Les fractions en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sur chaque axe, on commence par compter le nombre de parts égales entre 0 et 1 : c’est le dénominateur « naturel » de l’axe. Pour placer \(\dfrac{a}{b}\), on partage l’unité en \(b\) parts et on en compte \(a\) à partir de 0. Si le dénominateur ne correspond pas au partage, on écrit d’abord une fraction égale.

• a. L’unité est partagée en 2 : chaque graduation vaut \(\dfrac{1}{2}\). On compte 1, 3 et 5 demis. Et \(\dfrac{2}{2} = 1\).
• b. L’unité est partagée en 4. \(\dfrac{2}{4}\) est à la 2^e graduation, \(\dfrac{7}{4}\) à la 7^e, \(\dfrac{4}{4} = 1\). Comme \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\), le point \(\dfrac{1}{2}\) est au même endroit que \(\dfrac{2}{4}\).
• c. L’unité est partagée en 3. \(\dfrac{2}{3}\) : 2^e graduation ; \(\dfrac{5}{3}\) : 5^e graduation ; \(\dfrac{9}{3} = 3\).
• d. L’unité est partagée en 6. \(\dfrac{3}{6}\), \(\dfrac{11}{6}\) et \(\dfrac{13}{6}\) se placent directement. Pour \(\dfrac{2}{3}\) : \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}\), donc 4^e graduation.
• e. L’unité est partagée en 12 : on compte 7, 11, 15 et 23 douzièmes.
• f. Toujours des douzièmes. On transforme : \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}\), \(\dfrac{3}{2} = \dfrac{18}{12}\), \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\), \(\dfrac{13}{6} = \dfrac{26}{12}\), \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{21}{12}\).

1. La liste est : \(\dfrac{3}{2}\) ; \(\dfrac{15}{7}\) ; \(\dfrac{8}{3}\) ; \(\dfrac{7}{2}\) ; \(\dfrac{8}{15}\) ; \(\dfrac{15}{8}\). Le numérateur est le nombre du haut, le dénominateur celui du bas.

a. Même numérateur : \(\dfrac{15}{7}\) et \(\dfrac{15}{8}\) (numérateur 15) ; \(\dfrac{8}{3}\) et \(\dfrac{8}{15}\) (numérateur 8).

b. Même dénominateur : \(\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{7}{2}\) (dénominateur 2).

2. Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. On élimine donc \(\dfrac{2{,}3}{8}\), \(\dfrac{3}{2{,}5}\) et \(\dfrac{5{,}4}{21{,}5}\), qui contiennent un nombre à virgule.

On utilise la définition du quotient : \(\dfrac{a}{b}\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). Autrement dit \(\dfrac{a}{b} \times b = a\).

• a. \(\dfrac{3}{5} \times 5 = 3\)
• b. \(\dfrac{12}{7} \times 7 = 12\)
• c. \(3 \times \dfrac{51}{3} = 51\) ; ici la division tombe juste : \(\dfrac{51}{3} = 17\).
• d. \(4 \times \dfrac{13}{4} = 13\) (on peut aussi écrire \(\dfrac{13}{4} = 3{,}25\)).

Prendre une fraction d’une quantité, c’est diviser par le dénominateur puis multiplier par le numérateur. Un tour mesure 400 m.

• Ludovic : \(\dfrac{1}{10}\) de 400 m, soit \(400 \div 10 = 40\) m.
• Sylvie : \(\dfrac{1}{4}\) de 400 m, soit \(400 \div 4 = 100\) m.
• Rosa : un demi-tour, c’est \(\dfrac{1}{2}\) de 400 m, soit \(400 \div 2 = 200\) m.
• Kévin : \(\dfrac{1}{9}\) de 400 m, soit \(\dfrac{400}{9}\) m. La division \(400 \div 9\) ne tombe pas juste (\(44{,}444\ldots\)) : la valeur exacte demandée est donc la fraction \(\dfrac{400}{9}\) m, environ 44,4 m.

Le prix d’un litre est le prix de la bouteille divisé par le nombre de litres : \(5 \div 3 = \dfrac{5}{3}\) €. La division posée donne \(1{,}666\ldots\) (le chiffre 6 se répète sans fin).

a. Arrondi à l’unité : 1,666… est entre 1 et 2, et plus proche de 2 (le chiffre des dixièmes est 6, qui est au moins 5). Le prix arrondi est 2 €.

b. Troncature au centième : on garde les chiffres jusqu’aux centièmes et on « coupe » le reste : 1,66 €.

c. Le prix exact ne peut pas s’écrire avec une virgule : c’est le quotient \(\dfrac{5}{3}\) €.

Pour multiplier une fraction par un entier, on cherche la division qui tombe juste et on la fait en premier.

a. \(24 \div 3 = 8\), donc

\[ \dfrac{2}{3} \times 24 = 2 \times 8 = 16 \]

b. \(21 \div 7 = 3\), donc

\[ 5 \times \dfrac{21}{7} = 5 \times 3 = 15 \]

c. Diviser par 100 déplace la virgule de deux rangs :

\[ 4 \times \dfrac{23}{100} = \dfrac{92}{100} = 0{,}92 \]

d. \(80 \div 4 = 20\), donc

\[ 80 \times \dfrac{7}{4} = 20 \times 7 = 140 \]

L’amplitude totale est 3,60 m. Un douzième de l’amplitude vaut :

\[ \dfrac{1}{12} \times 3{,}6 = 3{,}6 \div 12 = 0{,}3 \text{ m} \]

La mer monte pendant 6 heures de 1, 2, 3, 3, 2 puis 1 douzième. On additionne les douzièmes heure après heure : 1, puis 1 + 2 = 3, puis 3 + 3 = 6, puis 9, 11 et enfin 12 douzièmes (marée haute). Ensuite elle redescend de la même manière.

Exemple de calcul à 15 h : \(\dfrac{6}{12} \times 3{,}6 = 6 \times 0{,}3 = 1{,}8\) m.

a. Entre 0 et 7, il y a 3 intervalles égaux. Chaque intervalle mesure donc \(7 \div 3 = \dfrac{7}{3}\) unité. Le point A est à la fin du premier intervalle : son abscisse est \(\dfrac{7}{3}\). Attention, ce n’est pas 2 : \(\dfrac{7}{3} \approx 2{,}33\).

b. \(\dfrac{7}{6}\) est la moitié de \(\dfrac{7}{3}\), car \(\dfrac{7}{6} \times 2 = \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}\). Le point B est donc au milieu du segment [OA] : on partage le premier intervalle en deux.

On effectue la division du numérateur par le dénominateur (ou on utilise des fractions décimales).

• a. \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\)
• b. \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} = 0{,}25\)
• c. \(\dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)
• d. \(\dfrac{9}{2} = 9 \times \dfrac{1}{2} = 9 \times 0{,}5 = 4{,}5\)
• e. \(\dfrac{9}{4} = 9 \times 0{,}25 = 2{,}25\)
• f. \(\dfrac{9}{5} = 9 \times 0{,}2 = 1{,}8\)

On pose chaque division. Si elle s’arrête (reste nul), le quotient est un nombre décimal. Si un reste revient sans fin, le quotient n’est pas décimal : on donne alors sa valeur approchée par défaut au centième (on coupe après le 2^e chiffre après la virgule).