Corrigé des 72 exercices sur les nombres décimaux en 6ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Par ailleurs, pour trouver l’écriture décimale d’un quotient, on divise le numérateur par le dénominateur (ou on se ramène à une fraction décimale).

• \( \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5 \)
• \( \dfrac{11}{8} = 11 \div 8 = 1{,}375 \)
• \( \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \)
• \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 0{,}75 \)
• \( \dfrac{95}{2} = 95 \div 2 = 47{,}5 \)
• \( \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8 \)
• \( \dfrac{1}{3} = 1 \div 3 = 0{,}3333\ldots \) : la division ne s’arrête jamais, ce quotient n’est pas un nombre décimal.
• \( \dfrac{156}{4} = 156 \div 4 = 39 \)

Également, on place le nombre 86 071,235 dans un tableau de numération : 8 dizaines de milliers, 6 unités de milliers, 0 centaine, 7 dizaines, 1 unité, 2 dixièmes, 3 centièmes, 5 millièmes.

1. Ainsi, la partie entière est ce qui est à gauche de la virgule : 86 071.
2. Ensuite, la partie décimale est ce qui est à droite de la virgule : 0,235 (soit 235 millièmes).
3. Par conséquent, le chiffre des millièmes est le 3^e chiffre après la virgule : 5.
4. De plus, le chiffre des unités de milliers est 6.
5. Ensuite, le nombre de milliers compte tous les milliers contenus dans le nombre : \( 86\,071{,}235 = 86 \times 1\,000 + 71{,}235 \), il y a 86 milliers.
6. De même, le chiffre 3 est au rang des centièmes.
7. Également, le chiffre 8 est au rang des dizaines de milliers.

Par ailleurs, on utilise l’égalité : 1 dixième \( = \dfrac{1}{10} \), 1 centième \( = \dfrac{1}{100} \), 1 millième \( = \dfrac{1}{1\,000} \). Puis le nombre de chiffres après la virgule donne le nombre de zéros du dénominateur.

Attention à la dernière ligne : 82 millièmes s’écrivent 0,082 (le 0 occupe la place des dixièmes), donc le nombre est 5,082 et non 5,82.

Par ailleurs, la troncature à l’unité d’un nombre décimal s’obtient en supprimant tous les chiffres après la virgule : c’est sa partie entière.

• Par ailleurs, Troncature à l’unité de 397,8 : 397
• Ainsi, Troncature à l’unité de 5,02 : 5
• De plus, Troncature à l’unité de 17,0 : 17
• Par conséquent, Troncature à l’unité de 449,9 : 449 (on ne l’arrondit pas à 450 : tronquer, c’est couper, pas arrondir).

Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord les parties entières ; si elles sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes. De plus, De plus, on peut ajouter des zéros inutiles pour avoir le même nombre de décimales.

a. Ainsi, Parties entières : 3 ; 5 ; 5 ; 35 ; 35. Également, Entre 5,3 = 5,300 et 5,353 : 300 millièmes \( \lt \) 353 millièmes. De plus, Entre 35,35 et 35,5 = 35,50 : 35 centièmes \( \lt \) 50 centièmes.

\[ 3{,}557 \lt 5{,}3 \lt 5{,}353 \lt 35{,}35 \lt 35{,}5 \]

b. Donc, Toutes les parties entières valent 7. Ensuite, on écrit tout avec trois décimales : 7,250 ; 7,150 ; 7,050 ; 7,600 ; 7,245.

\[ 7{,}6 \gt 7{,}25 \gt 7{,}245 \gt 7{,}15 \gt 7{,}05 \]

1. En chiffres (on regroupe les chiffres par trois à partir de la virgule) :

• Par conséquent, sept millions sept : 7 000 007
• Par conséquent, dix-huit unités cinq millièmes : 18,005
• De même, cinquante-trois unités et soixante-quinze centièmes : 53,75
• Par ailleurs, trois milliards cent cinq mille dix : 3 000 105 010

2. En lettres :

• Par ailleurs, 8 529 107 : huit millions cinq cent vingt-neuf mille cent sept
• Par ailleurs, 15,017 : quinze unités et dix-sept millièmes
• Donc, 6 003 : six mille trois
• De plus, 73,05 : soixante-treize unités et cinq centièmes
• Ensuite, 508 : cinq cent huit

Également, on évite « quinze virgule zéro dix-sept » : la bonne lecture nomme le rang du dernier chiffre (millièmes, centièmes…).

On calcule chaque produit puis on additionne en respectant les rangs.

\[ \begin{aligned} A &= 7 \times 100 + 4 \times 1 + 6 \times 0{,}1 + 2 \times 0{,}01 \\ &= 700 + 4 + 0{,}6 + 0{,}02 \\ &= 704{,}62 \end{aligned} \]

De plus, il n’y a pas de dizaines : le chiffre des dizaines est 0.

\[ \begin{aligned} B &= 4 \times 10 + 5 \times 1 + 3 \times 0{,}01 \\ &= 40 + 5 + 0{,}03 \\ &= 45{,}03 \end{aligned} \]

Donc, il n’y a pas de dixièmes : on écrit un 0 au rang des dixièmes.

\[ \begin{aligned} C &= \frac{7}{100} + \frac{3}{100} + \frac{7}{10} \\ &= \frac{10}{100} + \frac{7}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10} = \frac{8}{10} \\ &= 0{,}8 \end{aligned} \]

Dans 621,345 : 6 centaines, 2 dizaines, 1 unité, puis après la virgule 3 dixièmes, 4 centièmes, 5 millièmes.

1. Ainsi, Chiffre des unités : 1 (le chiffre juste avant la virgule).
2. Par conséquent, Chiffre des dixièmes : 3 (le premier après la virgule).
3. De même, Chiffre des dizaines : 2.
4. Donc, Chiffre des centaines : 6.

Également, on range les indications dans un tableau de numération, de la gauche vers la droite :

Aucun chiffre n’est donné au-delà des dizaines : le nombre commence donc par 3.

Ensuite, le chiffre des centièmes est le 2^e chiffre après la virgule. Par ailleurs, il faut donc placer la virgule deux rangs avant le 5.

• a. Donc, 125 : le 5 doit être le 2^e chiffre après la virgule → 1,25.
• b. 335 000 : le 5 est le 3^e chiffre ; on met la virgule après le premier 3 → 3,350 00, c’est-à-dire 3,35 (les zéros de la fin sont inutiles).
• c. Donc, 13 251 : le 5 est le 4^e chiffre ; on met la virgule après le 2 → 132,51.

Donc, on place chaque chiffre à son rang (dizaines, unités, dixièmes, centièmes…) et on met un 0 dans chaque rang vide.

a. De même, 2 dizaines, 0 unité, 4 dixièmes, 5 centièmes : 20,45. Ensuite, (Attention au 0 des unités : sans lui, on écrirait 2,45, qui est dix fois plus petit.)

b.

\[ (4 \times 1\,000) + (9 \times 10) + 7 + (9 \times 0{,}01) = 4\,000 + 90 + 7 + 0{,}09 = 4\,097{,}09 \]

Par conséquent, il n’y a pas de centaines ni de dixièmes : on écrit 0 à ces rangs.

c.

\[ (5 \times 100\,000) + (6 \times 1\,000) + (7 \times 10) + (8 \times 0{,}1) = 500\,000 + 6\,000 + 70 + 0{,}8 = 506\,070{,}8 \]

d.

\[ (9 \times 100) + 5 + (4 \times 0{,}01) + (2 \times 0{,}001) = 900 + 5 + 0{,}04 + 0{,}002 = 905{,}042 \]

Donc, un zéro est inutile s’il est placé tout à gauche de la partie entière (devant le premier chiffre non nul) ou tout à droite de la partie décimale. Puis un zéro placé entre deux chiffres, ou à droite de la partie entière, est utile : l’enlever changerait le nombre.

• a. 056 = 56
• b. Donc, 0103 = 103 (le 0 entre 1 et 3 est utile)
• c. 062,0 = 62 (quand toute la partie décimale est nulle, on enlève aussi la virgule)
• d. 15,170 = 15,17
• e. Ensuite, 603,04 : aucun zéro inutile, le nombre reste 603,04 (le 0 de 603 donne les dizaines, celui de 04 donne les dixièmes)
• f. De même, 010,010 = 10,01

Pour lire un grand nombre, on sépare sa partie entière en classes de trois chiffres (millions, mille, unités) à partir de la virgule. Ensuite, la partie décimale se lit en nommant le rang de son dernier chiffre.

• a. Donc, 24 : vingt-quatre.
• b. Donc, 927 538 : neuf cent vingt-sept mille cinq cent trente-huit.
• c. De plus, 9 034,0001 : neuf mille trente-quatre unités et un dix-millième (le chiffre 1 est au rang des dix-millièmes).
• d. Par conséquent, 6 280,5 : six mille deux cent quatre-vingts unités et cinq dixièmes.
• e. Également, 80 600,12 : quatre-vingt mille six cents unités et douze centièmes.
• f. Ainsi, 300 000 000,5 : trois cents millions d’unités et cinq dixièmes.

Rappels d’orthographe : « cent » et « vingt » (dans quatre-vingts) prennent un s quand ils sont multipliés et terminent le nombre (six cents, quatre-vingts), mais pas s’ils sont suivis d’un autre nombre (deux cent quatre-vingts, quatre-vingt mille). Donc, « Mille » est invariable ; « million » est un nom et prend un s. Puis on peut aussi, depuis la réforme de 1990, relier tous les mots par des traits d’union (neuf-cent-vingt-sept-mille…).

Ainsi, on écrit chaque partie à son rang, en ajoutant des zéros là où il n’y a rien.

• a. De même, Cent vingt-sept mille deux cent quarante-cinq unités : 127 245.
• b. Par ailleurs, Quinze millions onze unités et trois dixièmes : 15 millions, 0 mille, 11 unités, soit 15 000 011,3.
• c. Ensuite, Deux unités quatre cent soixante-deux millièmes et six dix-millièmes : \( 2 + 0{,}462 + 0{,}0006 = 2{,}4626 \), soit 2,4626.
• d. Cent unités et cent millièmes : cent millièmes, c’est \( \frac{100}{1\,000} = 0{,}1 \), donc \( 100 + 0{,}1 = 100{,}1 \), soit 100,1.

Ainsi, un dixième, c’est \( \frac{1}{10} \) ; un centième, \( \frac{1}{100} \) ; un millième, \( \frac{1}{1\,000} \) ; un millionième, \( \frac{1}{1\,000\,000} \). Ensuite, De plus, le numérateur indique combien on en prend.

• a. Ainsi, 5 dixièmes \( = \frac{5}{10} \)
• b. Ensuite, 27 centièmes \( = \frac{27}{100} \)
• c. Ensuite, 8 millièmes \( = \frac{8}{1\,000} \)
• d. Par conséquent, 3 millionièmes \( = \frac{3}{1\,000\,000} \)

Par ailleurs, Diviser par 10, 100, 1 000… revient à placer le dernier chiffre au rang des dixièmes, centièmes, millièmes… : le nombre de zéros du dénominateur donne le nombre de chiffres après la virgule.

• Également, a. \( \frac{524}{100} = 5{,}24 \)
• De plus, b. \( \frac{2\,825}{1\,000} = 2{,}825 \)
• Ensuite, c. \( \frac{9}{10} = 0{,}9 \)
• Par ailleurs, d. \( \frac{32}{10} = 3{,}2 \)
• Par ailleurs, e. \( \frac{71}{100} = 0{,}71 \)
• Par conséquent, f. \( \frac{5}{10\,000} = 0{,}0005 \) (4 zéros : 4 chiffres après la virgule, on complète avec des 0)

1 m = 100 cm, donc 1 cm = \( \frac{1}{100} \) m (un centième de mètre).

1. De même, le saut de Stefka Kostadinova mesure 2 m 09 cm, soit 2 m et 9 cm.

• a. Écriture décimale : 9 cm = 0,09 m (9 centièmes), donc le saut mesure 2,09 m.
• b. Par ailleurs, Somme d’un entier et d’une écriture fractionnaire : \( 2 + \frac{9}{100} \) m.

2. Par ailleurs, le record de France de Maryse Ewanje-Épée mesure 1 m 96 cm.

• a. Également, Écriture décimale : 1,96 m.
• b. Ainsi, Somme d’un entier et d’une écriture fractionnaire : \( 1 + \frac{96}{100} \) m.

Par conséquent, Attention : 2 m 09 ne s’écrit pas 2,9 m (ce serait 2 m 90 cm).

De même, Deux mille trois cent cinquante-deux clients : il faut 2 352 enveloppes.

De même, dans 2 352, le nombre de centaines est 23 (on lit ce qui est à gauche du chiffre des dizaines) : \( 2\,352 = 23 \times 100 + 52 \).

• Également, Avec 23 paquets, l’entreprise a \( 23 \times 100 = 2\,300 \) enveloppes : il en manque 52.
• Il faut donc un paquet de plus : 24 paquets, soit 2 400 enveloppes (il en restera 48).

Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord leurs parties entières, puis, si elles sont égales, les chiffres des dixièmes, puis des centièmes, etc. Ensuite, on peut compléter par des zéros pour avoir autant de chiffres après la virgule.

1. Ainsi, Parties entières : 24 pour 24,139 ; 24,56 ; 24,52 et 25 pour 25,1634 ; 25,7.

• Donc, Parmi les nombres de partie entière 24 : dixièmes 1, 5, 5. Donc 24,139 est le plus petit. Puis 24,52 et 24,56 ont 5 dixièmes ; aux centièmes, 2 est plus petit que 6 : 24,52 est avant 24,56.
• Également, Parmi les nombres de partie entière 25 : 25,1634 a 1 dixième et 25,7 en a 7.

\[ 24{,}139 \lt 24{,}52 \lt 24{,}56 \lt 25{,}1634 \lt 25{,}7 \]

2. Par conséquent, Parties entières : 356 pour 356,02 ; 356 ; 356,1005 et 348 pour 348,9 ; 348,70.

• Donc, 356,1005 (1 dixième) est plus grand que 356,02 (0 dixième, 2 centièmes), lui-même plus grand que 356 (= 356,00).
• De plus, 348,9 = 348,90 est plus grand que 348,70.

\[ 356{,}1005 \gt 356{,}02 \gt 356 \gt 348{,}9 \gt 348{,}70 \]

Le nombre a 6 chiffres et sa partie entière a deux fois plus de chiffres que sa partie décimale : \( 4 + 2 = 6 \), donc 4 chiffres avant la virgule et 2 après. Par ailleurs, il s’écrit : milliers, centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes.

• Par conséquent, Dixièmes : \( \frac{527}{100} = 5{,}27 \), dont la partie entière est 5. De même, Chiffre des dixièmes : 5.
• Donc, Unités : dans 0,2563, le chiffre des millièmes est 6. Également, Chiffre des unités : 6.
• Centièmes : l’arrondi à l’unité de 4,38 est 4 (car le chiffre des dixièmes, 3, est inférieur à 5). Ensuite, Chiffre des centièmes : 4.
• Ainsi, Centaines : le double du chiffre des centièmes, \( 2 \times 4 = 8 \). De même, Chiffre des centaines : 8.

Également, il reste les chiffres des milliers et des dizaines. Ensuite, Tous les chiffres sont différents et supérieurs à 3,5 : ils sont pris parmi 4, 5, 6, 7, 8, 9. Puis les chiffres 4, 5, 6 et 8 sont déjà utilisés, il reste 7 et 9.

Par conséquent, les indices ne disent pas lequel va aux milliers : le problème a deux solutions, 7 896,54 (7 milliers, 9 dizaines) et 9 876,54 (9 milliers, 7 dizaines). Ensuite, on vérifie que chacune respecte tous les indices : 6 chiffres, 4 avant et 2 après la virgule, centaines 8 = 2 × 4 centièmes, dixièmes 5, unités 6, tous différents et plus grands que 3,5.

1. Ensuite, on supprime les zéros inutiles (à gauche de la partie entière, à droite de la partie décimale) :

• a. 0027,8 = 27,8
• b. 4,050 = 4,05
• c. Ensuite, 0080,0202 = 80,0202 (le 0 de 80 et les zéros entre les 2 sont utiles)

2. a. 1 km = 1 000 m, donc 1 m est la millième partie d’un kilomètre :

\[ 1 \text{ m} = \frac{1}{1\,000} \text{ km} \]

Également, b. \( 2{,}862 \text{ km} = 2{,}862 \times 1\,000 \text{ m} = 2\,862 \text{ m} \). Puis on peut aussi le voir ainsi : 2 km et 862 millièmes de km, soit 2 000 m et 862 m.

Par ailleurs, on barre les zéros situés à gauche de la partie entière et à droite de la partie décimale. Également, De plus, on ne barre jamais un zéro placé entre deux chiffres non nuls, ni le zéro seul devant la virgule (0,…). Également, Ci-dessous, les zéros à barrer sont écrits en gras.

• a. 17,040 : on barre le dernier 0, il reste 17,04.
• b. 07,004 : on barre le premier 0, il reste 7,004.
• c. Donc, 450,08 : aucun zéro inutile (le 0 de 450 donne les unités, celui de 08 les dixièmes).
• d. 000,702 : on barre les deux premiers 0, il reste 0,702.
• e. 061,07050 : on barre le premier et le dernier 0, il reste 61,0705.
• f. 00,0050 : on barre le premier et le dernier 0, il reste 0,005.

Ensuite, Deux nombres sont égaux s’ils ont la même partie entière et les mêmes chiffres à chaque rang de la partie décimale (en ajoutant ou en enlevant les zéros inutiles).

• a. Ainsi, 6,900 = 6,9 : les zéros à droite sont inutiles. 6,9 = 6,900
• b. Donc, 16,305 a 0 centième et 5 millièmes, 16,350 a 5 centièmes. De plus, 16,305 ≠ 16,350
• c. Également, 08,07 = 8,07 et 8,070 = 8,07. 08,07 = 8,070
• d. Ainsi, 90,001 a pour partie entière 90, et 9,10 a pour partie entière 9. 90,001 ≠ 9,10

a. Par ailleurs, la première parenthèse contient des dixièmes : on regroupe les unités et les dixièmes. Donc, 75,5 = 755 dixièmes. Ensuite, il reste 2 centièmes et 5 millièmes.

\[ 75{,}525 = \left(755 \times \frac{1}{10}\right) + \frac{2}{100} + \frac{5}{1\,000} \]

Par ailleurs, Vérification : \( 75{,}5 + 0{,}02 + 0{,}005 = 75{,}525 \).

b. Ainsi, il ne faut pas confondre « chiffre » et « nombre » :

• Donc, le chiffre des dixièmes est le chiffre juste après la virgule : 5 ;
• le nombre de dixièmes est le nombre formé par tous les chiffres jusqu’au rang des dixièmes : 755 (car 75,525 = 755 dixièmes et 25 millièmes).

a. Par ailleurs, 2,754 = 2 unités, 7 dixièmes, 5 centièmes et 4 millièmes.

• Donc, Avec des dixièmes : 2,7 = 27 dixièmes, et il reste 0,054 = 54 millièmes.
  \[ 2{,}754 = \left(27 \times \frac{1}{10}\right) + \frac{54}{1\,000} \]
• De plus, Avec des centièmes : 2,75 = 275 centièmes, et il reste 0,004 = 4 millièmes.
  \[ 2{,}754 = \left(275 \times \frac{1}{100}\right) + \frac{4}{1\,000} \]

Ensuite, Vérifications : \( 2{,}7 + 0{,}054 = 2{,}754 \) et \( 2{,}75 + 0{,}004 = 2{,}754 \).

b. Par ailleurs, le nombre de dixièmes de 2,754 est 27 et son nombre de centièmes est 275.

Dans 127,16 :

• De même, le chiffre des centièmes est le deuxième chiffre après la virgule : 6 ;
• le nombre de dizaines est formé par les chiffres jusqu’au rang des dizaines : 12 (car 127,16 = 12 dizaines + 7,16) ;
• Ainsi, la somme des chiffres de 12 est \( 1 + 2 = 3 \), et son double est \( 2 \times 3 = 6 \).

De même, le chiffre des centièmes (6) est bien égal au double de la somme des chiffres du nombre de dizaines (6). De même, Attention à ne pas confondre avec le chiffre des dizaines, qui est 2 : avec lui, on trouverait 4, et l’affirmation serait fausse.

On compare d’abord les parties entières. Quand elles sont égales, on compare les chiffres des dixièmes, puis des centièmes, puis des millièmes. Par ailleurs, pour ne pas se tromper, on peut compléter avec des zéros afin que tous les nombres aient le même nombre de chiffres après la virgule.

• Ensuite, Partie entière 2 : \( 2{,}750 \lt 2{,}914 \) (7 dixièmes contre 9 dixièmes).
• Donc, Partie entière 4 : \( 4{,}082 \lt 4{,}820 \) (0 dixième contre 8 dixièmes).
• Par conséquent, Partie entière 5 : on écrit \( 5{,}200 \), \( 5{,}230 \), \( 5{,}238 \), \( 5{,}250 \) : \( 5{,}200 \lt 5{,}230 \lt 5{,}238 \lt 5{,}250 \).
• Donc, Partie entière 7 : \( 7{,}5 \), le plus grand.

Également, dans l’ordre décroissant, on commence par le plus grand. Puis on compare les parties entières : 54, puis 5, puis 4.

• Ainsi, Partie entière 54 : \( 54{,}30 \gt 54{,}03 \) (3 dixièmes contre 0 dixième).
• Par conséquent, Partie entière 5 : \( 5{,}430 \gt 5{,}304 \) (4 dixièmes contre 3 dixièmes).
• De plus, Partie entière 4 : \( 4{,}500 \gt 4{,}053 \) (5 dixièmes contre 0 dixième).

Donc, 1 unité = 10 dixièmes = 100 centièmes = 1 000 millièmes. Ensuite, on cherche le numérateur qui convient.

• De même, a. \( 1 = \dfrac{10}{10} \) ;
• Par conséquent, b. \( 6 = \dfrac{600}{100} \) (6 unités = 600 centièmes) ;
• Donc, c. \( 5 = \dfrac{50}{10} \) (5 unités = 50 dixièmes) ;
• Donc, d. \( \dfrac{2}{10} = \dfrac{20}{100} \) (1 dixième = 10 centièmes) ;
• Ainsi, e. \( 1 = \dfrac{100}{100} \) ;
• f. \( \dfrac{300}{1\,000} = \dfrac{3}{10} \) (300 millièmes = 3 dixièmes, c’est-à-dire 0,3).

De plus, la partie entière est le nombre écrit avant la virgule ; la partie décimale est ce qui reste, formé des chiffres après la virgule.

On vérifie à chaque fois que partie entière + partie décimale redonne le nombre : par exemple \( 9+0{,}06 = 9{,}06 \).

Par ailleurs, Encadrer par deux entiers consécutifs, c’est écrire le nombre entre sa partie entière et l’entier qui suit.

• a. \( 2 \lt 2{,}6 \lt 3 \) ;
• Par ailleurs, b. \( 14 \lt 14{,}7 \lt 15 \) ;
• Ensuite, c. \( 0 \lt 0{,}75 \lt 1 \) ;
• Par ailleurs, d. \( 199 \lt 199{,}2 \lt 200 \) ;
• Également, e. \( 999\,550 \lt 999\,550{,}9 \lt 999\,551 \) ;
• De plus, f. \( 1 \lt 1{,}595 \lt 2 \).

On écrit toutes les fractions avec le plus grand dénominateur de la somme, puis on additionne les numérateurs.

\[ \begin{aligned} \text{a. } 6+\frac{3}{10}+\frac{4}{100} &= \frac{600}{100}+\frac{30}{100}+\frac{4}{100} = \frac{634}{100} \\ \text{b. } 8+\frac{5}{100}+\frac{9}{1\,000} &= \frac{8\,000}{1\,000}+\frac{50}{1\,000}+\frac{9}{1\,000} = \frac{8\,059}{1\,000} \\ \text{c. } \frac{3}{10}+\frac{2}{100}+\frac{1}{1\,000} &= \frac{300}{1\,000}+\frac{20}{1\,000}+\frac{1}{1\,000} = \frac{321}{1\,000} \\ \text{d. } \frac{68}{100}+\frac{7}{10\,000} &= \frac{6\,800}{10\,000}+\frac{7}{10\,000} = \frac{6\,807}{10\,000} \end{aligned} \]

De même, Contrôle avec l’écriture décimale : a. 6,34 ; b. 8,059 ; c. 0,321 ; d. 0,6807.

On cherche combien d’unités entières contient la fraction : par exemple, dans \( \dfrac{36}{10} \), il y a 30 dixièmes = 3 unités, et il reste 6 dixièmes.

\[ \begin{aligned} \text{a. } \frac{36}{10} &= \frac{30}{10}+\frac{6}{10} = 3+\frac{6}{10} \\ \text{b. } \frac{512}{100} &= \frac{500}{100}+\frac{12}{100} = 5+\frac{12}{100} \\ \text{c. } \frac{4\,054}{1\,000} &= \frac{4\,000}{1\,000}+\frac{54}{1\,000} = 4+\frac{54}{1\,000} \\ \text{d. } \frac{27\,320}{10\,000} &= \frac{20\,000}{10\,000}+\frac{7\,320}{10\,000} = 2+\frac{7\,320}{10\,000} \end{aligned} \]

Donc, Chaque chiffre après la virgule donne une fraction : le 1^er chiffre compte des dixièmes, le 2^e des centièmes, le 3^e des millièmes, le 4^e des dix-millièmes. Puis un chiffre 0 ne s’écrit pas dans la décomposition.

\[ \begin{aligned} \text{a. } 6{,}42 &= 6+\frac{4}{10}+\frac{2}{100} \\ \text{b. } 0{,}803 &= \frac{8}{10}+\frac{3}{1\,000} \\ \text{c. } 24{,}009\,1 &= 24+\frac{9}{1\,000}+\frac{1}{10\,000} \end{aligned} \]

Par ailleurs, pour b, le chiffre des centièmes est 0 ; pour c, les chiffres des dixièmes et des centièmes sont 0.

Également, Diviser par 10, 100 ou 1 000 décale la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche. De plus, le numérateur est donc le nombre « sans virgule » écrit avec autant de chiffres après la virgule qu’il y a de zéros au dénominateur.

• Par ailleurs, a. \( 15{,}4 = \dfrac{154}{10} \) ; \( 15{,}40 = \dfrac{1\,540}{100} \) ; \( 15{,}400 = \dfrac{15\,400}{1\,000} \).
• Ainsi, b. \( 3{,}7 = \dfrac{37}{10} = \dfrac{370}{100} = \dfrac{3\,700}{1\,000} \).
• De même, c. \( 58{,}92 = \dfrac{5\,892}{100} = \dfrac{58\,920}{1\,000} \).

De même, le a montre que 15,4 ; 15,40 et 15,400 sont le même nombre : ajouter des zéros à droite de la partie décimale ne change pas sa valeur.

On donne l’écriture décimale de chacune des douze étiquettes :

• \( \dfrac{270}{1\,000} = 0{,}27 \) ; \( \dfrac{270}{100} = 2{,}7 \) ; \( \dfrac{27}{1\,000} = 0{,}027 \) ;
• Ainsi, 27 dixièmes = 2,7 ; 27 centièmes = 0,27 ; 27 millièmes = 0,027 ;
• \( \dfrac{2}{100}+\dfrac{7}{1\,000} = 0{,}02+0{,}007 = 0{,}027 \) ; \( 2+\dfrac{7}{10} = 2{,}7 \) ; \( \dfrac{2}{10}+\dfrac{7}{100} = 0{,}2+0{,}07 = 0{,}27 \) ;
• Par ailleurs, et les étiquettes 0,027 ; 2,7 ; 0,27.

De même, on obtient trois groupes de quatre étiquettes :

On calcule les produits, puis on place chaque fraction décimale à son rang : dixièmes au 1^er rang après la virgule, centièmes au 2^e, millièmes au 3^e, dix-millièmes au 4^e. Ensuite, les rangs vides reçoivent un 0.

• Ensuite, a. \( 500+20+0{,}4+0{,}09 = 520{,}49 \).
• De même, b. \( 0{,}6+0{,}000\,5 = 0{,}600\,5 \) (6 dixièmes, 0 centième, 0 millième, 5 dix-millièmes).
• Par conséquent, c. \( 70\,000+300+0{,}1+0{,}004+0{,}000\,7 = 70\,300{,}104\,7 \) (0 centième).

Par conséquent, Entre 0 et 0,5, il y a 10 intervalles égaux. Par ailleurs, une graduation vaut donc \( 0{,}5 \div 10 = 0{,}05 \) (5 centièmes).

• De plus, I est à 4 graduations de 0 : \( 4\times 0{,}05 = 0{,}2 \).
• Par conséquent, J est à 9 graduations de 0 (une graduation avant 0,5) : \( 9\times 0{,}05 = 0{,}45 \).
• Ensuite, K est à 14 graduations de 0 (4 graduations après 0,5) : \( 0{,}5+4\times 0{,}05 = 0{,}7 \).

De plus, Entre 8 et 8,5, il y a 10 graduations : chaque graduation vaut \( 0{,}5 \div 10 = 0{,}05 \). Sur le quadrillage, une graduation fait 5 petits carreaux, donc un petit carreau vaut 0,01.

• M(7,9) : \( 8-7{,}9 = 0{,}1 = 2\times 0{,}05 \), donc M est 2 graduations avant 8.
• N(8,15) : \( 8{,}15-8 = 0{,}15 = 3\times 0{,}05 \), donc N est 3 graduations après 8.
• De même, P(8,58) : \( 8{,}58-8{,}5 = 0{,}08 \), c’est une graduation (0,05) plus 3 petits carreaux (0,03) : P est entre la 1^re et la 2^e graduation après 8,5, à 3 petits carreaux de la première.

On compare les parties entières, puis les chiffres après la virgule rang par rang. Puis compléter par des zéros aide à comparer.

• a. 9,25 et 9,14 : 2 dixièmes contre 1 dixième, donc 9,25 > 9,14.
• b. 17,04 et 17,40 : 0 dixième contre 4 dixièmes, donc 17,04 < 17,4.
• c. 84,51 et 84,70 : 5 dixièmes contre 7 dixièmes, donc 84,51 < 84,7.
• d. 0,080 et 0,078 : même chiffre des dixièmes (0), puis 8 centièmes contre 7 centièmes, donc 0,08 > 0,078.
• e. 20,300 = 20,3 : les zéros à droite ne changent rien, donc 20,3 = 20,300.
• f. 55,980 et 55,908 : même chiffre des dixièmes (9), puis 8 centièmes contre 0 centième, donc 55,98 > 55,908.

Attention au piège : 0,078 a plus de chiffres que 0,08, mais il est plus petit.

• a. 27,006 et 27,600 : même partie entière, puis 0 dixième contre 6 dixièmes, donc 27,006 < 27,6.
• b. De plus, on écrit les deux fractions en écriture décimale : \( \dfrac{325}{10} = 32{,}5 \) et \( \dfrac{3\,225}{100} = 32{,}25 \). Or \( 32{,}50 \gt 32{,}25 \), donc \( \dfrac{325}{10} \gt \dfrac{3\,225}{100} \).
• c. Par ailleurs, 625 centièmes = 6,25 et 63 dixièmes = 6,3. Or \( 6{,}25 \lt 6{,}30 \), donc 625 centièmes < 63 dixièmes.

a. On range d’abord les neuf nombres dans l’ordre croissant (en complétant avec des zéros si besoin) :

\( 1{,}2 \lt 2{,}51 \lt 2{,}601 \lt 2{,}7 \lt 3{,}10 \lt 3{,}9 \lt 3{,}950 \lt 3{,}96 \lt 4{,}01 \)

Également, Attention : \( 3{,}10 = 3{,}1 \) est plus petit que \( 3{,}9 \), et \( 3{,}9 = 3{,}90 \) est plus petit que \( 3{,}950 \). Ensuite, on relie ensuite les points dans cet ordre.

b. Ensuite, Chaque croix se trouve sur un segment du tracé :

• la croix verte est sur le segment qui relie 2,51 et 2,601 : il faut un nombre compris entre 2,51 et 2,601, par exemple 2,55 (ou 2,6, 2,52…) ;
• la croix rouge est sur le segment qui relie 3,950 et 3,96 : il faut un nombre compris entre 3,95 et 3,96, par exemple 3,955.

Également, Avec ces nombres, l’ordre croissant fait passer le tracé par les croix sans changer le dessin.

Donc, pour donner une valeur approchée au dixième près, on garde un seul chiffre après la virgule. Puis on regarde le chiffre des centièmes : s’il vaut 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde le chiffre des dixièmes ; s’il vaut 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 au chiffre des dixièmes. De plus, on obtient ainsi l’arrondi au dixième, la valeur approchée la plus proche.

• a. De même, 2,47 est compris entre 2,4 et 2,5. Ainsi, le chiffre des centièmes est 7 : 2,47 est plus proche de 2,5. Par conséquent, Arrondi au dixième : 2,5.
• b. Ensuite, 33,707 est compris entre 33,7 et 33,8. De plus, le chiffre des centièmes est 0 : 33,707 est plus proche de 33,7. De plus, Arrondi au dixième : 33,7.
• c. De plus, 99,999 est compris entre 99,9 et 100,0. Donc, le chiffre des centièmes est 9 : on ajoute 1 dixième à 99,9, ce qui donne 100,0. Donc, Arrondi au dixième : 100.

On peut aussi donner les deux valeurs approchées qui encadrent le nombre : par défaut (la plus petite) et par excès (la plus grande) : 2,4 et 2,5 ; 33,7 et 33,8 ; 99,9 et 100.

Pour intercaler un nombre entre deux décimaux, on les écrit avec le même nombre de chiffres après la virgule, en ajoutant des zéros, puis on ajoute un chiffre de plus si nécessaire.

• a. Donc, 9,4 = 9,40 et 9,5 = 9,50. De plus, Entre 9,40 et 9,50 on peut prendre 9,45 : \( 9{,}4 \lt 9{,}45 \lt 9{,}5 \).
• b. Par ailleurs, 0,21 = 0,210 et 0,22 = 0,220. Ainsi, on peut prendre 0,215 : \( 0{,}21 \lt 0{,}215 \lt 0{,}22 \).
• c. 38,6 = 38,60. Ainsi, Entre 38,60 et 38,67 on peut prendre 38,65 : \( 38{,}6 \lt 38{,}65 \lt 38{,}67 \).
• d. 4,9 = 4,900. Par conséquent, Entre 4,894 et 4,900 on peut prendre 4,895 : \( 4{,}894 \lt 4{,}895 \lt 4{,}9 \).

Il y a une infinité de réponses possibles : par exemple 9,41 ou 9,499 conviennent aussi pour le a.

a. Par conséquent, 10,4 = 10 unités et 4 dixièmes = 104 dixièmes. Donc \( 10{,}4 = \dfrac{104}{10} \). Ensuite, on vérifie les autres :

• \( \dfrac{10}{4} = 10 \div 4 = 2{,}5 \) ;
• \( \dfrac{14}{10} = 1{,}4 \) ;
• \( \dfrac{104}{100} = 1{,}04 \).

b. \( \dfrac{7}{100} \) se lit « 7 centièmes » : le chiffre 7 est au rang des centièmes, donc \( \dfrac{7}{100} = 0{,}07 \). Par ailleurs, les autres ne conviennent pas : 7,100 et 7,00 valent 7, et 0,7 vaut 7 dixièmes.

Donc, on applique les trois indices l’un après l’autre.

• Également, Partie entière impaire. Également, on élimine les parties entières paires (0, 6, 8, 16, 34, 94). Ensuite, il reste : 5,23 ; 53,67 ; 5,306 ; 5,65 ; 7,043 ; 7,604.
• Ensuite, Pas de zéro après la virgule. De plus, on élimine 5,306, 7,043 et 7,604. Par ailleurs, il reste : 5,23 ; 53,67 ; 5,65.
• Par ailleurs, Chiffre des dixièmes supérieur au chiffre des centièmes. Ensuite, pour 5,23 : 2 n’est pas supérieur à 3. De plus, pour 53,67 : 6 n’est pas supérieur à 7. Donc, pour 5,65 : 6 est supérieur à 5. Donc, Seul 5,65 convient.

Par conséquent, a. \( 5\,201 = (520 \times 10) + 1 \). Ensuite, 520 est le nombre de dizaines du nombre 5 201.

De plus, b. \( 53\,783 = (53 \times 1\,000) + 783 \). Également, 53 est le nombre de milliers du nombre 53 783.

Par conséquent, c. \( 1\,543\,750 = (1\,543 \times 1\,000) + 750 \). De plus, 1 543 est le nombre de milliers du nombre 1 543 750.

De même, Attention à ne pas confondre le chiffre des milliers (3 dans 1 543 750) et le nombre de milliers (1 543) : le nombre de milliers se lit en gardant tous les chiffres jusqu’au rang des milliers.

Également, on écrit chaque chiffre non nul multiplié par la valeur de son rang (unité, dizaine, centaine…), en sautant les zéros.

Ensuite, a. \( 7\,654 = (7 \times 1\,000) + (6 \times 100) + (5 \times 10) + 4 \)

Ensuite, b. \( 804\,201 = (8 \times 100\,000) + (4 \times 1\,000) + (2 \times 100) + 1 \)

c. Ainsi, 90 900 900 900 se lit « quatre-vingt-dix milliards neuf cents millions neuf cent mille neuf cents » :

\[ 90\,900\,900\,900 = (9 \times 10\,000\,000\,000) + (9 \times 100\,000\,000) + (9 \times 100\,000) + (9 \times 100) \]

• a. De même, Huit cent soixante-sept : 867.
• b. Neuf mille quatre-vingt-quinze : 9 milliers et 95 unités, donc 9 095 (on n’oublie pas le 0 des centaines).
• c. Cinq mille cinq : 5 milliers et 5 unités, donc 5 005.
• d. Quatre millions sept cent quatre-vingts : 4 millions, 0 millier et 780 unités, donc 4 000 780.

On calcule le résultat de chaque définition, puis on cherche la lettre correspondante dans la grille.

1. Nombre de dixièmes dans 76,03 : 76,03 = 760,3 dixièmes, donc 760 dixièmes entiers → A.
2. Ainsi, Soixante-seize unités trois dixièmes : 76,3 → B.
3. Par ailleurs, 3 millièmes 6 centièmes 7 dixièmes : 0,7 + 0,06 + 0,003 = 0,763 → S.
4. \( (3 \times 1\,000) + (6 \times 10) + (7 \times 1) = 3\,000 + 60 + 7 = 3\,067 \) → C.
5. Par ailleurs, Sept cent six dizaines trois unités : 706 dizaines = 7 060, plus 3 : 7 063 → I.
6. \( \dfrac{763}{1\,000} = 0{,}763 \) → S.
7. \( \dfrac{76}{100} + \dfrac{3}{1\,000} = 0{,}76 + 0{,}003 = 0{,}763 \) → S.
8. De même, 763 centièmes : \( \dfrac{763}{100} = 7{,}63 \) → E.

Par conséquent, les lettres forment un mot du chapitre : l’abscisse est le nombre qui repère un point sur une droite graduée.

On transforme la partie entière en dixièmes, centièmes ou millièmes, puis on ajoute : par exemple 15 = 150 dixièmes.

• Donc, a. \( 15 + \dfrac{8}{10} = \dfrac{150}{10} + \dfrac{8}{10} = \dfrac{158}{10} \)
• De plus, b. \( 8 + \dfrac{36}{100} = \dfrac{800}{100} + \dfrac{36}{100} = \dfrac{836}{100} \)
• Ainsi, c. \( 47 + \dfrac{543}{1\,000} = \dfrac{47\,000}{1\,000} + \dfrac{543}{1\,000} = \dfrac{47\,543}{1\,000} \)
• Par conséquent, d. \( 91 + \dfrac{107}{1\,000} = \dfrac{91\,000}{1\,000} + \dfrac{107}{1\,000} = \dfrac{91\,107}{1\,000} \)
• De plus, e. \( 6 + \dfrac{17}{1\,000} = \dfrac{6\,000}{1\,000} + \dfrac{17}{1\,000} = \dfrac{6\,017}{1\,000} \)
• De plus, f. \( 1 + \dfrac{8}{100} = \dfrac{100}{100} + \dfrac{8}{100} = \dfrac{108}{100} \)

On écrit d’abord le nombre en écriture décimale, puis on le transforme en une seule fraction dont le dénominateur correspond au dernier rang utilisé.

• De même, a. \( 8 + \dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{100} = 8{,}56 = \dfrac{856}{100} \)
• Également, b. \( 14 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{7}{100} = 14{,}17 = \dfrac{1\,417}{100} \)
• Par conséquent, c. \( 7 + \dfrac{9}{10} + \dfrac{3}{100} + \dfrac{8}{1\,000} = 7{,}938 = \dfrac{7\,938}{1\,000} \)
• Donc, d. \( 6 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{1\,000} = 6{,}307 = \dfrac{6\,307}{1\,000} \) (0 centième)
• Donc, e. \( 9 + \dfrac{2}{100} + \dfrac{3}{1\,000} = 9{,}023 = \dfrac{9\,023}{1\,000} \) (0 dixième)
• Donc, f. \( \dfrac{4}{10} + \dfrac{5}{1\,000} = 0{,}405 = \dfrac{405}{1\,000} \) (0 centième)

Sur chaque demi-droite, l’unité (de 0 à 1) est partagée en 10 intervalles égaux : chaque graduation vaut donc un dixième, \( \dfrac{1}{10} \). Puis pour trouver l’abscisse d’un point, on compte le nombre de graduations depuis 0.

• a. Ainsi, A est à 5 graduations de 0 : \( \dfrac{5}{10} \). Donc, B est à 1 graduation après 1, soit 11 graduations : \( \dfrac{11}{10} \). De plus, C est à 13 graduations : \( \dfrac{13}{10} \).
• b. Par conséquent, A : \( \dfrac{1}{10} \) ; B : \( \dfrac{4}{10} \) ; C est à 5 graduations après 1 : \( \dfrac{15}{10} \).
• c. Par ailleurs, A : \( \dfrac{6}{10} \) ; B : \( \dfrac{9}{10} \) ; C est à 6 graduations après 1 : \( \dfrac{16}{10} \).

Diviser par 10, 100 ou 1 000 revient à placer la virgule pour que le dernier chiffre soit au rang des dixièmes, des centièmes ou des millièmes (1, 2 ou 3 chiffres après la virgule).

• De plus, a. \( \dfrac{54}{10} = 5{,}4 \)
• Par ailleurs, b. \( \dfrac{108}{100} = 1{,}08 \)
• Également, c. \( \dfrac{15\,384}{1\,000} = 15{,}384 \)
• Ensuite, d. \( \dfrac{24\,789}{10\,000} = 2{,}4789 \)
• De plus, e. \( \dfrac{259}{100} = 2{,}59 \)
• De même, f. \( \dfrac{3}{10} = 0{,}3 \)
• De même, g. \( \dfrac{15}{100} = 0{,}15 \)
• Donc, h. \( \dfrac{82}{1\,000} = 0{,}082 \) (il faut 3 chiffres après la virgule : on ajoute un 0)

Également, on place chaque chiffre à son rang dans un tableau de numération ; un rang absent de la décomposition reçoit un 0.

• De même, a. \( (3 \times 10) + (4 \times 1) + (4 \times 0{,}1) + (7 \times 0{,}01) = 30 + 4 + 0{,}4 + 0{,}07 = 34{,}47 \)
• Ainsi, b. \( (8 \times 100) + (5 \times 1) + (9 \times 0{,}1) + (6 \times 0{,}01) = 800 + 5 + 0{,}9 + 0{,}06 = 805{,}96 \) (0 dizaine)
• Donc, c. \( (5 \times 1) + (4 \times 0{,}01) + (3 \times 0{,}001) = 5 + 0{,}04 + 0{,}003 = 5{,}043 \) (0 dixième)
• De même, d. \( (7 \times 100) + (9 \times 1) + (8 \times 0{,}1) + (6 \times 0{,}001) = 700 + 9 + 0{,}8 + 0{,}006 = 709{,}806 \) (0 dizaine et 0 centième)

Ensuite, dans 71,865 : 7 est le chiffre des dizaines, 1 celui des unités, 8 celui des dixièmes, 6 celui des centièmes et 5 celui des millièmes.

• a. Par ailleurs, la partie entière est 71.
• b. De plus, la partie décimale est 0,865 (ce qui est après la virgule).
• c. Par ailleurs, le chiffre 8 est le chiffre des dixièmes : il représente 8 dixièmes, soit 0,8.
• d. Également, le chiffre 1 est le chiffre des unités : il représente 1 unité.
• e. Ensuite, le chiffre des millièmes est 5.
• f. Donc, le chiffre des centièmes est 6.
• g. De même, le nombre de millièmes : \( 71{,}865 = \dfrac{71\,865}{1\,000} \), il y a 71 865 millièmes.
• h. Également, le nombre de centièmes : on garde tous les chiffres jusqu’aux centièmes, 71,86, soit 7 186 centièmes (et il reste 5 millièmes).

a. Ainsi, on remplit les rangs donnés : centaines 7, dizaines 9, unités 4, dixièmes 7, centièmes 8. Donc, Cela fait bien 5 chiffres :

Également, le nombre est 794,78.

b. Ainsi, le chiffre des dixièmes est 6. Ensuite, les unités et les centièmes valent la moitié de 6, soit 3. Puis les millièmes valent le tiers de 6, soit 2. Par ailleurs, Avec 4 chiffres (unités, dixièmes, centièmes, millièmes), le nombre est 3,632.

c. Le nombre de dixièmes est 243 : le nombre commence par 24,3. Donc le chiffre des dizaines est 2, celui des unités 4 et celui des dixièmes 3. Chiffre des centièmes : 4 + 3 = 7. Chiffre des millièmes : 2 × 3 = 6. De plus, le nombre (5 chiffres) est 24,376.

On commence toujours par trouver la valeur d’une graduation : on divise l’écart entre deux nombres écrits par le nombre d’intervalles qui les séparent.

• a. Entre 0 et 1, il y a 10 intervalles : une graduation vaut 0,1. A est à 3 graduations de 0 : A(0,3) ; D à 8 graduations : D(0,8) ; C à 1 graduation après 1 : C(1,1) ; B à 3 graduations après 1 : B(1,3).
• b. Entre 12 et 13, il y a 10 intervalles : une graduation vaut 0,1. E(12,1), F(12,3), G(12,5) et H, à 1 graduation après 13 : H(13,1).
• c. Entre 25 et 26, il y a 2 intervalles : une graduation vaut 0,5. Les grands traits marquent les unités (24, 25, 26, 27, 28, 29). J est au milieu entre 25 et 26 : J(25,5) ; K est au milieu entre 27 et 28 : K(27,5) ; L est au milieu entre 29 et 30 : L(29,5).

Sur chaque droite, on compte d’abord le nombre de petits intervalles entre les deux graduations écrites, puis on calcule la valeur d’un intervalle.

a. Entre 7,8 et 7,9, il y a 10 intervalles : chacun vaut \( 0{,}1 \div 10 = 0{,}01 \). Ensuite, on compte les intervalles à partir de la graduation la plus proche :

• M est 1 intervalle après 7,8 : M(7,81) ;
• N est 3 intervalles après 7,8 : N(7,83) ;
• P est 1 intervalle avant 7,9 : P(7,89) ;
• Q est 1 intervalle après 7,9 : Q(7,91).

b. Entre 2,9 et 3, il y a encore 10 intervalles de 0,01 :

• R est 1 intervalle avant 2,9 : R(2,89) ;
• S est 4 intervalles après 2,9 : S(2,94) ;
• T est 7 intervalles après 2,9 : T(2,97) ;
• U est 1 intervalle après 3 : U(3,01).

c. Entre 6,41 et 6,42, il y a 10 intervalles : chacun vaut \( 0{,}01 \div 10 = 0{,}001 \) (un millième).

• V est 1 intervalle avant 6,41 : V(6,409) ;
• W est 4 intervalles après 6,41 : W(6,414) ;
• Y est 7 intervalles après 6,41 : Y(6,417) ;
• Z est 9 intervalles après 6,41 : Z(6,419).

Pour comparer deux fractions décimales, on les écrit avec le même dénominateur (ou on les convertit en écriture décimale), puis on compare.

• a. Même dénominateur : 32 est plus petit que 45, donc \( \dfrac{32}{100} \lt \dfrac{45}{100} \).
• b. 7 dixièmes = 0,7 et 7 centièmes = 0,07 : \( \dfrac{7}{10} \gt \dfrac{7}{100} \).
• c. \( \dfrac{4}{10} = \dfrac{40}{100} \), et 43 est plus grand que 40 : \( \dfrac{43}{100} \gt \dfrac{4}{10} \).
• d. \( \dfrac{9}{10} = \dfrac{90}{100} \), et 85 est plus petit que 90 : \( \dfrac{85}{100} \lt \dfrac{9}{10} \).
• e. \( \dfrac{37}{100} = \dfrac{370}{1\,000} \), et 370 est plus grand que 307 : \( \dfrac{37}{100} \gt \dfrac{307}{1\,000} \).
• f. \( 5 + \dfrac{8}{10} = 5{,}8 \) et \( 5 + \dfrac{8}{100} = 5{,}08 \) : \( 5 + \dfrac{8}{10} \gt 5 + \dfrac{8}{100} \).
• g. \( 3 + \dfrac{2}{10} = 3{,}2 = 3{,}20 \) et \( 3 + \dfrac{22}{100} = 3{,}22 \) : \( 3 + \dfrac{2}{10} \lt 3 + \dfrac{22}{100} \).
• h. \( \dfrac{7\,859}{1\,000} = 7{,}859 \) et \( 78 + \dfrac{59}{100} = 78{,}59 \) : la partie entière 7 est plus petite que 78, donc \( \dfrac{7\,859}{1\,000} \lt 78 + \dfrac{59}{100} \).

Encadrer au dixième près, c’est trouver les deux nombres qui n’ont qu’un chiffre après la virgule et qui se suivent, l’un juste en dessous, l’autre juste au-dessus du nombre. Par ailleurs, on garde le chiffre des dixièmes pour la borne inférieure et on ajoute 0,1 pour la borne supérieure.

• a. \( 37{,}6 \lt 37{,}64 \lt 37{,}7 \)
• b. \( \dfrac{8\,568}{1\,000} = 8{,}568 \), donc \( 8{,}5 \lt 8{,}568 \lt 8{,}6 \)
• c. \( 82{,}9 \lt 82{,}938 \lt 83 \) (après 82,9 vient 83,0, c’est-à-dire 83)
• d. \( 9 + \dfrac{705}{1\,000} = 9{,}705 \), donc \( 9{,}7 \lt 9{,}705 \lt 9{,}8 \)
• e. \( 0{,}8 \lt 0{,}826 \lt 0{,}9 \)
• f. \( \dfrac{3}{10} + \dfrac{9}{1\,000} = 0{,}3 + 0{,}009 = 0{,}309 \), donc \( 0{,}3 \lt 0{,}309 \lt 0{,}4 \)

a. On place chaque chiffre à son rang : 12 unités, 4 dixièmes, 0 centième, 7 millièmes, 8 dix-millièmes, 5 cent-millièmes.

\[ 12 + \frac{4}{10} + \frac{7}{1\,000} + \frac{8}{10\,000} + \frac{5}{100\,000} = 12{,}407\,85 \]

L’écriture décimale est 12,407 85.

b. La valeur approchée par défaut à l’unité est le nombre entier juste en dessous : 12.

c. Au centième, 12,407 85 est compris entre 12,40 et 12,41. Puis la valeur approchée par excès (celle du dessus) est 12,41.

d. Au millième près : \( 12{,}407 \lt 12{,}407\,85 \lt 12{,}408 \).

81. Le nombre de centaines d’un entier s’obtient en supprimant ses deux derniers chiffres. 83 574 contient 835 centaines (et 74 unités). 835 n’a que 8 centaines, et 1 283 595 en a 12 835. Réponse b.

82. \( \dfrac{3\,580}{100} = 35{,}8 = 35 + \dfrac{8}{10} \). Ensuite, les autres propositions valent 8,8 et 3,58. Réponse a.

83. La partie décimale de 15,86 est ce qui suit la partie entière 15 : 0,86. Réponse c.

84. Dans 830,157, le chiffre juste après la virgule est celui des dixièmes : 1. Réponse b.

85. 1 kg = 1 000 g, donc 2 750 g = 2,75 kg. (275 dg ne font que 27,5 g et 2,75 hg font 275 g.) Réponse b.

86. Entre 1,6 et 1,7, il y a 10 intervalles : chacun vaut 0,01. G est 3 intervalles après 1,6 : son abscisse est 1,63. Réponse c.

87. Ordre croissant = du plus petit au plus grand : 5,99 < 6,01 < 6,9 < 7,05 < 7,19 < 7,2. Réponse b.

Exercice 63 : QCM sur les nombres décimaux (suite)

88. L’amplitude d’un encadrement est la différence entre ses bornes : \( 5{,}46 – 5{,}4 = 0{,}06 \). Réponse a.

89. 6,174 est compris entre 6,1 et 6,2 : une valeur approchée au dixième près est 6,1 (6 est au niveau de l’unité, 6,17 au niveau du centième). Réponse b.

On compare les nombres chiffre par chiffre en partant de la gauche. Puis la partie à souligner est le début commun ; le chiffre à entourer est le premier chiffre différent, et c’est lui qui décide. Attention : on compare d’abord les parties entières.

Remarque : 3,2614 a plus de chiffres que 3,254, mais ce n’est pas ce qui compte ; seul le premier chiffre différent décide.

Même méthode : on compare les parties entières, puis les dixièmes, les centièmes… Le chiffre à entourer est le premier qui diffère. Quand un nombre a moins de chiffres après la virgule, on peut ajouter des zéros inutiles pour mieux voir (21,51 = 21,510).

Tous les nombres ont 7 pour partie entière : on compare donc les parties décimales avec 7,3 = 7,300.

• Chiffre des dixièmes plus petit que 3 : 7,2 ; 7,19 ; 7,03 ; 7,28 ; 7,1 sont inférieurs à 7,3 (à entourer en bleu).
• Chiffre des dixièmes plus grand que 3 : 7,4 et 7,9 sont supérieurs à 7,3.
• Chiffre des dixièmes égal à 3 : on regarde la suite. 7,35 = 7,350 et 7,301 dépassent 7,300 : ils sont supérieurs à 7,3.

Piège : 7,28 a plus de chiffres que 7,3 mais il est plus petit (2 dixièmes contre 3).

Le plus grand. Les plus grandes parties entières sont 5 : on compare 5,01 ; 5,008 et 5. De plus, en écrivant 5,010 ; 5,008 et 5,000, on voit que le plus grand est 5,01 (1 centième contre 0 centième).

Le plus petit. Parmi les nombres de partie entière 4, on cherche le plus petit chiffre des dixièmes : 4,01 ; 4,0999 et 4,001 ont 0 dixième. Ensuite, on compare les centièmes : 4,010 ; 4,0999 ; 4,001. Par ailleurs, le plus petit est 4,001 (0 centième et 1 millième).

1°) Ordre décroissant = du plus grand au plus petit. Puis on range d’abord selon la partie entière (64, 46, 44, 6, 4), puis on départage 64,4 et 64,64 (4 dixièmes contre 6 dixièmes) et 6,446 et 6,46 (6,446 contre 6,460).

\( 64{,}64 \gt 64{,}4 \gt 46{,}64 \gt 44{,}6 \gt 6{,}46 \gt 6{,}446 \gt 4{,}646 \)

2°) Ordre croissant = du plus petit au plus grand. Nombres de partie entière 5 : 5,609 ; 5,610 ; 5,898 ; 5,980. Nombres de partie entière 7 : 7,05 ; 7,50 ; 7,55.

\( 5{,}609 \lt 5{,}61 \lt 5{,}898 \lt 5{,}98 \lt 7{,}05 \lt 7{,}5 \lt 7{,}55 \)

3°) Tous les nombres commencent par 12 : on écrit leurs parties décimales avec trois chiffres : 300 ; 320 ; 260 ; 213 ; 301 ; 206.

\( 12{,}206 \lt 12{,}213 \lt 12{,}26 \lt 12{,}3 \lt 12{,}301 \lt 12{,}32 \)

Pour arrondir, on regarde le chiffre juste après le rang demandé : s’il vaut 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde le chiffre ; s’il vaut 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 au dernier chiffre gardé.

1. 163,232 au centième : le chiffre des millièmes est 2, on garde : 163,23.
2. 52,721 7 au millième : le chiffre des dix-millièmes est 7, on arrondit au-dessus : 52,722.
3. 447,767 au centième : le chiffre des millièmes est 7, on arrondit au-dessus : 447,77.
4. 30 994,6 à l’unité : le chiffre des dixièmes est 6, on arrondit au-dessus : 30 995.

On calcule chaque produit, puis on additionne en plaçant chaque chiffre à son rang.

1. \( 5 \times 10 + 4 \times \dfrac{1}{100} + 2 \times 1 = 50 + 0{,}04 + 2 = 52{,}04 \)
2. \( 6 \times 1\,000 + 6 \times \dfrac{1}{1\,000} + 1 \times 1 = 6\,000 + 0{,}006 + 1 = 6\,001{,}006 \)
3. \( 7 \times 1\,000 + 3 \times \dfrac{1}{100} + 1 \times \dfrac{1}{1\,000} = 7\,000 + 0{,}03 + 0{,}001 = 7\,000{,}031 \)
4. \( 5 \times 10 + 9 \times 100 + 4 \times 1\,000 = 50 + 900 + 4\,000 = 4\,950 \)
5. \( 2 \times \dfrac{1}{100} + 1 \times 10 + 1 \times \dfrac{1}{10} = 0{,}02 + 10 + 0{,}1 = 10{,}12 \)
6. \( 2 \times 1\,000 + 5 \times \dfrac{1}{100} + 7 \times 1 = 2\,000 + 0{,}05 + 7 = 2\,007{,}05 \)

Attention aux rangs vides : dans 6 001,006, il faut deux zéros entre la virgule et le 6 des millièmes.

1. 800,434 est entre 800,43 et 800,44. La valeur approchée par excès au centième est celle du dessus : 800,44.
2. 7 782 010 est entre 7 782 000 et 7 782 100. Le chiffre des dizaines est 1 (moins de 5) : l’arrondi à la centaine est 7 782 000.
3. 190 494 est entre 190 490 et 190 500. La valeur approchée par défaut à la dizaine est celle du dessous : 190 490.
4. 631 518 est entre 631 510 et 631 520. La valeur approchée par excès à la dizaine est celle du dessus : 631 520.

1. On découpe le nombre en classes (millions, mille, unités) et on écrit un 0 dans chaque rang vide.

• a) 962 millions et 623 unités : 962 000 623
• b) 62 unités et 3 dixièmes : 62,3
• c) 682 millions, 366 mille et 90 unités : 682 366 090
• d) 908 millions et 403 mille : 908 403 000
• e) 36 mille et 609 unités : 36 609
• f) 403 millièmes : 0,403
• g) 235 unités et 28 centièmes : 235,28
• h) 635 millions, 23 mille et 528 unités : 635 023 528

2. Sans le mot « virgule », on lit la partie entière suivie de « unités », puis la partie décimale en nommant le rang de son dernier chiffre. Ensuite, on relie tous les mots par des traits d’union, comme dans l’énoncé ; « mille » ne prend jamais de s.

• a) 644,62 : six-cent-quarante-quatre unités et soixante-deux centièmes
• b) 333 559 000 : trois-cent-trente-trois-millions-cinq-cent-cinquante-neuf-mille
• c) 4,79 : quatre unités et soixante-dix-neuf centièmes
• d) 55,9 : cinquante-cinq unités et neuf dixièmes
• e) 817 479 000 : huit-cent-dix-sept-millions-quatre-cent-soixante-dix-neuf-mille
• f) 75,5 : soixante-quinze unités et cinq dixièmes
• g) 16 000 755 : seize-millions-sept-cent-cinquante-cinq
• h) 514 064 462 : cinq-cent-quatorze-millions-soixante-quatre-mille-quatre-cent-soixante-deux