La multiplication en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Règle : multiplier par 10, 100, 1 000, 10 000 revient à décaler la virgule de 1, 2, 3, 4 rangs vers la droite (on ajoute des zéros si nécessaire).

• a. \(4{,}357 \times 100 = \mathbf{435{,}7}\) (virgule décalée de 2 rangs)
• b. \(89{,}7 \times 1\,000 = \mathbf{89\,700}\) (3 rangs : on ajoute deux zéros)
• c. \(0{,}043 \times 10 = \mathbf{0{,}43}\)
• d. \(0{,}28 \times 1\,000 = \mathbf{280}\)
• e. \(39 \times 100 = \mathbf{3\,900}\)
• f. \(0{,}48 \times 10 = \mathbf{4{,}8}\)
• g. \(354 \times 10 = \mathbf{3\,540}\)
• h. \(0{,}03 \times 10\,000 = \mathbf{300}\) (4 rangs)

Règle : le nombre de chiffres après la virgule du produit est égal à la somme des nombres de chiffres après la virgule des deux facteurs. On complète par des zéros à gauche si le résultat donné n’a pas assez de chiffres.

• a. \(12{,}8 \times 5{,}3\) : 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule, donc \(12{,}8 \times 5{,}3 = \mathbf{67{,}84}\).
• b. \(28{,}7 \times 1{,}04\) : 1 + 2 = 3 chiffres, donc \(28{,}7 \times 1{,}04 = \mathbf{29{,}848}\).
• c. \(0{,}15 \times 6{,}3\) : 2 + 1 = 3 chiffres, donc \(0{,}15 \times 6{,}3 = \mathbf{0{,}945}\) (on ajoute le zéro des unités).
• d. \(0{,}008 \times 543{,}9\) : 3 + 1 = 4 chiffres, donc \(0{,}008 \times 543{,}9 = \mathbf{4{,}3512}\).
• e. \(0{,}235 \times 0{,}132\) : 3 + 3 = 6 chiffres ; « 3102 » n’en a que 4, on ajoute deux zéros devant : \(0{,}235 \times 0{,}132 = \mathbf{0{,}031\,02}\).

Contrôle par ordre de grandeur : \(13 \times 5 = 65\) (a) ; \(29 \times 1 = 29\) (b) ; \(0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}02\) (e). Les résultats sont cohérents.

Méthode : on multiplie comme si les nombres étaient entiers, puis on place la virgule en comptant les chiffres après la virgule des facteurs.

a. \(9\,376 \times 5 = 46\,880\). Le facteur 93,76 a 2 chiffres après la virgule, donc \(93{,}76 \times 5 = \mathbf{468{,}8}\) (on peut écrire 468,80).

b. Multiplication posée de 3 561 par 14 :

\(3\,561 \times 4 = 14\,244\) et \(3\,561 \times 10 = 35\,610\), soit \(49\,854\). Un chiffre après la virgule : \(356{,}1 \times 14 = \mathbf{4\,985{,}4}\).

c. \(149 \times 8 = 1\,192\). Il y a 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule : \(14{,}9 \times 0{,}8 = \mathbf{11{,}92}\).

Contrôle : \(94 \times 5 = 470\) ; \(356 \times 14 \approx 360 \times 14 = 5\,040\) ; \(15 \times 0{,}8 = 12\).

On calcule le produit des entiers, puis on place la virgule (nombre total de chiffres après la virgule des deux facteurs).

• a. \(52 \times 8 = 416\) ; 1 chiffre après la virgule : \(52 \times 0{,}8 = \mathbf{41{,}6}\).
• b. \(17 \times 9 = 153\) ; 1 + 2 = 3 chiffres : \(1{,}7 \times 0{,}09 = \mathbf{0{,}153}\).
• c. \(41 \times 5 = 205\) ; 2 chiffres : \(0{,}41 \times 5 = \mathbf{2{,}05}\).
• d. \(13 \times 75 = 975\) ; 1 + 1 = 2 chiffres : \(1{,}3 \times 7{,}5 = \mathbf{9{,}75}\).
• e. \(17 \times 28 = 476\) ; 2 + 1 = 3 chiffres : \(0{,}17 \times 2{,}8 = \mathbf{0{,}476}\).
• f. \(105 \times 321 = 33\,705\) ; 1 + 1 = 2 chiffres : \(10{,}5 \times 32{,}1 = \mathbf{337{,}05}\).

Détail du f. : \(105 \times 321 = 105 \times 300 + 105 \times 21 = 31\,500 + 2\,205 = 33\,705\). Ordre de grandeur : \(10 \times 32 = 320\), cohérent avec 337,05.

Rappels : multiplier par 10, 100, 1 000 décale la virgule vers la droite ; multiplier par 0,1 ou 0,01 la décale de 1 ou 2 rangs vers la gauche (c’est prendre le dixième, le centième).

• \(3{,}4 \times 100 = \mathbf{340}\)
• \(\mathbf{3{,}47} \times 10 = 34{,}7\) (on cherche le nombre qui, multiplié par 10, donne 34,7 : on décale la virgule d’un rang vers la gauche)
• \(0{,}58 \times 0{,}1 = \mathbf{0{,}058}\)
• \(0{,}02 \times 1\,000 = \mathbf{20}\)
• \(5\,923 \times 0{,}01 = \mathbf{59{,}23}\)
• \(34{,}78 \times \mathbf{0{,}01} = 0{,}3478\) (la virgule a reculé de 2 rangs)
• \(564{,}8 \times 100 = \mathbf{56\,480}\)
• \(0{,}28 \times \mathbf{1\,000} = 280\) (la virgule a avancé de 3 rangs)
• \(0{,}002 \times 0{,}1 = \mathbf{0{,}000\,2}\)
• \(10 \times 0{,}01 = \mathbf{0{,}1}\)

a. \(68{,}7 \times 39\) : on pose \(687 \times 39\).

\(687 \times 9 = 6\,183\) et \(687 \times 30 = 20\,610\), total \(26\,793\). Un chiffre après la virgule : \(68{,}7 \times 39 = \mathbf{2\,679{,}3}\). (Contrôle : \(70 \times 40 = 2\,800\).)

b. \(123 \times 6{,}3\) : \(123 \times 3 = 369\) et \(123 \times 60 = 7\,380\), total \(123 \times 63 = 7\,749\). Un chiffre après la virgule : \(123 \times 6{,}3 = \mathbf{774{,}9}\). (Contrôle : \(120 \times 6 = 720\).)

c. \(13 \times 7 = 91\) ; 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule : \(1{,}3 \times 0{,}7 = \mathbf{0{,}91}\).

d. \(54{,}6 \times 8{,}25\) : on pose \(546 \times 825\).

\(546 \times 5 = 2\,730\), \(546 \times 20 = 10\,920\), \(546 \times 800 = 436\,800\), total \(450\,450\). Il y a 1 + 2 = 3 chiffres après la virgule : \(54{,}6 \times 8{,}25 = 450{,}450 = \mathbf{450{,}45}\). (Contrôle : \(55 \times 8 = 440\).)

On utilise deux outils : l’ordre de grandeur du résultat et le dernier chiffre (avec le nombre de chiffres après la virgule).

• \(10{,}3 \times 7{,}5\) : environ \(10 \times 7{,}5 = 75\), donc 77,29 ou 77,25. Le dernier chiffre vient de \(3 \times 5 = 15\), il se termine par 5 : C (77,25).
• \(11{,}6 \times 29{,}8\) : environ \(12 \times 30 = 360\). Le produit a 2 chiffres après la virgule et finit par 8 (\(6 \times 8 = 48\)) ; 354,578 en a 3 : D (345,68).
• \(346 \times 0{,}97\) : on multiplie par un nombre un peu plus petit que 1, le résultat est un peu plus petit que 346 : C (335,62).
• \(1{,}03 \times 698{,}4\) : on multiplie par un nombre un peu plus grand que 1, le résultat est un peu plus grand que 698,4 : B (719,352).
• \(2{,}5 \times 4{,}4\) : \(2{,}5 \times 4 = 10\) et \(2{,}5 \times 0{,}4 = 1\), donc exactement B (11).

On peut changer l’ordre des facteurs d’un produit (commutativité) et les regrouper comme on veut (associativité). On cherche les paires qui donnent 10, 100 ou 1 000.

• a. \(5 \times 33 \times 2 = (5 \times 2) \times 33 = 10 \times 33 = \mathbf{330}\)
• b. \(50 \times 33 \times 2 \times 30 = (50 \times 2) \times (33 \times 30) = 100 \times 990 = \mathbf{99\,000}\)
• c. \(4 \times 1\,725 \times 250 \times 10 = (4 \times 250) \times 10 \times 1\,725 = 10\,000 \times 1\,725 = \mathbf{17\,250\,000}\)
• d. \(19\,398 \times 22\,119 \times 0 \times 56 = \mathbf{0}\) : un produit dont un facteur est nul est nul.
• e. \(188 \times 8 \times 125 = 188 \times (8 \times 125) = 188 \times 1\,000 = \mathbf{188\,000}\)
• f. \(99 \times 500 \times 2 = 99 \times (500 \times 2) = 99 \times 1\,000 = \mathbf{99\,000}\)

On part de \(65 \times 132 = 8\,580\) et on compte les décalages de virgule.

• a. \(6{,}5 \times 13{,}2\) : chaque facteur est divisé par 10, le produit est divisé par 100 : \(8\,580 \div 100 = \mathbf{85{,}8}\).
• b. \(650 \times 132\) : 65 est multiplié par 10, donc le produit aussi : \(8\,580 \times 10 = \mathbf{85\,800}\).
• c. \(0{,}65 \times 0{,}132\) : 65 est divisé par 100 et 132 par 1 000, le produit est divisé par 100 000 : \(8\,580 \div 100\,000 = \mathbf{0{,}0858}\).
• d. \(0{,}065 \times 1\,320\) : 65 est divisé par 1 000 et 132 est multiplié par 10, le produit est divisé par 100 : \(8\,580 \div 100 = \mathbf{85{,}8}\).

Pour chaque produit, on multiplie les nombres sans virgule, puis on place la virgule (somme des chiffres après la virgule des deux facteurs).

Remarques : pour 0,906 × 7,5, le résultat 6,7950 s’écrit 6,795 (le zéro final est inutile) ; pour 74,5 × 94, on obtient 7 003,0 = 7 003 ; pour 0,324 × 0,27, il faut ajouter un zéro devant 8 748 pour avoir 5 chiffres après la virgule.