Le cercle en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10 avec figures

a. Deux phrases possibles :

• « [OC] est un rayon du cercle de centre O » (de même que [OA] et [OB]).
• « [AB] est un diamètre du cercle de centre O » : c’est une corde qui passe par le centre.

b. Phrases complétées :

• Le point O est le milieu du diamètre [AB].
• Le point O est une extrémité du rayon [OC] (ou [OA], [OB]).
• Le point O est le centre du cercle.
• A et B sont les extrémités du diamètre [AB].
• La portion de cercle comprise entre les points A et C est l’arc de cercle d’extrémités A et C, noté \( \overset{\frown}{AC} \).

a. Un rayon joint le centre à un point du cercle. On repère les points de chaque cercle : A, C, D, F sont sur (𝒞₁) ; A, B, C sur (𝒞₂) ; B, C, D, E sur (𝒞₃). Le point C est commun aux trois cercles.

• Rayon de (𝒞₁) : [MF] (ou [MA], [MC], [MD]).
• Rayon de (𝒞₂) : [NA] (ou [NB], [NC]).
• Rayon de (𝒞₃) : [OE] (ou [OB], [OC], [OD]).

b. On mesure un rayon à la règle, puis on double pour le diamètre. Les valeurs dépendent de l’impression de la fiche ; sur la figure affichée à sa taille normale, on trouve environ :

Ce qui doit être juste dans tous les cas : la colonne « diamètre » vaut le double de la colonne « rayon », et (𝒞₂) est le plus petit cercle, (𝒞₃) le plus grand.

a. On construit le carré ABCD de côté 8 cm (angles droits à l’équerre). Son centre O est le point d’intersection des diagonales [AC] et [BD].

b. Les milieux sont à 4 cm des sommets : AI = IB = BJ = JC = CK = KD = DL = LA = 4 cm.

c.

• (𝒞₁) : centre O, rayon OA. Comme les diagonales d’un carré ont même longueur et même milieu, OA = OB = OC = OD : ce cercle passe par les quatre sommets. (OA ≈ 5,7 cm.)
• (𝒞₂) : centre O, écartement du compas 2,5 cm. Il reste à l’intérieur du carré, car O est à 4 cm de chaque côté.
• (𝒞₃) : [OD] est un diamètre, donc son centre est le milieu de [OD] et son rayon vaut OD ÷ 2 (≈ 2,8 cm). Il passe par O et par D, et aussi par L et K.

La figure (une croix basque) est entièrement faite de cercles et demi-cercles dont les centres sont sur les axes, à un nombre entier de carreaux du centre.

1. Tracer les deux axes et le grand cercle de centre le point central et de rayon 8 carreaux.
2. Branche de droite : demi-cercle de rayon 4 carreaux centré à 4 carreaux à droite du centre, sous l’axe (du centre jusqu’au bord).
3. Demi-cercle de rayon 2 carreaux centré à 6 carreaux, au-dessus de l’axe (la « bosse »).
4. Demi-cercle de rayon 2 carreaux centré à 2 carreaux, sous l’axe (le « creux » près du centre).
5. Recommencer pour les trois autres branches en tournant d’un quart de tour : vers le haut, vers la gauche, vers le bas.

On lit le codage : des traits identiques signalent des longueurs égales.

• a. Le diamètre du cercle de gauche porte le même codage que l’espace de 4 cm : ce diamètre mesure 4 cm (rayon 2 cm). Sur la même droite, on laisse 4 cm puis on trace le cercle de droite de rayon 2,6 cm, dont le bord gauche est à 4 cm du premier cercle.
• b. Grand cercle de diamètre 6 cm (rayon 3 cm). Le petit cercle a pour centre l’extrémité droite de ce diamètre et pour rayon 2 cm.
• c. Cercle de gauche de rayon 3,5 cm. Au point où il coupe la droite à droite, on place l’extrémité d’un diamètre de 5 cm du second cercle (rayon 2,5 cm) : les deux cercles se touchent en ce point.

a. Le diamètre du grand disque est découpé en 8 segments codés de même longueur ; la flèche indique que l’un d’eux mesure 2 cm.

• Petits cercles : diamètre 2 × 2 = 4 cm, donc rayon 2 cm.
• Cercle moyen : diamètre 4 × 2 = 8 cm, donc rayon 4 cm.
• Grand cercle : diamètre 4 + 4 + 8 = 16 cm, donc rayon 8 cm.

On trace un segment de 16 cm, on place les centres à 2 cm, 6 cm, 8 cm et 12 cm de l’extrémité gauche, puis les quatre cercles.

b. Le segment est formé de deux parties codées égales de 4,6 cm, soit 9,2 cm en tout.

• Grand demi-cercle (au-dessus) de diamètre 9,2 cm : centre au milieu, rayon 4,6 cm.
• Petit demi-cercle (au-dessus, à gauche) de diamètre 4,6 cm : rayon 2,3 cm, il forme le creux.
• Petit demi-cercle (en dessous, à droite) de diamètre 4,6 cm : rayon 2,3 cm.

On lit sur la figure : O milieu de [AB] avec OB = 4,4 cm, donc AB = 8,8 cm ; M sur le cercle avec AM = 3,5 cm ; les codes montrent que M est le milieu de [AC].

Programme de construction possible :

1. Tracer un segment [AB] de longueur 8,8 cm et placer son milieu O.
2. Tracer le cercle de centre O passant par A (cercle de diamètre [AB]).
3. Placer un point M sur ce cercle tel que AM = 3,5 cm.
4. Placer le point C sur la demi-droite [AM) tel que M soit le milieu de [AC] (AC = 7 cm).
5. Tracer le triangle ABC.

a. On trace [CD] de 3,5 cm.

Les points à moins de 2,5 cm de C sont à l’intérieur du cercle de centre C et de rayon 2,5 cm ; ceux à plus de 2,5 cm de D sont à l’extérieur du cercle de centre D et de rayon 2,5 cm.

b. Zone rouge : dans le disque de centre C, mais en dehors du disque de centre D.

c. Zone verte : dans le disque de centre D, mais en dehors du disque de centre C.

d. Le milieu I de [CD] vérifie \( CI = DI = 3{,}5 \div 2 = 1{,}75 \) cm. Comme \( 1{,}75 \lt 2{,}5 \), I est à moins de 2,5 cm de C et de D : il est dans les deux disques, donc dans la partie commune qui n’est coloriée ni en rouge ni en vert.

a. Programme 1. AC = 5 cm, cercle de diamètre [AC], B sur le cercle avec AB = 4 cm. Le triangle ABC est rectangle en B (B est sur le cercle de diamètre [AC]) ; on mesure BC = 3 cm. On place O et D sur la demi-droite [BC) avec BC = CO = OD = 3 cm. On trace [AD], le cercle de diamètre [AD] et le cercle de centre O passant par D (rayon 3 cm), qui passe aussi par C.

Programme 2. AD = 13 cm, cercle de diamètre [AD], B sur ce cercle avec AB = 5 cm (on mesure BD = 12 cm). O sur [BD] avec OD = 4 cm. Le cercle de centre O passant par D a pour rayon 4 cm : il recoupe [BD] en C avec OC = 4 cm, donc DC = 8 cm et BC = 12 − 8 = 4 cm. On trace [AC] et le cercle de diamètre [AC].

b. Remarque : les deux programmes donnent le même type de figure. Dans les deux cas, ABC est rectangle en B, les points B, C, O, D sont alignés et régulièrement espacés (3 cm puis 4 cm), B est sur le cercle de diamètre [AC] et sur celui de diamètre [AD], et le cercle de centre O passe par C et D. Seules les dimensions changent ; on peut décrire une même figure par des programmes différents, en partant d’un segment différent.

a. Échelle : 1 m → 1 cm. La niche est un carré de 2 m de côté contre le mur, la laisse est attachée à son coin sur le mur. Le chien reste à une distance de ce point au plus égale à la longueur de laisse, mais la laisse s’enroule autour des coins de la niche.

• Laisse de 2 m : un quart de disque de rayon 2 cm, centré au point d’attache, du côté libre.
• Laisse de 4 m : un quart de disque de rayon 4 cm, plus, sous la niche, un quart de disque de rayon \( 4 – 2 = 2 \) cm centré au coin inférieur de la niche.
• Laisse de 6 m : un quart de disque de rayon 6 cm, un quart de disque de rayon 4 cm centré au coin inférieur droit de la niche, et, à gauche de la niche, un quart de disque de rayon \( 6 – 2 – 2 = 2 \) cm centré au coin inférieur gauche.

b. Enclos de 10 cm sur 8 cm ; chaque chèvre broute un quart de disque centré en un coin.

• Corde de 5 m : quatre quarts de disque de rayon 5 cm. Sur les côtés de 10 m, les deux quarts de disque se touchent juste au milieu (5 + 5 = 10). Sur les côtés de 8 m, ils se chevauchent (5 + 5 = 10 \( \gt \) 8) : zone broutée par 2 chèvres. Le centre de l’enclos est à environ 6,4 m de chaque coin : il reste une zone où aucune chèvre ne va.
• Corde de 7 m : les quarts de disque se chevauchent sur tous les côtés, et même en diagonale (la diagonale mesure environ 12,8 m \( \lt \) 14 m). Le centre, à 6,4 m de chaque coin, est brouté par les 4 chèvres ; on obtient des zones à 1, 2, 3 ou 4 chèvres et plus aucune zone vide.

Calcul de la demi-diagonale : \( \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}4 \) m (on peut aussi la mesurer sur le dessin).