Corrigé des 44 exercices sur les fractions en 6ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Sur chaque axe, on commence par compter le nombre de parts égales entre 0 et 1 : c’est le dénominateur « naturel » de l’axe. Puis pour placer \(\dfrac{a}{b}\), on partage l’unité en \(b\) parts et on en compte \(a\) à partir de 0. Si le dénominateur ne correspond pas au partage, on écrit d’abord une fraction égale.

• a. L’unité est partagée en 2 : chaque graduation vaut \(\dfrac{1}{2}\). On compte 1, 3 et 5 demis. Et \(\dfrac{2}{2} = 1\).
• b. L’unité est partagée en 4. \(\dfrac{2}{4}\) est à la 2^e graduation, \(\dfrac{7}{4}\) à la 7^e, \(\dfrac{4}{4} = 1\). Comme \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\), le point \(\dfrac{1}{2}\) est au même endroit que \(\dfrac{2}{4}\).
• c. L’unité est partagée en 3. \(\dfrac{2}{3}\) : 2^e graduation ; \(\dfrac{5}{3}\) : 5^e graduation ; \(\dfrac{9}{3} = 3\).
• d. L’unité est partagée en 6. \(\dfrac{3}{6}\), \(\dfrac{11}{6}\) et \(\dfrac{13}{6}\) se placent directement. Pour \(\dfrac{2}{3}\) : \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}\), donc 4^e graduation.

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• e. L’unité est partagée en 12 : on compte 7, 11, 15 et 23 douzièmes.
• f. Toujours des douzièmes. On transforme : \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}\), \(\dfrac{3}{2} = \dfrac{18}{12}\), \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\), \(\dfrac{13}{6} = \dfrac{26}{12}\), \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{21}{12}\).

1. La liste est : \(\dfrac{3}{2}\) ; \(\dfrac{15}{7}\) ; \(\dfrac{8}{3}\) ; \(\dfrac{7}{2}\) ; \(\dfrac{8}{15}\) ; \(\dfrac{15}{8}\). De plus, le numérateur est le nombre du haut, le dénominateur celui du bas.

Ainsi, a. Même numérateur : \(\dfrac{15}{7}\) et \(\dfrac{15}{8}\) (numérateur 15) ; \(\dfrac{8}{3}\) et \(\dfrac{8}{15}\) (numérateur 8).

Donc, b. Même dénominateur : \(\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{7}{2}\) (dénominateur 2).

Également, 2. Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. Ensuite, on élimine donc \(\dfrac{2{,}3}{8}\), \(\dfrac{3}{2{,}5}\) et \(\dfrac{5{,}4}{21{,}5}\), qui contiennent un nombre à virgule.

On utilise la définition du quotient : \(\dfrac{a}{b}\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). Autrement dit \(\dfrac{a}{b} \times b = a\).

• a. \(\dfrac{3}{5} \times 5 = 3\)
• b. \(\dfrac{12}{7} \times 7 = 12\)
• c. \(3 \times \dfrac{51}{3} = 51\) ; ici la division tombe juste : \(\dfrac{51}{3} = 17\).
• d. \(4 \times \dfrac{13}{4} = 13\) (on peut aussi écrire \(\dfrac{13}{4} = 3{,}25\)).

Prendre une fraction d’une quantité, c’est diviser par le dénominateur puis multiplier par le numérateur. Par ailleurs, un tour mesure 400 m.

• Ludovic : \(\dfrac{1}{10}\) de 400 m, soit \(400 \div 10 = 40\) m.
• Sylvie : \(\dfrac{1}{4}\) de 400 m, soit \(400 \div 4 = 100\) m.
• Rosa : un demi-tour, c’est \(\dfrac{1}{2}\) de 400 m, soit \(400 \div 2 = 200\) m.
• Kévin : \(\dfrac{1}{9}\) de 400 m, soit \(\dfrac{400}{9}\) m. La division \(400 \div 9\) ne tombe pas juste (\(44{,}444\ldots\)) : la valeur exacte demandée est donc la fraction \(\dfrac{400}{9}\) m, environ 44,4 m.

Le prix d’un litre est le prix de la bouteille divisé par le nombre de litres : \(5 \div 3 = \dfrac{5}{3}\) €. Puis la division posée donne \(1{,}666\ldots\) (le chiffre 6 se répète sans fin).

Par conséquent, a. Arrondi à l’unité : 1,666… est entre 1 et 2, et plus proche de 2 (le chiffre des dixièmes est 6, qui est au moins 5). Ensuite, le prix arrondi est 2 €.

En effet, b. Troncature au centième : on garde les chiffres jusqu’aux centièmes et on « coupe » le reste : 1,66 €.

Ensuite, c. Le prix exact ne peut pas s’écrire avec une virgule : c’est le quotient \(\dfrac{5}{3}\) €.

Pour multiplier une fraction par un entier, on cherche la division qui tombe juste et on la fait en premier.

a. \(24 \div 3 = 8\), donc

\[ \dfrac{2}{3} \times 24 = 2 \times 8 = 16 \]

b. \(21 \div 7 = 3\), donc

\[ 5 \times \dfrac{21}{7} = 5 \times 3 = 15 \]

De plus, c. Diviser par 100 déplace la virgule de deux rangs :

\[ 4 \times \dfrac{23}{100} = \dfrac{92}{100} = 0{,}92 \]

d. \(80 \div 4 = 20\), donc

\[ 80 \times \dfrac{7}{4} = 20 \times 7 = 140 \]

L’amplitude totale est 3,60 m. Puis un douzième de l’amplitude vaut :

\[ \dfrac{1}{12} \times 3{,}6 = 3{,}6 \div 12 = 0{,}3 \text{ m} \]

La mer monte pendant 6 heures de 1, 2, 3, 3, 2 puis 1 douzième. De plus, on additionne les douzièmes heure après heure : 1, puis 1 + 2 = 3, puis 3 + 3 = 6, puis 9, 11 et enfin 12 douzièmes (marée haute). Ensuite elle redescend de la même manière.

Par ailleurs, Exemple de calcul à 15 h : \(\dfrac{6}{12} \times 3{,}6 = 6 \times 0{,}3 = 1{,}8\) m.

a. Entre 0 et 7, il y a 3 intervalles égaux. Chaque intervalle mesure donc \(7 \div 3 = \dfrac{7}{3}\) unité. Ensuite, le point A est à la fin du premier intervalle : son abscisse est \(\dfrac{7}{3}\). Attention, ce n’est pas 2 : \(\dfrac{7}{3} \approx 2{,}33\).

Ainsi, b. \(\dfrac{7}{6}\) est la moitié de \(\dfrac{7}{3}\), car \(\dfrac{7}{6} \times 2 = \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}\). Par ailleurs, le point B est donc au milieu du segment [OA] : on partage le premier intervalle en deux.

On effectue la division du numérateur par le dénominateur (ou on utilise des fractions décimales).

• a. \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\)
• b. \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} = 0{,}25\)
• c. \(\dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)
• d. \(\dfrac{9}{2} = 9 \times \dfrac{1}{2} = 9 \times 0{,}5 = 4{,}5\)
• e. \(\dfrac{9}{4} = 9 \times 0{,}25 = 2{,}25\)
• f. \(\dfrac{9}{5} = 9 \times 0{,}2 = 1{,}8\)

On pose chaque division. Si elle s’arrête (reste nul), le quotient est un nombre décimal. Si un reste revient sans fin, le quotient n’est pas décimal : on donne alors sa valeur approchée par défaut au centième (on coupe après le 2^e chiffre après la virgule).

Pour chaque disque, on compte le nombre total de parts égales (le dénominateur) puis le nombre de parts coloriées (le numérateur). Puis on simplifie ensuite la fraction obtenue pour pouvoir comparer.

Donc, on regroupe les disques dont la portion coloriée est la même :

• les disques a, c et g : \( \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12} \) (en effet \( \dfrac{6}{8} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} \) et \( \dfrac{9}{12} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} \)) ;

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• les disques b et e : \( \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \) ;
• les disques f et h : \( \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \) (on divise 8 et 12 par 4) ;
• les disques d et i : \( \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \) (on divise 6 et 10 par 2).

a. La calculatrice affiche \( \dfrac{1}{13} \approx 0{,}076923076 \). Ensuite, on remarque que le groupe de chiffres 076923 se répète : 076923 puis 076 qui recommence. Puis la partie décimale est donc périodique : 0,076923 076923 076923…

Également, la calculatrice affiche 9 décimales : 076923 076. De plus, les dix décimales suivantes (de la dixième à la dix-neuvième) continuent le motif : on termine le groupe en cours (923), puis on écrit un groupe complet (076923) et on recommence (0).

Par conséquent, les dix décimales suivantes sont : 9 2 3 0 7 6 9 2 3 0, soit \( \dfrac{1}{13} = 0{,}0769230769230769230\ldots \)

En effet, b. Avec le même affichage (9 décimales) :

Ensuite, remarque : certaines calculatrices arrondissent la dernière décimale au lieu de la couper ; elles affichent par exemple 0,153846154 pour \( \dfrac{2}{13} \). Ensuite, les neuf premiers chiffres, eux, sont les mêmes.

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De plus, c. La période est le groupe de chiffres qui se répète sans fin. Chaque quotient a une période de 6 chiffres :

• \( \dfrac{1}{13} \) : 076923 ; \( \dfrac{3}{13} \) : 230769 ; \( \dfrac{4}{13} \) : 307692 ; \( \dfrac{9}{13} \) : 692307 ; \( \dfrac{10}{13} \) : 769230 ; \( \dfrac{12}{13} \) : 923076 ;
• \( \dfrac{2}{13} \) : 153846 ; \( \dfrac{5}{13} \) : 384615 ; \( \dfrac{6}{13} \) : 461538 ; \( \dfrac{7}{13} \) : 538461 ; \( \dfrac{8}{13} \) : 615384 ; \( \dfrac{11}{13} \) : 846153.

Par ailleurs, on obtient deux familles : dans la première, la période utilise les chiffres 0, 7, 6, 9, 2, 3 toujours dans le même ordre « en tournant » (0769230769…) ; dans la seconde, la période utilise les chiffres 1, 5, 3, 8, 4, 6, eux aussi toujours dans le même ordre (1538461538…). Seul le point de départ dans le cycle change.

Comme dans l’exemple, on cherche par quel nombre on a multiplié le dénominateur (ou le numérateur) et on multiplie l’autre terme par le même nombre : une fraction ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre.

• a. De 3 à 6, on multiplie par 2 : \( \dfrac{7}{3} = \dfrac{7 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{14}{6} \).
• b. De 1 à 20, on multiplie par 20 : \( \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 20}{4 \times 20} = \dfrac{20}{80} \).
• c. De 7 à 21, on multiplie par 3 : \( \dfrac{7}{5} = \dfrac{7 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{21}{15} \).
• d. De 10 à 50, on multiplie par 5 : \( \dfrac{10}{9} = \dfrac{10 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{50}{45} \).
• e. De 8 à 64, on multiplie par 8 : \( \dfrac{11}{8} = \dfrac{11 \times 8}{8 \times 8} = \dfrac{88}{64} \).
• f. De 4 à 100, on multiplie par 25 : \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{75}{100} \).

On cherche par quel nombre multiplier le dénominateur pour obtenir 100, puis on multiplie le numérateur par ce même nombre.

• a. \( 10 \times 10 = 100 \) : \( \dfrac{1}{10} = \dfrac{1 \times 10}{10 \times 10} = \dfrac{10}{100} \).
• b. \( 50 \times 2 = 100 \) : \( \dfrac{7}{50} = \dfrac{7 \times 2}{50 \times 2} = \dfrac{14}{100} \).
• c. \( 20 \times 5 = 100 \) : \( \dfrac{9}{20} = \dfrac{9 \times 5}{20 \times 5} = \dfrac{45}{100} \).
• d. \( 5 \times 20 = 100 \) : \( \dfrac{18}{5} = \dfrac{18 \times 20}{5 \times 20} = \dfrac{360}{100} \).
• e. \( 25 \times 4 = 100 \) : \( \dfrac{41}{25} = \dfrac{41 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{164}{100} \).
• f. \( 4 \times 25 = 100 \) : \( \dfrac{5}{4} = \dfrac{5 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{125}{100} \).

Ainsi, Ces fractions décimales donnent directement l’écriture décimale : 0,1 ; 0,14 ; 0,45 ; 3,6 ; 1,64 et 1,25.

Pour passer d’une fraction à la suivante, on divise (pour simplifier) ou on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

• a. De 6 à 3, on divise par 2 : \( \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} \). De 5 à 25, on multiplie par 5 : \( \dfrac{5}{3} = \dfrac{25}{15} \).
  \( \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{25}{15} \)
• b. De 15 à 5, on divise par 3 : \( \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} \). De 4 à 8, on multiplie par 2 : \( \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} \).
  \( \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} \)
• c. De 18 à 2, on divise par 9 : \( \dfrac{27}{18} = \dfrac{3}{2} \). De 3 à 15, on multiplie par 5 : \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{10} \).
  \( \dfrac{27}{18} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{10} \)
• d. De 45 à 3, on divise par 15 : \( \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4} \). De 4 à 28, on multiplie par 7 : \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{21}{28} \).
  \( \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{21}{28} \)

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• e. De 65 à 5, on divise par 13 : \( \dfrac{26}{65} = \dfrac{2}{5} \). De 2 à 18, on multiplie par 9 : \( \dfrac{2}{5} = \dfrac{18}{45} \).
  \( \dfrac{26}{65} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{18}{45} \)
• f. De 49 à 7, on divise par 7 : \( \dfrac{49}{42} = \dfrac{7}{6} \). De 6 à 72, on multiplie par 12 : \( \dfrac{7}{6} = \dfrac{84}{72} \).
  \( \dfrac{49}{42} = \dfrac{7}{6} = \dfrac{84}{72} \)

Pour comparer, on simplifie chaque fraction ou on cherche son écriture décimale.

• \( \dfrac{7}{4} = 1{,}75 \) ; \( \dfrac{14}{8} = \dfrac{7}{4} \) (on divise par 2) ; \( \dfrac{28}{16} = \dfrac{7}{4} \) (on divise par 4).
• \( \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \) ; \( \dfrac{15}{10} = 1{,}5 \) ; \( \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2} \) (on divise par 6) ; et la case 1,5.
• \( \dfrac{21}{49} = \dfrac{3}{7} \) (on divise par 7) ; \( \dfrac{45}{105} = \dfrac{3}{7} \) (on divise par 15) ; et la case \( \dfrac{3}{7} \).
• \( \dfrac{1{,}2}{0{,}5} = \dfrac{12}{5} \) (on multiplie par 10 en haut et en bas) ; et la case \( \dfrac{12}{5} \) ; les deux valent 2,4.
• \( \dfrac{33}{100} = 0{,}33 \) ; et la case 0,33.

Donc, il reste \( \dfrac{9}{49} \), qui n’est égal à aucun autre nombre (il ne se simplifie pas), et \( \dfrac{1}{3} \). Attention : \( \dfrac{1}{3} \) n’est pas égal à 0,33, car \( 3 \times 0{,}33 = 0{,}99 \) et non 1. Par ailleurs, ces deux cases restent blanches.

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Dans chaque liste, on simplifie les fractions (ou on calcule leur écriture décimale) : l’intrus est celle qui n’est pas égale aux autres.

Également, a. \( \dfrac{80}{100} = \dfrac{4}{5} \) ; \( \dfrac{16}{20} = \dfrac{4}{5} \) (on divise par 4) ; \( \dfrac{4}{5} \) ; \( \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} \). Mais \( \dfrac{34}{40} = \dfrac{17}{20} = 0{,}85 \) alors que \( \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \). Puis l’intrus est \( \dfrac{34}{40} \).

Par conséquent, b. \( \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4} \) (on divise par 4) ; \( \dfrac{3}{4} \) ; \( \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4} \) (on divise par 25) ; \( \dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4} \) (on divise par 7). Mais \( \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \) alors que \( \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \). Ensuite, l’intrus est \( \dfrac{15}{25} \).

En effet, c. \( \dfrac{65}{75} = \dfrac{13}{15} \) (on divise par 5) ; \( \dfrac{130}{150} = \dfrac{13}{15} \) (on divise par 10) ; \( \dfrac{13}{15} \) ; \( \dfrac{26}{30} = \dfrac{13}{15} \) (on divise par 2). Puis pour \( \dfrac{91}{115} \) : si elle était égale à \( \dfrac{13}{15} \), comme \( 91 = 13 \times 7 \), il faudrait avoir \( 15 \times 7 = 105 \) au dénominateur, et non 115. De plus, l’intrus est \( \dfrac{91}{115} \).

a. Les trois damiers ont pour côté 2, 3 et 4 carreaux ; chacun commence par un carreau noir en haut à gauche et les couleurs alternent. Ensuite, on poursuit avec des carrés de côté 5, 6 et 7 carreaux.

Ensuite, b. Un damier de côté n contient \( n \times n \) carreaux. S’il a un nombre pair de carreaux, il y a autant de noirs que de blancs ; sinon, il y a un noir de plus (les coins sont noirs).

De plus, c. Les fractions sont égales pour les damiers 1, 3 et 5 (côtés 2, 4 et 6) : \( \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2} \). Par ailleurs, les fractions \( \dfrac{5}{9} \), \( \dfrac{13}{25} \) et \( \dfrac{25}{49} \) sont toutes différentes (elles sont un peu plus grandes que \( \dfrac{1}{2} \)).

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Par ailleurs, d. Les damiers 7, 8 et 9 ont pour côté 8, 9 et 10 carreaux :

• damier 7 : 64 carreaux, 32 noirs, \( \dfrac{32}{64} = \dfrac{1}{2} \) ;
• damier 8 : 81 carreaux, 41 noirs, \( \dfrac{41}{81} \) ;
• damier 9 : 100 carreaux, 50 noirs, \( \dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2} \).

Ainsi, on trouve d’autres fractions égales : \( \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{18}{36} = \dfrac{32}{64} = \dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2} \). Puis ce sont les damiers de côté pair.

Une fraction peut être simplifiée si son numérateur et son dénominateur ont un diviseur commun autre que 1. Ensuite, on utilise les critères de divisibilité.

• a. 45 et 105 se terminent par 5 : ils sont divisibles par 5. \( \dfrac{45}{105} = \dfrac{9}{21} \), puis 9 et 21 sont divisibles par 3 : \( \dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7} \). Simplifiable.
• b. 140 et 90 se terminent par 0 : ils sont divisibles par 10. \( \dfrac{140}{90} = \dfrac{14}{9} \). Simplifiable.
• c. 3 n’a que 1 et 3 comme diviseurs. Or \( 9 + 7 = 16 \) n’est pas dans la table de 3, donc 97 n’est pas divisible par 3. Non simplifiable.
• d. \( 1 + 2 + 3 = 6 \) et \( 4 + 5 = 9 \) : 123 et 45 sont divisibles par 3. \( \dfrac{123}{45} = \dfrac{41}{15} \). Simplifiable.
• e. Les diviseurs de 25 sont 1, 5 et 25. 46 ne se termine ni par 0 ni par 5, donc il n’est pas divisible par 5 (ni par 25). Non simplifiable.

Pour simplifier au maximum, on cherche dans le tableau le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur, puis on divise les deux par ce nombre.

Donc, a. Diviseurs communs de 42 et 56 : 1, 2, 7 et 14. Puis le plus grand est 14 :

Également :\[ \dfrac{42}{56} = \dfrac{42 \div 14}{56 \div 14} = \dfrac{3}{4} \]

Par conséquent, b. Diviseurs communs de 56 et 60 : 1, 2 et 4. De plus, le plus grand est 4 :

En effet :\[ \dfrac{56}{60} = \dfrac{56 \div 4}{60 \div 4} = \dfrac{14}{15} \]

Ensuite, c. Diviseurs communs de 60 et 42 : 1, 2, 3 et 6. Ensuite, le plus grand est 6 :

De plus :\[ \dfrac{60}{42} = \dfrac{60 \div 6}{42 \div 6} = \dfrac{10}{7} \]

a. On compte les boules rangée par rangée (du haut vers le bas) :

• pyramide 1 : 1 verte + 2 rouges = 3 boules, dont 1 verte : \( \dfrac{1}{3} \) ;
• pyramide 2 : 1 + 2 + 3 = 6 boules, dont 2 vertes : \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \) ;
• pyramide 3 : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 boules, dont 1 + 3 = 4 vertes : \( \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \) ;
• pyramide 4 : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 boules, dont 2 + 4 = 6 vertes : \( \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} \).

Par ailleurs, b. Chaque pyramide a une rangée de plus que la précédente ; la rangée du bas est toujours rouge, puis les rangées alternent vert, rouge, vert… en remontant.

• pyramide 5 (6 rangées) : 21 boules ; vertes : 5 + 3 + 1 = 9 ; \( \dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7} \) ;
• pyramide 6 (7 rangées) : 28 boules ; vertes : 6 + 4 + 2 = 12 ; \( \dfrac{12}{28} = \dfrac{3}{7} \) ;

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• pyramide 7 (8 rangées) : 36 boules ; vertes : 7 + 5 + 3 + 1 = 16 ; \( \dfrac{16}{36} = \dfrac{4}{9} \) ;
• pyramide 8 (9 rangées) : 45 boules ; vertes : 8 + 6 + 4 + 2 = 20 ; \( \dfrac{20}{45} = \dfrac{4}{9} \).

Ainsi, c. Les proportions sont égales deux par deux : pyramides 1 et 2 (\( \dfrac{1}{3} \)), 3 et 4 (\( \dfrac{2}{5} \)), 5 et 6 (\( \dfrac{3}{7} \)), 7 et 8 (\( \dfrac{4}{9} \)).

Prendre les \( \dfrac{4}{9} \) d’une quantité, c’est la partager en 9 parts égales et en prendre 4.

Donc :\[ \begin{aligned} 43{,}20 \div 9 &= 4{,}80 \\ 4{,}80 \times 4 &= 19{,}20 \end{aligned} \]

Également, une part vaut 4,80 € et Lukas reçoit 4 parts.

Pour chaque jus, on calcule la fraction de 81 cL : on divise 81 par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.

• Litchis : \( \dfrac{1}{6} \times 81 = 81 \div 6 = 13{,}5 \) : 13,5 cL.
• Kiwis : \( \dfrac{2}{9} \times 81 = (81 \div 9) \times 2 = 9 \times 2 = 18 \) : 18 cL.
• Fruits de la passion : \( \dfrac{1}{3} \times 81 = 81 \div 3 = 27 \) : 27 cL.
• Goyaves : \( \dfrac{5}{18} \times 81 = (81 \div 18) \times 5 = 4{,}5 \times 5 = 22{,}5 \) : 22,5 cL.

Par conséquent, Vérification : \( 13{,}5 + 18 + 27 + 22{,}5 = 81 \) cL. Par ailleurs, on retrouve bien tout le cocktail.

Remplir la salle à 76 %, c’est occuper les \( \dfrac{76}{100} \) des 175 places.

En effet :\[ \dfrac{76}{100} \times 175 = \dfrac{76 \times 175}{100} = \dfrac{13\,300}{100} = 133 \]

On peut aussi calculer \( 175 \div 100 = 1{,}75 \) (1 % des places), puis \( 1{,}75 \times 76 = 133 \).

Chaque sweat coûte 32,40 €. L’étiquette donne le pourcentage de réduction : sweat bleu 20 %, sweat noir 40 %, sweat blanc 35 %.

Ensuite, a. Une réduction de 20 %, c’est \( \dfrac{20}{100} \) du prix :

• sweat bleu : \( \dfrac{20}{100} \times 32{,}40 = 6{,}48 \) : réduction de 6,48 € ;
• sweat noir : \( \dfrac{40}{100} \times 32{,}40 = 12{,}96 \) : réduction de 12,96 € ;
• sweat blanc : \( \dfrac{35}{100} \times 32{,}40 = 11{,}34 \) : réduction de 11,34 €.

De plus, b. On soustrait la réduction du prix de départ :

• sweat bleu : \( 32{,}40 – 6{,}48 = 25{,}92 \) : 25,92 € ;
• sweat noir : \( 32{,}40 – 12{,}96 = 19{,}44 \) : 19,44 € ;
• sweat blanc : \( 32{,}40 – 11{,}34 = 21{,}06 \) : 21,06 €.

Le pourcentage du dîner n’est pas écrit sur le diagramme. Comme le disque entier représente 100 % :

Par ailleurs :\[ 100 – 25 – 10 – 35 = 30 \]

Ainsi, le dîner doit apporter 30 % de l’énergie de la journée.

Donc, a. Pour un adolescent (12 100 kJ par jour) :

• petit-déjeuner : \( \dfrac{25}{100} \times 12\,100 = 3\,025 \) : 3 025 kJ ;
• dîner : \( \dfrac{30}{100} \times 12\,100 = 3\,630 \) : 3 630 kJ.

Également, b. Pour une adolescente (10 400 kJ par jour) :

• petit-déjeuner : \( \dfrac{25}{100} \times 10\,400 = 2\,600 \) : 2 600 kJ ;
• dîner : \( \dfrac{30}{100} \times 10\,400 = 3\,120 \) : 3 120 kJ.

Astuce : 25 %, c’est le quart ; on peut donc aussi diviser par 4 (\( 12\,100 \div 4 = 3\,025 \)).

On simplifie chaque fraction (ou on écrit le décimal sous forme de fraction) pour savoir à laquelle des six fractions de la consigne elle est égale.

• Rouge \( \left(\dfrac{5}{3}\right) \) : \( \dfrac{10}{6} \), \( \dfrac{20}{12} \), \( \dfrac{15}{9} \).
• Vert \( \left(\dfrac{5}{2} = 2{,}5\right) \) : \( \dfrac{10}{4} \) et 2,5.
• Marron \( \left(\dfrac{3}{2} = 1{,}5\right) \) : \( \dfrac{30}{20} \), \( \dfrac{15}{10} \), \( \dfrac{21}{14} \), \( \dfrac{24}{16} \), \( \dfrac{18}{12} \), \( \dfrac{9}{6} \), \( \dfrac{3}{2} \), 1,5, \( \dfrac{6}{4} \), \( \dfrac{12}{8} \).
• Noir \( \left(\dfrac{5}{4} = 1{,}25\right) \) : \( \dfrac{10}{8} \) et 1,25.
• Sur cette fiche corrigé fractions 6ème, Jaune \( \left(\dfrac{1}{3}\right) \) : \( \dfrac{1}{3} \) (deux zones), \( \dfrac{20}{60} \), \( \dfrac{2}{6} \), \( \dfrac{10}{30} \), \( \dfrac{15}{45} \), \( \dfrac{4}{12} \), \( \dfrac{9}{27} \), \( \dfrac{100}{300} \), \( \dfrac{8}{24} \), \( \dfrac{11}{33} \), \( \dfrac{6}{18} \), \( \dfrac{5}{15} \), \( \dfrac{7}{21} \).
• Bleu \( \left(\dfrac{2}{3}\right) \) : \( \dfrac{20}{30} \), \( \dfrac{10}{15} \), \( \dfrac{40}{60} \), \( \dfrac{4}{6} \), \( \dfrac{12}{18} \), \( \dfrac{2}{3} \).

Suite du corrigé corrigé fractions 6ème

Par conséquent, Exemples de simplification : \( \dfrac{24}{16} = \dfrac{24 \div 8}{16 \div 8} = \dfrac{3}{2} \) ; \( \dfrac{100}{300} = \dfrac{1}{3} \) ; \( 1{,}25 = \dfrac{125}{100} = \dfrac{5}{4} \). Attention à ne pas confondre \( \dfrac{3}{2} \) (marron) et \( \dfrac{2}{3} \) (bleu).

Le plan est dessiné sur un quadrillage à petits carreaux. L’énoncé ne donne pas la taille d’un carreau : on prend celle des petits carreaux d’une feuille de cahier, 1 carreau = 0,5 cm (c’est aussi le quadrillage demandé à la question b).

a. On compte d’abord les carreaux sur le plan, aux endroits où le bureau est le plus long et le plus large.

• Longueur (du haut du demi-disque au bas du pied) : 18 carreaux, soit \( 18 \times 0{,}5 = 9 \text{ cm} \) sur le plan.
• Largeur (d’un demi-disque latéral à l’autre) : 15 carreaux, soit \( 15 \times 0{,}5 = 7{,}5 \text{ cm} \) sur le plan.

En effet, l’échelle \( \dfrac{1}{40} \) signifie que 1 cm sur le plan représente 40 cm dans la réalité. Puis on multiplie donc chaque longueur du plan par 40 :

Ensuite :\[ 9 \times 40 = 360 \text{ cm} = 3{,}6 \text{ m} \qquad 7{,}5 \times 40 = 300 \text{ cm} = 3 \text{ m} \]

Suite du corrigé corrigé fractions 6ème

De plus, dans la réalité, le bureau mesure 3,6 m de longueur et 3 m de largeur (c’est un grand bureau pour deux personnes).

Par ailleurs, b. Reproduire le plan à l’échelle \( \dfrac{5}{3} \), c’est multiplier toutes les longueurs du plan par \( \dfrac{5}{3} \) : on divise par 3, puis on multiplie par 5. Ensuite, les nombres de carreaux sont tous des multiples de 3, le calcul tombe juste :

Ainsi, on reporte ces mesures sur la feuille à petits carreaux, en gardant la même forme : chaque morceau de 3 carreaux du plan devient un morceau de 5 carreaux.

Pour multiplier un nombre par une fraction \( \dfrac{a}{b} \), on peut diviser par b, puis multiplier par a. Puis on suit les flèches dans l’ordre :

• \( 108 \times \dfrac{1}{2} = 108 \div 2 = \mathbf{54} \)
• \( 54 \times \dfrac{3}{5} = 54 \div 5 \times 3 = 10{,}8 \times 3 = \mathbf{32{,}4} \)
• \( 32{,}4 \times \dfrac{7}{4} = 32{,}4 \div 4 \times 7 = 8{,}1 \times 7 = \mathbf{56{,}7} \)
• \( 56{,}7 \times \dfrac{2}{3} = 56{,}7 \div 3 \times 2 = 18{,}9 \times 2 = \mathbf{37{,}8} \)
• \( 37{,}8 \times \dfrac{11}{6} = 37{,}8 \div 6 \times 11 = 6{,}3 \times 11 = \mathbf{69{,}3} \)

Chaque figure est partagée en parts égales. De plus, le dénominateur est le nombre total de parts, le numérateur le nombre de parts coloriées.

• a. 1 carré colorié sur 4 : \( \dfrac{1}{4} \).
• b. 3 carrés sur 4 : \( \dfrac{3}{4} \).
• c. 2 carrés sur 4 : \( \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \) (la moitié du carré).
• d. 4 carrés sur 4 : \( \dfrac{4}{4} = 1 \) (le carré entier).
• e. 2 triangles sur 6 : \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).
• f. 4 triangles sur 6 : \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \).
• g. 3 triangles sur 6 : \( \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \).

On compte le nombre de secteurs égaux (dénominateur), puis les secteurs coloriés (numérateur). Ensuite, pour ne pas se tromper sur les grands partages, on part d’un rayon et on tourne en cochant chaque secteur.

• a. 1 secteur sur 2 : \( \dfrac{1}{2} \).
• b. 1 secteur sur 4 : \( \dfrac{1}{4} \).
• c. 3 secteurs sur 5 : \( \dfrac{3}{5} \).
• d. 4 secteurs sur 6 : \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \).
• e. 4 secteurs sur 8 : \( \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \).
• f. 7 secteurs sur 10 : \( \dfrac{7}{10} \).
• g. 10 secteurs sur 12 : \( \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6} \).

Chaque grand carré est un quadrillage de \( 4 \times 4 = 16 \) petits carrés. Quand une zone coloriée n’est pas découpée, on la mesure en petits carrés : un carré de 2 sur 2 vaut 4 petits carrés, un rectangle de 1 sur 2 en vaut 2.

• a. 4 + 4 + 2 = 10 petits carrés : \( \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8} \).
• b. 2 + 4 + 4 + 4 = 14 petits carrés : \( \dfrac{14}{16} = \dfrac{7}{8} \).
• c. 4 petits carrés : \( \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} \).
• d. Le grand carré colorié occupe 2 sur 2, soit 4 petits carrés : \( \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} \).
• e. Un carré de 4 petits carrés, plus 3 petits carrés : 7 petits carrés, \( \dfrac{7}{16} \).
• f. La moitié du bas (8), le carré en haut à droite (4) et 1 petit carré : 13 petits carrés, \( \dfrac{13}{16} \).
• g. Les deux colonnes du milieu : 8 petits carrés, \( \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2} \).

Toutes les pièces se construisent avec le petit triangle équilatéral orange :

• le losange bleu = 2 triangles ;
• le trapèze rouge = 3 triangles ;
• l’hexagone vert = 6 triangles.

Donc, la pièce qui vaut 1 est l’unité : on compte combien de triangles elle contient (dénominateur), puis combien en contient la pièce cherchée (numérateur).

• a. Hexagone = 1, soit 6 triangles : le triangle vaut \( \dfrac{1}{6} \).
• b. Losange = 1, soit 2 triangles : le triangle vaut \( \dfrac{1}{2} \).
• c. (colonne de gauche) Trapèze = 1, soit 3 triangles : le triangle vaut \( \dfrac{1}{3} \).
• c. (colonne de droite) Hexagone = 1, soit 6 triangles ; le losange en contient 2 : \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \). Il faut en effet 3 losanges pour faire l’hexagone.
• d. Losange = 1, soit 2 triangles ; le trapèze en contient 3 : il vaut \( \dfrac{3}{2} \). C’est plus que 1, car le trapèze est plus grand que le losange.
• f. Trapèze = 1, soit 3 triangles ; le losange en contient 2 : il vaut \( \dfrac{2}{3} \).

Suite du corrigé corrigé fractions 6ème

Également, Remarque : sur la fiche, la colonne de droite est numérotée c, d, f (au lieu de d, e, f).

Pour trouver la fraction de l’aire, on découpe le grand carré en morceaux égaux et on compte combien de ces morceaux forment chaque pièce.

Par conséquent, a. Les trois bandes verticales ont la même largeur : A est une bande sur 3, donc A = 1/3. Par ailleurs, la bande B est coupée en 3 morceaux égaux : en coupant aussi les autres bandes de la même façon, le carré contient \( 3 \times 3 = 9 \) morceaux comme B, donc B = 1/9. Puis la bande C est coupée en 2 : le carré contient \( 3 \times 2 = 6 \) morceaux comme C, donc C = 1/6.

En effet, b.

• La diagonale coupe le carré en deux moitiés : A = 1/2.
• Les deux diagonales partagent le carré en 4 triangles égaux, qui se rejoignent au centre. B est l’un d’eux : B = 1/4.
• Le triangle de gauche (l’autre quart) est coupé en deux moitiés égales par le segment horizontal : C est la moitié d’un quart, \( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8} \), donc C = 1/8.

Suite du corrigé corrigé fractions 6ème

• L’autre moitié (un huitième) est à son tour partagée en deux triangles égaux, D et E : D = E = 1/16.

Ensuite, Vérification : \( \dfrac{8}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{2}{16} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{16}{16} = 1 \).

De plus, c. Tous les sommets des pièces tombent sur un quadrillage de 4 × 4 = 16 petits carrés (tracé en pointillés rouges). Chaque petit carré se coupe en 2 demi-carrés (triangles), donc le grand carré contient 32 demi-carrés. Ensuite, on compte les demi-carrés de chaque pièce :

• A : 1 demi-carré, A = 1/32 ;
• B : 6 demi-carrés, \( \dfrac{6}{32} = \dfrac{3}{16} \), B = 3/16 ;
• C : 7 demi-carrés, C = 7/32 ;
• D : c’est un carré de 4 demi-carrés, \( \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} \), D = 1/8 ;
• E : 5 demi-carrés, E = 5/32 ;
• F : 9 demi-carrés, F = 9/32.

Par ailleurs, Vérification : \( 1 + 6 + 7 + 4 + 5 + 9 = 32 \) demi-carrés, soit le carré entier.

On compte d’abord les cases de chaque rectangle : c’est le dénominateur de la fraction. Puis il suffit alors de colorier autant de cases que le numérateur (n’importe lesquelles).

• a. \( 2 \times 4 = 8 \) cases : on colorie 1 case.
• b. 8 cases : on colorie 5 cases.
• c. \( 5 \times 4 = 20 \) cases : on colorie 11 cases.
• d. 20 cases : on colorie 13 cases.
• e. \( 3 \times 4 = 12 \) cases : on colorie 5 cases.
• f. 12 cases : on colorie 7 cases.
• g. \( 4 \times 4 = 16 \) cases : on colorie 9 cases.

Ici le nombre de secteurs n’est pas toujours égal au dénominateur. De plus, on écrit alors une fraction égale dont le dénominateur est le nombre de secteurs, en multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

• a. 4 secteurs : \( \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4} \), on colorie 2 secteurs.
• b. 6 secteurs : \( \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} \), on colorie 4 secteurs.
• c. 8 secteurs : \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} \), on colorie 6 secteurs.
• d. 10 secteurs : \( \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} \), on colorie 8 secteurs.
• e. 12 secteurs : \( \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12} \), on colorie 4 secteurs.
• f. \( \dfrac{4}{4} = 1 \) : on colorie tout le disque (les 12 secteurs).
• g. 12 secteurs : \( \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12} \), on colorie 10 secteurs.

Dans une fraction \( \dfrac{a}{b} \), le nombre du haut est le numérateur et le nombre du bas est le dénominateur.

• a. Le numérateur de \( \dfrac{18}{7} \) est 18.
• b. Le dénominateur de \( \dfrac{24}{25} \) est 25.
• c. Numérateur 43 et dénominateur 37 : \( \dfrac{43}{37} \).
• d. Attention, l’ordre est inversé dans la phrase : le numérateur est 51 et le dénominateur est 68, donc \( \dfrac{51}{68} \).

a. Le numérateur de \( \dfrac{89}{9} \) est 89 : c’est mon dénominateur. Ensuite, le dénominateur de \( \dfrac{10}{95} \) est 95 : c’est mon numérateur. Je suis \( \dfrac{95}{89} \).

Ainsi, b. Le numérateur de \( \dfrac{5}{7} \) est 5, son double est \( 2 \times 5 = 10 \) : c’est mon numérateur. Par ailleurs, le dénominateur de \( \dfrac{6}{9} \) est 9, son tiers est \( 9 \div 3 = 3 \) : c’est mon dénominateur. Je suis \( \dfrac{10}{3} \).

Donc, c. Je suis supérieure à 1, donc mon numérateur est plus grand que mon dénominateur. Puis on cherche deux nombres dont la somme est 9 et la différence 5. Ensuite, en essayant : \( 8 + 1 = 9 \) mais \( 8 – 1 = 7 \) ; \( 7 + 2 = 9 \) et \( 7 – 2 = 5 \). Puis le numérateur est 7 et le dénominateur est 2 : je suis \( \dfrac{7}{2} \).

Multiplier \( \dfrac{1}{b} \) par un nombre entier \( n \), c’est prendre n fois la part \( \dfrac{1}{b} \) : on obtient \( \dfrac{n}{b} \). Par exemple, 2 fois un septième, ce sont deux septièmes.

• a. \( 2 \times \dfrac{1}{7} = \dfrac{2}{7} \)
• b. \( 4 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \)
• c. \( 7 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9} \)
• d. \( 13 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{2} \)
• e. \( 5 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} \)
• f. \( 10 \times \dfrac{1}{11} = \dfrac{10}{11} \)

Le quotient \( \dfrac{a}{b} \) est le nombre qui, multiplié par b, donne a : \( b \times \dfrac{a}{b} = a \). De plus, il suffit donc de repérer que le nombre entier est égal au dénominateur.

• a. \( 6 \times \dfrac{8}{6} = 8 \)
• b. \( 5 \times \dfrac{3}{5} = 3 \)
• c. \( 9 \times \dfrac{6}{9} = 6 \)
• d. \( 12 \times \dfrac{7}{12} = 7 \)
• e. \( 15 \times \dfrac{20}{15} = 20 \)
• f. \( 23 \times \dfrac{55}{23} = 55 \)

Sur chaque axe, on compte le nombre de petits intervalles entre 0 et 1 : il donne le dénominateur. Puis on compte les petits intervalles de 0 jusqu’au point : c’est le numérateur. Ensuite, les grandes graduations marquent les nombres entiers 1, 2, 3…

• a. L’unité est partagée en 3. A(\( \dfrac{1}{3} \)) ; B(\( \dfrac{7}{3} \)) ; C(\( \dfrac{10}{3} \)) ; D(\( \dfrac{14}{3} \)) ; E(\( \dfrac{16}{3} \)).
• b. L’unité est partagée en 6 (6 petits intervalles entre deux grandes graduations ; le « 1 » est imprimé un peu à gauche de sa graduation). A(\( \dfrac{3}{6} \)) ; B(\( \dfrac{9}{6} \)) ; C(\( \dfrac{13}{6} \)) ; D(\( \dfrac{20}{6} \)) ; E(\( \dfrac{28}{6} \)).
• c. L’unité est partagée en 7. A(\( \dfrac{2}{7} \)) ; B(\( \dfrac{4}{7} \)) ; C(\( \dfrac{8}{7} \)) ; D(\( \dfrac{15}{7} \)) ; E(\( \dfrac{21}{7} \)), et \( \dfrac{21}{7} = 3 \).
• d. L’unité est partagée en 11. A(\( \dfrac{3}{11} \)) ; B(\( \dfrac{7}{11} \)) ; C(\( \dfrac{13}{11} \)) ; D(\( \dfrac{18}{11} \)) ; E(\( \dfrac{26}{11} \)).

Suite du corrigé corrigé fractions 6ème

Également, Astuce pour les grands numérateurs : pour D sur l’axe a, D est 2 graduations après 4, donc \( 4 \times 3 + 2 = 14 \) tiers.

On vérifie d’abord que chaque axe est partagé comme le dénominateur : en 4 (a), en 6 (b), en 9 (c) et en 12 (d) petits intervalles par unité. Par ailleurs, on place ensuite chaque point en comptant, à partir de 0, autant de petits intervalles que le numérateur. Puis pour aller plus vite, on sépare les unités entières :

• a. A : 3 quarts ; \( \dfrac{6}{4} = 1 + \dfrac{2}{4} \) ; \( \dfrac{14}{4} = 3 + \dfrac{2}{4} \) ; \( \dfrac{19}{4} = 4 + \dfrac{3}{4} \) ; \( \dfrac{24}{4} = 6 \).
• b. A : 2 sixièmes ; \( \dfrac{7}{6} = 1 + \dfrac{1}{6} \) ; \( \dfrac{10}{6} = 1 + \dfrac{4}{6} \) ; \( \dfrac{17}{6} = 2 + \dfrac{5}{6} \) ; \( \dfrac{25}{6} = 4 + \dfrac{1}{6} \).
• c. A : 1 neuvième ; B : 5 neuvièmes ; \( \dfrac{12}{9} = 1 + \dfrac{3}{9} \) ; \( \dfrac{16}{9} = 1 + \dfrac{7}{9} \) ; \( \dfrac{23}{9} = 2 + \dfrac{5}{9} \).
• d. A : 11 douzièmes (juste avant 1) ; \( \dfrac{15}{12} = 1 + \dfrac{3}{12} \) ; \( \dfrac{19}{12} = 1 + \dfrac{7}{12} \) ; \( \dfrac{27}{12} = 2 + \dfrac{3}{12} \) ; \( \dfrac{31}{12} = 2 + \dfrac{7}{12} \).

On compare chaque fraction à 1 :

• si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à 1 ;
• si le numérateur est plus grand, la fraction est supérieure à 1 ;
• s’ils sont égaux, la fraction est égale à 1.

• a. 35 est plus petit que 37 : \( \dfrac{35}{37} \lt 1 \).
• b. 107 est plus petit que 108 : \( \dfrac{107}{108} \lt 1 \).
• c. Numérateur et dénominateur égaux : \( \dfrac{75}{75} = 1 \).
• d. 64 est plus grand que 59 : \( \dfrac{64}{59} \gt 1 \).
• e. 152 est plus petit que 153 : \( \dfrac{152}{153} \lt 1 \).
• f. \( \dfrac{78}{67} \gt 1 \) (78 est plus grand que 67) et \( \dfrac{67}{78} \lt 1 \) (67 est plus petit que 78). Donc \( \dfrac{78}{67} \gt \dfrac{67}{78} \) : on compare les deux fractions en passant par 1.

Comme dans l’exemple, chaque rectangle représente une unité. Ensuite, le dénominateur indique en combien de parts chaque rectangle est partagé. Puis on cherche combien de rectangles entiers on peut colorier : c’est le quotient de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur ; le reste donne les parts coloriées dans le rectangle suivant.

• a. \( 14 = 2 \times 5 + 4 \), donc \( \dfrac{14}{5} = 2 + \dfrac{4}{5} \) : on colorie 2 rectangles entiers et 4 parts sur 5 du troisième.
• b. \( 10 = 1 \times 9 + 1 \), donc \( \dfrac{10}{9} = 1 + \dfrac{1}{9} \) : 1 rectangle entier et 1 part sur 9 du deuxième ; le troisième reste blanc.
• c. \( 11 = 2 \times 4 + 3 \), donc \( \dfrac{11}{4} = 2 + \dfrac{3}{4} \) : 2 rectangles entiers et 3 parts sur 4 du troisième ; le quatrième reste blanc.
• d. \( 23 = 3 \times 7 + 2 \), donc \( \dfrac{23}{7} = 3 + \dfrac{2}{7} \) : 3 rectangles entiers et 2 parts sur 7 du quatrième.