Corrigé des 49 exercices sur les volumes en 6ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

D’abord, décomposons le calcul.

Les deux pièces sont des prismes droits : une face avant (en forme de J ou de T) « poussée » sur une épaisseur de 1,5 cm. Puis on a donc :

\[ \text{Volume} = \text{aire de la face avant} \times \text{épaisseur}. \]

Pièce orange. La face avant mesure 4,5 cm de large et 4,5 cm de haut. Ensuite, les traits de codage indiquent que la barre du bas et le bras du haut ont la même épaisseur, 1 cm. Puis la largeur du haut, 2 cm, se partage entre le bras (1 cm) et la colonne de droite (1 cm). De plus, on découpe la face en trois rectangles :

• la barre du bas : \(4{,}5 \times 1 = 4{,}5 \text{ cm}^2\) ;
• la colonne de droite au-dessus de la barre : \(1 \times 3{,}5 = 3{,}5 \text{ cm}^2\) (car \(4{,}5 – 1 = 3{,}5\)) ;
• le bras du haut : \(1 \times 1 = 1 \text{ cm}^2\).

Suite de la correction

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{orange}} &= 4{,}5 + 3{,}5 + 1 = 9 \text{ cm}^2 \\ V_{\text{orange}} &= 9 \times 1{,}5 = 13{,}5 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Pièce verte. La face avant est un T : une barre horizontale de 4,5 cm sur 1,5 cm et un pied de 1,5 cm de large. Ensuite, la hauteur totale est 4,5 cm, donc le pied mesure \(4{,}5 – 1{,}5 = 3\) cm de haut.

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{verte}} &= 4{,}5 \times 1{,}5 + 1{,}5 \times 3 = 6{,}75 + 4{,}5 = 11{,}25 \text{ cm}^2 \\ V_{\text{verte}} &= 11{,}25 \times 1{,}5 = 16{,}875 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

On compare : \(16{,}875 \gt 13{,}5\) et \(16{,}875 – 13{,}5 = 3{,}375\).

D’abord, voici la démarche.

a. Le solide est formé d’un grand pavé droit et d’une « marche » à droite, tous deux de profondeur 75 mm. Par ailleurs, la hauteur totale est 254 mm et la longueur totale 342 mm ; la marche mesure 52 mm de long et 42 mm de haut, donc le grand pavé mesure \(342 – 52 = 290\) mm de long.

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} V_{\text{grand pavé}} &= 290 \times 75 \times 254 = 5\,524\,500 \text{ mm}^3 \\ V_{\text{marche}} &= 52 \times 75 \times 42 = 163\,800 \text{ mm}^3 \\ V_a &= 5\,524\,500 + 163\,800 = 5\,688\,300 \text{ mm}^3 \end{aligned} \]

soit 5 688 300 mm³, c’est-à-dire 5 688,3 cm³.

b. La croix a une épaisseur de 2,8 cm. Sa face avant est formée d’une bande horizontale (15 cm sur 2,8 cm) et d’une bande verticale (12 cm sur 2,8 cm) ; le carré central de 2,8 cm de côté appartient aux deux bandes, il ne faut le compter qu’une fois.

On calcule alors :

Suite du calcul

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 15 \times 2{,}8 + 12 \times 2{,}8 – 2{,}8 \times 2{,}8 \\ &= 42 + 33{,}6 – 7{,}84 = 67{,}76 \text{ cm}^2 \\ V_b &= 67{,}76 \times 2{,}8 = 189{,}728 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

c. La pile est formée de trois cubes de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. Puis le volume d’un cube de côté \(c\) est \(c \times c \times c\).

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} V_c &= 3 \times 3 \times 3 + 4 \times 4 \times 4 + 5 \times 5 \times 5 \\ &= 27 + 64 + 125 = 216 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

Pour les volumes, chaque unité vaut 1 000 fois l’unité immédiatement plus petite : on déplace la virgule de 3 rangs par unité (3 colonnes par unité dans le tableau de conversion).

• \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3\), donc \(5 \text{ m}^3 = 5 \times 1\,000 = \mathbf{5\,000 \text{ dm}^3}\).
• \(1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3\), donc \(3\,034 \text{ cm}^3 = 3\,034 \div 1\,000 = \mathbf{3{,}034 \text{ dm}^3}\).
• \(1 \text{ cm}^3 = 1\,000 \text{ mm}^3\), donc \(15\,026 \text{ mm}^3 = \mathbf{15{,}026 \text{ cm}^3}\).
• \(1 \text{ hm}^3 = 1\,000 \text{ dam}^3\), donc \(0{,}234\,28 \text{ hm}^3 = \mathbf{234{,}28 \text{ dam}^3}\).
• \(1 \text{ dam}^3 = 1\,000 \text{ m}^3\) et \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}\), donc \(0{,}234\,28 \text{ dam}^3 = 234{,}28 \text{ m}^3 = 234{,}28 \times 1\,000 \text{ L} = \mathbf{234\,280 \text{ L}}\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

On utilise l’égalité clé \(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}\), donc aussi \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}\) et \(1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}\).

• a. \(1 \text{ dm}^3 = \mathbf{1 \text{ L}}\).
• b. \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = \mathbf{1\,000 \text{ L}}\).
• c. \(1 \text{ hL} = 100 \text{ L} = 100 \text{ dm}^3 = 100 \times 1\,000 \text{ cm}^3 = \mathbf{100\,000 \text{ cm}^3}\).
• d. \(131{,}2 \text{ L} = 131{,}2 \text{ dm}^3 = 131{,}2 \div 1\,000 \text{ m}^3 = \mathbf{0{,}131\,2 \text{ m}^3}\).
• e. \(35{,}635 \text{ cm}^3 = 35{,}635 \text{ mL} = \mathbf{0{,}356\,35 \text{ dL}}\) (car \(1 \text{ dL} = 100 \text{ mL}\)).
• f. \(7\,302 \text{ L} = 7\,302 \text{ dm}^3 = 7{,}302 \text{ m}^3 = 0{,}007\,302 \text{ dam}^3\) : l’unité manquante est le dam³.
• g. \(10\,000\,000 \text{ mm}^3 = 10\,000 \text{ cm}^3 = 10 \text{ dm}^3 = 10 \text{ L} = 100 \text{ dL}\) : l’unité manquante est le dL.

D’abord, décomposons le calcul.

Les unités de contenance (litres) suivent la numération décimale : chaque unité vaut 10 fois la suivante, on déplace donc la virgule d’un rang par unité.

Tableau de conversion pour la question b : on place 1,53 daL (le chiffre des unités sous daL), puis on lit le nombre jusqu’à la colonne cL.

• a. \(1 \text{ L} = \mathbf{10 \text{ dL}}\).
• b. \(1{,}53 \text{ daL} = 15{,}3 \text{ L} = \mathbf{1\,530 \text{ cL}}\).
• c. \(35 \text{ dL} = 35 \div 10 \text{ L} = \mathbf{3{,}5 \text{ L}}\).
• d. \(1 \text{ hL} = 100 \text{ L} = \mathbf{1\,000 \text{ dL}}\).
• e. \(12 \text{ dL} = 1{,}2 \text{ L} = \mathbf{0{,}12 \text{ daL}}\).
• f. \(172{,}4 \text{ mL} = 17{,}24 \text{ cL} = \mathbf{1{,}724 \text{ dL}}\).

D’abord, voici la démarche.

On cherche l’unité qui donne l’écriture la plus courte, avec le moins de zéros inutiles. Ensuite, on passe d’une unité à la voisine en multipliant ou en divisant par 1 000.

• a. \(23\,000 \text{ cm}^3 = 23\,000 \div 1\,000 \text{ dm}^3 = \mathbf{23 \text{ dm}^3}\) (ou 23 L).
• b. \(0{,}000\,07 \text{ m}^3 = 0{,}07 \text{ dm}^3 = \mathbf{70 \text{ cm}^3}\). L’écriture 70 cm³ ne comporte qu’un zéro, contre deux pour 0,07 dm³ et quatre pour 70 000 mm³.
• c. \(199\,700\,000 \text{ dam}^3 = 199\,700 \text{ hm}^3 = \mathbf{199{,}7 \text{ km}^3}\) (car \(1 \text{ km}^3 = 1\,000\,000 \text{ dam}^3\)).
• d. \(0{,}060\,8 \text{ dam}^3 = 0{,}060\,8 \times 1\,000 \text{ m}^3 = \mathbf{60{,}8 \text{ m}^3}\).

Tout d’abord, regardons la méthode.

On compte de combien de rangs la virgule s’est déplacée : 3 rangs = 1 unité de volume. Si le nombre devient plus petit, l’unité cherchée est plus grande, et inversement.

• a. \(1\,000\,000 \text{ cm}^3\) devient \(0{,}000\,001\) : le nombre a été divisé par mille milliards, soit 12 rangs, donc 4 unités au-dessus du cm³. On le vérifie étape par étape : \(1\,000\,000 \text{ cm}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1 \text{ m}^3 = 0{,}001 \text{ dam}^3 = 0{,}000\,001 \text{ hm}^3\). L’unité est le hm³.
• b. \(6\,521 \text{ mm}^3 = 6{,}521 \text{ cm}^3 = 0{,}006\,521 \text{ dm}^3 = 0{,}000\,006\,521 \text{ m}^3\). L’unité est le m³.
• c. \(12 \text{ dam}^3 = 12\,000 \text{ m}^3 = 12\,000\,000 \text{ dm}^3\). L’unité est le dm³.
• d. \(0{,}004\,67 \text{ hm}^3 = 4{,}67 \text{ dam}^3 = 4\,670 \text{ m}^3\). L’unité est le m³.

Avant tout, voici la correction détaillée.

Entre deux unités de volume voisines, le rapport est 1 000. Puis on déplace la virgule de 3 rangs par unité franchie.

• a. \(1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 = 1\,000 \times 1\,000 \text{ mm}^3 = \mathbf{1\,000\,000 \text{ mm}^3}\).
• b. \(1 \text{ dam}^3 = 0{,}001 \text{ hm}^3 = \mathbf{0{,}000\,001 \text{ km}^3}\).
• c. \(200 \text{ mm}^3 = 200 \div 1\,000 \text{ cm}^3 = \mathbf{0{,}2 \text{ cm}^3}\).
• d. \(1\,542 \text{ km}^3 = 1\,542\,000 \text{ hm}^3 = \mathbf{1\,542\,000\,000 \text{ dam}^3}\).
• e. \(35{,}635 \text{ cm}^3 = 35{,}635 \times 1\,000 \text{ mm}^3 = \mathbf{35\,635 \text{ mm}^3}\).
• f. \(534\,273 \text{ m}^3 = 534{,}273 \text{ dam}^3 = 0{,}534\,273 \text{ hm}^3 = \mathbf{0{,}000\,534\,273 \text{ km}^3}\).

D’abord, décomposons le calcul.

a. On range les cubes de 1 cm de côté couche par couche. Sur le fond (12 cm sur 8 cm), on place \(12 \times 8 = 96\) cubes. De plus, la hauteur de 5 cm permet d’empiler 5 couches :

\[ 12 \times 8 \times 5 = 480 \text{ cubes.} \]

On peut ranger 480 cubes de 1 cm de côté.

b. En millimètres, les dimensions sont 120 mm, 80 mm et 50 mm. Avec des cubes de 1 mm de côté :

\[ 120 \times 80 \times 50 = 480\,000 \text{ cubes.} \]

On peut ranger 480 000 cubes de 1 mm de côté.

c. Un cube de 1 cm de côté a un volume de 1 cm³ et un cube de 1 mm de côté un volume de 1 mm³. D’après a et b :

\[ V = 480 \text{ cm}^3 = 480\,000 \text{ mm}^3. \]

d. Le même volume s’écrit 480 cm³ et 480 000 mm³, donc un centimètre cube contient \(480\,000 \div 480 = 1\,000\) millimètres cubes. Ensuite, on le retrouve directement : un cube de 1 cm = 10 mm de côté contient \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\) petits cubes de 1 mm.

D’abord, voici la démarche.

a. L’unité est le cube de 1 cm de côté, qui a un volume de 1 cm³. Par ailleurs, le cube de gauche a 3 petits cubes par arête, celui de droite en a 4.

On a donc :

\[ \begin{aligned} V_{\text{gauche}} &= 3 \times 3 \times 3 = 27 \text{ cm}^3 \\ V_{\text{droite}} &= 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

b. Pour un cube de 5 cm de côté, il faut 5 couches de \(5 \times 5 = 25\) petits cubes :

\[ 5 \times 5 \times 5 = 125 \text{ petits cubes.} \]

Yani doit prévoir 125 petits cubes.

c. L’empilement de Louise a 5 cubes par arête : le cube terminé en compterait 125. Puis on regarde l’empilement de dessus et on note la hauteur de chaque colonne (on suppose, comme sur le dessin, qu’il n’y a pas de trou caché sous les cubes visibles).

Fin de la correction

• rangée du fond : \(5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25\) cubes ;
• 2e rangée : \(5 + 5 + 5 + 4 + 3 = 22\) cubes ;
• 3e rangée : \(5 + 5 + 3 + 2 + 2 = 17\) cubes ;
• 4e rangée : \(5 + 5 + 3 + 2 + 1 = 16\) cubes ;
• rangée de devant : \(2 + 5 + 3 + 2 + 1 = 13\) cubes.

\[ \begin{aligned} \text{cubes présents} &= 25 + 22 + 17 + 16 + 13 = 93 \\ \text{cubes manquants} &= 125 – 93 = 32 \end{aligned} \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

a. On compte les cubes par couches plutôt qu’un par un.

• Pavé 1 : la couche du dessus contient 4 cubes en longueur et 3 en profondeur, soit \( 4 \times 3 = 12 \) cubes. Il y a 2 couches : \( 12 \times 2 = 24 \). Le pavé 1 contient 24 petits cubes.
• Pavé 2 : une couche contient \( 2 \times 4 = 8 \) cubes, et il y a 6 couches : \( 8 \times 6 = 48 \). Le pavé 2 contient 48 petits cubes.

Méthode rapide : on multiplie le nombre de cubes sur la longueur, sur la largeur et sur la hauteur. C’est exactement la formule du volume d’un pavé droit.

b. La couche commencée compte 2 cubes en largeur et 4 en profondeur, soit \( 2 \times 4 = 8 \) cubes par couche. Ensuite, le pavé doit contenir 40 cubes : \( 40 \div 8 = 5 \). Puis il faut donc 5 couches : la hauteur du pavé est de 5 petits cubes. Vérification : \( 2 \times 4 \times 5 = 40 \).

Avant tout, voici la correction détaillée.

On compte les cubes colonne par colonne : pour chaque pile, on compte les faces verticales empilées, en se souvenant qu’un cube placé en hauteur repose forcément sur des cubes cachés en dessous. De plus, on suppose qu’il n’y a pas d’autres cubes cachés.

• Solide a : une pile de 3 cubes au coin avant, deux piles de 1 cube à gauche, puis une pile de 2 cubes et une pile de 1 cube à droite. \( 3 + 1 + 1 + 2 + 1 = 8 \) : 8 u.v.
• Solide b : devant à gauche, deux piles de 2 cubes ; devant à droite, une pile de 3 cubes ; au milieu, trois piles de 3 cubes ; au fond, la pile la plus haute, de 4 cubes. \( 2 + 2 + 3 + 3 \times 3 + 4 = 20 \) : 20 u.v.
• Solide c : devant à gauche, une pile de 3 cubes ; à droite, une pile de 3 cubes et la marche de 1 cube ; derrière, la pile qui porte le cube du sommet (4 cubes) et une pile de 3 cubes dont on ne voit que le haut. \( 3 + 3 + 1 + 4 + 3 = 14 \) : 14 u.v.

D’abord, décomposons le calcul.

Même méthode : on repère chaque pile de cubes (grâce aux faces du dessus, plus foncées) et on compte sa hauteur, sans oublier les cubes cachés qui portent les cubes du haut.

• Solide a : au premier plan, une pile de 1 et une pile de 2 ; à gauche, deux cubes isolés (1 + 1) ; derrière, une pile de 2 et la pile la plus haute, de 3 ; tout au fond, deux piles de 2. \( 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 2 = 14 \) : 14 u.v.
• Solide b : au premier plan, une pile de 2 et un cube seul ; à gauche, un cube seul et, derrière lui, une pile de 3 ; au milieu, un cube seul, une pile de 2 et une pile de 3 ; à droite, une pile de 3 et, au fond, la tour de 5. \( 2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 2 + 3 + 3 + 5 = 21 \) : 21 u.v.
• Solide c : au premier plan, trois piles : 1, 2 et 2 ; derrière, une pile de 4 (celle du sommet) et une pile de 3. \( 1 + 2 + 2 + 4 + 3 = 12 \) : 12 u.v.

D’abord, voici la démarche.

On utilise \( V = L \times l \times h \), avec les trois longueurs dans la même unité. Ensuite, pour une dimension inconnue, on divise le volume par le produit des deux autres.

• Colonne 1 : \( V = 5 \times 4 \times 6 = 120 \) : 120 cm³.
• Colonne 2 : \( V = 5 \times 1{,}2 \times 2 = 12 \) : 12 dm³.
• Colonne 3 : \( 10 \times 18 = 180 \), donc \( l = 90 \div 180 = 0{,}5 \) : 0,5 hm.
• Colonne 4 : \( 1 \times 4{,}8 = 4{,}8 \), donc \( L = 12 \div 4{,}8 = 2{,}5 \) : 2,5 m.

Tout d’abord, regardons la méthode.

a. On découpe le solide en deux pavés droits de profondeur 40 mm :

• la partie haute (à gauche) : 32 mm de large et 94 mm de haut : \( 32 \times 94 \times 40 = 120\,320 \) mm³ ;
• la partie basse (à droite) : \( 75 – 32 = 43 \) mm de long et 32 mm de haut : \( 43 \times 32 \times 40 = 55\,040 \) mm³.

\[ V = 120\,320 + 55\,040 = 175\,360 \text{ mm}^3 \]

Vérification par un autre découpage : \( 75 \times 32 \times 40 + 32 \times 62 \times 40 = 96\,000 + 79\,360 = 175\,360 \) mm³.

b. Deux pavés droits de profondeur 3 cm :

• la marche basse : \( 3{,}8 \times 1{,}5 \times 3 = 17{,}1 \) cm³ ;
• la partie haute : sa hauteur est \( 3 + 1{,}5 = 4{,}5 \) cm, donc \( 3{,}5 \times 4{,}5 \times 3 = 47{,}25 \) cm³.

\[ V = 17{,}1 + 47{,}25 = 64{,}35 \text{ cm}^3 \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

Les côtés des cubes, du plus gros au plus petit, mesurent 10 cm, 8 cm, 6 cm et 4 cm (on enlève 2 cm à chaque fois). Par ailleurs, le volume d’un cube est \( c \times c \times c \).

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} 10 \times 10 \times 10 &= 1\,000 \text{ cm}^3 \\ 8 \times 8 \times 8 &= 512 \text{ cm}^3 \\ 6 \times 6 \times 6 &= 216 \text{ cm}^3 \\ 4 \times 4 \times 4 &= 64 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Volume de l’empilement : \( 1\,000 + 512 + 216 + 64 = 1\,792 \) cm³.

D’abord, décomposons le calcul.

a. Le fond du pavé mesure 2 m sur 4 m : une couche contient \( 2 \times 4 = 8 \) cubes. Puis la hauteur est 5,5 m : on peut empiler 5 couches complètes (\( 5 \times 8 = 40 \) cubes), et il reste une demi-couche de 0,5 m, qui correspond à 8 demi-cubes, soit l’équivalent de 4 cubes.

Le pavé contient donc l’équivalent de \( 40 + 4 = 44 \) cubes d’arête 1 m. Chaque cube a un volume de 1 m³ : le volume du pavé est 44 m³.

b. Avec la formule : \( V = L \times l \times h = 4 \times 2 \times 5{,}5 = 44 \) m³. Ensuite, on retrouve bien le même résultat.

D’abord, voici la démarche.

Il faut d’abord trouver la valeur d’une petite graduation en comptant les traits entre le fond (0) et le trait numéroté.

• a. Entre le fond et « 10 mL », il y a 5 intervalles : une graduation vaut \( 10 \div 5 = 2 \) mL. L’eau arrive 2 graduations sous 10 mL : \( 10 – 4 = 6 \) mL, soit 6 cm³ (1 mL = 1 cm³).
• b. Entre le fond et « 1 dL », il y a 5 intervalles : une graduation vaut \( 1 \div 5 = 0{,}2 \) dL. L’eau arrive 1 graduation au-dessus de 1 dL : 1,2 dL = 120 mL, soit 120 cm³.
• c. Entre deux litres, il y a 2 intervalles : une graduation vaut 0,5 L. L’eau arrive entre 2 L et 3 L : 2,5 L = 2,5 dm³, soit 2 500 cm³.

Tout d’abord, regardons la méthode.

On se sert de l’égalité entre litres et unités de volume : 1 L = 1 dm³ et 1 dm³ = 1 000 cm³.

Donc la gourde rouge contient 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ d’eau, exactement comme la gourde bleue.

Avant tout, voici la correction détaillée.

On compte les cubes sur les arêtes de chaque pavé, puis on multiplie longueur × largeur × hauteur (chaque cube a un volume de 1 cm³) :

• pavé orange (en bas) : 6 cubes sur 6 cubes, 1 cube de haut : \( 6 \times 6 \times 1 = 36 \) cm³ ;
• pavé vert : 4 sur 4, 2 de haut : \( 4 \times 4 \times 2 = 32 \) cm³ ;
• pavé violet : 2 sur 2, 3 de haut : \( 2 \times 2 \times 3 = 12 \) cm³.

Volume total : \( 36 + 32 + 12 = 80 \) cm³.

D’abord, décomposons le calcul.

On compare les volumes des deux vases :

\[ V_A = 12 \times 12 \times 12 = 1\,728 \text{ cm}^3 \qquad V_B = 8 \times 8 \times 25 = 1\,600 \text{ cm}^3 \]

Le vase B contient 1 600 cm³ d’eau, et le vase A peut en contenir 1 728 cm³. Comme \( 1\,600 \lt 1\,728 \), l’eau ne débordera pas : il restera même \( 1\,728 – 1\,600 = 128 \) cm³ de place dans le vase A.

D’abord, voici la démarche.

a. Volume d’un pavé : \( 3{,}6 \times 1{,}8 \times 1{,}5 = 9{,}72 \) m³.

b. Chaque empilement compte 24 pavés de 1,5 m de haut, posés les uns sur les autres : \( 24 \times 1{,}5 = 36 \). Puis la tour mesure 36 m de haut.

c. Première façon : la tour compte \( 2 \times 24 = 48 \) pavés, donc \( 48 \times 9{,}72 = 466{,}56 \) m³.

Deuxième façon : la tour est un grand pavé droit à base carrée de 3,6 m de côté (deux pavés de 1,8 m de large côte à côte) et de 36 m de haut : \( 3{,}6 \times 3{,}6 \times 36 = 466{,}56 \) m³.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Le codage (trois petits traits) indique que toutes les arêtes codées mesurent 4 dm : chaque pavé a une base carrée de 4 dm sur 4 dm. De plus, on convertit en cm pour obtenir des cm³ : 4 dm = 40 cm, 5 dm = 50 cm, 3,6 dm = 36 cm, 2,4 dm = 24 cm.

a.

• Pavé 1 : \( 40 \times 40 \times 50 = 80\,000 \) cm³ ;
• Pavé 2 : \( 40 \times 40 \times 36 = 57\,600 \) cm³ ;
• Pavé 3 : \( 40 \times 40 \times 24 = 38\,400 \) cm³.

b. \( 80\,000 + 57\,600 + 38\,400 = 176\,000 \) cm³, soit 176 dm³.

Avant tout, voici la correction détaillée.

On utilise 1 dm³ = 1 L, donc 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L et 1 cm³ = 0,001 L.

• a. 0,5 dm³ = 0,5 L.
• b. 13,5 m³ = 13 500 dm³ = 13 500 L.
• c. 850 000 cm³ = 850 dm³ = 850 L (on divise par 1 000).

D’abord, décomposons le calcul.

a. 1 dam³ est le volume d’un cube d’arête 1 dam, c’est-à-dire 10 m. Donc 1 dam³ = \( 10 \times 10 \times 10 = 1\,000 \) m³.

b. 1 dam³ = 1 000 m³ et 1 m³ = 1 000 dm³, donc 1 dam³ = 1 000 000 dm³.

\[ 85 \text{ dam}^3 = 85 \times 1\,000\,000 \text{ dm}^3 = 85\,000\,000 \text{ dm}^3 \]

c. 1 km = 1 000 m, donc 1 km³ = \( 1\,000 \times 1\,000 \times 1\,000 = 1\,000\,000\,000 \) m³.

\[ 89 \text{ km}^3 = 89\,000\,000\,000 \text{ m}^3 \]

Et 1 m³ = 1 000 L, donc le lac Léman contient \( 89\,000\,000\,000 \times 1\,000 = 89\,000\,000\,000\,000 \) L (89 000 milliards de litres).

D’abord, voici la démarche.

On compte les bouchons : le premier pack contient 4 bouteilles de 750 mL, le second 6 bouteilles de 0,5 L.

• Premier pack : \( 4 \times 750 = 3\,000 \) mL = 3 L.
• Second pack : \( 6 \times 0{,}5 = 3 \) L.

Les deux packs contiennent chacun 3 L d’eau : Robin a raison.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Étape 1 : trouver les arêtes. Un premier essai : si le cube du bas mesurait 10 cm, les arêtes seraient 10, 8, 6, 4, 2 et 0 cm : impossible. Ensuite, il faut un cube plus grand. Par ailleurs, on remarque que la hauteur de la pile est la somme des six arêtes, et que chaque cube a 2 cm de moins que celui du dessous.

Si l’on ajoutait 2, 4, 6, 8 et 10 cm aux cinq cubes du haut, ils auraient tous la taille du cube du bas. Cela ferait \( 66 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 96 \) cm pour six cubes identiques : le cube du bas mesure \( 96 \div 6 = 16 \) cm.

Les arêtes sont donc 16, 14, 12, 10, 8 et 6 cm. Vérification : \( 16 + 14 + 12 + 10 + 8 + 6 = 66 \) cm.

Étape 2 : calculer les volumes.

\[ 16^3 + 14^3 + 12^3 + 10^3 + 8^3 + 6^3 = 4\,096 + 2\,744 + 1\,728 + 1\,000 + 512 + 216 = 10\,296 \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

1. Pour les unités de volume, on multiplie ou on divise par 1 000 d’une unité à la suivante.

• a. 12 m³ = 12 000 dm³
• b. 10 mm³ = 0,000 01 dm³ (1 dm³ = 1 000 000 mm³)
• c. 1 200 dm³ = 1,2 m³
• d. 0,75 m³ = 750 dm³
• e. 12 426 mm³ = 12,426 cm³
• f. 25,7 cm³ = 25 700 mm³

2. Pour les contenances, on multiplie ou on divise par 10 d’une unité à la suivante (L, dL, cL, mL…).

• a. 127 mL = 0,127 L
• b. 752,3 hL = 75 230 L
• c. 132 cL = 1,32 L
• d. \( \dfrac{1}{2} \) L = 0,5 L = 50 cL
• e. 0,051 L = 5,1 cL
• f. 25 dL = 250 cL
• g. 0,3 cL = 0,03 dL
• h. \( \dfrac{1}{4} \) L = 0,25 L = 2,5 dL

Suite de l’exercice

3. On passe par 1 L = 1 dm³.

• a. 12 L = 12 dm³
• b. 0,3 L = 0,3 dm³ = 300 cm³
• c. 40 mL = 0,04 L = 0,04 dm³
• d. 1,8 hL = 180 L = 180 dm³ = 0,180 m³
• e. 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L
• f. 24 dm³ = 24 L = 2 400 cL
• g. 12,9 dm³ = 12,9 L = 12 900 mL
• h. 42,1 m³ = 42 100 L = 421 hL

D’abord, décomposons le calcul.

Conversions en m³ (facteur 1 000 entre deux unités de volume voisines) :

• a. 1 dam³ = 1 000 m³
• b. 1 dm³ = 0,001 m³
• c. 200 mm³ = 0,2 cm³ = 0,000 2 dm³ = 0,000 000 2 m³
• d. 42 km³ = 42 000 hm³ = 42 000 000 dam³ = 42 000 000 000 m³
• e. 35,635 cm³ = 0,035 635 dm³ = 0,000 035 635 m³

Compléter avec la bonne unité : on compte de combien de rangs (de 3 chiffres) la virgule s’est déplacée.

• a. 1 000 000 cm³ = 1 m³ = 0,001 dam³ = 0,000 001 hm³
• b. 6 521 mm³ = 6,521 cm³ = 0,006 521 dm³ = 0,000 006 521 m³
• c. 12 dam³ = 12 000 m³ = 12 000 000 dm³
• d. 0,004 67 hm³ = 4,67 dam³ = 4 670 m³
• e. 24,06 hm³ = 0,024 06 km³

D’abord, voici la démarche.

Capacités en litres (facteur 10 entre deux unités voisines : kL, hL, daL, L, dL, cL, mL) :

• a. 1 hL = 100 L
• b. 1,53 daL = 15,3 L
• c. 35 dL = 3,5 L
• d. 6,8 cL = 0,068 L
• e. 172,4 mL = 0,172 4 L

Volumes en litres, avec 1 dm³ = 1 L :

• a. 1 dm³ = 1 L
• b. 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L
• c. 1 cm³ = 0,001 dm³ = 0,001 L
• d. 131,2 m³ = 131 200 dm³ = 131 200 L
• e. 35,635 cm³ = 0,035 635 dm³ = 0,035 635 L

Tout d’abord, regardons la méthode.

Volume du cube. Son arête mesure 6 dm :

\[ V_{\text{cube}} = 6 \times 6 \times 6 = 216 \text{ dm}^3 \]

Volume du pavé droit. Il a le même volume, donc \( 12 \times 4 \times h = 216 \), c’est-à-dire \( 48 \times h = 216 \).

On cherche le nombre qui, multiplié par 48, donne 216 : c’est le quotient de 216 par 48.

\[ h = 216 \div 48 = 4{,}5 \text{ dm} \]

Vérification : \( 12 \times 4 \times 4{,}5 = 48 \times 4{,}5 = 216 \text{ dm}^3 \).

Avant tout, voici la correction détaillée.

La jardinière est un pavé droit de 90 cm sur 45 cm sur 48,5 cm.

\[ V = 90 \times 45 \times 48{,}5 = 4\,050 \times 48{,}5 = 196\,425 \text{ cm}^3 \]

On convertit en litres : \( 1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 \), donc

\[ 196\,425 \text{ cm}^3 = 196{,}425 \text{ dm}^3 = 196{,}425 \text{ L} \]

Nombre de sacs de 25 L : \( 196{,}425 \div 25 \approx 7{,}86 \).

7 sacs ne suffisent pas (\( 7 \times 25 = 175 \text{ L} \), c’est trop peu) ; avec 8 sacs on a \( 8 \times 25 = 200 \text{ L} \), assez pour remplir la jardinière. Puis on arrondit donc au nombre entier supérieur.

D’abord, décomposons le calcul.

Le grand cube complet mesure 3 petits cubes sur 3 sur 3 : il contient \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \) petits cubes, soit 27 cm³. Ensuite, pour chaque solide, on compte les petits cubes qui manquent, puis \( \text{volume} = 27 – \text{nombre de cubes manquants} \) (en cm³, car chaque petit cube mesure 1 cm³).

• a. Rien ne manque : 27 cm³.
• b. Sur la rangée de devant, il manque les 2 cubes du milieu et de droite à l’étage 2 et à l’étage 3 (4 cubes) ; sur la rangée du milieu, il manque en plus le cube de droite de l’étage du haut (1 cube). Il manque 5 cubes : \( 27 – 5 = 22 \), donc 22 cm³.

Reste du calcul

• c. On compte colonne par colonne le nombre de cubes empilés (vue de dessus, de l’avant vers l’arrière) : rangée de devant 3 ; 1 ; 1 — rangée du milieu 2 ; 1 ; 2 — rangée du fond 3 ; 2 ; 3. Total : \( 5 + 5 + 8 = 18 \) cubes. Il manque \( 27 – 18 = 9 \) cubes : 18 cm³.
• d. Le solide est percé de part en part au centre de chaque face : les trois « tunnels » enlèvent le cube central du grand cube et les 6 cubes situés au centre des 6 faces. Il manque \( 1 + 6 = 7 \) cubes : \( 27 – 7 = 20 \), donc 20 cm³.

D’abord, voici la démarche.

Un patron de cube a 6 carrés ; en pliant, chaque carré doit devenir une face différente, sans que deux carrés se superposent. Puis on imagine le pliage en choisissant un carré comme fond de la boîte.

• a. La croix : une bande de 4 carrés (fond, avant, dessus, arrière) et un carré de chaque côté. C’est un patron.
• b. Une bande de 4 carrés avec deux carrés collés du même côté : ils se superposent tous les deux sur la même face latérale, et l’autre côté reste ouvert. Ce n’est pas un patron.
• c. Deux colonnes de 3 carrés, décalées et reliées par un seul côté : en pliant, elles s’emboîtent et forment les 6 faces. C’est un patron.
• d. Les deux bras de 3 carrés en forme de L se replient sur la même face : deux carrés se superposent. Ce n’est pas un patron.
• e. Une bande de 4 carrés verticale et un carré de chaque côté du dernier. C’est un patron.
• f. Une bande de 4 carrés et deux carrés alignés du même côté en bas : le dernier carré retombe sur une face déjà occupée. Ce n’est pas un patron.
• g. Autre forme en escalier qui donne bien 6 faces différentes. C’est un patron.
• h. Une bande de 4 carrés avec un carré en haut à droite et un carré en bas à gauche, de part et d’autre de la bande. C’est un patron.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Dans un patron de pavé droit, deux arêtes qui se rejoignent quand on plie ont la même longueur, et les faces opposées sont des rectangles identiques. De plus, le pavé n’a que trois dimensions : on les repère d’abord.

a. Les dimensions sont 5,5 cm, 4,5 cm et 5 cm. Sur la bande du haut, les largeurs alternent : 4,5 cm, 5,5 cm, 4,5 cm.

• La hauteur de la bande du bas est la longueur de l’arête commune avec la face de 5,5 cm : 5,5 cm.
• Le rectangle du bas à gauche est identique à la face placée sous « a. » : sa largeur est 4,5 cm.
• Le rectangle placé sous « a. » a la même largeur que la face « a. » : 4,5 cm.

Suite de la correction

b. Les dimensions sont 3,3 cm, 4,2 cm et 3 cm. Sur la bande verticale (largeur 3,3 cm), les hauteurs alternent 4,2 cm et 3 cm.

• Hauteur du rectangle du haut : 4,2 cm ; hauteur du rectangle de gauche : 3 cm (même rangée que le « 3 cm » de droite).
• Hauteur du rectangle sous la croix : 4,2 cm ; hauteur du dernier rectangle : 3 cm.

c. Les dimensions sont 3 cm, 4,4 cm et 6 cm.

• La bande verticale a la même largeur partout : en haut, 3 cm.
• Le rectangle du haut est la face opposée au rectangle central de 3 cm sur 6 cm : sa hauteur est 6 cm.

Avant tout, voici la correction détaillée.

Pour être le patron d’un pavé droit, une figure doit avoir 6 rectangles, qui se replient sans se superposer, et les arêtes qui se rejoignent doivent avoir la même longueur (les faces opposées sont identiques).

• a. 6 rectangles, une bande de 4 faces et une face de chaque côté ; les longueurs se correspondent. C’est un patron.
• b. Quatre rectangles forment un bloc de 2 sur 2 : en pliant, deux faces se superposent. Ce n’est pas un patron.
• c. En pliant, la dernière face du bas vient se superposer à une face déjà placée et il reste une face ouverte. Ce n’est pas un patron.
• d. 6 rectangles qui se replient en boîte fermée, avec des arêtes communes de même longueur. C’est un patron.
• e. Il n’y a que 5 rectangles : la boîte resterait ouverte. Ce n’est pas un patron.
• f. Forme en escalier de 6 rectangles, dont les longueurs se correspondent. C’est un patron.

D’abord, décomposons le calcul.

Quand on plonge le caillou, il prend la place d’un volume d’eau égal à son propre volume : l’eau monte. Ensuite, le volume du caillou est donc le volume de la « tranche » d’eau gagnée.

L’eau passe de 8 cm à 8,5 cm : elle monte de \( 8{,}5 – 8 = 0{,}5 \text{ cm} \). Par ailleurs, cette tranche est un pavé droit de base 12 cm sur 12 cm et de hauteur 0,5 cm :

\[ V = 12 \times 12 \times 0{,}5 = 144 \times 0{,}5 = 72 \text{ cm}^3 \]

D’abord, voici la démarche.

Le volume d’un cube d’arête \( c \) est \( V = c \times c \times c \).

• a. \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \) : 27 dm³.
• b. \( 3{,}5 \times 3{,}5 = 12{,}25 \) puis \( 12{,}25 \times 3{,}5 = 42{,}875 \) : 42,875 dm³.
• c. \( 3{,}9 \times 3{,}9 = 15{,}21 \) puis \( 15{,}21 \times 3{,}9 = 59{,}319 \) : 59,319 dm³.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Volume d’un pavé droit : \( V = L \times \ell \times h \). Puis en calcul mental, on choisit l’ordre des multiplications qui simplifie.

• a. \( 6 \times 5 \times 4 = 6 \times 20 = 120 \) : 120 m³.
• b. \( 6 \times 2{,}5 \times 2 = 6 \times 5 = 30 \) (car \( 2{,}5 \times 2 = 5 \)) : 30 m³.
• c. \( 10 \times 8 \times 7 = 10 \times 56 = 560 \) : 560 m³.
• d. \( 3 \times 3 \times 9 = 9 \times 9 = 81 \) : 81 m³.

Avant tout, voici la correction détaillée.

Chaque carton est un pavé droit ; on calcule son volume en cm³.

• C1 : \( 33 \times 50 \times 38 = 1\,650 \times 38 = 62\,700 \text{ cm}^3 \)
• C2 : \( 36 \times 54 \times 33 = 1\,944 \times 33 = 64\,152 \text{ cm}^3 \)
• C3 : \( 35 \times 55 \times 30 = 1\,925 \times 30 = 57\,750 \text{ cm}^3 \)

On compare : \( 57\,750 \lt 62\,700 \lt 64\,152 \).

D’abord, décomposons le calcul.

1. On reproduit le patron sur une feuille : six carrés de même côté disposés en escalier, comme sur la figure (on peut s’aider du quadrillage).

2. On cherche d’abord quelles faces seront opposées (parallèles) une fois le dé plié. Ensuite, dans ce patron en escalier :

• le « 1 » (en haut à droite) et le « 6 » sont opposés : \( 1 + 6 = 7 \), c’est cohérent ;
• le « 2 » (en haut, au milieu) est opposé au carré du bas à droite : ce carré porte \( 7 – 2 = 5 \) ;
• les deux derniers carrés vides (à droite du 6 et en bas à gauche) sont opposés entre eux : ils portent 3 et 4, car \( 3 + 4 = 7 \).

Le 3 et le 4 peuvent être échangés : la somme de ces deux faces opposées vaut 7 dans les deux cas.

D’abord, voici la démarche.

Le pavé droit mesure 3 cm sur 4 cm sur 2 cm. Puis il a 6 faces rectangulaires, identiques deux à deux :

• 2 faces de 3 cm sur 4 cm (dessus et dessous) ;
• 2 faces de 3 cm sur 2 cm (avant et arrière) ;
• 2 faces de 4 cm sur 2 cm (côtés).

Construction à la règle et à l’équerre : on trace une bande verticale de 3 cm de large formée de quatre rectangles de hauteurs 2 cm, 4 cm, 2 cm et 4 cm (12 cm en tout) ; puis, de chaque côté du rectangle de 3 cm sur 4 cm du haut, on ajoute un rectangle de 2 cm de large et 4 cm de haut. De plus, le patron tient dans un rectangle de 7 cm sur 12 cm.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Un parallélépipède rectangle est un pavé droit : \( V = L \times \ell \times h \). Ensuite, on peut aussi compter les cubes de 1 cm³ : nombre de cubes d’une couche × nombre de couches.

• ① \( 2 \times 6 \times 3 = 36 \) : 36 cm³ (une couche de \( 2 \times 6 = 12 \) cubes, 3 couches).
• ② \( 5 \times 6 \times 2 = 60 \) : 60 cm³ (une couche de \( 5 \times 6 = 30 \) cubes, 2 couches).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Traduction : « Un pavé droit et ses dimensions sont représentés ci-dessous. Quel est son volume, en pouces cubes ? » (inch = pouce, une unité de longueur anglo-saxonne ; cubic inch = pouce cube.)

Le calcul est le même qu’avec des centimètres :

\[ V = 15 \times 9 \times 3 = 135 \times 3 = 405 \]

D’abord, décomposons le calcul.

Étape 1 : la bonne vitesse du goutteur. Un jour dure \( 24 \times 3\,600 = 86\,400 \) secondes, et 20 gouttes font 1 cm³.

• Vitesse 1 : \( 86\,400 \div 10 = 8\,640 \) gouttes, soit \( 8\,640 \div 20 = 432 \text{ cm}^3 = 0{,}432 \text{ L} \) : pas assez.
• Vitesse 2 : \( 86\,400 \div 6 = 14\,400 \) gouttes, soit \( 14\,400 \div 20 = 720 \text{ cm}^3 = 0{,}72 \text{ L} \) : entre 0,7 L et 0,8 L, c’est la bonne vitesse.
• Vitesse 3 : 1,44 L et vitesse 4 : 4,32 L par jour : beaucoup trop.

Étape 2 : l’eau nécessaire pour 21 jours. Avec la vitesse 2, pour 60 plants :

Suite du calcul

\[ 60 \times 0{,}72 = 43{,}2 \text{ L par jour, puis } 43{,}2 \times 21 = 907{,}2 \text{ L} \]

Étape 3 : la contenance de la cuve. On convertit en dm : 75 cm = 7,5 dm ; 80 cm = 8 dm ; 1,5 m = 15 dm.

\[ V = 7{,}5 \times 8 \times 15 = 900 \text{ dm}^3 = 900 \text{ L} \]

Conclusion. \( 900 \lt 907{,}2 \) : il manque 7,2 L. Par ailleurs, la cuve ne tient que \( 900 \div 43{,}2 \approx 20{,}8 \) jours, soit environ 20 jours et 20 heures. Puis le dispositif ne suffit donc pas tout à fait pour 21 jours (il faudrait par exemple rajouter un peu d’eau ou demander à un voisin de remplir la cuve une fois).

D’abord, voici la démarche.

La piscine mesure 10 m sur 5 m. Ensuite, elle est profonde de 1,20 m, sauf sur les 3 premiers mètres où elle est profonde de 2,30 m (fosse). Puis la marche entre les deux parties mesure \( 2{,}30 – 1{,}20 = 1{,}10 \text{ m} \).

1. La surface à peindre (le fond et les parois, pas la surface de l’eau).

• Fond de la partie peu profonde : \( 7 \times 5 = 35 \text{ m}^2 \) ; fond de la fosse : \( 3 \times 5 = 15 \text{ m}^2 \) ;
• paroi verticale de la marche : \( 5 \times 1{,}1 = 5{,}5 \text{ m}^2 \) ;
• les deux grandes parois (en forme de L) : chacune \( 10 \times 1{,}2 + 3 \times 1{,}1 = 12 + 3{,}3 = 15{,}3 \text{ m}^2 \), donc \( 2 \times 15{,}3 = 30{,}6 \text{ m}^2 \) ;

Suite de l’exercice

• petite paroi côté peu profond : \( 5 \times 1{,}2 = 6 \text{ m}^2 \) ; paroi côté fosse : \( 5 \times 2{,}3 = 11{,}5 \text{ m}^2 \).

\[ S = 35 + 15 + 5{,}5 + 30{,}6 + 6 + 11{,}5 = 103{,}6 \text{ m}^2 \]

2. La peinture. Il faut 2 couches, donc \( 2 \times 103{,}6 = 207{,}2 \text{ m}^2 \) à couvrir. Avec 1 L pour 10 m² : \( 207{,}2 \div 10 = 20{,}72 \text{ L} \). De plus, un pot contient 2,5 L : \( 20{,}72 \div 2{,}5 \approx 8{,}3 \), il faut donc 9 pots.

\[ 9 \times 64{,}20 = 577{,}80 \text{ €} \]

3. L’eau. Volume total de la piscine : un grand pavé de 10 m × 5 m × 1,2 m plus la fosse sous ce pavé, de 3 m × 5 m × 1,1 m.

Fin de la correction

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} V &= 10 \times 5 \times 1{,}2 + 3 \times 5 \times 1{,}1 = 60 + 16{,}5 = 76{,}5 \text{ m}^3 \end{aligned} \]

On remplit jusqu’à 10 cm (0,1 m) du bord : on retire la tranche du haut, \( 10 \times 5 \times 0{,}1 = 5 \text{ m}^3 \). Volume d’eau : \( 76{,}5 – 5 = 71{,}5 \text{ m}^3 \).

\[ 71{,}5 \times 3{,}48 = 248{,}82 \text{ €} \]

Coût total : \( 577{,}80 + 248{,}82 = 826{,}62 \text{ €} \).

4. La durée du remplissage. \( 71{,}5 \text{ m}^3 = 71\,500 \text{ L} \). Ensuite, le robinet remplit 10 L en 16 s, donc il faut \( 71\,500 \div 10 = 7\,150 \) fois 16 secondes :

Reste du calcul

\[ 7\,150 \times 16 = 114\,400 \text{ s} \]

\( 114\,400 = 31 \times 3\,600 + 2\,800 \) et \( 2\,800 \text{ s} = 46 \text{ min } 40 \text{ s} \) : le remplissage dure 31 h 46 min 40 s.

La piscine doit être pleine le 6 juillet à 14 h. Par ailleurs, on remonte le temps : 24 h avant, c’est le 5 juillet à 14 h ; il reste 7 h 46 min 40 s à retirer, ce qui donne le 5 juillet à 6 h 13 min 20 s.

Remarque : la peinture doit être complètement sèche (24 h) avant la mise en eau, donc la dernière couche doit être terminée au plus tard le 4 juillet vers 6 h.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Sans le creux, le solide serait un pavé droit complet de 6 cm × 8 cm × 4 cm, fait de cubes de 1 cm³ :

\[ 6 \times 8 \times 4 = 192 \text{ cm}^3 \]

On compte les cubes enlevés dans l’escalier (coin avant droit) :

• à l’étage du haut : 3 cubes de large sur 4 cubes de profondeur, soit \( 3 \times 4 = 12 \) cubes ;
• à l’étage juste en dessous : 2 cubes de large sur 2 de profondeur, soit \( 2 \times 2 = 4 \) cubes.

Il manque \( 12 + 4 = 16 \) cubes, donc \( V = 192 – 16 = 176 \text{ cm}^3 \).

Vérification étage par étage : \( 48 + 48 + 44 + 36 = 176 \) (chaque étage complet compte \( 6 \times 8 = 48 \) cubes).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Ces deux solides sont des prismes droits : leur volume est l’aire de la face avant multipliée par la profondeur (4 mm).

a. Le bloc complet mesure 4 mm × 4 mm × 2 mm. Puis les codages indiquent que les deux montants ont 1 mm d’épaisseur et que la rainure est profonde de 1 mm ; elle est donc large de \( 4 – 1 – 1 = 2 \text{ mm} \).

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} V_a &= 4 \times 4 \times 2 – 2 \times 1 \times 4 \\ &= 32 – 8 = 24 \text{ mm}^3 \end{aligned} \]

b. Les segments codés de la même façon mesurent la moitié de 4 mm, soit 2 mm : la face avant est un carré de 4 mm de côté auquel on enlève un carré de 2 mm de côté. Son aire vaut \( 4 \times 4 – 2 \times 2 = 16 – 4 = 12 \text{ mm}^2 \).

\[ V_b = 12 \times 4 = 48 \text{ mm}^3 \]

D’abord, décomposons le calcul.

Première partie.

1. a. \( V = 3 \times 5 \times 8 = 120 \text{ dm}^3 \).

1. b. \( V = 4 \times 6 \times 12 = 288 \text{ m}^3 \).

2. \( 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 \) et \( 1 \text{ m}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3 \).

• \( 120 \text{ dm}^3 = 120 \times 1\,000 = 120\,000 \text{ cm}^3 \) ;
• \( 288 \text{ m}^3 = 288 \times 1\,000\,000 = 288\,000\,000 \text{ cm}^3 \).

Deuxième partie. Les trois dimensions doivent être dans la même unité avant de multiplier.

• a. En cm³ : \( h = 30 \text{ mm} = 3 \text{ cm} \), donc \( V = 12 \times 2 \times 3 = 72 \text{ cm}^3 \).
• b. En dm³ : 12 cm = 1,2 dm ; 2 cm = 0,2 dm ; 30 mm = 0,3 dm, donc \( V = 1{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}3 = 0{,}072 \text{ dm}^3 \) (on retrouve \( 72 \div 1\,000 \)).
• c. En mm³ : 12 cm = 120 mm ; 2 cm = 20 mm, donc \( V = 120 \times 20 \times 30 = 72\,000 \text{ mm}^3 \) (on retrouve \( 72 \times 1\,000 \)).