Corrigé des 45 exercices sur les aires et les périmètres en 6ème à télécharger en PDF

L’unité d’aire est un carreau. Ensuite, on compte les carreaux entiers, puis on regroupe les demi-carreaux (coupés par une diagonale) deux par deux.

• Fig. A (carré posé sur la pointe) : 4 carreaux entiers au centre et 8 demi-carreaux sur les bords, soit \(4 + 8 \div 2 = 8\) carreaux. On peut aussi voir un carré dont les diagonales mesurent 4 : \(4 \times 4 \div 2 = 8\).
• Fig. B : 5 carreaux entiers et 6 demi-carreaux, soit \(5 + 3 = 8\) carreaux.
• Fig. C (clé) : la tête \(3 \times 2 = 6\) carreaux (l’étiquette « Fig. C » est posée dessus), la tige \(1 \times 5 = 5\) carreaux, les deux dents \(0{,}5 + 0{,}5 = 1\) carreau. Total : \(6 + 5 + 1 = 12\) carreaux.
• Fig. D : triangle rectangle de côtés 2 et 5 carreaux, moitié d’un rectangle \(2 \times 5\) : \(10 \div 2 = 5\) carreaux.
• Fig. E : rectangle \(4 \times 3 = 12\) carreaux moins le triangle blanc de base 2 et de hauteur 2 : \(2 \times 2 \div 2 = 2\). Aire : \(12 – 2 = 10\) carreaux.
• Fig. F (flèche) : la tige \(1 \times 3 = 3\) carreaux et la pointe, triangle de base 3 et de hauteur 2 : \(3 \times 2 \div 2 = 3\). Total : \(3 + 3 = 6\) carreaux.

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Le périmètre est la somme des longueurs de tous les côtés. Par ailleurs, les codages (petits traits, ronds) indiquent des côtés de même longueur ; les diagonales intérieures ne comptent pas.

• Fig. A (rectangle) : \(2 \times (6 + 3) = 18\) cm.
• Fig. B : \(4{,}5 + 4 + 2{,}5 = 11\) cm.
• Fig. C (triangle isocèle, deux côtés codés de 3,2 cm) : \(3{,}2 + 3{,}2 + 2 = 8{,}4\) cm.
• Fig. D : quatre côtés portent le même codage que le côté de 4,5 cm, le cinquième mesure 6 cm : \(4 \times 4{,}5 + 6 = 18 + 6 = 24\) cm.
• Fig. E (triangle équilatéral, trois côtés codés) : \(3 \times 3{,}7 = 11{,}1\) cm.
• Fig. F (carré de 3 cm) : \(4 \times 3 = 12\) cm.
• Fig. G : la diagonale de 9,1 cm est à l’intérieur, on ne la compte pas : \(6{,}1 + 4{,}8 + 8 + 6{,}3 = 25{,}2\) cm.

Formule : \(\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\), où la hauteur est perpendiculaire à la base choisie. Puis les longueurs qui ne sont ni la base ni sa hauteur sont des pièges : on ne s’en sert pas.

• ABC, rectangle en B : les côtés de l’angle droit sont base et hauteur. \(\mathcal{A} = \dfrac{8 \times 3{,}9}{2} = 15{,}6 \text{ cm}^2\).
• DEF : base [DE] = 16 cm, hauteur issue de F = 15 cm (17 cm est un côté, pas la hauteur). \(\mathcal{A} = \dfrac{16 \times 15}{2} = 120 \text{ cm}^2\).
• MNO : base MN = 2 + 4,3 = 6,3 cm, hauteur OH = 5,2 cm. \(\mathcal{A} = \dfrac{6{,}3 \times 5{,}2}{2} = 16{,}38 \text{ cm}^2\).
• RST, rectangle en T : côtés de l’angle droit 1,6 cm et 1,2 cm. \(\mathcal{A} = \dfrac{1{,}6 \times 1{,}2}{2} = 0{,}96 \text{ cm}^2\).
• JKL : base [KL] = 5 cm ; la hauteur issue de J tombe à l’extérieur du triangle, sur le prolongement de [LK] : JM = 2 cm. \(\mathcal{A} = \dfrac{5 \times 2}{2} = 5 \text{ cm}^2\).

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Pour les aires, chaque unité vaut 100 fois l’unité suivante : on déplace la virgule de 2 rangs par unité. Rappels : \(1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2\), \(1 \text{ a} = 1 \text{ dam}^2 = 100 \text{ m}^2\).

Également, Exemple détaillé (f) : \(27{,}008 \text{ dam}^2 = 2\,700{,}8 \text{ m}^2 = 27\,008\,000 \text{ cm}^2\).

On utilise le tableau de conversion des aires (deux colonnes par unité) ou la règle « × 100 ou ÷ 100 à chaque changement d’unité ». Rappels : 1 a = 100 m² et 1 ha = 10 000 m².

• a. 4 dam² = 400 m² (× 100)
• b. 15 hm² = 150 000 m² (× 10 000)
• c. 5,1 cm² = 510 mm² (× 100)
• d. 1 350 mm² = 13,5 cm² (÷ 100)
• e. 5,2 km² = 5 200 000 m² (× 1 000 000)
• f. 0,7 m² = 0,007 dam² (÷ 100)
• g. 320 a = 320 × 100 = 32 000 m²
• h. 2,5 ha = 2,5 × 10 000 = 25 000 m²
• i. 15 300 mm² = 153 cm² = 1,53 dm² = 0,0153 m²

Le morceau de tissu est un trapèze de hauteur 3 m. Ensuite, les angles droits permettent de le découper en un rectangle et deux triangles rectangles.

• Rectangle : \(5 \times 3 = 15 \text{ m}^2\)
• Triangle de gauche : \(\dfrac{1{,}5 \times 3}{2} = 2{,}25 \text{ m}^2\)
• Triangle de droite : \(\dfrac{1 \times 3}{2} = 1{,}5 \text{ m}^2\)

\[ \mathcal{A} = 15 + 2{,}25 + 1{,}5 = 18{,}75 \text{ m}^2 \]

Pour un rectangle, \(\mathcal{P} = 2 \times (l + L)\). Quand on connaît \(\mathcal{P}\) et une dimension, on divise \(\mathcal{P}\) par 2 (demi-périmètre \(l + L\)) puis on soustrait la dimension connue.

• a. \(\mathcal{P} = 2 \times (4 + 5) = 18 \text{ cm}\)
• b. \(\mathcal{P} = 2 \times (1{,}2 + 5) = 12{,}4 \text{ dm}\)
• c. \(l + L = 36 \div 2 = 18 \text{ hm}\), donc \(l = 18 – 10 = 8 \text{ hm}\)
• d. \(l + L = 4{,}8 \div 2 = 2{,}4 \text{ m}\), donc \(L = 2{,}4 – 1 = 1{,}4 \text{ m}\)

On additionne les longueurs des côtés du contour, en utilisant les codages pour les côtés dont la longueur n’est pas écrite. Puis les pointillés intérieurs ne font pas partie du contour.

• A : \(3{,}5 + 4 + 6 = 13{,}5 \text{ cm}\)
• B : la diagonale de 8,3 cm est intérieure. \(8{,}6 + 6{,}3 + 7{,}6 + 5 = 27{,}5 \text{ cm}\)
• C : deux côtés codés « rond » de 6,7 cm et trois côtés codés « // » de 8,4 cm. \(2 \times 6{,}7 + 3 \times 8{,}4 = 13{,}4 + 25{,}2 = 38{,}6 \text{ cm}\)
• D : triangle équilatéral de côté 4,3 cm. \(3 \times 4{,}3 = 12{,}9 \text{ cm}\)

Traduction : « Le carré ABCD est l’image du carré EFGH par l’agrandissement de centre O et de rapport 3. De plus, calcule l’aire de la surface verte (grisée sur la figure). »

Par conséquent, Un agrandissement de rapport 3 multiplie les longueurs par 3 : le côté de ABCD mesure \(3 \times 2 = 6\) cm.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{ABCD} &= 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \\ \mathcal{A}_{EFGH} &= 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \\ \mathcal{A}_{\text{verte}} &= 36 – 4 = 32 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Remarque : l’aire n’est pas multipliée par 3 mais par 9 (36 = 9 × 4), car le grand carré contient 3 × 3 petits carrés.

Le périmètre d’un cercle est \(\mathcal{P} = 2 \times \pi \times r = \pi \times d\). Ensuite, la valeur exacte s’écrit avec π ; la valeur approchée s’obtient à la calculatrice.

En effet, a. Rayon 4 m :

\[ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi \text{ m} \approx 25{,}1 \text{ m} \]

Ensuite, (à la calculatrice : 25,132…, arrondi au dixième 25,1).

De plus, b. Diamètre 4,3 hm :

\[ \mathcal{P} = \pi \times 4{,}3 = 4{,}3\pi \text{ hm} \approx 13{,}5 \text{ hm} \]

Par ailleurs, (13,508…, soit environ 1 350,9 m).

D’après l’échelle, un intervalle entre deux points vaut 500 m. Par ailleurs, les pointillés orange indiquent les rayons des arcs. Puis on découpe le parcours en morceaux simples.

• Segments : en haut 2 intervalles, en bas 3 intervalles, en haut à gauche 1 intervalle, soit 6 intervalles : \(6 \times 500 = 3\,000\) m.
• Deux grands demi-cercles de rayon 2 intervalles, soit 1 000 m. Un demi-cercle mesure la moitié de \(2 \times \pi \times r\), donc \(\pi \times 1\,000\) m chacun.
• Quatre petits quarts de cercle de rayon 500 m. Deux quarts font un demi-cercle, donc les quatre font un cercle entier : \(2 \times \pi \times 500 = \pi \times 1\,000\) m.

Ainsi, a. Longueur totale :

\[ \begin{aligned} L &= 3\,000 + \pi \times 1\,000 + \pi \times 1\,000 + \pi \times 1\,000 \\ &= 3\,000 + 3\,000 \times \pi \\ &\approx 12\,425 \text{ m} \end{aligned} \]

Donc, b. Chaque partie doit mesurer le tiers : \(L \div 3 = 1\,000 + 1\,000 \times \pi \approx 4\,142\) m.

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• Partie 1 : le segment du haut (1 000 m) et le grand demi-cercle de droite (≈ 3 142 m) : 1 000 + 1 000 × π ≈ 4 142 m, exactement le tiers.
• Partie 2 : on continue avec les deux petits quarts de cercle du bas (≈ 1 571 m) et le segment du bas (1 500 m), soit ≈ 3 071 m. Il manque ≈ 1 071 m, que l’on prend sur le grand demi-cercle de gauche (un peu plus du tiers de ce demi-cercle, qui mesure ≈ 3 142 m).
• Partie 3 : le reste du parcours, qui mesure alors lui aussi ≈ 4 142 m.

Les codages montrent un carré de côté 2 dm ; à droite, un triangle rectangle de côtés 2 dm (le côté commun) et 1,5 dm, dont le grand côté mesure 2,5 dm.

Périmètre : on fait le tour de la plaque (le côté en pointillés est à l’intérieur, on ne le compte pas). Ensuite, le côté du bas mesure 2 + 1,5 = 3,5 dm.

\[ P = 2 + 2 + 2{,}5 + 3{,}5 = 10 \text{ dm} \]

Par ailleurs, Aire : aire du carré plus aire du triangle rectangle (la moitié d’un rectangle de 1,5 dm sur 2 dm).

\[ \begin{aligned} A &= 2 \times 2 + \frac{1{,}5 \times 2}{2} \\ &= 4 + 1{,}5 = 5{,}5 \text{ dm}^2 \end{aligned} \]

Le tour intérieur est formé des deux longueurs droites de 121 m et de deux demi-cercles de diamètre 138 m. Deux demi-cercles de même diamètre forment un cercle entier, de longueur \(\pi \times 138\).

\[ \begin{aligned} P &= 2 \times 121 + \pi \times 138 \\ &= 242 + 138\pi \text{ m (valeur exacte)} \\ &\approx 675{,}54 \text{ m} \end{aligned} \]

a. Le contour comprend deux segments de 5,2 cm et deux demi-cercles de diamètre 3 cm, qui forment ensemble un cercle entier :

\[ P = 2 \times 5{,}2 + \pi \times 3 = 10{,}4 + 3\pi \approx 19{,}8 \text{ cm} \]

b. AM = MB = 3,2 cm, donc AB = 6,4 cm. Puis le contour comprend le grand demi-cercle de diamètre 6,4 cm et deux petits demi-cercles de diamètre 3,2 cm :

\[ \begin{aligned} P &= \frac{\pi \times 6{,}4}{2} + 2 \times \frac{\pi \times 3{,}2}{2} \\ &= 3{,}2\pi + 3{,}2\pi = 6{,}4\pi \approx 20{,}1 \text{ cm} \end{aligned} \]

En effet, Remarque : les deux petits demi-cercles ensemble ont la même longueur que le grand.

Les codages indiquent que les quatre coins sont des quarts de cercle de rayon 2 cm (la largeur du rectangle vaut donc 4 cm, et les arcs se touchent au milieu des petits côtés).

• Les quatre quarts de cercle forment un cercle entier de rayon 2 cm : \(2 \times \pi \times 2 = 4\pi\) cm.
• Il reste deux morceaux de grand côté : \(7 – 2 – 2 = 3\) cm chacun, soit 6 cm.

\[ P = 6 + 4\pi \approx 18{,}57 \text{ cm} \]

Ensuite, la valeur approchée par excès à l’unité est l’entier juste au-dessus : 19 cm.

Pour un carré : \(P = 4 \times c\) ; donc, dans l’autre sens, \(c = P \div 4\).

• a. \(P = 4 \times 4 = 16\) dm.
• b. \(P = 4 \times 2{,}4 = 9{,}6\) m.
• c. \(c = 36 \div 4 = 9\) mm.
• d. \(c = 2{,}4 \div 4 = 0{,}6\) m.

Les dimensions. Le grand demi-cercle a pour diamètre 10,4 cm, donc pour rayon 5,2 cm. De plus, la bande mesure 2,6 cm de chaque côté, donc le petit demi-cercle a pour diamètre \(10{,}4 – 2 \times 2{,}6 = 5{,}2\) cm (rayon 2,6 cm). Ensuite, les deux demi-cercles ont le même centre, au milieu du segment de 10,4 cm.

Reproduire. Trace un segment de 10,4 cm et marque son milieu O. Par ailleurs, place les points à 2,6 cm de chaque extrémité. Avec le compas pointé en O, trace le demi-cercle de rayon 5,2 cm, puis celui de rayon 2,6 cm, du même côté du segment. Efface la partie du segment comprise entre les deux petits points.

Également, Périmètre. Le contour comprend le grand demi-cercle, le petit demi-cercle et les deux segments de 2,6 cm :

\[ \begin{aligned} P &= \frac{3{,}14 \times 10{,}4}{2} + \frac{3{,}14 \times 5{,}2}{2} + 2 \times 2{,}6 \\ &= 16{,}328 + 8{,}164 + 5{,}2 \\ &= 29{,}692 \text{ cm} \end{aligned} \]

L’image de cet exercice demande en fait des conversions de longueurs. Puis on utilise le tableau des unités : km, hm, dam, m, dm, cm, mm. Chaque unité vaut 10 fois la suivante.

• 8 km = 8 000 m (1 km = 1 000 m).
• 7,5 m = 7 500 mm (1 m = 1 000 mm).
• 98,2 hm = 98 200 dm (1 hm = 1 000 dm).
• 2 m = 0,002 km.
• 3 000 cm = 30 m = 0,03 km.
• 650 000 cm = 6 500 m = 65 hm.
• 0,05 km = 50 m.
• 7,25 km = 7 250 m = 725 000 cm.
• 7 mm = 0,007 m = 0,000 07 hm.
• 20 m = 2 dam.

• Carré : 4 côtés égaux, \(P = 4 \times C\).
• Rectangle : 2 longueurs et 2 largeurs, \(P = 2 \times (L + l)\) (ou \(2 \times L + 2 \times l\)).
• Cercle de rayon R : \(P = 2 \times \pi \times R\).
• Cercle de diamètre D : \(P = \pi \times D\) (car \(D = 2 \times R\)).

• Carré : \(A = C \times C\).
• Rectangle : \(A = L \times l\).
• Triangle rectangle : c’est la moitié d’un rectangle de côtés L et l, donc \(A = L \times l \div 2\).

Après cela, figure (1) : trois quarts d’un disque de rayon 2 cm (il manque le quart en haut à droite, avec l’angle droit).

• Périmètre : trois quarts du cercle plus deux rayons : \(\frac{3}{4} \times 2 \times \pi \times 2 + 2 + 2 = 3\pi + 4 \approx 13{,}42\) cm.
• Aire : \(\frac{3}{4} \times \pi \times 2 \times 2 = 3\pi \approx 9{,}42\) cm².

Ainsi, Figure (2) : les codages montrent que les côtés verticaux et le côté du bas mesurent 3 cm, comme la largeur : c’est un carré de 3 cm surmonté d’un demi-disque de diamètre 3 cm (rayon 1,5 cm).

• Périmètre : trois côtés du carré et le demi-cercle : \(3 \times 3 + \frac{\pi \times 3}{2} \approx 9 + 4{,}71 = 13{,}71\) cm.
• Aire : \(3 \times 3 + \frac{\pi \times 1{,}5 \times 1{,}5}{2} \approx 9 + 3{,}53 = 12{,}53\) cm².

De même, figure (3) : disque dont le diamètre indiqué mesure 2 cm, donc de rayon 1 cm.

• Périmètre : \(\pi \times 2 \approx 6{,}28\) cm.

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• Aire : \(\pi \times 1 \times 1 \approx 3{,}14\) cm².

Donc, a. 13,71 cm est plus grand que 13,42 cm et 6,28 cm : la figure (2) a le plus grand périmètre.

Également, b. 12,53 cm² est plus grand que 9,42 cm² et 3,14 cm² : la figure (2) a aussi la plus grande aire.

Par conséquent, Remarque : le disque (3) est dessiné plus grand que les autres. Si 2 cm était son rayon, son aire vaudrait \(\pi \times 2 \times 2 \approx 12{,}57\) cm², à peine plus que celle de la figure (2), et son périmètre ≈ 12,57 cm resterait le plus petit.

Le périmètre d’un cercle de rayon \(r\) est \(2 \times \pi \times r\).

En effet, 1. \(2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31{,}415\ldots\), donc environ 31,4 cm au dixième.

Ensuite, 2. \(2 \times \pi \times 7 = 14\pi \approx 43{,}982\ldots\), donc environ 43,98 cm au centième.

Le contour est formé du segment [AB], du demi-cercle de diamètre 4 cm et du demi-cercle de diamètre 6 cm.

\[ \begin{aligned} P &= (4 + 6) + \frac{\pi \times 4}{2} + \frac{\pi \times 6}{2} \\ &= 10 + 2\pi + 3\pi = 10 + 5\pi \\ &\approx 25{,}7 \text{ cm} \end{aligned} \]

Le contour de la figure est formé du demi-cercle de diamètre AB, puis des côtés [AC] et [BC]. Ensuite, le segment [AB] et la hauteur [DC] sont à l’intérieur : on ne les compte pas (DC = 2,2 cm ne sert pas).

\[ \begin{aligned} P &= \frac{\pi \times 7}{2} + 4{,}5 + 3{,}8 \\ &\approx 10{,}996 + 8{,}3 \approx 19{,}30 \text{ cm} \end{aligned} \]

On regarde si le segment tracé est un rayon (du centre au cercle) ou un diamètre (d’un bord à l’autre en passant par le centre). Longueur = \(2 \times \pi \times r\) ou \(\pi \times D\).

• n°1 : rayon 2 cm, \(L = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi \approx 12{,}57\) cm.
• n°2 : diamètre 2 cm, \(L = \pi \times 2 = 2\pi \approx 6{,}28\) cm.
• n°3 : rayon 1,4 cm, \(L = 2 \times \pi \times 1{,}4 = 2{,}8\pi \approx 8{,}80\) cm.
• n°4 : diamètre 4,5 cm, \(L = 4{,}5\pi \approx 14{,}14\) cm.

Pour les aires, chaque unité vaut 100 fois la suivante : km², hm², dam², m², dm², cm², mm². Puis on se rappelle aussi que 1 a = 1 dam² = 100 m² et 1 ha = 1 hm² = 10 000 m².

De plus, 1.

• a. 4 dam² = 400 m² ; b. 15 hm² = 150 000 m² ; c. 5,1 cm² = 510 mm² ; d. 1 350 mm² = 13,5 cm² ;
• e. 5,2 km² = 5 200 000 m² ; f. 0,7 m² = 0,007 dam² ; g. 320 a = 32 000 m² ; h. 2,5 ha = 25 000 m² ;
• i. 15 300 mm² = 153 cm² = 1,53 dm² = 0,015 3 m².

Par ailleurs, 2. En m² :

• a. 2 km² = 2 000 000 m² ; b. 37 000 dm² = 370 m² ; c. 45 300 mm² = 0,045 3 m² ;
• d. 153,7 dam² = 15 370 m² ; e. 28,9 cm² = 0,002 89 m² ; f. 3,008 hm² = 30 080 m² ;
• g. 52 a = 5 200 m² ; h. 0,05 ha = 500 m² ; i. 200 ha = 2 000 000 m².

Ainsi, 3. En cm² :

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• a. 15 mm² = 0,15 cm² ; b. 28 dm² = 2 800 cm² ; c. 17 300 mm² = 173 cm² ;
• d. 73,1 m² = 731 000 cm² ; e. 0,004 m² = 40 cm² ; f. 27,008 dam² = 27 008 000 cm² ;
• g. 0,08 mm² = 0,000 8 cm² ; h. 13 a = 1 300 m² = 13 000 000 cm² ; i. 0,010 5 a = 1,05 m² = 10 500 cm².

\[ P = 2 \times \pi \times 3{,}3 = 6{,}6\pi \approx 20{,}73 \text{ cm} \]

Arrondi au dixième : le chiffre des centièmes est 3, on garde donc 20,7.

On place le chiffre des unités sous l’unité de départ dans le tableau km, hm, dam, m, dm, cm, mm, puis on déplace la virgule vers l’unité demandée.

• 7 326 m = 73,26 hm (1 hm = 100 m).
• 842,736 cm = 0,842 736 dam (1 dam = 1 000 cm).
• 0,007 13 km = 7,13 m = 71,3 dm.
• 0,000 580 cm = 0,000 000 058 hm (1 hm = 10 000 cm).
• 153 472,17 cm = 1 534,7217 m = 1,534 721 7 km.

Pour additionner des longueurs, elles doivent être dans la même unité. De plus, on convertit d’abord les décimètres en centimètres : 1 dm = 10 cm, donc 0,3 dm = 3 cm.

Donc, le périmètre est la somme des longueurs des cinq côtés :

\[ \mathcal{P} = 3 + 6 + 6 + 3 + 4 = 22 \text{ cm} \]

La longueur d’un cercle de rayon \( r \) est \( 2 \times \pi \times r \), ou \( \pi \times d \) avec \( d \) le diamètre. Ensuite, un demi-cercle mesure la moitié.

Figure de gauche. C’est un cercle de rayon AB = 3 cm :

\[ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times 3 = 6\pi \approx 18{,}85 \text{ cm} \]

Également, Figure de droite. Son contour est formé de trois demi-cercles :

• le grand demi-cercle du haut, de diamètre CD = 4 + 2 = 6 cm : \( \dfrac{\pi \times 6}{2} = 3\pi \) ;
• le demi-cercle du bas, de diamètre CE = 4 cm : \( \dfrac{\pi \times 4}{2} = 2\pi \) ;
• le petit demi-cercle blanc, de diamètre ED = 2 cm : \( \dfrac{\pi \times 2}{2} = \pi \).

\[ \mathcal{P} = 3\pi + 2\pi + \pi = 6\pi \approx 18{,}85 \text{ cm} \]

En effet, Surprise : les deux figures ont exactement le même périmètre.

Le rectangle ABCD a pour longueur 6,4 cm et pour largeur 4,7 cm.

\[ \mathcal{P} = 2 \times (6{,}4 + 4{,}7) = 2 \times 11{,}1 = 22{,}2 \text{ cm} \]
\[ \mathcal{A} = 6{,}4 \times 4{,}7 = 30{,}08 \text{ cm}^2 \]

Le carré EFGH a quatre côtés de 2,56 cm.

\[ \mathcal{P} = 4 \times 2{,}56 = 10{,}24 \text{ cm} \]
\[ \mathcal{A} = 2{,}56 \times 2{,}56 = 6{,}5536 \text{ cm}^2 \]

Le rectangle (côtés 2,7 cm et 4,3 cm) et le carré (côté 2,6 cm) n’ont en commun que le point L : aucun côté n’est partagé. Par ailleurs, le contour de la figure rose est donc formé du contour complet du rectangle et du contour complet du carré.

\[ \begin{aligned} \mathcal{P} &= 2 \times (2{,}7 + 4{,}3) + 4 \times 2{,}6 \\ &= 14 + 10{,}4 = 24{,}4 \text{ cm} \end{aligned} \]

Ensuite, L’aire de la figure est la somme des deux aires :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 2{,}7 \times 4{,}3 + 2{,}6 \times 2{,}6 \\ &= 11{,}61 + 6{,}76 = 18{,}37 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

La zone orange est le rectangle ADEB (4,6 cm sur 2,8 cm) privé du carré HEGJ de côté 1,4 cm. Puis on calcule d’abord les côtés qui manquent :

• DG = DE − GE = 2,8 − 1,4 = 1,4 cm ;
• GJ = JH = 1,4 cm (côtés du carré) ;
• HB = BE − HE = 4,6 − 1,4 = 3,2 cm.

De plus, Périmètre (on fait le tour A → D → G → J → H → B → A) :

\[ \mathcal{P} = 4{,}6 + 1{,}4 + 1{,}4 + 1{,}4 + 3{,}2 + 2{,}8 = 14{,}8 \text{ cm} \]

Par ailleurs, C’est le même périmètre que celui du rectangle : \( 2 \times (4{,}6 + 2{,}8) = 14{,}8 \) cm. Enlever le carré dans le coin ne change pas le périmètre !

Ainsi, Aire : aire du rectangle moins aire du carré.

\[ \mathcal{A} = 4{,}6 \times 2{,}8 – 1{,}4 \times 1{,}4 = 12{,}88 – 1{,}96 = 10{,}92 \text{ cm}^2 \]

La longueur de corde nécessaire est le périmètre du polygone. Ensuite, on utilise les codages : les côtés portant le même codage ont la même longueur.

• deux côtés de la pointe (trois traits) : 60 cm chacun ;
• deux petits côtés (un trait) : 25 cm chacun ;
• deux grands côtés du manche (deux traits) : 76 cm chacun ;
• le bout du manche : 16 cm.

\[ \mathcal{P} = 2 \times 60 + 2 \times 25 + 2 \times 76 + 16 = 120 + 50 + 152 + 16 = 338 \text{ cm} \]

Le périmètre est la somme des longueurs des quatre côtés :

\[ \mathcal{P} = GO + OL + LF + FG = 6{,}5 + 2{,}2 + 4{,}5 + 10{,}3 = 23{,}5 \text{ cm} \]

On convertit chaque aire en m². Attention : en aire, on passe d’une unité à la suivante en multipliant ou divisant par 100 (1 m² = 100 dm² = 10 000 cm², 1 dam² = 100 m², 1 hm² = 10 000 m², 1 km² = 1 000 000 m²).

On suit ensuite les traits en ne passant que par les bonnes étiquettes : 45,67 m² → 456 700 cm² → 4 567 dm² → 0,4567 dam² → 0,000 045 67 km², qui est à côté de Doutsi.

a. La longueur d’un cercle de rayon 1 m est :

\[ 2 \times \pi \times 1 = 2\pi \approx 6{,}28 \text{ m} \]

Donc, arrondie au centimètre près (au centième de mètre).

Également, b. La bordure est formée de quatre segments et de quatre quarts de cercle de rayon 1 m.

• Chaque coin arrondi « prend » 1 m à chaque extrémité d’un côté. Les deux grands segments mesurent donc 8 − 2 = 6 m et les deux petits 4 − 2 = 2 m. Total : \( 2 \times 6 + 2 \times 2 = 16 \) m.
• Les quatre quarts de cercle de rayon 1 m forment ensemble un cercle entier : environ 6,28 m.

\[ \text{Bordure} \approx 16 + 6{,}28 = 22{,}28 \text{ m} \]

On lit les codages : FRED est un carré de côté 4,2 cm (ses quatre côtés portent le même codage) ; dans le triangle CED, [EC] porte le même codage que [DC], donc EC = DC = 10,8 cm.

Par conséquent, a. Carré FRED : \( \mathcal{P} = 4 \times 4{,}2 = 16{,}8 \) cm.

En effet, b. Triangle CED : \( \mathcal{P} = ED + DC + CE = 4{,}2 + 10{,}8 + 10{,}8 = 25{,}8 \) cm.

Ensuite, c. Polygone FRECD : le côté [ED] est à l’intérieur de la figure, il ne compte pas. Puis on fait le tour F → R → E → C → D → F :

\[ \mathcal{P} = 4{,}2 + 4{,}2 + 10{,}8 + 10{,}8 + 4{,}2 = 34{,}2 \text{ cm} \]

a. Construction.

• Cœur orange : tracer un segment de 10 cm et le partager en quatre parties de 2,5 cm (points à 2,5 cm, 5 cm et 7,5 cm). Au compas, tracer le demi-cercle du bas de centre le milieu (rayon 5 cm), puis au-dessus les deux demi-cercles de centres les points à 2,5 cm et à 7,5 cm (rayon 2,5 cm).
• Cœur vert : tracer un carré de 6 cm de côté posé sur une pointe. Sur chacun des deux côtés du haut, tracer le demi-cercle extérieur de centre le milieu du côté (rayon 3 cm).

De plus, b. Cœur orange : un demi-cercle de diamètre 10 cm et deux demi-cercles de diamètre 5 cm.

\[ \mathcal{P}_1 = \dfrac{\pi \times 10}{2} + 2 \times \dfrac{\pi \times 5}{2} = 5\pi + 5\pi = 10\pi \approx 31{,}42 \text{ cm} \]

Par ailleurs, cœur vert : deux côtés du carré (6 cm) et deux demi-cercles de diamètre 6 cm.

\[ \mathcal{P}_2 = 2 \times 6 + 2 \times \dfrac{\pi \times 6}{2} = 12 + 6\pi \approx 30{,}85 \text{ cm} \]

Ainsi, Comme \( 31{,}42 \gt 30{,}85 \), le cœur orange a le plus grand périmètre, de très peu.

a. Construction. On trace un carré de 2 cm de côté et on prolonge ses côtés en pointillés. De plus, la spirale est formée de quatre quarts de cercle, chacun centré sur un sommet du carré, et dont le rayon augmente de 2 cm à chaque fois :

• 1er quart de cercle : rayon 2 cm ;
• 2e quart de cercle : rayon 2 + 2 = 4 cm ;
• 3e quart de cercle : rayon 4 + 2 = 6 cm ;
• 4e quart de cercle : rayon 6 + 2 = 8 cm.

Donc, chaque quart de cercle commence là où le précédent s’arrête.

Également, b. Un quart de cercle de rayon \( r \) mesure \( \dfrac{2 \times \pi \times r}{4} \). Ensuite, la longueur de la spirale est donc :

\[ \begin{aligned} L &= \dfrac{2\pi \times 2}{4} + \dfrac{2\pi \times 4}{4} + \dfrac{2\pi \times 6}{4} + \dfrac{2\pi \times 8}{4} \\ &= \pi + 2\pi + 3\pi + 4\pi = 10\pi \approx 31{,}4 \text{ cm} \end{aligned} \]

On trie les documents : le document 3 donne le diamètre des roues du vélo de Lilou, 29 pouces ; le document 2 permet de le convertir. Par ailleurs, la couleur, la masse, le nombre de vitesses et les freins ne servent à rien ici.

De même, Étape 1 : diamètre de la roue en cm.

\[ 29 \times 2{,}54 = 73{,}66 \text{ cm} \]

En effet, Étape 2 : distance parcourue en un tour de roue. C’est le périmètre de la roue :

\[ \pi \times 73{,}66 \approx 231{,}41 \text{ cm} \]

Également, Étape 3 : nombre de tours. 2 km = 2 000 m = 200 000 cm.

\[ 200\,000 \div 231{,}41 \approx 864{,}3 \]

Avec 864 tours, Lilou n’est pas tout à fait arrivée : il lui faut un tour de plus.

La planche carrée a une aire de 1 m², donc son côté mesure 1 m (car \( 1 \times 1 = 1 \)).

Elle est découpée en quatre planches de même largeur : chaque planche mesure 1 m de long et \( 1 \div 4 = \) 0,25 m de large.

De plus, sur la table, chaque côté du trou est bordé par une planche, mais une extrémité de cette planche est cachée par la largeur de la planche voisine. Puis le côté du trou mesure donc :

\[ 1 – 0{,}25 = 0{,}75 \text{ m} \]

\[ \mathcal{A} = 0{,}75 \times 0{,}75 = 0{,}5625 \text{ m}^2 \]

Par ailleurs, Vérification : le grand carré a pour côté 1 + 0,25 = 1,25 m, donc une aire de \( 1{,}25 \times 1{,}25 = 1{,}5625 \) m². Ensuite, on enlève l’aire des planches (1 m²) : il reste bien 0,5625 m².

1. Construction. Tracer [AB] de 5,86 cm, puis la demi-droite d’origine B qui fait un angle de 45° avec [BA] ; placer C sur cette demi-droite à 6 cm de B (on vérifie que AC mesure environ 4,31 cm). Puis placer le milieu de [BC] et tracer, du côté opposé à A, le demi-cercle de centre ce milieu et de rayon 3 cm.

Ainsi, 2. Périmètre du triangle ABC :

\[ \mathcal{P}_{ABC} = 5{,}86 + 4{,}31 + 6 = 16{,}17 \text{ cm} \]

Donc, 3. Le contour de la figure verte est formé de [AB], de [AC] et du demi-cercle de diamètre 6 cm ([BC] est à l’intérieur, il ne compte pas) :

\[ \mathcal{P} = 5{,}86 + 4{,}31 + \dfrac{\pi \times 6}{2} = 10{,}17 + 3\pi \approx 19{,}6 \text{ cm} \]

4. Conversions. Pour les longueurs, on passe d’une unité à la suivante avec un facteur 10 ; pour les aires, avec un facteur 100.

• 7 456,37 cm = 7,456 37 dam (1 dam = 1 000 cm)

Suite du corrigé corrigé aires 6ème

• 0,000 065 km = 6,5 cm (1 km = 100 000 cm)
• 0,004 hm = 400 mm (1 hm = 100 000 mm)
• 7 456,37 cm² = 0,007 456 37 dam² (1 dam² = 1 000 000 cm²)
• 0,000 065 km² = 650 000 cm² (1 km² = 10 000 000 000 cm²)
• 0,004 hm² = 40 000 000 mm² (1 hm² = 10 000 000 000 mm²)

Le carré HIJK découpe dans le carré ABCD quatre triangles rectangles identiques, un dans chaque coin (l’aide les nomme de façon un peu différente, mais ce sont bien les quatre triangles des coins). De plus, les codages indiquent AI = BJ = CK = DH = 1 cm.

Par conséquent, dans le triangle rectangle AIJ : AI = 1 cm et AJ = AB − BJ = 4 − 1 = 3 cm. Son aire est :

\[ \mathcal{A}_{AIJ} = \dfrac{1 \times 3}{2} = 1{,}5 \text{ cm}^2 \]

En effet, l’aire de HIJK est l’aire du grand carré moins celle des quatre triangles :

\[ \mathcal{A}_{HIJK} = 4 \times 4 – 4 \times 1{,}5 = 16 – 6 = 10 \text{ cm}^2 \]