Les équations : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 1 : résolution d’équations.
a.
$4\,%2B\,x\,=\,-7$
$x\,=\,-7\,-\,4$
$x\,=\,-11$

b.
$6\,-\,x\,=\,13$
$-x\,=\,13\,-\,6$
$-x\,=\,7$
$x\,=\,-7$

c.
$4x\,-\,2\,=\,10$
$4x\,=\,10\,%2B\,2$
$4x\,=\,12$
$x\,=\,\frac{12}{4}$
$x\,=\,3$

d.
$5x\,%2B\,2\,=\,8x\,-\,3$
$5x\,-\,8x\,=\,-3\,-\,2$
$-3x\,=\,-5$
$x\,=\,\frac{5}{3}$

e.
$2(3b\,%2B\,7)\,=\,4(-2b\,%2B\,1)$
$6b\,%2B\,14\,=\,-8b\,%2B\,4$
$6b\,%2B\,8b\,=\,4\,-\,14$
$14b\,=\,-10$
$b\,=\,\frac{-10}{14}$
$b\,=\,\frac{-5}{7}$

Exercice 2 : problème – équations.
Nous devons résoudre la pyramide en utilisant les informations données.

1. Complétons la pyramide.

La bulle en haut est égale à la somme des deux bulles en dessous:
$9\,=\,a\,%2B\,b$

La bulle en bas à gauche est , celle à droite est et celle du milieu est .

La bulle juste au-dessus de ces trois est la somme des deux bulles en dessous:
$a\,=\,x\,%2B\,5$
$b\,=\,5\,%2B\,3x$

2. Trouvons la valeur de .

Nous avons:
$9\,=\,(x\,%2B\,5)\,%2B\,(5\,%2B\,3x)$
Simplifions cette équation:
$9\,=\,x\,%2B\,5\,%2B\,5\,%2B\,3x$
$9\,=\,4x\,%2B\,10$

Soustrayons 10 des deux côtés:
$9\,-\,10\,=\,4x$
$-1\,=\,4x$

Divisons par 4:
$x\,=\,-\frac{1}{4}$

La valeur de est donc $-\frac{1}{4}$ .

Exercice 3 : test des solutions d’une équation
1.a. Calculons la valeur de x-3 pour x = -8 :
x – 3 = -8 – 3
= -11
1.b. Calculons la valeur de 2x + 5 pour x = -8 :
2x + 5 = 2(-8) + 5
= -16 + 5
= -11

2. Que peut-on en déduire ?

On peut déduire que pour x = -8, l’équation x – 3 = 2x + 5 est vérifiée car les deux expressions valent -11.

Exercice 4 : chameaux et dromadaires
Soit le nombre de chameaux et le nombre de dromadaires.

On sait que :
1. Le nombre total de têtes est de 180.
2. Le nombre total de bosses est de 304.

Cela se traduit par le système d’équations suivant :

$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,180\,\\%0D%0A2x\,%2B\,y\,=\,304%0D%0A\end{cases}$

Pour résoudre ce système d’équations, nous pouvons soustraire la première équation de la deuxième :

$(2x\,%2B\,y)\,-\,(x\,%2B\,y)\,=\,304\,-\,180$

Cela donne :

$x\,=\,124$

En substituant $x\,=\,124$ dans la première équation :

$124\,%2B\,y\,=\,180$

Nous trouvons :

$y\,=\,56$

Par conséquent, il y a chameaux et dromadaires.

La solution finale est donc :

124 chameaux et 56 dromadaires.

Exercice 5 : prix d’un cd
Soit le prix d’un CD.

Le coût total des petits pains est :
$5\,\times \,0%2C50\,=\,2%2C50$ €

Le coût total des deux CD est :
$2\,\times \,P\,=\,2P$

On sait que la somme de ces deux dépenses doit être égale à 6,70 euros. On a donc l’équation suivante :
$2%2C50\,%2B\,2P\,=\,6%2C70$

Pour isoler , on soustrait 2,50 de chaque côté de l’équation :
$2P\,=\,6%2C70\,-\,2%2C50$

Cela nous donne :
$2P\,=\,4%2C20$

Pour trouver , on divise chaque côté de l’équation par 2 :
$P\,=\,\frac{4%2C20}{2}$

Finalement, on obtient :
$P\,=\,2%2C10\,\,euros$

Ainsi, le prix d’un CD est de 2,10 euros.

Exercice 6 : professeur de musique et équations
Soit le nombre de CD que le professeur peut acheter.

Le professeur dispose de 65€. Il veut acheter 4 cassettes à 5,20€ chacune, ce qui coûte :
$4\,\times \,5\,%2C\,20\,=\,20\,%2C\,80$

Il lui reste donc :
$65\,-\,20{%2C}80\,=\,44{%2C}20$ €

Le prix d’un CD est de 8,50€.

Le nombre de CD qu’il peut acheter est donc donné par :
$\frac{44{%2C}20}{8{%2C}50}\,\approx\,5{%2C}2$

En prenant la partie entière, on obtient :
$\lfloor\,5{%2C}2\,\rfloor\,=\,5$

Ainsi, le professeur de musique peut acheter 5 CD.

Exercice 7 : trouver un nombre
Soit le nombre que l’on cherche.

L’énoncé nous dit que le triple de moins 30 est égal à 3, ce qui peut être exprimé par l’équation suivante :
$3a\,-\,30\,=\,3$

Pour résoudre cette équation, nous devons d’abord ajouter 30 aux deux membres :
$3a\,-\,30\,%2B\,30\,=\,3\,%2B\,30$
$3a\,=\,33$

Ensuite, nous divisons chaque membre par 3 :
$\frac{3a}{3}\,=\,\frac{33}{3}$
$a\,=\,11$

Donc, le nombre est .

Exercice 8 : nombre pensé au départ
Soit le nombre pensé au départ.

1. On lui ajoute 20 :
$x\,%2B\,20$

2. Puis on double le résultat :
$2(x\,%2B\,20)$

3. On obtient ainsi :
$2(x\,%2B\,20)\,=\,2x\,%2B\,40$

4. On nous dit que ce résultat est égal à 10 fois le nombre de départ :
$2x\,%2B\,40\,=\,10x$

5. Résolvons l’équation pour :
$2x\,%2B\,40\,=\,10x$
$40\,=\,10x\,-\,2x$
$40\,=\,8x$
$x\,=\,\frac{40}{8}$
$x\,=\,5$

Le nombre pensé au départ est donc .

Exercice 9 : balance à deux plateaux
Soit la masse de chaque cube en grammes.

Pour le plateau de gauche, nous avons :
$3m\,%2B\,200\,%2B\,50\,=\,3m\,%2B\,250$

Pour le plateau de droite, nous avons :
$2m\,%2B\,200\,%2B\,200\,%2B\,50\,=\,2m\,%2B\,450$

Étant donné que la balance est en équilibre, les deux expressions sont égales :
$3m\,%2B\,250\,=\,2m\,%2B\,450$

Résolvons cette équation pour :
$3m\,%2B\,250\,=\,2m\,%2B\,450$
$3m\,-\,2m\,=\,450\,-\,250$
$m\,=\,200$

Ainsi, la masse d’un cube est de grammes.

Exercice 10 : hauteur et aire de polygones
Pour résoudre cet exercice, nous devons déterminer la hauteur des quatre polygones afin de satisfaire la condition donnée.

D’abord, notons que les polygones sont un carré, un rectangle, un triangle isocèle, et un trapèze isocèle. Soit la hauteur commune des quatre polygones.

### Calcul des aires des polygones :

1. $Aire\,du\,carre$ :
$A_{carre}\,=\,h^2$

2. $5\,\,cm$ ) » align= »absmiddle » /> :
$A_{rectangle}\,=\,5\,\cdot\,h$

3. Aire du triangle
$A_{triangle}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,13\,\cdot\,h\,=\,\frac{13h}{2}$

4. Aire du trapèze
$A_{trapeze}\,=\,\frac{1}{2}\,\cdot\,(2\,%2B\,4)\,\cdot\,h\,=\,3h$

Condition à satisfaire :

La somme des aires du carré doit surpasser la différence des aires du triangle et du trapèze de $25\,\%2C\,cm^2$ .

$h^2\,>\,\frac{13h}{2}\,%2B\,3h\,%2B\,25$

Regroupons les termes du côté droit :

$h^2\,>\,\frac{13h}{2}\,%2B\,6h\,%2B\,25$

Regroupons les termes en une seule fraction :

$h^2\,>\,\frac{13h\,%2B\,12h\,%2B\,50}{2}\,=\,\frac{25h}{2}\,%2B\,25$

Multipliant chaque côté de l’inéquation par 2 pour éliminer le dénominateur :

$2h^2\,>\,25h\,%2B\,50$

Réorganisons l’inéquation sous forme standard :

$2h^2\,-\,25h\,-\,50\,>\,0$

Pour résoudre cette inéquation, nous utilisons la formule quadratique. Posons $f(h)\,=\,2h^2\,-\,25h\,-\,50$ .

Calculons les racines du polynôme $2h^2\,-\,25h\,-\,50\,=\,0$ en utilisant la formule quadratique :

$h\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$

Ici, $a\,=\,2$ , $b\,=\,-25$ , et $c\,=\,-50$ .

$h\,=\,\frac{25\,\pm\,\sqrt{625\,%2B\,400}}{4}$
$h\,=\,\frac{25\,\pm\,\sqrt{1025}}{4}$
$h\,=\,\frac{25\,\pm\,32.0156}{4}$

Calculons les deux solutions :

$h_1\,=\,\frac{25\,%2B\,32.0156}{4}\,\approx\,\frac{57.0156}{4}\,\approx\,14.254$

$h_2\,=\,\frac{25\,-\,32.0156}{4}\,\approx\,\frac{-7.0156}{4}\,\approx\,-1.754$

Puisque les mesures ne peuvent pas être négatives, nous rejetons .

La hauteur doit donc être supérieure à $14.254\,\%2C\,cm$ .

$h\,>\,14.254$

Exercice 11 : trouver un nombre et équation
a. Vérifier que Jules et Julie n’ont pas pu entrer le nombre 4 avant d’effectuer leurs calculs.

Pour les calculs de Jules :
$x\,\times \,7\,%2B\,2\,-\,1$

Calculons ce qu’il se passerait si $x\,=\,4$ :
$4\,\times \,7\,%2B\,2\,-\,1\,=\,28\,%2B\,2\,-\,1\,=\,29$

Pour les calculs de Julie :
$x\,\times \,2\,-\,5$

Calculons ce qu’il se passerait si $x\,=\,4$ :
$4\,\times \,2\,-\,5\,=\,8\,-\,5\,=\,3$

Les résultats ne sont pas les mêmes, donc $x\,\neq\,4$ .

b. Trouver le nombre commun que Jules et Julie ont entre sur leur calculatrice.

Pour que les résultats soient les mêmes, nous devons égaler les deux expressions et résoudre pour :

Pour Jules :
$y\,=\,x\,\times \,7\,%2B\,2\,-\,1$
$y\,=\,7x\,%2B\,1$

Pour Julie :
$y\,=\,x\,\times \,2\,-\,5$
$y\,=\,2x\,-\,5$

Donc, nous devons résoudre :
$7x\,%2B\,1\,=\,2x\,-\,5$

En regroupant les termes en d’un côté et les constantes de l’autre :
$7x\,-\,2x\,=\,-5\,-\,1$
$5x\,=\,-6$
$x\,=\,-\frac{6}{5}$

Par conséquent, le nombre commun que Jules et Julie ont entré sur leur calculatrice est :
$x\,=\,-\frac{6}{5}$

Exercice 12 : équation et âge
1) Déterminer l’équation à résoudre.

Soit l’âge de la petite sœur. Puisque Claire est trois fois plus âgée que sa petite sœur, nous avons :
$12\,=\,3x$

Pour trouver , nous résolvons cette équation :
$x\,=\,\frac{12}{3}$
$x\,=\,4$

Ainsi, la petite sœur a 4 ans.

Soit le nombre d’années après lesquelles Claire sera deux fois plus âgée que sa petite soeur.

Dans années, Claire aura $12\,%2B\,n$ ans et sa petite sœur aura $4\,%2B\,n$ ans. On veut résoudre :
$12\,%2B\,n\,=\,2(4\,%2B\,n)$

En développant et simplifiant cette équation :
$12\,%2B\,n\,=\,8\,%2B\,2n$
$12\,-\,8\,=\,2n\,-\,n$
$4\,=\,n$

Claire sera deux fois plus âgée que sa petite sœur dans 4 ans.

2) Tester cette équation avec 3 puis 4 ans.

Pour $n\,=\,3$ :
Dans 3 ans, Claire aura :
$12\,%2B\,3\,=\,15$ ans
et sa petite sœur aura :
$4\,%2B\,3\,=\,7$ ans.

15 n’est pas deux fois 7. Donc ça ne fonctionne pas avec 3 ans.

Pour $n\,=\,4$ :
Dans 4 ans, Claire aura :
$12\,%2B\,4\,=\,16$ ans
et sa petite sœur aura :
$4\,%2B\,4\,=\,8$ ans.

16 est bien deux fois 8, donc n = 4 est correct.

Exercice 13 : prix d’un soda et café
Soit le prix d’un café en euros et le prix d’un soda en euros.

On sait que :
1. Un soda coûte 0,50 euros de plus qu’un café : $y\,=\,x\,%2B\,0%2C50$
2. La première commande coûte $2y\,%2B\,x$
3. La deuxième commande coûte $3x\,%2B\,y$
4. La deuxième commande coûte 0,70 euros de plus que la première commande : $3x\,%2B\,y\,=\,(2y\,%2B\,x)\,%2B\,0%2C70$

Utilisons l’information donnée pour écrire les équations suivantes :

Première commande :
$2y\,%2B\,x$

Deuxième commande :
$3x\,%2B\,y$

Équation de la deuxième commande par rapport à la première commande :
$3x\,%2B\,y\,=\,(2y\,%2B\,x)\,%2B\,0%2C70$

En remplaçant par $x\,%2B\,0%2C50$ dans l’équation de la deuxième commande :
$3x\,%2B\,(x\,%2B\,0%2C50)\,=\,(2(x\,%2B\,0%2C50)\,%2B\,x)\,%2B\,0%2C70$

Simplifions l’équation :
$3x\,%2B\,x\,%2B\,0%2C50\,=\,2x\,%2B\,1%2C00\,%2B\,x\,%2B\,0%2C70$
$4x\,%2B\,0%2C50\,=\,3x\,%2B\,1%2C70$

Résolvons pour :
$4x\,-\,3x\,=\,1%2C70\,-\,0%2C50$
$x\,=\,1%2C20$

Ensuite, nous pouvons trouver :
$y\,=\,x\,%2B\,0%2C50$
$y\,=\,1%2C20\,%2B\,0%2C50$
$y\,=\,1%2C70$

Le prix d’un café est donc de 1,20 euros et le prix d’un soda est de 1,70 euros.

Exercice 14 : problème et équation
Pour résoudre cet exercice, posons le nombre initial tapé par Anna sur sa calculatrice. Selon l’énoncé, elle ajoute 5 à ce nombre, puis multiplie le résultat par 7. Elle obtient finalement 57,4.

Nous pouvons écrire cette série d’opérations sous la forme d’une équation :

$7(x\,%2B\,5)\,=\,57%2C4$

Nous devons maintenant résoudre cette équation pour trouver .

1. Divisons les deux côtés de l’équation par 7 :

$x\,%2B\,5\,=\,\frac{57%2C4}{7}$

$x\,%2B\,5\,=\,8%2C2$

2. Soustrayons 5 des deux côtés de l’équation :

$x\,=\,8%2C2\,-\,5$

$x\,=\,3%2C2$

Le nombre qu’Anna avait initialement choisi est donc 3%2C2 .

Exercice 15 : la recette du marché
Soit le nombre de billets de 5 € et le nombre de billets de 10 €.

Nous avons les deux équations suivantes :
$x\,%2B\,y\,=\,60$
$5x\,%2B\,10y\,=\,415$

De la première équation, nous pouvons exprimer en fonction de :
$y\,=\,60\,-\,x$

Substituons cette expression dans la deuxième équation :
$5x\,%2B\,10(60\,-\,x)\,=\,415$

Développons et simplifions :
$5x\,%2B\,600\,-\,10x\,=\,415$
$-5x\,%2B\,600\,=\,415$
$-5x\,=\,415\,-\,600$
$-5x\,=\,-185$
$x\,=\,\frac{185}{5}$
$x\,=\,37$

Maintenant, remplaçons par 37 dans la première équation pour trouver :
$37\,%2B\,y\,=\,60$
$y\,=\,60\,-\,37$
$y\,=\,23$

Donc, le père Grafoille a :
37 billets de 5 € et 23 billets de 10 €.

Exercice 16 : rechercher un nombre
Posons le nombre choisi par Adrien et Riyanne.

Pour Adrien :
$5x\,%2B\,4\,=\,65%2C5$

Pour Riyanne :
$3x\,%2B\,28%2C6\,=\,65%2C5$

Nous avons donc deux équations. Commençons par résoudre l’équation d’Adrien :

$5x\,%2B\,4\,=\,65%2C5$

Soustrayons 4 des deux côtés de l’équation :

$5x\,=\,65%2C5\,-\,4$
$5x\,=\,61%2C5$

Divisons ensuite par 5 pour isoler :

$x\,=\,\frac{61%2C5}{5}$
$x\,=\,12%2C3$

Maintenant, vérifions avec l’équation de Riyanne :

$3x\,%2B\,28%2C6\,=\,65%2C5$

Remplaçons par 12,3 :

$3\,\cdot\,12%2C3\,%2B\,28%2C6\,=\,65%2C5$
$36%2C9\,%2B\,28%2C6\,=\,65%2C5$
$65%2C5\,=\,65%2C5$

Donc, le nombre choisi par Adrien et Riyanne est bien 12%2C3 .

Exercice 17 : géométrie et équations
Pour déterminer la valeur de pour laquelle le périmètre du polygone colorié en rose est égal à 126, suivons les étapes suivantes :

1. Identifier les longueurs :
– Le polygone est composé de deux segments horizontaux de longueur chacun.
– Il contient deux segments verticaux de longueur chacun.
– Il y a deux segments verticaux de 3 unités chacun au milieu.

2. Calculer le périmètre :
$Perimetre\,=\,2(2x)\,%2B\,2x\,%2B\,2(3)\,%2B\,2x$
En simplifiant les coefficients :
$Perimetre\,=\,4x\,%2B\,2x\,%2B\,6\,%2B\,2x$
Regroupons les termes similaires :
$Perimetre\,=\,(4x\,%2B\,2x\,%2B\,2x)\,%2B\,6$
$Perimetre\,=\,8x\,%2B\,6$

3. Établir l’équation en utilisant la valeur du périmètre donné (126 unités) :
$8x\,%2B\,6\,=\,126$

4. Résoudre pour :
$8x\,%2B\,6\,=\,126$
Soustrayons 6 des deux côtés :
$8x\,=\,120$
Divisons les deux côtés par 8 :
$x\,=\,15$

Ainsi, la valeur de pour laquelle le périmètre du polygone colorié en rose est égal à 126 est .

Exercice 18 : trèfles à 3 et 4 feuilles
Soit le nombre de trèfles à 3 feuilles et le nombre de trèfles à 4 feuilles. Nous avons les équations suivantes :

$\{%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,84\,\\%0D%0A3x\,%2B\,4y\,=\,258%0D%0A\end{array}%0D%0A.$

Résolvons ce système d’équations.

1. De la première équation, on obtient :
$y\,=\,84\,-\,x$

2. Substituons dans la deuxième équation :
$3x\,%2B\,4(84\,-\,x)\,=\,258$

3. Simplifions l’équation :
$3x\,%2B\,336\,-\,4x\,=\,258$
$-x\,%2B\,336\,=\,258$
$-x\,=\,258\,-\,336$
$-x\,=\,-78$
$x\,=\,78$

4. Trouvons en utilisant la première équation :
$y\,=\,84\,-\,78$
$y\,=\,6$

Ainsi, le nombre de trèfles à trois feuilles est et le nombre de trèfles à quatre feuilles est .

Exercice 19 : résoudre ces équations
a. $3x\,%2B\,2\,=\,x\,%2B\,6$

$\begin{align%2A}%0D%0A3x\,%2B\,2\,%26=\,x\,%2B\,6\,\\%0D%0A3x\,-\,x\,%26=\,6\,-\,2\,\\%0D%0A2x\,%26=\,4\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{4}{2}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,2%0D%0A\end{align%2A}$

b. $-8x\,%2B\,3\,=\,5x\,-\,2$

$\begin{align%2A}%0D%0A-8x\,%2B\,3\,%26=\,5x\,-\,2\,\\%0D%0A-8x\,-\,5x\,%26=\,-2\,-\,3\,\\%0D%0A-13x\,%26=\,-5\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{-5}{-13}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{5}{13}%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 20 : balance en équilibre et équations
a. La balance est en équilibre, donc les masses de chaque côté doivent être égales.

Soit le poids d’un petit tube. On peut écrire l’équation suivante :

$3x\,%2B\,70\,=\,50\,%2B\,200\,%2B\,x$

b. Pour trouver le poids d’un petit tube, nous devons résoudre l’équation précédente :

$3x\,%2B\,70\,=\,250\,%2B\,x$

Soustrayons des deux côtés de l’équation :

$3x\,%2B\,70\,-\,x\,=\,250\,%2B\,x\,-\,x$
$2x\,%2B\,70\,=\,250$

Soustrayons 70 des deux côtés de l’équation :

$2x\,%2B\,70\,-\,70\,=\,250\,-\,70$
$2x\,=\,180$

Divisons par 2 :

$\frac{2x}{2}\,=\,\frac{180}{2}$
$x\,=\,90$

Donc, un petit tube pèse grammes.

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : somme de nombres aux sommets
Nous avons les deux quadrilatères suivants :

1. Le quadrilatère en gras : $x%2C\,-4%2C\,2y%2C\,5$
2. Le quadrilatère en pointillés : $2x%2C\,-3%2C\,4%2C\,5$

D’après l’énoncé, leurs sommes doivent être égales à 13.

Écrivons les équations basées sur cette information.

Pour le quadrilatère en gras :
$x\,%2B\,(-4)\,%2B\,2y\,%2B\,5\,=\,13$
$x\,%2B\,2y\,%2B\,1\,=\,13$
$x\,%2B\,2y\,=\,12\,\quad\,(1)$

Pour le quadrilatère en pointillés :
$2x\,%2B\,(-3)\,%2B\,4\,%2B\,5\,=\,13$
$2x\,%2B\,6\,=\,13$
$2x\,=\,7$
$x\,=\,\frac{7}{2}\,=\,3.5\,\quad\,(2)$

En utilisant $x\,=\,3.5$ dans l’équation (1) :
$3.5\,%2B\,2y\,=\,12$
$2y\,=\,12\,-\,3.5$
$2y\,=\,8.5$
$y\,=\,\frac{8.5}{2}\,=\,4.25$

D’où les valeurs de et sont:
$x\,=\,3.5$
$y\,=\,4.25$

Exercice 22 : périmètre d’un rectangle
a. Le périmètre du rectangle est donné par la somme de tous ses côtés. Les dimensions du rectangle sont et $3%2C6\%2C\,cm$ .

Le périmètre en fonction de est :
$P\,=\,2\,\times \,(x\,%2B\,3%2C6)$

b. Pour déterminer lorsque le périmètre est de $27%2C2\%2C\,cm$ , on résout l’équation suivante :
$2\,\times \,(x\,%2B\,3%2C6)\,=\,27%2C2$
$x\,%2B\,3%2C6\,=\,\frac{27%2C2}{2}$
$x\,%2B\,3%2C6\,=\,13%2C6$
$x\,=\,13%2C6\,-\,3%2C6$
$x\,=\,10$

Donc, la valeur de pour laquelle le périmètre du rectangle est de $27%2C2\%2C\,cm$ est :
$x\,=\,10\,\%2C\,cm$

Exercice 23 : relier chaque équation à sa solution
Les solutions des équations sont les suivantes :

1. Pour l’équation $3x\,%2B\,1\,=\,-2$ :
$\begin{align%2A}%0D%0A3x\,%2B\,1\,%26=\,-2\,\\%0D%0A3x\,%26=\,-2\,-\,1\,\\%0D%0A3x\,%26=\,-3\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{-3}{3}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,-1%0D%0A\end{align%2A}$
La solution est donc $x\,=\,-1$ .

2. Pour l’équation $3x\,-\,1\,=\,-2$ :
$\begin{align%2A}%0D%0A3x\,-\,1\,%26=\,-2\,\\%0D%0A3x\,%26=\,-2\,%2B\,1\,\\%0D%0A3x\,%26=\,-1\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{-1}{3}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,-\frac{1}{3}%0D%0A\end{align%2A}$
La solution est donc $x\,=\,-\frac{1}{3}$ .

3. Pour l’équation $3x\,=\,2$ :
$\begin{align%2A}%0D%0A3x\,%26=\,2\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{2}{3}%0D%0A\end{align%2A}$
La solution est donc $x\,=\,\frac{2}{3}$ .

4. Pour l’équation $3x\,-\,1\,=\,2$ :
$\begin{align%2A}%0D%0A3x\,-\,1\,%26=\,2\,\\%0D%0A3x\,%26=\,2\,%2B\,1\,\\%0D%0A3x\,%26=\,3\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{3}{3}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,1%0D%0A\end{align%2A}$
La solution est donc $x\,=\,1$ .

5. Pour l’équation $3x\,%2B\,1\,=\,2$ :
$\begin{align%2A}%0D%0A3x\,%2B\,1\,%26=\,2\,\\%0D%0A3x\,%26=\,2\,-\,1\,\\%0D%0A3x\,%26=\,1\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{1}{3}%0D%0A\end{align%2A}$
La solution est donc $x\,=\,\frac{1}{3}$ .

Ainsi, les correspondances sont :

$\begin{align%2A}%0D%0A3x\,%2B\,1\,=\,-2\,%26\,\quad\,se\,lie\,avec\,\quad\,-1\,\\%0D%0A3x\,-\,1\,=\,-2\,%26\,\quad\,se\,lie\,avec\,\quad\,-\frac{1}{3}\,\\%0D%0A3x\,=\,2\,%26\,\quad\,se\,lie\,avec\,\quad\,\frac{2}{3}\,\\%0D%0A3x\,-\,1\,=\,2\,%26\,\quad\,se\,lie\,avec\,\quad\,1\,\\%0D%0A3x\,%2B\,1\,=\,2\,%26\,\quad\,se\,lie\,avec\,\quad\,\frac{1}{3}%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 24 : résoudre des équations du premier degré
a. $2x\,%2B\,9\,=\,5$
$2x\,%2B\,9\,=\,5\,\\%0D%0A2x\,=\,5\,-\,9\,\\%0D%0A2x\,=\,-4\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{-4}{2}\,\\%0D%0Ax\,=\,-2$

b. $5\,-\,4x\,=\,1$
$5\,-\,4x\,=\,1\,\\%0D%0A-4x\,=\,1\,-\,5\,\\%0D%0A-4x\,=\,-4\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{-4}{-4}\,\\%0D%0Ax\,=\,1$

c. $6x\,-\,7\,=\,4$
$6x\,-\,7\,=\,4\,\\%0D%0A6x\,=\,4\,%2B\,7\,\\%0D%0A6x\,=\,11\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{11}{6}\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{11}{6}$

d. $-8\,-\,3x\,=\,2$
$-8\,-\,3x\,=\,2\,\\%0D%0A-3x\,=\,2\,%2B\,8\,\\%0D%0A-3x\,=\,10\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{10}{-3}\,\\%0D%0Ax\,=\,-\frac{10}{3}$

e. $6x\,%2B\,8\,=\,1$
$6x\,%2B\,8\,=\,1\,\\%0D%0A6x\,=\,1\,-\,8\,\\%0D%0A6x\,=\,-7\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{-7}{6}\,\\%0D%0Ax\,=\,-\frac{7}{6}$

f. $-5\,%2B\,7x\,=\,-5$
$-5\,%2B\,7x\,=\,-5\,\\%0D%0A7x\,=\,-5\,%2B\,5\,\\%0D%0A7x\,=\,0\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{0}{7}\,\\%0D%0Ax\,=\,0$

g. $4\,-\,0{%2C}1x\,=\,-6$
$4\,-\,0{%2C}1x\,=\,-6\,\\%0D%0A-0{%2C}1x\,=\,-6\,-\,4\,\\%0D%0A-0{%2C}1x\,=\,-10\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{-10}{-0{%2C}1}\,\\%0D%0Ax\,=\,100$

h. $-5{%2C}5\,-\,3x\,=\,-7{%2C}5$
$-5{%2C}5\,-\,3x\,=\,-7{%2C}5\,\\%0D%0A-3x\,=\,-7{%2C}5\,%2B\,5{%2C}5\,\\%0D%0A-3x\,=\,-2\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{-2}{-3}\,\\%0D%0Ax\,=\,\frac{2}{3}$

Exercice 25 : résoudre chaque équation
a.
$12\,%2B\,3x\,=\,7x\,%2B\,10$
$12\,-\,10\,=\,7x\,-\,3x$
$2\,=\,4x$
$x\,=\,\frac{2}{4}\,=\,\frac{1}{2}$

b.
$-3x\,-\,4\,=\,5\,%2B\,x$
$-3x\,-\,x\,=\,5\,%2B\,4$
$-4x\,=\,9$
$x\,=\,\frac{9}{-4}\,=\,-\frac{9}{4}$

c.
$4x\,-\,9\,=\,-6\,%2B\,12x$
$4x\,-\,12x\,=\,-6\,%2B\,9$
$-8x\,=\,3$
$x\,=\,\frac{3}{-8}\,=\,-\frac{3}{8}$

d.
$2\,%2B\,5x\,=\,-2x\,-\,3$
$5x\,%2B\,2x\,=\,-3\,-\,2$
$7x\,=\,-5$
$x\,=\,\frac{-5}{7}$

e.
$4x\,-\,1\,=\,14\,%2B\,x$
$4x\,-\,x\,=\,14\,%2B\,1$
$3x\,=\,15$
$x\,=\,\frac{15}{3}\,=\,5$

f.
$0.1\,%2B\,6x\,=\,-8x\,%2B\,0.1$
$6x\,%2B\,8x\,=\,0.1\,-\,0.1$
$14x\,=\,0$
$x\,=\,0$

Exercice 26 : balance en équilibre
Soit la masse d’une tomate en grammes et la masse d’un citron en grammes.

Écrivons les équations pour chaque situation où la balance est en équilibre.

Pour la première balance :
$6t\,=\,75\,%2B\,300\,%2B\,2t$

Pour la deuxième balance :
$5c\,=\,50\,%2B\,200\,%2B\,c$

Résolvons maintenant ces équations pour trouver et .

Pour l’équation $6t\,=\,75\,%2B\,300\,%2B\,2t$ :
$6t\,=\,375\,%2B\,2t$
$6t\,-\,2t\,=\,375$
$4t\,=\,375$
$t\,=\,\frac{375}{4}$
$t\,=\,93.75\,\%2C\,g$

Pour l’équation $5c\,=\,50\,%2B\,200\,%2B\,c$ :
$5c\,=\,250\,%2B\,c$
$5c\,-\,c\,=\,250$
$4c\,=\,250$
$c\,=\,\frac{250}{4}$
$c\,=\,62.5\,\%2C\,g$

La masse d’une tomate est de 93.75 grammes et la masse d’un citron est de 62.5 grammes.

Exercice 27 : sac de billes rouges et noires
a. Exprime en fonction de :
– le nombre de billes rouges :
$x\,%2B\,18$

– le nombre total de billes :
$x\,%2B\,(x\,%2B\,18)\,=\,2x\,%2B\,18$

b. Écris une équation qui correspond à la résolution du problème, puis résous-la.
$2x\,%2B\,18\,=\,250$
$2x\,=\,250\,-\,18$
$2x\,=\,232$
$x\,=\,\frac{232}{2}$
$x\,=\,116$

c. Conclus en donnant le nombre de billes de chaque couleur.
Le nombre de billes noires est $x\,=\,116$ .
Le nombre de billes rouges est $x\,%2B\,18\,=\,116\,%2B\,18\,=\,134$ .
Le sac contient donc 116 billes noires et 134 billes rouges.

Exercice 28 : une tirelire contenant des pièces
Soit le nombre de pièces de 0,20 € et le nombre de pièces de 0,50 €.

On sait que:
$x\,%2B\,y\,=\,200$
ainsi que:
$0%2C20x\,%2B\,0%2C50y\,=\,52%2C30$

Pour éliminer les décimales dans la deuxième équation, multiplions-la par 100:
$20x\,%2B\,50y\,=\,5230$

Nous avons donc le système d’équations suivant:
$\begin{cases}%0D%0Ax\,%2B\,y\,=\,200\,\\%0D%0A20x\,%2B\,50y\,=\,5230%0D%0A\end{cases}$

Résolvons ce système d’équations par substitution. De la première équation, nous obtenons:
$y\,=\,200\,-\,x$

Substituons dans la deuxième équation:
$20x\,%2B\,50(200\,-\,x)\,=\,5230$

Simplifions:
$20x\,%2B\,10000\,-\,50x\,=\,5230$
$-30x\,%2B\,10000\,=\,5230$
$-30x\,=\,5230\,-\,10000$
$-30x\,=\,-4770$
$x\,=\,\frac{4770}{30}$
$x\,=\,159$

En utilisant $x\,=\,159$ dans $y\,=\,200\,-\,x$ :
$y\,=\,200\,-\,159$
$y\,=\,41$

Donc, il y a 159 pièces de 0,20 € et pièces de 0,50 €.

Exercice 29 : triangle équilatéral et carré de même périmètre
Pour que le triangle équilatéral et le carré aient le même périmètre, nous devons établir les relations suivantes :

Soit le côté du carré, et le côté du triangle équilatéral.

Le périmètre du carré est donné par :
$P_{carre}\,=\,4a$

Le périmètre du triangle équilatéral est donné par :
$P_{triangle}\,=\,3b$

Nous avons le côté du carré et la base du triangle qui ensemble mesurent 14 cm, donc :
$a\,%2B\,b\,=\,14$

Pour que les périmètres soient égaux :
$4a\,=\,3b$

En utilisant $a\,=\,14\,-\,b$ dans l’équation $4a\,=\,3b$ :
$4(14\,-\,b)\,=\,3b$
$56\,-\,4b\,=\,3b$
$56\,=\,7b$
$b\,=\,8$

Ensuite, en utilisant $b\,=\,8$ pour trouver :
$a\,=\,14\,-\,b$
$a\,=\,14\,-\,8$
$a\,=\,6$

Ainsi, les côtés du carré et du triangle sont cm et cm respectivement.

Nous vérifions :
– Périmètre du carré : $4\,\times \,6\,=\,24$ cm
– Périmètre du triangle : $3\,\times \,8\,=\,24$ cm

Donc, le triangle et le carré peuvent avoir le même périmètre si le côté du carré mesure 6 cm et le côté du triangle équilatéral mesure 8 cm.

Exercice 30 : déterminer la valeur de x
a. Pour l’équilibre de la balance:
$4x\,=\,3\,%2B\,11$
$4x\,=\,14$
$x\,=\,\frac{14}{4}$
$x\,=\,3.5$

b. Pour l’équilibre de la balance:
$5x\,%2B\,12\,=\,37$
$5x\,=\,37\,-\,12$
$5x\,=\,25$
$x\,=\,\frac{25}{5}$
$x\,=\,5$

c. Pour l’équilibre de la balance:
$6x\,%2B\,2\,=\,50$
$6x\,=\,50\,-\,2$
$6x\,=\,48$
$x\,=\,\frac{48}{6}$
$x\,=\,8$

d. Pour l’équilibre de la balance:
$3x\,%2B\,8\,=\,50$
$3x\,=\,50\,-\,8$
$3x\,=\,42$
$x\,=\,\frac{42}{3}$
$x\,=\,14$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : quelle est la valeur de x ?
a)

$5x\,%2B\,3\,=\,2x\,%2B\,7$

Soustrayons des deux côtés :

$5x\,-\,2x\,%2B\,3\,=\,7$

$3x\,%2B\,3\,=\,7$

Soustrayons 3 des deux côtés :

$3x\,=\,4$

Divisons par 3 :

$x\,=\,\frac{4}{3}$

$7x\,%2B\,2\,=\,3x\,%2B\,7$

Soustrayons des deux côtés :

$7x\,-\,3x\,%2B\,2\,=\,7$

$4x\,%2B\,2\,=\,7$

Soustrayons 2 des deux côtés :

$4x\,=\,5$

Divisons par 4 :

$x\,=\,\frac{5}{4}$

$4x\,%2B\,1\,=\,2x\,%2B\,4$

Soustrayons des deux côtés :

$4x\,-\,2x\,%2B\,1\,=\,4$

$2x\,%2B\,1\,=\,4$

Soustrayons 1 des deux côtés :

$2x\,=\,3$

Divisons par 2 :

$x\,=\,\frac{3}{2}$

$12x\,%2B\,3\,=\,8x\,%2B\,17$

Soustrayons des deux côtés :

$12x\,-\,8x\,%2B\,3\,=\,17$

$4x\,%2B\,3\,=\,17$

Soustrayons 3 des deux côtés :

$4x\,=\,14$

Divisons par 4 :

$x\,=\,\frac{14}{4}$

$x\,=\,\frac{7}{2}$

Exercice 32 : des équations un peu plus complexes…
a. $3(2\,-\,3x)\,%2B\,4(x\,%2B\,2)\,=\,4x\,%2B\,2(x\,-\,2)$
$\begin{align%2A}%0D%0A6\,-\,9x\,%2B\,4x\,%2B\,8\,%26=\,4x\,%2B\,2x\,-\,4\,\\%0D%0A-5x\,%2B\,14\,%26=\,6x\,-\,4\,\\%0D%0A-5x\,-\,6x\,%26=\,-4\,-\,14\,\\%0D%0A-11x\,%26=\,-18\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{-18}{-11}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{18}{11}%0D%0A\end{align%2A}$

b. $5x\,%2B\,2\,-\,3(2\,-\,4x)\,=\,2(3x\,%2B\,4)$
$\begin{align%2A}%0D%0A5x\,%2B\,2\,-\,6\,%2B\,12x\,%26=\,6x\,%2B\,8\,\\%0D%0A17x\,-\,4\,%26=\,6x\,%2B\,8\,\\%0D%0A17x\,-\,6x\,%26=\,8\,%2B\,4\,\\%0D%0A11x\,%26=\,12\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{12}{11}%0D%0A\end{align%2A}$

c. $-3(x\,%2B\,2)\,%2B\,4(5\,-\,x)\,=\,2x\,%2B\,5$
$\begin{align%2A}%0D%0A-3x\,-\,6\,%2B\,20\,-\,4x\,%26=\,2x\,%2B\,5\,\\%0D%0A-7x\,%2B\,14\,%26=\,2x\,%2B\,5\,\\%0D%0A-7x\,-\,2x\,%26=\,5\,-\,14\,\\%0D%0A-9x\,%26=\,-9\,\\%0D%0Ax\,%26=\,\frac{-9}{-9}\,\\%0D%0Ax\,%26=\,1%0D%0A\end{align%2A}$

Exercice 33 : des équations et la simple distributivité
1. $8\,-\,(3x\,%2B\,2)\,=\,5x\,-\,5$
$%268\,-\,3x\,-\,2\,=\,5x\,-\,5\,\\%0D%0A%266\,-\,3x\,=\,5x\,-\,5\,\\%0D%0A%266\,%2B\,5\,=\,5x\,%2B\,3x\,\\%0D%0A%2611\,=\,8x\,\\%0D%0A%26x\,=\,\frac{11}{8}$

2. $7\,%2B\,2(3\,-\,x)\,=\,4x\,-\,1$
$%267\,%2B\,6\,-\,2x\,=\,4x\,-\,1\,\\%0D%0A%2613\,-\,2x\,=\,4x\,-\,1\,\\%0D%0A%2613\,%2B\,1\,=\,4x\,%2B\,2x\,\\%0D%0A%2614\,=\,6x\,\\%0D%0A%26x\,=\,\frac{14}{6}\,=\,\frac{7}{3}$

3. $4x\,-\,5(3\,-\,2x)\,=\,4\,-\,(2x\,-\,7)$
$%264x\,-\,15\,%2B\,10x\,=\,4\,-\,2x\,%2B\,7\,\\%0D%0A%2614x\,-\,15\,=\,11\,-\,2x\,\\%0D%0A%2614x\,%2B\,2x\,=\,11\,%2B\,15\,\\%0D%0A%2616x\,=\,26\,\\%0D%0A%26x\,=\,\frac{26}{16}\,=\,\frac{13}{8}$

4. $9x\,-\,3(4\,-\,3x)\,=\,2\,-\,%5B35\,-\,3(4\,-\,2x)%5D$
$%269x\,-\,12\,%2B\,9x\,=\,2\,-\,%5B35\,-\,12\,%2B\,6x%5D\,\\%0D%0A%2618x\,-\,12\,=\,2\,-\,23\,%2B\,6x\,\\%0D%0A%2618x\,-\,12\,=\,6x\,-\,21\,\\%0D%0A%2618x\,-\,6x\,=\,-21\,%2B\,12\,\\%0D%0A%2612x\,=\,-9\,\\%0D%0A%26x\,=\,\frac{-9}{12}\,=\,-\frac{3}{4}$

5. $7\,-\,3(4\,-\,2x)\,-\,5%5B2\,-\,3(x\,-\,5)%5D\,=\,4\,-\,3(x\,-\,4)$
$%267\,-\,12\,%2B\,6x\,-\,5%5B2\,-\,3x\,%2B\,15%5D\,=\,4\,-\,3x\,%2B\,12\,\\%0D%0A%267\,-\,12\,%2B\,6x\,-\,5%5B17\,-\,3x%5D\,=\,16\,-\,3x\,\\%0D%0A%267\,-\,12\,%2B\,6x\,-\,85\,%2B\,15x\,=\,16\,-\,3x\,\\%0D%0A%2621x\,-\,90\,=\,16\,-\,3x\,\\%0D%0A%2621x\,%2B\,3x\,=\,16\,%2B\,90\,\\%0D%0A%2624x\,=\,106\,\\%0D%0A%26x\,=\,\frac{106}{24}\,=\,\frac{53}{12}$

6. $4(x\,-\,2)\,-\,3%5B6\,-\,2(3\,-\,4x)%5D\,%2B\,3(7\,-\,2x)\,=\,0$
$%264x\,-\,8\,-\,3%5B6\,-\,6\,%2B\,8x%5D\,%2B\,21\,-\,6x\,=\,0\,\\%0D%0A%264x\,-\,8\,-\,3%5B8x%5D\,%2B\,21\,-\,6x\,=\,0\,\\%0D%0A%264x\,-\,8\,-\,24x\,%2B\,21\,-\,6x\,=\,0\,\\%0D%0A%26-26x\,%2B\,13\,=\,0\,\\%0D%0A%26-26x\,=\,-13\,\\%0D%0A%26x\,=\,\frac{1}{2}$

7. $2(3\,-\,6x)\,-\,5%5B3\,-\,(4\,-\,2x)%5D\,=\,3(2x\,-\,1)$
$%266\,-\,12x\,-\,5%5B3\,-\,4\,%2B\,2x%5D\,=\,6x\,-\,3\,\\%0D%0A%266\,-\,12x\,-\,5%5B-1\,%2B\,2x%5D\,=\,6x\,-\,3\,\\%0D%0A%266\,-\,12x\,%2B\,5\,-\,10x\,=\,6x\,-\,3\,\\%0D%0A%2611\,-\,22x\,=\,6x\,-\,3\,\\%0D%0A%2611\,%2B\,3\,=\,6x\,%2B\,22x\,\\%0D%0A%2614\,=\,28x\,\\%0D%0A%26x\,=\,\frac{1}{2}$

8. $2x\,-\,%5B7\,-\,2(3\,-\,4x)%5D\,=\,5\,-\,2%5B6\,-\,(7\,-\,x)%5D$
$%262x\,-\,%5B7\,-\,6\,%2B\,8x%5D\,=\,5\,-\,2%5B6\,-\,7\,%2B\,x%5D\,\\%0D%0A%262x\,-\,%5B8x\,%2B\,1%5D\,=\,5\,-\,2%5B-1\,%2B\,x%5D\,\\%0D%0A%262x\,-\,1\,-\,8x\,=\,5\,-\,2%5B-1\,%2B\,x%5D\,\\%0D%0A%262x\,-\,1\,-\,8x\,=\,5\,%2B\,2\,-\,2x\,\\%0D%0A%262x\,-\,8x\,-\,1\,=\,7\,-\,2x\,\\%0D%0A%26-6x\,-\,1\,=\,7\,-\,2x\,\\%0D%0A%26-6x\,%2B\,2x\,=\,7\,%2B\,1\,\\%0D%0A%26-4x\,=\,8\,\\%0D%0A%26x\,=\,-2$

Exercice 34 : des équations à résoudre
1. Résolvons l’équation $5\,-\,(x\,-\,3)\,=\,4x\,-\,(3x\,-\,8)$ :

$5\,-\,x\,%2B\,3\,=\,4x\,-\,3x\,%2B\,8$

$8\,-\,x\,=\,x\,%2B\,8$

$8\,-\,8\,=\,x\,%2B\,x$

$0\,=\,2x$

$x\,=\,0$

2. Résolvons l’équation $2\,%2B\,x\,-\,(5\,%2B\,2x)\,-\,7\,=\,3x\,%2B\,7$ :

$2\,%2B\,x\,-\,5\,-\,2x\,-\,7\,=\,3x\,%2B\,7$

$-10\,-\,x\,=\,3x\,%2B\,7$

$-10\,-\,7\,=\,4x$

$-17\,=\,4x$

$x\,=\,-\frac{17}{4}$

3. Résolvons l’équation $4x\,%2B\,3\,-\,(x\,%2B\,1)\,%2B\,5\,=\,5x\,%2B\,7$ :

$4x\,%2B\,3\,-\,x\,-\,1\,%2B\,5\,=\,5x\,%2B\,7$

$3x\,%2B\,7\,=\,5x\,%2B\,7$

$3x\,=\,5x$

$0\,=\,2x$

$x\,=\,0$

4. Résolvons l’équation $2x\,%2B\,1\,-\,(2\,%2B\,x)\,-\,7\,=\,3x\,%2B\,7$ :

$2x\,%2B\,1\,-\,2\,-\,x\,-\,7\,=\,3x\,%2B\,7$

$x\,-\,8\,=\,3x\,%2B\,7$

$-8\,-\,7\,=\,2x$

$-15\,=\,2x$

$x\,=\,-\frac{15}{2}$

5. Résolvons l’équation $5(x\,-\,1)\,%2B\,3(2\,-\,x)\,=\,0$ :

$5x\,-\,5\,%2B\,6\,-\,3x\,=\,0$

$2x\,%2B\,1\,=\,0$

$2x\,=\,-1$

$x\,=\,-\frac{1}{2}$

6. Résolvons l’équation $7(x\,%2B\,4)\,-\,3(x\,%2B\,2)\,=\,x\,%2B\,7$ :

$7x\,%2B\,28\,-\,3x\,-\,6\,=\,x\,%2B\,7$

$4x\,%2B\,22\,=\,x\,%2B\,7$

$4x\,-\,x\,=\,7\,-\,22$

$3x\,=\,-15$

$x\,=\,-5$

7. Résolvons l’équation $2(x\,-\,1)\,-\,3(x\,%2B\,1)\,=\,4(x\,-\,2)$ :

$2x\,-\,2\,-\,3x\,-\,3\,=\,4x\,-\,8$

$-x\,-\,5\,=\,4x\,-\,8$

$-x\,-\,4x\,=\,-8\,%2B\,5$

$-5x\,=\,-3$

$x\,=\,\frac{3}{5}$

Exercice 35 : déterminer l’âge des enfants et de la mère
Soient le nombre d’années qu’il faut pour que l’âge de la mère soit égal à la somme des âges de ses enfants.

À ce moment-là, l’âge de la mère sera $37\,%2B\,x$ .

Les âges des enfants seront :
– $8\,%2B\,x$ pour le premier enfant,
– $10\,%2B\,x$ pour le deuxième enfant,
– $13\,%2B\,x$ pour le troisième enfant.

La somme des âges des enfants sera donc :
$(8\,%2B\,x)\,%2B\,(10\,%2B\,x)\,%2B\,(13\,%2B\,x)\,=\,31\,%2B\,3x$

On cherche lorsque l’âge de la mère sera égal à la somme des âges des enfants, c’est-à-dire :
$37\,%2B\,x\,=\,31\,%2B\,3x$

En résolvant cette équation :
$37\,%2B\,x\,=\,31\,%2B\,3x$
$37\,-\,31\,=\,3x\,-\,x$
$6\,=\,2x$
$x\,=\,3$

Il faudra donc attendre 3 ans pour que l’âge de la mère soit égal à la somme des âges de ses enfants.

Exercice 36 : titeuf et les BD
Correction de l’exercice :

$Soit\,\,x\,\,le\,prix\,d'une\,BD\,de\,Tintin\,en\,euros.$

1) Compléter le tableau suivant (les expressions seront données en fonction de ) :

– Prix d’une BD de Tintin :
– Prix d’une BD d’Astérix : $x\,%2B\,1%2C50$
– Prix de 11 BD de Tintin : 11x
– Prix de 7 BD d’Astérix : $7(x\,%2B\,1%2C50)$
– Prix de 7 BD d’Astérix et de 11 BD de Tintin : $7(x\,%2B\,1%2C50)\,%2B\,11x$

Simplifions l’expression donnée :

$7(x\,%2B\,1%2C50)\,%2B\,11x\,=\,7x\,%2B\,10%2C50\,%2B\,11x\,=\,18x\,%2B\,10%2C50$

2) À l’aide d’une équation, déterminer le prix d’une BD de Tintin et d’une BD d’Astérix :

On sait que le prix total est de 127,50 €. Donc, on écrit l’équation suivante :

$18x\,%2B\,10%2C50\,=\,127%2C50$

Maintenant, résolvons cette équation pour :

$18x\,=\,127%2C50\,-\,10%2C50$
$18x\,=\,117$
$x\,=\,\frac{117}{18}$
$x\,=\,6%2C50$

Le prix d’une BD de Tintin est donc 6%2C50 €.

Le prix d’une BD d’Astérix est $x\,%2B\,1%2C50\,=\,6%2C50\,%2B\,1%2C50\,=\,8$ €.

$Conclusion\,%3A$
– Le prix d’une BD de Tintin est de 6%2C50 €.
– Le prix d’une BD d’Astérix est de €.

Exercice 37 : garfield et son roman
Soit le nombre de pages lues le premier jour.

Le deuxième jour, il a lu $x\,%2B\,20$ pages.

Le troisième jour, il a lu $2(x\,%2B\,20)$ pages.

Selon l’énoncé, Garfield a lu 260 pages en trois jours, donc :

$x\,%2B\,(x\,%2B\,20)\,%2B\,2(x\,%2B\,20)\,=\,260$

Simplifions l’équation :

$x\,%2B\,x\,%2B\,20\,%2B\,2x\,%2B\,40\,=\,260$

$4x\,%2B\,60\,=\,260$

Soustrayons 60 des deux côtés de l’équation :

$4x\,=\,200$

Divisons par 4 :

$x\,=\,50$

Ainsi, Garfield a lu pages le premier jour.

Exercice 38 : un fermier et le cow-boy
Soient , et les nombres de vaches blanches, noires et rousses respectivement. On sait que :

$W\,%2B\,N\,%2B\,R\,=\,72$

Le nombre de vaches noires est le double du nombre de vaches blanches :

$N\,=\,2W$

Le nombre de vaches rousses est le triple du nombre de vaches noires :

$R\,=\,3N$

En substituant $N\,=\,2W$ dans $R\,=\,3N$ , nous obtenons :

$R\,=\,3(2W)\,=\,6W$

Nous avons maintenant trois équations :

$W\,%2B\,N\,%2B\,R\,=\,72$
$N\,=\,2W$
$R\,=\,6W$

Substituons et dans la première équation :

$W\,%2B\,2W\,%2B\,6W\,=\,72$

Ce qui nous donne :

$9W\,=\,72$

En résolvant pour , nous obtenons :

$W\,=\,\frac{72}{9}\,=\,8$

Ainsi, le nombre de vaches blanches est 8. Utilisons cette valeur pour déterminer et :

$N\,=\,2W\,=\,2\,\times \,8\,=\,16$

$R\,=\,6W\,=\,6\,\times \,8\,=\,48$

En conclusion, il y a :

$8\,\,vaches\,blanches%2C$

$16\,\,vaches\,noires%2C$

$48\,\,vaches\,rousses.$

Exercice 39 : tarzan, les lianes et Jane
Soit le nombre de petites lianes utilisées et le nombre de grandes lianes utilisées.

Nous savons que :

$p\,%2B\,g\,=\,63$

et que :

$4.5p\,%2B\,8g\,=\,413$

Nous allons résoudre ce système d’équations pour trouver les valeurs de et .

1. Exprimer en fonction de à partir de la première équation :

$g\,=\,63\,-\,p$

2. Substituer cette expression dans la deuxième équation :

$4.5p\,%2B\,8(63\,-\,p)\,=\,413$

3. Développer et simplifier :

$4.5p\,%2B\,504\,-\,8p\,=\,413$

$-3.5p\,%2B\,504\,=\,413$

4. Isoler :

$-3.5p\,=\,413\,-\,504$

$-3.5p\,=\,-91$

$p\,=\,\frac{91}{3.5}$

$p\,=\,26$

5. En utilisant la valeur de dans la première équation pour trouver :

$g\,=\,63\,-\,p$

$g\,=\,63\,-\,26$

$g\,=\,37$

Ainsi, Tarzan a utilisé 26 petites lianes et 37 grandes lianes.

Exercice 40 : l’âge de Sonia et de MArc
Supposons que l’âge actuel de Marc soit ans et que l’âge actuel de Sonia soit ans.

Selon l’énoncé:

1. Sonia est deux fois plus âgée que Marc:
$y\,=\,2x$

2. Dans 5 ans, Marc aura le même âge que Sonia avait il y a 10 ans:
$x\,%2B\,5\,=\,y\,-\,10$

Nous avons maintenant deux équations :
$y\,=\,2x$
$x\,%2B\,5\,=\,y\,-\,10$

Substituons dans la deuxième équation par :

$x\,%2B\,5\,=\,2x\,-\,10$

Résolvons pour :

$5\,%2B\,10\,=\,2x\,-\,x$
$15\,=\,x$

Ainsi, l’âge actuel de Marc est ans.

Maintenant, substituons $x\,=\,15$ dans la première équation pour trouver l’âge de Sonia:

$y\,=\,2\,\times \,15$
$y\,=\,30$

Donc, l’âge actuel de Sonia est ans.

Les âges actuels sont :
– Marc : 15 ans
– Sonia : 30 ans

Voir Corrigés 31 à 40 ...

Exercice 41 : somme des âges et équation
Soit l’âge de Marie-Pierre et l’âge de Jean-Sébastien. Nous avons les deux équations suivantes :

1. $x\,%2B\,y\,=\,32$
2. $y\,=\,3x$

En substituant la deuxième équation dans la première, nous obtenons :

$x\,%2B\,3x\,=\,32$
$4x\,=\,32$
$x\,=\,8$

En utilisant $x\,=\,8$ dans la deuxième équation, nous trouvons :

$y\,=\,3x$
$y\,=\,3\,\times \,8$
$y\,=\,24$

L’âge de Marie-Pierre est donc 8 ans et l’âge de Jean-Sébastien est 24 ans.

Exercice 42 : résoudre ces équations du premier degré
a. $x\,%2B\,21\,=\,13$
$x\,=\,13\,-\,21\,=\,-8$
Solution: $x\,=\,-8$

b. $7x\,=\,49$
$x\,=\,\frac{49}{7}\,=\,7$
Solution: $x\,=\,7$

c. $2x\,-\,24\,=\,x\,%2B\,9$
$2x\,-\,x\,=\,9\,%2B\,24\,\implies\,x\,=\,33$
Solution: $x\,=\,33$

d. $5x\,-\,4\,=\,8x\,-\,11$
$5x\,%2B\,7\,=\,8x\,\implies\,7\,=\,3x\,\implies\,x\,=\,\frac{7}{3}$
Solution: $x\,=\,\frac{7}{3}$

e. $3x\,%2B\,7\,=\,-6x\,%2B\,23$
$3x\,%2B\,6x\,=\,23\,-\,7\,\implies\,9x\,=\,16\,\implies\,x\,=\,\frac{16}{9}$
Solution: $x\,=\,\frac{16}{9}$

f. $5(x\,-\,3)\,=\,-7(x\,%2B\,1)$
$5x\,-\,15\,=\,-7x\,-\,7\,\implies\,5x\,%2B\,7x\,=\,-7\,%2B\,15\,\implies\,12x\,=\,8\,\implies\,x\,=\,\frac{2}{3}$
Solution: $x\,=\,\frac{2}{3}$

g. $(x\,-\,3)(x\,%2B\,4)\,-\,x^2\,=\,6$
Développons l’expression :
$(x\,-\,3)(x\,%2B\,4)\,=\,x^2\,%2B\,4x\,-\,3x\,-\,12\,=\,x^2\,%2B\,x\,-\,12$
Donc,
$x^2\,%2B\,x\,-\,12\,-\,x^2\,=\,6\,\implies\,x\,-\,12\,=\,6\,\implies\,x\,=\,18$
Solution: $x\,=\,18$