Corrigé des 41 exercices sur les angles et les polygones en 6ème à télécharger en PDF

Un angle est formé par deux demi-droites de même origine : cette origine est le sommet, les demi-droites sont les côtés. Alors, de plus, pour nommer l’angle, on écrit trois lettres avec la lettre du sommet au milieu, surmontées d’un chapeau.

• Angle vert : son sommet est A, ses côtés sont les demi-droites [Ax) et [Ay). Puis, il se nomme \( \widehat{xAy} \) (ou \( \widehat{yAx} \)).
• Angle orange : son sommet est O, ses côtés sont [OC) et [Oz). Enfin, il se nomme \( \widehat{COz} \) (ou \( \widehat{zOC} \)).
• Angle bleu : son sommet est P, sommet du triangle LPT ; ses côtés sont [PL) et [PT). Ainsi, il se nomme \( \widehat{LPT} \) (ou \( \widehat{TPL} \)).

Également, on compare chaque angle à l’angle droit (le coin d’une équerre ou d’une feuille) :

• un angle aigu est plus petit qu’un angle droit (mesure comprise entre 0° et 90°) ;
• Enfin, un angle droit mesure exactement 90° ;
• un angle obtus est plus grand qu’un angle droit mais plus petit qu’un angle plat (entre 90° et 180°).

En posant le coin de l’équerre sur le sommet de chaque angle, on obtient :

• En outre, angles aigus : ①, ⑤, ⑦ et ⑧ (l’angle ⑧ est le plus fermé).
• Angle droit : ⑥ (ses deux côtés coïncident avec ceux de l’équerre).
• Ensuite, angles obtus : ②, ③, ④ et ⑨ (l’angle ⑨ ne dépasse l’angle droit que d’une dizaine de degrés : l’équerre le montre bien).

Car méthode : le centre du rapporteur est sur le sommet, la ligne du 0 est sur un côté. Ensuite, on lit alors sur la graduation qui commence à 0 sur ce côté.

a. Le sommet est A et le côté [AB) part vers la droite. Par ailleurs, on utilise donc la graduation dont le 0 est à droite (la graduation extérieure). Puis la demi-droite [AC) passe à deux petites graduations avant 50. Ensuite, on lit :

\[ \widehat{BAC} = 48^{\circ} \]

Ainsi, C’est bien un angle aigu, ce qui confirme qu’on n’a pas lu 132° sur l’autre graduation.

b. Le sommet est O et le côté [ON) part vers la gauche. Puis on utilise la graduation dont le 0 est à gauche (la graduation intérieure). Toutefois, de plus, la demi-droite [OM) passe juste avant 100, à deux petites graduations. Ensuite, on lit :

\[ \widehat{MON} = 98^{\circ} \]

L’angle est obtus (un peu plus grand qu’un angle droit), la lecture est donc cohérente (82° serait un angle aigu).

On décide d’abord à l’œil si l’angle est aigu ou obtus, puis on lit la mesure en partant du 0 situé sur le côté posé contre la ligne du rapporteur (graduations de 10° en 10°). Par ailleurs, l’ordre de grandeur évite de lire sur la mauvaise graduation.

• Donc, a. L’angle bleu est plus petit que l’angle droit : il est aigu. On compte les graduations depuis le côté horizontal gauche : 50°.
• Ensuite, b. L’angle vert dépasse la graduation 90° : il est obtus. Il mesure 110°.
• c. L’angle orange est nettement plus petit que l’angle droit : il est aigu. Il mesure 40°.
• Car d. L’angle rose dépasse légèrement le 90° : il est obtus. Il mesure 100°.

a. En outre, triangle RVE avec \( RV = 7{,}3\text{ cm} \), \( VE = 5{,}5\text{ cm} \) et \( \widehat{RVE} = 130^{\circ} \).

1. À la règle, tracer le segment [VR] de 7,3 cm.
2. Par exemple, placer le centre du rapporteur en V, le 0 sur [VR), et marquer un repère à 130° (angle obtus : il doit être plus ouvert que l’angle droit).
3. Tracer la demi-droite issue de V passant par ce repère et y placer E à 5,5 cm de V.
4. Car tracer le segment [RE].

Contrôle : en mesurant, on trouve \( RE \approx 11{,}6\text{ cm} \) : c’est le plus grand côté, car il est en face de l’angle obtus.

b. Les droites (AD) et (IP) se coupent en S.

1. Ensuite, tracer le segment [AI] de 9,4 cm.
2. En A, avec le rapporteur, tracer une demi-droite faisant un angle de 35° avec [AI), vers le bas.
3. Notamment, en I, tracer une demi-droite faisant un angle de 22° avec [IA), du même côté.
4. Les deux demi-droites se coupent en S.
5. Prolonger [IS) au-delà de S et placer P tel que \( SP = 4{,}1\text{ cm} \).
6. Prolonger [AS) au-delà de S et placer D tel que \( SD = 5{,}5\text{ cm} \).

Donc, contrôle : on doit mesurer environ \( AS \approx 4{,}2\text{ cm} \) et \( IS \approx 6{,}4\text{ cm} \).

a. Ensuite, quadrilatère EFGH. On commence par le triangle EFH, dont on connaît un côté et les deux angles adjacents.

1. Tracer [EH] de 4,2 cm.
2. Puis, en E, tracer une demi-droite formant un angle de 58° avec [EH) ; en H, une demi-droite formant un angle de 53° avec [HE), du même côté. Elles se coupent en F.
3. Car en F, placer le rapporteur sur [FE) et tracer la demi-droite qui fait 126° avec [FE), en passant au-delà de [FH). Placer G sur cette demi-droite à 4,8 cm de F.
4. Tracer [GH].

Contrôle : l’angle \( \widehat{EFH} \) mesure \( 180^{\circ} – 58^{\circ} – 53^{\circ} = 69^{\circ} \), donc \( \widehat{HFG} = 126^{\circ} – 69^{\circ} = 57^{\circ} \).

b. Donc, quadrilatère IJKL. Les codages indiquent \( KJ = LK = 5{,}3\text{ cm} \) et un angle droit en K.

1. Tracer [LK] de 5,3 cm.
2. Toutefois, en K, tracer à l’équerre la perpendiculaire à (LK) et placer J à 5,3 cm de K.
3. En L, tracer une demi-droite faisant un angle de 64° avec [LK).
4. De même, en J, tracer une demi-droite faisant un angle de 93° avec [JK). Elle coupe la précédente en I.

Contrôle : la somme des angles d’un quadrilatère vaut 360°, donc \( \widehat{LIJ} = 360^{\circ} – 64^{\circ} – 90^{\circ} – 93^{\circ} = 113^{\circ} \) ; on doit le retrouver au rapporteur.

a. Le codage indique que l’angle \( \widehat{OGL} \) est droit. Puis la demi-droite [GA) le partage en deux angles : \( \widehat{OGA} \) et \( \widehat{AGL} = 23^{\circ} \). Donc :

De même, \[ \widehat{OGA} = 90^{\circ} – 23^{\circ} = 67^{\circ} \]

Comme \( 67^{\circ} \lt 90^{\circ} \), l’angle \( \widehat{OGA} \) est aigu.

b. Les points O, A et L sont alignés, donc \( \widehat{OAL} \) est un angle plat : il mesure 180°. Ensuite, la demi-droite [AG) le partage en \( \widehat{OAG} = 45^{\circ} \) et \( \widehat{GAL} \). Donc :

En outre, \[ \widehat{GAL} = 180^{\circ} – 45^{\circ} = 135^{\circ} \]

Comme \( 90^{\circ} \lt 135^{\circ} \lt 180^{\circ} \), l’angle \( \widehat{GAL} \) est obtus.

B, A et C sont alignés, donc \( \widehat{BAC} \) est un angle plat de 180°. Puis les demi-droites [Au) et [Av) le partagent en trois angles : \( \widehat{BAu} = 87^{\circ} \), \( \widehat{uAv} \) et \( \widehat{vAC} = 42^{\circ} \).

a. Les trois angles se complètent pour former l’angle plat :

Donc, \[ \begin{aligned} \widehat{uAv} &= 180^{\circ} – 87^{\circ} – 42^{\circ} \\ &= 180^{\circ} – 129^{\circ} \\ &= 51^{\circ} \end{aligned} \]

b. \( \widehat{BAv} \) et \( \widehat{vAC} \) forment l’angle plat :

Puis, \[ \widehat{BAv} = 180^{\circ} – 42^{\circ} = 138^{\circ} \]

(On vérifie : \( 87^{\circ} + 51^{\circ} = 138^{\circ} \).)

Puis, c. \( \widehat{BAu} \) et \( \widehat{uAC} \) forment l’angle plat :

\[ \widehat{uAC} = 180^{\circ} – 87^{\circ} = 93^{\circ} \]

Cependant, (On vérifie : \( 51^{\circ} + 42^{\circ} = 93^{\circ} \).)

a. On trace [BC), puis au rapporteur (centre en B, 0 sur [BC)) la demi-droite [BA) à 104° : l’angle est obtus.

b. La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles de même mesure. Au compas : on trace un arc de centre B qui coupe les deux côtés, puis deux arcs de même rayon centrés sur ces points ; ils se croisent sur la bissectrice. Notamment, de plus, on y place D :

\[ \widehat{ABD} = \widehat{DBC} = 104^{\circ} \div 2 = 52^{\circ} \]

De même, c. On recommence avec l’angle \( \widehat{DBC} \) de 52° ; sa bissectrice porte N :

\[ \widehat{DBN} = \widehat{NBC} = 52^{\circ} \div 2 = 26^{\circ} \]

Également, d. L’angle \( \widehat{ABN} \) est formé de \( \widehat{ABD} \) et de \( \widehat{DBN} \) :

\[ \widehat{ABN} = 52^{\circ} + 26^{\circ} = 78^{\circ} \]

De même, e. Oui, on pouvait le prévoir par le calcul, sans mesurer. Ensuite, l’angle \( \widehat{NBC} \) représente le quart de \( \widehat{ABC} \) : \( 104^{\circ} \div 4 = 26^{\circ} \). Donc \( \widehat{ABN} = 104^{\circ} – 26^{\circ} = 78^{\circ} \) : c’est les trois quarts de l’angle de départ. Par ailleurs, la mesure au rapporteur sur la figure doit confirmer ce résultat.

a. De même, Reproduction en vraie grandeur.

1. Tracer le cercle de centre R et de rayon 5 cm, puis le rayon [RT].
2. Au rapporteur (centre en R, 0 sur [RT)), tracer [RA) avec \( \widehat{TRA} = 66^{\circ} \) ; A est sur le cercle.
3. En outre, en A, tracer une demi-droite faisant 73° avec [AR) ; elle recoupe le cercle en M.
4. En T, tracer une demi-droite faisant 54° avec [TR) vers le bas ; elle recoupe le cercle en I.
5. Alors, en I, tracer une demi-droite faisant 109° avec [IT) ; elle recoupe le cercle en N.
6. Tracer le segment [MN].

Ensuite, b. Au rapporteur, sur une figure soignée, on mesure :

• \( \widehat{AMN} \approx 104^{\circ} \) : plus grand qu’un angle droit, c’est un angle obtus ;
• Également, \( \widehat{INM} \approx 86^{\circ} \) : un peu plus petit qu’un angle droit, c’est un angle aigu (on vérifie à l’équerre qu’il n’est pas droit).

Une petite erreur de tracé peut donner un ou deux degrés d’écart, mais la nature des angles ne change pas.

Ainsi, a. Un angle saillant et l’angle rentrant formé par les mêmes demi-droites font, ensemble, un tour complet, soit 360°. Puis l’angle saillant \( \widehat{TOM} \) mesure 82°, donc l’angle rentrant mesure :

\[ 360^\circ – 82^\circ = 278^\circ \]

On retrouve bien la valeur 278° affichée par le logiciel : pour obtenir l’angle rentrant, on soustrait l’angle saillant à 360°.

Alors, b. Dans chaque colonne, angle saillant + angle rentrant = 360°.

• \( 360^\circ – 200^\circ = 160^\circ \) ; \( 360^\circ – 60^\circ = 300^\circ \) ; \( 360^\circ – 335^\circ = 25^\circ \) ;
• Ensuite, \( 360^\circ – 78^\circ = 282^\circ \) ; \( 360^\circ – 303^\circ = 57^\circ \).

c. Le rapporteur ne mesure que jusqu’à 180°. Ensuite, pour tracer un angle rentrant, on trace l’angle saillant associé, puis on marque le grand côté (l’extérieur) :

• Par exemple, 300° : on trace un angle de \( 360 – 300 = 60^\circ \) ;
• 195° : on trace un angle de \( 360 – 195 = 165^\circ \) ;
• Ainsi, 314° : on trace un angle de \( 360 – 314 = 46^\circ \).

Cependant, pour nommer un angle, on écrit trois lettres avec un chapeau : le sommet au milieu, et de chaque côté un point de chacun des deux côtés. Puis les côtés sont des demi-droites qui partent du sommet.

Remarque : on peut aussi écrire \( \widehat{CAB} \), \( \widehat{HGF} \)… (on échange les deux lettres extérieures), mais le sommet reste toujours au milieu. De plus, pour l’angle 2, G et F sont sur la même demi-droite issue de D, donc \( \widehat{EDF} = \widehat{EDG} \).

Toutefois, on lit la lettre du milieu : c’est le sommet. Ensuite, les deux autres lettres indiquent les deux côtés.

• a. \( \widehat{ECO} \) : sommet C, entre [CE) (vers B) et [CO) → rouge.
• De même, b. \( \widehat{CUO} \) : sommet U, entre [UC) et [UO) → vert.
• c. \( \widehat{UBO} \) : sommet B, entre [BU) et [BO) → bleu.
• Ensuite, d. \( \widehat{CEU} \) : sommet E, entre [EC) et [EU) → orange.
• e. \( \widehat{COU} \) : sommet O, entre [OC) et [OU) → jaune.
• Également, f. \( \widehat{EUB} \) : sommet U, entre [UE) et [UB) → rose.

Attention : en U, il y a deux angles différents, \( \widehat{CUO} \) (en haut, vert) et \( \widehat{EUB} \) (en bas, rose), séparés par la diagonale [UO].

On compare la mesure à 90° (angle droit) et à 180° (angle plat) : un angle aigu mesure moins de 90°, un angle obtus entre 90° et 180°.

• De même, a. 27° : aigu ; b. 12,3° : aigu ; c. 90° : droit ; d. 1° : aigu ; e. 154° : obtus ;
• f. 32° : aigu ; g. 179,9° : obtus (il est très proche de 180°, mais pas plat) ; h. 80° : aigu ; i. 180° : plat ; j. 93,90° = 93,9° : obtus.

Par exemple, on regarde l’ouverture de chaque angle coloré (et on peut vérifier avec l’équerre : plus fermé que l’angle droit = aigu, plus ouvert = obtus).

• a. \( \widehat{FAB} \) est obtus (plus ouvert que l’équerre, environ 105°).
• Enfin, b. \( \widehat{ABC} \) est aigu (environ 55°).
• c. \( \widehat{BCD} \) est aigu : l’angle coloré en C est le petit angle entre [CB) et [CD), dans l’encoche (environ 40°).
• Également, d. \( \widehat{CDE} \) est aigu (environ 55°).
• e. \( \widehat{FED} \) est obtus (environ 100°).
• De même, f. \( \widehat{EFA} \) est droit : il est codé par un petit carré.

Puis, on lit sur la figure : \( \widehat{pCq} = 20^\circ \) et \( \widehat{nCp} = 90^\circ \) (codage de l’angle droit). Par ailleurs, les points m, C et q sont alignés : \( \widehat{mCq} \) est un angle plat de 180°.

a. L’angle \( \widehat{qCn} \) est formé des angles \( \widehat{qCp} \) et \( \widehat{pCn} \), côte à côte :

\[ \widehat{qCn} = 20^\circ + 90^\circ = 110^\circ \]

Alors, b. Les angles \( \widehat{mCn} \) et \( \widehat{nCq} \) forment ensemble l’angle plat :

\[ \widehat{mCn} = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ \]

c. De même, \( \widehat{mCp} \) et \( \widehat{pCq} \) forment l’angle plat :

\[ \widehat{mCp} = 180^\circ – 20^\circ = 160^\circ \]

(Vérification : \( \widehat{mCp} = \widehat{mCn} + \widehat{nCp} = 70^\circ + 90^\circ = 160^\circ \).)

Le centre du rapporteur est sur le sommet et l’un des côtés passe par le zéro. Puis on compte les graduations de 10° en partant de ce côté jusqu’à l’autre côté (repère : la graduation 90° est au milieu).

• a. 6 graduations : 60° (angle aigu).
• Ainsi, b. Un peu plus de 90° : 100° (angle obtus).
• c. 130° (le côté de gauche est 40° au-delà de la graduation 90°).
• Par ailleurs, d. 150° (angle obtus, très ouvert).
• e. 3 graduations : 30°.
• f. 1 graduation avant 90° : 80°.

Car un rapporteur a deux graduations. Ensuite, on choisit celle dont le 0 est sur le premier côté de l’angle, puis on lit où passe le second côté. Puis on vérifie ensuite la cohérence : angle aigu → moins de 90°, angle obtus → plus de 90°.

• a. [BA) passe par le 0 de la graduation intérieure (à gauche). [BC) coupe cette graduation un peu avant 160 : \( \widehat{ABC} \approx 158^\circ \) (l’angle est obtus, on ne lit pas 22°).
• Notamment, b. [EF) passe par le 0 de la graduation extérieure (à droite). [ED) passe un peu après 60 : \( \widehat{DEF} \approx 63^\circ \) (angle aigu).
• c. [HG) passe par le 0 de la graduation intérieure. [HI) passe entre 30 et 40, plus près de 40 : \( \widehat{GHI} \approx 37^\circ \) (angle aigu, on ne lit pas 143°).

Pour chaque angle : centre du rapporteur sur O, zéro sur [Ox) (ou [Oy)), lecture sur la graduation qui part de ce zéro. De plus, on annonce d’abord si l’angle est aigu ou obtus pour éviter de lire la mauvaise graduation. Ensuite, les mesures ci-dessous sont celles de la figure de l’énoncé ; selon l’impression, une différence de 1° ou 2° est normale.

• Enfin, a. ≈ 40° (aigu) ; b. ≈ 130° (obtus) ; c. ≈ 65° (aigu) ; d. ≈ 95° (obtus, à peine plus qu’un angle droit) ; e. ≈ 82° (aigu) ;
• f. ≈ 74° (aigu) ; g. ≈ 168° (obtus, presque plat) ; h. ≈ 127° (obtus) ; i. ≈ 26° (aigu) ; j. ≈ 113° (obtus).

Le premier côté passe par le centre et par le 0 d’une graduation. Par ailleurs, on compte à partir de ce 0 jusqu’à la mesure voulue, on fait un repère, puis on trace à la règle la demi-droite qui part du centre et passe par ce repère.

• En outre, a. 70° : 20° avant la graduation 90°, on obtient un angle aigu.
• b. 110° : le premier côté part vers la gauche ; le second côté dépasse la graduation 90° de 20°, vers la droite.
• Puis, c. 20° : le second côté est très proche du premier.
• d. 140°, e. 170°, f. 50° : même méthode sur les rapporteurs tournés ; pour 170°, le second côté est presque dans le prolongement du premier.

a. On trace un segment [AB] de 6 cm à la règle.

Ainsi, b. Chaque voilier est repéré par deux angles, l’un mesuré en A et l’autre en B. Puis les voiliers sont tous du même côté de la ligne (devant les juges). Ensuite, pour le voilier C :

• on construit en A la demi-droite qui fait avec [AB] un angle \( \widehat{BAC} = 34^\circ \) ;
• Alors, on construit en B, du même côté de [AB], la demi-droite qui fait un angle \( \widehat{ABC} = 65^\circ \) ;
• C est le point d’intersection des deux demi-droites.

On fait de même pour D (\( \widehat{BAD} = 42^\circ \), \( \widehat{ABD} = 36^\circ \)) et pour E (\( \widehat{BAE} = 23^\circ \), \( \widehat{ABE} = 45^\circ \)).

Ensuite, c. Le voilier en tête est celui qui est le plus proche de la ligne d’arrivée. Puis on mesure la distance de chaque point à la droite (AB) avec l’équerre : environ 3,1 cm pour C, 2,4 cm pour D et 1,8 cm pour E.

a. Enfin, programme de construction (les codages indiquent trois segments de 3,5 cm et deux segments de 2 cm) :

1. Tracer un segment de 3,5 cm reliant le point du haut à gauche au sommet de l’angle de 30°.
2. Également, en ce sommet, construire au rapporteur un angle de 30° et placer sur le nouveau côté un point à 3,5 cm du sommet.
3. Prolonger ce côté au-delà du sommet de 3,5 cm : l’angle de 150° est alors obtenu automatiquement, car \( 30^\circ + 150^\circ = 180^\circ \) (les trois points sont alignés).
4. Relier le point du haut au point du milieu à gauche, prolonger ce segment vers le bas de 2 cm, puis relier le point du bas à l’extrémité de droite.

Remarque : avec 3,5 cm, 3,5 cm et 30°, le petit côté vertical du haut mesure en réalité environ 1,8 cm (et non 2 cm) ; c’est une légère imprécision de l’énoncé, sans conséquence pour la question b.

b. Nommer les points.

• \( \widehat{ABC} = 30^\circ \) : le sommet de l’angle de 30° est B, et A, C sont les extrémités de ses deux côtés (le point du milieu à gauche et le point du haut).
• En outre, \( \widehat{EAD} \) est obtus : le sommet A doit avoir un angle obtus. Au point du milieu à gauche, l’angle entre le segment vers le bas et le segment qui monte vers la droite est obtus (environ 105°). Donc A est le point du milieu à gauche, C le point du haut, et D, E sont le point du bas et l’extrémité de droite.
• Enfin, dans le triangle ADE, \( \widehat{ADE} \lt \widehat{AED} \). L’angle à l’extrémité de droite est très fermé, celui du point du bas est beaucoup plus grand : donc D est l’extrémité de droite et E le point du bas.

En effet, a. Dans le losange ABCD, les angles en A et en C mesurent 72°, et les angles en B et en D mesurent \( 72^\circ + 36^\circ = 108^\circ \).

1. Tracer [AB] de 5 cm.
2. En effet, en A, construire un angle de 72° et placer D sur le nouveau côté avec AD = 5 cm.
3. Placer C tel que BC = 5 cm et DC = 5 cm (deux arcs de cercle au compas) : ABCD est un losange.
4. Pour E : en D, construire l’angle \( \widehat{ADE} = 72^\circ \) à partir de [DA) ; en B, construire l’angle \( \widehat{ABE} = 72^\circ \) à partir de [BA). E est l’intersection des deux demi-droites.

Alors, on peut vérifier : E se trouve sur la diagonale [AC], à 5 cm de A. De plus, en effet, dans le triangle ADE, l’angle en A vaut 36° (la diagonale coupe l’angle de 72° en deux) et l’angle en D vaut 72°, donc l’angle en E vaut \( 180^\circ – 36^\circ – 72^\circ = 72^\circ \) : le triangle ADE est isocèle en A et AE = AD = 5 cm.

b. On décalque le losange (avec le trait [DE] et [EB]) quatre fois, on découpe les cinq losanges, puis on les assemble autour d’un même point en faisant coïncider les sommets de 72° : \( 5 \times 72^\circ = 360^\circ \), les cinq losanges font exactement un tour complet et forment l’étoile du motif.

c. Recherche libre : les pavages de Penrose recouvrent le plan sans jamais se répéter de façon régulière (pavages « apériodiques »), et le rapport des côtés du cerf-volant fait apparaître le nombre d’or (environ 1,618).

Traduction : a. Découpe deux angles tels que \( \widehat{xOy} = 30^\circ \) et \( \widehat{uIv} = 70^\circ \). b. Donc, explique comment construire sans rapporteur un angle de 100°, de 40°, de 130°.

a. Avec le rapporteur, on trace sur une feuille un angle de 30° et un angle de 70°, puis on les découpe : ce sont nos deux « gabarits ».

b. On ne peut plus utiliser le rapporteur, mais on peut ajouter ou soustraire des angles en plaçant les gabarits côte à côte ou l’un sur l’autre.

• 100° \( = 70^\circ + 30^\circ \) : on trace le contour de l’angle de 70°, puis on pose l’angle de 30° contre l’un de ses côtés, à l’extérieur, avec le même sommet ; on trace le côté libre.
• 40° \( = 70^\circ – 30^\circ \) : on trace l’angle de 70°, on pose l’angle de 30° à l’intérieur, sur l’un des côtés et avec le même sommet ; l’angle qui reste entre le côté libre et l’autre côté mesure 40°.
• 130° \( = 70^\circ + 30^\circ + 30^\circ \) : on reporte l’angle de 70°, puis deux fois l’angle de 30°, bout à bout.

Même énoncé que l’exercice 24 : cette fois, on rédige la réponse en anglais et on propose d’autres combinaisons, en utilisant aussi l’angle plat (180°), facile à tracer à la règle.

a. With a protractor, draw an angle of 30° and an angle of 70° on a sheet of paper, then cut them out.

En effet, b. We add or subtract the angles by putting them side by side, or one on top of the other, with the same vertex.

• 100° : put the two angles side by side: \( 30^\circ + 70^\circ = 100^\circ \).
• Puis, 40° : draw a straight angle (a line), then put the 70° angle twice along it: \( 180^\circ – 70^\circ – 70^\circ = 40^\circ \). (Another way: \( 70^\circ – 30^\circ = 40^\circ \).)
• 130° : put the 70° angle and the 30° angle twice side by side: \( 70^\circ + 30^\circ + 30^\circ = 130^\circ \). (Another way: \( 100^\circ + 30^\circ \).)

Notamment, Petit lexique : angle = angle, vertex = sommet, side = côté, protractor = rapporteur, straight angle = angle plat, right angle = angle droit.

Donc, dans un pentagone régulier, les cinq côtés sont égaux et les cinq sommets sont sur un cercle de centre O. Ensuite, les cinq angles au centre \( \widehat{AOB} \), \( \widehat{BOC} \), \( \widehat{COD} \), \( \widehat{DOE} \), \( \widehat{EOA} \) sont donc égaux et font ensemble un tour complet :

\[ 360^\circ \div 5 = 72^\circ \]

Construction :

1. Tracer un cercle de centre O et placer un point A sur ce cercle ; tracer le rayon [OA].
2. Puis, Avec le rapporteur, construire l’angle \( \widehat{AOB} = 72^\circ \) ; B est le point où le second côté coupe le cercle.
3. Recommencer à partir de [OB) : \( \widehat{BOC} = 72^\circ \) donne C, puis D et E de la même façon (on peut aussi reporter la longueur AB au compas sur le cercle).
4. Relier A, B, C, D, E dans l’ordre.

Explication : les triangles AOB, BOC, COD, DOE et EOA ont deux côtés égaux au rayon et le même angle de 72° entre ces côtés : ils sont superposables, donc AB = BC = CD = DE = EA, et ABCDE est bien un pentagone régulier.

1. Puis, lire l’échelle. Le segment « 5 km » mesure exactement un carreau. De O à I il y a 5 carreaux : le grand demi-cercle a donc un rayon de 5 × 5 = 25 km, le moyen un rayon de 4 carreaux, soit 20 km, et le petit un rayon de 3 carreaux, soit 15 km.

2. Lire les angles. Les angles se mesurent au rapporteur, centre du rapporteur sur O et graduation 0 sur la demi-droite [OI). Par ailleurs, on lit (à 1° près, la précision d’un rapporteur) :

Ensuite, les angles \( \widehat{IOR} \) et \( \widehat{IOT} \) sont obtus (R et T sont à gauche de O), l’angle \( \widehat{IOS} \) est aigu (S est à droite).

3. Placer l’avion A. On trace au rapporteur la demi-droite qui fait un angle de 128° avec [OI), puis on place A sur cette demi-droite à 10 km de O, c’est-à-dire à 2 carreaux de O (on peut reporter 2 carreaux au compas). A est plus près de O que T, et presque dans la même direction.

On ne peut pas mesurer AT directement (le lac est au milieu), mais on connaît le triangle AGT : GA = 150 m, GT = 120 m et \( \widehat{AGT} = 70^\circ \). Puis l’idée du géomètre : tracer ce triangle à l’échelle, puis mesurer AT sur le dessin.

1. Choisir une échelle. Avec 1 cm pour 20 m :

• \( 150 \div 20 = 7{,}5 \) donc GA est représenté par 7,5 cm ;
• \( 120 \div 20 = 6 \) donc GT est représenté par 6 cm.

2. Cependant, construire. Tracer [GA] de 7,5 cm ; placer le rapporteur en G et tracer la demi-droite qui fait un angle de 70° avec [GA) ; placer T sur cette demi-droite à 6 cm de G ; tracer [AT].

3. Mesurer et convertir. Sur le dessin, on mesure AT ≈ 7,8 cm. Chaque centimètre représente 20 m :

\[ 7{,}8 \times 20 = 156 \text{ m} \]

Une mesure précise à la règle donne entre 7,8 et 7,9 cm, donc une distance d’environ 156 à 158 m.

a. Construction (règle, équerre, rapporteur) :

1. Ainsi, tracer [OM] de 5 cm.
2. En O, tracer à l’équerre la perpendiculaire à (OM). Alors, en M, tracer au rapporteur la demi-droite qui fait 40° avec [MO). Ces deux droites se coupent en V (on mesure OV ≈ 4,2 cm).
3. En M, à partir de [MV), tracer la demi-droite qui fait 78° et placer R dessus avec MR = 5 cm (même codage que [OM]).
4. En M, à partir de [MR), tracer la demi-droite qui fait 60°. En R, à partir de [RM), tracer la demi-droite qui fait 37°. Également, elles se coupent en N (on mesure MN ≈ 3 cm).

b. Les points O, M et N sont-ils alignés ? Ils seraient alignés si l’angle \( \widehat{OMN} \) était un angle plat, c’est-à-dire s’il mesurait 180°. Or les trois angles de sommet M se suivent :

\[ \widehat{OMV} + \widehat{VMR} + \widehat{RMN} = 40^\circ + 78^\circ + 60^\circ = 178^\circ \]

178° n’est pas égal à 180° : l’angle \( \widehat{OMN} \) n’est pas plat, donc O, M et N ne sont pas alignés. Sur un dessin, un écart de 2° ne se voit presque pas : c’est pour cela qu’on ne peut pas conclure « à l’œil » ou à la règle. Ensuite, on en est certain parce que la réponse vient d’un calcul avec les mesures données, et non d’une observation du dessin.

Dans chaque cas, le rapporteur est déjà bien placé : son centre est sur le sommet et sa ligne de base sur le côté tracé. Puis il faut choisir la graduation qui vaut 0 sur le côté déjà tracé.

• Ainsi, a. Le côté [BA) part vers la gauche : on utilise la graduation qui a son 0 à gauche (graduation intérieure). On repère 55 sur cette graduation, on marque un point C, et on trace [BC). \( \widehat{ABC} = 55^\circ \) est un angle aigu.
• En effet, b. Le côté [EF) part vers la droite : on utilise la graduation qui a son 0 à droite (graduation extérieure). On repère 108, on marque un point D et on trace [ED). \( \widehat{DEF} = 108^\circ \) est obtus.
• Alors, c. Le côté [HG) part vers le haut à gauche : on lit la graduation qui a son 0 du côté de G (graduation intérieure). On repère 143 et on trace [HI). \( \widehat{GHI} = 143^\circ \) est obtus.

En outre, contrôle : un angle de 55° doit être « plus fermé » que l’angle droit, ceux de 108° et 143° « plus ouverts ». Si ce n’est pas le cas, on a lu la mauvaise graduation (on aurait tracé 125°, 72° ou 37°).

Méthode, pour chaque cas :

1. Par ailleurs, placer le centre du rapporteur sur O et sa ligne 0 sur la demi-droite [Ox) ;
2. lire la graduation qui a son 0 sur [Ox) et marquer un point en face de la mesure demandée, du côté indiqué par l’arc violet ;
3. retirer le rapporteur et tracer [Oy) à la règle depuis O jusqu’à ce point.

• En outre, a. 56° : angle aigu, [Oy) part vers le bas à droite.
• b. 156° : angle très ouvert, [Oy) part presque à l’opposé de [Ox), vers la gauche.
• c. 125° : angle obtus, [Oy) part vers le haut à droite.
• Cependant, d. 25° : angle aigu, [Oy) est proche de [Ox).
• e. 93° : presque un angle droit, [Oy) part vers le bas à droite.
• Ainsi, f. 33° : angle aigu, [Oy) part vers le haut à gauche.

Vérification rapide : les angles de 56°, 25° et 33° sont aigus (plus petits qu’un coin d’équerre) ; ceux de 156° et 125° sont obtus ; celui de 93° dépasse à peine l’angle droit.

On construit chaque côté l’un après l’autre : un angle au rapporteur, puis une longueur à la règle. De plus, on respecte le sens des virages de la figure.

Ligne ABCD (à partir de [BA] de 8 cm) :

1. Car en B, tracer la demi-droite qui fait 35° avec [BA), vers le haut, et y placer C avec BC = 7 cm.
2. En C, tracer la demi-droite qui fait 100° avec [CB), vers le haut à gauche, et y placer D avec CD = 6 cm.

Ligne EFGHI (à partir de [EF] de 6,5 cm) :

1. De même, en F, angle de 26° avec [FE), et FG = 6 cm (G est au-dessus de E).
2. En G, angle de 47° avec [GF), et GH = 7 cm (H repart vers la droite).
3. De même, en H, angle de 104° avec [HG), et HI = 3 cm (vers le haut).

Conseil : on vérifie chaque angle avant de passer au côté suivant, car une erreur de quelques degrés au début décale toute la fin de la ligne.

Puis, figure BULE (à partir de [BU] de 8 cm) :

1. Donc, en U, tracer à l’équerre la perpendiculaire à (BU) et placer L avec UL = 7 cm.
2. En B, tracer au rapporteur la demi-droite qui fait 68° avec [BU) et placer E avec BE = 7 cm.
3. Alors, tracer le côté [EL].

Figure SAVNO (à partir de [SA] de 7,2 cm) :

1. En S, tracer la demi-droite qui fait 45° avec [SA) ; en A, celle qui fait 64° avec [AS). En outre, elles se coupent en V.
2. Prolonger [SV) au-delà de V et placer N avec VN = 3,3 cm.
3. Puis, prolonger [AV) au-delà de V. En N, tracer la demi-droite qui fait 82° avec [NV) ; elle coupe le prolongement de [AV) en O. Tracer [NO].

En outre, remarque : dans le triangle SVA, l’angle en V mesure \( 180^\circ – 45^\circ – 64^\circ = 71^\circ \). Par les angles opposés par le sommet, \( \widehat{OVN} = 71^\circ \) aussi, et dans le triangle OVN l’angle en O mesure \( 180^\circ – 71^\circ – 82^\circ = 27^\circ \) : c’est un moyen de contrôler sa figure.

Enfin, l’étoile a 10 côtés de 4 cm. Ensuite, le codage indique que les 5 angles des pointes sont égaux à 42° et que les 5 angles marqués aux creux (mesurés à l’extérieur de l’étoile) sont égaux à 114°.

Construction :

1. Tracer un premier côté [PQ] de 4 cm.
2. En Q (une pointe), tracer au rapporteur une demi-droite qui fait 42° avec [QP) et placer le point suivant à 4 cm de Q.
3. En ce point (un creux), tracer la demi-droite qui fait 114° avec le côté précédent, à l’extérieur de l’étoile, et placer le point suivant à 4 cm.
4. De même, recommencer en alternant 42° (pointe) et 114° (creux) jusqu’à revenir au point P.

Contrôle : l’étoile se referme bien. Par ailleurs, en effet, à chaque creux, l’angle intérieur mesure \( 360^\circ – 114^\circ = 246^\circ \), et la somme des angles d’un polygone à 10 côtés vaut \( 8 \times 180^\circ = 1\,440^\circ \) : on a bien \( 5 \times 42^\circ + 5 \times 246^\circ = 210^\circ + 1\,230^\circ = 1\,440^\circ \). Par ailleurs, Si la fin ne tombe pas sur P, c’est qu’un angle a été tracé du mauvais côté.

En effet, tous les triangles ont le même côté [AB] = 8 cm (le côté de ABS). Puis on trace [AB] en bas d’une feuille A4 posée à l’horizontale, bien au milieu.

• ABS équilatéral : arcs de cercle de rayon 8 cm de centres A et B ; ils se coupent en S.
• ABC isocèle en C avec AC = 14 cm : alors BC = AC = 14 cm ; arcs de rayon 14 cm de centres A et B (ou report à la règle). Également, C est sur la médiatrice de [AB] ; on contrôle qu’il est à environ 13,4 cm au-dessus de [AB].
• ABD : en A, demi-droite à 88° de [AB), et AD = 14,4 cm.
• Par exemple, ABE : en A, 99°, et AE = 11,9 cm.
• ABF : en A, 119°, et AF = 12,5 cm.
• En effet, ABG : en A, 136°, et AG = 7,4 cm.
• ABH : en A, 164°, et AH = 7,2 cm.

Pour chaque triangle, on relie ensuite le point obtenu à B.

De l’autre côté, on fait « la même chose en partant de B » : en B, angle de 88° avec [BA) et BD′ = 14,4 cm, puis 99° et BE′ = 11,9 cm, 119° et BF′ = 12,5 cm, 136° et BG′ = 7,4 cm, 164° et BH′ = 7,2 cm. Ensuite, on obtient la figure symétrique par rapport à la médiatrice de [AB].

Cependant, il reste à colorier en noir et blanc comme sur le modèle : la figure obtenue a un axe de symétrie, la médiatrice de [AB], qui passe par S et C.

De même, on part du segment [BA] de 60 mm déjà tracé et on construit les étoiles une par une, en respectant le côté de chaque angle (celui où se trouve l’arc sur le modèle) :

1. En B : angle de 137° avec [BA), puis BC = 44 mm.
2. En C : angle de 174° avec [CB) (presque plat : la ligne tourne à peine), puis CD = 49 mm.
3. En D : angle de 128° avec [DC), puis DE = 41 mm.
4. En E : angle de 106° avec [ED), puis EF = 68 mm.
5. En F : angle de 102° avec [FE), puis FG = 49 mm.
6. Relier G à D pour fermer le « chariot » DEFG.

Alors, contrôle : sur une figure bien faite, on mesure GD ≈ 90 mm. Puis un écart de plusieurs millimètres signale un angle tracé du mauvais côté ou une mauvaise graduation.

Dans le trapèze ABCD, les bases sont [BC] et [AD], donc (BC) // (AD). Toutefois, de plus, on connaît AD = 6,5 cm, AB = 3,5 cm, BC = 4 cm, et la longueur 5,6 cm écrite au milieu de la figure : c’est celle de la diagonale [BD] (non tracée sur le croquis). Ensuite, ces données suffisent : le triangle ABD est connu par ses trois côtés.

Programme de construction :

1. Tracer le segment [AD] de 6,5 cm.
2. Tracer l’arc de cercle de centre A et de rayon 3,5 cm, puis l’arc de cercle de centre D et de rayon 5,6 cm. Enfin, ils se coupent en B (au-dessus de [AD]).
3. Tracer la droite parallèle à (AD) passant par B (avec la règle et l’équerre).
4. Sur cette parallèle, du côté de D, placer C tel que BC = 4 cm.
5. Cependant, tracer les côtés [AB], [BC] et [CD].

Sur la figure obtenue, on mesure CD ≈ 3,1 cm. Par ailleurs, le croquis à main levée n’est pas fidèle aux proportions : c’est normal, seules les mesures écrites comptent.

Deux angles sont égaux lorsqu’ils portent le même codage. Puis on nomme chaque angle avec son sommet au milieu. En effet, trois codages différents apparaissent :

• Arc simple : en B à gauche de (FB), en C à gauche de (EC), en F à droite de (FB), en E à droite de (EC). Donc
  \[ \widehat{ABF} = \widehat{BCE} = \widehat{BFE} = \widehat{CED} \]
• Donc, Arc double : en B à droite de (FB), sous [AC], et en E à gauche de (EC), au-dessus de [FD]. Donc
  \[ \widehat{FBC} = \widehat{FEC} \]
• Arc avec un petit trait : en F, entre [FA] et [FB], et en C, entre [CE] et [CD]. Donc
  \[ \widehat{AFB} = \widehat{ECD} \]

Comme A, B, C sont alignés et F, E, D aussi, certains angles ont plusieurs noms : par exemple \( \widehat{BCE} = \widehat{ACE} \) et \( \widehat{BFE} = \widehat{BFD} \).

a. Construction

1. Tracer [BC] de 4 cm.
2. Puis, en B, tracer la demi-droite [BA) telle que \( \widehat{ABC} = 160^\circ \).
3. En C, tracer la demi-droite [CD) telle que \( \widehat{BCD} = 110^\circ \), du même côté de (BC) que A.
4. Prolonger les deux demi-droites de l’autre côté de (BC) : les droites (BA) et (CD) se coupent en E.

b. On mesure au rapporteur \( \widehat{BEC} \) : sur une figure bien faite, on trouve 90° (à 1° ou 2° près, selon la précision du tracé).

On peut d’ailleurs le justifier. A, B, E sont alignés, donc \( \widehat{ABC} \) et \( \widehat{CBE} \) forment un angle plat :

\[ \widehat{CBE} = 180^\circ – 160^\circ = 20^\circ \]

De même, D, C, E sont alignés : \( \widehat{BCE} = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ \). Ensuite, dans le triangle BEC, la somme des angles vaut 180° :

\[ \widehat{BEC} = 180^\circ – 20^\circ – 70^\circ = 90^\circ \]

Pour chaque angle : centre du rapporteur sur le sommet, ligne 0 sur le côté horizontal, puis lecture sur la graduation qui part de 0 sur ce côté. Puis on prolonge un côté trop court à la règle si besoin. Avant de lire, on regarde si l’angle est aigu (moins de 90°) ou obtus (plus de 90°) pour ne pas se tromper de graduation.

Ensuite, ces mesures ont été prises sur la fiche numérisée : sur la feuille imprimée, un écart de 1° ou 2° est normal. De plus, en revanche, trouver par exemple 138° au lieu de 42° pour le premier angle signale une lecture sur la mauvaise graduation.

Puis, chaque segment est le premier côté de l’angle, et le point marqué d’un petit trait (A, B, C, D ou E) est le sommet. Ensuite, pour chaque angle :

1. centre du rapporteur sur le sommet, ligne 0 sur le segment ;
2. lire la graduation qui vaut 0 sur le segment et marquer un point en face de la mesure ;
3. Cependant, tracer à la règle le second côté depuis le sommet et marquer l’angle d’un arc.

• En A : 43° (aigu), le segment part vers la droite, on lit la graduation dont le 0 est à droite.
• Donc, en B : 35° (aigu), le segment part vers la gauche, on lit la graduation dont le 0 est à gauche.
• En C : 130° (obtus), le segment part vers la gauche.
• Cependant, en D : 76° (aigu, proche de l’angle droit), le segment part vers la droite.
• En E : 159° (très obtus, proche de l’angle plat), le segment part vers la droite.