Aires et périmètres en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

L’unité d’aire est un carreau. On compte les carreaux entiers, puis on regroupe les demi-carreaux (coupés par une diagonale) deux par deux.

• Fig. A (carré posé sur la pointe) : 4 carreaux entiers au centre et 8 demi-carreaux sur les bords, soit \(4 + 8 \div 2 = 8\) carreaux. On peut aussi voir un carré dont les diagonales mesurent 4 : \(4 \times 4 \div 2 = 8\).
• Fig. B : 5 carreaux entiers et 6 demi-carreaux, soit \(5 + 3 = 8\) carreaux.
• Fig. C (clé) : la tête \(3 \times 2 = 6\) carreaux (l’étiquette « Fig. C » est posée dessus), la tige \(1 \times 5 = 5\) carreaux, les deux dents \(0{,}5 + 0{,}5 = 1\) carreau. Total : \(6 + 5 + 1 = 12\) carreaux.
• Fig. D : triangle rectangle de côtés 2 et 5 carreaux, moitié d’un rectangle \(2 \times 5\) : \(10 \div 2 = 5\) carreaux.
• Fig. E : rectangle \(4 \times 3 = 12\) carreaux moins le triangle blanc de base 2 et de hauteur 2 : \(2 \times 2 \div 2 = 2\). Aire : \(12 – 2 = 10\) carreaux.
• Fig. F (flèche) : la tige \(1 \times 3 = 3\) carreaux et la pointe, triangle de base 3 et de hauteur 2 : \(3 \times 2 \div 2 = 3\). Total : \(3 + 3 = 6\) carreaux.

Le périmètre est la somme des longueurs de tous les côtés. Les codages (petits traits, ronds) indiquent des côtés de même longueur ; les diagonales intérieures ne comptent pas.

• Fig. A (rectangle) : \(2 \times (6 + 3) = 18\) cm.
• Fig. B : \(4{,}5 + 4 + 2{,}5 = 11\) cm.
• Fig. C (triangle isocèle, deux côtés codés de 3,2 cm) : \(3{,}2 + 3{,}2 + 2 = 8{,}4\) cm.
• Fig. D : quatre côtés portent le même codage que le côté de 4,5 cm, le cinquième mesure 6 cm : \(4 \times 4{,}5 + 6 = 18 + 6 = 24\) cm.
• Fig. E (triangle équilatéral, trois côtés codés) : \(3 \times 3{,}7 = 11{,}1\) cm.
• Fig. F (carré de 3 cm) : \(4 \times 3 = 12\) cm.
• Fig. G : la diagonale de 9,1 cm est à l’intérieur, on ne la compte pas : \(6{,}1 + 4{,}8 + 8 + 6{,}3 = 25{,}2\) cm.

Formule : \(\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\), où la hauteur est perpendiculaire à la base choisie. Les longueurs qui ne sont ni la base ni sa hauteur sont des pièges : on ne s’en sert pas.

• ABC, rectangle en B : les côtés de l’angle droit sont base et hauteur. \(\mathcal{A} = \dfrac{8 \times 3{,}9}{2} = 15{,}6 \text{ cm}^2\).
• DEF : base [DE] = 16 cm, hauteur issue de F = 15 cm (17 cm est un côté, pas la hauteur). \(\mathcal{A} = \dfrac{16 \times 15}{2} = 120 \text{ cm}^2\).
• MNO : base MN = 2 + 4,3 = 6,3 cm, hauteur OH = 5,2 cm. \(\mathcal{A} = \dfrac{6{,}3 \times 5{,}2}{2} = 16{,}38 \text{ cm}^2\).
• RST, rectangle en T : côtés de l’angle droit 1,6 cm et 1,2 cm. \(\mathcal{A} = \dfrac{1{,}6 \times 1{,}2}{2} = 0{,}96 \text{ cm}^2\).
• JKL : base [KL] = 5 cm ; la hauteur issue de J tombe à l’extérieur du triangle, sur le prolongement de [LK] : JM = 2 cm. \(\mathcal{A} = \dfrac{5 \times 2}{2} = 5 \text{ cm}^2\).

Pour les aires, chaque unité vaut 100 fois l’unité suivante : on déplace la virgule de 2 rangs par unité. Rappels : \(1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2\), \(1 \text{ a} = 1 \text{ dam}^2 = 100 \text{ m}^2\).

Exemple détaillé (f) : \(27{,}008 \text{ dam}^2 = 2\,700{,}8 \text{ m}^2 = 27\,008\,000 \text{ cm}^2\).

On utilise le tableau de conversion des aires (deux colonnes par unité) ou la règle « × 100 ou ÷ 100 à chaque changement d’unité ». Rappels : 1 a = 100 m² et 1 ha = 10 000 m².

• a. 4 dam² = 400 m² (× 100)
• b. 15 hm² = 150 000 m² (× 10 000)
• c. 5,1 cm² = 510 mm² (× 100)
• d. 1 350 mm² = 13,5 cm² (÷ 100)
• e. 5,2 km² = 5 200 000 m² (× 1 000 000)
• f. 0,7 m² = 0,007 dam² (÷ 100)
• g. 320 a = 320 × 100 = 32 000 m²
• h. 2,5 ha = 2,5 × 10 000 = 25 000 m²
• i. 15 300 mm² = 153 cm² = 1,53 dm² = 0,0153 m²

Le morceau de tissu est un trapèze de hauteur 3 m. Les angles droits permettent de le découper en un rectangle et deux triangles rectangles.

• Rectangle : \(5 \times 3 = 15 \text{ m}^2\)
• Triangle de gauche : \(\dfrac{1{,}5 \times 3}{2} = 2{,}25 \text{ m}^2\)
• Triangle de droite : \(\dfrac{1 \times 3}{2} = 1{,}5 \text{ m}^2\)

\[ \mathcal{A} = 15 + 2{,}25 + 1{,}5 = 18{,}75 \text{ m}^2 \]

Pour un rectangle, \(\mathcal{P} = 2 \times (l + L)\). Quand on connaît \(\mathcal{P}\) et une dimension, on divise \(\mathcal{P}\) par 2 (demi-périmètre \(l + L\)) puis on soustrait la dimension connue.

• a. \(\mathcal{P} = 2 \times (4 + 5) = 18 \text{ cm}\)
• b. \(\mathcal{P} = 2 \times (1{,}2 + 5) = 12{,}4 \text{ dm}\)
• c. \(l + L = 36 \div 2 = 18 \text{ hm}\), donc \(l = 18 – 10 = 8 \text{ hm}\)
• d. \(l + L = 4{,}8 \div 2 = 2{,}4 \text{ m}\), donc \(L = 2{,}4 – 1 = 1{,}4 \text{ m}\)

On additionne les longueurs des côtés du contour, en utilisant les codages pour les côtés dont la longueur n’est pas écrite. Les pointillés intérieurs ne font pas partie du contour.

• A : \(3{,}5 + 4 + 6 = 13{,}5 \text{ cm}\)
• B : la diagonale de 8,3 cm est intérieure. \(8{,}6 + 6{,}3 + 7{,}6 + 5 = 27{,}5 \text{ cm}\)
• C : deux côtés codés « rond » de 6,7 cm et trois côtés codés « // » de 8,4 cm. \(2 \times 6{,}7 + 3 \times 8{,}4 = 13{,}4 + 25{,}2 = 38{,}6 \text{ cm}\)
• D : triangle équilatéral de côté 4,3 cm. \(3 \times 4{,}3 = 12{,}9 \text{ cm}\)

Traduction : « Le carré ABCD est l’image du carré EFGH par l’agrandissement de centre O et de rapport 3. Calcule l’aire de la surface verte (grisée sur la figure). »

Un agrandissement de rapport 3 multiplie les longueurs par 3 : le côté de ABCD mesure \(3 \times 2 = 6\) cm.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{ABCD} &= 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \\ \mathcal{A}_{EFGH} &= 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \\ \mathcal{A}_{\text{verte}} &= 36 – 4 = 32 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Remarque : l’aire n’est pas multipliée par 3 mais par 9 (36 = 9 × 4), car le grand carré contient 3 × 3 petits carrés.

Le périmètre d’un cercle est \(\mathcal{P} = 2 \times \pi \times r = \pi \times d\). La valeur exacte s’écrit avec π ; la valeur approchée s’obtient à la calculatrice.

a. Rayon 4 m :

\[ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi \text{ m} \approx 25{,}1 \text{ m} \]

(à la calculatrice : 25,132…, arrondi au dixième 25,1).

b. Diamètre 4,3 hm :

\[ \mathcal{P} = \pi \times 4{,}3 = 4{,}3\pi \text{ hm} \approx 13{,}5 \text{ hm} \]

(13,508…, soit environ 1 350,9 m).