Les équations : corrigés des exercices de maths en 4ème.

Exercice 11 : trouver un nombre et équation
\[\]a. Vérifier que Jules et Julie n’ont pas pu entrer le nombre 4 avant d’effectuer leurs calculs.\[\]

Pour les calculs de Jules :
\[ x \times 7 + 2 – 1 \]

Calculons ce qu’il se passerait si \( x = 4 \) :
\[ 4 \times 7 + 2 – 1 = 28 + 2 – 1 = 29 \]

Pour les calculs de Julie :
\[ x \times 2 – 5 \]

Calculons ce qu’il se passerait si \( x = 4 \) :
\[ 4 \times 2 – 5 = 8 – 5 = 3 \]

Les résultats ne sont pas les mêmes, donc \( x \neq 4 \).

\[\]b. Trouver le nombre commun que Jules et Julie ont entré sur leur calculatrice.\[\]

Pour que les résultats soient les mêmes, nous devons égaler les deux expressions et résoudre pour \( x \) :

Pour Jules :
\[ y = x \times 7 + 2 – 1 \]
\[ y = 7x + 1 \]

Pour Julie :
\[ y = x \times 2 – 5 \]
\[ y = 2x – 5 \]

Donc, nous devons résoudre :
\[ 7x + 1 = 2x – 5 \]

En regroupant les termes en \( x \) d’un côté et les constantes de l’autre :
\[ 7x – 2x = -5 – 1 \]
\[ 5x = -6 \]
\[ x = -\frac{6}{5} \]

Par conséquent, le nombre commun que Jules et Julie ont entré sur leur calculatrice est :
\[ x = -\frac{6}{5} \]

Exercice 12 : equation et âge
1) Déterminer l’équation à résoudre.

Soit \( x \) l’âge de la petite sœur. Puisque Claire est trois fois plus âgée que sa petite sœur, nous avons :
\[ 12 = 3x \]

Pour trouver \( x \), nous résolvons cette équation :
\[ x = \frac{12}{3} \]
\[ x = 4 \]

Ainsi, la petite sœur a 4 ans.

Soit \( n \) le nombre d’années après lesquelles Claire sera deux fois plus âgée que sa petite soeur. Dans \( n \) années, Claire aura \( 12 + n \) ans et sa petite sœur aura \( 4 + n \) ans. On veut résoudre :
\[ 12 + n = 2(4 + n) \]

En développant et simplifiant cette équation :
\[ 12 + n = 8 + 2n \]
\[ 12 – 8 = 2n – n \]
\[ 4 = n \]

Claire sera deux fois plus âgée que sa petite sœur dans 4 ans.

2) Tester cette équation avec 3 puis 4 ans.

Pour \( n = 3 \) :
Dans 3 ans, Claire aura :
\[ 12 + 3 = 15 \] ans
et sa petite sœur aura :
\[ 4 + 3 = 7 \] ans.

15 n’est pas deux fois 7. Donc ça ne fonctionne pas avec 3 ans.

Pour \( n = 4 \) :
Dans 4 ans, Claire aura :
\[ 12 + 4 = 16 \] ans
et sa petite sœur aura :
\[ 4 + 4 = 8 \] ans.

16 est bien deux fois 8, donc n = 4 est correct.

Exercice 13 : prix d’un soda et café
Soit \( x \) le prix d’un café en euros et \( y \) le prix d’un soda en euros.

On sait que :
1. Un soda coûte 0,50 euros de plus qu’un café : \( y = x + 0,50 \)
2. La première commande coûte \( 2y + x \)
3. La deuxième commande coûte \( 3x + y \)
4. La deuxième commande coûte 0,70 euros de plus que la première commande : \( 3x + y = (2y + x) + 0,70 \)

Utilisons l’information donnée pour écrire les équations suivantes :

Première commande :
\[ 2y + x \]

Deuxième commande :
\[ 3x + y \]

Équation de la deuxième commande par rapport à la première commande :
\[ 3x + y = (2y + x) + 0,70 \]

En remplaçant \( y \) par \( x + 0,50 \) dans l’équation de la deuxième commande :
\[ 3x + (x + 0,50) = (2(x + 0,50) + x) + 0,70 \]

Simplifions l’équation :
\[ 3x + x + 0,50 = 2x + 1,00 + x + 0,70 \]
\[ 4x + 0,50 = 3x + 1,70 \]

Résolvons pour \( x \) :
\[ 4x – 3x = 1,70 – 0,50 \]
\[ x = 1,20 \]

Ensuite, nous pouvons trouver \( y \) :
\[ y = x + 0,50 \]
\[ y = 1,20 + 0,50 \]
\[ y = 1,70 \]

Le prix d’un café est donc de 1,20 euros et le prix d’un soda est de 1,70 euros.

Exercice 14 : problème et équation
Pour résoudre cet exercice, posons \( x \) le nombre initial tapé par Anna sur sa calculatrice. Selon l’énoncé, elle ajoute 5 à ce nombre, puis multiplie le résultat par 7. Elle obtient finalement 57,4.

Nous pouvons écrire cette série d’opérations sous la forme d’une équation :

\[ 7(x + 5) = 57,4 \]

Nous devons maintenant résoudre cette équation pour trouver \( x \).

1. Divisons les deux côtés de l’équation par 7 :

\[ x + 5 = \frac{57,4}{7} \]

\[ x + 5 = 8,2 \]

2. Soustrayons 5 des deux côtés de l’équation :

\[ x = 8,2 – 5 \]

\[ x = 3,2 \]

Le nombre qu’Anna avait initialement choisi est donc \( \boxed{3,2} \).

Exercice 15 : la recette du marché
Soit \( x \) le nombre de billets de 5 € et \( y \) le nombre de billets de 10 €.

Nous avons les deux équations suivantes :
\[
x + y = 60
\]
\[
5x + 10y = 415
\]

De la première équation, nous pouvons exprimer \( y \) en fonction de \( x \) :
\[
y = 60 – x
\]

Substituons cette expression dans la deuxième équation :
\[
5x + 10(60 – x) = 415
\]

Développons et simplifions :
\[
5x + 600 – 10x = 415
\]
\[
-5x + 600 = 415
\]
\[
-5x = 415 – 600
\]
\[
-5x = -185
\]
\[
x = \frac{185}{5}
\]
\[
x = 37
\]

Maintenant, remplaçons \( x \) par 37 dans la première équation pour trouver \( y \) :
\[
37 + y = 60
\]
\[
y = 60 – 37
\]
\[
y = 23
\]

Donc, le père Grafoille a :
\[
\boxed{37 \text{ billets de 5 € et 23 billets de 10 €.}}
\]

Exercice 16 : rechercher un nombre
Posons \( x \) le nombre choisi par Adrien et Riyanne.

Pour Adrien :
\[ 5x + 4 = 65,5 \]

Pour Riyanne :
\[ 3x + 28,6 = 65,5 \]

Nous avons donc deux équations. Commençons par résoudre l’équation d’Adrien :

\[ 5x + 4 = 65,5 \]

Soustrayons 4 des deux côtés de l’équation :

\[ 5x = 65,5 – 4 \]
\[ 5x = 61,5 \]

Divisons ensuite par 5 pour isoler \( x \) :

\[ x = \frac{61,5}{5} \]
\[ x = 12,3 \]

Maintenant, vérifions avec l’équation de Riyanne :

\[ 3x + 28,6 = 65,5 \]

Remplaçons \( x \) par 12,3 :

\[ 3 \cdot 12,3 + 28,6 = 65,5 \]
\[ 36,9 + 28,6 = 65,5 \]
\[ 65,5 = 65,5 \]

Donc, le nombre choisi par Adrien et Riyanne est bien \( 12,3 \).

Exercice 17 : géométrie et équations
Pour déterminer la valeur de \( x \) pour laquelle le périmètre du polygone colorié en rose est égal à 126, suivons les étapes suivantes :

1. Identifier les longueurs :
– Le polygone est composé de deux segments horizontaux de longueur \( 2x \) chacun.
– Il contient deux segments verticaux de longueur \( x \) chacun.
– Il y a deux segments verticaux de 3 unités chacun au milieu.

2. Calculer le périmètre :
\[
\text{Périmètre} = 2(2x) + 2x + 2(3) + 2x
\]
En simplifiant les coefficients :
\[
\text{Périmètre} = 4x + 2x + 6 + 2x
\]
Regroupons les termes similaires :
\[
\text{Périmètre} = (4x + 2x + 2x) + 6
\]
\[
\text{Périmètre} = 8x + 6
\]

3. Établir l’équation en utilisant la valeur du périmètre donné (126 unités) :
\[
8x + 6 = 126
\]

4. Résoudre pour \( x \) :
\[
8x + 6 = 126
\]
Soustrayons 6 des deux côtés :
\[
8x = 120
\]
Divisons les deux côtés par 8 :
\[
x = 15
\]

Ainsi, la valeur de \( x \) pour laquelle le périmètre du polygone colorié en rose est égal à 126 est \( \boxed{15} \).

Exercice 18 : trèfles à 3 et 4 feuilles
Soit \( x \) le nombre de trèfles à 3 feuilles et \( y \) le nombre de trèfles à 4 feuilles. Nous avons les équations suivantes :

\[
\{
\begin{array}{l}
x + y = 84 \\
3x + 4y = 258
\end{array}
.
\]

Résolvons ce système d’équations.

1. De la première équation, on obtient :
\[ y = 84 – x \]

2. Substituons \( y \) dans la deuxième équation :
\[ 3x + 4(84 – x) = 258 \]

3. Simplifions l’équation :
\[ 3x + 336 – 4x = 258 \]
\[ -x + 336 = 258 \]
\[ -x = 258 – 336 \]
\[ -x = -78 \]
\[ x = 78 \]

4. Trouvons \( y \) en utilisant la première équation :
\[ y = 84 – 78 \]
\[ y = 6 \]

Ainsi, le nombre de trèfles à trois feuilles est \( 78 \) et le nombre de trèfles à quatre feuilles est \( 6 \).

Exercice 19 : résoudre ces équations
a. \(3x + 2 = x + 6\)

\[
\begin{align*}
3x + 2 = x + 6 \\
3x – x = 6 – 2 \\
2x = 4 \\
x = \frac{4}{2} \\
x = 2
\end{align*}
\]

b. \(-8x + 3 = 5x – 2\)

\[
\begin{align*}
-8x + 3 = 5x – 2 \\
-8x – 5x = -2 – 3 \\
-13x = -5 \\
x = \frac{-5}{-13} \\
x = \frac{5}{13}
\end{align*}
\]

Exercice 20 : balance en équilibre et équations
a. La balance est en équilibre, donc les masses de chaque côté doivent être égales.

Soit \( x \) le poids d’un petit tube. On peut écrire l’équation suivante :

\[ 3x + 70 = 50 + 200 + x \]

b. Pour trouver le poids d’un petit tube, nous devons résoudre l’équation précédente :

\[ 3x + 70 = 250 + x \]

Soustrayons \( x \) des deux côtés de l’équation :

\[ 3x + 70 – x = 250 + x – x \]
\[ 2x + 70 = 250 \]

Soustrayons 70 des deux côtés de l’équation :

\[ 2x + 70 – 70 = 250 – 70 \]
\[ 2x = 180 \]

Divisons par 2 :

\[ \frac{2x}{2} = \frac{180}{2} \]
\[ x = 90 \]

Donc, un petit tube pèse \( 90 \) grammes.

Exercice 21 : somme de nombres aux sommets
Nous avons les deux quadrilatères suivants :

1. Le quadrilatère en gras : \(x, -4, 2y, 5\)
2. Le quadrilatère en pointillés : \(2x, -3, 4, 5\)

D’après l’énoncé, leurs sommes doivent être égales à 13.

Écrivons les équations basées sur cette information.

Pour le quadrilatère en gras :
\[ x + (-4) + 2y + 5 = 13 \]
\[ x + 2y + 1 = 13 \]
\[ x + 2y = 12 \quad \text{(1)} \]

Pour le quadrilatère en pointillés :
\[ 2x + (-3) + 4 + 5 = 13 \]
\[ 2x + 6 = 13 \]
\[ 2x = 7 \]
\[ x = \frac{7}{2} = 3.5 \quad \text{(2)} \]

En utilisant \( x = 3.5 \) dans l’équation (1) :
\[ 3.5 + 2y = 12 \]
\[ 2y = 12 – 3.5 \]
\[ 2y = 8.5 \]
\[ y = \frac{8.5}{2} = 4.25 \]

D’où les valeurs de \(x\) et \(y\) sont:
\[ x = 3.5 \]
\[ y = 4.25 \]

Exercice 22 : périmètre d’un rectangle
a. Le périmètre \( P \) du rectangle est donné par la somme de tous ses côtés. Les dimensions du rectangle sont \( x \) et \( 3,6\, \text{cm} \).

Le périmètre en fonction de \( x \) est :
\[ P = 2 \times (x + 3,6) \]

b. Pour déterminer \( x \) lorsque le périmètre est de \( 27,2\, \text{cm} \), on résout l’équation suivante :
\[ 2 \times (x + 3,6) = 27,2 \]
\[ x + 3,6 = \frac{27,2}{2} \]
\[ x + 3,6 = 13,6 \]
\[ x = 13,6 – 3,6 \]
\[ x = 10 \]

Donc, la valeur de \( x \) pour laquelle le périmètre du rectangle est de \( 27,2\, \text{cm} \) est :
\[ x = 10 \, \text{cm} \]

Exercice 23 : relier chaque équation à sa solution
Les solutions des équations sont les suivantes :

1. Pour l’équation \( 3x + 1 = -2 \):
\[
\begin{align*}
3x + 1 = -2 \\
3x = -2 – 1 \\
3x = -3 \\
x = \frac{-3}{3} \\
x = -1
\end{align*}
\]
La solution est donc \( x = -1 \).

2. Pour l’équation \( 3x – 1 = -2 \):
\[
\begin{align*}
3x – 1 = -2 \\
3x = -2 + 1 \\
3x = -1 \\
x = \frac{-1}{3} \\
x = -\frac{1}{3}
\end{align*}
\]
La solution est donc \( x = -\frac{1}{3} \).

3. Pour l’équation \( 3x = 2 \):
\[
\begin{align*}
3x = 2 \\
x = \frac{2}{3}
\end{align*}
\]
La solution est donc \( x = \frac{2}{3} \).

4. Pour l’équation \( 3x – 1 = 2 \):
\[
\begin{align*}
3x – 1 = 2 \\
3x = 2 + 1 \\
3x = 3 \\
x = \frac{3}{3} \\
x = 1
\end{align*}
\]
La solution est donc \( x = 1 \).

5. Pour l’équation \( 3x + 1 = 2 \):
\[
\begin{align*}
3x + 1 = 2 \\
3x = 2 – 1 \\
3x = 1 \\
x = \frac{1}{3}
\end{align*}
\]
La solution est donc \( x = \frac{1}{3} \).

Ainsi, les correspondances sont :

\[
\begin{align*}
3x + 1 = -2 \quad \text{se lie avec} \quad -1 \\
3x – 1 = -2 \quad \text{se lie avec} \quad -\frac{1}{3} \\
3x = 2 \quad \text{se lie avec} \quad \frac{2}{3} \\
3x – 1 = 2 \quad \text{se lie avec} \quad 1 \\
3x + 1 = 2 \quad \text{se lie avec} \quad \frac{1}{3}
\end{align*}
\]

Exercice 24 : résoudre des équations du premier degré
a. \(2x + 9 = 5\)
\[
2x + 9 = 5 \\
2x = 5 – 9 \\
2x = -4 \\
x = \frac{-4}{2} \\
x = -2
\]

b. \(5 – 4x = 1\)
\[
5 – 4x = 1 \\
-4x = 1 – 5 \\
-4x = -4 \\
x = \frac{-4}{-4} \\
x = 1
\]

c. \(6x – 7 = 4\)
\[
6x – 7 = 4 \\
6x = 4 + 7 \\
6x = 11 \\
x = \frac{11}{6} \\
x = \frac{11}{6}
\]

d. \(-8 – 3x = 2\)
\[
-8 – 3x = 2 \\
-3x = 2 + 8 \\
-3x = 10 \\
x = \frac{10}{-3} \\
x = -\frac{10}{3}
\]

e. \(6x + 8 = 1\)
\[
6x + 8 = 1 \\
6x = 1 – 8 \\
6x = -7 \\
x = \frac{-7}{6} \\
x = -\frac{7}{6}
\]

f. \(-5 + 7x = -5\)
\[
-5 + 7x = -5 \\
7x = -5 + 5 \\
7x = 0 \\
x = \frac{0}{7} \\
x = 0
\]

g. \(4 – 0{,}1x = -6\)
\[
4 – 0{,}1x = -6 \\
-0{,}1x = -6 – 4 \\
-0{,}1x = -10 \\
x = \frac{-10}{-0{,}1} \\
x = 100
\]

h. \(-5{,}5 – 3x = -7{,}5\)
\[
-5{,}5 – 3x = -7{,}5 \\
-3x = -7{,}5 + 5{,}5 \\
-3x = -2 \\
x = \frac{-2}{-3} \\
x = \frac{2}{3}
\]

Exercice 25 : résoudre chaque équation
a.
\[
12 + 3x = 7x + 10
\]
\[
12 – 10 = 7x – 3x
\]
\[
2 = 4x
\]
\[
x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]

b.
\[
-3x – 4 = 5 + x
\]
\[
-3x – x = 5 + 4
\]
\[
-4x = 9
\]
\[
x = \frac{9}{-4} = -\frac{9}{4}
\]

c.
\[
4x – 9 = -6 + 12x
\]
\[
4x – 12x = -6 + 9
\]
\[
-8x = 3
\]
\[
x = \frac{3}{-8} = -\frac{3}{8}
\]

d.
\[
2 + 5x = -2x – 3
\]
\[
5x + 2x = -3 – 2
\]
\[
7x = -5
\]
\[
x = \frac{-5}{7}
\]

e.
\[
4x – 1 = 14 + x
\]
\[
4x – x = 14 + 1
\]
\[
3x = 15
\]
\[
x = \frac{15}{3} = 5
\]

f.
\[
0.1 + 6x = -8x + 0.1
\]
\[
6x + 8x = 0.1 – 0.1
\]
\[
14x = 0
\]
\[
x = 0
\]

Exercice 26 : balance en équilibre
Soit \( t \) la masse d’une tomate en grammes et \( c \) la masse d’un citron en grammes.

Écrivons les équations pour chaque situation où la balance est en équilibre.

Pour la première balance :
\[ 6t = 75 + 300 + 2t \]

Pour la deuxième balance :
\[ 5c = 50 + 200 + c \]

Résolvons maintenant ces équations pour trouver \( t \) et \( c \).

Pour l’équation \( 6t = 75 + 300 + 2t \) :
\[ 6t = 375 + 2t \]
\[ 6t – 2t = 375 \]
\[ 4t = 375 \]
\[ t = \frac{375}{4} \]
\[ t = 93.75 \, \text{g} \]

Pour l’équation \( 5c = 50 + 200 + c \) :
\[ 5c = 250 + c \]
\[ 5c – c = 250 \]
\[ 4c = 250 \]
\[ c = \frac{250}{4} \]
\[ c = 62.5 \, \text{g} \]

La masse d’une tomate est de \( 93.75 \) grammes et la masse d’un citron est de \( 62.5 \) grammes.

Exercice 27 : sac de billes rouges et noires
a. Exprime en fonction de \(x\) :
– le nombre de billes rouges :
\[
x + 18
\]

– le nombre total de billes :
\[
x + (x + 18) = 2x + 18
\]

b. Écris une équation qui correspond à la résolution du problème, puis résous-la.
\[
2x + 18 = 250
\]
\[
2x = 250 – 18
\]
\[
2x = 232
\]
\[
x = \frac{232}{2}
\]
\[
x = 116
\]

c. Conclus en donnant le nombre de billes de chaque couleur.
Le nombre de billes noires est \( x = 116 \).
Le nombre de billes rouges est \( x + 18 = 116 + 18 = 134 \).
Le sac contient donc 116 billes noires et 134 billes rouges.

Exercice 28 : une tirelire contenant des pièces
Soit \( x \) le nombre de pièces de 0,20 € et \( y \) le nombre de pièces de 0,50 €.

On sait que:
\[ x + y = 200 \]
ainsi que:
\[ 0,20x + 0,50y = 52,30 \]

Pour éliminer les décimales dans la deuxième équation, multiplions-la par 100:
\[ 20x + 50y = 5230 \]

Nous avons donc le système d’équations suivant:
\[
\begin{cases}
x + y = 200 \\
20x + 50y = 5230
\end{cases}
\]

Résolvons ce système d’équations par substitution. De la première équation, nous obtenons:
\[ y = 200 – x \]

Substituons \( y \) dans la deuxième équation:
\[ 20x + 50(200 – x) = 5230 \]

Simplifions:
\[ 20x + 10000 – 50x = 5230 \]
\[ -30x + 10000 = 5230 \]
\[ -30x = 5230 – 10000 \]
\[ -30x = -4770 \]
\[ x = \frac{4770}{30} \]
\[ x = 159 \]

En utilisant \( x = 159 \) dans \( y = 200 – x \):
\[ y = 200 – 159 \]
\[ y = 41 \]

Donc, il y a \( 159 \) pièces de 0,20 € et \( 41 \) pièces de 0,50 €.

Exercice 29 : triangle équilatéral et carré de même périmètre
Pour que le triangle équilatéral et le carré aient le même périmètre, nous devons établir les relations suivantes :

Soit \( a \) le côté du carré, et \( b \) le côté du triangle équilatéral.

Le périmètre du carré est donné par :
\[ P_{\text{carré}} = 4a \]

Le périmètre du triangle équilatéral est donné par :
\[ P_{\text{triangle}} = 3b \]

Nous avons le côté du carré et la base du triangle qui ensemble mesurent 14 cm, donc :
\[ a + b = 14 \]

Pour que les périmètres soient égaux :
\[ 4a = 3b \]

En utilisant \( a = 14 – b \) dans l’équation \( 4a = 3b \) :
\[ 4(14 – b) = 3b \]
\[ 56 – 4b = 3b \]
\[ 56 = 7b \]
\[ b = 8 \]

Ensuite, en utilisant \( b = 8 \) pour trouver \( a \) :
\[ a = 14 – b \]
\[ a = 14 – 8 \]
\[ a = 6 \]

Ainsi, les côtés du carré et du triangle sont \( 6 \) cm et \( 8 \) cm respectivement.

Nous vérifions :
– Périmètre du carré : \( 4 \times 6 = 24 \) cm
– Périmètre du triangle : \( 3 \times 8 = 24 \) cm

Donc, le triangle et le carré peuvent avoir le même périmètre si le côté du carré mesure 6 cm et le côté du triangle équilatéral mesure 8 cm.

Exercice 30 : déterminer la valeur de x
a. Pour l’équilibre de la balance:
\[4x = 3 + 11\]
\[4x = 14\]
\[x = \frac{14}{4}\]
\[x = 3.5\]

b. Pour l’équilibre de la balance:
\[5x + 12 = 37\]
\[5x = 37 – 12\]
\[5x = 25\]
\[x = \frac{25}{5}\]
\[x = 5\]

c. Pour l’équilibre de la balance:
\[6x + 2 = 50\]
\[6x = 50 – 2\]
\[6x = 48\]
\[x = \frac{48}{6}\]
\[x = 8\]

d. Pour l’équilibre de la balance:
\[3x + 8 = 50\]
\[3x = 50 – 8\]
\[3x = 42\]
\[x = \frac{42}{3}\]
\[x = 14\]

Exercice 31 : quelle est la valeur de x ?
a)

\[
5x + 3 = 2x + 7
\]

Soustrayons \(2x\) des deux côtés :

\[
5x – 2x + 3 = 7
\]

\[
3x + 3 = 7
\]

Soustrayons 3 des deux côtés :

\[
3x = 4
\]

Divisons par 3 :

\[
x = \frac{4}{3}
\]

b)

\[
7x + 2 = 3x + 7
\]

Soustrayons \(3x\) des deux côtés :

\[
7x – 3x + 2 = 7
\]

\[
4x + 2 = 7
\]

Soustrayons 2 des deux côtés :

\[
4x = 5
\]

Divisons par 4 :

\[
x = \frac{5}{4}
\]

c)

\[
4x + 1 = 2x + 4
\]

Soustrayons \(2x\) des deux côtés :

\[
4x – 2x + 1 = 4
\]

\[
2x + 1 = 4
\]

Soustrayons 1 des deux côtés :

\[
2x = 3
\]

Divisons par 2 :

\[
x = \frac{3}{2}
\]

d)

\[
12x + 3 = 8x + 17
\]

Soustrayons \(8x\) des deux côtés :

\[
12x – 8x + 3 = 17
\]

\[
4x + 3 = 17
\]

Soustrayons 3 des deux côtés :

\[
4x = 14
\]

Divisons par 4 :

\[
x = \frac{14}{4}
\]

\[
x = \frac{7}{2}
\]

Exercice 32 : des équations un peu plus complexes…
a. \( 3(2 – 3x) + 4(x + 2) = 4x + 2(x – 2) \)
\[
\begin{align*}
6 – 9x + 4x + 8 = 4x + 2x – 4 \\
-5x + 14 = 6x – 4 \\
-5x – 6x = -4 – 14 \\
-11x = -18 \\
x = \frac{-18}{-11} \\
x = \frac{18}{11}
\end{align*}
\]

b. \( 5x + 2 – 3(2 – 4x) = 2(3x + 4) \)
\[
\begin{align*}
5x + 2 – 6 + 12x = 6x + 8 \\
17x – 4 = 6x + 8 \\
17x – 6x = 8 + 4 \\
11x = 12 \\
x = \frac{12}{11}
\end{align*}
\]

c. \( -3(x + 2) + 4(5 – x) = 2x + 5 \)
\[
\begin{align*}
-3x – 6 + 20 – 4x = 2x + 5 \\
-7x + 14 = 2x + 5 \\
-7x – 2x = 5 – 14 \\
-9x = -9 \\
x = \frac{-9}{-9} \\
x = 1
\end{align*}
\]

Exercice 33 : des équations et la simple distributivité
1. \( 8 – (3x + 2) = 5x – 5 \)
\[
\begin{aligned}
8 – 3x – 2 = 5x – 5 \\
6 – 3x = 5x – 5 \\
6 + 5 = 5x + 3x \\
11 = 8x \\
x = \frac{11}{8}
\end{aligned}
\]

2. \( 7 + 2(3 – x) = 4x – 1 \)
\[
\begin{aligned}
7 + 6 – 2x = 4x – 1 \\
13 – 2x = 4x – 1 \\
13 + 1 = 4x + 2x \\
14 = 6x \\
x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}
\end{aligned}
\]

3. \( 4x – 5(3 – 2x) = 4 – (2x – 7) \)
\[
\begin{aligned}
4x – 15 + 10x = 4 – 2x + 7 \\
14x – 15 = 11 – 2x \\
14x + 2x = 11 + 15 \\
16x = 26 \\
x = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}
\end{aligned}
\]

4. \( 9x – 3(4 – 3x) = 2 – [35 – 3(4 – 2x)] \)
\[
\begin{aligned}
9x – 12 + 9x = 2 – [35 – 12 + 6x] \\
18x – 12 = 2 – 23 + 6x \\
18x – 12 = 6x – 21 \\
18x – 6x = -21 + 12 \\
12x = -9 \\
x = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4}
\end{aligned}
\]

5. \( 7 – 3(4 – 2x) – 5[2 – 3(x – 5)] = 4 – 3(x – 4) \)
\[
\begin{aligned}
7 – 12 + 6x – 5[2 – 3x + 15] = 4 – 3x + 12 \\
7 – 12 + 6x – 5[17 – 3x] = 16 – 3x \\
7 – 12 + 6x – 85 + 15x = 16 – 3x \\
21x – 90 = 16 – 3x \\
21x + 3x = 16 + 90 \\
24x = 106 \\
x = \frac{106}{24} = \frac{53}{12}
\end{aligned}
\]

6. \( 4(x – 2) – 3[6 – 2(3 – 4x)] + 3(7 – 2x) = 0 \)
\[
\begin{aligned}
4x – 8 – 3[6 – 6 + 8x] + 21 – 6x = 0 \\
4x – 8 – 3[8x] + 21 – 6x = 0 \\
4x – 8 – 24x + 21 – 6x = 0 \\
-26x + 13 = 0 \\
-26x = -13 \\
x = \frac{1}{2}
\end{aligned}
\]

7. \( 2(3 – 6x) – 5[3 – (4 – 2x)] = 3(2x – 1) \)
\[
\begin{aligned}
6 – 12x – 5[3 – 4 + 2x] = 6x – 3 \\
6 – 12x – 5[-1 + 2x] = 6x – 3 \\
6 – 12x + 5 – 10x = 6x – 3 \\
11 – 22x = 6x – 3 \\
11 + 3 = 6x + 22x \\
14 = 28x \\
x = \frac{1}{2}
\end{aligned}
\]

8. \( 2x – [7 – 2(3 – 4x)] = 5 – 2[6 – (7 – x)] \)
\[
\begin{aligned}
2x – [7 – 6 + 8x] = 5 – 2[6 – 7 + x] \\
2x – [8x + 1] = 5 – 2[-1 + x] \\
2x – 1 – 8x = 5 – 2[-1 + x] \\
2x – 1 – 8x = 5 + 2 – 2x \\
2x – 8x – 1 = 7 – 2x \\
-6x – 1 = 7 – 2x \\
-6x + 2x = 7 + 1 \\
-4x = 8 \\
x = -2
\end{aligned}
\]

Exercice 34 : des équations à résoudre
1. Résolvons l’équation \(5 – (x – 3) = 4x – (3x – 8)\):

\[
5 – x + 3 = 4x – 3x + 8
\]

\[
8 – x = x + 8
\]

\[
8 – 8 = x + x
\]

\[
0 = 2x
\]

\[
x = 0
\]

2. Résolvons l’équation \(2 + x – (5 + 2x) – 7 = 3x + 7\):

\[
2 + x – 5 – 2x – 7 = 3x + 7
\]

\[
-10 – x = 3x + 7
\]

\[
-10 – 7 = 4x
\]

\[
-17 = 4x
\]

\[
x = -\frac{17}{4}
\]

3. Résolvons l’équation \(4x + 3 – (x + 1) + 5 = 5x + 7\):

\[
4x + 3 – x – 1 + 5 = 5x + 7
\]

\[
3x + 7 = 5x + 7
\]

\[
3x = 5x
\]

\[
0 = 2x
\]

\[
x = 0
\]

4. Résolvons l’équation \(2x + 1 – (2 + x) – 7 = 3x + 7\):

\[
2x + 1 – 2 – x – 7 = 3x + 7
\]

\[
x – 8 = 3x + 7
\]

\[
-8 – 7 = 2x
\]

\[
-15 = 2x
\]

\[
x = -\frac{15}{2}
\]

5. Résolvons l’équation \(5(x – 1) + 3(2 – x) = 0\):

\[
5x – 5 + 6 – 3x = 0
\]

\[
2x + 1 = 0
\]

\[
2x = -1
\]

\[
x = -\frac{1}{2}
\]

6. Résolvons l’équation \(7(x + 4) – 3(x + 2) = x + 7\):

\[
7x + 28 – 3x – 6 = x + 7
\]

\[
4x + 22 = x + 7
\]

\[
4x – x = 7 – 22
\]

\[
3x = -15
\]

\[
x = -5
\]

7. Résolvons l’équation \(2(x – 1) – 3(x + 1) = 4(x – 2)\):

\[
2x – 2 – 3x – 3 = 4x – 8
\]

\[
-x – 5 = 4x – 8
\]

\[
-x – 4x = -8 + 5
\]

\[
-5x = -3
\]

\[
x = \frac{3}{5}
\]

Exercice 35 : déterminer l’âge des enfants et de la mère
Soient \( x \) le nombre d’années qu’il faut pour que l’âge de la mère soit égal à la somme des âges de ses enfants.

À ce moment-là, l’âge de la mère sera \( 37 + x \).

Les âges des enfants seront :
– \( 8 + x \) pour le premier enfant,
– \( 10 + x \) pour le deuxième enfant,
– \( 13 + x \) pour le troisième enfant.

La somme des âges des enfants sera donc :
\[ (8 + x) + (10 + x) + (13 + x) = 31 + 3x \]

On cherche lorsque l’âge de la mère sera égal à la somme des âges des enfants, c’est-à-dire :
\[ 37 + x = 31 + 3x \]

En résolvant cette équation :
\[ 37 + x = 31 + 3x \]
\[ 37 – 31 = 3x – x \]
\[ 6 = 2x \]
\[ x = 3 \]

Il faudra donc attendre 3 ans pour que l’âge de la mère soit égal à la somme des âges de ses enfants.

Exercice 36 : titeuf et les BD
Correction de l’exercice :

\( \text{Soit } x \text{ le prix d’une BD de Tintin en euros.} \)

1) Compléter le tableau suivant (les expressions seront données en fonction de \( x \)) :

– Prix d’une BD de Tintin : \( x \)
– Prix d’une BD d’Astérix : \( x + 1,50 \)
– Prix de 11 BD de Tintin : \( 11x \)
– Prix de 7 BD d’Astérix : \( 7(x + 1,50) \)
– Prix de 7 BD d’Astérix et de 11 BD de Tintin : \( 7(x + 1,50) + 11x \)

Simplifions l’expression donnée :

\[ 7(x + 1,50) + 11x = 7x + 10,50 + 11x = 18x + 10,50 \]

2) À l’aide d’une équation, déterminer le prix d’une BD de Tintin et d’une BD d’Astérix :

On sait que le prix total est de 127,50 €. Donc, on écrit l’équation suivante :

\[ 18x + 10,50 = 127,50 \]

Maintenant, résolvons cette équation pour \( x \) :

\[ 18x = 127,50 – 10,50 \]
\[ 18x = 117 \]
\[ x = \frac{117}{18} \]
\[ x = 6,50 \]

Le prix d’une BD de Tintin est donc \( 6,50 \) €.

Le prix d’une BD d’Astérix est \( x + 1,50 = 6,50 + 1,50 = 8 \) €.

\[\]Conclusion :\[\]
– Le prix d’une BD de Tintin est de \( 6,50 \) €.
– Le prix d’une BD d’Astérix est de \( 8 \) €.

Exercice 37 : garfield et son roman
Soit \( x \) le nombre de pages lues le premier jour.

Le deuxième jour, il a lu \( x + 20 \) pages.

Le troisième jour, il a lu \( 2(x + 20) \) pages.

Selon l’énoncé, Garfield a lu 260 pages en trois jours, donc :

\[
x + (x + 20) + 2(x + 20) = 260
\]

Simplifions l’équation :

\[
x + x + 20 + 2x + 40 = 260
\]

\[
4x + 60 = 260
\]

Soustrayons 60 des deux côtés de l’équation :

\[
4x = 200
\]

Divisons par 4 :

\[
x = 50
\]

Ainsi, Garfield a lu \( 50 \) pages le premier jour.

Exercice 38 : un fermier et le cow-boy
Soient \( W \), \( N \) et \( R \) les nombres de vaches blanches, noires et rousses respectivement. On sait que :

\[
W + N + R = 72
\]

Le nombre de vaches noires est le double du nombre de vaches blanches :

\[
N = 2W
\]

Le nombre de vaches rousses est le triple du nombre de vaches noires :

\[
R = 3N
\]

En substituant \( N = 2W \) dans \( R = 3N \), nous obtenons :

\[
R = 3(2W) = 6W
\]

Nous avons maintenant trois équations :

\[
W + N + R = 72
\]
\[
N = 2W
\]
\[
R = 6W
\]

Substituons \( N \) et \( R \) dans la première équation :

\[
W + 2W + 6W = 72
\]

Ce qui nous donne :

\[
9W = 72
\]

En résolvant pour \( W \), nous obtenons :

\[
W = \frac{72}{9} = 8
\]

Ainsi, le nombre de vaches blanches \( W \) est 8. Utilisons cette valeur pour déterminer \( N \) et \( R \) :

\[
N = 2W = 2 \times 8 = 16
\]

\[
R = 6W = 6 \times 8 = 48
\]

En conclusion, il y a :

\[
\boxed{8} \text{ vaches blanches, }
\]

\[
\boxed{16} \text{ vaches noires, }
\]

\[
\boxed{48} \text{ vaches rousses.}
\]

Exercice 39 : tarzan, les lianes et Jane
Soit \( p \) le nombre de petites lianes utilisées et \( g \) le nombre de grandes lianes utilisées.

Nous savons que :

\[
p + g = 63
\]

et que :

\[
4.5p + 8g = 413
\]

Nous allons résoudre ce système d’équations pour trouver les valeurs de \( p \) et \( g \).

1. Exprimer \( g \) en fonction de \( p \) à partir de la première équation :

\[
g = 63 – p
\]

2. Substituer cette expression dans la deuxième équation :

\[
4.5p + 8(63 – p) = 413
\]

3. Développer et simplifier :

\[
4.5p + 504 – 8p = 413
\]

\[
-3.5p + 504 = 413
\]

4. Isoler \( p \) :

\[
-3.5p = 413 – 504
\]

\[
-3.5p = -91
\]

\[
p = \frac{91}{3.5}
\]

\[
p = 26
\]

5. En utilisant la valeur de \( p \) dans la première équation pour trouver \( g \) :

\[
g = 63 – p
\]

\[
g = 63 – 26
\]

\[
g = 37
\]

Ainsi, Tarzan a utilisé 26 petites lianes et 37 grandes lianes.

Exercice 40 : l’âge de Sonia et de MArc
Supposons que l’âge actuel de Marc soit \( x \) ans et que l’âge actuel de Sonia soit \( y \) ans.

Selon l’énoncé:

1. Sonia est deux fois plus âgée que Marc:
\[
y = 2x
\]

2. Dans 5 ans, Marc aura le même âge que Sonia avait il y a 10 ans:
\[
x + 5 = y – 10
\]

Nous avons maintenant deux équations :
\[
y = 2x
\]
\[
x + 5 = y – 10
\]

Substituons \( y \) dans la deuxième équation par \( 2x \):

\[
x + 5 = 2x – 10
\]

Résolvons pour \( x \):

\[
5 + 10 = 2x – x
\]
\[
15 = x
\]

Ainsi, l’âge actuel de Marc est \( 15 \) ans.

Maintenant, substituons \( x = 15 \) dans la première équation pour trouver l’âge de Sonia:

\[
y = 2 \times 15
\]
\[
y = 30
\]

Donc, l’âge actuel de Sonia est \( 30 \) ans.

Les âges actuels sont :
– Marc : 15 ans
– Sonia : 30 ans

Exercice 41 : somme des âges et équation
Soit \( x \) l’âge de Marie-Pierre et \( y \) l’âge de Jean-Sébastien. Nous avons les deux équations suivantes :

1. \( x + y = 32 \)
2. \( y = 3x \)

En substituant la deuxième équation dans la première, nous obtenons :

\[
x + 3x = 32
\]
\[
4x = 32
\]
\[
x = 8
\]

En utilisant \( x = 8 \) dans la deuxième équation, nous trouvons \( y \) :

\[
y = 3x
\]
\[
y = 3 \times 8
\]
\[
y = 24
\]

L’âge de Marie-Pierre est donc 8 ans et l’âge de Jean-Sébastien est 24 ans.

Exercice 42 : résoudre ces équations du premier degré
{a.} \( x + 21 = 13 \)
\[
x = 13 – 21 = -8
\]
Solution: \( x = -8 \)

{b.} \( 7x = 49 \)
\[
x = \frac{49}{7} = 7
\]
Solution: \( x = 7 \)

{c.} \( 2x – 24 = x + 9 \)
\[
2x – x = 9 + 24 \implies x = 33
\]
Solution: \( x = 33 \)

{d.} \( 5x – 4 = 8x – 11 \)
\[
5x + 7 = 8x \implies 7 = 3x \implies x = \frac{7}{3}
\]
Solution: \( x = \frac{7}{3} \)

{e.} \( 3x + 7 = -6x + 23 \)
\[
3x + 6x = 23 – 7 \implies 9x = 16 \implies x = \frac{16}{9}
\]
Solution: \( x = \frac{16}{9} \)

{f.} \( 5(x – 3) = -7(x + 1) \)
\[
5x – 15 = -7x – 7 \implies 5x + 7x = -7 + 15 \implies 12x = 8 \implies x = \frac{2}{3}
\]
Solution: \( x = \frac{2}{3} \)

{g.} \( (x – 3)(x + 4) – x^2 = 6 \)
Développons l’expression :
\[
(x – 3)(x + 4) = x^2 + 4x – 3x – 12 = x^2 + x – 12
\]
Donc,
\[
x^2 + x – 12 – x^2 = 6 \implies x – 12 = 6 \implies x = 18
\]
Solution: \( x = 18 \)

Exercice 43 : rechercher le nombre de départ
Soit \( x \) le nombre de départ.

On nous demande de trouver ce nombre en résolvant l’équation issue de l’énoncé.

En ajoutant 1 à \( x \), nous obtenons \( x + 1 \).

En multipliant ce résultat par 6, nous avons :
\[ 6(x + 1) \]

D’un autre côté, nous ajoutons 7 au double du nombre de départ, ce qui donne :
\[ 2x + 7 \]

D’après l’énoncé, ces deux expressions sont égales. Donc :
\[ 6(x + 1) = 2x + 7 \]

Développons l’expression à gauche :
\[ 6x + 6 = 2x + 7 \]

Soustrayons \( 2x \) des deux côtés de l’équation :
\[ 6x + 6 – 2x = 2x + 7 – 2x \]
\[ 4x + 6 = 7 \]

Soustrayons 6 des deux côtés :
\[ 4x + 6 – 6 = 7 – 6 \]
\[ 4x = 1 \]

Divisons par 4 :
\[ x = \frac{1}{4} \]

Le nombre de départ est donc \( \frac{1}{4} \).

Exercice 44 : somme des âges et équation
Soit \( a \) l’âge d’Ahmed et \( n \) l’âge de Nicolas. Nous avons les deux équations suivantes :

1. \( a + n = 32 \)
2. \( n = 3a \)

En substituant la deuxième équation dans la première :

\[ a + 3a = 32 \]

Ce qui simplifie à :

\[ 4a = 32 \]

En divisant par 4 de chaque côté :

\[ a = \frac{32}{4} \]

\[ a = 8 \]

Maintenant, en utilisant la deuxième équation pour trouver l’âge de Nicolas :

\[ n = 3a \]

\[ n = 3 \times 8 \]

\[ n = 24 \]

Ainsi, l’âge d’Ahmed est \( 8 \) ans et l’âge de Nicolas est \( 24 \) ans.