La médiatrice en 6ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

On rappelle la propriété : un point appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement s’il est à égale distance de A et de B, c’est-à-dire si PA = PB. On ne se fie pas à l’œil : on n’utilise que les codages de la figure.

• a. La droite passe par P et coupe [AB], mais aucun codage n’indique qu’elle coupe [AB] en son milieu, ni qu’elle lui est perpendiculaire, ni que PA = PB. On ne peut pas affirmer que P est sur la médiatrice de [AB].
• b. Les codages montrent que la droite passe par le milieu de [AB], mais il n’y a pas d’angle droit codé. On ne sait donc pas si cette droite est la médiatrice de [AB] : on ne peut pas conclure que P est sur la médiatrice.
• c. Le codage indique BA = BP : c’est donc B qui est à égale distance de A et de P (B est sur la médiatrice de [AP]). Rien n’indique que PA = PB (et, sur la figure, PA est nettement plus long que PB). P n’est pas sur la médiatrice de [AB].
• d. Le codage indique PA = PB : P est à égale distance de A et de B. P appartient à la médiatrice de [AB].

On repère les points sur le quadrillage (en carreaux, depuis le coin en bas à gauche) : A(3 ; 10), B(5 ; 4), C(9 ; 2) et D(10 ; 9).

a. Médiatrice de [AB]. Pour aller de A à B, on se déplace de 2 carreaux vers la droite et 6 vers le bas. Le milieu de [AB] est donc à 1 carreau à droite et 3 carreaux en bas de A : c’est le nœud (4 ; 7). Une direction perpendiculaire à [AB] s’obtient en « tournant » le déplacement d’un quart de tour : 3 carreaux vers la droite pour 1 vers le haut. On trace la droite qui passe par (4 ; 7), (7 ; 8), (10 ; 9)… et par (1 ; 6) de l’autre côté.

Médiatrice de [BC]. De B à C : 4 carreaux à droite et 2 vers le bas. Le milieu est le nœud (7 ; 3). Direction perpendiculaire : 1 carreau à droite pour 2 vers le haut. La droite passe par (7 ; 3), (8 ; 5), (9 ; 7), (10 ; 9).

b. Les deux médiatrices passent toutes les deux par le point D. D est sur la médiatrice de [AB], donc DA = DB ; D est sur la médiatrice de [BC], donc DB = DC. Ainsi DA = DB = DC : le cercle de centre D qui passe par B passe aussi par A et par C.

La méthode est la même pour les six segments. Exemple avec EF = 6,1 cm :

1. Tracer à la règle un segment [EF] de 6,1 cm.
2. Ouvrir le compas d’un écart plus grand que la moitié du segment (ici plus de 3,05 cm, par exemple 4 cm).
3. Pointe sur E, tracer un arc au-dessus et un arc au-dessous du segment.
4. Sans changer l’écartement, pointe sur F, tracer deux arcs qui coupent les premiers.
5. Les deux points d’intersection sont à égale distance de E et de F : ils sont sur la médiatrice. On trace la droite qui les joint : c’est la médiatrice de [EF]. Elle coupe [EF] en son milieu I, avec un angle droit.

Pour les autres segments, il suffit d’ouvrir le compas de plus que la moitié de la longueur. Contrôle à la règle : la médiatrice doit couper le segment à la moitié de sa longueur.

Première partie du raisonnement : juste. La droite (d) passe par le milieu M de [AB] (codage AM = MB) et elle est perpendiculaire à (AB) (angle droit codé). Donc (d) est bien la médiatrice de [AB].

Deuxième partie : fausse. De HE = HC, on peut seulement déduire que le point H est sur la médiatrice de [EC]. Mais un seul point ne suffit pas pour connaître une droite : il existe une infinité de droites passant par H. Pour que (d) soit la médiatrice de [EC], il faudrait un deuxième point de (d) équidistant de E et de C, ou bien savoir que (d) est perpendiculaire à [EC] en son milieu. Rien de tout cela n’est donné, et d’ailleurs sur la figure E et C ne sont pas à la même hauteur : (EC) n’est pas perpendiculaire à (d).

La médiatrice de [AB] est la droite qui est perpendiculaire à [AB] et qui passe par son milieu. Il faut que les deux conditions soient codées sur la figure.

• a) (d) passe par le milieu de [AB] (codage), mais il n’y a pas d’angle droit : (d) n’est pas la médiatrice (on ne peut pas l’affirmer).
• b) (d) est perpendiculaire à [AB] (angle droit), mais rien n’indique qu’elle passe par le milieu : on ne peut pas conclure.
• c) Le milieu est codé et l’angle droit aussi : (d) est la médiatrice de [AB].
• d) Il n’y a ni angle droit, ni codage de longueurs égales de part et d’autre de (d) : (d) n’est pas la médiatrice.
• e) L’angle droit est codé, mais la droite coupe [AB] près de A, pas en son milieu : (d) n’est pas la médiatrice.

1. On trace une droite, on y place A, puis B à 5 cm de A, puis C à 5,8 cm de B, de l’autre côté de B (dans l’ordre A, B, C). Ainsi \( AC = 5 + 5{,}8 = 10{,}8 \text{ cm} \).

2. On construit au compas la médiatrice (d) de [AB] (elle coupe [AB] à 2,5 cm de A) et la médiatrice (d′) de [BC] (elle coupe [BC] à 2,9 cm de B).

3. Démonstration.

• (d) est la médiatrice de [AB], donc (d) est perpendiculaire à (AB).
• (d′) est la médiatrice de [BC], donc (d′) est perpendiculaire à (BC).
• Les points A, B, C sont alignés, donc (AB) et (BC) sont la même droite, la droite (AC).
• Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

1) Sur la figure, la droite (Δ) coupe [MN] en un point codé comme milieu (deux segments égaux) et elle est perpendiculaire à (MN) (angle droit codé). Une droite perpendiculaire à un segment en son milieu est sa médiatrice : (Δ) est la médiatrice de [MN].

2) Le point A est sur (Δ), donc sur la médiatrice de [MN]. Or tout point de la médiatrice d’un segment est à égale distance de ses extrémités. Donc AN = AM, et AM = 5 cm.

1) D’après les codages, BA = BC (un trait) : B est à égale distance de A et de C. Or un point équidistant des extrémités d’un segment est sur sa médiatrice : B est sur la médiatrice de [AC].

De même, DA = DC (deux traits) : D est à égale distance de A et de C, donc D est sur la médiatrice de [AC].

2) La médiatrice de [AC] est une droite qui contient les deux points B et D, qui sont distincts. Or par deux points distincts il ne passe qu’une seule droite : c’est la droite (BD).

1. Tracer à la règle un segment [AB] de 5 cm.

2. Ouvrir le compas de plus de 2,5 cm (par exemple 3,5 cm), tracer des arcs de centre A puis de centre B avec le même écartement ; les deux points d’intersection des arcs définissent la médiatrice (d).

3. Le milieu I est le point d’intersection de (d) et de [AB] : \( AI = IB = 5 \div 2 = 2{,}5 \text{ cm} \).

4. On place un point C quelconque sur (d), différent de I.

Nature du triangle ABC. C est sur la médiatrice de [AB], donc C est à égale distance de A et de B : CA = CB. Un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle. Remarque : si l’on place C à 5 cm de A, on a CA = CB = AB = 5 cm et le triangle est même équilatéral.

On trace un triangle MNP quelconque, puis pour chaque côté on applique la construction au compas :

1. Pour [MN] : ouvrir le compas de plus de la moitié de MN, tracer deux arcs de centre M et deux arcs de centre N (même écartement), puis joindre les deux points d’intersection.
2. Recommencer pour [NP], puis pour [PM] (en adaptant l’écartement à chaque côté).

Ce que l’on observe : les trois médiatrices se coupent en un même point, noté O. En effet, O est sur la médiatrice de [MN], donc OM = ON, et sur celle de [NP], donc ON = OP. Ainsi OM = ON = OP : le cercle de centre O qui passe par M passe aussi par N et P. C’est le cercle circonscrit au triangle MNP. Si les trois droites ne se coupent pas exactement en un point, c’est que la construction manque de précision (crayon bien taillé !).