Exercice 1 : hexagone et rotation
\[\]Correction de l’exercice :\[\]
Soit \(ABCDEF\) un hexagone régulier composé de six triangles équilatéraux. On considère les rotations de centre \(O\) dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
a. La rotation d’angle \(60^\circ\) transforme le triangle \(AOB\) en \(BOC\).
\[
\text{Rotation de } 60^\circ : \triangle AOB \to \triangle BOC
\]
b. La rotation d’angle \(240^\circ\) (soit \(4 \times 60^\circ\)) transforme le triangle \(AOB\) en \(EOF\).
\[
\text{Rotation de } 240^\circ : \triangle AOB \to \triangle EOF
\]
c. La translation qui transforme \(C\) en \(D\) correspond à une translation du vecteur \(\vec{CD}\). Cette translation transforme le triangle \(AOB\) en \(DEF\).
\[
\text{Translation } \vec{CD} : \triangle AOB \to \triangle DEF
\]
Exercice 2 : rotation et hexagone
a. On considère la rotation de centre \(O\), d’angle \(60^\circ\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
– Image du point \(A\):
\[
A \xmapsto []{60^\circ} B
\]
– Image du point \(F\):
\[
F \xmapsto []{60^\circ} E
\]
– Image du triangle \(OBA\):
\[
\triangle OBA \xmapsto []{60^\circ} \triangle OCB
\]
– Image du losange \(ODEF\):
\[
\text{Le losange \(ODEF\) devient le losange \(OABC\).}
\]
b. On considère la rotation de centre \(C\), d’angle \(60^\circ\) dans le sens des aiguilles d’une montre.
– Image du point \(B\):
\[
B \xmapsto []{60^\circ} A
\]
– Image du point \(A\):
\[
A \xmapsto []{60^\circ} F
\]
– Image du triangle \(OBA\):
\[
\triangle OBA \xmapsto []{60^\circ} \triangle OCB
\]
– Image du losange \(OABC\):
\[
\text{Le losange \(OABC\) devient le losange \(OEFG\) (où \(G\) est le point qui se trouve dans la position de \(F\) après une rotation de \(60^\circ\) autour de \(C\)).}
\]
Exercice 3 : image par la rotation de centre O
a. Construis \( A’ \) et \( D’ \), images de \( A \) et \( D \) par la rotation de centre \( O \), d’angle \( 70^\circ \) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Pour obtenir les images de \( A \) et \( D \) par rotation de centre \( O \) et d’angle \( 70^\circ \) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens trigonométrique), traçons les points \( A’ \) et \( D’ \) respectivement.
b. Construis \( B’ \), \( C’ \) et \( E’ \), images de \( B \), \( C \) et \( E \) par la rotation de centre \( O \), d’angle \( 45^\circ \) dans le sens des aiguilles d’une montre.
Pour obtenir les images de \( B \), \( C \) et \( E \) par rotation de centre \( O \) et d’angle \( 45^\circ \) dans le sens des aiguilles d’une montre (sens horaire), traçons les points \( B’ \), \( C’ \) et \( E’ \) respectivement.
c. Décris la rotation permettant d’affirmer :
– que \( C’ \) est l’image de \( D’ \).
Pour que \( C’ \) soit l’image de \( D’ \), on observe la différence d’angle entre les positions de \( C \) et \( D \) après rotation. Comme \( D \) est à un angle initial \( \theta_1 \), après rotation de \( 70^\circ \) et \( 45^\circ \), la position angulaire devient:
\[ \theta_1 + 70^\circ – 45^\circ \]
Pour \( C \), qui est à un angle initial \( \theta_2 \), après rotation de \( 45^\circ \), nous avons:
\[ \theta_2 – 45^\circ + 70^\circ \]
L’égalité des deux relations dépend de la configuration initiale de \( C \) et \( D \). Si après calcul nous avons la même position angulaire, alors \( C’ \) est bien l’image de \( D’ \).
– que \( B’ \) est l’image de \( A’ \).
Pour que \( B’ \) soit l’image de \( A’ \), considérons les rotations successives. Initialement, \( A \) à l’angle \( \phi_1 \), après une rotation de \( 70^\circ \), devient:
\[ \phi_1 + 70^\circ \]
Et \( B \), initialement à un angle \( \phi_2 \), après rotation de \( 45^\circ \), devient:
\[ \phi_2 – 45^\circ \]
Pour cette affirmation être vraie, il faut que :
\[ \phi_1 + 70^\circ – 45^\circ = \phi_2 + 25^\circ \]
Ainsi, en trouvant la position angulaire équivalente, nous prouvons que \( B’ \) est bien l’image de \( A’ \).
Exercice 4 : l’image d’un quadrilatère
\[\]Correction de l’exercice:\[\]
### Question a.
Pour obtenir l’image du quadrilatère \(ABCD\) par la rotation de centre \(B\) et d’angle \(75^\circ\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre:
1. \[\]Rotation du point \(A\) :\[\]
\[ A’ = R_{B,75^\circ}(A) \]
2. \[\]Rotation du point \(D\) :\[\]
\[ D’ = R_{B,75^\circ}(D) \]
3. \[\]Rotation du point \(C\) :\[\]
\[ C’ = R_{B,75^\circ}(C) \]
### Étapes :
– Utilisez un rapporteur pour mesurer un angle de \(75^\circ\) en sens inverse des aiguilles d’une montre à partir du point \(B\).
– Tracez les points \(A’ \), \(D’ \) et \(C’ \).
– Reliez ces points pour former le quadrilatère \( A’B’D’C’\).
### Question b.
Pour obtenir l’image du quadrilatère \(ABCD\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(100^\circ\) dans le sens des aiguilles d’une montre:
1. \[\]Rotation du point \(A\) :\[\]
\[ A » = R_{O,-100^\circ}(A) \]
2. \[\]Rotation du point \(B\) :\[\]
\[ B » = R_{O,-100^\circ}(B) \]
3. \[\]Rotation du point \(C\) :\[\]
\[ C » = R_{O,-100^\circ}(C) \]
4. \[\]Rotation du point \(D\) :\[\]
\[ D » = R_{O,-100^\circ}(D) \]
### Étapes :
– Utilisez un rapporteur pour mesurer un angle de \(100^\circ\) dans le sens des aiguilles d’une montre à partir du point \(O\).
– Tracez les points \(A » \), \(B » \), \(C » \) et \(D » \).
– Reliez ces points pour former le quadrilatère \( A »B »C »D »\).
### Note LaTeX:
Pour écrire en LaTeX :
« `latex
Pour obtenir l’image du quadrilatère \(ABCD\) par la rotation de centre \(B\) et d’angle \(75^\circ\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre:
Rotation du point \(A\) :
\[
A’ = R_{B,75^\circ}(A)
\]
Rotation du point \(D\) :
\[
D’ = R_{B,75^\circ}(D)
\]
Rotation du point \(C\) :
\[
C’ = R_{B,75^\circ}(C)
\]
Pour obtenir l’image du quadrilatère \(ABCD\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(100^\circ\) dans le sens des aiguilles d’une montre:
Rotation du point \(A\) :
\[
A » = R_{O,-100^\circ}(A)
\]
Rotation du point \(B\) :
\[
B » = R_{O,-100^\circ}(B)
\]
Rotation du point \(C\) :
\[
C » = R_{O,-100^\circ}(C)
\]
Rotation du point \(D\) :
\[
D » = R_{O,-100^\circ}(D)
\]
« `
Exercice 5 : l’image d’un carré
a. Pour la rotation de centre D et d’angle \(45^\circ\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre :
– Le sommet A se déplace en A’ tel que DA = DA’ et \(\angle ADA’ = 45^\circ\).
– Le sommet B se déplace en B’ tel que DB = DB’ et \(\angle BDB’ = 45^\circ\).
– Le sommet C se déplace en C’ tel que DC = DC’ et \(\angle CDC’ = 45^\circ\).
– Le sommet D reste fixe.
Ainsi, l’image du carré ABCD en rouge serait le carré A’B’C’D où D est en position initiale et les autres sommets sont définis par la rotation.
b. Pour la rotation de centre A et d’angle \(135^\circ\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre :
– Le sommet B se déplace en B’ tel que AB = AB’ et \(\angle BAB’ = 135^\circ\).
– Le sommet C se déplace en C’ tel que AC = AC’ et \(\angle CAC’ = 135^\circ\).
– Le sommet D se déplace en D’ tel que AD = AD’ et \(\angle DAD’ = 135^\circ\).
– Le sommet A reste fixe.
Ainsi, l’image du carré ABCD en vert serait le carré A’B’C’D où A est en position initiale et les autres sommets sont définis par la rotation.
c. Pour déterminer l’angle de rotation permettant de passer du carré noir au carré vert via une rotation de centre A dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, il faut aditionner les angles de rotations des deux transformations mentionnées :
– Le carré noir à son image en vert nécessite une rotation de 45º (centre D) + 135º (centre A).
\[
\text{Angle total} = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ
\]
d. Pour la rotation de centre I et d’angle \(280^\circ\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre :
– Le sommet A se déplace en A’ tel que IA = IA’ et \(\angle AIA’ = 280^\circ\).
– Le sommet B se déplace en B’ tel que IB = IB’ et \(\angle BIB’ = 280^\circ\).
– Le sommet C se déplace en C’ tel que IC = IC’ et \(\angle CIC’ = 280^\circ\).
– Le sommet D se déplace en D’ tel que IDD = IDD’ et \(\angle DIDD’ = 280^\circ\).
Ainsi, l’image du carré ABCD en bleu serait un carré dont les sommets sont définis par les rotations décrites ci-dessus.
Exercice 6 : rotation et symétrie
a. Tracer l’image \( F_1 \) de \( F \) par la rotation de centre \( B \) et d’angle \( 180^\circ \):
Pour réaliser une rotation de \( 180^\circ \) autour de \( B \), chaque point \( P \) est déplacé à un nouveau point \( P’ \) tel que \( B \) se trouve au milieu du segment \( [P P’] \) et que la longueur \( BP = BP’ \).
En appliquant cela à \( F \) pour trouver \( F_1 \):
1. Calculons les coordonnées de \( F_1 \).
Si \( F \) a pour coordonnées \( (2,3) \) et \( B \) a pour coordonnées \( (4,2) \), nous avons:
\[ F_1 : (2 \times 4 – 2, 2 \times 2 – 3) = (6, 1) \]
Ainsi, \( F_1 \) est à \( (6, 1) \).
La symétrie centrale permet de réaliser cette même transformation (symétrie centrale de centre \( B \)).
b. Tracer l’image \( F_2 \) de \( F_1 \) par la rotation de centre \( C \) et d’angle \( 180^\circ \):
1. Notons les coordonnées de \( F_1 \) comme étant \( (6, 1) \) et \( C \) ayant les coordonnées \( (8, 6) \).
\[ F_2 : (2 \times 8 – 6, 2 \times 6 – 1) = (10, 11) \]
Ainsi, \( F_2 \) est à \( (10, 11) \).
c. Pour passer de \( F \) à \( F_2 \), nous réalisons deux rotations successives :
1. Une rotation de centre \( B \) et d’angle \( 180^\circ \).
2. Une rotation de centre \( C \) et d’angle \( 180^\circ \).
Par conséquent, la transformation de \( F \) à \( F_2 \) est équivalente à une combinaison de ces deux rotations. Les points utilisés sont respectivement \( B \) et \( C \) comme centres de rotation.
Exercice 7 : déterminer le centre et l’angle d’une rotation
Pour déterminer le centre de la rotation, on trace les médiatrices des segments [AA’], [BB’] et [CC’]. Le point d’intersection de ces médiatrices sera le centre de rotation, noté \( O \).
Ensuite, pour déterminer l’angle de la rotation, on considère les vecteurs \(\vec{OA}\) et \(\vec{OA’}\), où \( O \) est le centre de la rotation. L’angle de la rotation est l’angle formé par ces deux vecteurs.
Voici la démarche détaillée :
Tracer les médiatrices des segments [AA’], [BB’] et [CC’].
Trouver le point d’intersection des médiatrices. Ce point est le centre de rotation \( O \).
Calculer l’angle \(\theta\) formé par les vecteurs \(\vec{OA}\) et \(\vec{OA’}\).
Soit \( \theta \) l’angle de rotation (positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre). Pour calculer cet angle, on utilise la formule de l’angle entre deux vecteurs dans le plan :
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OA’}}{\|\vec{OA}\| \|\vec{OA’}\|}
\]
En considérant que les vecteurs \(\vec{OA}\) et \(\vec{OA’}\) sont de même longueur (puisque \( O \) est le centre de la rotation), on obtient :
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OA’}}{OA^2}
\]
L’angle \(\theta\) est donc l’angle dont le cosinus est donné par cette expression. Pour déterminer la direction (sens inverse des aiguilles d’une montre ou sens des aiguilles d’une montre), on peut utiliser le produit vectoriel ou l’orientation générale des points A et A’ par rapport à O.
Pour simplifier, si on utilise la trigonométrie avec des coordonnées des points avant et après rotation, on pourrait illustrer ceci avec des coordonnées précises, mais sans les coordonnées exactes dans le diagramme, ce processus décrit la méthode générale de résolution.
Exercice 8 : construire les images de points par rotation
a. Les images des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\) par cette rotation de 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre peuvent être construites en procédant comme suit :
– \(A’\) est l’image de \(A\) par une rotation de 60° autour de \(O\).
– \(B’\) est l’image de \(B\) par une rotation de 60° autour de \(O\).
– \(C’\) est l’image de \(C\) par une rotation de 60° autour de \(O\).
– \(D’\) est l’image de \(D\) par une rotation de 60° autour de \(O\).
– \(E’\) est l’image de \(E\) par une rotation de 60° autour de \(O\).
Parmi les points donnés,
\[
A’ = \text{image de } A, \quad B’ = \text{image de } B, \quad C’ = \text{image de } C, \quad D’ = \text{image de } D, \quad E’ = \text{image de } E.
\]
b. \(A\) et \(B\) sont sur le cercle de centre \(O\) et passant par \(A\). Donc, leurs images \(A’\) et \(B’\) sont également sur ce cercle. \(A\) et \(B\) sont sur une circonférence et après une rotation de 60°, leurs positions restent sur la même circonférence mais tournées de 60°.
c. \(C\) et \(E\) appartiennent à la droite \((OA)\). En appliquant une rotation de 60° autour de \(O\), les points \(C’\) et \(E’\) restent alignés mais leur position change suivant l’angle de rotation. Donc, les images de \(C\) et \(E\) seront toujours alignées avec \(O’\), qui correspond à \(O\) non modifié. Par conséquent, les images de \(C\) et \(E\) appartiennent aussi à une droite qui fait 60° avec la droite \((OA)\).
En résumé :
\- Les images des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\) par une rotation de 60° autour de \(O\) sont respectivement \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) et \(E’\).
\- Les images de \(A\) et \(B\) après rotation par 60° restent sur le cercle de centre \(O\) passant par \(A’\).
\- Les images de \(C\) et \(E\) après rotation par 60° sont alignées sur une droite qui fait 60° avec la droite \((OA)\).
Exercice 9 : démonstration en géométrie
a. Voici la figure après avoir appliqué la rotation de 60° dans le sens inverse des aiguilles de la montre (les coordonnées des points avant et après la rotation peuvent être obtenues en utilisant les formules de rotation dans un plan complexe ou en traçant la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique) :
\[\]
\begin{array}{c}
\text{Les images des points}\\
A(A’)\\
B(B’)\\
C(C’)\\
D(D’)\\
E(E’)
\end{array}
\[\]
b. Si les points \[A\] et \[B\] sont sur le cercle de centre \[O\] et passant par \[A\], alors les images de ces points par une rotation de centre \[O\] et d’angle 60° seront également sur ce cercle. Cela signifie que les points \[A’\] et \[B’\] sont aussi sur le même cercle de centre \[O\] passant par \[A’\].
c. Les points \[C\] et \[E\] appartenant à la droite \[(OA)\]. Après une rotation de centre \[O\], les images \[C’\] et \[E’\] de ces points resteront alignées et appartiendront à une droite qui est l’image par la rotation de la droite \[(OA)\]. Cette droite tournera elle-même de 60° autour du centre de rotation \[O\].
Exercice 10 : construire l’image d’un poisson
\[\]Correction de l’exercice:\[\]
a. Pour construire en rouge l’image du poisson par la rotation de centre \( O \) et d’angle \( 60^\circ \) dans le sens inverse des aiguilles du montre, en utilisant uniquement le compas:
1. Place la pointe sèche du compas sur \( O \).
2. Trace un arc de cercle passant par chaque sommet du poisson sur \( 60^\circ \) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
3. Reporte chaque sommet du poisson sur les arcs de cercle correspondants.
Voici comment cela se représenterait :
(Le poisson original a des sommets \( A, B, C, D, E, F \))
– \( A \) devient \( A’ \)
– \( B \) devient \( B’ \)
– \( C \) devient \( C’ \)
– \( D \) devient \( D’ \)
– \( E \) devient \( E’ \)
– \( F \) devient \( F’ \)
Ensuite, trace le nouveau poisson avec les points \( A’, B’, C’, D’, E’, F’ \).
b. Pour construire en vert l’image du poisson par la rotation de centre \( O \) et d’angle \( 90^\circ \) dans le sens inverse des aiguilles du montre, en utilisant uniquement l’équerre:
1. Place ton équerre sur \( O \) de manière à former un angle \( 90^\circ \).
2. Pour chaque sommet du poisson :
– Place l’équerre de telle sorte que l’un de ses côtés coïncide avec le segment \( O \)-sommet.
– Trace une perpendiculaire à ce segment à l’aide de l’équerre (cela fera un angle de \( 90^\circ \)).
3. Reporte chaque sommet du poisson sur les nouvelles lignes à la même distance que \( O \) des anciens sommets.
Les nouveaux sommets seront alignés comme suit :
(Le poisson original a des sommets \( A, B, C, D, E, F \))
– \( A \) devient \( A » \)
– \( B \) devient \( B » \)
– \( C \) devient \( C » \)
– \( D \) devient \( D » \)
– \( E \) devient \( E » \)
– \( F \) devient \( F » \)
Ensuite, trace le nouveau poisson avec les points \( A », B », C », D », E », F » \).
Exercice 11 : images et points alignés
a. Soit \((x, y)\) les coordonnées d’un point dans le plan. Lorsque ce point subit une rotation de 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine \(O\) (\(0,0\)), ses nouvelles coordonnées \((x’, y’)\) deviennent :
\[
(x’, y’) = (-y, x)
\]
Pour les points A, B, C et D, après cette rotation, leurs nouvelles coordonnées sont calculées comme suit :
– Point \(A\):
Si les coordonnées initiales de \(A\) sont \((x_A, y_A)\), alors après rotation :
\[
A'(x_A’, y_A’) = (-y_A, x_A)
\]
– Point \(B\):
Si les coordonnées initiales de \(B\) sont \((x_B, y_B)\), alors après rotation :
\[
B'(x_B’, y_B’) = (-y_B, x_B)
\]
– Point \(C\):
Si les coordonnées initiales de \(C\) sont \((x_C, y_C)\), alors après rotation :
\[
C'(x_C’, y_C’) = (-y_C, x_C)
\]
– Point \(D\):
Si les coordonnées initiales de \(D\) sont \((x_D, y_D)\), alors après rotation :
\[
D'(x_D’, y_D’) = (-y_D, x_D)
\]
b. Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont alignés, ce qui signifie qu’ils se trouvent sur une même droite avant la rotation. L’application d’une rotation conserve les relations d’alignement. Par conséquent, les images des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) après la rotation seront également alignées sur une nouvelle droite qui sera la rotation de la droite initiale de 90° autour du centre \(O\). En d’autres termes, les images \(A’\), \(B’\), \(C’\) et \(D’\) seront alignées sur une droite perpendiculaire à la droite contenant \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
Exercice 12 : dix hexagones réguliers
a. La symétrie de centre \( I \) échange les hexagones opposés par rapport à ce centre. Ainsi, l’hexagone 2 devient l’hexagone 9.
b. La symétrie d’axe la droite \( (AB) \) ne change pas la position de l’hexagone 4, donc son image reste l’hexagone 4.
c. La translation qui transforme \( C \) en \( E \) effectue un mouvement dans lequel l’hexagone 3 est déplacé d’une position vers la gauche et devient ainsi l’hexagone 4.
d. Une rotation de centre \( A \) et d’angle \( 120^\circ \) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre fait tourner l’hexagone 8 de deux positions vers la gauche, le transformant en l’hexagone 1.
Résumé :
\[
\begin{aligned}
&\text{a. Hexagone 2} & \to &\ \text{Hexagone 9} \\
&\text{b. Hexagone 4} & \to &\ \text{Hexagone 4} \\
&\text{c. Hexagone 3} & \to &\ \text{Hexagone 4} \\
&\text{d. Hexagone 8} & \to &\ \text{Hexagone 1} \\
\end{aligned}
\]
Exercice 13 : six losanges superposables
a. Par la translation qui transforme \(A\) en \(O\), l’image du losange \(ALOB\) est le losange \(OLHJ\).
b. Par la symétrie orthogonale d’axe \((OB)\), l’image du losange \(ALOB\) est le losange \(BOCD\).
c. Par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(120^\circ\) dans le sens des aiguilles d’une montre, l’image du losange \(ALOB\) est le losange \(FOGE\).
d. \(ALOB\) est l’image \(OHGF\) par la translation qui transforme \(H\) en \(B\).
e. \(KJOL\) est l’image de \(ALOB\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(240^\circ\) dans le sens des aiguilles d’une montre (ou \(120^\circ\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre).
Exercice 14 : construction de la rotation d’un soulier
\begin{align*}
\text{Pour la rotation de centre } V \text{ et d’angle } 90^\circ \text{ dans le sens horaire} : \\
&\text{Les coordonnées de V sont } (7, 9). \\
&\text{Les formules de rotation sont : }
\begin{cases}
x’ = x_V + (y – y_V) \\
y’ = y_V – (x – x_V) \\
\end{cases}
\\
&\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Point} & \text{Coordonnée initiale} (x, y) & \text{Coordonnée Rot. } 90^\circ (x’, y’) \\
\hline
A & (8, 12) & (4, 10) \\
B & (10, 13) & (3, 12) \\
C & (9, 11) & (5, 11) \\
D & (11, 8) & (8, 13) \\
E & (10, 9) & (7, 12) \\
F & (8, 9) & (7, 10) \\
G & (7, 10) & (6, 9) \\
H & (6, 11) & (5, 8) \\
I & (7, 11) & (5, 9) \\
\end{array}
\\
\text{Pour la rotation de centre } J \text{ et d’angle } 45^\circ \text{ dans le sens anti-horaire} : \\
&\text{Les coordonnées de J sont } (18, 7). \\
&\text{Les formules de rotation sont : }
\begin{cases}
x’ = x_J + (x – x_J)\cos(45^\circ) – (y – y_J)\sin(45^\circ) \\
y’ = y_J + (x – x_J)\sin(45^\circ) + (y – y_J)\cos(45^\circ) \\
\end{cases}
\\
&\text{En utilisant } \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} : \\
&\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Point} & \text{Coordonnée initiale} (x, y) & \text{Coordonnée Rot. } 45^\circ (x’, y’) \\
\hline
A & (8, 12) & (17 , 3) \quad \text{(Approx.)} \\
B & (10, 13) & (19 , 3) \quad \text{(Approx.)} \\
C & (9, 11) & (17 , 2) \quad \text{(Approx.)} \\
D & (11, 8) & (15 , 1) \quad \text{(Approx.)} \\
E & (10, 9) & (16 , 1) \quad \text{(Approx.)} \\
F & (8, 9) & (15 , 1) \quad \text{(Approx.)} \\
G & (7, 10) & (15 , 2) \quad \text{(Approx.)} \\
H & (6, 11) & (14 , 2) \quad \text{(Approx.)} \\
I & (7, 11) & (16 , 2) \quad \text{(Approx.)} \\
\end{array}
\\
\text{Pour la rotation de centre } K \text{ et d’angle } 60^\circ \text{ dans le sens anti-horaire} : \\
&\text{Les coordonnées de K sont } (20, 15). \\
&\text{Les formules de rotation sont : }
\begin{cases}
x’ = x_K + (x – x_K)\cos(60^\circ) – (y – y_K)\sin(60^\circ) \\
y’ = y_K + (x – x_K)\sin(60^\circ) + (y – y_K)\cos(60^\circ) \\
\end{cases}
\\
&\text{En utilisant } \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \text{ et } \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} : \\
&\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Point} & \text{Coordonnée initiale} (x, y) & \text{Coordonnée Rot. } 60^\circ (x’, y’) \\
\hline
A & (8, 12) & (19 , 18) \quad \text{(Approx.)} \\
B & (10, 13) & (22 , 18) \quad \text{(Approx.)} \\
C & (9, 11) & (19 , 18) \quad \text{(Approx.)} \\
D & (11, 8) & (19 , 20) \quad \text{(Approx.)} \\
E & (10, 9) & (19 , 19) \quad \text{(Approx.)} \\
F & (8, 9) & (18 , 19) \quad \text{(Approx.)} \\
G & (7, 10) & (18 , 20) \quad \text{(Approx.)} \\
H & (6, 11) & (17 , 20) \quad \text{(Approx.)} \\
I & (7, 11) & (19 , 21) \quad \text{(Approx.)} \\
\end{array}
\end{align*}
Exercice 15 : rotation d’un triangle
2. La mesure de l’angle \(\widehat{C}\) est de \(33.7^\circ\). On nous l’indique dans la figure.
3. L’aire du triangle \(ABC\) se calcule en utilisant la formule:
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 6 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} \]
\[ \text{Aire} = 12 \, \text{cm}^2 \]
L’aire du secteur circulaire \(AOB\) se calcule en utilisant la formule de l’aire d’un secteur circulaire, étant donné que cet angle fait \(90^\circ\) :
\[ \text{Aire du secteur} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2 \]
\[ \text{Aire du secteur} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (4 \, \text{cm})^2 \]
\[ \text{Aire du secteur} = \frac{1}{4} \times \pi \times 16 \, \text{cm}^2 \]
\[ \text{Aire du secteur} \approx 12.57 \, \text{cm}^2 \]
L’aire totale de la figure est donc la somme de l’aire du triangle et de l’aire du secteur circulaire :
\[ \text{Aire totale} \approx 12 \, \text{cm}^2 + 12.57 \, \text{cm}^2 \]
\[ \text{Aire totale} \approx 24.57 \, \text{cm}^2 \]
En arrondissant à l’unité près, l’aire totale de la figure est \(25 \, \text{cm}^2\).
4. Pour déterminer la valeur de \(B’C’\), il faut d’abord calculer la distance \(AC\) dans le triangle \(ABC\) en utilisant le théorème de Pythagore:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
\[ AC = \sqrt{4^2 + 6^2} \]
\[ AC = \sqrt{16 + 36} \]
\[ AC = \sqrt{52} \]
\[ AC = 2\sqrt{13} \, \text{cm} \]
Après une rotation de \(60^\circ\), \(B’C’ = AC = 2\sqrt{13} \, \text{cm}\).
5. Puisque la rotation ne change pas l’aire de la figure, l’aire de la figure image est la même que celle de la figure initiale.
L’aire de la figure image est donc \(25 \, \text{cm}^2\).
Exercice 16 : propriétés de la translation et de la rotation
1. La mesure de l’angle \( \angle A’B’C’ \):
Sachant que \( A »B »C »D » \) est l’image de \( ABCD \) par une translation, les angles ne changent pas par une translation. Ainsi, \( \angle A »B »C » = \angle ABC = 130^\circ \).
Pour la rotation, une rotation conserve également les angles. Par conséquent, l’angle formé ne change pas, donc \( \angle A’B’C’ = 130^\circ \).
\[
\boxed{130^\circ}
\]
2. Que peut-on dire des droites \( (AB) \) et \( (A »B ») \) ?
La translation est une transformation isométrique qui emporte chaque point d’un espace à une certaine distance et direction donnée. Puisqu’elles sont parallèles et de même longueur suite à une translation, \( (AB) \) et \( (A »B ») \) sont parallèles.
\[
(AB) \parallel (A »B »)
\]
3. Quelle est l’aire de \( A’B’C’D’ \) en cm\(^2\) ?
La rotation est aussi une transformation isométrique, ce qui signifie qu’elle conserve les distances et les aires.
L’aire du parallélogramme \( ABCD \) est donnée par :
\[
\text{Aire} = AB \times h = 6 \text{ cm} \times 4.6 \text{ cm} \sin(130^\circ)
\]
La hauteur \( h \), perpendiculaire à \( AB \), est calculée comme :
\[
h = 4.6 \text{ cm} \sin(130^\circ)
\]
Calculons \( \sin(130^\circ) \) :
\[
\sin(130^\circ) = \sin(180^\circ – 50^\circ) = \sin(50^\circ) \approx 0.766
\]
Donc,
\[
h \approx 4.6 \text{ cm} \times 0.766 \approx 3.5236 \text{ cm}
\]
Ainsi, l’aire est :
\[
\text{Aire} \approx 6 \text{ cm} \times 3.5236 \text{ cm} \approx 21.1416 \text{ cm}^2
\]
L’aire de \( A’B’C’D’ \) est donc la même que celle du parallélogramme original \( ABCD \) :
\[
\boxed{21.14 \text{ cm}^2}
\]
Exercice 17 : utiliser les propriétés de la rotation et de la translation
1. Pour obtenir l’image de cette figure par la translation qui transforme \( E \) en \( F \), puis par la rotation de centre \( O \) et d’angle \( 130^\circ \) dans le sens horaire :
– D’abord, effectuons la translation qui transforme \( E \) en \( F \), ce qui nous donne \( A’ \), \( B’ \), et \( C’ \).
– Ensuite, effectuons la rotation de \( 130^\circ \) dans le sens horaire autour du centre \( O \).
Nous obtenons donc la nouvelle position des points après les deux transformations.
2. La mesure de l’angle \( \widehat{B’A’C’} \) est inchangée par ces transformations parce que la translation et la rotation sont des isométries qui conservent les angles. Donc, l’angle \( \widehat{B’A’C’} \) reste \( 50^\circ \).
3. Calculer l’aire de la figure initiale (arrondir au cm\(^2\)) :
L’aire de la figure initiale (triangle \( ABC \)) est donnée par la formule de l’aire d’un triangle rectangle :
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} \]
Dans ce triangle, la base \( AC = 2.5 \, \text{cm} \) et la hauteur \( AB = 3 \, \text{cm} \).
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 3 = \frac{1}{2} \times 7.5 = 3.75 \, \text{cm}^2 \]
L’aire de la figure initiale est donc approximativement \( 4 \, \text{cm}^2 \) après arrondi au cm\(^2\).
4. Quelle est l’aire de la figure translatée ? Justifier.
La figure translatée est simplement une image de la figure initiale sous des transformations isométriques (translation et rotation), qui conservent les distances et donc les aires. Par conséquent, l’aire de la figure translatée est la même que celle de la figure initiale, soit \( 3.75 \, \text{cm}^2 \).
5. Que peut-on dire des droites \( (AB) \) et \( (A’B’) \) ? Justifier.
Les droites \( (AB) \) et \( (A’B’) \) sont parallèles.
La translation conserve le parallélisme, et la rotation autour d’un point \( O \) conserve également le parallélisme entre les droites. Ainsi, si les droites \( (AB) \) et \( (A’B’) \) étaient parallèles avant toute transformation, elles le restent après les transformations réalisées. De plus, comme \( A’ \) et \( B’ \) sont les images respectives de \( A \) et \( B \) après translation puis rotation, la forme et l’orientation relative sont préservées.
Exercice 18 : image de la figure orange par rotation
Pour corriger cet exercice, nous devons déterminer les coordonnées des points de la figure orange après une rotation de 70° dans le sens horaire par rapport au centre \( O \). Le centre \( O \) est l’origine du repère (0,0).
Les points de la figure initiale sont \( A(a_x, a_y) \), \( B(b_x, b_y) \), \( C(c_x, c_y) \), \( D(d_x, d_y) \) et \( E(e_x, e_y) \). Nous allons appliquer une rotation de 70° dans le sens horaire en utilisant la matrice de rotation:
\[
\begin{pmatrix}
\cos(-70^\circ) & -\sin(-70^\circ) \\
\sin(-70^\circ) & \cos(-70^\circ)
\end{pmatrix}
\]
où \( \theta = -70^\circ \) (car la rotation est dans le sens horaire).
Les nouvelles coordonnées \((x’, y’)\) d’un point original \((x, y)\) après rotation sont données par :
\[
\begin{pmatrix}
x’ \\
y’
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos(-70^\circ) & -\sin(-70^\circ) \\
\sin(-70^\circ) & \cos(-70^\circ)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\]
Le cosinus et le sinus de -70° sont :
\[
\cos(-70^\circ) = \cos(70^\circ)
\]
\[
\sin(-70^\circ) = -\sin(70^\circ)
\]
Nous utilisons les valeurs approchées suivantes :
\[
\cos(70^\circ) \approx 0.342 \quad \text{et} \quad \sin(70^\circ) \approx 0.939
\]
Pour le point \( A(a_x, a_y) \), les nouvelles coordonnées sont :
\[
\begin{pmatrix}
a’_x \\
a’_y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.342 & 0.939 \\
-0.939 & 0.342
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0.342 a_x + 0.939 a_y \\
-0.939 a_x + 0.342 a_y
\end{pmatrix}
\]
En appliquant cela pour chaque point de la figure, nous obtenons les nouvelles coordonnées des points \( A’ \), \( B’ \), \( C’ \), \( D’ \), et \( E’ \).
Ainsi, après la rotation de 70° dans le sens horaire, les nouvelles coordonnées sont :
\[
A'(a’_x, a’_y),\ B'(b’_x, b’_y),\ C'(c’_x, c’_y),\ D'(d’_x, d’_y),\ E'(e’_x, e’_y)
\]
Finalement, nous construisons la nouvelle figure à partir des points \( A’ \), \( B’ \), \( C’ \), \( D’ \), et \( E’ \). En utilisant le résultat des coordonnées, nous sommes en mesure de dessiner l’image de la figure orange après la rotation spécifiée.
Exercice 19 : construire l’image par rotation
Correction de l’exercice de mathématiques :
Le problème consiste à construire l’image de la figure rouge par la rotation de centre \( O \) et d’angle \( 130^\circ \) dans le sens horaire.
1. Dessiner les points \( A’ \), \( B’ \), et \( D’ \) obtenus en rotatant respectivement \( A \), \( B \), et \( D \) de \( 130^\circ \) autour de \(\displaystyle O \).
2. Connecter les points \( B’ \), \( A’ \), et \( D’ \) pour former la figure correspondante à la figure initiale.
### Étape 1 : Calcul des coordonnées des points après rotation
Pour un point \( \displaystyle M(x, y) \) et un centre de rotation \( \displaystyle O(0, 0) \), les nouvelles coordonnées \( \displaystyle M'(x’,y’) \) après une rotation d’angle \(\theta\) sont données par :
\[
\begin{pmatrix}
x’ \\
y’
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos{\theta} & \sin{\theta} \\
-\sin{\theta} & \cos{\theta}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\]
Pour une rotation de \(\displaystyle 130^\circ \) (sens horaire), soit \(\displaystyle -130^\circ \) (sens trigonométrique) :
\[
\theta = -130^\circ
\]
Ainsi,
\[
\cos(-130^\circ) = -\cos(130^\circ),\, \sin(-130^\circ) = -\sin(130^\circ)
\]
En valeurs numériques approximatives :
\[
\cos(130^\circ) \approx -0.6428,\, \sin(130^\circ) \approx 0.7660
\]
Coordonnées après rotation:
\[
\begin{pmatrix}
\cos(-130^\circ) & \sin(-130^\circ) \\
-\sin(-130^\circ) & \cos(-130^\circ)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.6428 & -0.7660 \\
0.7660 & -0.6428
\end{pmatrix}
\]
#### Coordonnées des points de la figure initiale
\( \displaystyle A(4, 1), B(1, 1), D(7, 1) \)
#### Images des points après rotation
\[
\text{Pour } A(4, 1):
\begin{pmatrix}
x’ \\
y’
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.6428 & -0.7660 \\
0.7660 & -0.6428
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3.4352 -0.7660 \\
3.0640 -0.6428
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-4.2012 \\
2.4212
\end{pmatrix}
\simeq
\begin{pmatrix}
-4.20 \\
2.42
\end{pmatrix}
\]
\[
\text{Pour } B(1, 1):
\begin{pmatrix}
x’ \\
y’
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.6428 & -0.7660 \\
0.7660 & -0.6428
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.6428 -0.7660 \\
0.7660 -0.6428
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1.4088 \\
0.1232
\end{pmatrix}
\simeq
\begin{pmatrix}
-1.41 \\
0.12
\end{pmatrix}
\]
\[
\text{Pour } D(7, 1):
\begin{pmatrix}
x’ \\
y’
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.6428 & -0.7660 \\
0.7660 & -0.6428
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
7 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-4.4996 -0.7660 \\
5.3620 -0.6428
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-5.2656 \\
4.7192
\end{pmatrix}
\simeq
\begin{pmatrix}
-5.27 \\
4.72
\end{pmatrix}
\]
### Étape 2 : Tracer la figure transformée
Les points transformés \( A'(-4.20, 2.42) \), \( B'(-1.41, 0.12) \), et \( D'(-5.27, 4.72) \) sont reliés pour obtenir la nouvelle figure.
### Résultat
Nous obtenons ainsi la nouvelle figure par rotation de \(130^\circ\) de la figure rouge initiale.
Exercice 20 : propriétés et construction par rotation
1. La rotation de la figure de 55° dans le sens horaire autour du point \( O \) crée l’image de chaque point. Cette rotation ne modifie pas la forme ou la taille des figures.
2. La valeur de \( D’C’ \) après rotation reste inchangée, car une rotation conserve les distances. Donc, \( D’C’ \) est toujours \( 3 \text{ cm} \).
3. L’angle \( \widehat{D’A’B’} \) est égal à l’angle \( \widehat{DAB} \) car la rotation conserve les angles. Puisque la rotation n’a subi aucun changement angulaire interne :
\[
\widehat{D’A’B’} = \widehat{DAB}
\]
4. Calculons l’aire de la figure initiale (le carré \( ABCD \) et le demi-cercle autour de \( AB \)) :
– Aire du carré \( ABCD \):
\[
\text{Aire du carré} = \text{côté}^2 = 2 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2
\]
– Aire du demi-cercle :
\[
\text{Aire du cercle} = \pi \times r^2 = \pi \times (1 \text{ cm})^2 = \pi \text{ cm}^2
\]
\[
\text{Aire du demi-cercle} = \frac{\pi}{2} \text{ cm}^2
\]
– Aire totale initiale :
\[
\text{Aire totale initiale} = \text{Aire du carré} + \text{Aire du demi-cercle} = 6 \text{ cm}^2 + \frac{\pi}{2} \text{ cm}^2 \approx 6 + 1.57 \approx 7.57 \text{ cm}^2
\]
5. La valeur de l’aire de la figure après rotation est inchangée puisque la rotation ne modifie pas l’aire des figures.
\[
\text{Valeur de l’aire de la figure image} = 7.6 \text{ cm}^2 (arrondie au dixième)
\]
Exercice 21 : justification à l’aides propriétés et construction
1. Pour construire l’image du triangle \(ABC\) par la rotation d’angle \(60^\circ\) dans le sens horaire autour du point \(O\), nous devons faire tourner chaque sommet \(A\), \(B\) et \(C\) de \(60^\circ\) dans le sens horaire autour de \(O\). Voici la démarche :
– Tracez \(OA’\) tel que \(\angle AOA’ = 60^\circ\) dans le sens horaire et \(OA’ = OA\).
– Tracez \(OB’\) tel que \(\angle BOB’ = 60^\circ\) dans le sens horaire et \(OB’ = OB\).
– Tracez \(OC’\) tel que \(\angle COC’ = 60^\circ\) dans le sens horaire et \(OC’ = OC\).
2. Pour construire l’image du triangle \(ABC\) par la rotation d’angle \(75^\circ\) dans le sens anti-horaire autour du point \(O\), nous devons faire tourner chaque sommet \(A\), \(B\) et \(C\) de \(75^\circ\) dans le sens anti-horaire autour de \(O\). Voici la démarche :
– Tracez \(A »\) tel que \(\angle AOA » = 75^\circ\) dans le sens anti-horaire et \(OA » = OA\).
– Tracez \(B »\) tel que \(\angle BOB » = 75^\circ\) dans le sens anti-horaire et \(OB » = OB\).
– Tracez \(C »\) tel que \(\angle COC » = 75^\circ\) dans le sens anti-horaire et \(OC » = OC\).
3. \(A’B’\) est la longueur entre les points \(A’\) et \(B’\) qui sont les images des points \(A\) et \(B\) après une rotation de \(60^\circ\) dans le sens horaire. La distance entre \(A’\) et \(B’\) est conservée car une rotation est une transformation isométrique. Donc, \(A’B’ = AB = 4\, \text{cm}\).
4. La mesure de l’angle \(\angle C’A’B’\) est conservée dans une rotation. Puisque la rotation conserve les angles, \(\angle C’A’B’\) est égale à l’angle original \(\angle CAB\). Ainsi, \(\angle C’A’B’\) = \(\angle CAB = 130^\circ\).
\[
\begin{aligned}
\bullet & \; A’B’ = AB = 4\, \text{cm}. \\
\bullet & \; \angle C’A’B’ = \angle CAB = 130^\circ.
\end{aligned}
\]
Exercice 22 : construire l’image et propriétés de la rotation
1. L’image de la figure verte par la rotation de centre \( O \) et d’angle \( 80^\circ \) (sens horaire) est la figure orange.
2. Calculer la valeur de \( AC \) :
\[
AC \text{ est l’hypoténuse du triangle rectangle } ABC. \text{ Donc, selon le théorème de Pythagore:}
\]
\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}
\]
\[
AB = 2{,}6 \, \text{cm} \quad \text{et} \quad BC = 4{,}2 \, \text{cm}
\]
\[
AC = \sqrt{(2{,}6)^2 + (4{,}2)^2}
\]
\[
AC \approx \sqrt{6{,}76 + 17{,}64} = \sqrt{24{,}4}
\]
\[
AC \approx 4{,}9 \, \text{cm}
\]
3. Calculer l’aire de la figure orange :
\[
\text{La figure orange a été obtenue par rotation de la figure verte. L’aire de la figure verte est :}
\]
\[
\text{(un demi-cercle de rayon } 4{,}2 \, \text{cm)} + \text{(un secteur circulaire) – (triangles)}
\]
\[
\text{A} = \text{aire du demi-cercle} + \text{aire du secteur circulaire} – \text{aire du triangle ABC}
\]
\[
\text{Aire du demi-cercle} : \frac{1}{2} \pi (4{,}2)^2 = \frac{1}{2} \pi \times 17{,}64 \approx 27{,}68
\]
\[
\text{Aire du secteur circulaire} : \frac{80}{360} \pi (2{,}6)^2 = \frac{80}{360} \pi \times 6{,}76 \approx 3{,}78
\]
\[
\text{Aire du triangle } ABC : \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 2{,}6 \times 4{,}2 = 5,46
\]
\[
\text{Aire totale } \approx 27{,}68 + 3{,}78 – 5{,}46 \approx 26,00 \text{ cm}^2
\]
4. Les droites \( (AB) \) et \( (A’B’) \) ne sont pas parallèles ni confondues, elles ne peuvent donc être similaires car une rotation change la direction.
5. La valeur de \( A’C’ \) :
\[
\text{Puisque la rotation conserve les distances } AC = A’C’ = 4{,}9 \text{ cm}.
\]
6. La valeur de l’aire de la figure image est identique à celle de la figure verte, donc :
\[
\text{Aire de la figure image} \approx 26,00 \text{ cm}^2.
\]
7. La valeur de l’angle \( \angle A’B’C’ \) est égale à celle de \( \angle ABC \) car une rotation conserve les angles.
\[
\angle A’B’C’ = \angle ABC = 90^\circ.
\]
Exercice 23 : rotation et utilisation des propriétés
1. \[\]Construire l’image de cette figure par la rotation de centre O et d’angle 55° dans le sens horaire.\[\]
Pour construire l’image de la figure par la rotation :
– Tracer des cercles de centres les sommets A, B, C, D, E, F et de rayons les segments \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(OD\), \(OE\), \(OF\).
– Construire l’angle 55° dans le sens horaire pour chaque sommet en utilisant un rapporteur.
– Positionner les images des points après rotation de 55° (nommés \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\), \(E’\), \(F’\)) aux intersections des cercles correspondants et des angles construits.
2. \[\]Quelle est la valeur de D’C’? Justifier.\[\]
En appliquant une rotation, les distances entre les points homologues restent inchangées. Donc la distance \(D’C’ = DC = 4 \text{ cm}\).
3. \[\]Que peut-on dire des droites (AB) et (DC) ? Justifier.\[\]
Les droites \((AB)\) et \((DC)\) sont parallèles car les sommets \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) forment un trapèze rectangle avec les côtés non parallèles égaux.
4. \[\]Calculer l’aire de la figure initiale.\[\]
L’aire de la figure initiale est composée de deux parties :
– Un rectangle \(ABCD\) de dimensions 4 cm par 2 cm.
– Un triangle \( EBF \).
L’aire du rectangle est donnée par :
\[
\text{Aire}_{\text{rectangle}} = \text{Longueur} \times \text{Largeur} = 4 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 8 \text{ cm}^2
\]
L’aire du triangle \(EBF\) (base \(BF = 3 \text{ cm}\) et hauteur \(EB = 2 \text{ cm}\) car \(EB\) est perpendiculaire à \(BF\)) est donnée par :
\[
\text{Aire}_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} = \frac{1}{2} \times 3 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 3 \text{ cm}^2
\]
Donc, l’aire totale de la figure est :
\[
\text{Aire}_{\text{totale}} = \text{Aire}_{\text{rectangle}} + \text{Aire}_{\text{triangle}} = 8 \text{ cm}^2 + 3 \text{ cm}^2 = 11 \text{ cm}^2
\]
5. \[\]Quelle est la valeur de l’aire de la figure image par cette rotation ? Justifier.\[\]
La rotation conserve les distances et les proportions. Ainsi, l’aire de la figure image par la rotation reste identique à celle de la figure initiale.
\[
\text{Aire}_{\text{image}} = \text{Aire}_{\text{initiale}} = 11 \text{ cm}^2
\]
Exercice 24 : disques, triangle rectangle et rotation
2. Calculons l’aire de cette figure (arrondie au dixième de cm²).
La figure est composée de deux cercles et un triangle rectangle.
– Aire du premier cercle (rayon \(2\,\text{cm}\)) :
\[
\text{Aire}_{\text{cercle}} = \pi r^2 = \pi \times (2)^2 = 4\pi \approx 12,6\,\text{cm}^2
\]
– Aire du deuxième cercle (rayon \(1,5\,\text{cm}\)) :
\[
\text{Aire}_{\text{cercle}} = \pi r^2 = \pi \times (1.5)^2 = 2,25\pi \approx 7,1\,\text{cm}^2
\]
– Aire du triangle rectangle (base \(3\,\text{cm}\) et hauteur \(4\,\text{cm}\)) :
\[
\text{Aire}_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\,\text{cm}^2
\]
Aire totale de la figure :
\[
\text{Aire}_{\text{totale}} = 12,6 + 7,1 + 6 = 25,7\,\text{cm}^2
\]
3. Quelle est la valeur de \(A’B’\)? Justifions.
Dans une rotation, les longueurs des segments sont conservées. La valeur de \(A’B’\) sera donc égale à la valeur de \(AB\).
4. Quelle est la valeur de l’aire de la figure image ? Justifions.
Comme une rotation conserve les aires, l’aire de l’image de la figure sera égale à l’aire de la figure de départ, soit \(25,7\,\text{cm}^2\).
Exercice 25 : triangles, calculs d’aires et rotation
1. La rotation de la figure de centre \(O\) et d’angle \(100^\circ\) (sens horaire). On remarque que chaque sommet du quadrilatère sera déplacé selon cet angle autour du point \(O\).
2. Calcul de l’aire de la figure initiale :
L’aire de la figure initiale (le polygone \(ABEDC\)) est la somme de deux triangles :
– L’aire de \(\triangle ABD\)
– L’aire de \(\triangle EDC\)
L’aire d’un triangle est donnée par la formule :
\[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
Pour \(\triangle ABD\) :
\[ \text{Base} = AB = 2\, \text{cm} \]
\[ \text{Hauteur} = BD = 4.5\, \text{cm} \]
\[ A_{ABD} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4.5 = 4.5\, \text{cm}^2 \]
Pour \(\triangle EDC\) :
\[ \text{Base} = DC = 4\, \text{cm} \]
\[ \text{Hauteur} = DE = 3\, \text{cm} \]
\[ A_{EDC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\, \text{cm}^2 \]
L’aire totale de la figure initiale :
\[ A_{\text{total}} = A_{ABD} + A_{EDC} = 4.5 + 6 = 10.5\, \text{cm}^2 \]
3. Aire de la figure image :
La rotation est une transformation isométrique, ce qui signifie qu’elle conserve les distances et donc les aires. L’image de la figure aura donc la même aire que la figure initiale.
\[ \text{Aire de la figure image} = 10.5\, \text{cm}^2 \]
4. Que peut-on dire des droites (A’B’) et (B’C’) ?
La rotation conserve les relations d’incidence et la perpendicularité. Puisque dans la figure initiale \(AB \perp BC\), après rotation de \(100^\circ\), cela reste vrai dans la figure image. Ainsi, les droites \((A’B’)\) et \((B’C’)\) seront aussi perpendiculaires.
\[ \text{(A’B’)} \perp \text{(B’C’)} \]
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