Polygones et constructions en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Dans un triangle, le côté opposé à un sommet est le côté qui ne passe pas par ce sommet ; le sommet opposé à un côté est le sommet qui n’est pas sur ce côté.

• a. Dans le triangle GFH, [GH] est le côté opposé au sommet F.
• b. Dans le triangle DHE, D est le sommet opposé au côté [EH].
• c. Dans le triangle FEH, [FE] est le côté opposé au sommet H.
• d. Dans le triangle GDE (ou DGE, EDG…), E est le sommet opposé au côté [GD].

a. Le quadrilatère VERT est partagé par la diagonale [ET] en deux triangles dont on connaît les trois côtés.

1. Tracer [VE] de 2,5 cm.
2. Arc de centre V et de rayon 3,5 cm, arc de centre E et de rayon 4,2 cm : ils se coupent en T.
3. Du côté opposé à V par rapport à (ET) : arc de centre E de rayon 4 cm et arc de centre T de rayon 3 cm : ils se coupent en R.
4. Tracer [ER], [RT] et [VT].

b. On lit le codage : RE = OG = 5,3 cm (trois traits), EG = OU = 6,2 cm (un trait), RG = GU = 7 cm (deux traits). Les triangles REG et OGU ont donc les mêmes longueurs de côtés. On considère, comme sur le croquis, que E, G et U sont alignés.

1. Tracer une droite, y placer E, G et U avec EG = 6,2 cm et GU = 7 cm.
2. R : arc de centre E de rayon 5,3 cm et arc de centre G de rayon 7 cm.
3. O : arc de centre G de rayon 5,3 cm et arc de centre U de rayon 6,2 cm (du même côté que R).
4. Tracer [RE], [RG], [RO], [OG], [OU].

Méthode pour chaque triangle : on trace un côté, puis deux arcs de cercle dont les rayons sont les deux autres longueurs ; leur intersection est le troisième sommet. On laisse les arcs visibles.

• ABC : [AB] = 3,5 cm ; arc de centre A de rayon 3 cm ; arc de centre B de rayon 4 cm → C.
• DEF : [DE] = 4,2 cm ; arc de centre D de rayon 4,8 cm ; arc de centre E de rayon 4 cm → F.
• HIG : [HI] = 3,7 cm ; arc de centre H de rayon 6,5 cm ; arc de centre I de rayon 5 cm → G.

Les constructions sont possibles car, pour chaque triangle, le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres (par exemple \( 6{,}5 \lt 3{,}7 + 5 = 8{,}7 \)).

a. Le codage donne SU = UT = ST = TW = 4,5 cm (un trait) et UV = VT = 3,8 cm (deux traits).

1. Tracer [SW] de 9 cm et placer T au milieu (ST = TW = 4,5 cm).
2. Construire le triangle équilatéral SUT : arcs de rayon 4,5 cm centrés en S et en T.
3. Construire V : arcs de rayon 3,8 cm centrés en U et en T, du côté de W ; UVT est isocèle en V.
4. Tracer [UV], [VT] et [VW].

b.

1. Tracer [ED] de 5 cm, puis la perpendiculaire à (ED) en E et placer A tel que EA = 2 cm : ADE est rectangle en E.
2. BDE équilatéral : arcs de rayon 5 cm centrés en E et en D → B.
3. C : sur le croquis, (EC) est perpendiculaire à (BD). Dans le triangle équilatéral BDE, cette droite partage l’angle de 60° en E en deux angles de 30° : on trace la demi-droite d’origine E faisant un angle de 30° avec [ED].
4. CDE isocèle en D : DC = DE = 5 cm. Arc de centre D de rayon 5 cm, il coupe la demi-droite en C.

On compte les carreaux pour comparer les côtés et on vérifie les angles droits.

• ABCD est un carré : chaque côté se lit « 3 carreaux dans un sens, 1 dans l’autre », les quatre côtés sont égaux et les angles sont droits.
• EFGH est un parallélogramme : [EH] et [FG] sont horizontaux, de même longueur (5 carreaux), mais [EF] est plus court et les angles ne sont pas droits.
• IJKL est un losange : ses diagonales [IK] (verticale) et [JL] (horizontale) sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, et elles n’ont pas la même longueur.
• MNOP est un rectangle : quatre angles droits, côtés [MN] et [NO] de longueurs différentes.
• QRST est un parallélogramme : côtés opposés parallèles et de même longueur, mais ni angle droit ni quatre côtés égaux.

On lit sur le croquis : ABC est rectangle en B, AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm ; I, J, K sont les milieux de [AB], [BC] et [AC].

1. Tracer [BC] de 8 cm, puis la perpendiculaire à (BC) en B et placer A avec BA = 6 cm. Vérifier : AC mesure bien 10 cm.
2. Placer les milieux : BI = 3 cm, BJ = 4 cm, AK = 5 cm.
3. Tracer le demi-cercle de centre I et de rayon 3 cm, à l’extérieur du triangle.
4. Tracer le demi-cercle de centre J et de rayon 4 cm, à l’extérieur du triangle.
5. Tracer le demi-cercle de centre K et de rayon 5 cm, du côté de B : il passe par B.
6. Colorier les deux croissants compris entre les petits demi-cercles et le grand : ce sont les lunules.

a. Nature

• ABCD est un losange : ses quatre côtés sont codés de même longueur (3 cm).
• EFGH est un rectangle : il a quatre angles droits (EH = 5 cm, HG = 3 cm).
• JKLM est un carré : quatre angles droits et quatre côtés égaux (7 cm).
• PQRS est un rectangle : quatre angles droits (SR = 4 cm, diagonale SQ = 7 cm).

b. Constructions

• ABCD : tracer la diagonale [DB] de 4,5 cm, puis A et C avec des arcs de rayon 3 cm centrés en D et en B, de part et d’autre.
• EFGH : [HG] = 3 cm, perpendiculaires en H et en G, EH = GF = 5 cm.
• JKLM : [ML] = 7 cm, perpendiculaires en M et en L, MJ = LK = 7 cm.
• PQRS : [SR] = 4 cm, perpendiculaire à (SR) en R, arc de centre S et de rayon 7 cm qui la coupe en Q, puis P avec un angle droit en S et en Q. On obtient \( RQ \approx 5{,}7 \) cm.

a. On trace un triangle ABC quelconque.

b. À l’équerre et à la règle (en faisant glisser l’équerre le long de la règle) :

• (d) passe par A et est parallèle à (BC) ;
• (d′) passe par B et est parallèle à (AC) ; elle coupe (d) en E ;
• (d″) passe par C et est parallèle à (AB) ; elle coupe (d) en F et (d′) en G.

c. On trace (EC), (BF) et (AG).

Remarque : les trois droites (EC), (BF) et (AG) se coupent en un même point : on dit qu’elles sont concourantes. On remarque aussi que A, B et C sont les milieux des côtés du grand triangle EFG, et que chacune des trois droites passe par le milieu d’un côté du triangle ABC.

• a. \( (AC) \perp (BC) \) : l’angle en C est droit. ABC est un triangle rectangle en C.
• b. MN = NP : MNP est isocèle en N ; \( (MN) \perp (NP) \) : l’angle en N est droit. MNP est un triangle rectangle isocèle en N.
• c. Isocèle en E : EF = EG ; isocèle en F : FE = FG. Donc EF = FG = GE : EFG est un triangle équilatéral.

1. ABC isocèle en A : [BC] = 4 cm, arcs de rayon 5 cm centrés en B et en C → A (AB = AC = 5 cm).
2. DEF isocèle en E avec EF = 6 cm : donc ED = EF = 6 cm. Tracer [EF], construire au rapporteur l’angle \( \widehat{DEF} = 130^\circ \), puis placer D sur le côté de l’angle à 6 cm de E. Les angles à la base mesurent chacun \( (180 – 130) \div 2 = 25^\circ \).
3. GHI équilatéral de côté 4 cm : [GH] = 4 cm, arcs de rayon 4 cm centrés en G et en H → I.
4. JKL rectangle en L : tracer un angle droit de sommet L, placer J à 5 cm et K à 6 cm de L sur les deux côtés.
5. PQR rectangle isocèle en Q : angle droit en Q, QR = QP = 4 cm.