Corrigé des 20 exercices sur la médiatrice en 6ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

On rappelle la propriété : un point appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement s’il est à égale distance de A et de B, c’est-à-dire si PA = PB. On ne se fie pas à l’œil : on n’utilise que les codages de la figure.

• a. La droite passe par P et coupe [AB], mais aucun codage n’indique qu’elle coupe [AB] en son milieu, ni qu’elle lui est perpendiculaire, ni que PA = PB. On ne peut pas affirmer que P est sur la médiatrice de [AB].
• b. Les codages montrent que la droite passe par le milieu de [AB], mais il n’y a pas d’angle droit codé. On ne sait donc pas si cette droite est la médiatrice de [AB] : on ne peut pas conclure que P est sur la médiatrice.
• c. Le codage indique BA = BP : c’est donc B qui est à égale distance de A et de P (B est sur la médiatrice de [AP]). Rien n’indique que PA = PB (et, sur la figure, PA est nettement plus long que PB). P n’est pas sur la médiatrice de [AB].
• d. Le codage indique PA = PB : P est à égale distance de A et de B. P appartient à la médiatrice de [AB].

On repère les points sur le quadrillage (en carreaux, depuis le coin en bas à gauche) : A(3 ; 10), B(5 ; 4), C(9 ; 2) et D(10 ; 9).

a. Médiatrice de [AB]. Pour aller de A à B, on se déplace de 2 carreaux vers la droite et 6 vers le bas. Le milieu de [AB] est donc à 1 carreau à droite et 3 carreaux en bas de A : c’est le nœud (4 ; 7). Une direction perpendiculaire à [AB] s’obtient en « tournant » le déplacement d’un quart de tour : 3 carreaux vers la droite pour 1 vers le haut. On trace la droite qui passe par (4 ; 7), (7 ; 8), (10 ; 9)… et par (1 ; 6) de l’autre côté.

Médiatrice de [BC]. De B à C : 4 carreaux à droite et 2 vers le bas. Le milieu est le nœud (7 ; 3). Direction perpendiculaire : 1 carreau à droite pour 2 vers le haut. La droite passe par (7 ; 3), (8 ; 5), (9 ; 7), (10 ; 9).

b. Les deux médiatrices passent toutes les deux par le point D. D est sur la médiatrice de [AB], donc DA = DB ; D est sur la médiatrice de [BC], donc DB = DC. Ainsi DA = DB = DC : le cercle de centre D qui passe par B passe aussi par A et par C.

La méthode est la même pour les six segments. Exemple avec EF = 6,1 cm :

1. Tracer à la règle un segment [EF] de 6,1 cm.
2. Ouvrir le compas d’un écart plus grand que la moitié du segment (ici plus de 3,05 cm, par exemple 4 cm).
3. Pointe sur E, tracer un arc au-dessus et un arc au-dessous du segment.
4. Sans changer l’écartement, pointe sur F, tracer deux arcs qui coupent les premiers.
5. Les deux points d’intersection sont à égale distance de E et de F : ils sont sur la médiatrice. On trace la droite qui les joint : c’est la médiatrice de [EF]. Elle coupe [EF] en son milieu I, avec un angle droit.

Pour les autres segments, il suffit d’ouvrir le compas de plus que la moitié de la longueur. Contrôle à la règle : la médiatrice doit couper le segment à la moitié de sa longueur.

Première partie du raisonnement : juste. La droite (d) passe par le milieu M de [AB] (codage AM = MB) et elle est perpendiculaire à (AB) (angle droit codé). Donc (d) est bien la médiatrice de [AB].

Deuxième partie : fausse. De HE = HC, on peut seulement déduire que le point H est sur la médiatrice de [EC]. Mais un seul point ne suffit pas pour connaître une droite : il existe une infinité de droites passant par H. Pour que (d) soit la médiatrice de [EC], il faudrait un deuxième point de (d) équidistant de E et de C, ou bien savoir que (d) est perpendiculaire à [EC] en son milieu. Rien de tout cela n’est donné, et d’ailleurs sur la figure E et C ne sont pas à la même hauteur : (EC) n’est pas perpendiculaire à (d).

La médiatrice de [AB] est la droite qui est perpendiculaire à [AB] et qui passe par son milieu. Il faut que les deux conditions soient codées sur la figure.

• a) (d) passe par le milieu de [AB] (codage), mais il n’y a pas d’angle droit : (d) n’est pas la médiatrice (on ne peut pas l’affirmer).
• b) (d) est perpendiculaire à [AB] (angle droit), mais rien n’indique qu’elle passe par le milieu : on ne peut pas conclure.
• c) Le milieu est codé et l’angle droit aussi : (d) est la médiatrice de [AB].
• d) Il n’y a ni angle droit, ni codage de longueurs égales de part et d’autre de (d) : (d) n’est pas la médiatrice.
• e) L’angle droit est codé, mais la droite coupe [AB] près de A, pas en son milieu : (d) n’est pas la médiatrice.

1. On trace une droite, on y place A, puis B à 5 cm de A, puis C à 5,8 cm de B, de l’autre côté de B (dans l’ordre A, B, C). Ainsi \( AC = 5 + 5{,}8 = 10{,}8 \text{ cm} \).

2. On construit au compas la médiatrice (d) de [AB] (elle coupe [AB] à 2,5 cm de A) et la médiatrice (d′) de [BC] (elle coupe [BC] à 2,9 cm de B).

3. Démonstration.

• (d) est la médiatrice de [AB], donc (d) est perpendiculaire à (AB).
• (d′) est la médiatrice de [BC], donc (d′) est perpendiculaire à (BC).
• Les points A, B, C sont alignés, donc (AB) et (BC) sont la même droite, la droite (AC).
• Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

1) Sur la figure, la droite (Δ) coupe [MN] en un point codé comme milieu (deux segments égaux) et elle est perpendiculaire à (MN) (angle droit codé). Une droite perpendiculaire à un segment en son milieu est sa médiatrice : (Δ) est la médiatrice de [MN].

2) Le point A est sur (Δ), donc sur la médiatrice de [MN]. Or tout point de la médiatrice d’un segment est à égale distance de ses extrémités. Donc AN = AM, et AM = 5 cm.

1) D’après les codages, BA = BC (un trait) : B est à égale distance de A et de C. Or un point équidistant des extrémités d’un segment est sur sa médiatrice : B est sur la médiatrice de [AC].

De même, DA = DC (deux traits) : D est à égale distance de A et de C, donc D est sur la médiatrice de [AC].

2) La médiatrice de [AC] est une droite qui contient les deux points B et D, qui sont distincts. Or par deux points distincts il ne passe qu’une seule droite : c’est la droite (BD).

1. Tracer à la règle un segment [AB] de 5 cm.

2. Ouvrir le compas de plus de 2,5 cm (par exemple 3,5 cm), tracer des arcs de centre A puis de centre B avec le même écartement ; les deux points d’intersection des arcs définissent la médiatrice (d).

3. Le milieu I est le point d’intersection de (d) et de [AB] : \( AI = IB = 5 \div 2 = 2{,}5 \text{ cm} \).

4. On place un point C quelconque sur (d), différent de I.

Nature du triangle ABC. C est sur la médiatrice de [AB], donc C est à égale distance de A et de B : CA = CB. Un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle. Remarque : si l’on place C à 5 cm de A, on a CA = CB = AB = 5 cm et le triangle est même équilatéral.

On trace un triangle MNP quelconque, puis pour chaque côté on applique la construction au compas :

1. Pour [MN] : ouvrir le compas de plus de la moitié de MN, tracer deux arcs de centre M et deux arcs de centre N (même écartement), puis joindre les deux points d’intersection.
2. Recommencer pour [NP], puis pour [PM] (en adaptant l’écartement à chaque côté).

Ce que l’on observe : les trois médiatrices se coupent en un même point, noté O. En effet, O est sur la médiatrice de [MN], donc OM = ON, et sur celle de [NP], donc ON = OP. Ainsi OM = ON = OP : le cercle de centre O qui passe par M passe aussi par N et P. C’est le cercle circonscrit au triangle MNP. Si les trois droites ne se coupent pas exactement en un point, c’est que la construction manque de précision (crayon bien taillé !).

1. On trace un segment [AC] de 6 cm. En A, on trace à l’équerre la perpendiculaire à (AC) et on y place B tel que AB = 4 cm. On trace [BC] : le triangle ABC est rectangle en A.

2. On trace les deux médiatrices (au compas ou à la règle graduée et à l’équerre) :

• la médiatrice de [AB] passe par le milieu de [AB] (à 2 cm de A) et est perpendiculaire à (AB) ;
• la médiatrice de [AC] passe par le milieu de [AC] (à 3 cm de A) et est perpendiculaire à (AC).

Constat.

• Les deux médiatrices sont perpendiculaires : la médiatrice de [AB] est parallèle à (AC) et celle de [AC] est parallèle à (AB) (deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles), et (AB) ⊥ (AC).
• Elles se coupent en un point I qui est sur l’hypoténuse [BC], et même au milieu de [BC] : en mesurant, on trouve IB = IC ≈ 3,6 cm.

De plus, I est sur la médiatrice de [AB], donc IA = IB, et sur la médiatrice de [AC], donc IA = IC : le point I est à la même distance des trois sommets.

La méthode est la même pour chaque segment :

1. on écarte le compas d’une longueur plus grande que la moitié du segment ;
2. on pique en une extrémité et on trace un arc de chaque côté du segment ;
3. sans changer l’écartement, on pique en l’autre extrémité et on trace deux arcs qui coupent les premiers ;
4. on relie les deux points d’intersection : cette droite est la médiatrice. Elle coupe le segment en son milieu, à angle droit.

Écartements possibles (plus grands que la moitié de chaque longueur) :

Pour vérifier : chaque médiatrice doit passer par le milieu du segment (par exemple à 2,3 cm de A pour [AB]) et former un angle droit avec lui (contrôle à l’équerre).

Un point appartient à la médiatrice d’un segment si et seulement s’il est à égale distance des deux extrémités du segment.

1. \(PA = PB = 5\ \text{cm}\) : le point \(P\) est à égale distance de \(A\) et de \(B\), donc \(P\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).
2. \(QA = 5\ \text{cm}\) et \(QB = 3\ \text{cm}\) : \(QA \neq QB\), donc \(Q\) n’appartient pas à la médiatrice de \([AB]\).
3. On pique le compas en \(A\) puis en \(B\) avec le même écartement (supérieur à \(3\ \text{cm}\)) pour tracer des arcs qui se coupent en deux points ; la droite qui joint ces deux points est la médiatrice. On constate qu’elle passe par \(P\) mais pas par \(Q\).

Les points à égale distance de \(A\) et de \(B\) sont sur la médiatrice de \([AB]\). La fontaine est donc à l’intersection de la route et de cette médiatrice.

1. On construit la médiatrice de \([AB]\) au compas (arcs de cercle de centres \(A\) et \(B\), de même rayon), puis on place \(F\) au point où elle coupe la route.
2. Sur le plan, on mesure \(FA = FB = 6{,}5\ \text{cm}\). Distance réelle :

\[ 6{,}5 \times 50 = 325 \]

La fontaine est à 325 m de chaque école.

1. La médiatrice coupe \([AB]\) en son milieu : \(M\) est le milieu de \([AB]\). Donc \[ AM = \dfrac{8}{2} = 4\ \text{cm}. \]
2. \(P\) est sur la médiatrice de \([AB]\), donc il est à égale distance de \(A\) et de \(B\) : \(PB = PA = \) \(5\ \text{cm}\).
3. Le périmètre est la somme des trois côtés : \[ PA + PB + AB = 5 + 5 + 8 = 18. \]Le périmètre du triangle \(PAB\) est \(18\ \text{cm}\).

1. On trace \([BC]\) de \(7\ \text{cm}\), puis le point \(A\) à \(6\ \text{cm}\) de \(B\) et à \(10\ \text{cm}\) de \(C\) (intersection de deux arcs de cercle). On construit enfin la médiatrice de \([BC]\) au compas ; elle coupe \([AC]\) en \(D\).
2. \(D\) est sur la médiatrice de \([BC]\), donc il est à égale distance de \(B\) et de \(C\) : \(DB = DC\).
3. Le périmètre du triangle \(ABD\) est \[ AB + BD + DA. \]Comme \(BD = DC\) et que \(D\) est sur \([AC]\) (donc \(DC + DA = AC\)) : \[ AB + DC + DA = AB + AC = 6 + 10 = 16. \]Le périmètre de \(ABD\) est bien \(16\ \text{cm}\).

1. On construit les deux médiatrices (équerre sur les milieux ou compas).
2. Elles se coupent en un point \(O\) qui est un nœud du quadrillage.
3. \(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\), donc \(OA = OB\) ; \(O\) est sur la médiatrice de \([BC]\), donc \(OB = OC\). On en déduit \[ OA = OB = OC = 5\ \text{carreaux}. \]Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(5\) carreaux passe par \(A\), \(B\) et \(C\).

Le ballon doit être posé en \(O\), à 5 carreaux de chaque ami.

1. On trace la médiatrice de \([AB]\) : elle passe par le milieu de \([AB]\) et lui est perpendiculaire (au compas, on construit deux points équidistants de \(A\) et \(B\) et on trace la droite qui les joint).
2. La médiatrice passe par les points \(C\), \(D\) et \(F\) ; les points \(E\) et \(G\) sont de part et d’autre de cette droite. Donc \(C\), \(D\) et \(F\) appartiennent à la médiatrice.
3. Par exemple, en piquant le compas en \(C\) avec l’écartement \(CA\), le cercle passe aussi par \(B\) : \(CA = CB\).

1. Le triangle est isocèle en \(A\), donc \(AB = AC\) : \(AC = 5\ \text{cm}\).
2. \(AB = AC\) : le point \(A\) est à égale distance de \(B\) et de \(C\), donc \(A\) appartient à la médiatrice de \([BC]\).
3. \(M\) est le milieu de \([BC]\) et \(A\) est sur la médiatrice, qui passe par le milieu de \([BC]\). La droite \((AM)\) est donc la médiatrice de \([BC]\). Elle est perpendiculaire à \([BC]\) et \[ BM = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{cm}. \]
4. Le périmètre est \[ AB + AC + BC = 5 + 5 + 6 = 16. \]Le périmètre du triangle \(ABC\) est \(16\ \text{cm}\).

1. Construction : on trace \([AC]\) de \(6\ \text{cm}\), puis deux arcs de même rayon (supérieur à \(3\ \text{cm}\)) centrés en \(A\) et en \(C\) ; la droite qui joint leurs points d’intersection est \((d)\), et elle coupe \([AC]\) en son milieu \(M\).
2. On reporte \(4\ \text{cm}\) à partir de \(M\) sur \((d)\) de chaque côté pour placer \(B\) et \(D\).
3. \(B\) et \(D\) sont sur la médiatrice de \([AC]\), donc ils sont à égale distance de \(A\) et de \(C\) : \(BA = BC\) et \(DA = DC\).
4. \((AC)\) est perpendiculaire à \((d)\) et passe par \(M\), milieu de \([BD]\) (car \(MB = MD\)) : c’est donc la médiatrice de \([BD]\). Le point \(A\) est sur cette médiatrice, donc \(AB = AD\).
5. On mesure \(AB = 5\ \text{cm}\). Comme \(AB = BC = CD = DA\), le quadrilatère \(ABCD\) a quatre côtés de même longueur : c’est un losange. Son périmètre est \[ 4 \times 5 = 20. \]Le périmètre de \(ABCD\) est \(20\ \text{cm}\).