et T. Il faut parfois prolonger longuement les tracés.

On repère les points sur le quadrillage : en partant de A, M est à 1 carreau à droite et 2 carreaux en haut ; en partant de E, R est à 2 carreaux à gauche et 1 carreau en bas.

• La droite (AM) se prolonge des deux côtés : au-delà de A, elle descend de 2 carreaux pour 1 carreau vers la gauche.
• La demi-droite [ER) part de E, passe par R et continue au-delà de R (mais pas au-delà de E).

Les deux tracés se rencontrent au point D, situé 1 carreau à gauche et 2 carreaux en dessous de A. D est bien sur la demi-droite, du côté de R.

1. On trace une droite (d), on marque C dessus, puis A et B de part et d’autre.

2. Méthode à l’équerre : on pose un côté de l’angle droit de l’équerre le long de (d), on fait glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par le point, puis on trace. On code l’angle droit.

• a. perpendiculaire à (d) passant par A (en rouge) ;
• b. perpendiculaire à (d) passant par B (en bleu) ;
• c. perpendiculaire à (d) passant par C (en vert) : ici le point est sur (d), l’angle droit est en C.

Les trois droites tracées sont perpendiculaires à la même droite (d) : elles sont donc parallèles entre elles.

On procède comme à l’exercice 3, avec l’équerre, une droite après l’autre.

• a. Par S : une perpendiculaire à (d₁) et une perpendiculaire à (d₂).
• b. Par T : une perpendiculaire à (d₁) et une perpendiculaire à (d₂).

On obtient 4 droites. Les deux perpendiculaires à (d₁) sont parallèles entre elles ; de même pour les deux perpendiculaires à (d₂).

• a. Fausse. A est sur (AB) et D est sur (CD) ; la droite (OD) est la droite (CD), qui ne passe pas par A. Les points A, O, D ne sont pas alignés.
• b. Vraie. O est situé entre A et B sur la droite (AB) : \( O \in [AB] \).
• c. Fausse. Sur la droite (CD), l’ordre est C, D, O : O n’est pas entre D et C, donc \( O \notin [DC] \).
• d. Vraie. Le seul point commun possible des deux droites est O, et O n’est pas sur [CD] : les segments [AB] et [CD] n’ont aucun point commun.
• e. Vraie. O est commun aux deux droites : (AB) et (CD) sont sécantes en O.

Une droite se nomme avec deux de ses points, dans n’importe quel ordre.

• a. Les points A, D et B sont sur (d) : \( (d) = (AD) = (AB) = (DB) \) (on peut aussi écrire (DA), (BA), (BD)).
• b. Les points E, C et B sont sur (d′) : (d′) = (EC) = (EB) = (CB) (ou (CE), (BE), (BC)).

Attention : A et C ne sont pas sur la même de ces deux droites, (AC) est une troisième droite.

Sur une figure, deux droites ne sont perpendiculaires que si l’angle droit est codé (petit carré) ou vérifié avec l’équerre. Une droite qui « a l’air » droite ne suffit pas.

• Figure 2 : l’angle droit est codé, (d₁) et (d₂) sont perpendiculaires.
• Figure 1 : aucun codage. À l’œil les droites semblent presque perpendiculaires, mais on ne peut pas l’affirmer ; il faudrait vérifier à l’équerre (et (d₁) est d’ailleurs légèrement penchée).

La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire au segment et qui passe par son milieu. Il faut les deux conditions.

a. La médiatrice est correctement tracée sur la figure 2 : angle droit codé et deux moitiés codées égales.

b. Erreurs sur les autres figures :

• Figure 1 : (d) passe bien par le milieu de [AB] (codage des moitiés égales), mais elle n’est pas perpendiculaire à [AB] (elle est verticale, le segment est penché).
• Figure 3 : (d) est bien perpendiculaire à [AB], mais elle ne passe pas par le milieu : 0,8 cm d’un côté et 1,2 cm de l’autre. Le milieu est à \( 2 \div 2 = 1 \) cm de A.

1. On place les six points sur le quadrillage comme sur le modèle.

2. Les notations :

• a. Le segment d’extrémités A et B : [AB] (crochets : on s’arrête aux deux points).
• b. La droite passant par C et D : (CD) (parenthèses : illimitée des deux côtés).
• c. La demi-droite d’origine B passant par E : [BE) (crochet du côté de l’origine B).
• d. Un point I de la droite (EF) : \( I \in (EF) \). On place I n’importe où sur (EF), ici dans le prolongement de F vers E.

Les points sont dans l’ordre A, M, N, P, B sur une même droite. Un point appartient à un segment s’il est entre les extrémités ; il appartient à une droite dès qu’il est aligné avec les deux points.

• a. \( M \in [AB] \) : « M appartient au segment AB ».
• b. \( P \notin [MN] \) : « P n’appartient pas au segment MN ».
• c. \( B \in (AN) \) : « B appartient à la droite AN ».
• d. \( N \in (BP) \) : « N appartient à la droite BP ».
• e. \( M \in [AN] \) : « M appartient au segment AN ».
• f. \( A \notin [PM] \) : « A n’appartient pas au segment PM ».