Rotation : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : hexagone et rotation

Soit un hexagone régulier composé de six triangles équilatéraux. On considère les rotations de centre dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

a. La rotation d’angle $60^\circ$ transforme le triangle en .

$%0D%0ARotation\,de\,\,60^\circ\,%3A\,\triangle\,AOB\,\to\,\triangle\,BOC$

b. La rotation d’angle $240^\circ$ (soit $4\,\times \,60^\circ$ ) transforme le triangle en .

$%0D%0ARotation\,de\,\,240^\circ\,%3A\,\triangle\,AOB\,\to\,\triangle\,EOF$

c. La translation qui transforme en correspond à une translation du vecteur $\vec{CD}$ . Cette translation transforme le triangle en .

$%0D%0ATranslation\,\,\vec{CD}\,%3A\,\triangle\,AOB\,\to\,\triangle\,DEF$

Exercice 2 : rotation et hexagone
a. On considère la rotation de centre , d’angle $60^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

– Image du point :
$A\,\mapsto \,{60^\circ}\,B$

– Image du point :
$F\,\mapsto {60^\circ}\,E$

– Image du triangle :
$\triangle\,OBA\,\mapsto {60^\circ}\,\triangle\,OCB$

– Image du losange :
$%0D%0A\,\,Le\,losange\,$ODEF$\,devient\,le\,losange\,$OABC$.$

Le losange devient le losange .

b. On considère la rotation de centre , d’angle $60^\circ$ dans le sens des aiguilles d’une montre.

– Image du point :
$B\,\mapsto {60^\circ}\,A$

– Image du point :
$A\,\mapsto {60^\circ}\,F$

– Image du triangle :
$\triangle\,OBA\,\mapsto {60^\circ}\,\triangle\,OCB$

– Image du losange :

Le losange devient le losange (ou est le point qui se trouve dans la position de après une rotation de $60^\circ$ autour de ).

Exercice 3 : image par la rotation de centre O
a. Construis et , images de et par la rotation de centre , d’angle $70^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Pour obtenir les images de et par rotation de centre et d’angle $70^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens trigonométrique), traçons les points et respectivement.

b. Construis , et , images de , et par la rotation de centre , d’angle $45^\circ$ dans le sens des aiguilles d’une montre.

Pour obtenir les images de , et par rotation de centre et d’angle $45^\circ$ dans le sens des aiguilles d’une montre (sens horaire), traçons les points , et respectivement.

c. Décris la rotation permettant d’affirmer :
– que est l’image de .

Pour que soit l’image de , on observe la différence d’angle entre les positions de et après rotation. Comme est à un angle initial $\theta_1$ , après rotation de $70^\circ$ et $45^\circ$ , la position angulaire devient:
$\theta_1\,%2B\,70^\circ\,-\,45^\circ$

Pour , qui est à un angle initial $\theta_2$ , après rotation de $45^\circ$ , nous avons:
$\theta_2\,-\,45^\circ\,%2B\,70^\circ$

L’égalité des deux relations dépend de la configuration initiale de et . Si après calcul nous avons la même position angulaire, alors est bien l’image de .

– que est l’image de .

Pour que soit l’image de , considérons les rotations successives. Initialement, à l’angle $\phi_1$ , après une rotation de $70^\circ$ , devient:
$\phi_1\,%2B\,70^\circ$

Et , initialement à un angle $\phi_2$ , après rotation de $45^\circ$ , devient:
$\phi_2\,-\,45^\circ$

Pour cette affirmation être vraie, il faut que :
$\phi_1\,%2B\,70^\circ\,-\,45^\circ\,=\,\phi_2\,%2B\,25^\circ$

Ainsi, en trouvant la position angulaire équivalente, nous prouvons que est bien l’image de .

Exercice 4 : l’image d’un quadrilatère

a. Pour obtenir l’image du quadrilatère par la rotation de centre et d’angle $75^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre:

1. Rotation du point A
$A'\,=\,R_{B%2C75^\circ}(A)$

2. Rotation du point D
$D'\,=\,R_{B%2C75^\circ}(D)$

3. Rotation du point C
$C'\,=\,R_{B%2C75^\circ}(C)$

Étapes :
– Utilisez un rapporteur pour mesurer un angle de $75^\circ$ en sens inverse des aiguilles d’une montre à partir du point .
– Tracez les points , et .
– Reliez ces points pour former le quadrilatère .

b. Pour obtenir l’image du quadrilatère par la rotation de centre et d’angle $100^\circ$ dans le sens des aiguilles d’une montre:

1. Rotation du point A :
$A''\,=\,R_{O%2C-100^\circ}(A)$

2. Rotation du point B
$B''\,=\,R_{O%2C-100^\circ}(B)$

3. Rotation du point C
$C''\,=\,R_{O%2C-100^\circ}(C)$

4. Rotation du point D
$D''\,=\,R_{O%2C-100^\circ}(D)$

Étapes :
– Utilisez un rapporteur pour mesurer un angle de $100^\circ$ dans le sens des aiguilles d’une montre à partir du point .
– Tracez les points , , et .
– Reliez ces points pour former le quadrilatère .

Pour obtenir l’image du quadrilatère par la rotation de centre et d’angle $75^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre:

Rotation du point :
$%0D%0A\,\,\,\,A'\,=\,R_{B%2C75^\circ}(A)$
Rotation du point :
$%0D%0A\,\,\,\,D'\,=\,R_{B%2C75^\circ}(D)$
Rotation du point :
$%0D%0A\,\,\,\,C'\,=\,R_{B%2C75^\circ}(C)$

Pour obtenir l’image du quadrilatère par la rotation de centre et d’angle $100^\circ$ dans le sens des aiguilles d’une montre:

Rotation du point :
$%0D%0A\,\,\,\,A''\,=\,R_{O%2C-100^\circ}(A)$
Rotation du point :
$%0D%0A\,\,\,\,B''\,=\,R_{O%2C-100^\circ}(B)$
Rotation du point :
$%0D%0A\,\,\,\,C''\,=\,R_{O%2C-100^\circ}(C)$
Rotation du point :
$%0D%0A\,\,\,\,D''\,=\,R_{O%2C-100^\circ}(D)$

Exercice 5 : l’image d’un carré
a. Pour la rotation de centre D et d’angle $45^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre :

– Le sommet A se déplace en A’ tel que DA = DA’ et $\angle\,ADA'\,=\,45^\circ$ .
– Le sommet B se déplace en B’ tel que DB = DB’ et $\angle\,BDB'\,=\,45^\circ$ .
– Le sommet C se déplace en C’ tel que DC = DC’ et $\angle\,CDC'\,=\,45^\circ$ .
– Le sommet D reste fixe.

Ainsi, l’image du carré ABCD en rouge serait le carré A’B’C’D où D est en position initiale et les autres sommets sont définis par la rotation.

b. Pour la rotation de centre A et d’angle $135^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre :

– Le sommet B se déplace en B’ tel que AB = AB’ et $\angle\,BAB'\,=\,135^\circ$ .
– Le sommet C se déplace en C’ tel que AC = AC’ et $\angle\,CAC'\,=\,135^\circ$ .
– Le sommet D se déplace en D’ tel que AD = AD’ et $\angle\,DAD'\,=\,135^\circ$ .
– Le sommet A reste fixe.

Ainsi, l’image du carré ABCD en vert serait le carré A’B’C’D où A est en position initiale et les autres sommets sont définis par la rotation.

c. Pour déterminer l’angle de rotation permettant de passer du carré noir au carré vert via une rotation de centre A dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, il faut aditionner les angles de rotations des deux transformations mentionnées :

– Le carré noir à son image en vert nécessite une rotation de 45º (centre D) + 135º (centre A).

$%0D%0AAngle\,total\,=\,45^\circ\,%2B\,135^\circ\,=\,180^\circ$

d. Pour la rotation de centre I et d’angle $280^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre :

– Le sommet A se déplace en A’ tel que IA = IA’ et $\angle\,AIA'\,=\,280^\circ$ .
– Le sommet B se déplace en B’ tel que IB = IB’ et $\angle\,BIB'\,=\,280^\circ$ .
– Le sommet C se déplace en C’ tel que IC = IC’ et $\angle\,CIC'\,=\,280^\circ$ .
– Le sommet D se déplace en D’ tel que IDD = IDD’ et $\angle\,DIDD'\,=\,280^\circ$ .

Ainsi, l’image du carré ABCD en bleu serait un carré dont les sommets sont définis par les rotations décrites ci-dessus.

Exercice 6 : rotation et symétrie
a. Tracer l’image de par la rotation de centre et d’angle $180^\circ$ :

Pour réaliser une rotation de $180^\circ$ autour de , chaque point est déplacé à un nouveau point tel que se trouve au milieu du segment $%5BP\,P'%5D$ et que la longueur $BP\,=\,BP'$ .

En appliquant cela à pour trouver :

1. Calculons les coordonnées de .

Si a pour coordonnées et a pour coordonnées , nous avons:
$F_1\,%3A\,(2\,\times \,4\,-\,2%2C\,2\,\times \,2\,-\,3)\,=\,(6%2C\,1)$

Ainsi, est à $(6%2C\,1)$ .

La symétrie centrale permet de réaliser cette même transformation (symétrie centrale de centre ).

b. Tracer l’image de par la rotation de centre et d’angle $180^\circ$ :

1. Notons les coordonnées de comme étant $(6%2C\,1)$ et ayant les coordonnées $(8%2C\,6)$ .

$F_2\,%3A\,(2\,\times \,8\,-\,6%2C\,2\,\times \,6\,-\,1)\,=\,(10%2C\,11)$

Ainsi, est à $(10%2C\,11)$ .

c. Pour passer de à , nous réalisons deux rotations successives :

1. Une rotation de centre et d’angle $180^\circ$ .
2. Une rotation de centre et d’angle $180^\circ$ .

Par conséquent, la transformation de à est équivalente à une combinaison de ces deux rotations. Les points utilisés sont respectivement et comme centres de rotation.

Exercice 7 : déterminer le centre et l’angle d’une rotation
Pour déterminer le centre de la rotation, on trace les médiatrices des segments [AA’], [BB’] et [CC’]. Le point d’intersection de ces médiatrices sera le centre de rotation, noté .

Ensuite, pour déterminer l’angle de la rotation, on considère les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OA'}$ , où est le centre de la rotation. L’angle de la rotation est l’angle formé par ces deux vecteurs.

Voici la démarche détaillée :

Tracer les médiatrices des segments [AA’], [BB’] et [CC’].
Trouver le point d’intersection des médiatrices. Ce point est le centre de rotation .
Calculer l’angle $\theta$ formé par les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OA'}$ .

Soit $\theta$ l’angle de rotation (positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre). Pour calculer cet angle, on utilise la formule de l’angle entre deux vecteurs dans le plan :

$\cos(\theta)\,=\,\frac{\vec{OA}.\,\vec{OA'}}{\%7C\vec{OA}\%7C\,\%7C\vec{OA'}\%7C}$

En considérant que les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OA'}$ sont de même longueur (puisque est le centre de la rotation), on obtient :

$%0D%0A\cos(\theta)\,=\,\frac{\vec{OA}\,\cdot\,\vec{OA'}}{OA^2}$

L’angle $\theta$ est donc l’angle dont le cosinus est donné par cette expression. Pour déterminer la direction (sens inverse des aiguilles d’une montre ou sens des aiguilles d’une montre), on peut utiliser le produit vectoriel ou l’orientation générale des points A et A’ par rapport à O.

Pour simplifier, si on utilise la trigonométrie avec des coordonnées des points avant et après rotation, on pourrait illustrer ceci avec des coordonnées précises, mais sans les coordonnées exactes dans le diagramme, ce processus décrit la méthode générale de résolution.

Exercice 8 : construire les images de points par rotation
a. Les images des points , , , et par cette rotation de 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre peuvent être construites en procédant comme suit :

– est l’image de par une rotation de 60° autour de .
– est l’image de par une rotation de 60° autour de .
– est l’image de par une rotation de 60° autour de .
– est l’image de par une rotation de 60° autour de .
– est l’image de par une rotation de 60° autour de .

Parmi les points donnés,
$%0D%0A\,\,A'\,=\,image\,de\,\,A%2C\,\quad\,B'\,=\,image\,de\,\,B%2C\,\quad\,C'\,=\,image\,de\,\,C%2C\,\quad\,D'\,=\,image\,de\,\,D%2C\,\quad\,E'\,=\,image\,de\,\,E.$

b. et sont sur le cercle de centre et passant par . Donc, leurs images et sont également sur ce cercle. et sont sur une circonférence et après une rotation de 60°, leurs positions restent sur la même circonférence mais tournées de 60°.

c. et appartiennent à la droite . En appliquant une rotation de 60° autour de , les points et restent alignés mais leur position change suivant l’angle de rotation. Donc, les images de et seront toujours alignées avec , qui correspond à non modifié. Par conséquent, les images de et appartiennent aussi à une droite qui fait 60° avec la droite .

En résumé :
– Les images des points , , , et par une rotation de 60° autour de sont respectivement , , , et .
– Les images de et après rotation par 60° restent sur le cercle de centre passant par .
– Les images de et après rotation par 60° sont alignées sur une droite qui fait 60° avec la droite .

Exercice 9 : démonstration en géométrie
a. Voici la figure après avoir appliqué la rotation de 60° dans le sens inverse des aiguilles de la montre (les coordonnées des points avant et après la rotation peuvent être obtenues en utilisant les formules de rotation dans un plan complexe ou en traçant la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique) :

$%0D%0A\begin{array}{c}%0D%0ALes\,images\,des\,points\\%0D%0AA(A')\\%0D%0AB(B')\\%0D%0AC(C')\\%0D%0AD(D')\\%0D%0AE(E')%0D%0A\end{array}$

b. Si les points A et B sont sur le cercle de centre O et passant par A, alors les images de ces points par une rotation de centre O et d’angle 60° seront également sur ce cercle.

Cela signifie que les points A’ et B’ sont aussi sur le même cercle de centre O passant par A’.

c. Les points C et E appartenant à la droite $(OA)$. Après une rotation de centre O, les images C’ et E’ de ces points resteront alignées et appartiendront à une droite qui est l’image par la rotation de la droite (OA). Cette droite tournera elle-même de 60° autour du centre de rotation O.

Exercice 10 : construire l’image d’un poisson

a. Pour construire en rouge l’image du poisson par la rotation de centre et d’angle $60^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles du montre, en utilisant uniquement le compas:

1. Place la pointe sèche du compas sur .
2. Trace un arc de cercle passant par chaque sommet du poisson sur $60^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
3. Reporte chaque sommet du poisson sur les arcs de cercle correspondants.

Voici comment cela se représenterait :

(Le poisson original a des sommets $A%2C\,B%2C\,C%2C\,D%2C\,E%2C\,F$ )
– devient
– devient
– devient
– devient
– devient
– devient

Ensuite, trace le nouveau poisson avec les points $A'%2C\,B'%2C\,C'%2C\,D'%2C\,E'%2C\,F'$ .

b. Pour construire en vert l’image du poisson par la rotation de centre et d’angle $90^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles du montre, en utilisant uniquement l’équerre:

1. Place ton équerre sur de manière à former un angle $90^\circ$ .
2. Pour chaque sommet du poisson :
– Place l’équerre de telle sorte que l’un de ses côtés coïncide avec le segment -sommet.
– Trace une perpendiculaire à ce segment à l’aide de l’équerre (cela fera un angle de $90^\circ$ ).
3. Reporte chaque sommet du poisson sur les nouvelles lignes à la même distance que des anciens sommets.

Les nouveaux sommets seront alignés comme suit :

(Le poisson original a des sommets $A%2C\,B%2C\,C%2C\,D%2C\,E%2C\,F$ )
– devient
– devient
– devient
– devient
– devient
– devient

Ensuite, trace le nouveau poisson avec les points $A''%2C\,B''%2C\,C''%2C\,D''%2C\,E''%2C\,F''$ .

Exercice 11 : images et points alignés
a. Soit $(x%2C\,y)$ les coordonnées d’un point dans le plan. Lorsque ce point subit une rotation de 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine (), ses nouvelles coordonnées $(x'%2C\,y')$ deviennent :

$%0D%0A(x'%2C\,y')\,=\,(-y%2C\,x)$

Pour les points A, B, C et D, après cette rotation, leurs nouvelles coordonnées sont calculées comme suit :

– Point :

Si les coordonnées initiales de sont $(x_A%2C\,y_A)$ , alors après rotation :

$%0D%0AA'(x_A'%2C\,y_A')\,=\,(-y_A%2C\,x_A)$

– Point :

Si les coordonnées initiales de sont $(x_B%2C\,y_B)$ , alors après rotation :

$%0D%0AB'(x_B'%2C\,y_B')\,=\,(-y_B%2C\,x_B)$

– Point :

Si les coordonnées initiales de sont $(x_C%2C\,y_C)$ , alors après rotation :

$%0D%0AC'(x_C'%2C\,y_C')\,=\,(-y_C%2C\,x_C)$

– Point :

Si les coordonnées initiales de sont $(x_D%2C\,y_D)$ , alors après rotation :

$%0D%0AD'(x_D'%2C\,y_D')\,=\,(-y_D%2C\,x_D)$

b. Les points , , et sont alignés, ce qui signifie qu’ils se trouvent sur une même droite avant la rotation. L’application d’une rotation conserve les relations d’alignement. Par conséquent, les images des points , , et après la rotation seront également alignées sur une nouvelle droite qui sera la rotation de la droite initiale de 90° autour du centre . En d’autres termes, les images , , et seront alignées sur une droite perpendiculaire à la droite contenant , , et .

Exercice 12 : dix hexagones réguliers
a. La symétrie de centre échange les hexagones opposés par rapport à ce centre. Ainsi, l’hexagone 2 devient l’hexagone 9.

b. La symétrie d’axe la droite ne change pas la position de l’hexagone 4, donc son image reste l’hexagone 4.

c. La translation qui transforme en effectue un mouvement dans lequel l’hexagone 3 est déplacé d’une position vers la gauche et devient ainsi l’hexagone 4.

d. Une rotation de centre et d’angle $120^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre fait tourner l’hexagone 8 de deux positions vers la gauche, le transformant en l’hexagone 1.

Résumé :
$%0D%0A%0D%0A%26a.\,Hexagone\,2\,%26\,\to\,%26\\,Hexagone\,9\,\\%0D%0A%26b.\,Hexagone\,4\,%26\,\to\,%26\\,Hexagone\,4\,\\%0D%0A%26c.\,Hexagone\,3\,%26\,\to\,%26\\,Hexagone\,4\,\\%0D%0A%26d.\,Hexagone\,8\,%26\,\to\,%26\\,Hexagone\,1\,\\%0D%0A$

Exercice 13 : six losanges superposables
a. Par la translation qui transforme en , l’image du losange est le losange .

b. Par la symétrie orthogonale d’axe , l’image du losange est le losange .

c. Par la rotation de centre et d’angle $120^\circ$ dans le sens des aiguilles d’une montre, l’image du losange est le losange .

d. est l’image par la translation qui transforme en .

e. est l’image de par la rotation de centre et d’angle $240^\circ$ dans le sens des aiguilles d’une montre (ou $120^\circ$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre).

Exercice 14 : construction de la rotation d’un soulier
Pour la rotation de centre V et d’angle 90° dans le sens horaire :
Les coordonnées de V sont (7, 9).
Les formules de rotation sont

x’ = x_V + (y – y_V)
y’ = y_V – (x – x_V) \\
$\begin{array}{c%7Cc%7Cc%7Cc}%0A\text{Point}\,%26\,\text{Coordonn%C3%A9e\,initiale}\,(x%2C\,y)\,%26\,\text{Coordonn%C3%A9e\,Rot.\,}\,90^\circ\,(x'%2C\,y')\,\%0A\hline%0AA\,%26\,(8%2C\,12)\,%26\,(4%2C\,10)\,\%0AB\,%26\,(10%2C\,13)\,%26\,(3%2C\,12)\,\%0AC\,%26\,(9%2C\,11)\,%26\,(5%2C\,11)\,\%0AD\,%26\,(11%2C\,8)\,%26\,(8%2C\,13)\,\%0AE\,%26\,(10%2C\,9)\,%26\,(7%2C\,12)\,\%0AF\,%26\,(8%2C\,9)\,%26\,(7%2C\,10)\,\%0AG\,%26\,(7%2C\,10)\,%26\,(6%2C\,9)\,\%0AH\,%26\,(6%2C\,11)\,%26\,(5%2C\,8)\,\%0AI\,%26\,(7%2C\,11)\,%26\,(5%2C\,9)\,\%0A\end{array}$
\\
\text{Pour la rotation de centre } J \text{ et d’angle } 45^\circ \text{ dans le sens anti-horaire} : \\
\text{Les coordonnées de J sont } (18, 7). \\
\text{Les formules de rotation sont : }
\begin{cases}
x’ = x_J + (x – x_J)\cos(45^\circ) – (y – y_J)\sin(45^\circ) \\
y’ = y_J + (x – x_J)\sin(45^\circ) + (y – y_J)\cos(45^\circ) \\
\end{cases}
\\
\text{En utilisant } \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} : \\
\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Point} \text{Coordonnée initiale} (x, y) \text{Coordonnée Rot. } 45^\circ (x’, y’) \\
\hline
A (8, 12) (17 , 3) \quad \text{(Approx.)} \\
B (10, 13) (19 , 3) \quad \text{(Approx.)} \\
C (9, 11) (17 , 2) \quad \text{(Approx.)} \\
D (11, 8) (15 , 1) \quad \text{(Approx.)} \\
E (10, 9) (16 , 1) \quad \text{(Approx.)} \\
F (8, 9) (15 , 1) \quad \text{(Approx.)} \\
G (7, 10) (15 , 2) \quad \text{(Approx.)} \\
H (6, 11) (14 , 2) \quad \text{(Approx.)} \\
I (7, 11) (16 , 2) \quad \text{(Approx.)} \\
\end{array}
\\

\text{Pour la rotation de centre } K \text{ et d’angle } 60^\circ \text{ dans le sens anti-horaire} : \\
\text{Les coordonnées de K sont } (20, 15). \\
\text{Les formules de rotation sont : }
\begin{cases}
x’ = x_K + (x – x_K)\cos(60^\circ) – (y – y_K)\sin(60^\circ) \\
y’ = y_K + (x – x_K)\sin(60^\circ) + (y – y_K)\cos(60^\circ) \\
\end{cases}
\\
\text{En utilisant } \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \text{ et } \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} : \\
\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Point} \text{Coordonnée initiale} (x, y) \text{Coordonnée Rot. } 60^\circ (x’, y’) \\
\hline
A (8, 12) (19 , 18) \quad \text{(Approx.)} \\
B (10, 13) (22 , 18) \quad \text{(Approx.)} \\
C (9, 11) (19 , 18) \quad \text{(Approx.)} \\
D (11, 8) (19 , 20) \quad \text{(Approx.)} \\
E (10, 9) (19 , 19) \quad \text{(Approx.)} \\
F (8, 9) (18 , 19) \quad \text{(Approx.)} \\
G (7, 10) (18 , 20) \quad \text{(Approx.)} \\
H (6, 11) (17 , 20) \quad \text{(Approx.)} \\
I (7, 11) (19 , 21) \quad \text{(Approx.)} \\
\end{array}
\end{align*}

Exercice 15 : rotation d’un triangle
2. La mesure de l’angle $\widehat{C}$ est de $33.7^\circ$ . On nous l’indique dans la figure.

3. L’aire du triangle se calcule en utilisant la formule:

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$
$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,6\,\%2C\,cm\,\times \,4\,\%2C\,cm$
$Aire\,=\,12\,\%2C\,cm^2$

L’aire du secteur circulaire se calcule en utilisant la formule de l’aire d’un secteur circulaire, étant donné que cet angle fait $90^\circ$ :

$Aire\,du\,secteur\,=\,\frac{\theta}{360^\circ}\,\times \,\pi\,\times \,r^2$
$Aire\,du\,secteur\,=\,\frac{90^\circ}{360^\circ}\,\times \,\pi\,\times \,(4\,\%2C\,cm)^2$
$Aire\,du\,secteur\,=\,\frac{1}{4}\,\times \,\pi\,\times \,16\,\%2C\,cm^2$
$Aire\,du\,secteur\,\approx\,12.57\,\%2C\,cm^2$

L’aire totale de la figure est donc la somme de l’aire du triangle et de l’aire du secteur circulaire :

$Aire\,totale\,\approx\,12\,\%2C\,cm^2\,%2B\,12.57\,\%2C\,cm^2$
$Aire\,totale\,\approx\,24.57\,\%2C\,cm^2$

En arrondissant à l’unité près, l’aire totale de la figure est $25\,\%2C\,cm^2$ .

4. Pour déterminer la valeur de , il faut d’abord calculer la distance dans le triangle en utilisant le théorème de Pythagore:

$AC\,=\,\sqrt{AB^2\,%2B\,BC^2}$
$AC\,=\,\sqrt{4^2\,%2B\,6^2}$
$AC\,=\,\sqrt{16\,%2B\,36}$
$AC\,=\,\sqrt{52}$
$AC\,=\,2\sqrt{13}\,\%2C\,cm$

Après une rotation de $60^\circ$ , $B'C'\,=\,AC\,=\,2\sqrt{13}\,\%2C\,cm$ .

5. Puisque la rotation ne change pas l’aire de la figure, l’aire de la figure image est la même que celle de la figure initiale.

L’aire de la figure image est donc $25\,\%2C\,cm^2$ .

Exercice 16 : propriétés de la translation et de la rotation
1. La mesure de l’angle $\angle\,A'B'C'$ :

Sachant que est l’image de par une translation, les angles ne changent pas par une translation. Ainsi, $\angle\,A''B''C''\,=\,\angle\,ABC\,=\,130^\circ$ .

Pour la rotation, une rotation conserve également les angles. Par conséquent, l’angle formé ne change pas, donc $\angle\,A'B'C'\,=\,130^\circ$ .

$%0D%0A130^\circ$

2. Que peut-on dire des droites et ?

La translation est une transformation isométrique qui emporte chaque point d’un espace à une certaine distance et direction donnée. Puisqu’elles sont parallèles et de même longueur suite à une translation, et sont parallèles.

$%0D%0A(AB)\,\parallel\,(A''B'')$

3. Quelle est l’aire de en cm ?

La rotation est aussi une transformation isométrique, ce qui signifie qu’elle conserve les distances et les aires.

L’aire du parallélogramme est donnée par :

$%0D%0AAire\,=\,AB\,\times \,h\,=\,6\,\,cm\,\times \,4.6\,\,cm\,\sin(130^\circ)$

La hauteur , perpendiculaire à , est calculée comme :

$%0D%0Ah\,=\,4.6\,\,cm\,\sin(130^\circ)$

Calculons $\sin(130^\circ)$ :

$%0D%0A\sin(130^\circ)\,=\,\sin(180^\circ\,-\,50^\circ)\,=\,\sin(50^\circ)\,\approx\,0.766$

Donc,

$%0D%0Ah\,\approx\,4.6\,\,cm\,\times \,0.766\,\approx\,3.5236\,\,cm$

Ainsi, l’aire est :

$%0D%0AAire\,\approx\,6\,\,cm\,\times \,3.5236\,\,cm\,\approx\,21.1416\,\,cm^2$

L’aire de est donc la même que celle du parallélogramme original :

$%0D%0A21.14\,\,cm^2$

Exercice 17 : utiliser les propriétés de la rotation et de la translation
1. Pour obtenir l’image de cette figure par la translation qui transforme en , puis par la rotation de centre et d’angle $130^\circ$ dans le sens horaire :

– D’abord, effectuons la translation qui transforme en , ce qui nous donne , , et .

– Ensuite, effectuons la rotation de $130^\circ$ dans le sens horaire autour du centre .

Nous obtenons donc la nouvelle position des points après les deux transformations.

2. La mesure de l’angle $\widehat{B'A'C'}$ est inchangée par ces transformations parce que la translation et la rotation sont des isométries qui conservent les angles. Donc, l’angle $\widehat{B'A'C'}$ reste $50^\circ$ .

3. Calculer l’aire de la figure initiale (arrondir au cm) :

L’aire de la figure initiale (triangle ) est donnée par la formule de l’aire d’un triangle rectangle :

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,Base\,\times \,Hauteur$

Dans ce triangle, la base $AC\,=\,2.5\,\%2C\,cm$ et la hauteur $AB\,=\,3\,\%2C\,cm$ .

$Aire\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2.5\,\times \,3\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,7.5\,=\,3.75\,\%2C\,cm^2$

L’aire de la figure initiale est donc approximativement $4\,\%2C\,cm^2$ après arrondi au cm.

4. Quelle est l’aire de la figure translatée ? Justifier.

La figure translatée est simplement une image de la figure initiale sous des transformations isométriques (translation et rotation), qui conservent les distances et donc les aires. Par conséquent, l’aire de la figure translatée est la même que celle de la figure initiale, soit $3.75\,\%2C\,cm^2$ .

5. Que peut-on dire des droites et ? Justifier.

Les droites et sont parallèles.

La translation conserve le parallélisme, et la rotation autour d’un point conserve également le parallélisme entre les droites. Ainsi, si les droites et étaient parallèles avant toute transformation, elles le restent après les transformations réalisées. De plus, comme et sont les images respectives de et après translation puis rotation, la forme et l’orientation relative sont préservées.

Exercice 18 : image de la figure orange par rotation
Pour corriger cet exercice, nous devons déterminer les coordonnées des points de la figure orange après une rotation de 70° dans le sens horaire par rapport au centre . Le centre est l’origine du repère (0,0).

Les points de la figure initiale sont $A(a_x%2C\,a_y)$ , $B(b_x%2C\,b_y)$ , $C(c_x%2C\,c_y)$ , $D(d_x%2C\,d_y)$ et $E(e_x%2C\,e_y)$ . Nous allons appliquer une rotation de 70° dans le sens horaire en utilisant la matrice de rotation:

$%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A\cos(-70^\circ)\,%26\,-\sin(-70^\circ)\,\\%0D%0A\sin(-70^\circ)\,%26\,\cos(-70^\circ)%0D%0A\end{pmatrix}$

où $\theta\,=\,-70^\circ$ (car la rotation est dans le sens horaire).

Les nouvelles coordonnées $(x'%2C\,y')$ d’un point original $(x%2C\,y)$ après rotation sont données par :

$%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0Ax'\,\\%0D%0Ay'%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A\cos(-70^\circ)\,%26\,-\sin(-70^\circ)\,\\%0D%0A\sin(-70^\circ)\,%26\,\cos(-70^\circ)%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0Ax\,\\%0D%0Ay%0D%0A\end{pmatrix}$

Le cosinus et le sinus de -70° sont :

$%0D%0A\cos(-70^\circ)\,=\,\cos(70^\circ)$
$%0D%0A\sin(-70^\circ)\,=\,-\sin(70^\circ)$

Nous utilisons les valeurs approchées suivantes :
$%0D%0A\cos(70^\circ)\,\approx\,0.342\,\quad\,et\,\quad\,\sin(70^\circ)\,\approx\,0.939$

Pour le point $A(a_x%2C\,a_y)$ , les nouvelles coordonnées sont :

$%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0Aa'_x\,\\%0D%0Aa'_y%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A0.342\,%26\,0.939\,\\%0D%0A-0.939\,%26\,0.342%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0Aa_x\,\\%0D%0Aa_y%0D%0A\end{pmatrix}\,=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A0.342\,a_x\,%2B\,0.939\,a_y\,\\%0D%0A-0.939\,a_x\,%2B\,0.342\,a_y%0D%0A\end{pmatrix}$

En appliquant cela pour chaque point de la figure, nous obtenons les nouvelles coordonnées des points , , , , et .

Ainsi, après la rotation de 70° dans le sens horaire, les nouvelles coordonnées sont :

$%0D%0AA'(a'_x%2C\,a'_y)%2C\\,B'(b'_x%2C\,b'_y)%2C\\,C'(c'_x%2C\,c'_y)%2C\\,D'(d'_x%2C\,d'_y)%2C\\,E'(e'_x%2C\,e'_y)$

Finalement, nous construisons la nouvelle figure à partir des points , , , , et . En utilisant le résultat des coordonnées, nous sommes en mesure de dessiner l’image de la figure orange après la rotation spécifiée.

Exercice 19 : construire l’image par rotation
Correction de l’exercice de mathématiques :

Le problème consiste à construire l’image de la figure rouge par la rotation de centre et d’angle $130^\circ$ dans le sens horaire.

1. Dessiner les points , , et obtenus en rotatant respectivement , , et de $130^\circ$ autour de $\displaystyle\,O$ .
2. Connecter les points , , et pour former la figure correspondante à la figure initiale.

### Étape 1 : Calcul des coordonnées des points après rotation

Pour un point $\displaystyle\,M(x%2C\,y)$ et un centre de rotation $\displaystyle\,O(0%2C\,0)$ , les nouvelles coordonnées $\displaystyle\,M'(x'%2Cy')$ après une rotation d’angle $\theta$ sont données par :
$%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0Ax'\,\\\,%0D%0Ay'%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A\cos{\theta}\,%26\,\sin{\theta}\,\\%0D%0A-\sin{\theta}\,%26\,\cos{\theta}%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0Ax\,\\\,%0D%0Ay%0D%0A\end{pmatrix}$

Pour une rotation de $\displaystyle\,130^\circ$ (sens horaire), soit $\displaystyle\,-130^\circ$ (sens trigonométrique) :
$%0D%0A\theta\,=\,-130^\circ$
Ainsi,
$%0D%0A\cos(-130^\circ)\,=\,-\cos(130^\circ)%2C\%2C\,\sin(-130^\circ)\,=\,-\sin(130^\circ)$
En valeurs numériques approximatives :
$%0D%0A\cos(130^\circ)\,\approx\,-0.6428%2C\%2C\,\sin(130^\circ)\,\approx\,0.7660$

Coordonnées après rotation:
$%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A\cos(-130^\circ)\,%26\,\sin(-130^\circ)\,\\%0D%0A-\sin(-130^\circ)\,%26\,\cos(-130^\circ)%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-0.6428\,%26\,-0.7660\,\\%0D%0A0.7660\,%26\,-0.6428%0D%0A\end{pmatrix}$

#### Coordonnées des points de la figure initiale
$\displaystyle\,A(4%2C\,1)%2C\,B(1%2C\,1)%2C\,D(7%2C\,1)$

#### Images des points après rotation
$%0D%0APour\,\,A(4%2C\,1)%3A%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0Ax'\,\\\,%0D%0Ay'%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-0.6428\,%26\,-0.7660\,\\%0D%0A0.7660\,%26\,-0.6428%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A4\,\\\,%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-3.4352\,-0.7660\,\\%0D%0A3.0640\,-0.6428%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-4.2012\,\\\,%0D%0A2.4212%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\simeq\,%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-4.20\,\\\,%0D%0A2.42%0D%0A\end{pmatrix}$

$%0D%0APour\,\,B(1%2C\,1)%3A%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0Ax'\,\\\,%0D%0Ay'%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-0.6428\,%26\,-0.7660\,\\%0D%0A0.7660\,%26\,-0.6428%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A1\,\\\,%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-0.6428\,-0.7660\,\\%0D%0A0.7660\,-0.6428%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-1.4088\,\\\,%0D%0A0.1232%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\simeq\,%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-1.41\,\\\,%0D%0A0.12%0D%0A\end{pmatrix}$

$%0D%0APour\,\,D(7%2C\,1)%3A%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0Ax'\,\\\,%0D%0Ay'%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-0.6428\,%26\,-0.7660\,\\%0D%0A0.7660\,%26\,-0.6428%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A7\,\\\,%0D%0A1%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-4.4996\,-0.7660\,\\%0D%0A5.3620\,-0.6428%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A=%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-5.2656\,\\\,%0D%0A4.7192%0D%0A\end{pmatrix}%0D%0A\simeq\,%0D%0A\begin{pmatrix}%0D%0A-5.27\,\\\,%0D%0A4.72%0D%0A\end{pmatrix}$

### Étape 2 : Tracer la figure transformée

Les points transformés $A'(-4.20%2C\,2.42)$ , $B'(-1.41%2C\,0.12)$ , et $D'(-5.27%2C\,4.72)$ sont reliés pour obtenir la nouvelle figure.

### Résultat
Nous obtenons ainsi la nouvelle figure par rotation de $130^\circ$ de la figure rouge initiale.

Exercice 20 : propriétés et construction par rotation
1. La rotation de la figure de 55° dans le sens horaire autour du point crée l’image de chaque point. Cette rotation ne modifie pas la forme ou la taille des figures.

2. La valeur de après rotation reste inchangée, car une rotation conserve les distances. Donc, est toujours $3\,\,cm$ .

3. L’angle $\widehat{D'A'B'}$ est égal à l’angle $\widehat{DAB}$ car la rotation conserve les angles. Puisque la rotation n’a subi aucun changement angulaire interne :
$%0D%0A\,\,\,\widehat{D'A'B'}\,=\,\widehat{DAB}$

4. Calculons l’aire de la figure initiale (le carré et le demi-cercle autour de ) :

– Aire du carré :

$%0D%0A\,\,\,Aire\,du\,carre\,=\,cote^2\,=\,2\,\,cm\,\times \,3\,\,cm\,=\,6\,\,cm^2$

– Aire du demi-cercle :

$%0D%0A\,\,\,Aire\,du\,cercle\,=\,\pi\,\times \,r^2\,=\,\pi\,\times \,(1\,\,cm)^2\,=\,\pi\,\,cm^2$
$%0D%0A\,\,\,Aire\,du\,demi-cercle\,=\,\frac{\pi}{2}\,\,cm^2$

– Aire totale initiale :

$%0D%0A\,\,\,Aire\,totale\,initiale\,=\,Aire\,du\,carre\,%2B\,Aire\,du\,demi-cercle\,=\,6\,\,cm^2\,%2B\,\frac{\pi}{2}\,\,cm^2\,\approx\,6\,%2B\,1.57\,\approx\,7.57\,\,cm^2$

5. La valeur de l’aire de la figure après rotation est inchangée puisque la rotation ne modifie pas l’aire des figures.

$%0D%0A\,\,\,Valeur\,de\,l'aire\,de\,la\,figure\,image\,=\,7.6\,\,cm^2\,(arrondie\,au\,dixieme)$

Exercice 21 : justification à l’aides propriétés et construction
1. Pour construire l’image du triangle par la rotation d’angle $60^\circ$ dans le sens horaire autour du point , nous devons faire tourner chaque sommet , et de $60^\circ$ dans le sens horaire autour de . Voici la démarche :

– Tracez tel que $\angle\,AOA'\,=\,60^\circ$ dans le sens horaire et $OA'\,=\,OA$ .
– Tracez tel que $\angle\,BOB'\,=\,60^\circ$ dans le sens horaire et $OB'\,=\,OB$ .
– Tracez tel que $\angle\,COC'\,=\,60^\circ$ dans le sens horaire et $OC'\,=\,OC$ .

2. Pour construire l’image du triangle par la rotation d’angle $75^\circ$ dans le sens anti-horaire autour du point , nous devons faire tourner chaque sommet , et de $75^\circ$ dans le sens anti-horaire autour de . Voici la démarche :

– Tracez tel que $\angle\,AOA''\,=\,75^\circ$ dans le sens anti-horaire et $OA''\,=\,OA$ .
– Tracez tel que $\angle\,BOB''\,=\,75^\circ$ dans le sens anti-horaire et $OB''\,=\,OB$ .
– Tracez tel que $\angle\,COC''\,=\,75^\circ$ dans le sens anti-horaire et $OC''\,=\,OC$ .

3. est la longueur entre les points et qui sont les images des points et après une rotation de $60^\circ$ dans le sens horaire. La distance entre et est conservée car une rotation est une transformation isométrique. Donc, $A'B'\,=\,AB\,=\,4\%2C\,cm$ .

4. La mesure de l’angle $\angle\,C'A'B'$ est conservée dans une rotation. Puisque la rotation conserve les angles, $\angle\,C'A'B'$ est égale à l’angle original $\angle\,CAB$ . Ainsi, $\angle\,C'A'B'$ = $\angle\,CAB\,=\,130^\circ$ .

$%0D%0A%0D%0A\bullet\,%26\,\%3B\,A'B'\,=\,AB\,=\,4\%2C\,cm.\,\\%0D%0A\bullet\,%26\,\%3B\,\angle\,C'A'B'\,=\,\angle\,CAB\,=\,130^\circ.%0D%0A$

Exercice 22 : construire l’image et propriétés de la rotation
1. L’image de la figure verte par la rotation de centre et d’angle $80^\circ$ (sens horaire) est la figure orange.

2. Calculer la valeur de :
$%0D%0A\,\,\,AC\,\,est\,l'hypotenuse\,du\,triangle\,rectangle\,\,ABC.\,\,Donc%2C\,selon\,le\,theoreme\,de\,Pythagore%3A$
$%0D%0A\,\,\,AC\,=\,\sqrt{AB^2\,%2B\,BC^2}$
$%0D%0A\,\,\,AB\,=\,2{%2C}6\,\%2C\,cm\,\quad\,et\,\quad\,BC\,=\,4{%2C}2\,\%2C\,cm$
$%0D%0A\,\,\,AC\,=\,\sqrt{(2{%2C}6)^2\,%2B\,(4{%2C}2)^2}$
$%0D%0A\,\,\,AC\,\approx\,\sqrt{6{%2C}76\,%2B\,17{%2C}64}\,=\,\sqrt{24{%2C}4}$
$%0D%0A\,\,\,AC\,\approx\,4{%2C}9\,\%2C\,cm$

3. Calculer l’aire de la figure orange :
$%0D%0A\,\,\,La\,figure\,orange\,a\,ete\,obtenue\,par\,rotation\,de\,la\,figure\,verte.\,L'aire\,de\,la\,figure\,verte\,est\,%3A$
$%0D%0A\,\,\,(un\,demi-cercle\,de\,rayon\,\,4{%2C}2\,\%2C\,cm)\,%2B\,(un\,secteur\,circulaire)\,-\,(triangles)\,$
$%0D%0A\,\,\,A\,=\,aire\,du\,demi-cercle\,%2B\,aire\,du\,secteur\,circulaire\,-\,aire\,du\,triangle\,ABC$
$%0D%0A\,\,\,Aire\,du\,demi-cercle\,%3A\,\frac{1}{2}\,\pi\,(4{%2C}2)^2\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,17{%2C}64\,\approx\,27{%2C}68$
$%0D%0A\,\,\,Aire\,du\,secteur\,circulaire\,%3A\,\frac{80}{360}\,\pi\,(2{%2C}6)^2\,=\,\frac{80}{360}\,\pi\,\times \,6{%2C}76\,\approx\,3{%2C}78$
$%0D%0A\,\,\,Aire\,du\,triangle\,\,ABC\,%3A\,\frac{1}{2}\,\times \,AB\,\times \,BC\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2{%2C}6\,\times \,4{%2C}2\,=\,5%2C46$
$%0D%0A\,\,\,Aire\,totale\,\,\approx\,27{%2C}68\,%2B\,3{%2C}78\,-\,5{%2C}46\,\approx\,26%2C00\,\,cm^2$

4. Les droites et ne sont pas parallèles ni confondues, elles ne peuvent donc être similaires car une rotation change la direction.

5. La valeur de :
$%0D%0A\,\,\,Puisque\,la\,rotation\,conserve\,les\,distances\,\,AC\,=\,A'C'\,=\,4{%2C}9\,\,cm.$

6. La valeur de l’aire de la figure image est identique à celle de la figure verte, donc :
$%0D%0A\,\,\,Aire\,de\,la\,figure\,image\,\approx\,26%2C00\,\,cm^2.$

7. La valeur de l’angle $\angle\,A'B'C'$ est égale à celle de $\angle\,ABC$ car une rotation conserve les angles.
$%0D%0A\,\,\,\angle\,A'B'C'\,=\,\angle\,ABC\,=\,90^\circ.$

Exercice 23 : rotation et utilisation des propriétés
1. $Construire\,l'image\,de\,cette\,figure\,par\,la\,rotation\,de\,centre\,O\,et\,d'angle\,55%C2%B0\,dans\,le\,sens\,horaire.$

Pour construire l’image de la figure par la rotation :
– Tracer des cercles de centres les sommets A, B, C, D, E, F et de rayons les segments , , , , , .
– Construire l’angle 55° dans le sens horaire pour chaque sommet en utilisant un rapporteur.
– Positionner les images des points après rotation de 55° (nommés , , , , , ) aux intersections des cercles correspondants et des angles construits.

2. $Quelle\,est\,la\,valeur\,de\,D'C'%3F\,Justifier.$

En appliquant une rotation, les distances entre les points homologues restent inchangées. Donc la distance $D'C'\,=\,DC\,=\,4\,\,cm$ .

3. $Que\,peut-on\,dire\,des\,droites\,(AB)\,et\,(DC)\,%3F\,Justifier.$

Les droites et sont parallèles car les sommets , , et forment un trapèze rectangle avec les côtés non parallèles égaux.

4. $Calculer\,l'aire\,de\,la\,figure\,initiale.$

L’aire de la figure initiale est composée de deux parties :
– Un rectangle de dimensions 4 cm par 2 cm.
– Un triangle .

L’aire du rectangle est donnée par :

$%0D%0AAire_{rectangle}\,=\,Longueur\,\times \,Largeur\,=\,4\,\,cm\,\times \,2\,\,cm\,=\,8\,\,cm^2$

L’aire du triangle (base $BF\,=\,3\,\,cm$ et hauteur $EB\,=\,2\,\,cm$ car est perpendiculaire à ) est donnée par :

$%0D%0AAire_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,Base\,\times \,Hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,3\,\,cm\,\times \,2\,\,cm\,=\,3\,\,cm^2$

Donc, l’aire totale de la figure est :

$%0D%0AAire_{totale}\,=\,Aire_{rectangle}\,%2B\,Aire_{triangle}\,=\,8\,\,cm^2\,%2B\,3\,\,cm^2\,=\,11\,\,cm^2$

5. $Quelle\,est\,la\,valeur\,de\,l'aire\,de\,la\,figure\,image\,par\,cette\,rotation\,%3F\,Justifier.$

La rotation conserve les distances et les proportions. Ainsi, l’aire de la figure image par la rotation reste identique à celle de la figure initiale.

$%0D%0AAire_{image}\,=\,Aire_{initiale}\,=\,11\,\,cm^2$

Exercice 24 : disques, triangle rectangle et rotation
2. Calculons l’aire de cette figure (arrondie au dixième de cm²).

La figure est composée de deux cercles et un triangle rectangle.

– Aire du premier cercle (rayon $2\%2Ccm$ ) :
$%0D%0AAire_{cercle}\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,\times \,(2)^2\,=\,4\pi\,\approx\,12%2C6\%2Ccm^2$

– Aire du deuxième cercle (rayon $1%2C5\%2Ccm$ ) :
$%0D%0AAire_{cercle}\,=\,\pi\,r^2\,=\,\pi\,\times \,(1.5)^2\,=\,2%2C25\pi\,\approx\,7%2C1\%2Ccm^2$

– Aire du triangle rectangle (base $3\%2Ccm$ et hauteur $4\%2Ccm$ ) :
$%0D%0AAire_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,3\,\times \,4\,=\,6\%2Ccm^2$

Aire totale de la figure :
$%0D%0AAire_{totale}\,=\,12%2C6\,%2B\,7%2C1\,%2B\,6\,=\,25%2C7\%2Ccm^2$

3. Quelle est la valeur de ? Justifions.

Dans une rotation, les longueurs des segments sont conservées. La valeur de sera donc égale à la valeur de .

4. Quelle est la valeur de l’aire de la figure image ? Justifions.

Comme une rotation conserve les aires, l’aire de l’image de la figure sera égale à l’aire de la figure de départ, soit $25%2C7\%2Ccm^2$ .

Exercice 25 : triangles, calculs d’aires et rotation
1. La rotation de la figure de centre et d’angle $100^\circ$ (sens horaire). On remarque que chaque sommet du quadrilatère sera déplacé selon cet angle autour du point .

2. Calcul de l’aire de la figure initiale :

L’aire de la figure initiale (le polygone ) est la somme de deux triangles :
– L’aire de $\triangle\,ABD$
– L’aire de $\triangle\,EDC$

L’aire d’un triangle est donnée par la formule :
$A\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,base\,\times \,hauteur$

Pour $\triangle\,ABD$ :
$Base\,=\,AB\,=\,2\%2C\,cm$
$Hauteur\,=\,BD\,=\,4.5\%2C\,cm$
$A_{ABD}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,2\,\times \,4.5\,=\,4.5\%2C\,cm^2$

Pour $\triangle\,EDC$ :
$Base\,=\,DC\,=\,4\%2C\,cm$
$Hauteur\,=\,DE\,=\,3\%2C\,cm$
$A_{EDC}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,4\,\times \,3\,=\,6\%2C\,cm^2$

L’aire totale de la figure initiale :
$A_{total}\,=\,A_{ABD}\,%2B\,A_{EDC}\,=\,4.5\,%2B\,6\,=\,10.5\%2C\,cm^2$

3. Aire de la figure image :

La rotation est une transformation isométrique, ce qui signifie qu’elle conserve les distances et donc les aires. L’image de la figure aura donc la même aire que la figure initiale.
$Aire\,de\,la\,figure\,image\,=\,10.5\%2C\,cm^2$

4. Que peut-on dire des droites (A’B’) et (B’C’) ?

La rotation conserve les relations d’incidence et la perpendicularité. Puisque dans la figure initiale $AB\,\perp\,BC$ , après rotation de $100^\circ$ , cela reste vrai dans la figure image. Ainsi, les droites et seront aussi perpendiculaires.