La symétrie axiale en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si, en pliant le long de cette droite, elles se superposent exactement. Une symétrie retourne la figure : si l’une est simplement déplacée (glissée) ou tournée d’un demi-tour, ce n’est pas une symétrie axiale.

• a. Non : la figure rouge est la figure orange glissée de 2 carreaux vers le bas, sans être retournée.
• b. Oui : l’axe est la droite horizontale sur laquelle les deux figures se touchent.
• c. Oui : l’axe est horizontal, à mi-hauteur entre les deux figures.
• d. Non : la figure rouge est la figure orange glissée (2 carreaux à gauche et 2 vers le bas).
• e. Oui : l’axe est vertical, au milieu entre les deux figures.
• f. Oui : axe vertical, au milieu entre les deux figures.
• g. Oui : l’axe est oblique, il suit les diagonales des carreaux ; la partie « longue » horizontale devient verticale.
• h. Non : la figure rouge est la figure orange tournée d’un demi-tour ; aucun pliage ne les superpose.

Sur quadrillage, avec un axe vertical, on traite chaque sommet de la ligne brisée : son symétrique est sur la même ligne horizontale, à la même distance de l’axe, de l’autre côté. Par exemple, un point situé 7 carreaux à gauche de l’axe a pour image le point situé 7 carreaux à droite ; un point situé sur l’axe est son propre symétrique (le point bas-droit de la figure). On relie ensuite les images dans le même ordre.

Pour répéter le motif, on prend le symétrique de la figure obtenue par rapport à une nouvelle droite verticale placée 7 carreaux plus loin : on retrouve la figure de départ, décalée de 14 carreaux. On obtient une frise.

a. On repère les sommets qui se correspondent en comparant les formes : l’angle de 110° en S correspond à l’angle en U, le long côté [FO] au long côté [LE]. Les sommets se suivent en sens inverse (la symétrie retourne la figure).

Justification : la symétrie axiale conserve les longueurs et les angles, donc les deux figures sont superposables ; S et U sont les sommets de l’angle obtus, E et F sont reliés à ces sommets par les longs côtés, etc.

b. [LE] est le symétrique de [OF]. La symétrie conserve les longueurs : LE = OF = 3,2 cm.

c. [UX] est le symétrique de [SI], donc UX = SI = 1,7 cm.

d. L’angle \(\widehat{XUE}\) est le symétrique de l’angle \(\widehat{ISF}\). La symétrie conserve les angles : \(\widehat{XUE} = 110^\circ\).

e. Par exemple : \(\widehat{SFO} = \widehat{UEL}\) et \(\widehat{FOI} = \widehat{ELX}\) (on a aussi \(\widehat{OIS} = \widehat{LXU}\)).

a. B est sur l’axe (BC), donc B est son propre symétrique. Le segment [BA’] est le symétrique de [BA]. La symétrie axiale conserve les longueurs : BA’ = BA = 2,5 cm.

b. L’angle \(\widehat{CBA^{\prime}}\) est le symétrique de l’angle \(\widehat{CBA}\) (C et B sont sur l’axe). La symétrie conserve les angles : \(\widehat{CBA^{\prime}} = \widehat{CBA} = 40^\circ\).

c. Construction de ABC : on trace [BC] de 3,8 cm ; au rapporteur, on trace en B une demi-droite faisant un angle de 40° avec [BC] ; on place A sur cette demi-droite à 2,5 cm de B ; on relie A et C.

d. Construction de A’ : au rapporteur, on trace de l’autre côté de (BC) la demi-droite faisant 40° avec [BC] ; au compas, on reporte BA’ = 2,5 cm. On peut vérifier avec l’équerre que (AA’) est perpendiculaire à (BC). Le triangle A’BC est le symétrique de ABC.

Méthode sur quadrillage : pour chaque extrémité de segment, on compte les carreaux jusqu’à l’axe, perpendiculairement à celui-ci, et on reporte le même nombre de l’autre côté.

• a) Axe horizontal : chaque point garde sa colonne ; un point situé 3 carreaux sous (d) a pour image le point 3 carreaux au-dessus. Le mot RAYON apparaît à l’envers (retourné de haut en bas) au-dessus de la droite.
• b) Axe vertical : chaque point garde sa ligne ; un point situé 5 carreaux à gauche de (d) a pour image le point 5 carreaux à droite. La ligne brisée est retournée « en miroir ».
• c) Axe oblique qui suit les diagonales des carreaux : on compte en diagonale. Un point situé 2 diagonales de carreau sous l’axe a pour image le point situé 2 diagonales au-dessus ; concrètement, « 1 carreau à droite » devient « 1 carreau vers le haut » et « 1 carreau vers le bas » devient « 1 carreau vers la gauche ».

La figure présente deux paires : deux petits hexagones de part et d’autre de la droite \(d_1\), et deux pavés (parallélépipèdes) de part et d’autre de la droite \(d_2\). On vérifie qu’il s’agit bien de figures symétriques par rapport à ces droites.

• Pour chaque sommet et son image, le segment qui les relie est perpendiculaire à l’axe.
• L’axe coupe ce segment en son milieu : l’axe est la médiatrice du segment qui joint un point à son symétrique.
• Les deux figures ont les mêmes longueurs, les mêmes angles, la même aire, mais elles sont retournées : le pavé du haut « penche » d’un côté, son image de l’autre.

Pour tracer soi-même l’image d’un sommet A : on trace la perpendiculaire à l’axe passant par A (équerre), elle coupe l’axe en H, puis on reporte au compas HA’ = HA de l’autre côté.

Chaque dessin n’est donné qu’à moitié : on le complète par symétrie par rapport au trait épais. On reporte d’abord les points remarquables (sommets, extrémités, centres des arcs) en comptant les carreaux, puis on trace les segments et les arcs entre ces points.

• 1. Le roi (axe vertical) : la couronne, l’œil, le corps arrondi, la main et le sceptre sont reproduits à gauche, à la même distance de l’axe.
• 2. Le rapporteur (axe oblique suivant les diagonales des carreaux) : le grand demi-cercle devient un cercle complet ; chaque secteur a un secteur symétrique de l’autre côté de la diagonale. Sur ce quadrillage, « aller à droite » devient « aller vers le bas ».
• 3. Le motif en arcs (axe vertical) : les festons et la grande courbe de droite sont reproduits à gauche.
• 4. La frise (axe horizontal) : chaque demi-cercle au-dessus de l’axe a son image en dessous ; les demi-cercles deviennent des cercles complets, le rectangle de droite devient un grand rectangle.

Sur papier blanc, on construit le symétrique de chaque sommet A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K :

1. avec l’équerre, tracer la perpendiculaire à (LM) passant par le sommet ;
2. avec le compas pointé à l’intersection de cette perpendiculaire et de (LM), reporter la même distance de l’autre côté ;
3. nommer le point obtenu A’, B’, etc.

On relie ensuite les images dans le même ordre que la figure de départ : A’I’H’F’G’E’J’K’D’B’C’. La figure obtenue est retournée, mais elle a les mêmes dimensions (la symétrie conserve longueurs, angles et aire).

Même méthode qu’à l’exercice précédent, sommet par sommet : perpendiculaire à (LM) à l’équerre, puis report de la distance au compas. Astuce pour gagner du temps : on peut aussi utiliser le compas seul. Pour un point P, on trace un arc de centre L passant par P, puis un arc de centre M passant par P ; ces deux arcs se recoupent en P’, le symétrique de P (car LP’ = LP et MP’ = MP).

On relie A’, I’, H’, F’, G’, E’, J’, K’, D’, B’, C’ dans cet ordre. Chaque côté de la figure a pour image un côté de même longueur : c’est un bon moyen de contrôler son tracé.

1. a. On trace un angle droit en A (équerre), on place B à 4 cm de A sur un côté et C à 2 cm de A sur l’autre, puis on trace [BC].

1. b. Un triangle a un axe de symétrie seulement s’il est isocèle (l’axe passe alors par le sommet principal). Ici les trois côtés sont différents (AB = 4 cm, AC = 2 cm et BC est plus long que AB car c’est l’hypoténuse). Le triangle ABC n’a pas d’axe de symétrie.

2. a. On trace un angle droit en N, puis on place M et P à 5 cm de N sur chaque côté : NM = NP = 5 cm.

2. b. Le triangle MNP est isocèle en N : il a un axe de symétrie, la droite qui passe par N et par le milieu de [MP]. C’est la médiatrice de [MP], qui est aussi la bissectrice de l’angle droit \(\widehat{MNP}\) (elle fait 45° avec chaque côté).