Volumes de solides en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Les deux pièces sont des prismes droits : une face avant (en forme de J ou de T) « poussée » sur une épaisseur de 1,5 cm. On a donc :

\[ \text{Volume} = \text{aire de la face avant} \times \text{épaisseur}. \]

Pièce orange. La face avant mesure 4,5 cm de large et 4,5 cm de haut. Les traits de codage indiquent que la barre du bas et le bras du haut ont la même épaisseur, 1 cm. La largeur du haut, 2 cm, se partage entre le bras (1 cm) et la colonne de droite (1 cm). On découpe la face en trois rectangles :

• la barre du bas : \(4{,}5 \times 1 = 4{,}5 \text{ cm}^2\) ;
• la colonne de droite au-dessus de la barre : \(1 \times 3{,}5 = 3{,}5 \text{ cm}^2\) (car \(4{,}5 – 1 = 3{,}5\)) ;
• le bras du haut : \(1 \times 1 = 1 \text{ cm}^2\).

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{orange}} &= 4{,}5 + 3{,}5 + 1 = 9 \text{ cm}^2 \\ V_{\text{orange}} &= 9 \times 1{,}5 = 13{,}5 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Pièce verte. La face avant est un T : une barre horizontale de 4,5 cm sur 1,5 cm et un pied de 1,5 cm de large. La hauteur totale est 4,5 cm, donc le pied mesure \(4{,}5 – 1{,}5 = 3\) cm de haut.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{verte}} &= 4{,}5 \times 1{,}5 + 1{,}5 \times 3 = 6{,}75 + 4{,}5 = 11{,}25 \text{ cm}^2 \\ V_{\text{verte}} &= 11{,}25 \times 1{,}5 = 16{,}875 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

On compare : \(16{,}875 \gt 13{,}5\) et \(16{,}875 – 13{,}5 = 3{,}375\).

a. Le solide est formé d’un grand pavé droit et d’une « marche » à droite, tous deux de profondeur 75 mm. La hauteur totale est 254 mm et la longueur totale 342 mm ; la marche mesure 52 mm de long et 42 mm de haut, donc le grand pavé mesure \(342 – 52 = 290\) mm de long.

\[ \begin{aligned} V_{\text{grand pavé}} &= 290 \times 75 \times 254 = 5\,524\,500 \text{ mm}^3 \\ V_{\text{marche}} &= 52 \times 75 \times 42 = 163\,800 \text{ mm}^3 \\ V_a &= 5\,524\,500 + 163\,800 = 5\,688\,300 \text{ mm}^3 \end{aligned} \]

soit 5 688 300 mm³, c’est-à-dire 5 688,3 cm³.

b. La croix a une épaisseur de 2,8 cm. Sa face avant est formée d’une bande horizontale (15 cm sur 2,8 cm) et d’une bande verticale (12 cm sur 2,8 cm) ; le carré central de 2,8 cm de côté appartient aux deux bandes, il ne faut le compter qu’une fois.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 15 \times 2{,}8 + 12 \times 2{,}8 – 2{,}8 \times 2{,}8 \\ &= 42 + 33{,}6 – 7{,}84 = 67{,}76 \text{ cm}^2 \\ V_b &= 67{,}76 \times 2{,}8 = 189{,}728 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

c. La pile est formée de trois cubes de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. Le volume d’un cube de côté \(c\) est \(c \times c \times c\).

\[ \begin{aligned} V_c &= 3 \times 3 \times 3 + 4 \times 4 \times 4 + 5 \times 5 \times 5 \\ &= 27 + 64 + 125 = 216 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Pour les volumes, chaque unité vaut 1 000 fois l’unité immédiatement plus petite : on déplace la virgule de 3 rangs par unité (3 colonnes par unité dans le tableau de conversion).

• \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3\), donc \(5 \text{ m}^3 = 5 \times 1\,000 = \mathbf{5\,000 \text{ dm}^3}\).
• \(1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3\), donc \(3\,034 \text{ cm}^3 = 3\,034 \div 1\,000 = \mathbf{3{,}034 \text{ dm}^3}\).
• \(1 \text{ cm}^3 = 1\,000 \text{ mm}^3\), donc \(15\,026 \text{ mm}^3 = \mathbf{15{,}026 \text{ cm}^3}\).
• \(1 \text{ hm}^3 = 1\,000 \text{ dam}^3\), donc \(0{,}234\,28 \text{ hm}^3 = \mathbf{234{,}28 \text{ dam}^3}\).
• \(1 \text{ dam}^3 = 1\,000 \text{ m}^3\) et \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}\), donc \(0{,}234\,28 \text{ dam}^3 = 234{,}28 \text{ m}^3 = 234{,}28 \times 1\,000 \text{ L} = \mathbf{234\,280 \text{ L}}\).

On utilise l’égalité clé \(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}\), donc aussi \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}\) et \(1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}\).

• a. \(1 \text{ dm}^3 = \mathbf{1 \text{ L}}\).
• b. \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = \mathbf{1\,000 \text{ L}}\).
• c. \(1 \text{ hL} = 100 \text{ L} = 100 \text{ dm}^3 = 100 \times 1\,000 \text{ cm}^3 = \mathbf{100\,000 \text{ cm}^3}\).
• d. \(131{,}2 \text{ L} = 131{,}2 \text{ dm}^3 = 131{,}2 \div 1\,000 \text{ m}^3 = \mathbf{0{,}131\,2 \text{ m}^3}\).
• e. \(35{,}635 \text{ cm}^3 = 35{,}635 \text{ mL} = \mathbf{0{,}356\,35 \text{ dL}}\) (car \(1 \text{ dL} = 100 \text{ mL}\)).
• f. \(7\,302 \text{ L} = 7\,302 \text{ dm}^3 = 7{,}302 \text{ m}^3 = 0{,}007\,302 \text{ dam}^3\) : l’unité manquante est le dam³.
• g. \(10\,000\,000 \text{ mm}^3 = 10\,000 \text{ cm}^3 = 10 \text{ dm}^3 = 10 \text{ L} = 100 \text{ dL}\) : l’unité manquante est le dL.

Les unités de contenance (litres) suivent la numération décimale : chaque unité vaut 10 fois la suivante, on déplace donc la virgule d’un rang par unité.

Tableau de conversion pour la question b : on place 1,53 daL (le chiffre des unités sous daL), puis on lit le nombre jusqu’à la colonne cL.

• a. \(1 \text{ L} = \mathbf{10 \text{ dL}}\).
• b. \(1{,}53 \text{ daL} = 15{,}3 \text{ L} = \mathbf{1\,530 \text{ cL}}\).
• c. \(35 \text{ dL} = 35 \div 10 \text{ L} = \mathbf{3{,}5 \text{ L}}\).
• d. \(1 \text{ hL} = 100 \text{ L} = \mathbf{1\,000 \text{ dL}}\).
• e. \(12 \text{ dL} = 1{,}2 \text{ L} = \mathbf{0{,}12 \text{ daL}}\).
• f. \(172{,}4 \text{ mL} = 17{,}24 \text{ cL} = \mathbf{1{,}724 \text{ dL}}\).

On cherche l’unité qui donne l’écriture la plus courte, avec le moins de zéros inutiles. On passe d’une unité à la voisine en multipliant ou en divisant par 1 000.

• a. \(23\,000 \text{ cm}^3 = 23\,000 \div 1\,000 \text{ dm}^3 = \mathbf{23 \text{ dm}^3}\) (ou 23 L).
• b. \(0{,}000\,07 \text{ m}^3 = 0{,}07 \text{ dm}^3 = \mathbf{70 \text{ cm}^3}\). L’écriture 70 cm³ ne comporte qu’un zéro, contre deux pour 0,07 dm³ et quatre pour 70 000 mm³.
• c. \(199\,700\,000 \text{ dam}^3 = 199\,700 \text{ hm}^3 = \mathbf{199{,}7 \text{ km}^3}\) (car \(1 \text{ km}^3 = 1\,000\,000 \text{ dam}^3\)).
• d. \(0{,}060\,8 \text{ dam}^3 = 0{,}060\,8 \times 1\,000 \text{ m}^3 = \mathbf{60{,}8 \text{ m}^3}\).

On compte de combien de rangs la virgule s’est déplacée : 3 rangs = 1 unité de volume. Si le nombre devient plus petit, l’unité cherchée est plus grande, et inversement.

• a. \(1\,000\,000 \text{ cm}^3\) devient \(0{,}000\,001\) : le nombre a été divisé par mille milliards, soit 12 rangs, donc 4 unités au-dessus du cm³. On le vérifie étape par étape : \(1\,000\,000 \text{ cm}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1 \text{ m}^3 = 0{,}001 \text{ dam}^3 = 0{,}000\,001 \text{ hm}^3\). L’unité est le hm³.
• b. \(6\,521 \text{ mm}^3 = 6{,}521 \text{ cm}^3 = 0{,}006\,521 \text{ dm}^3 = 0{,}000\,006\,521 \text{ m}^3\). L’unité est le m³.
• c. \(12 \text{ dam}^3 = 12\,000 \text{ m}^3 = 12\,000\,000 \text{ dm}^3\). L’unité est le dm³.
• d. \(0{,}004\,67 \text{ hm}^3 = 4{,}67 \text{ dam}^3 = 4\,670 \text{ m}^3\). L’unité est le m³.

Entre deux unités de volume voisines, le rapport est 1 000. On déplace la virgule de 3 rangs par unité franchie.

• a. \(1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 = 1\,000 \times 1\,000 \text{ mm}^3 = \mathbf{1\,000\,000 \text{ mm}^3}\).
• b. \(1 \text{ dam}^3 = 0{,}001 \text{ hm}^3 = \mathbf{0{,}000\,001 \text{ km}^3}\).
• c. \(200 \text{ mm}^3 = 200 \div 1\,000 \text{ cm}^3 = \mathbf{0{,}2 \text{ cm}^3}\).
• d. \(1\,542 \text{ km}^3 = 1\,542\,000 \text{ hm}^3 = \mathbf{1\,542\,000\,000 \text{ dam}^3}\).
• e. \(35{,}635 \text{ cm}^3 = 35{,}635 \times 1\,000 \text{ mm}^3 = \mathbf{35\,635 \text{ mm}^3}\).
• f. \(534\,273 \text{ m}^3 = 534{,}273 \text{ dam}^3 = 0{,}534\,273 \text{ hm}^3 = \mathbf{0{,}000\,534\,273 \text{ km}^3}\).

a. On range les cubes de 1 cm de côté couche par couche. Sur le fond (12 cm sur 8 cm), on place \(12 \times 8 = 96\) cubes. La hauteur de 5 cm permet d’empiler 5 couches :

\[ 12 \times 8 \times 5 = 480 \text{ cubes.} \]

On peut ranger 480 cubes de 1 cm de côté.

b. En millimètres, les dimensions sont 120 mm, 80 mm et 50 mm. Avec des cubes de 1 mm de côté :

\[ 120 \times 80 \times 50 = 480\,000 \text{ cubes.} \]

On peut ranger 480 000 cubes de 1 mm de côté.

c. Un cube de 1 cm de côté a un volume de 1 cm³ et un cube de 1 mm de côté un volume de 1 mm³. D’après a et b :

\[ V = 480 \text{ cm}^3 = 480\,000 \text{ mm}^3. \]

d. Le même volume s’écrit 480 cm³ et 480 000 mm³, donc un centimètre cube contient \(480\,000 \div 480 = 1\,000\) millimètres cubes. On le retrouve directement : un cube de 1 cm = 10 mm de côté contient \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\) petits cubes de 1 mm.

a. L’unité est le cube de 1 cm de côté, qui a un volume de 1 cm³. Le cube de gauche a 3 petits cubes par arête, celui de droite en a 4.

\[ \begin{aligned} V_{\text{gauche}} &= 3 \times 3 \times 3 = 27 \text{ cm}^3 \\ V_{\text{droite}} &= 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

b. Pour un cube de 5 cm de côté, il faut 5 couches de \(5 \times 5 = 25\) petits cubes :

\[ 5 \times 5 \times 5 = 125 \text{ petits cubes.} \]

Yani doit prévoir 125 petits cubes.

c. L’empilement de Louise a 5 cubes par arête : le cube terminé en compterait 125. On regarde l’empilement de dessus et on note la hauteur de chaque colonne (on suppose, comme sur le dessin, qu’il n’y a pas de trou caché sous les cubes visibles).

• rangée du fond : \(5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25\) cubes ;
• 2e rangée : \(5 + 5 + 5 + 4 + 3 = 22\) cubes ;
• 3e rangée : \(5 + 5 + 3 + 2 + 2 = 17\) cubes ;
• 4e rangée : \(5 + 5 + 3 + 2 + 1 = 16\) cubes ;
• rangée de devant : \(2 + 5 + 3 + 2 + 1 = 13\) cubes.

\[ \begin{aligned} \text{cubes présents} &= 25 + 22 + 17 + 16 + 13 = 93 \\ \text{cubes manquants} &= 125 – 93 = 32 \end{aligned} \]